Тема: Выражения, тождества, уравнения (п.1-9)

I. Выражения, тождества, уравнения (п.1-9)
Базовые знания и умения:
- иметь представление о числовом выражении и уметь вычислять его значение;
- знать определение выражения с переменными и уметь находить его значение при
выбранных значениях переменных;
- уметь сравнивать значения выражений;
- знать и уметь применять свойства действий над числами и вычислениями;
- уметь выполнять тождественные преобразования выражений (приведение
подобных слагаемых и раскрытие скобок);
- знать определение уравнения, корней уравнения и уметь решать линейные
уравнения с одной переменной;
- уметь решать задачи с помощью уравнений.
Теоретический материал.
1. Значение выражения – число, которое получается в результате выполнения
действий в числовом выражении.
2. Если в выражении встречается деление на нуль, то это выражение не имеет
значения (или не имеет смысла), так как на нуль делить нельзя.
3. Выражения, содержащие букву, называют выражением с переменной.
4. Свойства действий над числами.
1) Переместительное свойство: для любых чисел а и b верны равенства
а + b = b + а,
аb = bа.
2) Сочетательное свойство: для любых чисел а, b и с верны равенства
(а + b) + с = а + (b + с), (аb)c = a(bc) = (ac)b
3) Распределительное свойство: для любых чисел a, b и с верно равенство:
a(b + c) = ab + ac
5. Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.
6. Правила тождественных преобразований:
1) чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат
умножить на общую буквенную часть;
2) если перед скобками стоит знак «+», то скобки можно опустить, сохранив знак
каждого слагаемого, заключенного в скобки;
3) если перед скобками стоит знак «-», то скобки можно опустить, изменив знак
каждого слагаемого, заключенного в скобки.
7. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение
обращается в верное равенство.
8. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
9. При решении уравнений используются следующие свойства:
1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак,
то получится уравнение, равносильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то де отличное от
нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
10. Уравнение вида ax = b, где x – переменная, a и b –некоторые числа, называется
линейным уравнением с одной переменной.
11. Решение линейного уравнения ax = b
a≠0
один корень
b
x=
a
a=b=0
бесконечное множество
корней
x – любое число
a = 0, b ≠ 0
решений нет
12. При решении задач с помощью уравнений поступают следующим образом:
1) обозначают некоторое неизвестное число буквой u, используя условие задачи,
составляют уравнение;
2) решают это уравнение;
3) истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи.
Примеры решения заданий.
1. Раскройте скобки:
а) x + (b + c + d – m)
б) (x – y) – m
в) a – (b – c – d)
Решение:
Если перед скобкой стоит плюс или не
стоит никакой знак, то можно убрать
скобки, сохранив знаки всех слагаемых,
стоящих внутри скобок.
Если перед скобкой стоит минус, то можно
убрать скобки, меняя знаки всех слагаемых,
стоящих внутри скобок.
а) x + (b + c + d – m) = x + b + c + d – m
б) (x – y) – m = x – y – m
в) a – (b – c – d) = a – b + c + d
2. Упростите выражение и найдите его значение:
(5x – 1) – (2 – 8x) при x = 0,75
Решение:
Раскрываем скобки
5x – 1 – 2 + 8x
Подчеркнем подобные слагаемые
5x – 1 – 2 + 8x
Приводим подобные слагаемые
13x – 3
Подставим вместо x число 0,75
13·0,75 – 3
Сначала выполним умножение
9,75 – 3
Теперь выполним вычитание
6,75
Как оформить в тетради:
(5x – 1) – (2 – 8x) = 5x – 1 – 2 + 8x = 13x – 3
Если x = 0,75, то 13x – 3 = 13·0,75 – 3 = 9,75 – 3 = 6,75
3. Решить уравнение: 2x – 17 = 63 + 4x
Решение:
Перенесем слагаемые с неизвестным в
2x – 17 – 4x = 63
левую часть уравнения, меняя их знаки
Перенесем слагаемые без неизвестного в
2x – 4x = 63 + 17
правую часть уравнения, меняя их знаки
Приведем в обеих частях подобные члены
– 2x = 80
Разделим обе части уравнения на
х = 80:(-2)
коэффициент при х
x = - 40
Ответ: - 40.
4. Решите задачу с помощью уравнения.
В одной кассе кинотеатра продали на 86 билетов больше, чем в другой. Сколько билетов
продали в каждой касса, если всего было продано 792 билета?
Решение:
Пусть во второй кассе продали x билетов, тогда в первой кассе продали (x + 86) билетов.
Всего было продано (x + x + 86) билетов, что по условию задачи составляет 792 билета.
Составим и решим уравнение:
х + х + 86 = 792
2х + 86 = 792
2х = 792 – 86
2х = 706
х = 706:2
х = 353
Значит, во второй кассе было продано 353 билета, а в первой 439 билетов.
Ответ: 439 билетов; 353 билета.
Решите самостоятельно
Задания обязательного уровня.
1. Найти значение выражения:
1
13
1
5,4·(-3 ) + 13,8):1
+3
3
15
6
2. Упростить выражение:
а) -2,4а·(-5b);
в) x + (x – 12) – (15 + x);
б) 14а – а – 10b + 7b;
г) 7·(b + 2) - 5·(b – 2).
3. Решить уравнение:
3
а) x = 2,1;
7
б) – 14x = 7;
г) 3(4 – 2х) + 6 = - 2х + 4;
в) 9x – 7 = 6x + 14;
е) 4(2x – 1) – 3x = 5x – 4.
д) 5x – (3x – 8) = 2x;
4. В первом ящике было в 5 раз больше мандарин, чем во втором. Когда из первого ящика
взяли 25 кг мандарин, а во второй положили еще 15 кг, то в обоих ящиках мандарин стало
поровну. Сколько килограммов мандарин было в каждом ящике?
Задания повышенного уровня.
5. Упростить выражение и вычислить его значение:
1
2
5
3
2
а) a  b  a  b , если a = - 1 ; b = -36;
4
3
6
4
7
б) 0,5(1,6х – 6,4у) – 2,4(1,5х + у), если х = 3, у = - 4,5;
5
3
4
в)  (3,2m  1 n )  7,2(  m  2,5n ) , если m = -10; n = -0,1.
8
5
9
6. Решить уравнение: (12у + 18)(1,6 – 0,2у) = 0.
7. Одной бригаде надо было построить 180 м дороги, а другой – 160 м. Первая бригада
прокладывала ежедневно 40 м, а вторая – 25 м. Через сколько дней первой бригаде
останется проложить в 3 раза меньше метров дороги, чем второй?
8. При каком значении а уравнение (2 + а)х = 10:
а) имеет корень, равный 5;
б) не имеет корней?