Лекция 12. Модель оценки финансовых активов

1
27.11.07
Модель оценки финансовых активов
Простейшая модель равновесия на финансовом рынке
Будем считать, что в обращении находится l видов дисконтных ценных бумаг.
Каждый из n инвесторов имеет начальный портфель (1,…, l). Рассмотрим задачу
инвестирования на заданный период времени.
Будем предполагать, что инвесторам известен прогноз цен (q1,…,ql) на конец
планового периода. Тогда ценность портфеля (x1,…,xl) естественно отождествлять с его
стоимостью в конце планового периода
l
q x
i
. При формировании портфеля естественно
i
i 1
возникает финансовое ограничение
l
l
p x p
i
i
i
i 1
i
, где (p1,…,pl) – цены на момент
i 1
формирования портфеля.
Попробуем оценить функцию спроса инвестора. Он решает задачу линейного
программирования
l
q x
i
i
 max ,
i 1
l
l
i 1
i 1
 p i x i   p i i ,
xi≥0, i=1,…,l.
i
Сделаем замену переменных X =pixi. Задача примет вид
l
qi i
X  max ,

i
i 1 p
l
l
i 1
i 1
 X i   p i i ,
Xi≥0, i=1,…,l.
Экономисты
часто
используют
величину
Yi 
qi  pi qi
 i 1 ,
pi
p
называемую
доходностью. В этих терминах задача перепишется в виде
l
l
i 1
i 1
l
l
 Y i X i   X i   Y i X i   pi i  max ,
i 1
l
i 1
l
X  p
i
i 1
i
i
,
i 1
Xi≥0, i=1,…,l.
Теперь очевидно, что решением данной задачи является всякое распределение
средств, в котором Xi>0 только для тех ценных бумаг, для которых доходность
максимальна. В общем случае функция спроса является неоднозначной.
Конкретизируем ее следующим образом. Обозначим i – количество бумаг i-го
вида, находящихся в обращении. Положим
l
 i
p iki , если i  J ( p ),


j

X ki ( p)     i 1
jJ ( p )

0 в противном случае,



где J ( p)  i {1,..., l}: Y i  max Y j .
147336699 19.01.16
1 j l
2
При любом p портфель ( X k1 ( p),..., X kl ( p)) будет оптимальным для k-го инвестора.
X ki ( p)
Положим x ( p) 
и стандартным образом определим функцию избыточного спроса
pi
i
k
n
n
k 1
k 1
 ( p)   xk ( p)   k .
Непосредственно проверяется, что все решения уравнения (p)=0 имеют вид
(tq1,…,tql), где t – произвольное положительное число.
Учет неопределенности прогноза
Усложним модель. Будем считать, что прогнозные цены (q1,…,ql) являются
случайными величинами с известным инвесторам законом распределения. Предположим,
что инвесторы в своей деятельности ориентируются на математическое ожидание
выигрыша. Тогда перед каждым из них стоит задача
l
l
  q i xi   q i xi  max ,
i 1
i 1
l
l
p x p
i
i 1
i
i
i
,
i 1
xi≥0, i=1,…,l.
Эта задача имеет ту же структуру, что и предыдущая, поэтому и в ней имеются
равновесные цены, задаваемые условием (tq1,…,tql), где t – произвольное
положительное число.
Модель Марковича
Еще усложним рассматриваемую модель, пытаясь учесть отношение инвестора к
риску, связанному с неопределенностью задания прогноза. Будем считать, что инвестор
оценивает портфель по двум критериям: математическому ожиданию S его конечной
стоимости
l
S ( x)   q i xi
и стандартному отклонению
 ( S )   ( S  S ) 2
этой
i 1
случайной величины.
Цели инвестора будем описывать некоторым предпочтением
на двумерном
пространстве этих критериев. Естественно предполагать, что это предпочтение
удовлетворяет следующим условиям монотонности:
1. (S,) (S,), если ≥;
2. (S,) (S,), если S≥S.
Это предпочтение задает предпочтение
на множестве портфелей условием x x
тогда и только тогда, когда (S(x),(S(x))) (S(x),(S(x))).
Будем дополнительно предполагать, что предпочтение
является непрерывным и
строго выпуклым. Тогда предпочтение будет непрерывным и строго выпуклым.
Докажем последнее утверждение. Пусть x и x – два портфеля, а x=x+(1–)x.
Тогда S(x)=S(x)+(1–)S(x), а
 ( S ( x))   2 ( S ( x))2  2 (1   ) cov( S ( x), S ( x))  (1   ) ( S ( x)) 2 
  2 ( S ( x))2  2 (1   ) ( S ( x))  (1   ) ( S ( x)) 2   ( S ( x))  (1   ) ( S ( x)),
откуда с использованием монотонности и выпуклости получается нужный результат.
Теперь используя теорему Эрроу–Дебре можно утверждать, что при сделанных
предположениях на таком рынке существует равновесная цена.
147336699 19.01.16
3
Учет наличия безрисковых активов
При заданных (равновесных) ценах p конечная стоимость портфеля (X1,…Xl) равна
l
l
l
l
i 1
i 1
i 1
i 1
S   Y i X i   X i . Ее математическое ожидание равно  S    Y i X i   X i , а
стандартное отклонение

1
2
2
2

1
2

 

2
 ( S )   S 2    S       Y i X i      Y i X i   


l
 i 1


l
 i 1
 
1
l
l
 l l
2
   Y iY j X i X j    Y i  Y j X i X j  
i 1 j 1
 i 1 j 1

1
l
l
  l l
 2
   Y iY j X i X j   Y i Y j X i X j  
i 1 j 1
  i 1 j 1

1
l
l
l
l
l
l
  l l
 2
   Y iY j X i X j    Y i  Y j X i X j   Y i Y j X i X j   Y iY j X i X j  
i 1 j 1
i 1 j 1
i 1 j 1
  i 1 j 1

1
1
  l l
 2  l l
2
   (Y i   Y i )(Y j   Y j ) X i X j      (Y i   Y i )(Y j   Y j ) X i X j  
  i 1 j 1

 i 1 j 1

1
 l l
2
   cov(Y i , Y j ) X i X j  .
 i 1 j 1

Допустим, имеется возможность вкладывать средства и получать кредит по одной и
той же точно известной ставке Y0. Такую возможность будем описывать индексом 0.
l
l
Тогда предыдущие формулы перепишутся в виде  S    Y i X i   X i и
i 0

l
i 0

l
1
2
 ( S )   cov(Y i , Y j ) X i X j  ,
 i 1 j 1

где Y =Y , а X в зависимости от знака объем безрисковых вложений или кредита.
Найдем оптимальный способ действий инвестора в такой ситуации в
предположении гладкости его функции полезности u(X0,X1,…,Xl)=U(S,(S)). Для данного
инвестора задача сводится к поиску максимума функции U(S,(S)) при ограничении
0
0
0
l
l
i 0
i 1
 X i   p i i .
Функция Лагранжа этой задачи имеет вид
l
 l

U (S ,  ( S ))     X i   p i i  .
i 1
 i 0

Отсюда получаем необходимые условия экстремума
U1Y 0   ,
l
 cov(Y , Y
i
U1Y i  U 2
j 1
 (S )
j
)X j
  , i=1,…,l,
где U1 и U2 – производные функции U по первому и второму аргументам соответственно в
точке (S,(S)).
147336699 19.01.16
4
Для поиска величин X1,…,Xl получаем систему линейных однородных уравнений
l
 cov(Y , Y
i
j
) X j  0 , i=1,…,l,
j 1
не зависящую от функции U, а значит от отношения инвестора к риску.
Равновесие на рынке ценных бумаг
1. Модель Марковича
2. Выпуклость
 Определение. Линия уровня выпукла в сторону начала координат если для
любых точек A и B на линии и любой точки C на AB отрезок OC пересекает
линию.
 Теорема. Если функция строго монотонна и строго кавзивогнута, то линии
уровня выпуклы в сторону начала координат.
3. Замкнутый рынок
4. Равновесие
5. Связь с равновесиями по Нэшу
IV Модель оценки финансовых активов (Capital asset pricing model).
1. Методология
 Интерпретируемость гипотез
 Проверка результатов
2. Гипотезы
 Одинаковая информация
 Однородные ожидания
3. Теорема о разделении
 Рыночный портфель
 Торговля временем и риском
4. Рыночная линия ценной бумаги
 Ковариация бумаги с портфелем
 Связь доходности и ковариации
5. Рыночная модель
6. Факторные модели
7. Предсказуем ли рынок
 Детерминизм
 Стохастика
 Либерализм
 Информационные агрегаты
Задачи
1.
Литература
1. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. М,: Инфра-М, 1997.
147336699 19.01.16