Урок №1

Физика. Урок №1
Тема: «Кинематика прямолинейного и криволинейного движений».
Задача 1
Кинематическое уравнение прямолинейного движения материальных точек имеют
вид: x1 = 8 + t и x2 = -16 + 4t, где x и t – соответственно координата и время измерены в
метрах и секундах. Найдите координату места встречи материальных точек и промежуток
времени, который пройдёт до момента встречи от начала счёта времени. Задачу решить
графически.
Дано: x1 = 8 + t, x2 = -16 + 4t
xвст – ? tвст – ?
Решение:
Для решения задачи графическим методом необходимо построить график зависимости
x=f(t).
Пересечение графиков символизирует момент встречи.
Из графика видно, что tвст=8 c, xвст=16м.
Эти данные можно получить аналитически, приравняв координатные зависимости от
времени материальных точек в момент встречи: -16 + 4tвст = 8 + tвст. Из уравнения
следует, что встреча произошла в момент tвст = 8с. Координата встречи для каждой
материальной точки в этот момент времени равна xвст =16 м.
Задача 2
Движение тела (материальной точки) происходит по закону x1 = -10 + 5t, где x и t -координата и время соответственно в метрах и секундах. Спустя t1 = 10 с после начала
отсчёта времени тело изменяет направление своего движения на противоположное и,
двигаясь равномерно и прямолинейно, за следующие t2 = 5 с приходит в начало
координат. Построить график зависимости скорости тела от времени. Используя график,
найти среднюю путевую скорость <v> тела.
Дано: x1 = -10 + 5t, t1 = 10 с, , x = 0/
v = f(t) – ? <v> – ?
Решение:
Движение тела на первом участке в течение t1 = 10 с происходило равномерно и
прямолинейно со скоростью v1x = 5 м/с в положительном направлении оси ОХ. За это
время тело переместится в точку с координатой x = 40 м ; чтобы за следующие t2 = 5 с
тело могло вернуться в начало координат, оно должно двигаться в противоположном
направлении по закону x2 = 40 – 8t , т.е. проекция скорости v2x = – 8 м/с.
График зависимости проекции скорости от времени показан на рис.
Для нахождения средней путевой скорости надо использовать формулу <v> =S/t, где S
и t – весь путь, пройденный за всё время движения t = t1 + t2 = 15 с.
На графике весь путь численно равен сумме площадей, заштрихованных
прямоугольников S = S1 + S2 = 90 м. Следовательно, <v> = 6м/с.
Задача 3
Материальная точка движется вдоль вертикальной оси ОY так, что кинематическое
уравнение движения имеет вид y = 60t - 5t2 (м). Во сколько раз отличаются модули
скоростей точки в моменты времени t1 = 2 c и t2 = 7 с после начала отсчета времени?
Дано: y = 60t - 5t2 (м), t1 = 2 c, t2 = 7с.
v1/v2 – ?
Решение:
Из приведённого уравнения движения ( общий вид которого y = y0 + v0t – (at2)/2 )
определяем параметры движения: v0 = 60 м/с, а = 10 м/с2. используя полученные данные,
составляем уравнение зависимости скорости материальной точки от времени, которое
имеет вид v = 60 – 10t (м/с). Следовательно, в момент времени t1 = 2 c модуль скорости
точки v1 = 40 м/с; в момент времени t2= 7 с он равен v2 = 10 м/с.
Окончательный ответ: модули скоростей точки в указанные моменты времени
отличаются в 4 раза.
Задача 4
На рисунке представлены зависимости координат автобуса (А) и легкового
автомобиля (М) от времени. Чему равен модуль их относительной скорости?
Решение:
Используя график движения автобуса и легковой машины, можно определить
проекции их скоростей в системе отсчета, связанной с землей. Проекция скорости
автобуса численно равна тангенсу угла наклона графика к оси абсцисс, т.е. v1x= - 40/60
(км/мин); соответственно проекция скорости легковой машины v2x = 80/60 (км/мин). См.
рис. 1.
Для нахождения модуля скорости автобуса относительно машины необходимо:
1). принять машину за неподвижную систему отсчета О;
2). принять Землю за подвижную систему О’ ;
3). Принять автобус за тело.
Тогда, согласно закону сложения скоростей, скорость автобуса относительно машины
(vотн) равна векторной сумме скоростей автобуса относительно подвижной системы
отсчета О’ (v1) и подвижной системы отсчета О’ (Земли) относительно неподвижной О
(машины) (vз), т.е.:
vотн = v1 + vз. См. рис. 2.
Так как эти вектора направлены вдоль одной прямой, то модуль относительной
скорости автобуса равен: |vотн| = 120/60 км/мин = 120 км/ч.
Задача 6
Тело брошено со скоростью v0 под углом α к горизонту. Пренебрегая
сопротивлением воздуха, определить дальность полета тела.
Дано: v0 , α.
S–?
Решение
Для решения задачи выберем систему отсчета ХОY, связанную с землей (рис. 1).
Рис.1
Согласно принципу суперпозиции (независимости) механических движений,
представим движение тела под углом к горизонту в виде совокупности двух движений:
равномерного вдоль оси ОХ со скоростью vx = v0 cos α , равнопеременного вдоль оси
ОY с начальной скоростью v0y = v0 sin α и ускорением свободного падения g.
Обозначим время движения тела t. Тогда дальность полета S = v0 cos α t. для
нахождения времени полета t = 2τ (где τ – время подъема (падения) тела на
максимальную высоту ) используем формулу 0 = v0 sin α – g τ , которая в теории имеет
общий вид (vy = v0y – gt).
Получим, что t = (2v0 sin α)/g ; следовательно дальность полета тела
S = (v02 sin 2α)/g .
Задача 7
Определить, под каким углом α к горизонту брошено тело, если его дальность полета
равна максимальной высоте подъема. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Дано: S = H .
a–?
Решение
Выполните самостоятельно рисунок так, чтобы дальность полёта S была равна
максимальной высоте подъема Н. Обозначим начальную скорость тела v0. Тогда S =
(v02 sin 2α)/g (результат предыдущей задачи).
Максимальную высоту подъема можно определить по формуле:
H = v0 sin α . τ – gτ2 /2,
где τ =( v0 sin α)/g – время подъема при равнозамедленном движении вертикально
вверх, или по формуле H = gτ2 /2 , где τ – время падения тела с максимальной высоты
до Земли. В обоих случаях H =( v02 sin2 α)/2g. Приравнивая, согласно условию задачи,
дальность полета и максимальную высоту подъема тела, имеем равенство
(2v02 sin α cos α)/g = ( v02 sin2 α)/2g ,
из которого следует, что tg α = 4.
Это означает, что угол α = arctg 4, или α = 76о.
Задача 8
Тело брошено с некоторой начальной скоростью под углом к горизонту. При этом
дальность его полета равна максимальной высоте подъема. Пренебрегая сопротивлением
воздуха, определить, во сколько раз квадрат максимальной скорости тела больше квадрата
минимальной скорости во время полета.
Дано: S = H
v2max
v2min
?
Решение
Для решения данной задачи необходимо определить, в какие моменты времени
квадрат скорости тела будет иметь максимальное и минимальное значения.
Воспользовавшись принципом суперпозиции, можно сделать вывод, что максимальная
скорость тела vmax = v0 соответствует моментам броска и приземления, а минимальная –
моменту подъема на максимальную высоту vmin = vx = v0 cos α .
Следовательно, отношение:
v2max/ v2min = 2v20 /(2 v02 cos2 α) = 1/ cos2 α , или
v2max/ v2min = 1 + tg2 α
Решение предыдущей задачи является следующим этапом. Условие S = H позволило
нам получить ответ tg α = 4, что необходимо использовать в дальнейшем для получения
окончательного ответа.
Таким образом, v2max/ v2min = 17.
Задача 9
Линейная скорость точки на ободе велосипедного колеса равна 2,0 м/с, а скорость
точки на спице, расположенной на 10 см ближе к центру колеса, равна 1,5 м/с. Определить
радиус колеса и его угловую скорость.
Дано: v1 – 2,0 м/с, v2 = 1,5 м/с, l =10 см = 0,1 м .
R–?ω–?
Решение
Поскольку в условии задачи ничего не говорится о движении велосипеда, то
необходимо рассматривать самую простую модель – вращательное движение точек колеса
относительно центра (рис.2).
Рис.2
Угловая скорость вращения точки колеса связана с линейной скоростью
соотношением v = ωr , где r – радиус вращения точки. Угловая скорость всех точек колеса
имеет одну и ту же величину. Следовательно, для двух заданных в условии задачи точек
можно записать соотношение:
ω = v1 / R = v2 / (R – l)
и получить формулы для вычисления радиуса колеса и его угловой скорости:
R = v1l / (v1 – v2) , ω = (v1 – v2) / l , R = 0,4 м , ω = 5,0 рад/с .
Задача 10
Линейная скорость точки на ободе велосипедного колеса равна 2,0 м/с . Определить
скорость велосипеда, а также модуль и направление относительно земли скорости точки
обода колеса, для которой радиус, проведенный из центра колеса, составляет угол 60о с
горизонтом.
Дано: vл = 2,0 м/с , α = 600 .
vв– ?
v1 – ? β – ?
Решение
Поскольку в условии задачи ничего не говориться об особенностях движения
велосипеда, то выбираем самую простую модель его движения. Считаем, что велосипед
равномерно движется по горизонтальной, ровной дороге без буксовки, т.е. колеса
велосипеда не проскальзывают относительно земли. Как в этом случае скорость
велосипеда связана со скоростью движения точек на ободе колеса? Очевидно, что центр
колеса, прикрепленного к велосипеду, движется относительно земли со скоростью
велосипеда, а точки на ободе вращаются относительно него (рис 3).
Рис.3
За время одного оборота t = T точка А на ободе колеса описала относительно центра
колеса окружность длиной l = 2πR = vлT , а центр колеса вместе с велосипедом
переместился вдоль земли на такое же расстояние l = vвT .
Следовательно, модуль скорости велосипеда в этом случае равен модулю линейной
скорости точки обода колеса:
vв = vл = 2 м/с .
Точка на ободе участвует одновременно в двух движениях: вращательном
относительно центра колеса и поступательном относительно земли. Введем две системы
отсчета: неподвижную, связанную с поверхностью земли, и подвижную, связанную с
центром колеса (рис. 4).
Рис.4
Согласно теореме сложения скоростей, скорость точки относительно неподвижной
системы отсчета равна v = v’ + u , где v’ = vл – скорость точки относительно подвижной
системы отсчета, u = vв – скорость подвижной системы относительно неподвижной. На
рис.4 построен вектор искомой скорости v1 . Из треугольника скоростей:
v1 = √ v2в + v2л – 2vвvл cos(180o – 60o) = vл√3 ,
v1 = 3,4 м/с , β = 330о = – 30о .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0=10 м/с. Чему равна
средняя путевая скорость тела <v> за всё время движения (от начала броска до
возвращения в исходную точку)? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Задача 2
От поезда, который двигался равномерно и прямолинейно, отцепляется последний
вагон. Поезд продолжает двигаться равномерно с той же скоростью, а вагон движется
равнозамедленно до остановки. Чему равно отношение путей, пройденных поездом и
вагоном к моменту его остановки?
Задача 3
Катер проходит расстояние между двумя пунктами за t1 = 3 ч, а обратно за t 2= 6 ч. За
какое время катер пройдёт это расстояние при выключенном моторе?
Задача 4
Капля дождя падает вертикально вниз с постоянной скоростью и попадает на
вертикальное боковое стекло автобуса, движущегося со скоростью v = 54 км/ч.
Траектория капли составляет с горизонталью угол 30о. Чему равна скорость капли
относительно земли?
Задача 5
Первое тело половину пути двигалось со скоростью v1 = 40 км/ч, а вторую половину
своего пути – со скоростью v2 = 60 км/ч. Второе тело на этом же пути половину времени
двигалось со скоростью v1 = 40 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью v2 = 60
км/ч. Во сколько раз средняя скорость первого тела <v1> отличается от средней скорости
второго <v2> ?
Задача 6.
Тело брошено под углом α<π/2 к горизонту со скоростью v0. Через какой промежуток
времени после бросания скорость будет составлять угол β с горизонтом?
Задача 7.
Из шланга для полива огорода бьет струя под углом α = 45o к горизонту. Шланг держат
в руке на высоте h = 1м над поверхностью земли. Струя воды вылетает из шланга со
скоростью v = 10 м/с. Площадь сечения S = 1,8 см2. Определить массу воды, находящейся
в воздухе?
Задача 8.
На наклонную плоскость с углом наклона α = 30о свободно падает с высоты h = 1,8 м
мячик. Считая удар абсолютно упругим, определите на каком расстоянии от точки
первого удара произойдет второй удар.
Задача 9.
Найдите линейную скорость и центростремительное ускорение точек на экваторе
Земли. Радиус Земли R = 6400 км.
Задача 10.
Стержень длиной l = 2,5 м вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси,
перпендикулярной этой плоскости. Если при угловой скорости вращения ω = 4,0 рад/с
модуль центростремительного ускорения одного конца стержня а1 = 10 м/с2. Найти
модуль центростремительного ускорения второго конца стержня.