Филиал Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова в г. Ташкенте Каримов Анвар Маратович ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА на тему «Моделирование движения на целочисленной прямой при помощи автомата с краской» по направлению 010500 - «Прикладная математика и информатика» рассмотрена и рекомендована к защите Зав. кафедрой «МаТИС» д.ф.-м.н., профессор Научный руководитель: н.с. _________Кудрявцев В.Б. ______________ ВолковН.Ю. «___»____________2014год «___»_________2014год Ташкент 2014 Содержание 1. Введение 2. Определения и постановка задачи 3. Полученные результаты 4. Список использованной литературы Введение. В настоящей работе исследуется траектории конечного автомата с конечным числом красок на целочисленной прямой. Цель моей работы заключается в том, чтобы разобраться в каких случаях траектории автомата с краской периодические, а в каких не периодические. Для подкласса автоматов с краской, которые не используют возможности движения влево (и для симметричного подкласса автоматов, не использующих возможность движения вправо) показано, что траектории таких автоматов на прямой – периодические. Также удалось доказать периодичность траекторий всех автоматов из класса К(1,n, 0) автоматов с одним состоянием, с n красками и с нулевым обзором (когда автомат видит только клетку, в которой находится). В то же время, показано, что в классе К(2,1,0) – автоматы с двумя состояниями, одной ненулевой краской и нулевым обзором, существует автомат с непериодической траекторией. Автор выражает благодарность Н. Ю. Волкову за научное руководство. Определения и постановка задачи. Обозначим множества натуральных и целых чисел, как ℕ и ℤ, соответственно. Положим ℕ0 = ℕ⋃{0}. Множество клеток, на которые плоскость разбивается целочисленной решеткой, обозначим ℤ2 . Определим подмножество ℤ2 – бесконечную в обе сторону ленту, разбитую на клетки: 𝐿(1) = {(𝑥, 𝑦)| 𝑦 = 1, 𝑥 ∈ ℤ}(рис. 1). (рис. 1). Каждой клетке бесконечной в обе стороны ленты сопоставлена координата её нижнего левого угла. Отрезок из клеток, находящихся от клетки 𝑥0 на расстоянии, не превосходящем r, назовем r-окрестностью клетки 𝑥0 𝐷𝑥0 ,𝑟 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐿(1), |𝑥 − 𝑥0 | ≤ 𝑟} Будем считать, что задана нумерация клеток множества 𝐷𝑥0 ,𝑟 - слева направо, т.е. первая клетка отрезка – самая левая, последняя – самая правая. Момент времени 𝑡 ∈ ℕ0 - является моментом хода с номером 𝑡 автомата. Промежуток времени [𝑡, (𝑡 + 1)] называется тактом с номером 𝑡. Время взаимодействия автоматов будем измерять в тактах. Под автоматомс краской будем понимать инициальный конечный автомат вида W= (A, Q, B, C, φ, ψ, ψ′, q 0 ), где A — входной алфавит, B — выходнойалфавит, С – выходная краска, Q— внутренний алфавиты автомата W, φ: Q × A → Q, ψ: Q × A → B,ψ’: Q × A → C— функции переходов и выходов W, соответственно, q 0 ∈ Q — его начальное состояние. Алфавит A определяет возможностиавтомата W “видеть” происходящее вокруг, а алфавит B — его возможности перемещаться, а алфавит С его возможности красить лабиринт. Алфавит Q и функции φ, ψ и ψ’ задают внутреннюю логику автомата W. Рассмотрим автомат W, перемещающийся по 𝐿(1). Выходным алфавитом W является множество 𝐵 = {−𝑉, −𝑉 + 1, … , 𝑉 − 2, 𝑉 − 1, 𝑉}, где параметр V ∈ называется скоростью автомата W. В качестве входного алфавита будем рассматривать А = С{−𝑅,−𝑅+1,…,𝑅−2,𝑅+1,𝑅} , зависящее от параметра R ∈ , называемого обзором автомата W. Автомат со скоростью V и обзором R будем обозначать как W (R, V). Пусть W (R, V) находится в клетке 𝑥0 (𝑡).Множество 𝐷𝑥0 ,𝑉 называется окрестностью хода W, а множество 𝐷𝑥0 ,𝑅 – зоной обзора W. Находясь в клетке 𝑥0 автомат, в качестве входного символа, получает набор цветов, в которые покрашены клетки от (𝑥0 − 𝑅)до (𝑥0 + 𝑅). Получив на выходе в момент времени tвыходной символ 𝑏 𝜖 {−𝑉, −𝑉 + 1, … , 𝑉 − 2, 𝑉 − 1, 𝑉}автомат Wв момент времени t + 1 окажется в клетке𝑥0 + 𝑏т.е. при 𝑏 > 0автомат передвинется на |b|вправо, при 𝑏 < 0 передвинется на |b|влево, при b = 0останется стоять на месте. Автомат с краской будет задаваться таблицей вида: Q A 𝜑(Q, A) 𝜓(Q) 𝜓′(Q) Где в столбец Q – состояния автомата, А – входной алфавит, 𝜑(Q, A) – состояние, в которое переходит автомат, 𝜓(Q) – выходной символ автомата, 𝜓′(Q) – выходная краска. За счет добавления столбца 𝜓′(Q) автоматы с красками получаются более сложные и поэтому начнем исследование с рассмотрения поведения на прямой автомата с двумя красками, двумя состояниями и единичным обзором (т. е. автомат видит клетку слева и клетку справа). Предполагаем, что каждый автомат имеет краску с номером 0 и, возможно, некоторые еще краски. Класс автоматов с n-состояниями, l- дополнительными красками (кроме нулевой) и rобзором будем обозначать K(n, l, r). Рассмотрим класс K(1,1,0) т. е. автомат с двумя состояниями, одной дополнительной краской и единичным обзором. Для определенности считается, что алфавит красок С = {0,1}, а выходные символы обозначаются B=(-1,0,1) (-1 – автомат ходит влево, 0 – автомат стоит на месте, 1 – автомат ходит вправо). Определение. Последовательность выходных символовавтомата является периодической, если найдется число 𝑇 ∈ ℕ, такое, что, начиная с некоторого момента 𝑖 = 𝑇0 (𝑇0 ∈ ℕ0 ) для любого автомата 𝑊(𝑅, 𝑉), выполняется b(i) = b(i + kT)где 𝑇 ∈ ℕ,𝑘 ∈ ℕ,где𝑇0 – предпериод, а 𝑇 – период. Полученные результаты. Обозначим через K’(n, 𝑙, r) класс автоматов, которые не делают шагов влево. Теорема1: Автомат 𝑊 𝜖 K’(n, 𝑙, 𝑟) имеет периодическую последовательность выходных символов с предпериодом𝑇0 и периодом𝑇, удовлетворяющих соотношению 𝑇 0 + 𝑇 ≤ ≤ (𝑙 + 1)𝑅+1 ∗ 𝑛 Доказательство: Предположим, что автомат движется вправо. Тогда из условия теоремы следует, что автомат не сделает шага влево ни в какой момент времени. Обозначим через 𝐶𝑥𝑖 –краску клетки xв момент времени i. Обозначим через 𝑥(𝑖)клетку, на которой находится автомат в момент времени i. Рассмотрим автомат, находящийся в момент времени 𝑡0 в клетке 𝑥0 . Автомат движется вправо, все клетки справа от автомата будут белые, поскольку, чтобы поменять цвет клетки автомату необходимо находиться на ней. Клеткилевее (𝑥0 − 𝑅 − 1) автомат никогда не увидит после момента т0. Поэтому дальнейшее поведение автомата полностью задается состоянием автомата и раскраской клеток от(𝑥0 − 𝑅) до 𝑥0 . Не позднее чем через (𝑙 + 1)𝑅+1 ∗ 𝑛 тактов найдется такой такт с номером i и j, что состояние q(i) будет таким же, что и в некоторый момент времени j. q(i) = q(j) 𝑗 𝑖 𝐶𝑥(𝑖) = 𝐶𝑥(𝑗) 𝑗 𝑖 𝐶𝑥(𝑖)−1 = 𝐶𝑥(𝑗)−1 . . . 𝑗 𝑖 𝐶𝑥(𝑖)−𝑅 = 𝐶𝑥(𝑗)−𝑅 Отсюда следует, что выходные символы автомата периодичны. Теорема доказана. Теорема 2: В классе К(2,1,0) существует автомат с непериодической траекторией. Доказательство: Для доказательства теоремы используем пример автомата с непериодической траекторией из К(2,1,0). Номер автомата 1. Q A 𝜑(Q, A) 𝜓(𝑄) 𝜓′(𝑄) q1 0 q2 => 1 q2 0 q1 <= 1 q1 1 q1 <= 1 q2 1 q2 => 1 Данный автомат является автоматом из К(2,1,0) и он имеет не периодическую траекторию. Теорема 3:Любой автомат из K(1,n,0), где n≥ 1, имеет периодическую последовательность выходных символов и периодическую последовательность выходных красок. Доказательство: Рассмотрим автоматы, у которых первая строка имеем вид: Q A 𝜑(Q, A) 𝜓(Q) 𝜓′(Q) q 0 q => * Данный автомат может ходить в право и красить клетку в любую из nкрасок. Поскольку автоматы красят, а потом делают ход и у автомата одно состояние, то отсюда следует, что входные данные у автоматов не меняются, а из этого следует, что и выходные данные будут одинаковые. Таким образом автомат будет выполнять только эту строку таблицы и движение будет периодическим. Аналогично доказывается для автомата. Q A 𝜑(Q, A) 𝜓(Q) 𝜓′(Q) q 0 q <= * Далее рассматриваем автоматы, которые стоят на месте при любой входной краске. Данные автоматы имеют такой вид: Q A 𝜑(Q, A) 𝜓(Q) 𝜓′(Q) q 0 q || * Очевидно, что какой бы не была входная краска данный автомат будет стоять на месте и выходные символы автомата будут иметь периодическую последовательность. Далее рассмотрим более сложные автоматы. Возьмем некоторое k, где 1 <k<n,k∈ 𝑁. Обозначим через kколичество тактов при которых автомат будет стоять на месте, тогда на k + 1 такте автомат сделает ход в право(влево). Поскольку автоматы красят, а потом делают ход и у автомата одно состояние следует, что входные данные у автоматов повторятся, а из этого следует, что и выходные данные также повторятся. Следовательно возникнет период. Теорема доказана. Список использованной литературы [1] Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколзин А.С. "Введение в теорию автоматов", Наука, 1985. [2] Волков Н.Ю. "Об автоматной модели преследования", 2007.