Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения

Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.
Учителя математики Бобрус В.А, Кожемякина И.А.
I.Задачи, где требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает
наибольшее и наименьшее значения, принято называть задачами на экстремум (от латинского
слова «extremum» – «крайний» ) или задачами на «максимум» и «минимум»(от латинских слов
«maximum» и «minimum» - соответственно «наибольшее» и «наименьшее»). Такие задачи часто
встречаются в технике, естествознании, в повседневной деятельности людей.
Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством
отходов?
Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданном расходе материала его объем был
наибольшим?
В каком месте следует построить мост через реку, чтобы дорога, проходящая через него и
соединяющая два города, была кратчайшей?
Эти задачи (им можно легко придать геометрический вид) имеют большое практическое
значение. С их помощью можно решить важный во всяком деле вопрос, как, по словам русского
математика Чебышева, «располагать средствами своими для достижения по возможности большей
выгоды».
Уметь решать подобные задачи очень важно и поэтому они привлекают большое внимание
математиков. Самая простая и, вероятно, самая древняя задача на экстремум такая: какой из всех
прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь?
Решение ее было известно в древнегреческой математике. Их доказательство основано на
сравнении площадей. Математикам того времени не было известно о производной. В наше время
экстремальные задачи решаются путем исследования функции с помощью производной.
Итак, чтобы решить задачу на экстремум надо:
1) составить функцию, предварительно выбрав переменную;
2) определить промежуток для переменной;
3) исследовать функцию на этом промежутке на определение наибольшего (наименьшего)
ее значения.
II. Задачи.
1. Перед решением задач сообщаются свойства (без доказательства):
а) пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и имеет на этом интервале
только одну критическую точку x 0 - точку максимума (минимума). Тогда f(x 0 ) – наибольшее
(наименьшее) значение функции f(x) на интервале (a; b);
б) если функция g(x) положительна на некотором промежутке, то функции g(x) и
f(x)=(g(x)) n ,где n – натуральное число, принимают наибольшее (наименьшее) значение в одной и
той же точке на этом промежутке.
2. План решения задачи:
а) выбор переменной;
б) образование функции;
в) установление промежутка для переменной (исходя из области определения функции и
условия задачи);
г) нахождение критических точек и отбор точек, принадлежащих выбранному
промежутку;
д) определение характера критической точки;
е) вывод о значении функции в этой точке;
ж) ответ к задаче.
Задача №1.
Число 36 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых
наименьшая.
Решение.
1) Пусть первый множитель – x, тогда второй множитель 2) f(x) =x+
36
.
x
36
.
x
3) Д(f) находим из условия, что x  0. По условию задачи x – положительное число, т.е.
x  (0;   ). Таким образом, задача свелась к нахождению такого значения x, при
котором функция f(x) принимает наименьшее значение на промежутке (0;   ).
4) f’(x) = (x+
36 ( x  6) * ( x  6)
36
)’ = 1+ 2 =
;
x
x
x2
f’(x) = 0,
( x  6)( x  6)
= 0;
x2
( x  6) * ( x  6)  0,
 2
 x  0;
 x1  6,
 x  6. - критические точки.
 2
-6  (0;   ) , 6  (0;   )
5)
─
+
-6
6
x
На промежутке (0;6) f(x)<0.
На промежутке (6;   ) f(x)>0.
В точке x = 6 производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, x = 6 – точка минимума.
6) На интервале (0;   ) только одна критическая точка x = 6 – точка минимума, значит
наименьшее значение функция f(x) принимает на интервале (0;   ) при x = 6;
36 36

6
x
6
Ответ: 36 = 6*6.
Задача №2.
Из всех прямоугольников с периметром 12дм выбрать тот, у которого площадь наибольшая.
Решение.
1) Пусть одна сторона прямоугольника – x, тогда другая – 6-x.
2) S(x) = x*(6-x)
3) Д(S) = R; по смыслу задачи 0<x<6
4) S’(x) = (6x - x 2 )’ = 6-2x;
S’(x) = 0, 6 - 2x = 0,
x = 3 – критическая точка, 3  (0; 6).
5)
+
─
0
3
6
x
На промежутке (0;3) S’(x)>0, на промежутке (3;6) S’(x)<0. S’(x) меняет знак с «+» на «-»,
значит, x = 3 – точка максимума.
5) На промежутке (0;6) только одна критическая точка x = 3 – точка максимума.
Следовательно, наибольшее значение на промежутке (0;6) функция S’(x) принимает при
x = 3.
6-x=6-3=3
Ответ: квадрат со стороной 3дм имеет наибольшую площадь.
Задача №3.
Из всех прямоугольников, вписанных в окружность радиуса R, найти прямоугольник
наибольшей площади.
-2-
B
C
O
R
A
D
Решение.
1) Пусть AB = x, из ∆ABC находим BC =
4R 2  x 2 .
2) S(x) = x* 4R 2  x 2 .
3) Д(S) найдем из условия 4R 2 - x 2 ≥0, -2R≤x≤2R. По смыслу задачи 0<x<2R. Находим
наибольшее значение функции S(x) на промежутке (0;2R). Так как S(x) >0 на интервале
(0;2R), то функция S(x) и f(x) = (S(x)) 2 принимают наибольшее значение на интервале в
одной и той же точке.
4) f(x) = x 2 (4R 2 - x 2 ) = 4R 2 x 2 - x 4 ;
f’(x) = (4R 2 x 2 -x 4 )’ = 8R 2 x – 4x 3 = 4x*(R 2 + x)*(R 2 - x)
f’(x) = 0, 4x*(R 2 + x)*(R 2 - x) = 0.
 x1  0

 x 2  R 2 - критические точки.
x  R 2
 3
0  (0; 2R); -2R  (0; 2R); R 2  (0; 2R).
5)
+
─
R 2
0
2R
x
X = R 2 - точка максимума.
6) На интервале (0; 2R) есть только одна критическая точка
x = R 2 - точка максимума. Следовательно, наибольшее значение функция f(x) (а значит и
функция S(x)) принимают при x = R 2 . Итак, одна сторона прямоугольника равна R 2 , другая 2
4R 2  ( R 2) = R 2 , то есть искомый прямоугольник – квадрат со стороной R 2 , площадь
равна 2R 2 .
Ответ: R 2 *R 2 = 2R 2
Задача №4.
Из всех равнобедренных треугольников с периметром 12см найти треугольник наибольшей
площади.
C
A
D
B
-3-
Решение.
1)Пусть AC = x, тогда AD = 6 – x. CD =
x 2  (6  x ) 2 =
x 2  36  12 x  x 2 = 12 x  36 =
2 3x  9 .
2) S  =
1
AB*CD. S(x) = 2*(6-x) 3x  9 .
2
3) Д(S): 3x-9≥0, x≥3. По смыслу задачи 0<x<6, тогда x  (3; 6)
4) S’(x) = (2*(6-x) 3x  9 )’ =
36  9 x
3x  9
; S’(x) = 0, т.е.
36  9 x
3x  9
= 0,
 x  4,

 x  3.
x = 4 – критическая точка.
5)
+
─
3
4
6 x
x = 4 – точка максимума.
6) На промежутке (3; 6) только одна критическая точка x = 4 –точка максимума.
Следовательно, функция S(x) принимает наибольшее значение на интервале (3; 6) при x = 4.
Ответ: треугольник со сторонами 4см, 4см, 4см имеет наибольшую площадь.
Упражнения.
№1. Требуется сделать коробку, объем которой дожжен равняться 108см 2 . Коробка открыта
сверху и имеет квадратное дно. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на ее изготовление пошло
наименьшее количество материала?
№2. Требуется огородить проволочной сеткой длиной a прямоугольный участок,
прилегающий к стене. Найти размеры участка, при которых его площадь будет наибольшей.
№3. Материальная точка совершает прямолинейное движение по закону s(t) = 5t + 2t 2 -
2 3
t ,
3
где s – путь в метрах, t – время в секундах. В какой момент времени t скорость движения точки
будет наибольшей и какова величина этой наибольшей скорости?
№4. Из куска картона 32см × 20см требуется изготовить отрытую сверху коробку
наибольшей вместимости; вырезая по углам квадраты и затем загибая выступы для образования
боков коробки.
№5. Сечение туннеля (или шлюзового канала) имеет форму прямоугольника, завершаемого
полукругом.
а) Зная периметр сечения 2p определить, при каком радиусе полукруга площадь сечения
будет наибольшей.
б) Зная площадь сечения s, определить, при каких условиях периметр сечения будет
наименьшим.
№6. Лампа висит над центром круглого стола радиуса R. При какой высоте лампы над
столом освещенность предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшей (освещенность прямо
пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату
расстояния от источника света).
№7. Доказать, что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг,
наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.
№8. Найти положительное число x, чтобы разность x-x 2 была наибольшей.
№9. Найти число, которое в сумме со своим квадратом дает этой сумме наименьшее
значение.
Примерная проверочная работа по геометрии с использованием материала по теме
«Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции».
-4-
Вариант 1
№1. Диагональ грани правильной
четырехугольной призмы равна d. Найдите
длину бокового ребра, при которой объем
призмы наибольший.
Вариант 2
№1. Апофема правильной
четырехугольной пирамиды равна
p.Найдите высоту пирамиды, при которой
ее объем наибольший.
(V пир =
№2. На координатной плоскости
рассматриваются всевозможные
треугольники ABC, у каждого из которых
угол ABC равен 90 0 , вершина A имеет
координаты 1;0 , вершина C лежит на
отрезке 0;1 оси OX, а вершина B лежит
1
S осн * h пир )
3
№2. Найдите площадь наибольшего
прямоугольника, две вершины которого
лежат на отрезке 0;3 оси абсцисс, а две
оставшиеся вершины находятся на графике
функции y = 3x - x 2 .
на параболе y = x - x 2 . Какие координаты
должна иметь вершина B, чтобы площадь
∆ABC была наибольшей?
-5-