Document 297813

Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Мастер-класс профессора Боголепова Игоря Ильича: лекция
«Теория вероятностей и математическая статистика
в строительной акустике».
Главная аудитория Инженерно-строительного факультета СанктПетербургского государственного политехнического университета.
11 мая 2011 года.
Введение
Завершение чего-то есть начало другого: сегодня на Инженерно-строительном факультете
СПбГПУ коллоквиумом завершается строительная акустика (И.И. Боголепов. Строительная
акустика. 2006), сегодня данной лекцией начинается теория вероятностей и математическая
статистика в технике (И.И. Боголепов. Теория вероятностей и математическая статистика в
технике. 2011). Новый курс лекций, прежде чем читать, его надо написать. Я прочитаю небольшой
фрагмент из нового, только что написанного, курса лекций. Но, сначала вспомним: что это за
наука «теория вероятностей и математическая статистика»? Дело в том, что наблюдаемые нами
события можно подразделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные. Достоверным
называется событие, которое обязательно произойдет. Невозможным – событие, которое в данных
условиях заведомо не произойдет. Случайным называют событие, которое может либо произойти,
либо не произойти. Оказывается, что случайные события в массовых процессах подчиняются
определенным закономерностям. Например, при большом числе бросания монеты в результате
будет половина «орел» и половина «решка». Или − в этом помещении мы будем измерять в
разных точках уровень звукового давления. В результате при большом количестве точек
измерения получим зависимость величины уровня от числа измерений в виде кривой нормального
распределения Гаусса. Науку «Теория вероятностей и математическая статистика» не надо путать
с наукой «Статистика». Слово статистика происходит от латинского status - состояние дел.
Статистика – древнейшая отрасль знаний – ей более трех тысячелетий. Она состоит их двух
частей: 1. сбор и 2. анализ массовых совокупностей. Например, данные о численности населения в
России (Федеральная служба государственной статистики Минэкономразвития РФ) или
статистика промышленного производства в США (Федеральная резервная система США). Второй
частью статистики − анализом массовых совокупностей – занимается молодая наука
«Математическая статистика», которой не более трех столетий. Фундаментом её является
«Теория вероятностей». Слово «вероятность» − математический термин, в обиходе давно звучит
близкое по смыслу слово «шанс» − возможность осуществления чего-либо («Шансы на успех»),
или «риск» − возможность удачи или неудачи («Риск – благородное дело»). Теория вероятностей
и математическая статистика – громадный раздел современной математики. Суть небольшой части
этого раздела − теории вероятностей и математической статистики в технике − состоит в
следующем. Как бы ни были совершенны расчеты, измерения, испытания и технологические
процессы, они не могут предусмотреть заранее влияния на них многочисленных случайных
факторов. Эффект их воздействия приводит так или иначе к разным результатам, иногда весьма
существенным. Необходимо уметь определять в цифрах точность и надежность результата
инженерной деятельности, зависящего от случайных факторов. Без такого определения итоги
могут оказаться ничтожными и даже опасными для людей, например, Чернобольская или СаяноШушенская катастрофы. Реальными событиями со случайными факторами занимается теория
вероятностей.
В настоящее время нет практически ни одной области знаний, где бы ни применялись методы
теории вероятностей и математической статистики. Данная лекция – пример применения этих
методов в строительной акустике.
1
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
1. Статистическая оценка диффузности поля в строительной акустике
Строительная акустика занимается решением двух проблем: 1. Созданием прекрасных по
восприятию звуков речи и музыка залов и 2. Уменьшением воздействия на человека шума в
помещениях жилых, общественных и промышленных зданий. В решении этих проблем
центральное место занимает статистическая оценка диффузности звукового поля в залах и
помещениях, которая учитывает реальные факторы. С этой целью рационально использовать
статистическую оценку звукового поля с помощью среднеквадратического отклонения
генеральной совокупности уровней звукового давления 𝐿, дБ, величины
𝛔𝑳 . Оценка
эмпирического значения среднеквадратического отклонения определяется по формуле
1
𝐬𝑳 = √𝑛−1 ∑ni=1( 𝐿i − 𝐿̅)2
,
(1.1)
где: n – число точек пространства зала или помещения, в которых производились измерения 𝐿i ;
𝐿i – уровень звукового давления, измеренный в i-вой тчке пространства камеры;
1
𝐿̅ = 𝑛 ∑ni=1 𝐿i − среднее значение уровня звукового давления.
Если выборка производится из нормальной совокупности, то величина
𝑛 𝐬𝑳 2
𝛔𝑳 2
имеет χ2 -
распределение с числом степеней свободы k и для вероятности P, которая подсчитывается так
∞
𝐏(𝜒 2 > 𝜒𝑞2 ) = 𝐏(𝜒𝑞2 < 𝜒 2 < ∞) = ∫𝜒2
1
𝑘
𝑘
𝑞 𝛤( )∙2 ⁄2
2
𝑘
𝑥
∙ (𝑥)2− 1 ∙ 𝑒 − 2 𝑑𝑥 = (𝜒𝑞2 ), имеем расчетную формулу
𝐏 (𝛔𝑳 <
𝐬𝑳 √𝑛
χ𝑞
) = (𝜒𝑞2 )
(1.2)
Примем с вероятностью (𝜒𝑞2 ), близкой к единице, наибольшее из возможных значений 𝛔𝑳 за
искомый стандарт генеральной совокупности (оценка сверху доверительного интервала) и
получим в качестве критерия диффузности звукового поля при k ≤30 следующую величину:
𝛔𝑳 =
𝐬𝑳 √𝑛
χ𝑞
(1.3)
Можно показать, что если k > 100, то с вероятностью близкой к единице наибольшее из
возможных значений генерального стандарта 𝛔𝑳 примерно равно эмпирическому значению 𝐬𝑳 и
получим критерий диффузности звукового поля для больших значений числа степеней свободы:
1
𝛔𝑳 ≅ 𝐬𝑳 = √𝑛−1 ∑ni=1( 𝐿i − 𝐿̅)2
(1.4)
Статистическая оценка диффузности звукового поля при k > 100 необходима в первую очередь
при аттестации звукомерных камер. Такие измерения, несмотря на их большой объем, надо
обязательно выполнить. Их проводят один раз для данного устройства и данной методики
измерения звукоизоляции и потом используют не только для оценки диффузности звукового поля
камер, но, что очень важно, для оценки точности и надежности измерений звукоизоляции с
наибольшей фактической точностью проведенных конкретных измерений звукоизоляции. Ниже
представлены аттестационные частотные зависимости величины 𝛔𝑳 двух пар реверберационных
камер для измерения звукоизоляции Центрального научно-исследовательского института
технологии судостроения. На Рис. 1.1. представлены эмпирические значения 𝐬𝑳 , дБ, для больших
звукомерных камер (БЗК), подсчитанные по формуле (1.1) по результатам измерений уровней
звукового давления 𝐿i , дБ, в 162 точках камеры высокого уровня (КВУ) и 162 точках камеры
низкого уровня (КНУ).
2
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Рис. 1.1. Эмпирические значения 𝐬𝑳 , дБ, для БЗК:
1 – в КВУ; 2 – в КНУ
На Рис.1.2. показаны эмпирические значения 𝐬𝑳 для малых звукомерных камер для измерения
звукоизоляции на малых моделях (МЗК), подсчитанные по формуле (1.1) по результатам
измерений уровней звукового давления 𝐿i , дБ, в 144 точках камеры высокого уровня (КВУ) и 144
точках камеры низкого уровня (КНУ).
Рис. 1.2. Эмпирические значения 𝐬𝑳 , дБ, для МЗК:
1 – в КВУ; 2 – в КНУ
С какой частоты можно считать звуковое поле в камерах диффузным?
Многолетний практический опыт дает следующий результат.
Нижняя граничная частота 𝑓гр , Гц, начиная с которой выше по частотному диапазону звуковое
поле в реверберационной камере можно считать диффузным, в зависимости от объема камеры V,
м3 , приближенно оценивается по формуле известного немецкого акустика Эрвина Майера
1000
𝑓гр ≈ 3 , Гц.
(1.5)
√V
По этой формуле в БЗК для камеры высокого уровня 𝑓гр ≈
низкого уровня 𝑓гр ≈
≈
1000
3
√4,22
1000
3
√74
1000
3
√V
=
1000
3
√114
≈ 200 Гц и для камеры
≈ 250 Гц. По формуле (1.5) в МЗК для камеры высокого уровня
≈ 630 Гц и для камеры низкого уровня 𝑓гр ≈
1000
3
√2,74
𝑓гр ≈
≈ 800 Гц.
Какие имеем результаты по статистическому анализу?
3
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Поскольку в камерах высокого и низкого уровня БЗК и МЗК n > 100 , то генеральные значения
стандарта 𝛔𝑳 определяется в зависимости от эмпирического значения стандарта 𝐬𝑳 и 𝑘 = 𝑛 – 1
по формуле
𝐬
𝛔𝑳 = 𝑳 𝑡
1 −
√2𝑛
при надежности этой оценки
𝐏 (𝛔𝑳 <
𝐬𝑳
) ≅ 0,5 + (t)
𝑡
√2𝑛
1 −
Если принять значение нормированной функции Лапласа (t) =
2
t −v
e 2
∫
√2 π 0
1
dv =0,4973 и значит P
= 0,9973 , то t = 2,79 и при n > 100 имеем 𝛔𝑳 ≅ 𝐬𝑳 .
Если принять по формуле Эрвина Майера для БЗК 𝑓гр ≈ 250 Гц, то 𝛔
̂𝑳 = 1,0 дБ. Аналогично для
МЗК − 𝑓гр ≈ 800 Гц и 𝛔
̂𝑳 = 1,0 дБ. Здесь 𝛔
̂𝑳 − наибольшее значение стандарта, при которым
звуковое поле и в БЗК и в МЗК должно по статистическому анализу считать диффузным с
надежностью P = 0,9973. Таким образом, статистическая оценка дает более точный
результат и, главное, обеспечивает измерения звукоизоляции с высокой точностью и
надежностью.
2. Эталон в строительной акустике и практика его применения
Эталоны давно используются для контроля многих видов точных измерений, в основном
метрических. Без эталонов невозможно достичь сопоставимости результатов измерений,
выполняемых в различных местах и в разное время. В связи с предельно высокими требованиями
к точности эталонов, их создание и применение требуют специальных исследований и
статистического анализа. Рассмотрим эталон звукоизоляции в строительной акустике.
Эталон звукоизоляции представляет собой пластину из алюминиево-магниевого сплава
прямоугольной формы размерами 110 мм на 1200 мм и толщиной 3 мм. Нижняя граница
области частот эталона, при которой его звукоизоляция практически не зависит от
площади и заделки по контуру, лежит в районе 500 Гц. Диффузное поле в камерах для
измерения звукоизоляции эталона находится в диапазоне выше 400 Гц. На частотах выше
8000 Гц точность испытаний звукоизоляции заметно падает. Исходя из указанных
обстоятельств, контрольный диапазон частот эталона был выбран в диапазоне от
третьоктавной полосы 500 Гц до третьоктаной полосы 6300 Гц.
Эталон звукоизоляции впервые стал применяться сравнительно недавно - примерно двадцать лет
назад (см. И.И. Боголепов. Промышленная звукоизоляция. Теория, исследование, проектирование,
изготовление, контроль. Ленинград, «Судостроение», 1986).
Звукоизоляция эталона, измеренная по международному стандарту, рассчитывается по формуле:
T S
R = LКВУ − LКНУ + 10 lg (0,16 V) .
(2.1)
Где: LКВУ - уровень звукового давления, измеренный в камере высокого уровня в дБ,
LКНУ - уровень звукового давления, измеренный в камере низкого уровня в дБ,
T – время реверберации, измеренное в камере низкого уровня в с ,
S площадь испытываемого образца в м2 и V – объем камеры низкого уровня в м3 .
Перепишем формулу (1) в виде
R=X+Y+C .
(2.2)
Где: X = (LКВУ − LКНУ ) − перепад уровней звукового давления между КВУ и КНУ;
Y = 10 lg T – реверберационная поправка по результатам измерений в КНУ;
S
C = 10 lg (0,16 V) – постоянная для данных звукомерных камер величина.
̅ при n измерениях X и m измерениях Y определяется по формуле
Звукоизоляция R
̅+Y
̅+C .
R̅ = X
(2.3)
4
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
1
1
̅ = ∑ni=1 Xi и Y
̅ = ∑ni=1 Yi − усредненные по объему камер перепад уровней звуковых
Где X
n
m
давлений и реверберационной поправки.
Величины ̅
X и̅
Y содержат случайные отклонения измеряемых величин. Это обнаруживается при
повторении измерений. Случайные отклонения можно разделить на два вида: вызванные
объективными факторами (например, статистический характер параметров звукового поля по
пространству камер) и вызванные субъективными факторами (например, случайные флюктуации
показаний при работе аппаратуры, расшифрованные различными людьми). В связи с этим, наряду
с математическими ожиданиями X0 и Y0 , характеризующими истинные значения) вводятся
обозначения величин x̅1 , x̅2 , y̅1 и y̅2 , характеризующих влияние указанных случайных факторов.
Тогда имеем:
̅
X = X0 + x̅1 + x̅2 и ̅
Y = Y0 + y̅1 + y̅2 ,
1
1
1
1
𝑛1
𝑛2
𝑚1
2
(y1 )i , y̅2 =
∑𝑚
где x̅1 = 𝑛 ∑i=1(x1 )i , x̅2 = 𝑛 ∑i=1(x2 )i , y̅1 = 𝑚 ∑i=1
i=1(y2 )i .
𝑚2
1
2
1
̅ в результате
Случайные отклонения значений звукоизоляции испытываемой конструкции R
суммарного действия объективных и субъективных случайных факторов величин ̅
X и ̅̅̅
Y равны
погрешности измерения звукоизоляции:
̅| = x̅1 + x̅2 + y̅1 + y̅2
∆R = |R 0 − R
(2.4)
Итак, погрешность испытаний ∆R равна разности между истинным значением (математическим
ожиданием) R 0 и измеренным значением звукоизоляции ̅R. Если величина ∆R при испытаниях
звукоизоляции в реверберационных камерах соответствует статистическому закону, в основе
которого лежит нормальное распределение Гаусса, то оценка точности испытаний
характеризуется предельной величиной погрешности измерения звукоизоляции ∆R с указанием её
вероятности 2 Φ(t). Эти два параметра связаны друг с другом формулой:
P(|∆R| < t ∙ 𝛔) = 2Φ(t) ,
(2.5)
где ∆R = t ∙ σ − предельная погрешность, σ − генеральное среднеквадратическое отклонение
2
𝑡
v2
+𝑡
1
v2
звукоизоляции R 0 , 2Φ(t) = 2 π ∫0 e− 2 d v = 2 π ∫− t e− 2 d v − удвоенная нормируемая функция
Лапласа, t – аргумент функции Лапласа.
Если процедура испытаний звукоизоляции выполнена N раз и результат усреднен, то в этом
случае предельная погрешность измерения звукоизоляции ∆R 𝑁 с вероятностью 2Φ(t) равна:
t
𝑡
2
v2
1
+𝑡
v2
(|∆R 𝑁 | <
∙ 𝛔) = 2Φ(t) = 2 π ∫0 e− 2 d v = 2 π ∫− t e− 2 d v .
(2.6)
√N
Из представленных формул следует, что задача определения погрешности измерения
звукоизоляции упирается в нахождении величины σ − генерального среднеквадратического
отклонения звукоизоляции. Учитывая, что величины x̅1 , x̅2 , y̅1 и y̅2 являются независимыми, а
X0 , Y0 и C − постоянными, получаем следующую теоретическую формулу для величины
генерального среднеквадратического отклонения звукоизоляции:
2
σ
𝛔 = √ nx1 +
1
σ2x2
n2
σ2y1
σ2y2
1
2
+m +m ,
(2.7)
где σ2x1 и σ2y1 – дисперсии объективных отклонений, а σ2x2 и σ2y2 – дисперсии субъективных
отклонений. Эмпирическое значение этой величины σ определяется по данным выборки
формулой
1
𝐬𝒁 = √𝑛−1 ∑ni=1( 𝑍i − 𝑍̅)2
,
(2.8)
где: n – общее число измерения величины 𝑍i , а величина 𝑍i может быть величинами Xi или Yi ;
1
аналогично величина Z̅ = 𝑛 ∑ni=1 𝑍i может быть величинами X̅ или ̅
Y.
Теперь нам надо по данным выборочного значения величины 𝐬𝒁 оценить генеральное значение
величины 𝛔𝒁 .
При k ≤30 имеем:
𝛔𝒛 =
𝐬𝒛 √𝑛
χ𝑞
(2.9)
5
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
При k >100 имеем:
1
𝛔𝒛 ≅ 𝐬𝒛 = √
𝑛−1
∑ni=1( 𝑍i − 𝑍̅)2
(2.10)
Испытания звукоизоляции эталона проводились в третьоктавных полосах частот по рабочей
формуле
1
S
1
2
̅ 𝑖 = 1 ∑ni=1
(LКВУ − LКНУ )𝑖 + 10 lg ( ∑nj=1
R
Tj ) + 10 lg 0,16 V , дБ
(2.11)
n
n
1
2
Здесь n1 число измеренных перепадов уровней звукового давления (LКВУ − LКНУ )𝑖 , n2 – число
измеренных величин времени реверберации Tj . Процедура повторялась при перемене направление
звука (камеры КВУ и КНУ менялись местами)
̅ = 1 ∑N
̅
R
R
(2.12)
𝑁 i=1 𝑖
и
̅| < 𝑡𝛼 𝝈̇ } = 2 Ф(𝑡𝛼 )(𝜒𝑞2 )
𝐏 {|R 0 − R
(2.13)
√𝐍
При аттестации эталона звукоизоляции (испытание №1 в Таблице 1.1.) измерялась его
звукоизоляция при объемах выборки n > 100. Без практически ощутимой погрешности можно
заменить
неизвестный
нам
генеральный
стандарт
𝛔𝒛
выборочным
̇
стандартом 𝐬𝒛 по формуле (2.10), в данном случае при 𝑛 = 144 , формула (13) примет вид:
̅| < 𝑡𝛼
𝐏 {|R 0 − R
𝐬𝒛
} ≅ 2 Ф(𝑡𝛼 ) =
2
𝑡𝛼 − 𝑥
𝑒 2
∫
√2 𝜋 0
2
𝑑𝑥 = 𝜶
(2.14)
̅ - выборочное значение
Здесь R 0 - генеральное значение звукоизоляции (истинное значение), R
звукоизоляции по данным выборки.
Обозначим величину разности между истинным и измеренным значениями звукоизоляции
𝐬
±𝑡𝛼 𝒛 = 𝜺 и при симметрии имеем теоретический интервал значений ∆ R т с вероятностью 𝜶:
√𝐍
√𝐍
𝐬
∆ R Т = 2𝜺 = 2 𝑡𝛼 𝒛
√𝐍
Тогда формула (2.14) примет расчетный вид:
2
𝑡
(2.15)
𝑥2
𝛼 −
(2.16)
∫ 𝑒 2 𝑑𝑥 = 𝜶
√2 𝜋 0
Число ± 𝜺 входящее в эту формулу называется точностью, а число 𝜶 - надежностью
̅, то есть 𝜺 и 𝜶 есть точность и надежность оценки генеральной средней R 0 при
величины R
̅. Соотношение между шириной разброса 2 𝜺 и вероятностью 𝜶
помощи выборочной средней R
взаимосвязаны и, пользуясь ими, можно найти интересующую нас ширину разброса значений
звукоизоляции с данной вероятностью, то есть величину ∆ R .
Частотная характеристика звукоизоляции эталона по данным первого испытания эталона при n1 =
144 представлена на Рис. 2.1. На этом же рисунке показаны теоретически возможные отклонения
̅, подсчитанные с помощью формул (14) и (15) при
∆R т от среднего значения звукоизоляции R
вероятности 0,9973.
𝐏{∆ R т < 2𝜺} = 2 Ф(𝑡𝛼 ) =
Рис. 2.1. Частотная характеристика звукоизоляции эталона по данным первого испытания:
̅, пунктирные кривые - 2∆R т
сплошная кривая - R
6
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
В течение восьми лет с интервалом в три, два, полтора, один год и полгода проводились
контрольные испытания звукоизоляции № 2, №3, №4, №5 и №6 при k ≤30 (n1 = 10, n2 = 5 и N
= 2) с использованием формулы 𝛔𝒛 =
𝐬𝒛 √𝑛
χ𝑞
.
Таблица 2.1. Результаты испытаний звукоизоляции эталона, дБ
Результаты, представленные в Таблице 2.1. и ниже на Рис.2.2., свидетельствуют о том, что
звукоизоляция эталона в течение восьми лет сохраняет устойчивое значение − отклонения от
среднего составляют 1-2 дБ. Таким образом, практическая неизменность звукоизолирующих
свойств эталона в системе «звукомерные камеры-аппаратура-испытываемая конструкция»
обеспечивается в достаточной степени
Рис.2.2. Частотная характеристика звукоизоляции эталона по данным шести испытаний:
теоретический разброс - 2∆R т , фактический разброс - 2∆R Ф
Перспективность и насущную необходимость применения эталона можно проиллюстрировать
тремя характерными примерами.
Первый пример относится к случаю измерения звукоизоляции одинаковых конструкций в двух
БЗК, находящихся в разных городах до применения эталона звукоизоляции. Результаты
испытаний звукоизоляции, представленные на Рис.2.3., свидетельствует о том, что весьма
значительное расхождение могло остаться незамеченным, если бы результаты рассматривались
независимо друг от друга, но в любой ситуации они сразу же будут обнаружены при
использовании эталона.
7
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Рис.2.3. Частотные характеристики звукоизоляции одностенной стальной конструкции
толщиной 3 мм с ребрами жесткости до использования эталона
1 - по данным испытаний в Москве, 2 - по данным испытаний в Ленинград
Второй пример относится к случаю повторных испытаний одной и той же конструкции в одних и
тех же БЗК, но при различном качестве уплотнений по контуру конструкции. Уплотнение
осуществлялось из отдельных кусков эластичной пластмассы ПХВЭ, склеенных между собой по
контуру. Отдельные непроклеенные участки (начальный дефект работы) образовали щели,
которые под действием сильного прижатия конструкции к контуру проема со временем
самоуплотнились, так как эта пластмасса обладает текучестью. Увеличение звукоизоляции в связи
с указанным самоуплотнением было обнаружено случайно. В результате четырех этапов
уплотнения был получен стабильный эффект звукоизоляции. Влияния четырех состояний одного и
того же уплотнения на звукоизоляцию представлены на Рис.2.4.
Рис. 2.4. Результаты влияния состояния уплотнения на звукоизоляцию двустенной конструкции,
состоящей из стальной пластины толщиной 10 мм с ребрами жесткости, воздушного слоя
толщиной 90 мм и титанового листа 2 мм:
1 - после первой установки; 2 - через 10 дней после первой установки;
3 - после второй установки и заделки щелей; 4 - через 10 дней после второй
установки и после дополнительной заделки щелей по контуру проёма
Третий пример относится к случаю испытаний одной и той же конструкции в разных
лабораториях. В Таблице 2.2. представлены результаты испытаний звукоизоляции одной и той же
стены-перегородки в трех различных акустических лабораториях по ГОСТ 27296-87.
R1 . Лаборатория 1. Измерены значения, R1 , дБ, в Испытательной лаборатории строительных
материалов, изделий и конструкций Научно-исследовательского института московского
строительства, Москва. Испытываемый образец - кладка из блоков СМПК размером 495х250х78
мм., размеры ограждения 1.33х1.13 м., площадь ограждения 1,5 м2, ЗАО «Павловский завод».
R 2 . Лаборатория 2. Измерены значения, R 2 , дБ, в Испытательном центре «Блок» СанктПетербургского государственного архитектурно-строительного университета, Санкт-Петербург.
Испытываемый образец - полнотелые силикатные блоки с добавлением керамзитового песка, ЗАО
«Павловский завод».
8
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
R 3 . Лаборатория 3. Измерены значения, R 3 , дБ, в Испытательном центре ОАО
«СПбЗНИИиПИ», Санкт-Петербург. Испытываемый образец - перегородка размером 1095х2040
мм из блоков силикатных стеновых межкомнатных полнотелых с добавкой керамзитового песка
размером 500х250х80 мм, изготовленных по ТУ 5741-005-46263621-2005 без штукатурки, ЗАО
«Павловский завод».
Таблица 2.2. Результаты испытаний звукоизоляции
дБ
R1
R2
R3
(∆R)ф
(∆R)ГОСТ
100
125
160
200
250
Третьоктавные полосы частот, Гц
315 400 500 630 800 1000 1250
30
43
32
13
5
44
36
30
14
5
42
38
31
11
5
46
37
34
12
5
49
38
35
14
3
49
41
36
13
2
50
40
37
13
2
52
40
35
17
2
54
41
38
16
1
54
43
42
12
1
57
45
44
13
1
56
43
46
13
1
1600
2000
2500
3150
56
46
48
10
2
57
47
50
10
2
56
50
51
6
2
59
52
55
7
2
В таблице 2.2. представлены значения звукоизоляции R1 , R 2 и R 3 , дБ, измеренные в
соответствии с ГОСТ 27296−87 «Звукоизоляция ограждающих конструкций. Методы измерения».
Величина (∆R)ф, дБ, - фактический разброс измеренных значений звукоизоляции. Величина
(∆R)ГОСТ - требуемый предельный разброс значений звукоизоляции по ГОСТ 27296 − 87.
Фактические и требуемая по указанному стандарту точность и надежность измерения данной
конструкции расходятся кардинально. Необходимость применения эталона звукоизоляции –
очевидна.
3. Статистический анализ точности и надежности
измерений в строительной акустике
Метрологическая точность любых измерений определяется их точностью. Вопросы точности и
надежности измерений в строительной акустике стали активно разрабатываться в связи с
применением физического моделирования. Ниже приводится результаты типового определения
точности и надежности натурных и модельных испытаний звукоизоляции и оценка достоверности
испытаний звукоизоляции на моделях.
Натурные испытания проводились в больших звукомерных камерах (БЗК), а модельные – в малых
звукомерных камерах (МЗК). Все характеристики БЗК соответствуют рекомендациям
Международной организации по стандартизации ISO 140-3/ Натурные испытания в БЗК
выполнялись в третьоктавных полосах частот в диапазоне 80 - 4000 Гц с помощью аппаратуры
датской фирмы «Брюль и Къер».
При модельных испытаниях константа геометрического подобия была принята Cl = 3 . Это
обеспечило экономичность при изготовлении и испытании моделей конструкций и позволило
использовать для модельных испытаний аппаратуру, предназначенную для натурных испытаний.
В соответствии с выбранной константой геометрического подобия модельные испытания
выполнялись на частотах в три раза больших, чем при натурных испытаниях, т. е. в третьоктавных
полосах частот в диапазоне частот 250 – 12 500 Гц. Это соответствует при Cl = 3 натурным
испытаниям в диапазоне частот 80 – 4000 Гц.
Исходные данные для расчета среднеквадратических объективных и субъективных отклонений
σ̃ x1 , ̃σy1 , ̃σx2 , σ̃ y2 были получены для каждой из 15 третьоктавных полос частот в диапазоне 100
– 4000 Гц, где звуковое поле практически диффузно.
В БЗК были измерены перепады Xi уровней звуковых давлений при установке микрофона в 162
точках пространства каждой из камер высокого и низкого уровней. После первой серии измерений
микрофоны в КВУ и КНУ менялись местами и проводили вторую серию этих же измерений.
Общее число измерений составило таким образом 324. В МЗК были проведены аналогичные
измерения перепадов Xi уровней звуковых давлений, но здесь общее число измерений составило
244. Время реверберации Ti в камерах низкого уровня БЗК и МЗК было измерено в 90 точках
9
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
пространства каждой из этих камер. Десятикратный логарифм полученных значений Ti дал
соответственно девяносто значений Yi . Расшифровка измеренных значений X i и Yi производилась
одним сотрудником один раз. Полученные значения Xi и Yi были подставлены в соответствующие
формулы, по которым с вероятностью 0,99 были рассчитаны среднеквадратические объективные
отклонения σ̃ x1 и ̃σy1 . При этом были получены следующие соотношения: для МЗК имеем
σ̃ x1 = 1,11 σx1 и ̃σy1 = 1,22 σ𝑦1 и для БЗК − σ̃ x1 = 1,10 σx1 и ̃σy1 = 1,22 σ𝑦1 . Результаты расчета
среднеквадратических объективных отклонений σ̃ x1 перепадов уровней звуковых давлений в
МЗК и БЗК показаны на Рис. 3.1. и Рис.3.2 сплошными линиями.
Рис.3.1. Среднеквадратические отклонения перепадов уровней звукового давления в МЗК
Рис. 3.2. Среднеквадратические отклонения перепадов уровней звукового давления в БЗК
Оценка среднеквадратических субъективных отклонений измеряемых величин была получена
посредством следующего эксперимента. Десять сотрудников, имеющих различный опыт работы
по акустическим измерениям, расшифровали независимо друг от друга одну и ту же запись
перепадов уровней звуковых давлений Xi и одну и ту же запись времени реверберации Ti . Эта
работа с интервалом в 1 – 2 дня была повторена 4 раза. Полученные значения были подставлены в
соответствующие формулы и с вероятностью 0,99 расчитаны среднеквадратические субъективные
отклонения величин ̃σx2 и σ̃ y2 . Результаты расчета среднеквадратических субъективных
отклонений σ̃ x2 перепадов уровней звуковых давлений в МЗК и БЗК показаны на Рис.3.1. и
Рис.3.2 штриховыми линиями.
Затем были определены по указанным выше формулам величины σ̇ M и σ̇ Н .
По нормальному закону распределения разности нормально распределенных величин
несущественные различия между R M и R Н определяются формулой
σ̇ 2
σ̇ Н 2
M
NН
P(|R M − R Н | < 𝑡 ∙ √ NM +
) ≅ 2 Φ(t)
(3.1)
С вероятностью 2 Φ(t)= 0,95 (t = 1,96) предельная величина
10
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
σ̇ M 2
ε = |R M − R Н | = 1,96 ∙ √
NM
+
σ̇ Н 2
NН
(3.2)
При выполнении условия (3.2) можно считать, что различия между R M и R Н являются
несущественными, т. е. обусловлены погрешностями измерений, а не различием между
истинными значениями R M и R Н и что испытания звукоизоляции на моделях являются
достоверными.
Предельная величина несущественных различий ε между R M и R Н , рассчитанная по формуле
(3.2) при NН = NМ = N = 1, 2, 3 и 4 и при n1 = 10, m1 = 5, n2 = m2 = 1, показана в виде
частотных зависимостей на Рис. 3.3.
Рис. 3.3. Предельная величина несущественных различий между R M и R Н
(n1 = 10, m1 = 5, n2 = m2 = 1):
1 - при N = 1 ; 2 − при N = 2 ; 3 - при N = 3.
Из графика видно, что величина ε колеблется при N = 1 от 1,5 дБ на средних частотах до 3 дБ на
низких и высоких частотах данного диапазона, при N = 2 или 5 соответствующие величины
равны примерно 1 и 2 дБ, поэтому на практике рекомендуется брать N = 2 .
Метод оценки несущественных различий при измерении звукоизоляции, измеренной на модели и
на натурном образце, имеет общий и принципиальный характер статистического анализа
точности и надежности измерений в строительной акустике.
Вывод. Сформулируем области рациональности применения этих оценок указанным методом.
В строительной акустики оценка точности и надежности результата статистическим
методом необходимо применять:
а) при сравнении расчетных значений с экспериментальными данными;
б) при сравнении двух и более экспериментальных данных, выполненных в разных
лабораториях, городах и странах;
в) при определении различных исследуемых параметров конструкции на её акустические
свойства;
г) при сравнении модельных и натурных испытаний звукоизоляции.
Представленный вывод знаменует новый этап в развитии строительной акустике и вообще –
техники.
11
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
4. Главные создатели теории вероятностей и математической статистики.
Рекомендуемая литература
Блез Паска́ль (1623 - 1662), гениальный французский
математик, физик, литератор и философ.
Классик французской литературы, один из основателей
математического анализа, создатель первых образцов счётной
техники, автор основного закона гидростатики.
В переписке с Пьером Ферма, на примерах из азартных
игр, закладываются основы комбинаторики и науки о
вероятностях. Первая задача, относящаяся к этой науке
(предложенная Паскалю известным в то время кавалером де
Мере) состояла в следующем. Два игрока начали игру,
состоящую из 30-ти партий, розыгрыш каждой партии
непременно выигрывается одним из игроков, и тот из них, кто
выиграл бы прежде другого тридцать партий, считался
окончательно выигравшим и взял бы обе ставки, внесенные в
начале игры. Но игроки согласились прекратить игру, не
окончив её, причем одному не хватало до выигрыша тридцати
партий трех партий, а другому – пятнадцати партий. Как внесенные ставки должны быть
разделены между игроками? Паскаль нашел, что каждый игрок должен получить часть внесенной
суммы, пропорциональной вероятности своего выигрыша. Приведем краткую цитату из письма
Паскаля к Ферма, посвященного логики разделу ставки, положившей началу теории вероятностей.
«Вот, примерно, что я делаю для определения стоимости каждой партии, когда два игрока
играют, например, на три партии и каждым вложено по 32 пистоля. Предположим, что
один выиграл две партии, а другой одну. Они играют еще одну партию, и если выигрывает
первый, то он получает всю сумму в 64 пистоля, вложенные в игру; если же эту партию
выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь по две выигранные партии, и,
следовательно, если они намерены произвести раздел, каждый должен получить свой вклад в
32 пистоля. Примите же во внимание, монсеньер, что если первый выигрывает, то ему
причитается 64; если он проиграет, то ему причитается 32. Если же игроки не намерены
рисковать на эту партию и хотят произвести раздел, то первый должен сказать: «Я имею
32 пистоля верных, ибо в случае проигрыша я их также получил бы, но остальные 32 пистоля
могут быть получены либо мною, либо Вами, случайности равны. Разделим же эти 32
пистоля пополам, и дайте мне, кроме того, бесспорную сумму в 32 пистоля». Далее Ферма
нашел решение этой задачи в более общем виде для произвольного числа игроков.
Паскаль стал единственным в новой истории великим литератором и великим математиком
одновременно. «Читал чудного Паскаля… человека великого ума и великого сердца… не мог не
умилиться до слез, читая его и сознавая свое полное единение с этим умершим сотни лет тому
назад человеком». Лев Толстой.
В курсе лекций представлены основы комбинаторики Блеза Паскаля и «Треугольник Паскаля».
∗ Перье М., Перье Ж., Паскаль Б. Блез Паскаль. Мысли. Малые сочинения. Письма. — М.:
АСТ, Пушкинская библиотека, 2003. — 536 с.
∗ Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel. Практикум. Изд. «ПИТЕР»,
Москва ∙ Санкт-Петербург ∙ Нижний Новгород ∙ Воронеж ∙ Ростов-на-Дону ∙ Екатеринбург ∙
Самара ∙ Киев ∙ Харьков ∙ Минск. 2003.
12
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Пьер Ферма́ (1601 - 1665), знаменитый французский математик,
один из создателей аналитической геометрии, математического
анализа, теории вероятностей и теории чисел. Блестящий
полиглот.
Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма.
Независимо от Паскаля Ферма разработал основы теории
вероятностей. Именно с переписки Ферма и Паскаля (1654), в
которой они, в частности, пришли к понятию математического
ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей,
отсчитывает свою историю эта замечательная наука.
Результаты Ферма и Паскаля были приведены в книге
Гюйгенса «О расчётах в азартной игре» (1657), первом
руководстве по теории вероятностей. Большинство
выдающихся работ было издано после смерти Ферма его
сыном, - «Различные сочинения» (1679); при жизни Ферма
полученные им результаты становились известны учёным благодаря переписке и личному
общению.
∗ Альфред Ренье. Письма о вероятности: письма Паскаля к Ферма / пер. с венг. Д. Сааса и А.
Крамли под ред. Б.В. Гнеденко. М.: Мир. 1970.
Я́коб Берну́лли (1654 - 1705) – великий швейцарский
математик.
Якоб самостоятельно освоил дифференциальное и
интегральное исчисление, а заодно приобщил к нему брата
Иоганна. Сложившийся триумвират - Лейбниц и братья
Бернулли - 20 лет возглавлял европейских математиков и
чрезвычайно обогатил новый анализ. Оба брата Бернулли
избраны иностранными членами Парижской Академии наук.
Якоб Бернулли изучил теорию вероятностей по книге
Гюйгенса «О расчётах в азартной игре». Он ввёл
значительную часть современных понятий теории
вероятностей и сформулировал закон больших чисел.
Якоб Бернулли подготовил монографию в этой области.
Она была напечатана посмертно в 1713 году под названием
«Искусство предположений». Это содержательный трактат по
теории вероятностей, статистике и их практическому
применению, итог комбинаторики и теории вероятностей XVII
века (теорема Бернулли и др.). Среди академиков Петербургской Академии Наук — пятеро
представителей семьи Бернулли.
В курсе лекций представлен закон больших чисел Якоба Бернулли.
∗
Я. Бернулли. О законе больших чисел. Перевод Я. В. Успенского. Предисловие
А. А. Маркова. М.: Наука, 1986.
∗ Никифоровский В. А. Великие математики Бернулли. — М.: Наука, 1984.
13
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Пьер Симо́н Лапла́с (1749 - 1827) - великий французский
математик, физик и астроном; один из создателей теории
вероятностей.
1795: Лаплас читает лекции по теории вероятностей в
Нормальной школе. 1799: вышли первые два тома главного
труда Лапласа — классической «Небесной механики». В
монографии излагаются движение планет, их формы
вращения, приливы. Работа над монографией продолжалась
26 лет: том V вышел в 1823—1825 гг.
1812: создание грандиозного труда «Аналитическая
теория вероятностей», в которой Лаплас подытожил все
свои и чужие результаты. Лаплас развил также теорию
ошибок и приближений методом наименьших квадратов.
1814: «Опыт философии теории вероятностей», второе и
четвёртое издания которого послужили введением ко
второму и третьему изданию «Аналитической теории
вероятностей» (теорема Лапласа, функция Лапласа и др.).
«Опыт философии теории вероятностей» был опубликован в
переводе на русский язык в 1908 году, переиздан в 1999 году.
Лаплас состоял членом шести Академий Наук и Королевских обществ, в том числе
Петербургской Академии Наук (1802). Его имя внесено в список величайших учёных Франции,
помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.
В курсе лекций представлены функции Лапласа и предельная теорема, носящая его имя.
∗ Лаплас. Опыт философии теории вероятностей / В книге: Вероятность и математическая
статистика: / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. — Большая Российская энциклопедия. — 1999.
∗ Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel. Практикум. Изд.
«ПИТЕР» Москва ∙ Санкт-Петербург ∙ Нижний Новгород ∙ Воронеж ∙ Ростов-на-Дону ∙
Екатеринбург ∙ Самара ∙ Киев ∙ Харьков ∙ Минск. 2003.
Симеон
Дени
Пуассон
(1781-1840),
знаменитый
французский ученый, применивший математику ко многим
областям физики. Продолжил работу Жозефа Луи Лагранжа
в области механики небесных тел и работал над
интегрированием и рядами Жана Батиста Жозефа Фурье.
В книге «Исследования вероятности мнений» (1837)
он представил распределение Пуассона и теорему
Пуассона, которые посвящены вероятности явления
какого-то определенного события из большого числа
событий. Они играют ключевую роль в теории массового
обслуживания.
Известный коэффициент Пуассона и др. названы также в
его честь. Число учёных трудов Пуассона превосходит 300.
В 1820 г. ему поручено высшее наблюдение над
преподаванием математики во всех коллежах Франции. При
Наполеоне он был возведён в бароны, а при Луи-Филиппе был сделан пэром Франции.
В курсе лекций представлен закон больших чисел Симеона Пуассона.
∗ Романовский В.И. Математическая статистика. – М. Л.: ГОНТИ, 1938.
∗ Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., «Наука», 1988.
14
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Иоганн Карл Фри́дрих Га́усс (1777 - 1855) - великий
немецкий математик, астроном и физик, считается одним
из величайших математиков всех времён, «королём
математиков».
Изучая труды Ньютона, Эйлера и Лагранжа, он сделал
несколько открытий в высшей арифметике. Затем Гаусс
закладывает современные основы теории вероятностей:
«метод
наименьших
квадратов»
(независимо
открытый Лежандром) и закон «нормального
распределения». В течение своей долгой жизни он
неоднократно возвращался к изложению этой своей
методы с разных точек зрения и довел её до высшей
степени законченности и совершенства.
1798:
закончен
шедевр
«Арифметические
исследования», напечатана только в 1801 году.
1806: По рекомендации Александра фон Гумбольдта
Гаусса назначают профессором в Гёттингене и директором
Гёттингенской обсерватории. Эту должность он занимал до самой смерти.
1809: новый шедевр, «Теория движения небесных тел». Изложена каноническая теория учёта
возмущений орбит.
1812: исследование гипергеометрического ряда, обобщающего разложение практически всех
известных тогда функций.
1815: публикует первое строгое доказательство основной теоремы алгебры. 1821 год: в связи с
работами по геодезии Гаусс начинает исторический цикл работ по теории поверхностей. В науку
входит «гауссова кривизна». Положено начало дифференциальной геометрии. Именно результаты
Гаусса вдохновили Римана на его классическую диссертацию о «римановой геометрии». 1825:
открывает гауссовы комплексные целые числа, строит для них теорию делимости и сравнений.
1832: «Теория биквадратичных вычетов». С помощью тех же целых комплексных гауссовых
чисел доказываются важные арифметические теоремы не только для комплексных, но и для
вещественных чисел. Здесь же он приводит геометрическую интерпретацию комплексных чисел,
которая с этого момента становится общепринятой.
62-летний Иоганн Карл Фри́дрих Гаусс овладевает русским языком и в письмах в
Петербургскую Академию Наук просил прислать ему русские журналы и книги. Предполагают,
что это связано с работами выдающегося профессора Казанского университета Николая
Ивановича Лобачевского (1792-1856). В 1842 году по рекомендации Гаусса математик Н.И.
Лобачевский избирается иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского
общества.
В курсе лекций представлены параметры нормального распределения Иоганна Гаусса и метод
наименьших квадратов, носящий его имя.
∗ Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука, 1978, том I.
∗ Романовский В.И. Математическая статистика. – М. – Л.: ГОНТИ, 1938.
15
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Пафну́тий Льво́вич Чебышев (1821 -1894) - великий
русский математик и механик.
Чебышев считается одним из основоположников теории
функций; всемирно известны его работы в области
теории чисел, механики и теории вероятностей
(знаменитое неравенство Чебышева, теорема Чебышева
и др.).
В 1867 году во II томе «Московского Математического
Сборника» появился замечательный мемуар Чебышева «О
средних величинах», в котором дана теорема, лежащая в
основе различных вопросов теории вероятностей и
заключающая в себе знаменитую теорему Якоба
Бернулли как частный случай.
Наиболее оригинальными, как по сущности вопроса,
так и по методу решения, являются работы Чебышева «О
функциях, наименее уклоняющихся от нуля». К работам
последнего периода деятельности Чебышева относятся
исследования «О предельных значениях интегралов» (1873). Совершенно новые вопросы,
поставленные здесь Чебышевым, разрабатывались затем его учениками. В течение сорока лет
Чебышев принимал активное участие в работе военного артиллерийского ведомства и
усовершенствовал точность артиллерийской стрельбы методами теории вероятности и
математической статистики. В курсах баллистики до наших используется формула Чебышева
для вычисления дальности и точности полета снаряда.
В 1863 году особая «Комиссия Чебышева», возглавляемая им, приняла решающее участие от
Совета Санкт-Петербургского университета в разработке Университетского устава. Устав,
подписанный Александром II 18 июня 1863 года, предоставил автономию университетам как
корпорации профессоров. Начался новый этап высшего, в том числе математического,
образования в России.
Пафну́тий Льво́вич Чебышев создал школу русских математиков, из которых многие всемирно
известные. Среди прямых учеников Чебышева — такие выдающиеся ученые как Ляпунов
Александр Михайлович и Марков Андрей Андреевич (старший).
В курсе лекций представлены: начальные и центральные моменты Пафнутия Чебышева,
замечательное неравенство Пафнутия Чебышева, закон больших чисел Пафнутия Чебышева,
∗ Головинский И. А. К обоснованию метода наименьших квадратов у П. Л. Чебышева. //
Историко-математические исследования, М.: Наука, вып. XXX, 1986.
∗ Вентцель Е.С. и Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. М.,
«Наука», 1988.
16
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Александр Михайлович Ляпунов (1857-1918), выдающийся
математик и механик.
Сразу же после сдачи магистерских экзаменов в 1882 году
А. М. Ляпунов приступил к магистерской диссертации, к
решению поставленной П. Л. Чебышёвым проблемой. Защита
магистерской
диссертации
дала
ему
право
на
преподавательскую деятельность.
Весной 1885 г. Ляпунов был утверждён в звании приватдоцента Петербургского
университета,
но получил
предложение
занять
вакантную
кафедру
механики
Харьковского университета. В 1885 г. Ляпунов переехал в
Харьков начал в звании приват-доцента чтения лекций по
всем курсам кафедры.
А. М. Ляпунов не считал подготовку курсов делом вполне
творческим и, говоря о первых годах своей работы в
Харьковском университете, характеризовал их как перерыв в
учёной деятельности. «А между тем курсы, составленные им
по всем отделам механики, содержат такие ценные и иногда
новые материалы, каких нельзя было найти ни в одном из имевшихся тогда руководств…» - писал
В. А. Стеклов. Позднее В. А. Стеклов стал выдающимся ученым, известный своими научными
трудами в области механики и математической физики.
Свою короткую поездку в Петербург, во время которой 17 января 1886 г. состоялась свадьба А.
М. Ляпунова с Наталией Рафаиловной Сеченовой, Александр Михайлович приурочил ко времени
зимних каникул.
Все эти годы А. М. Ляпунов упорно работал над своей докторской диссертацией «Общая
задача об устойчивости движения». В этой фундаментальной работе Ляпунов всесторонне
рассмотрел проблему устойчивости движения систем с конечным числом степеней свободы.
Защита диссертации состоялась 30 сентября 1892 г. в Московском университете. Защита прошла
блестяще, и в январе 1893 г. тридцатипятилетний учёный получил звание ординарного профессора
Харьковского университета. В этом университете он продолжал преподавательскую деятельность
до весны 1902 г.
Избрание А. М. Ляпунова членом-корреспондентом Петербургской Академии наук по разделу
математических наук состоялось в декабре 1900 г. Менее чем через год сорокачетырехлетний
Ляпунов избран академиком. По условиям того времени избрание в академики требовало
обязательного переезда в Петербург. Весной 1902 г. Александр Михайлович переезжает в
Петербург. Он возвращается к задаче о фигурах равновесия, предложенной ему Чебышёвым ещё
20 лет назад в магистерской диссертации. В 1905 г. на страницах «Записок Академии наук»
появляется его труд «Об одной задаче Чебышёва». В последующие годы (1906-1914) выходит в
свет на французском языке фундаментальный труд А. М. Ляпунова «О фигурах равновесия
однородной вращающейся жидкости, мало отличающихся от эллипсоидальных».
Напряжённой оказалась жизнь А. М. Ляпунова в Одессе, куда он с женой выехал в июне 1917
г. по настоянию врачей, в надежде на благотворное влияние южного климата на ухудшившееся
состояние жены. В начале осени 1918 г. А. М. Ляпунов приступил к чтению лекций в
Новороссийском университете. Курс лекций оборвался 28 октября 1918 года - 31 октября умерла
Наталия Рафаиловна. Для Александра Михайловича удар был слишком сильный. В день смерти
жены Ляпунов выстрелил в себя и в течение трёх дней находился в бессознательном состоянии.
Не приходя в сознание, 3 ноября 1918 года он скончался в университетской хирургической
клинике.
17
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Александр Михайлович Ляпунов создал современную теорию устойчивости равновесия и
движения механических систем с конечным числом параметров. Его фундаментальные труды по
дифференциальным уравнениям, устойчивости движения и главной теоремы теории
вероятностей получили всемирное признание. В 1962 АН СССР учреждена Золотая медаль
имени А.М. Ляпунова, с 1993 – премия РАН.
В курсе лекций представлена предельная теорема теории вероятностей Александра
Михайловича Ляпунова.
∗ Цыкало А. Л. Александр Михайлович Ляпунов. 1857—1918. М.: Наука, 1988.
∗ Романовский В.И. Математическая статистика. – М. – Л.: ГОНТИ, 1938.
∗ Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., «Наука», 1988.
∗ Вентцель Е.С. и Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. М.,
«Наука», 1988.
Алексей Николаевич Крылов - один из самых
выдающихся русских математиков, механиков и
инженеров (наряду с М.В. Ломоносовым и Д.И.
Менделеевым) - родился 3 августа 1863 в селе Висяга
Симбирской губернии в семье многоталантливого
артиллерийского офицера.
Мать А. Н. Крылова Софья Викторовна Ляпунова
принадлежала к старой дворянской семье, из которой
вышел, в частности, выдающийся математик Александр
Михайлович Ляпунов. В родственных отношениях с
Алексеем Николаевичем, по отцу и по матери, находится
целый ряд других славных русских деятелей науки: И. М.
Сеченов
знаменитый
основатель
русской
физиологической школы; академик Б. М. Ляпунов крупный специалист по славянской филологии; Н. Ф.
Филатов - известный профессор детских болезней; В. П.
Филатов - выдающийся профессор глазных болезней.
Математическими занятиями молодого Крылова руководил его знаменитый дядя А.М. Ляпунов ученик великого русского математика П. Л. Чебышева.
В 1878 году Крылов поступил в Морское училище, которое окончил с отличием в 1884 году.
Затем работал в компасной мастерской Гидрографического управления под руководством
И. П. Колонга, где провел свое первое научное исследование по девиации магнитных компасов.
Теория магнитных и гирокомпасов прошла через всю его жизнь. Много позже, в 1938—1940 годах
опубликовал ряд работ, которые в 1941 году были отмечены Сталинской премией.
В 1887 году А. Н. Крылов перешел на Франко-русский завод, а с 1988 года был зачислен в
число слушателей кораблестроительного отдела Морской академии. После окончания курса
первым по всем предметам в 1890 г. остался в Академии доцентом, где вёл занятия по математике,
а впоследствии курс теории корабля. По воспоминаниям самого А. Н. Крылова, с 1887 года его
«главной специальностью стало кораблестроение, или, лучше сказать, приложение математики к
разного рода вопросам морского дела».
В 1890-е годы мировую известность приобрел труд А.Н. Крылова «Теория качки корабля»,
значительно расширивший теорию Уильяма Фруда. В 1896 г. он избран членом Английского
общества корабельных инженеров. В 1898 году был награжден золотой медалью Британского
общества корабельных инженеров, причём это был первый случай в истории, когда медали
удостаивался иностранец. Продолжая эти работы, А. Н. Крылов создал теорию демпфирования
бортовой и килевой качки. Он первый предложил и осуществил гироскопическое демпфирование
качки, ныне непременно используемой в космических аппаратах.
18
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
С 1900 года активно сотрудничает со С.О. Макаровым, адмиралом и учёнымкораблестроителем, работая над проблемой плавучести корабля. Результаты этой работы вскоре
стали классическими и до сих пор широко известны в мире. В это же время А. Н. Крылов
совместно с И. Г. Бубновым и К. П. Боклевским принимает деятельное участие в создания нового
вуза мирового значения – Петербургского Политехнического института. Организованное им там
кораблестроительное отделение он не возглавил, всецело занятый научной работой в Опытовом
судостроительном бассейне, созданного Д. И. Менделеевым на острове «Новая Голландия» в
Петербурге. Но он читает на кораблестроительном отделении только что созданного
Политехнического института курс вибрации судов - "предмет тогда новый, ни в одном из
учебных заведений не излагавшийся". Через сто лет профессор И.И. Боголепов, продолжая
традицию академика А.Н. Крылова, стал читать в Политехническом университете новый курс «Строительная акустика».
В 1906 г. Крылов прочел в Морской академии свой знаменитый курс «Лекции о
приближенных вычислениях», переизданные потом многократно во всем цивилизованном
мире. В нем он, в частности, развил далее изобретенный Гауссом «способ наименьших
квадратов» для получения достоверных результатов при инженерных расчетах и
измерениях, создал важнейший раздел теории вероятностей и математической
статистики в технике.
В 1900—1908 гг. он заведующий Опытовым судостроительным бассейном для исследования
мореходных качеств судов на малых моделей (сейчас это всемирно известный ЦНИИ им.
академика А.Н. Крылова). В 1908—1910 гг. он главный инспектор кораблестроения - начальник
кораблестроительного отдела Морского технического комитета и его председатель. С 1910 г.
профессор Морской академии, консультант Адмиралтейского и Балтийского заводов. Генерал при
морском министре Российской империи (1911).
В 1911-1913 гг. Алексей Николаевич — экстраординарный профессор Института инженеров
путей сообщения. В 1914 г. Московский университет, по представлению Н. Е. Жуковского,
присудил А. Н. Крылову степень почётного доктора прикладной математики, а Академия наук
избрала его своим членом-корреспондентом, а затем действительным членом (академиком). В это
время он перевёл с латинского на русский язык и издал «Математические начала натуральной
философии» Исаака Ньютона (1915).
В 1915—1916 гг. он председатель правительственного правления Путиловских заводов.
Участвовал в проектировании и постройке первых русских линкоров-дредноутов типа
«Севастополь», лучших в мире. В 1916 Крылов возглавлял Главную физическую обсерваторию и
Главное военно-метеорологическое управление. В 1917 был назначен директором физической
лаборатории Академии наук.
В 1917 году А. Н. Крылов был руководителем Русского общества пароходства и торговли.
Сразу после Великой Октябрьской социалистической революции он, кавалер ордена Святого
Станислава 1-й степени, царский флота генерал-лейтенант и действительный член Академии наук,
передал все суда Советскому правительству и продолжал работать на развитие Отечественного
флота. В 1919-1920 гг. — начальник Морской академии.
В 1921 году Алексей Николаевич был направлен в Лондон для восстановления зарубежных
научных связей страны. После отличного завершения порученных ему дел в 1927 году он
вернулся в Советский Союз и с 1928 г. вновь начал читать курс теории
корабля и
дифференциального и интегрального исчислений слушателям Кораблестроительного отдела
Военно-морской академии.
В 1928-1931 гг. директор Физико-математического института АН СССР. В последующие годы
он принимал деятельное участие в создании для страны судов (лесовозов и танкеров), в
строительстве мостов и доков.
В соавторстве с Ю.А. Крутковым он написал монографию «Общая теория гироскопов и
некоторых технических их применений» (1932). Это стало началом советской школы теории
гироскопических приборов, без которых нынешнее исследование космоса невозможно. Из печати
19
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
вышли фундаментальные труды "Вибрация судов", "Качка корабля" и др. Как математик,
умеющий прилагать математику к решению важнейших практических задач, он не знал себе
равного как в нашей стране, так и во всём мире.
В 1938 г. Советское правительство удостоило А.Н. Крылова награждением орденом Ленина –
высшей наградой СССР. В 1943 г. ему было присвоено звание Героя Социалистического Труда за
"исключительные заслуги перед государством в области математических наук, теории и практики
отечественного кораблестроения, многолетнюю плодотворную работу по проектированию и
строительству современных военно-морских кораблей, а также крупнейшие заслуги в деле
подготовки высококвалифицированных специалистов военно-морского флота".
Во время ВОВ 1941-1945 г.г. в эвакуации в г. Казани, особенно исполненный мудрости и
необыкновенного личного обаяния, Алексей Николаевич работал не покладая рук. Он возглавлял
комиссию по подготовке нового издания трудов П. Л. Чебышева; переводил с латинского труды
Иоганна Карла Фри́дриха Гаусса; печатал статьи и очерки; выступал с оригинальными и важными
докладами. В эвакуации он написал свои знаменитые «Мои воспоминания». Вернулся в Ленинград
он лишь в августе 1945 года.
А.Н. Крылов умер 26 октября 1945. Похоронен на «Литераторских мостках» Волкова
кладбища неподалеку от И. П. Павлова и Д. И. Менделеева. Его именем названы: крупнейший в
мире научный центр кораблестроения ЦНИИ им. академика А.Н. Крылова; премии имени
академика А. Н. Крылова Российской Академии наук и Правительства Санкт-Петербурга; улицы в
Санкт-Петербурге, Севастополе, Николаеве и Чебоксар; село Висяга (Крылово), где он родился.
В курсе лекций представлены правила приближенных вычислений и измерений в инженерии и
метод наименьших квадратов Алексея Николаевича Крылова.
∗ Дунин-Барковский И.В. и Смирнов Н.В. Теория вероятностей и математическая
статистика в технике. – М. – Л.: ГОНТИ, 1955.
∗ Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., «Наука», 1988.
∗ Вентцель Е.С. и Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. М.,
«Наука», 1988.
∗ Крылов А.Н. Собрание трудов. Том III, Математика. Лекции о приближенных
вычислениях. − М. – Л.: Издательство Академии наук СССР, 1949.
∗ Крылов А.Н. Вибрация судов. Курс лекций. Санкт-Петербург, Изд. Политехнического
института, 190
Иван Григорьевич Бубнов (1872 - 1919) – выдающийся
русский ученый, инженер и педагог.
Родился 6 января 1872 г. в Нижегородской губернии. В
1887 г. окончил Нижегородское реальное училище и был
принят на механическое отделение Кронштадского
технического училища. В 1888 г. перешел на
Кораблестроительное отделение училища и по окончании
его работал младшим помощником судостроителя в СанктПетербургском военном порту. В 1894 г. поступил на
Кораблестроительное отделение Морской академии.
В 1896 г. И. Г. Бубнов окончил Академию по первому
разряду и по ходатайству А. Н. Крылова был сразу же
зачислен преподавателем для чтения лекций по вновь
введенным предметам: «Обзор усовершенствований в
кораблестроении» и «Проектирование боевых судов».
Одновременно с преподаванием в Академии И. Г. Бубнов с
1900 г. работал помощником А. Н. Крылова в Опытовом
судостроительном бассейне (позднее возглавил проводимые там исследования). В 1901 г. назначен
20
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
на Балтийский завод строителем спроектированной им первой в России боевой подводной лодки
(«Дельфин»), а затем стал наблюдающим за постройкой серии других подводных лодок своей
конструкции. «Дельфин» и четыре новые подводные лодки Бубнова, доставленные в декабре 1904
г. по железной дороге во Владивосток, явились причиной того, что японский флот после падения
Порт-Артура и даже после Цусимы не рисковал на операции против Владивостока.
Иван Григорьевич не ограничивался созданием лучших в мире боевых подводных лодок, хотя
это было главным делом его жизни. В 1907 г. лучшим из 51 проекта линейных кораблей,
представленного на международный конкурс, оказался проект, разработанный Балтийским
заводом под руководством И. Г. Бубновым. Четыре таких корабля были построены по системе
Бубного для Балтийского моря и четыре – для Черного.
С 1896 по 1919 год многие русские кораблестроители обучались и воспитывались лично
Иваном Григорьевичем. В 1900 г. И. Г. Бубнов совместно с А. Н. Крыловым и К. П. Боклевским
принял активное участие в организации Кораблестроительного отделения знаменитого
Петербургского Политехнического института. Там он многие годы читает новый, созданный им
лично, курс «Строительная механика корабля».
В последний год жизни, среди громады всех дел, он отдался преподаванию высшей
математике. При очередной командировке в Москву, в пик сыпнотифозной эпидемии в России, И.
Г. Бубнов заразился в вагоне сыпным тифом и умер в расцвете творческих сил 13 марта 1919 г.
«Если бы он не умер так рано, он дал бы не меньше, а может быть и больше, чем я. Не
занимаясь всеми отделами математики, он обладал удивительной способностью выбирать из них
то, что требовалось ему для решения технических вопросов, с изяществом и легкостью
изумительной. А во всех отраслях техники он обладал широчайшими знаниями и умел любую
инженерную задачу не только решить, но и превратить решение в нужную, притом точно
рассчитанную конструкцию» Академик А. Н. Крылов.
Иван Григорьевич впервые успешно разработал основы статистики судостроения (1-ая, 2-ая
и 3-тья задачи теории вероятностей и математической статистики в судостроении),
основываясь на трудах Иоганна Карла Фридриха Гаусса и Пафнутия Львовича Чебышева.
В курсе лекций представлены статистические задачи Ивана Григорьевича Бубнова.
∗ И. Г. Бубнов. Избранные труды. Под редакцией и с предисловием академика Ю.А.
Шиманского. Судпромгиз, Ленинград, 1956.
∗ И. И. Боголепов. Промышленная звукоизоляция. Предисловие академика И.А. Глебова.
«Судостроение», Ленинград, 1986.
Сэр Рональд Эйлмер Фишер (1890-1962) – выдающийся
английский ученый, один из основателей математической
статистики и математической популяционной генетики.
Окончил колледж в Кембридже (1912). Работал статистиком в
«Меркантайл энд дженерал инвестмент компани» (1913–15). В
1919–33 работал в отделе статистики Ротемстедской
экспериментальной станции. В 1933–43 профессор евгеники
Лондонского университета. В 1943–57 профессор генетики
Кембриджского университета, в 1956–59 руководил одним из
его колледжей. Основные его труды − по теории статистики и
генетической теории эволюции. Ввёл понятие достаточной
статистики, построил теорию точечных и интервальных
статистических
оценок,
разработал
методику
планирования экспериментов и внёс существенный вклад в
создание современной теории статистической проверки
гипотез. Несмотря на то, что Фишер был человеком науки, он
совмещал это с глубокой и искренней религиозностью. Всегда
21
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
был верен по отношению к друзьям, был патриотом, консерватором по политическим убеждениям
и рационалистом в науке.
В курсе лекций представлен дисперсионный анализ Рональда Фишера и распределение,
носящее его имя.
∗ Романовский В.И. Математическая статистика. – М. – Л.: ГОНТИ, 1938.
∗ Sir Ronald Aylmer Fisher. Statistical methods and scientific inference, Edinburgh – L., 1956; в
рус. пер. – Статистические методы для исследователей, М., 1958.
∗ Боголепов И.И. Строительная акустика. Посвящается памяти академика И.А. Глебова.
Санкт-Петербург. Издательство Политехнического университета. 2006.
∗ Боголепов И.И. Теория вероятностей и математическая статистика в технике. Кафедра
ТОЭС ИСФ СПбГПУ, Национальный исследовательский университет. Санкт-Петербург, 2011
(готовится к изданию) .
Заключение
Тема данной лекции «Теория вероятностей и математическая статистика в строительной
акустике» взята из нового курса лекций «Теория вероятностей и математическая статистика в
технике». Вот он – см. ниже. Главная цель этого нового курса лекций для инженера: научить
оценивать в цифрах точность и надежность расчетов и измерений и обеспечивать требуемый
уровень этой точности и надежности применительно к конкретному инженерному объекту.
22
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Кафедра ТОЭС ИСФ СПбГПУ
И.И. БОГОЛЕПОВ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА В
ТЕХНИКЕ
КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ
Национальный исследовательский университет
2011
23
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
СОДЕРЖАНИЕ
Лекция 1
Введение
0.1. О теории вероятностей и математической статистики в технике.........….................7
0.2. Главные создатели и рекомендуемая литература……………………………............8
0.3. Цель курса лекций……………………………………………………………….............17
Часть 1. Теория вероятностей
Лекция 2
§ 1. Частость и её свойства
1.1. Понятия испытания и события………………………………………………..............18
1.2. Достоверное, невозможное и случайное события. Частость……………….............18
1.3 Соотношение между частостями. Свойства..............………………….....................18
1.4. Практикум. Производственные задачи..................................……………...... .........20
§ 2. Вероятность. Правила сложения и умножения вероятностей
2.1. Определение вероятности………………………………………………………...........22
2.2. Правило сложения вероятностей………………………………………………..........22
2.3. Правило умножения вероятностей……………………………………………...........23
2.4. Практикум. Азартные игры……………………………………………………….......24
Лекция 3
§ 3. Основы комбинаторики Блеза Паска́ля. Бином сэра Исаака Ньютона
и биноминальное распределение
3.1. Комбинаторика и классическая вероятность.............................................................28
3.2. Перестановки..................................................................................................................28
3.3. Сочетания..............................................................................................................................28
3.4. Размещения......................................................................................................................29
3.5. Основные правила комбинаторики.............................................................................30
3.6. Решения задач комбинаторики средствами Excel.....................................................30
3.7. Бином Исаака Ньютона и число сочетаний...............................................................32
3.8. Биноминальное распределение. Схема и формула Якоба Бернулли......................32
3.9. Наивероятнейшее число появление событий............................................................35
3.10. Практикум биноминального распределения в Excel..............................................36
Лекция 4
§ 4. Характеристики распределения дискретной случайной величины
4.1. Начальные и центральные моменты Пафну́тия Льво́вича Чебышева................. 38
4.2. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины...........38
4.3. Начальный момент порядка r ......................................................................................39
4.4. Центральный момент порядка r ..................................................................................39
4.5. Стандарт или среднеквадратическое отклонение......................................................40
4.6. Практикум вычисления начальных и центральных моментов
дискретной случайной величины..................................................................................41
§ 5. Непрерывные случайные величины и их характеристики
24
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
5.1. Определение непрерывной случайной величины.....................................................43
5.2. Функция распределения и плотность вероятности..................................................43
5.3. Кривая распределения непрерывной случайной величины...................................45
5.4. Плотность и функция равновероятного распределения..........................................46
5.5. Плотность и функция нормального распределения
Иоганна Карла Фридриха Гаусса.................................................................................47
Лекция 5
§ 6. Практикум определения вероятности с помощью функции
Пьера Симо́на Лапла́са
6.1. Вероятность 𝐏(X < x) = F(x)..............................................................................................48
6.2. Вероятность P(α < x < β) = F(β) − F(α)..........................................................................48
§ 7. Параметры непрерывного распределения
7.1. Математическое ожидание................................................................................................50
7.2. Мода.......................................................................................................................................51
7.3. Медиана................................................................................................................................52
7.4. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной
величины..............................................................................................................................53
7.5. Квантили.............................................................................................................................53
7.6. Вероятное отклонение.......................................................................................................54
Лекция 6
§ 8. Параметры равновероятного распределения................................................55
§ 9. Параметры нормального распределения Иоганна Карла Фридриха
Гаусса.....................................................................................................................55
§ 10. Совместное распределение двух непрерывных случайных величин......56
§ 11. Параметры совместного распределения случайных величин
11.1. Смешанный начальный момент первого порядка...............................................57
11.2. Смешанный центральный момент первого порядка (ковариация)...................57
11.3. Коэффициент корреляции.......................................................................................58
§ 12. Параметры двух независимых случайных величин...................................58
§ 13. Теоремы о математическом ожидании
13.1.Теорема о математическом ожидании суммы случайных величин....................60
13.2.Теорема о математическом ожидании постоянной величины............................60
13.3. Теорема о математическом ожидании произведения постоянной
величины на случайную.........................................................................................61
13.4. Теорема о математическом ожидании линейной комбинации случайных
величин............................................................................................................................. 61
§ 14. Теоремы о дисперсии
14.1.Теорема о дисперсии постоянной величины............................................................ .60
14.2. Теорема о дисперсии произведения постоянной величины на случайную........ 61
25
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
14.3.Теорема о дисперсии суммы случайных величин................................................... 61
Лекция 7
§ 15. Нахождение закона распределения суммы по законам распределения
независимых слагаемых. Композиция законов
15.1. Закон распределения суммы дискретных величин...............................................62
15.2. Практикум нахождения композиции закона суммы дискретных величин
биноминального распределения..............................................................................62
15.3. Закон распределения суммы непрерывных величин............................................63
15.4. Практикум нахождения композиции закона суммы непрерывных величин
нормального и равновероятного распределений...................................................65
§ 16. Расчеты размерных цепей
16.1. Традиционный математический метод расчета размерной цепи
на max и min..............................................................................................................66
16.2. Расчет размерной цепи методами теории вероятности..........................................66
§ 17. Трансформация законов распределения
17.1. Определение характеристик распределения функции по закону
распределения случайного аргумента.......................................................................68
17.2. Определение распределения функции квадрата случайной
непрерывной и дискретной величины......................................................................68
17.3. Определение распределения линейной функции случайных величин
для размерных цепей....................................................................................................70
§ 18. Линеаризация функции
18.1. Линеаризация функции одного случайного аргумента...........................................71
18.2. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов................................ 72
Лекция 8
§ 19. Замечательное неравенство Пафну́тия Льво́вича Чебышева.........................74
§ 20.Законы больших чисел Якоба Бернулли, Пафну́тия Льво́вича
Чебышева и Симеона Дени Пуассона
20.1. Теорема Якоба Бернулли...........................................................................................75
20.2. Теорема Чебышева......................................................................................................76
20.3. Частный случай теоремы Чебышева.......................................................................76
20.4. Теорема Пуассона........................................................................................................77
§ 21. Предельные теоремы Пьера Симо́на Лапла́са и Александра
Михайловича Ляпунова
21.1. Теорема Лапласа.............................................................................................................78
21.2. Теорема Ляпунова.......................................................................................................79
21.3. Практикум применения предельных теорем
21.3.1. Применение теоремы Лапласа.........................................................................79
21.3.2. Применение теоремы Ляпунова.......................................................................80
26
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Часть 2. Математическая статистика
Лекция 9
§ 22. Генеральная и выборочная совокупность
22.1. Упорядочная выборка......................................................................................................82
22.2. Гистограмма выборки.................................................................................................84
22.3. Полигон выборки.........................................................................................................84
̅̇ и дисперсия 𝛔̇ 2. Табличная форма вычисления...............85
22.4. Выборочные средняя 𝐗
̅̇ и 𝛔̇ 𝟐 ....................................................................................86
22.5. Практикум вычисления 𝐗
Лекция 10
§ 23. Оценка параметров генерального распределения
при достаточно больших объемах выборки
23.1. Оценка генеральной средней с определенной точностью и надежностью.............88
23.2. Практикум оценки генеральной средней.................................................................89
23.3. Оценка генерального стандарта. с определенной точностью и надежностью....90
23.4. Практикум оценки генерального стандарта............................................................90
§ 24. Проверка гипотезы соответствия выборочного распределения
предполагаемому генеральному распределению
24.1. О статистических гипотезах и их проверке..............................................................91
24.2. Проверка гипотезы о том, что выборка произведена
из нормального распределения..................................................................................91
24.3. Практикум проверки гипотезы о нормальности распределения..........................93
Лекция 11
§ 25. Гамма распределение, распределение хи-квадрат и
распределение Фишера
27.1. Гамма распределение.....................................................................................................95
27.2. Распределение хи-квадрат...........................................................................................96
27.3. Распределение Фишера................................................................................................98
Лекция 12
§ 26. Оценка параметров распределения при ограниченных объемах
выборки с помощью доверительных интервалов
26.1. Об использовании доверительных интервалов.....................................................102
26.2. Распределение хи-квадрат и доверительные интервалы для оценки
генеральной дисперсии.................................................................................................103
26.3. Распределение Стьюдента и доверительные интервалы для оценки
генеральной средней..................................................................................................106
26.4. Практикум оценки генеральной дисперсии при ограниченных
объемах выборки........................................................................................................109
Лекция 13
§ 27. Дисперсионный анализ сэра Рональда Эйлмера Фишера
27.1. Общее понятие о дисперсионном анализе................................................................112
27
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
27.2. Дисперсионный анализ Фишера............................................................................113
27.3. Классический практикум использования дисперсионного анализа.................119
27.4. Статистическая оценка результатов акустических измерений с помощью
дисперсионного анализа..........................................................................................124
Лекция 14
§ 28. Точность и надежность в технике. Приближенные вычисления и
измерения Алексея Николаевича Крылова
28.1. О точности измерений и расчетов. Инженерные и
теоретические формулы............................................................................................127
28.2. Первый метод. Точность расчета согласно математической
теории ошибок............................................................................................................129
28.3. Второй метод. Точность измерений и расчета согласно
теории вероятностей и математической статистики............................................131
28.4. Практикум определения точности согласно первому и второму методам
28.4.1. Задание для первого и второго метода..........................................................133
28.4.2. Первый метод. Точность расчета согласно математической
теории ошибок...................................................................................................135
28.4.3. Второй метод. Точность измерений и расчета согласно теории
вероятностей и математической статистики...............................................136
28.4.4. Сравнение результатов по первому и второму методу...............................138
Лекция 15
§ 29. Метод наименьших квадратов Иоганна Карла Фри́дриха Га́усса и
Алексея Николаевич Крылова
28.1. Метод наименьших квадратов Гаусса...................................................................... 139
28.2. Составление эмпирических формул по методу А.Н. Крылова.............................141
28.3. Практикум применения метода наименьших квадратов в технике..................143
§ 30. Статистическая оценка диффузности поля в строительной акустике....150
§ 31. Эталон в строительной акустике и практика его применения .................156
Лекция 16
§ 32. Статистический анализ точности и надежности
измерений в строительной акустике............................................................159
§ 33. Статистические задачи в судостроении
Ивана Григорьевича Бубнова.........................................................................162
Приложение
2
𝑧 −𝑣
𝑒 2
∫
√2 𝜋 0
Таблица 1. Нормированная функция Лапласа Ф(z) =
Таблица 2. Удвоенная нормируемая функция Лапласа
2Ф(z) =
2
𝑧 −𝑣
𝑒 2
∫
√2 𝜋 0
2
𝑑𝑣=
𝑑 𝑣........................................168
2
𝑣
𝑧
−
2
𝑒
∫
√2 𝜋 − 𝑧
1
1
𝑑 𝑣...................................................................................170
Таблица 3. Значения 𝜒𝑞2 в зависимости от вероятности
28
Мастер-класс профессора И.И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
P(𝜒 2 > 𝜒𝑞2 ) =
1
𝑘
2
∞
𝑘
2
𝑘 ∫𝜒2 (𝑥)
𝛤( )∙22
−1
𝑞
𝑥
𝑒 − 2 dx и числа k степеней
свободы 𝜒 2 распределения..............................................................................................................171
Таблица 4. Вероятность P(𝜒 2 > 𝜒𝑞2 ) =
𝑘
∞
1
𝑘
𝑘
𝛤( )∙22
2
−1
∫𝜒2 (𝑥)2
𝑞
𝑥
𝑒 − 2 dx в зависимости от
значений 𝜒𝑞2 и числа k степеней свободы 𝜒 2 распределения...................................................172
Таблица 5. Вероятность Pt =
𝑘+1
)
2
k
Γ( )√k π
2
Γ(
𝑡
∫−∞ (1
𝑡2
−
+ 𝑘)
𝑘+1
2
𝑑𝑡 для распределения
Стьюдента в зависимости от t и числа k степеней свободы.....................................................174
Таблица 6. Значения q -процентных пределов 𝑡𝑞,𝑘 в зависимости от числа k степеней
свободы и от вероятности
𝑞𝑡
100
= 2 ∙
𝑘+1
)
2
k
Γ( )√k π
2
Γ(
∙
∞
∫𝑡 (1
𝑞,𝑘
𝑡2
−
+ 𝑘)
𝑘+1
2
𝑑𝑡 для распределения
Стьюдента...........................................................................................................................................176
Таблица 7. Значения функции Лапласа Ф(x) =
2
√𝜋
𝑥
−
∫0 𝑒
𝑡2
2
𝑑 𝑡.....................................................177
Таблица 8. Значения z распределения Фишера, для которых 𝑃(𝑧 ≥ 𝑧)= 0,05........................178
Таблица 9. Значения z распределения Фишера, для которых 𝑃(𝑧 ≥ 𝑧)= 0,01........................179
11.05.11
Боголепов Игорь Ильич
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
(Национальный исследовательский университет РФ).
Кафедра «Технология, организация и экономика строительства» Инженерно-строительного
факультета. Завкафедрой профессор докт.техн.наук Ватин Н.И. http://www.stroikafedra.spb.ru
29