ким 2014x

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
КУЗНЕЦКИЙ ТЕХНИКУМ СЕРВИСА И ДИЗАЙНА им. Волкова В.А.
КОМПЛЕКТ
КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
Математика
по специальности СПО 43.02.05 Флорист
Новокузнецк, 2014
1
Введение
Контрольно-измерительные материалы (КИМ) предназначены для
контроля и оценки образовательных достижений студентов, освоивших
программу учебной дисциплины «Математика»
КИМ включают материалы для проведения текущего контроля,
практические и самостоятельные работы, материалы для проведения
аттестации в форме дифференцированного зачета.
КИМ разработаны на основании:
Федерального государственного образовательного стандарта (далее –
ФГОС) по специальности среднего профессионального образования (далее
СПО) 43.02.05 Флорист, 43. 02. 02 Парикмахерское искусство
Программы учебной дисциплины «Математика» для специальности СПО
43.02.05 Флорист , 43. 02. 02 Парикмахерское искусство
2
Пояснительная записка
Данное учебное пособие представляет собой сборник самостоятельных работ
по математике для обучающихся 1-2
курса для специальностей 43.02.05
Флорист, 43. 02. 02 Парикмахерское искусство на базе основного общего
образования.
Материал
в
каждой
самостоятельной
работе
распределен
по
возрастанию степени трудности. Все самостоятельные работы этого пособия
даны с некоторой долей избыточности, с тем, чтобы студент сам отобрал
нужное
число
примеров.
Критерий
оценивания
указан
к
каждой
самостоятельной работе индивидуально. Предлагаемые самостоятельные
работы можно использовать для текущего контроля знаний, умений и
навыков студентов, в качестве домашней работы.
Работы представлены в двух вариантах. Самостоятельную работу нужно
выполнять в отдельной тетради в клетку, чернилами черного или синего
цвета. Необходимо оставлять поля шириной 5 клеточек для замечаний
преподавателя. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно,
объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые
чертежи. Оформление решения задачи следует завершать словом «Ответ».
После получения проверенной преподавателем работы студент должен в этой
же тетради исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Вносить
исправления в сам текст работы после ее проверки запрещается.
В результате освоения дисциплины студент должен:
знать:
1. Значение математической науки для решения задач, возникающих в
теории и практике;
2. Значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для
формирования и развития математической науки; историю развития числа,
создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;
3. Универсальный характер законов логики математических рассуждений,
применимость во всех областях человеческой деятельности;
3
4. Вероятностный характер различных процессов окружающего мира;
уметь:
1. Выполнять арифметические действия над числами, находить значения
корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений;
2. Вычислять значения функции по заданному значению аргумента при
различных способах задания функции;
3. Находить производные элементарных функций;
4. Решать
рациональные,
показательные,
логарифмические,
тригонометрические уравнения и неравенства, системы уравнений и
неравенств, используя различные методы;
5. Решать
комбинаторные
задачи,
вычислять
вероятность
событий,
представлять анализ и информацию статистического характера;
6. Уметь распознавать на чертежах и моделях пространственные формы,
описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве,
изображать основные многогранники и тела вращения, вычислять объемы и
площади фигур.
Пособие содержит 27 самостоятельных работ по основным
темам за 10 – 11 классы.
4
Оглавление
Введение ................................................................................................................... 2
Пояснительная записка ........................................................................................... 3
Самостоятельная работа № 1 по теме: «Взаимное расположение прямых и
плоскостей в пространстве» ................................................................................... 7
1.Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием ЕК, не
лежащие в одной плоскости, Найдите периметр трапеции, если известно,
что в нее можно вписать окружность и АВ = 22,5 см, EK = 27,5 см. ............. 8
Самостоятельная работа № 2 по теме: «Параллелипипед и куб» ...................... 8
Самостоятельная работа № 3 по теме: «Призма» ................................................ 9
Самостоятельная работа № 4 по теме: «Пирамида» .......................................... 11
Самостоятельная работа № 5 по теме: «Цилиндр. Конус. ................................ 12
Самостоятельная работа № 6 по теме: «Объемы и площади поверхностей
геометрических тел» ............................................................................................. 14
Самостоятельная работа № 7 по теме: «Прямоугольная система координат в
пространстве. Формула расстояния между двумя точками» ............................ 15
Самостоятельная работа № 8 по теме: «Координаты вектора. Сложение
векторов, умножение вектора на число» ............................................................ 16
Самостоятельная работа № 9 по теме: «Угол между векторами. Скалярное
произведение векторов» ....................................................................................... 17
Самостоятельная работа № 10 по теме: «Действия с целыми числами» ........ 18
Самостоятельная работа № 11 по теме: «Действия с рациональными
числами»................................................................................................................. 19
Самостоятельная работа № 12 по теме: «Решение задач с использованием
приближенных вычислений» ............................................................................... 20
Самостоятельная работа № 13 по теме: «Действия с корнями» ...................... 21
Самостоятельная работа № 14 по теме: «Действия со степенями» ................. 23
Самостоятельная работа № 15 по теме: «Действия с логарифмами» .............. 24
Самостоятельная работа № 16 по теме: «Основные тригонометрические
тождества» .......................................................................................................... 25
Самостоятельная работа № 17 по теме: «Формулы приведения. Формулы
сложения»............................................................................................................... 27
5
Самостоятельная работа № 18 по теме: «Степенные, показательные,
логарифмические и тригонометрические функции» ......................................... 28
Самостоятельная работа № 19 по теме: «Рациональные и иррациональные
уравнения и неравенства» .................................................................................... 29
Самостоятельная работа № 20 по теме: «Показательные и логарифмические
уравнения и неравенства» .................................................................................... 30
Самостоятельная работа № 21 по теме: «Тригонометрические уравнения» .. 31
Самостоятельная работа № 22 по теме: «Производные основных
элементарных функций. Правила дифференцирования».................................. 32
Самостоятельная работа № 23 по теме: «Уравнение касательной к графику
функции» ................................................................................................................ 33
Самостоятельная работа № 24 по теме: «Первообразная и неопределенный
интеграл» ................................................................................................................ 34
Самостоятельная работа № 25 по теме: «Определенный интеграл.
Вычисление площади криволинейной трапеции» ............................................. 35
Самостоятельная работа № 26 по теме: «Перестановки, размещения и
сочетания» .............................................................................................................. 36
Самостоятельная работа № 27 по теме: «Вероятность события. Сложение и
умножение вероятностей» .................................................................................... 38
Литература ............................................................................................................. 40
Ответы .................................................................................................................... 42
6
Самостоятельная работа № 1 по теме: «Взаимное расположение
прямых и плоскостей в пространстве»
Вариант I
1.На рисунке 1 точки М, N, Q и Р — середины отрезков DB, DC, АС и АВ.
Найдите периметр четырехугольника MNQP, если AD= 12 см, ВС =14 см.
Рис. 1.
2. Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что
любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных
треугольников.
3. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно точки D и
Е так, что DE = 5 см и BD/DA=2/3. Плоскость α проходит через точки B и С и
параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка ВС.
4.Через точку М, не лежащую на прямой а, проведены две прямые, не
имеющие общих точек с прямой а. Докажите, что по крайней мере одна из
этих прямых и прямая а являются скрещивающимися прямыми.
Вариант II
7
1.Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием ЕК, не
лежащие в одной плоскости, Найдите периметр трапеции, если известно, что
в нее можно вписать окружность и АВ = 22,5 см, EK = 27,5 см.
2. Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD.
Докажите, что прямая AD параллельна плоскости ВМС.
3. Точка C лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через
точки В и С — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость
соответственно в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка СС1, если: точка С
— середина отрезка АВ и ВВ1=7 см.
4. Докажите, что если АВ и CD скрещивающиеся прямые, то AD и ВС также
скрещивающиеся прямые.
Критерии оценки: «3» - 2 задачи, «4» - 3 задачи, «5» - 4 задачи
Самостоятельная работа № 2 по теме: «Параллелипипед и куб»
Вариант I
1. Сумма всех ребер параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1 равна 120 см. Найдите
каждое ребро параллелепипеда, если
АВ
ВС
4 ВС
= ,
5 ВВ1
5
= .
6
2. Изобразите параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 и постройте его сечение
плоскостью АВС1.
3. Докажите, что в параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 плоскость А1ДВ
параллельна плоскости Д1СВ1.
4. Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трех ребер,
имеющих общую вершину.
8
5. Через два противополежащих ребра куба проведено сечение, площадь
которого равна 64√2 см2 . Найдите ребро куба и егодиагональ.
6. Найдите угол между двумя диагоналями граней куба, имеющими общий
конец.
Вариант II
1. Дан параллелепипед АВСДА1В1С1Д1. Докажите, что АС II А1С1 и ВД II
В1Д1.
2. Изобразите параллелепипедАВСДА1В1С1Д1 и постройте его сечение
плоскостью АСС1.
3. По какой прямой пересекаются плоскости сечений А1ВСД1 и ВДД1В1
параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1.
4. Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда
равна сумме квадратов двадцати его ребер.
5. Ребро куба равно a. Найдите площадь сечения проходящего через
диагонали двух его граней.
6. Сколько осей симметрии имеет куб?
Оценка: «3» - 4 задачи, «4» - 5задач, «5» - 6задач
Самостоятельная работа № 3 по теме: «Призма»
Вариант I
1. Докажите, что у прямой призмы все боковые грани – прямоугольники.
9
2. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое
ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону
верхнего основания и противолежащую вершину.
3. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с
основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при
боковых ребрах призмы.
4. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью
боковой грани угол в 30°. Найдите угол между диагональю и плоскостью
основания.
5. Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна
произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.
Вариант II
1. Докажите, что у правильной призмы все боковые грани – равные
прямоугольники.
2. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости
основания под углом 60 ° . Найдите площадь сечения, проходящего через
сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания,
если диагональ основания равна 4√2 см.
3. В правильной четырехугольной призме через диагональ основания
проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь
сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а ее высота равна 4 см.
4. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равна 12 см, а
перпендикулярным сечением является ромб, со стороной 5 см. Найдите
площадь боковой поверхности призмы.
10
5. Основание призмы правильный треугольник АВС. Бокое ребро АА1
образует равные углы со сторонами основания АС и АВ. Докажите, что
ВС⊥АА1.
Критерий оценивания: «3» - 3 задачи, «4» -4 задачи, «5» - 5 задач.
Самостоятельная работа № 4 по теме: «Пирамида»
Вариант I
1. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна
из его диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота
ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7см.
2. Основанием пирамиды ДАВС является ∆АВС, у которого АВ=АС=13 см,
ВС=10 см, ребро АД перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна m, а
плоский угол при вершине равен ∝. Найдите высоту пирамиды.
4. В правильной треугольной пирамиде ДАВС через боковое ребро ДС и
высоту ДО пирамиды проведена плоскость ∝ . Докажите, что ребро АВ
перпендикулярно к плоскости ∝.
Вариант II
11
1. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и
10 см. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом
45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2. Основанием пирамиды является параллелограмм со стронами 5 м и 4 м и
меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку
пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной
поверхности пирамиды.
3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна m, а
плоский угол при вершине равен ∝. Найдите боковое ребро пирамиды.
4. Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся
ребра взаимно перпендикулярны.
Критерий оценивания: «3» - 2 задачи, «4» - 3 задачи, «5» - 4 задачи
Самостоятельная работа № 5 по теме: «Цилиндр. Конус.
Шар»
Вариант I
1 Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой
диагональю и образующей цлиндра равен 60°. Найдите высоту цилиндра.
2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см.
Найдите площадь основания цилиндра.
3. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите
образующую конуса.
12
4. Образующая конуса равна L, а радиус основания равен r. Найдите площадь
сечения
проходящего
через
вершину
конуса
и
хорду
основания,
стягивающую дугу в 60°.
5. Шар радиуса 41 дм пресечен плоскостью, находящейся на 9 дм от центра.
Найдите площадь сечения.
6. Докажите, что центр сферы, описанной около правильной призмы, лежит
на высоте этой пирамиды или ее продолжении.
Вариант II
1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой
диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найдите площадь основания
цилиндра.
2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см.
Найдите высоту цилиндра.
3. Высота конуса равна 18 см, а радиус основания 7 см. Найдите
образующую конуса.
4. Образующая конуса равна L, а радиус основания равен r. Найдите площадь
сечения,
проходящего
через
вершину
конуса
и
хорду
основания,
стягивающую дугу в 90°.
5. Шар радиуса 42 дм пересечен, плоскостью, находящейся на расстоянии 10
дм от центра. Найдите площадь сечения.
6. Докажите, что центр сферы, описанной около правильной призмы, лежит в
середине отрезка, соединяющего его центры оснований этой призмы.
Критерий оценивания: «3» - 4 задачи, «4» - 5 задач, «5» - 6 задач
13
Самостоятельная работа № 6 по теме: «Объемы и площади
поверхностей геометрических тел»
Вариант I
1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, стороны основания
которого равны aи b, а высота равна h, если a=11, b=12, h=15.
2. Найдите объем куба АВСДА1В1С1Д1, если АС=12 см.
3. Найдите объем прямой призмы АВСА1В1С1если ∠ВАС = 120°, АВ=5 см,
АС=3 см и наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2 .
4. Найдите объем правильной n – угольной призмы, у которой каждое ребро
равно a, если n=3.
5. Пусть h, r и Vсоответственно высота, радиус основания и объем конуса.
Найдите V, если h=3 см, r =1,5 см.
6. Пусть V – объем шара радиуса R, а S – площадь его поверхности. Найдите
S и V,если R=4 см.
Вариант II
1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, стороны основания
которого равны a и b, а высота равна h, если a=3√2, b=√5, h=10√10.
2. Найдите объем куба АВСДА1В1С1Д1, если АС1=3√2 м.
3. Найдите объем рямой призмы АВСА1В1С1, если ∠АВ1С=60°, АВ1=3, СВ1=2
и двугранный угол с ребром ВВ1 прямой.
4. Найдите объем правильной n – угольной призмы, у которой каждое ребро
равно a, если n=4.
14
5. Пусть h, r и V соответственно высота, радиус основания и объем конуса.
Найдите h, если r= 4 см, V = 48𝜋 см3 .
6. Пусть V – объем шара радиуса R, а S – площадь его поверхности. Найдите
R и S, если V=113,04 см3 .
Критерий оценивания: «3» -4 задачи, «4» - 5 задач, «5» - 6 задач
Самостоятельная работа № 7 по теме: «Прямоугольная система
координат в пространстве. Формула расстояния между двумя
точками»
Вариант I
2
1. Даны векторы 𝑎⃗{3; −5;2},𝑏⃗⃗{0; 7;−1}, 𝑐⃗ { ; 0; 0} и𝑑⃗{−2,7; 3,1;0,5}. Найдите
3
координаты векторов а) 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗; б) 𝑎⃗ + 𝑐⃗; в) 𝑏⃗⃗ + 𝑎⃗ + 𝑑⃗.
2. На каждой из осей координат найдите такую точку, расстояние которой до
точки В(3;-4;√7) является наименьшем среди всех расстояний от точек этой
оси до точки В.
3. Даны точки А(-1;2;3), В(-2;1;2), С(0;-1;1). Найдите точку равноудаленную
от этих точек и расположенную в координатной плоскости Охy.
4. Отрезок СД длинны m перпендикулярен к плоскости прямоугольного
треугольника АВС с катетами АС=bи ВС=a. Введите подходящую систему
координат и с помощью формулы расстояния между двумя точками, найдите
расстояние от точки Д до середины гипотенузы этого треугольника.
Вариант II
15
2
1. Даны векторы 𝑎⃗{3; −5;2},𝑏⃗⃗{0; 7;−1}, 𝑐⃗ { ; 0; 0} и 𝑑⃗{−2,7; 3,1;0,5}. Найдите
3
координаты векторов а) 𝑑⃗ + 𝑏⃗⃗; б) 𝑑⃗ + 𝑎⃗; в) 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗.
2. На каждой из осей координат найдите такую точку, расстояние которой до
точки А(-1;2;-3) является наименьшем среди всех расстояний от точек этой
оси до точки А.
3. Даны точки А(-1;2;3), В(-2;1;2), С(0;-1;1). Найдите точку равноудаленную
от этих точек и расположенную вкоординатной плоскости Оyz.
4. Отрезок СД длинны m перпендикулярен к плоскости прямоугольного
треугольника АВС с катетами АС=b и ВС=a. Введите подходящую систему
координат и с помощью формулы расстояния между двумя точками, найдите
расстояние от точки Д до середины гипотенузы этого треугольника.
Критерий оценивания: «3» -2 номера, «4» - 3 номера, «5» - 4 номера
Самостоятельная работа № 8 по теме: «Координаты вектора.
Сложение векторов, умножение вектора на число»
Вариант I
1. Дан тетраэдр АВСД. Докажите, что ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АВ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВД = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АС + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
СД.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑁𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
2. Упростите выражение: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АВ + 𝑀𝑁
𝐵𝐶 + 𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 5(𝑝⃗ − 4𝑚
3. Упростите: 𝑚
⃗⃗⃗ − 3(𝑛⃗⃗ − 2𝑚
⃗⃗⃗ + 𝑝)
⃗⃗⃗).
4. Векторы
𝑎⃗ и с⃗⃗⃗, а также в⃗⃗⃗ и с⃗ коллинеарны. Докажите, что коллинеарны а⃗⃗ − в⃗ и с⃗.
16
Вариант II
1. Дан тетраэдр АВСД. Докажите, что ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ДС + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВД = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АС + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВА.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐾𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑄𝐾
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
2. Упростите выражение: 𝐹𝐾
3. Упростите: 2(𝑛⃗⃗ + 𝑚
⃗⃗⃗) − 3(4𝑚
⃗⃗⃗ − 𝑛⃗⃗) + 𝑚
⃗⃗⃗.
4. Векторы
𝑎⃗ и с⃗⃗⃗, а также в⃗⃗⃗ и с⃗ коллинеарны. Докажите, что коллинеарны а⃗⃗ + в⃗ и с⃗.
Критерий оценивания: «3» -2 номера, «4» - 3 номера, «5» - 4 номера
Самостоятельная работа № 9 по теме: «Угол между векторами.
Скалярное произведение векторов»
Вариант I
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и СД
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ равен 𝜑. Найдите угол между векторами
1. Угол между векторами АВ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВА и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
СД.
⃗⃗⃗⃗⃗и⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗. Вычислите: а) а⃗⃗ ∙ 𝑏⃗⃗;б) (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗)∙
2. Даны векторы 𝑎⃗ = 3𝑖⃗ − ⃗⃗⃗⃗
5𝑗 + 𝑘
𝑏 = 𝑗⃗ − 5𝑘
⃗⃗ .
𝑘
3. В
параллелепипеде
АВСДА1В1С1Д1,
АА1=АВ=АД=1,
∠ДАВ=60 ° ,
̂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∠А1АД=∠А1АВ=90°. Вычислите: а) ВС
Д1 В; б) |А
1 С|; в) cos(ДА1 Д1 В).
Вариант II
17
1. Угол между векторами ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АВ и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
СД равен 𝜑. Найдите угол между векторами
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВА и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ДС.
⃗⃗ и ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ . Вычислите: а) (а⃗⃗ − 2𝑏⃗⃗)(𝑘
⃗⃗ +
2. Даны векторы 𝑎⃗ = 3𝑖⃗ − ⃗⃗⃗⃗
5𝑗 + 𝑘
𝑏 = 𝑗⃗ − 5𝑘
𝑎⃗⃗
𝑖⃗ − 2𝑗⃗);б) ⃗⃗.
𝑏
3. В
параллелепипеде
АВСДА1В1С1Д1,
АА1=АВ=АД=1,
∠ДАВ=60 ° ,
̂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 |; в) cos(АС
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∠А1АД=∠А1АВ=90°. Вычислите: а) ВА
Д1 С1 ; б) |ДВ
1 ДВ1 ).
Критерий оценивания:«4» - 1 номер,«4» - 2 номера, «5» - 3 номера
Самостоятельная работа № 10 по теме: «Действия с целыми
числами»
Вариант I
1. Докажите, что сумма трех последовательных натуральных чисел делится
на 3, а их произведение – на 6.
2. К числу 523 допишите две цифры справа так, чтобы полученное
пятизначное число делилось на 3 и 5.
3. Найдите значение выражения:
а)
1
3
1
2,5−0,4∙(−33)
2,75:1,1+3
;
б)
1 1
2 0,25
46
6−
1+2,2∙10
1+ ∙
.
4. Расположите числа в порядке возрастания:
а) √3; −2; −1,7;
𝜋
3
;
б) е; -1,(6); √10; 15.
5. Докажите, что |𝑎| = |−𝑎|.
18
Вариант II
1. Докажите, что 1056 − 1 делится на 3 и 11.
2. К числу 523 допишите две цифры справа так, чтобы полученное
пятизначное число делилось на 8 и 9.
3. Найдите значение выражения:
1
1
а) (1,4 − 3,5: 1 ) : 2,4 + 3,4: 2 ;
4
8
б)
1
3
3 :10+0,175:
3
4
11 51
17 56
1 −1 ∙
7
20
.
4. Расположите числа в порядке возрастания:
7
а) 0, (2); ;
6
√5
;
2
5
б) √25; -1; ; -√5.
6
5. Докажите, что |𝑥|2 = 𝑥 2 .
Критерий оценивания: «3» -3 примера; «4» - 4 примера; «5» - 5 примеров
Самостоятельная работа № 11 по теме: «Действия с рациональными
числами»
Вариант I
1. Докажите, что не является рациональным каждое из чисел:
а) √5;
б) 2√7.
2. Докажите рациональность числа:
а)
√3+√2
√3−√2
− 2√6;
19
б) (3√18 + 2√8 + 4√50): √2.
3. Верно ли, что сумма (произведение) чисел a и b является рациональным
числом, если a и b рациональные числа.
Вариант II
1. Докажите, что не является рациональным каждое из чисел:
а) √5 + 1;
б)
√7
.
3
2. Докажите рациональность числа:
а)
√7+√5
√7−√5
− √35;
б) (√2 + 1)2 + (1 − √2)2 − (√7 + 1)(√7 − 1).
3. Верно ли, что сумма (произведение) чисел a и b является рациональным
числом, если a рациональное число, а b иррациональные число.
Критерий оценивания: «3» -1 пример; «4» - 2 примера; «5» - 3 примера
Самостоятельная работа № 12 по теме: «Решение задач с
использованием приближенных вычислений»
Вариант I
1. Укажите верные цифры в записи приближенного значения числа:
20
б) 2,8∙ 10−4 ± 0,3 ∙ 10−4 .
а) 3,82±0,1;
2.
Пользуясь
формулой (1 + 𝑥)𝑛 ≈ 1 + 𝑛𝑥, вычислите
приближенное
значение выражения:
а) 1,0025
б) 2,0043 .
3. Известно, что а≈11,5, b≈3.8. Найдите приближенное значение выражения:
𝑎
а) a+b;
б) .
𝑏
4. Найдите с точностью до 0,01
5
а) √2 + ;
б) √6 −
9
1
11
Вариант II
1 Укажите верные цифры в записи приближенного значения числа:
б) 1,980∙ 104 ± 0,001 ∙ 104 .
а) 7,891±0,1;
2. Пользуясь формулой (1 + 𝑥)𝑛 ≈ 1 + 𝑛𝑥, вычислите приближенно:
а) 0,9974
б) 3,015 .
3. Известно, что а≈11,5, b≈3.8. Найдите приближенное значение выражения:
а) 3a-b;
б) 𝑎 ∙ 𝑏.
4. Найдите с точностью до 0,01
2
5
а) √5 − ;
б) √3 + .
7
6
Критерий оценивания: «3» -2 примера; «4» - 3 примера; «5» - 4 примера
Самостоятельная работа № 13 по теме: «Действия с корнями»
Вариант I
21
1. Вычислите:
27
3
3
4
5
81
а) √−27; б) √− ; в) √−32; г) √ .
8
256
2. Решите уравнения:
а) 𝑥 3 + 4 = 0; б) 𝑥 6 = 5; в) 𝑥 7 + 128 = 0; г) 𝑥 4 = 10.
3.Найдите значение числового выражения:
5
5
3
3
6
6
а) √8 ∙ 343; б) (2√−2) ; в) √75 ∙ 45; г) (−√2) .
4. Вынести множитель за знак корня (a> 0, 𝑏 > 0):
6
5
3
4
а) √64𝑥 8 𝑏11 ; б) √−128𝑎7 ; в) √6𝑎12 𝑏 6 ; г) √54𝑎10 .
5. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит
знака корня.
а)
3
; б)
√7−√5
𝑎−√2
.
𝑎+√2
6. Найдите значение выражения:
3
3
б) √3 − √5 ∙ √3 + √5.
а) √10 + √73 ∙ √10 − √73;
Вариант II
1. Вычислите:
5
1
4
а) √ ; б) √
32
81
625
4
3
; в) √81; г) √64.
2. Решите уравнения:
а) 16𝑥 4 − 1 = 0; б) 𝑥 6 − 64 = 0; в) 𝑥 3 = 4; г) 𝑥 5 = 3.
22
3.Найдите значение числового выражения:
3
3
4
5
4
4
а) √48 ∙ 27; б) (√7) ; в) √160 ∙ 625; г) (−√11) .
4. Внести множитель под знак корня (a> 0, 𝑏 > 0):
8
4
а) −𝑏 √3; б) 𝑎𝑏 √
5𝑏3
𝑎7
3
4
; в) 𝑎 √7; г) −𝑎𝑏 √−4.
5. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит
знака корня.
а)
1
√6+1
.
√6−1
; б)
√5+√2
6. Найдите значение выражения:
3
4
4
а) √9 − √65 ∙ √9 + √65;
б)
2
√(4+√17)
3
√4−√17
+ √17.
Критерий оценивания: «3» -3 примера; «4» - 4 примера; «5» - 5-6
примеров
Самостоятельная работа № 14 по теме: «Действия со степенями»
Вариант I
1. Упростите выражение:
а)
𝑥−1
1
𝑥+𝑥 2 +1
7
б)
:
𝑥 0,5 +1
𝑥 1,5 −1
5 2
+
4
5
4 1
2
2
𝑎3 −𝑎3 𝑏3 −𝑎𝑏3 +𝑎3 𝑏
1 1
в) (
3𝑥
−1
)
;
1
𝑎3 −2𝑎3 𝑏3 +𝑎𝑏 3
2𝑥+𝑥 2 𝑦 2
2
𝑥 −0,5
∙ 𝑎 −3 ;
3
∙(
3
𝑥 2 −𝑦 2
1 1
𝑥−𝑥 2 𝑦 2
−
𝑥−𝑦
1
1
);
𝑥 2 +𝑦 2
23
1
г)
𝑐−1
3
1
𝑐 4 +𝑐 2
∙
1
𝑐 2 +𝑐 4
1
𝑐 2 +1
1
∙ 𝑐 4 + 1.
2. Вычислите при помощи таблиц:
7,832∙ 4√12,98
5,2562
.
Вариант II
1. Упростите выражение:
1
2
1
1
2
𝑎𝑏
а) (𝑎 𝑏 −
1 1
):
𝑎+𝑎2 𝑏2
1
1−𝑐 −2
б) (
1
−1 −
𝑐 2 −𝑐 2
2𝑐 2
𝑐2
1
в)
3(𝑎𝑏)2 −3𝑏
𝑎−𝑏
𝑎−𝑏
;
2 −2
𝑐 −2 −𝑐
1
;
−1 ) (1 + 2 )
𝑐
𝑐 2 −𝑐 2
1
2
1
2
3
+ (𝑎 − 𝑏 ) +
3
3
2𝑎2 +𝑏2
3
3
;
𝑎2 +𝑏2
1
г) (
+
1
(𝑎𝑏)4 −𝑏2
1
2(𝑥 4 −𝑦 4 )
1
1
1
1
− −
− −
𝑥 2 𝑦 4 −𝑥 4 𝑦 2
− 𝑥 − 𝑦) :
𝑦−𝑥
1
1
.
𝑥 2 −𝑦 2
2. Вычислите при помощи таблиц: 3
102,32
√92,14∙6,341
.
Критерий оценивания: «3» -2 примераиз 1 номера; «4» - 4 примера из 1
номера; «5» - 2номера
Самостоятельная работа № 15 по теме: «Действия с логарифмами»
Вариант I
1. Сравните числа:
24
а) log 3 2 + log 3 7 и log 3 (2 + 7);
б) 3log 7 2 и log 7 (3 − 2).
3
2
4
3
2. Найдите x, если log 4 𝑥 = 2log 4 10 + log 4 81 − log 4 125.
4
3. Прологарифмируйте по основанию a выражение 25𝑏 7 √𝑐 7 при 𝑎 = 5.
Вариант II
1. Сравните числа:
а) log 4 5 − log 4 3 и log 4 (5 − 3);
б) log 3 1,5 + log 3 2 и log 3 1,52 .
1
2. Найдите x, если log 1 𝑥 = log 1 16 − log 1 8 + log 1 28.
3
2
3
3
3
3. Прологарифмируйте по основанию a выражение
0,0016𝑏4
7
𝑐 √𝑐 2
при 𝑎 = 0,2.
Критерий оценивания: «3» -1номер; «4» - 2номера; «5» - 3номера
Самостоятельная работа № 16 по теме: «Основные
тригонометрические тождества»
Вариант I
1. Упростите выражение:
а) tg 2 ∝ −sin2 ∝ −tg 2 ∝∙ sin2 ∝;
б) (3 sin ∝ +2 cos ∝)2 + (2 sin ∝ −3 cos ∝)2 .
2. Докажите тождество:
25
tg(∝+β)−tg∝−tgβ
tg∝∙tg(∝+β)
= tgβ.
3. Вычислите:
2
а) cos 4 ∝ +sin4 ∝, если sin 2 ∝= ;
3
б)
∝
2
∝
1+sin∝
2
1−sin2
, если tg = 𝑚.
x
y
z
𝑎
2
2
2
𝑏+𝑐
4. Найдите сумму tg 2 + tg 2 + tg 2 , если cos 𝑥 =
𝑐
𝑎+𝑏
, cos 𝑦 =
𝑏
𝑐+𝑎
, cos 𝑧 =
,
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≠ 0.
Вариант II
1. Упростите выражение:
а) √cos 2 β(1 + ctgβ) + cos 2 β(1 + tgβ)
б)
cosβtgβ
sin2 β
− ctgβcosβ.
2. Докажите тождество:
cos(∝+β)+cos(∝−β)
sin(∝+β)+sin(∝−β)
= ctg ∝.
3. Вычислите:
1
а) cos ∝, если sin ∝ 𝑡𝑔 ∝= ;
2
∝
б) sin ∝, если tg = −√2.
2
x
y
z
𝑎
2
2
2
𝑏+𝑐
4. Найдите сумму tg 2 + tg 2 + tg 2 , если cos 𝑥 =
𝑐
𝑎+𝑏
, cos 𝑦 =
,
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≠ 0.
Критерий оценивания: «3» -2номер; «4» - 3номера; «5» - 4номера
26
𝑏
𝑐+𝑎
, cos 𝑧 =
Самостоятельная работа № 17 по теме: «Формулы приведения.
Формулы сложения»
Вариант I
1. Найдите значения выражений:
𝜋
𝜋
а) 3sin (2 ∝ − ) + 2 cos(3 ∝ −𝜋), если ∝= ;
4
4
π
π
𝜋
б) cos (∝ + ) tg 2 (2 ∝ + ) , если ∝= − .
3
2
6
2. Докажите тождества:
𝜋
𝜋
4
4
а) sin ( +∝) = cos ( −∝);
б)
sin∝+2 sin 2∝+ sin 3∝
cos∝+2 cos 2∝+ cos 3∝
= tg2 ∝.
3. Вычислить без помощи таблиц и калькулятора: (sin
7𝜋
𝜋
− sin ) : cos
18
18
Вариант II
1. Найдите значения выражений:
𝜋
5𝜋
а) 𝑠𝑖𝑛2 (∝ − ) + 3 tg ( −
3
4
π
3𝜋
) , если ∝=
2
π
2𝜋
3
;
𝜋
б) 4 cos (3 ∝ − ) + ctg (∝ + ) , если ∝= .
6
12
6
2. Докажите тождества:
а)
б)
𝑡𝑔∝+𝑡𝑔𝛽
𝑡𝑔(∝+𝛽)
+
𝑡𝑔∝−𝑡𝑔𝛽
𝑡𝑔(∝−𝛽)
1−4sin2 t∙cos2t
cos2 t−sin2 t
= 2;
= cos2t.
3. Вычислить без помощи таблиц и калькулятора:
27
cos
11𝜋
𝜋
−cos
12
12
5𝜋
sin
12
.
2𝜋
9
.
Критерий оценивания: «3» -1номер; «4» - 2номера; «5» - 3номера
Самостоятельная работа № 18 по теме: «Степенные, показательные,
логарифмические и тригонометрические функции»
Вариант I
1. Найдите область определения функции: 𝑦 = √sin2 x − cos 2 x.
1
𝜋
2. Исследуйте функцию и постройте ее график: 𝑦 = + sin (𝑥 − ) .
2
6
3. Найдите область значений функции: 𝑦 = 3𝑥 −2 .
1 𝑥−1
4. Постройте график функции: 𝑦 = ( )
3
.
5. Найдите промежутки знакопостоянства: 𝑦 = 2 − 3𝑥 .
Вариант II
1. Найдите область определения функции: 𝑦 =
𝑥
𝑥
x
sin cos
2
2
.
1
𝜋
2
4
2. Исследуйте функцию и постройте ее график: 𝑦 = 1 + cos ( − 𝑥) .
3. Найдите область значений функции: 𝑦 = 1 + |log 2 𝑥|.
4. Постройте график функции: 𝑦 = 2|𝑥| .
5. Найдите промежутки знакопостоянства: 𝑦 = √𝑥 + 3.
Критерий оценивания: «3» -3номера; «4» - 4 номера; «5» - 5номеров
28
Самостоятельная работа № 19 по теме: «Рациональные и
иррациональные уравнения и неравенства»
Вариант I
1. Решите уравнения:
а) 3(𝑥 − 2) − 5 = 4 − (5𝑥 − 1);
3
б) √√3𝑥 + 1 − √3𝑥 + 1 = 0.
2. Решите неравенства:
а) (3𝑥 − 2)2 − 4𝑥(2𝑥 − 3) ≥ 0;
б) √𝑥 2 − 16 ≥ 1.
Вариант II
1. Решите уравнения:
а) 7 − 2(3 − 𝑥) = 4(𝑥 − 1) + 5;
б) √𝑥 + 7 + √𝑥 − 2 = 9.
2. Решите неравенства:
а) 3 +
2−3𝑥
4
≤ 2𝑥;
б) (√𝑥 − 3)(𝑥 2 + 1) > 0.
Критерий оценивания: «3» -2задания; «4» - 3задания; «5» - 2 номера
29
Самостоятельная работа № 20 по теме: «Показательные и
логарифмические уравнения и неравенства»
Вариант I
1. Решите уравнения:
а) 0,2𝑥
2 −16𝑥−37.5
2
б)
6𝑥
2−15
=
3−15
612−12𝑥
= 5√5;
;
в)3log 22sin x + log 2 (1 − cos 2x) = 2;
г) log 3 √𝑥 − 5 + log 3 √2𝑥 − 3 = 1.
2. Решите неравенства:
а)0,04𝑥 − 26 ∙ 0,2𝑥 + 25 ≤ 0;
1 2𝑥+1
б)22𝑥+1 + ( )
2
5
− ≥ 0;
2
в)log 1 (𝑥 − 2) + log 1 (12 − 𝑥) ≥ −2;
3
3
г)lg 2 x ≥ lgx + 2.
Вариант II
1. Решите уравнения:
а) 2𝑥
2 −3
∙ 5𝑥
2 −3
= 0,01 ∙ (10𝑥−1 )3 ;
б) 52𝑥−1 + 22𝑥 = 52𝑥 − 22𝑥+2 ;
в)x − xlg5 = lg(2x + x − 3);
г) lg(3 ∙ 5x + 24 ∙ 20x ) = x + lg18.
30
2. Решите неравенства:
а) 4𝑥 − 10 ∙ 2𝑥 + 16 < 0;
б)𝑥 2 ∙ 5𝑥 − 52+𝑥 < 0;
в)2 log 2 𝑥 < 2 + log 2 (𝑥 + 3);
г)log 2
3x−5
x+1
≤ 1.
Критерий оценивания: «3» -за 2уравнения и 2 неравенства; «4» - за 3
уравнения и 3 неравенства; «5» - за 4 уравнения и 4 неравенства.
Самостоятельная работа № 21 по теме: «Тригонометрические
уравнения»
Вариант I
1. Решите уравнения:
𝜋
а) 4sin 2𝑥 − 3 sin (2𝑥 − ) = 5;
2
б) cos2 𝑥 + 4sin2 𝑥 = 2 sin 2𝑥;
в) cos 2𝑥 − cos 6𝑥 = 0;
𝑥
г tg𝑥 − sin 𝑥 = 2sin2 ;
2
д)
6
ctg𝑥+2
= 3 − ctg𝑥;
𝑥
𝑥
2
2
е) 4(1 − cos 𝑥) = 3 sin cos 2 .
Вариант II
31
1. Решите уравнения:
𝜋
𝜋
4
4
а) cos ( + 𝑥) + cos ( − 𝑥) = 1;
б) sin x + sin 2𝑥 + sin 3𝑥 = 0;
в) sin 𝑥 + sin 2𝑥 = 𝑡𝑔𝑥;
г) sin 𝑥𝑡𝑔𝑥 = cos 𝑥 + 𝑡𝑔𝑥;
д) arccos
1+2x
3
=
2π
3
;
𝑥
𝑥
2
2
е) 4 ∙ (1 − cos 𝑥) = 3 sin2 cos .
Критерий оценивания: «3» -за 3уравнения; «4» - за 4 уравнения; «5» - за
5уравненийи
Самостоятельная работа № 22 по теме: «Производные основных
элементарных функций. Правила дифференцирования»
Вариант I
1. Найдите отношение
∆𝑓
∆𝑥
1
для функции f, если 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , 𝑥0 = 1, 𝑥0 = 0,1.
2
2. Пользуясь определением, найдите производную функции f в точке 𝑥0 , если
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 1, 𝑥0 = −1.
3. Найдите производную функции 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 5)(𝑥 3 + 2𝑥) + 2.
4. Решите уравнение 𝑓 ′ (𝑥) = 0, если 𝑓(𝑥) = 𝑥 + cos 2𝑥.
Вариант II
32
1. Найдите отношение
∆𝑓
∆𝑥
для функции f, если 𝑓(𝑓) = 3 − 2𝑓, 𝑓0 = 2, 𝑓0 =
0,2.
2. Пользуясь определением, найдите производную функции f в точке 𝑓0 , если
𝑓(𝑓) = 3𝑓 + 2, 𝑓0 = 5.
3. Найдите производную функции 𝑓(𝑓) = (𝑓3 + 5)(𝑓2 + 2𝑓) + 2.
4. Решите уравнение 𝑓′ (𝑓) = 0, если 𝑓(𝑓) = 1,5 sin 2𝑓 − 5 sin 𝑓 − 𝑓.
Критерий оценивания: «3» -2 номера; «4» - 3 номера; «5» - 4 номера
Самостоятельная работа № 23 по теме: «Уравнение касательной к
графику функции»
Вариант I
1. Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой
𝑓0 .
3
а) 𝑓(𝑓) = , 𝑓0 = −1, 𝑓0 = 1;
𝑓
𝑓
б) 𝑓(𝑓) = 3 sin 𝑓 , 𝑓0 = , 𝑓0 = 𝑓.
2
2. Найдите точки графика функции f, в которых касательная параллельна оси
абсцисс:
𝑓(𝑓) = √2𝑓 − 2 sin 𝑓.
3. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей
через данную точку М графика функции f, 𝑓(𝑓) = 𝑓2 ,M(-3;9).
33
Вариант II
1. Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой
𝑓0 .
а) 𝑓(𝑓) = 𝑓3 − 1, 𝑓0 = −1, 𝑓0 = 2;
𝑓
б) 𝑓(𝑓) = 1 + cos 𝑓 , 𝑓0 = 0, 𝑓0 = .
2
2. Найдите точки графика функции f, в которых касательная параллельна оси
абсцисс:
𝑓(𝑓) = 3𝑓4 − 6𝑓2 + 2.
3. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей
через данную точку М графика функции f, 𝑓(𝑓) = 𝑓3 ,M(-1;-1).
Критерий оценивания: «3» -1 номер; «4» - 2 номера; «5» - 3 номера
Самостоятельная работа № 24 по теме: «Первообразная и
неопределенный интеграл»
Вариант I
1. Найдите общий вид первообразных для функции 𝑓(𝑓) = 2 +
3
𝑓−1
.
2. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через
точку М:
𝑓(𝑓) = sin 2x , M(0; 1).
34
3. Вычислить неопределенный интеграл:
а) ∫ 𝑓4 𝑓𝑓;
б) ∫ sin 𝑓 𝑓𝑓.
Вариант II
1. Найдите общий вид первообразных для функции 𝑓(𝑓) =
2
𝑓𝑓𝑓2 2𝑓
+
3
.
𝑓𝑓𝑓2 3𝑓
2. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через
точку М:
𝑓(𝑓) = 𝑓−4 , M(2; −3).
3. Вычислить неопределенный интеграл:
а) ∫ 𝑓3 𝑓𝑓;
б) ∫ cos 𝑓 𝑓𝑓.
Критерий оценивания: «3» -2 номер; «4» - 2,5номера; «5» - 3 номера
Самостоятельная работа № 25 по теме: «Определенный интеграл.
Вычисление площади криволинейной трапеции»
Вариант I
1. Вычислить определенный интеграл:
3
а) ∫−1(3𝑓2 − 2𝑓 + 1)𝑓𝑓;
8
б) ∫0
1
2√𝑓+1
𝑓𝑓 ;
35
𝑓
1
3
𝑓
cos2 3𝑓
12
в) ∫
32
𝑓𝑓;
3
г) ∫1 𝑓−5 𝑓𝑓.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 𝑓 = 𝑓2 − 6𝑓 +
5, 𝑓 = 0, 𝑓 = 1.
Вариант II
1. Вычислить определенный интеграл:
3
1
а) ∫1 (𝑓2 − 2) 𝑓𝑓;
𝑓
4
б) ∫2 𝑓0,5𝑓+3 𝑓𝑓 ;
𝑓
2
𝑓
6
𝑓
в) ∫ 21 cos (3𝑓 − ) 𝑓𝑓;
6
г)
2
8
∫1 (𝑓3
+ 1)𝑓𝑓.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 𝑓 = 𝑓2 , 𝑓 =
𝑓−1 , 𝑓 = 𝑓.
Критерий оценивания: «3» -2 задания из 1 номера; «4» - 1 номер; «5» - 2
номера
Самостоятельная работа № 26 по теме: «Перестановки, размещения
и сочетания»
36
Вариант I
1.Вычислите:
а) 𝑓312 : 𝑓312 ;б)
𝑓20
𝑓5 ∙𝑓15
.
2.Решите уравнение: C2x+3 = 6.
3.В книжном магазине имеется в продаже 10 книг одной серии. Покупатель
решил приобрести з книги из этой серии. Сколькими способами он может
это сделать?
Вариант II
1. Вычислите:
а) 𝑓38 : 𝑓38 ;б)
𝑓15
𝑓5 ∙𝑓10
.
2. Решите уравнение:A2x − C2x = 21.
3. В классе 14 мальчиков и 11 девочек. Для участия в эстафете надо выбрать
команду, состоящую из 5 девочек и 5 мальчиков. Сколькими способами
можно собрать команду?
Критерий оценивания: «3» - 1 номер; «4» - 2 номера; «5» - 3 номера
37
Самостоятельная работа № 27 по теме: «Вероятность события.
Сложение и умножение вероятностей»
Вариант I
1. В первой урне 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4
белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих
двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый
шар.
2. Вероятность попадания в кольцо с места штрафного броска для данного
баскетболиста равна 0,6. Баскетболист сделал серию из 4 бросков. Какова
вероятность того, что при этом было ровно три попадания?
3. Галя дважды бросила игральный кубик. Известно, что в сумме у нее
выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что при втором броске выпало 6
очков.
4. На соревнования по метанию ядра приехали 5 спортсменов из Сербии, 7 из
Хорватии и 3 из Норвегии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой.
Найдите вероятность того, что двенадцатым будет выступать спортсмен из
Норвегии.
5. Стрелок метает по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает
второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном
выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена
(одним из выстрелов).
Вариант II
38
1. Какова вероятность того, что при пяти подбрасываниях монеты она три
раза упадет гербом кверху?
2. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3.
Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два
выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность
того, что стрелки получат приз.
3. В классе 21 шестиклассник, среди них два друга – Митя и Петя. Класс
случайным образом делят на три группы по 7 человек в каждой. Найдите
вероятность того, что Митя и Петя окажутся в одной и той же группе.
4. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность
того, что 2 наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.
5. В корзине 10 яблок, из которых четыре зеленых. Наудачу достали три
яблока. Найти вероятность того, что хотя бы одно из выбранных яблок
зеленое.
Критерий оценивания: «3» - 3 задачи; «4» - 4задачи; «5» - 5задач
39
Литература
Основные источники:
1. Атанасян, Л. С. Геометрия [Текст]: учебн. для общеобразоват учреждений /
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев. – М.: Просвещение, 2010. –
255 с.: ил.
2. Колмогоров, А. Н. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебн. для 10-11 кл.
общеобразоват учреждений / А. Н. Абрамов, Ю. П. Дудницын; под ред. А. Н.
Колмогорова. – М.: Просвещение, 2012. – 384 с.: ил.
3. Пехлецкий, И. Д. Математика [Текст]: учебн. для студентов / И. Д.
Пехлецкий. – 7-е изд., стереотип. - М.: Академия, 2010. – 304 с. – (Серия
«Среднее профессиональное образование»).
Дополнительная литература:
1. Александрова, Л. А. Алгебра и начала математического анализа [Текст]:
самостоятельные работы для учащихся / Л. А. Александрова; под ред. А. Г.
Мордковича.
–
М.:
Мнемозина,
2013.
–
100
с.
–
(Серия
«Общеобразовательное учреждение»).
2. Алимов, Ш. А. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебн. для 10-11 кл. / Ш.
А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров. – М.: Просвещение, 2011. – 384
с.: ил.
3. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебн. для
общеобразоват учреждений / А. Г. Мордкович. 12-е изд. – М.: Мнемозина,
2012. – 335 с.: ил.
4. Муравин, Г. К. Математика: алгебра и начала анализа, геометрия [Текст]:
учебник для 10 кл. / Г. К. Муравин, О. В. Муравина. – М.: Дрофа, 2013. – 318
с. – (Серия «Общеобразовательное учреждение»).
40
5. Никольский,С. М. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебн. для
общеобразоват учреждений / С. М. Никольский. 10-е изд. – М.: Просвещение,
2010. – 464 с. – (Серия «Общеобразовательной учреждение»).
6. Погорелов, А. В. Геометрия [Текст]: учебн. для 10-11 кл. / А. В. Погорелов.
13-е изд., стереотип. - М.: Академия, 2014. – 175 с. – (Серия
«Общеобразовательное учреждение»).
7. Шабанин, М. И. Алгебра и начала математического анализа [Текст]:
дидактические материалы / М. И. Шабанин, М. В. Ткачева. – М.:
Просвещение, 2010. – 144 с. – (Серия «Общеобразовательное учреждение»).
Приложение
41
№ с/р
Ответы
Вариант № 1
№
Вариант № 2
задания
1
8см, 10 см, 12 см.
2
Параллелограмм АВС1Д1
АСС1А1
2
3
Параллелограмм
5
8 см, 8√3 см
6
60°
а) ∞ мн-во, б) 3, в) 9
2
8√21 см2
16√7 см2
3
45°, 135°, 45°, 135°
2√3 см2
4
45°
240 см2
5
Указание: учесть, что боковые
грани
наклонной
призмы
являются параллелограммами
1
4
5
6
√58см, √58 см,
48√2 см2
√65см, √65 см
2
192 см2
3
m cos ∝
∝
2 sin
2
(2√34 + 22) м2
m
∝
2 sin
2
1
24 см
432𝑓 см2
2
50𝑓 см2
10√2 см
3
17 см
4
r√4l2 − r2
4
5
1600𝑓 дм2
1
1980
300
2
432√2 см3
6√6 м3
3
75√3
4
см3
42
r√2l2 − r2
2
1,5√2
4
√3a3
4
a3
5
2,25 𝑓 см3
9 cм
6
7
64 𝑓 см2,
256
3
𝑓 см3
≈ 3 см, ≈ 36πсм2
1а
{3; 2; 1}
{−2,7; 10,1; −0,5}
1б
2
{3 ; −5; 2}
3
{0,3; −1,9; 2,5}
1в
{0,3; 5,1; 1,5}
2
{3 ; 2; 1}
3
2
(3;0;0), (0;-4;0), (0;0;√7),
(0;2;-3), (-1;2;0), (1;0;-3),
3
8
9
3
(0;1; )
3 8
2
4
𝑓2 𝑓2
√ +
+ 𝑓2
4
4
𝑓2 𝑓2
√ +
+ 𝑓2
4
4
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑓𝑓
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑓𝑓
3
⃗⃗⃗⃗ − 3𝑓
⃗⃗⃗⃗ + 2𝑓
⃗⃗⃗⃗
-13𝑓
1
𝑓
180° − 𝑓
2a
-10
28
2б
-4
3а
-1,5
-1
3б
2
√2
3в
10
8 17
( ; ;0)
2
−
1
4
52305;52335;52365;52335;
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
−9𝑓 + 5𝑓
√2
4
52334
52320;52350;52380
1а
1б
1в
1г
-3
−
3
2
-2
43
1
2
3
5
3
2
2а
−√4
2б
√6
2г
4
1
2
3
5
2в
13
3
±2
-2
3
√4
4
√10
5
√3
3а
14
6
3б
-64
7
3в
15
10
3г
2
11
4в
𝑓3 𝑓 √6𝑓2
4
√4𝑓3 𝑓3
5а
3(√5 + √7)
2
(√5 − √2)
2
5б
(𝑓 − √2)
3
4г
2
𝑓2 − 2
1а
14
3
1
2(𝑓2 − 𝑓2 )
1г
1
1
𝑓2 + 2
1
𝑓2
2
15
1
𝑓𝑓2 (𝑓4 + 𝑓4 )
𝑓2,5
1б
1в
7 + 2 √6
5
3
365,06446
1а
первый больше
второй больше
1б
первый больше
второй больше
2
27
4
14
3
7
5 + 15log5 𝑓 + log5 𝑓
4
4 + 4log0,2 𝑓
44
9
− log0,2 𝑓
7
16
17
1а
0
|sin ∝ + cos 𝑓|
1б
13
sin 𝑓
3б
1−𝑓
1+𝑓
4
1
1а
5√2
2
1б
√3
6
3
1
18
−
2√2
3
1
−
9
4
3
0
𝑓
3𝑓
+ 𝑓𝑓] , 𝑓𝑓𝑓
[ + 𝑓𝑓;
4
4
Все числа, кроме
𝑓
чисел вида ± +
6
2𝑓𝑓, 𝑓𝑓𝑓
3
(0; ∞)
[1;∞)
5
𝑓 > 0 на (−∞; log3 2)
𝑓 > 0 на [0; ∞)
𝑓 < 0 на (log3 2 ; ∞)
19
1б
1
− ;0
3
2
2а
(−∞; +∞)
14
[ ; ∞)
11
2б
(−∞; √17] ∪ [√17; +∞)
(9; ∞)
1б
3;9
1
1в
20
(−1)𝑓
𝑓
+ 𝑓𝑓, 𝑓𝑓𝑓
6
1г
6
2б
(−∞; −1] ∪ [0; ∞)
2в
10
(0;6)
2г
(0; 0,1] ∪ [100; ∞)
1а
arctg0,5 + πn, nϵz
45
5
( ; ∞)
3
1б
arctg0,5 + πn, nϵz
1в
21
𝑓𝑓, ±
1г
+ 2𝑓𝑓, 𝑓𝑓𝑓
1д
1е
𝑓
3
(−1)𝑓+1
1
𝑓
2𝑓𝑓; 2(−1) 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 +
3
+ 𝑓𝑓, 𝑓𝑓𝑓
2𝑓𝑓, 𝑓𝑓𝑓
−
2в
22
𝑓
6
5
4
3
2г
3
3
5𝑓4 + 11𝑓2 − 10
5𝑓4 + 8𝑓3 − 10𝑓
+ 10
4
(−1)𝑓
𝑓 𝑓
+ 𝑓, 𝑓𝑓𝑓
3 2
1а
𝑓 = −3𝑓, 𝑓 = −3𝑓 + 6
1б
𝑓 = 3, 𝑓 = −3𝑓 + 3𝑓
±
𝑓
+ 2𝑓𝑓, 𝑓𝑓𝑓
6
𝑓 = 3𝑓 + 1, 𝑓
= 12𝑓
− 17
23
𝑓 = 2, 𝑓 = 1 +
𝑓
2
−𝑓
2
𝑓
𝑓
4
4
( + 2𝑓𝑓; √2 ( + 2𝑓𝑓 − 1));
(-1;-1),(0;2),(1;-1)
𝑓
(− + 2𝑓𝑓; √2 (2𝑓𝑓 + 1 −
4
𝑓
4
)), n𝑓Z
3
24
3
1
2x+3ln|𝑓 − 1| + 𝑓
tg2x − ctg3x + C
2
1
3
− cos2x +
2
2
1
23
− x3 − 2
3
24
3а
𝑓5
+𝑓
5
𝑓4
+𝑓
4
46
3б
− cos 𝑓 + 𝑓
sin 𝑓 + 𝑓
1а
9
8
1б
−
25
1в
2
26
27
1
3
2
2
2
3
-7√3
-4
10
2
3
2
1
8
3
2
566280
1
0,5
5
16
2
0,346
0,76
3
0,25
0,3
4
0,2
5
0,84
1
495
5
6
47