Контрольная работа Механика

ВАРИАНТ № 1
1.1. Мяч брошен вертикально вверх со скоростью v0 = 20 м/с. На какой высоте h скорость
мяча будет в k = 2 раза меньше, чем в начале движения?

  2 gk   15,3 м .
Ответ: h  v0 k  1
2
2
2
1.2.
Колесо
начинает
вращаться
равноускоренно
и
через
время
t = 1 мин приобретает частоту n = 720 об/мин. Найдите угловое ускорение  колеса и
число оборотов N колеса за это время.
Ответ:  = 2n/t = 1,26 рад/с2; N = t2/(22) = 361.
1.3. Автомобиль массой m = 100 кг движется по горизонтальному участку шоссе с
ускорением a = 2 м/с2. При этом мотор развивает силу тяги Fт = 500 Н. Определите силу
сопротивления движению.
Ответ: Fсопр = Fт  ma = 300 Н.
1.4. По наклонной плоскости высотой h = 0,5 м и длиною склона l = 1 м скользит тело
массой m1 = 1 кг. Тело приходит к основанию наклонной плоскости со скоростью
 = 2,45 м/с. Найдите коэффициент трения о плоскость. Начальная скорость тела равна
нулю.
Ответ: k = 0,22
1.5. Две пружины с жесткостями k1 = 0,3 кН/м и k2 = 0,5 кН/м скреплены последовательно
и растянуты так, что абсолютная деформация второй пружины х2 = 3 см. Вычислить
работу А растяжения пружин.
Ответ: A 
1 k2
 k1  k2  x22  0,6 Дж .
2 k1
1.6. Пуля, летевшая горизонтально со скоростью v = 400 м/с, попадет в брусок,
подвешенный на нити длиной l = 4 м, и застревает в нем. Определите угол , на который
отклонится
брусок,
если
масса
пули
m1 = 20 г и масса бруска m2 = 5 кг.

Ответ:   arccos 1  m1 v
2 2
 2m gl   15 .
2
2
1.7. На скамье Жуковского стоит в центре человек и держит в руках стержень,
расположенный вертикально по оси вращения. Скамья с человеком вращается с угловой
скоростью 1 = 1 рад/с. С какой угловой скоростью 2 будет вращаться система, если
повернуть стержень в горизонтальном положении так, что его середина совпадает с осью
вращения? Длина стержня l = 2,4 м, его масса m = 8 кг. Суммарный момент инерции
скамьи и человека J0 = 6,0 кгм2.
Ответ: 2 = 12J01/(12J0 + ml 2) = 0,61 рад/с.
1.8. Средняя высота h спутника над поверхностью Земли равна 1600 км. Определите его
скорость.
Ответ: v 
GM З  RЗ  h   7,07 км/с .
1.9.Космический корабль движется относительно неподвижного наблюдателя на
Земле
со скоростью v = 0,99с. Найдите, как изменяются линейные размеры тел (l/l0) в ракете (по
линии движения) для неподвижного наблюдателя.
Ответ: l/l0 = 0,14.
1.10. Чему равно отношение потенциальной энергии материальной точки, совершающей
свободные незатухающие гармонические колебания по закону х = Аsint, к ее
кинетической энергии для момента времени t = T/8 с (T – период колебаний), если
начальная фаза колебаний равна нулю?
Ответ: 1
ВАРИАНТ № 2
2.1.Мяч,брошенный
вертикально
вверх,
упал
на
t = 3 с. Определите величину скорости v0 мяча в момент падения.
Ответ:
Землю
через
v0  gt 2  14,7 м/с .
2.2.Диск
радиусом
R
=
20
см
вращается
согласно
уравнению
3
3
 = A + Bt + Ct . Здесь: A = 3 рад, В = 1 рад/с, C = 0,1 рад/с . Определите: тангенциальное,
нормальное и полное ускорения для момента времени t = 10 с.
Ответ: а = 6RCt = 1,2 м/с2; аn = 2R = (B + 3Ct2)2R = 168 м/с2;
a  an2  a2  an  168 м/с2 .
2.3. Тело массой m = 2,5 кг движется вертикально вниз с ускорением а = 19,6 м/с2.
Определите силу F, действующую на тело одновременно с силой тяжести mg во время
движения. Сила сопротивления воздуха Fсопр = 10 Н.
Ответ: F = m(a – g) + Fсопр = 34,5 Н.
2.4. На горизонтальном столе лежат два тела массы 1 кг каждое. Тела связаны невесомой
нерастяжимой нитью. Такая же нить связывает тело 2 с грузом m = 0,5 кг. Нить может
скользить без трения по горизонтальному желобу, укрепленному на краю стола.
Коэффициент трения первого тела со столом 1 = 0,1, второго 2 = 0,15. Найдите: а)
ускорения, с которыми движутся тела; натяжение Т12 нити, связывающей тела 1 и 2; в)
натяжение нити Т, на которой висит груз.
Ответ: а = 1 м/с2; Т12 = 2 Н; Т = 4,5 Н.
2.5. Брусок массой m = 1 кг скользит по наклонной
плоскости (рис. 3.10); в начальный момент на вершине
высотой h =10 см его скорость равна нулю.
У
основания наклонной плоскости скорость бруска v0 = 1
м/с.
Какую работу совершает сила трения? Ответ:
A  m v02 2  gh  0,48 Дж ;


Рис. 3.10
2.6.Пуля, летевшая горизонтально со скоростью v = 400 м/с, попадет в брусок,
подвешенный на нити длиной l = 4 м, и застревает в нем. Определите угол , на который
отклонится брусок, если масса пули m1 = 20 г и масса бруска m2 = 5 кг.

Ответ:   arccos 1  m1 v
2 2
 2m gl   15 .
2
2
2.7. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R = 2 м, стоит
человек. Масса платформы М = 90 кг, масса человека m = 80 кг. Платформа может
вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр. Пренебрегая трением,
найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек пойдет вдоль
ее края со скоростью v = 2 м/с относительно платформы.
Ответ:  = 2mv/[R(2m + M)] = 0,64 рад/с.
2.8.Определите ускорение gП свободного падения на поверхности планеты, масса которой
MП в n = 318 раз больше массы Земли, а её радиус RП больше радиуса RЗ Земли в k = 11,2
раз.
Ответ: g П 
GnM З
 24,9 м/с2 .
2
(kRЗ )
2.9.Фотонная
ракета
движется
относительно
Земли
со
скоростью
v = 0,6с. Во сколько раз k замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного
наблюдателя?
Ответ: k  1
1  v c   1, 25 .
2
2.10. На горизонтальной плите лежит груз. Плита двигается вниз _ вверх, совершая
гармонические колебания с линейной частотой 1с-1. Найдите минимальную амплитуду (в
СИ), при которой груз оторвется от плоскости. Принять g = 10 м/с2.
Ответ: 0.25
ВАРИАНТ № 3
3.1. Тело, брошенное в горизонтальном направлении со скоростью v = 20 м/с с башни
высотой h, упало на землю на расстоянии s от основания башни. Причем s в k = 2 раза
больше h. Найдите высоту башни.
Ответ: h  2v
2
 gk   20, 4 м .
2
3.2.Диск радиусом R = 20 см вращается согласно уравнению  = A + Bt + Ct3. Здесь: A = 3
рад, В = 1 рад/с, C = 0,1 рад/с3. Определите: тангенциальное, нормальное и полное
ускорения для момента времени t = 10 с.
Ответ: а = 6RCt = 1,2 м/с2; аn = 2R = (B + 3Ct2)2R = 168 м/с2;
a  an2  a2  an  168 м/с2 .
3.3.
После
включения
тормозной
системы
тепловоз
массой
m = 100 т прошел путь s = 200 м до полной остановки за время t = 40 с. Определите силу
торможения.
Ответ: F  m
2s
 25 кН
t2
3.4. На платформе, вращающейся с частотой n = 30 об/мин, находится груз массой m = 0,2
кг. Груз прикреплен к центру платформы невесомой абсолютно упругой пружинкой
длиной l0 = 10 см. При вращении платформы пружинка растягивается на l = 2 см.
Определите силу F реакции пружины, принимая во внимание максимальную силу трения
покоя
 = 0,09).
между
грузом
и
платформой
(коэффициент
трения
Ответ: F  4 n m  l0  l   μmg  60 мН .
2
2
3.5. С помощью электролебедки вверх по наклонной плоскости поднимают груз, причем
канат параллелен наклонной плоскости. При каком угле  наклона плоскости к горизонту
скорость груза будет минимальной, если коэффициент трения  = 0,4, а мощность
двигателя равна 1,5 кВт?
Ответ:  = arctg(1/) = 68 12.
3.6. Три лодки массой М каждая движутся по инерции друг за другом с одинаковыми
скоростями v. Из средней лодки в крайние одновременно перебрасывают грузы массой m
каждый со скоростью u относительно лодок. Какие скорости v1, v2, v3 будут иметь лодки
после перебрасывания грузов?
Ответ: v1 = v + mu/(M + m); v2 = v; v3 = v – mu/(M + m).
3.7. Определите момент инерции стержня длиной l = 30 см и массой m = 100 г
относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от
конца стержня на 1/3 его длины.
Ответ: J = 7ml 2/9 = 7,7103 кгм2.
3.8.
Определите
период
обращения
искусственного
спутника,
движущегося
в
непосредственной близости от поверхности планеты, средняя плотность вещества которой
 = 4,8·103 кг/м3.
Ответ: T  3 (G)  1,5 ч .
3.9.Космический корабль с постоянной скоростью v = (24/25)с движется по направлению
к центру Земли. Какое время t в системе отсчета, связанной с Землей, пройдет на
корабле за промежуток времени t  = 7 с, отсчитанного по корабельным часам? Вращение
Земли и ее орбитальное движение не учитывать.
Ответ: t 
t 
1  v c 
2
 24 с .
3.10. Запишите выражение для амплитуды A свободных гармонических незатухающих
колебаний математического маятника массы m и длиной  , полная энергия которого E.
Приведите решение.
Ответ: A 
ВАРИАНТ № 4
4.1. Движение точки описывается уравнением х = 8 - 10t2 + 2t3,
где х
дано в метрах, t – в секундах. Найдите скорость и ускорение точки в момент
2 E
.
mg
времени t= 2 с.
Ответ: vx = - 16 м/с; ах = 4 м/с2.
4.2. Уравнение вращения твердого тела  = 4t2 + t. Определите частоту вращения, угловую
скорость и ускорение через 10 с после начала движения.
Ответ: n = 12,9 об/см; ώ = 81 рад/с; ε = 8 рад/с2.
4.3.
По
поверхности
льда
пущена
шайба,
которая,
пройдя
путь
s = 400 м, остановилась через t = 40 с. Определите коэффициент трения  шайбы об лед.
Ответ:  = 2s/(gt 2) = 0,05.
4.4. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, поставленной на
подставке, сжимает ее на х = 2 мм. На сколько сожмет пружину та же гиря, упавшая на
конец пружины с высоты h = 5 см?
Ответ: x  x 
x 2  2 xh  16,3 мм
.
4.5. При подъеме груза массой 2 кг на высоту h=1м сила F совершает работу А=78,5 Дж.
С каким ускорением поднимается груз?
Ответ: а = 29.4 м/с2
4.6. С какой по величине и направлению скоростью должен прыгнуть человек массой m,
стоящий на краю тележки массой М и длиной l, чтобы попасть на другой конец к моменту
остановки тележки. Коэффициент трения тележки о землю равен .
Ответ: v 
m
2 gM 2l
;
.


arctg
( m cos )2  M 2 sin 2 
2M
4.7. Платформа в виде диска может вращаться вокруг вертикальной оси. На краю
платформы стоит человек. На какой угол  повернется платформа, если человек обойдет
ее по краю и вернется в исходную точку? Масса платформы М = 240 кг, масса человека m
= 60 кг. Момент инерции для человека считать как для материальной точки.
Ответ:  = 4m/(2m + M) = 2/3;  = 120.
4.8. Определите первую космическую скорость v1 вблизи планеты Марс, если радиус этой
планеты RМ = 3380 км, а её средняя плотность М = 3,96·103 кг/м3.
Ответ: v1  2RМ πGρМ 3  3,6 км/с .
4.9. В лабораторной системе отсчета (К-система) -мезон с момента рождения до момента
распада пролетел расстояние l = 75 м. Скорость -мезона v = 0,995с. Определите
собственное время жизни 0 мезона.
Ответ:
0 
l
1  v2 c 2  25 нс .
v
4.10. Определите логарифмический декремент затухания математического маятника
длиной 1 м, если за 10 с амплитуда колебаний уменьшается в е3 раз (е – основание
натурального логарифма е = 2,71 _ основание натурального логарифма). Период колебаний
определять как для маятника, колеблющегося без затухания. Ускорение свободного
падения g принять равным 10 м/с2.
.Ответ: 0.6.
ВАРИАНТ № 5
5.1. Материальная точка движется по прямой. Уравнение ее движения х = 5 + 2t2 + t4. Определите
мгновенную скорость и ускорение точки в конце второй секунды от начала движения, а также ее
среднюю скорость.
Ответ: vx = 40 м/с; ах = 52 м/с2; vср = 12 м/с.
5.2. Равноускоренно вращающееся колесо достигло угловой скорости  = 20 рад/с через
N = 10 оборотов после начала вращения. Найдите угловое ускорение  колеса.
Ответ:  = 2/(4N) = 3,2 рад/с2.
Ответ: s = mL/(M + m).
5.3. Тело массой m = 2,5 кг движется вертикально вниз с ускорением а = 19,6 м/с2.
Определите силу F, действующую на тело одновременно с силой тяжести mg во время
движения. Сила сопротивления воздуха Fсопр = 10 Н.
Ответ: F = m(a – g) + Fсопр = 34,5 Н.
5.4. Через блок массы m = 0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвешены
грузы массами m1 = 0,3 кг и m2 = 0,5 кг. Определите силы натяжения шнура Т1 и Т2 по обе
стороны блока во время движения грузов, если массу блока можно считать равномерно
распределенной по ободу. Шнур невесом, трением при вращении блока пренебречь.
Ответ: Т1 = 3,53 Н; Т2 = 3,92 Н.
5.5.Акробат массой m = 60 кг прыгает с высоты h = 10 м на растянутую сетку. На сколько
прогнется при этом сетка? Когда акробат стоит неподвижно на сетке, ее статический
прогиб x = 5 см.
Ответ: x  x 
x 2  2hx  1 м .
5.6. На спокойной воде пруда стоит лодка длиной L и массой М перпендикулярно берегу,
обращенная к нему носом. На корме стоит человек массой m. На какое расстояние s
приблизится лодка к берегу, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Трением о воду
и воздух пренебречь.
Ответ: s = mL/(M + m).
5.7 . Маховик вращается с частотой n= 10 об/с. Его кинетическая энергия равна 7,85 кДж.
За какое время момент сил М=50 Н*м , приложенный к маховику, увеличит угловую
скоростьw маховика вдвое?
Ответ: 5 с
5.8.Ускорение свободного падения на Луне gЛ = 0,17g, где g – ускорение свободного
падения на Земле. Диаметр DЛ Луны в 3,7 раза меньше диаметра DЗ Земли. Во сколько раз
масса Земли больше массы Луны?
2
MЗ
g  DЗ 

Ответ:

  81 .
M Л g Л  DЛ 
5.9. При какой скорости кинетическая энергия частицы равна ее энергии покоя?
Ответ: v 
3 4  с  2,6 108 м/с .
5.10. Во сколько раз энергия колебаний уменьшится за один период, если
логарифмический декремент затухания равен 0,01?
Ответ: в e 0,02 раз.