Вариант 18

Вариант 1
Вариант 2
1. Устройство содержит 5 элементов, из которых 3 изношены. При
1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма
включении
устройства включаются случайным образом 2 элемента. Найти
очков на верхних гранях делится на три.
вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.
2. В партии из 10 изделий 8 изделий высшего сорта. Товаровед отби2. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической
рает изделия высшего сорта. Найти вероятность того, что из пяти прове- величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность,
ренных изделий будет только три высшего сорта.
равна 0,4. Произведены 3 независимых измерения. Найти вероятность того, что хотя бы в одном из них допущенная ошибка превысит заданную
3. Для передачи некоторой информации можно используется один из точность.
трёх способов передачи с вероятностью 0,4; 0,2; 0,4. Надёжность каждого
3. При отклонении от нормального режима работы автомата сигналииз способов передачи 0,9; 0,8; 0,6 соответственно. Какова вероятность тозатор С-1 срабатывает с вероятностью 0,8, а сигнализатор С-2 – с вероятго, что информация достигнет цели?
ностью 0,9. Вероятности того, что автомат снабжён сигнализатором С-1
4. Из семян данного растения обычно всходят 70%. Найти вероятность или С-2 соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о разрядке автомата. Что вероятнее: автомат был снабжён сигнализатором С-1 или
того, что из 210 посаженных прорастут более 150.
С-2?
5. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
4. 60% рабочих предприятия имеет среднее образование. Какова вероХ –1 0
2
4
Р 0,7 0,1 0,15 0,05
ятность того, что из 500 рабочих данного цеха со средним образованием
окажутся больше 280?
5. Составить таблицу распределения для числа попаданий в мишень
Найти интегральную функцию распределения, математическое ожидание при 4-х выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одном выи дисперсию Х. Построить график.
стреле равна 8/15. Найти начальные и центральные моменты 1-го и 2-го
порядка, интегральную функцию распределения. Построить графики
6. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределе6. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распрения
деления
при x  2
0

F ( x)  2 x - 2,5 при 2  x  2,5
1
при x  2,5

0

 1
f ( x)  
2
 π 1-x
0

при x  1
при  1  x  1
при x  1
Найти дифференциальную функцию, начальные и центральные моменты
1-го и 2-го порядка. Построить графики.
Найти математическое ожидание, дисперсию и интегральную функцию Х.
Вариант 3
Вариант 4
1. В книге 185 страниц. Найти вероятность того, что номер наугад от1. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одикрытой страницы будет иметь ровно две одинаковые цифры.
накового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлечённый кубик будет иметь три окрашенные
2. Производится серия из 5-ти выстрелов. Вероятность попадания в грани.
мишень при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что будет
ровно три попадания.
2. В партии из 200 резисторов 30 бракованных. Найти вероятность того, что из пяти выбранных резисторов не больше одного бракованного.
3. Из 80 имеющихся приборов 30% – 1-го класса, 45% – 2-го класса и
25% – 3-го класса. Вероятности исправной работы равны 0,8; 0,7; 0,4.
3. Два пеленгатора пеленгуют объект, первый с вероятностью успеха
Наудачу выбранный прибор оказался исправным. Найти вероятность того, 0,3, второй – 0,4, и могут быть выбраны для пеленга с равной вероятночто был выбран прибор 3-го класса.
стью. Объект был запеленгован. Что вероятнее: был выбран 1-ый или 2-ой
пеленгатор?
4. Из партии изделий цеха 5% – изделия бракованные. Какова вероятность того, что среди 80 выбранных будет ровно 2 бракованных?
4. Пусть вероятность того, что наудачу выбранная деталь нестандартная, равна 0,1. Найти вероятность того, что из 5-ти отобранных деталей
5. Имеется 12 билетов в театр, 9 из которых на балкон. Наудачу берут будет только две нестандартные.
5 билетов. Составить закон распределения числа билетов на балкон, оказавшихся в выборке. Найти математическое ожидание и дисперсию Х, ин5. В урне находится 19 шаров, из которых 7 синих. Наудачу извлекают
тегральную функцию распределения. Построить график. Построить гра- 5 шаров. Составить закон распределения случайной величины Х – числа
фики
извлечённых синих шаров. Найти начальные и центральные моменты 1-го
и 2-го порядка, интегральную функцию распределения, построить её гра6. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распре- фик.
деления
6. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распре0
при
x

(
0
;
1
)

деления
f ( x)   2
3 x
при x  (0;1)
Найти начальные и центральные моменты 1-го и 2-го порядка, интегральную функцию распределения. Построить графики.
0

f ( x)   3 2
143
 4 x  6 x - 4
при x  (3;5)
при x  (3;5)
Найти интегральную функцию, математическое ожидание и дисперсию Х.
Построить графики.
Вариант 5
Вариант 6
1. В партии из 50 деталей готовой продукции имеется 9 бракованных
1. В партии из 26 изделий 8 изделий бракованных. Найти вероятность
деталей. Для проверки отбираются 15 деталей. Найти вероятность того, того, что из 5-ти наудачу отобранных деталей три будут бракованы.
что в отобранной группе окажется 7 бракованных деталей.
2. Вычислить надёжность схемы, т.е. вероятность того, что она будет
2. Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. работать, если вероятность отказа каждого элемента 0,1 и отказы элеменВероятность того, что одна лампочка перегорит, если напряжение в сети тов являются независимыми событиями.
превысит нормальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повы1
2
3
шенном напряжении тока в цепи не будет.
3. В вычислительной лаборатории имеется 6 клавишных автоматов и 4
4
5
полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения расчёта автомат
не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна
3. В каждом из 3 одинаковых ящиков находится по 100 радиоламп. Из
0,8. Студент производит расчёт на наудачу взятой машине. Найти вероят- них 1-го сорта в 1-ом – 90, во 2-ом – 60, в третьем – 75, остальные второго
ность того, что до окончания расчёта машина не выйдет из строя.
сорта. Наудачу взятая из произвольного ящика лампа оказалась 1-го сорта.
Найти вероятность того, что выбрали деталь из первого ящика.
4. В партии 1200 деталей, среди которых 50 бракованных. Для проверки берут 100 деталей и если среди них более 2-х бракованных, партия не
4. В семье 3 детей. Принимая равновероятными рождение мальчика
принимается. Найти вероятность того, что партия будет принята.
или девочки, найти вероятность того, что в семье не более 2-х девочек.
5. Три стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания
5. Участник игры в лапту 4 раза бьёт по мячу. Вероятность попадания
каждого из них равна 0,7. Составить закон распределения для числа попа- в мяч при каждом ударе равна 0,9. Составить закон распределения случайдания в мишень. Найти начальные и центральные моменты 1-го и 2-го по- ной величины Х – числа попаданий в мяч. Найти начальные и центральные
рядка, интегральную функцию распределения. Построить график.
моменты 1-го и 2-го порядка. Построить график интегральной функции
распределения
6. Случайная величина Х имеет дифференциальную функцию распределения
6. Дана дифференциальная функция распределения вероятности непрерывной случайной величены Х

  
при x    ; 
0

 2 2



f ( x)  
0
при x  
и при x 


2
2
 1 cos x при x     ;  
f ( x)  
 2


 2 2


A cos x
при 
2
x
2
Найти интегральную функцию распределения, математическое ожидание
Найти значение параметра А, математическое ожидание и дисперсию Х.
и дисперсию Х. Построить графики
Построить график
Вариант 7
Вариант 8
1. Из 60 вопросов, входящих (по два) в экзаменационные билеты, сту1. В ящике 38 электрических лампочек, в том числе 12 перегоревших.
дент приготовил 50. Найти вероятность того, что выбранный билет содер- Из ящика случайным образом выбирают 16 лампочек и составляют из них
жит, по крайней мере, один вопрос, на который студент может ответить.
цепь, включая их параллельно. Найти вероятность того, что такая цепь будет работать.
2. Четыре пеленгатора независимо друг от друга пеленгуют объект.
Первый с вероятностью успеха 0,3; 2-ой – 0,25; 3-ий – 0,6; 4-ый – 0,5.
2. Вероятность занятости каждой из трёх линий соответственно равна
Найти вероятность того, что объект обнаружат только три пеленгатора.
0,2; 0,1; 0,4. Найти вероятность того, что две из трёх линий будут заняты.
3. В урне находятся 2 шара и туда же опускают синий шар, после чего
3. Радиолампы производятся на трёх заводах, причём 1-ый поставляет
наудачу извлекается один шар. Найти вероятность того, что извлечённый в два раза больше ламп, чем 2-ой и третий вместе взятые. Из 100 ламп 1-го
шар окажется синим, если равновозможны все предположения о цвете ша- завода 65 стандартных, из ламп 2-го завода 70 стандартных, из ламп 3-го
ров.
завода 90 стандартных. Лампа, приобретённая потребителем, оказалась
стандартной. Какова вероятность того, что она изготовлена на 3-ем заво4. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа де?
одного элемента равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов.
Найти вероятность отказа не более 2-х элементов.
4. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету составляет
р=0,03. Студент приобрёл 5 билетов. Какова вероятность выигрыша по 2-м
5. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения
из этих билетов?
Х –7 –6
–5 –4
Р 0,02 0,03 0,25 0,2
5. В коробке имеются 8 карандашей, из которых 3 карандаша зелёные.
Наудачу извлекают 4 карандаша. Составить закон распределения случайной величины Х – числа извлечённых зелёных карандашей. Найти интеСоставить интегральную функцию распределения и построить график. гральную функцию распределения, математическое ожидание и дисперНайти начальные и центральные моменты 1-го и 2-го порядка.
сию Х. Построить график
1
0,05
2
0,2
3
0,25
6. Дана дифференциальная функция распределения случайной величи6. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распрены Х
деления
0

f ( x)   x
 2 -3
при x  (6;8)
при x  (6;8)
0
 2x

f ( x)  
9
0
при x  0
при x  (0;3)
при x  3
Найти интегральную функцию, математическое ожидание и дисперсию Х.
Построить графики
Найти интегральную функцию распределения, начальные и центральные
моменты 1-го и 2-го порядка. Построить графики
Вариант 9
Вариант 10
1. В цехе работает15 токарей и 7 фрезеровщиков. По табелю отбирают
1. Найти вероятность того, что выбранное наугад целое число из пер9 человек. Найти вероятность того, что в отобранной группе будет больше вых 100 кратно 11-ти.
пяти фрезеровщиков.
2. Из партии изделий товаровед отбирает изделия 2-го сорта. Вероят2. Ткачиха обслуживает одновременно 4 независимо работающих ность того, что наудачу отобранное изделие окажется 2-го сорта, равна
станка. Вероятность того, что в течение часа станок остановится, равна 0,63. Найти вероятность того, что из трёх проверенных изделий только оддля 1-го станка 0,15; для 2-го – 0,1; для 3-го – 0,5; для 4-го – 0,05. Найти но будет 1го сорта.
вероятность того, что в течение одного часа не менее трёх станков будет
3. Сборщик получил 4 коробки деталей, изготовленных заводом 1, и 3
работать.
коробки деталей, изготовленных заводом 2. Вероятность того, что деталь
3. При изготовлении некоторых деталей количество брака по форме и завода 1 стандартна, равна 0,7, а завода 2 – 0,9. Сборщик наудачу извлекапо размеру соотносится как 3:2. Вероятность брака по форме равна 0,05, ет деталь из наудачу взятой коробки. Деталь оказалась стандартной. Найти
по размеру – 0,01. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь будет вероятность того, что деталь изготовлена на 2-ом заводе.
бракованной?
4. Вероятность того, что изделие данной партии имеет дефект, состав4. Шанс попадания из винтовки по самолету равен 0,002. По самолёту ляет 0,1. Определить вероятность того, что среди 100 отобранных случайстреляют одновременно 3000 человек. Самолёт будет сбит, если будет не ным образом изделий будут иметь дефекты ровно 8 изделий.
менее 2-х попаданий. Найти вероятность того, что самолёт будет сбит.
5. На факультете успеваемость составляет 80%. Наудачу выбирают 30
5. Найти закон распределения, начальные и центральные моменты 1-го студентов. Найти закон распределения, начальные и центральные момени 2-го порядка числа бракованных деталей, если проверяется партия из ты 1-го и 2-го порядка случайной величины Х – числа успевающих студен3000 деталей, а вероятность того, что деталь бракованная равна 0,02.
тов, оказавшихся в выбранной группе. Построить график интегральной
функции распределения
6. Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной
величины Х имеет вид:
6. Дана интегральная функция распределения случайной величины Х
0

f ( x)  ax
0

при x  0
при x  (0;3) ,
при x  3
a0
3 x
F ( x)  
1
при x  0
при x  0
Найти Р (–1 < х < 0) и дифференциальную функцию распределения. ПоНайти параметр а, математическое ожидание, дисперсию Х. Построить строить графики
график
Вариант 11
Вариант 12
1. На систему обслуживания, состоящую из 12 одинаковых приборов,
1. Брошены 2-е игральные кости. Найти вероятность того, что сумма
поступает 8 заявок, причём заявки могут обслуживаться любым из прибо- очков на верхних гранях кратка трём.
ров. Найти вероятность того, что все они будут обслужены одним и тем же
2. Три исследователя, независимо друг от друга, проводят измерение
прибором.
некоторой физической величины. Вероятность того, что 1-ый исследова2. Вероятности того, что нужная сборщику деталь содержится в 1-ом, тель допустит ошибку при считывании показаний с прибора, равна 0,2.
2-ом, 3-ем и 4-ом ящиках, соответственно равны 0,4; 0,3; 0,8; 0,6. Найти Для 2-го и 3-го исследователя эти вероятности соответственно равны 0,11
вероятность того, что нужной детали нет, по крайней мере, в 2-х ящиках.
и 0,17. Найти вероятность того, что ошибка допущена не будет.
3. Из 20 имеющихся аппаратов 8 – 1-го класса, 5 – 2-го класса, осталь3. В ящике содержится 50 деталей завода 1, 35 деталей завода 2, 15 деные – 3-го класса. Вероятности исправной работы аппаратов разного клас- талей завода 3. Вероятность того, что деталь заводов 1, 2, 3 бракованная,
са равны соответственно 0,9; 0,8; 0,5. Случайно выбранный аппарат ока- равна соответственно 0,2; 0,1; 0,3. Наудачу выбранная деталь оказалась
зался исправным. Какова вероятность того, что он 3-го класса?
бракованной. Найти вероятность того, что деталь изготовлена на заводе 2.
4. Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что
4. В некоторых условиях вероятность своевременного прибытия поезон сброшюрован неправильно, равна 0,01. Найти вероятность того, что ти- да на станцию равна 0,6. Какова вероятность того, что из 5-ти ожидаемых
раж содержит ровно 5 бракованных книг.
поездов два прибудут вовремя?
5. Составить закон распределения вероятностей произведения очков,
5. Составить закон распределения вероятностей числа попаданий в
выпавших при бросании 2-х игральных костей с очками от 1 до 3. Найти мишень при 4-х выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одначальные и центральные моменты 1-го и 2-го порядков. Построить гра- ном выстреле равна 0,9. Найти математическое ожидание и дисперсию Х.
фик интегральной функции распределения
Построить график интегральной функции распределения
6.
Дана интегральная функция распределения случайной величины Х
F ( x) 
Доказать, что М(Х) = 0.
1

arctg x 
1
2
для x  
6. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0

f ( x)  4 x  9
0

при x  2
при x  (2;3)
при x  3
Найти интегральную функцию распределения, начальные и центральные
моменты 1-го и 2-го порядка. Построить графики
Вариант 13
Вариант 14
1. На складе имеется 312 пар сапог, изготовленных в различных реги1. Из коллектива, состоящего из 12 женщин и 30 мужчин, наудачу выонах, из них 216 изготовлены в Белоруссии. Найти вероятность того, что бирают 9 человек. Найти вероятность того, что в отобранной группе женсреди 15-ти наудачу выбранных пар сапог будет 12 пар, изготовленных в щин будет в 2 раза больше, чем мужчин.
Белоруссии.
2. Для сигнализации об аварии установлены 2 сигнализатора, работа2. В каждом из трёх ящиков находится по 25 штук деталей, из них ющих независимо. Вероятность того, что при аварии сигнализатор С-1
окрашены в 1-ом 15 штук, во 2-ом – 12 штук, в 3-ем – 5 штук. Из каждого сработает, равна 0,87, для сигнализатора С-2 эта вероятность равна 0,93.
ящика наудачу извлекли по одной детали. Найти вероятность того, что хо- Найти вероятность того, что хотя бы один из сигнализаторов сработает.
тя бы две из извлечённых деталей окажутся окрашенными.
3. Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинако3. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит вому комплекту перфокарт. Вероятность допустить ошибку у 1-ой и 2-ой
бензоколонка, относится к числу легковых машин как 5:6. Вероятность соответственно равна 0,05 и 0,1. При сверке перфокарт обнаружена ошибтого, что грузовая машина будет заправляться, равна 0,3; для легковой ка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица.
машины эта вероятность равна 0,1. Найти вероятность того, что наудачу
4. Вероятность того, что один билет выиграет в лотерее, равна 1/8. Кавыбранная машина на шоссе будет заправляться.
кова вероятность того, что выиграет 3 билета из пяти купленных?
4. В среднем 85% студентов из потока выполняют контрольную работу
5. Вероятность попадания стрелка в мишень равна 0,7. Стрелок, имея в
в срок. Найти вероятность того, что из 250 студентов задержат контрользапасе
5 патронов, ведёт огонь до 1-го попадания. Составить закон распреную работу не более 16-ти человек.
деления случайной величины Х – числа израсходованных патронов. Найти
5. Составить закон распределения случайной величины Х – числа бра- математическое ожидание и дисперсию Х. Построить график интегральной
кованных деталей, если проверяется партия из 1000 деталей, а вероятность функции распределения
того, что деталь окажется бракованной, равна 0,02. Найти начальные и
6. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распрецентральные моменты 1-го и 2-го порядка.
деления
6. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распрепри x  0
0
деления
0
x

f ( x)  
18
0
при x  0
при 0  x  6
при x  6
Найти интегральную функцию распределения, математическое ожидание
и дисперсию Х. Построить графики
1

f ( x )   sin x
2
0
при 0  x  3
при x  3
Найти интегральную функцию распределения, начальные и центральные
моменты 1-го и 2-го порядка. Построить графики
Вариант 15
Вариант 16
1. Каждая из букв Н, Л, Т, Р, Е, И, А, Р написана на одной из 8-ми кар1. Библиотечка состоит из 10-ти различных книг, причём 5 книг стоят
точек. Какова вероятность того, что при вытягивании трёх карточек в по- по 4 рубля каждая, 3 книги – по 1-му рублю и две книги – по 3 рубля.
рядке выхода появится слово «три»?
Найти вероятность того, что две взятые наугад книги стоят 5 рублей.
2. Вероятность появления поломок на каждой из трёх соединительных
2. Вероятность поражения цели 1-ым стрелком при одном выстреле
линий равна 0,2. Найти вероятность того, что исправны, по крайней мере, равна 0,8, а вторым – 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражедве линии.
на только одним стрелком.
3. Для участия в отборочных соревнованиях выделено из 1-ой группы
3. Для передачи информации можно воспользоваться одним из трёх
курса – 3, из 2-ой – 7, из 3-ей – 5 студентов. Вероятность того, что студент способов передачи с вероятностью 0,7; 0,1; 0,2. Надёжность каждого спо1-ой, 2-ой, 3-ей группы попадёт в сборную института, соответственно рав- соба передачи 0,3; 0,8; 0,8. Информация достигла цели. Какова вероятна 0,5;0,8; 0,7. Наудачу выбирают студента. Найти вероятность того, что ность того, что воспользовались вторым источником?
он попадёт в сборную.
4. Из семян данного растения обычно всходят 80%. Найти вероятность
4. Обувная мастерская выполняет в срок 90% заказов. В течение неде- того, что прорастут 385 семян из 500 посаженных.
ли было принято 600 заказов. Найти вероятность того, что из них в срок
5. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
будет выполнено не более 400 заказов.
Х
2
3
5
7
5. Из 16 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «неудовлетворительно», наугад извлекают 4 работы. Составить закон распределения
Р 0,3 0,15 0,2 0,35
случайной величины Х – числа работ, оценённых неудовлетворительно и
оказавшихся в выборке. Найти начальные и центральные моменты 1-го и Найти интегральную функцию распределения начальные и центральные
2-го порядка. Построить график интегральной функции распределения
моменты 1-го и 2-го порядка. Построить график
6. Дана дифференциальная функция распределения непрерывной слу6.
чайной величины Х
ния
0
1

f ( x)   x  5
2
0
при x  10
при 1 0  x  12
при x  12
Найти интегральную функцию распределения F(х), математическое ожидание и дисперсию Х. Построить графики
Случайная величина Х задана интегральной функцией распределе
0


F ( x )  2 x  4


1
при x  2
при 2  x 
при x 
5
2
5
2
Найти дифференциальную функцию, математическое ожидание и дисперсию Х. построить графики
Вариант 17
Вариант 18
1. Участники жеребьёвки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до
1. В книге 185 страниц, какова вероятность того, что наугад открытая
100. Найти вероятность того, что номер извлечённого жетона не содержит страница будет иметь порядковый номер, кратный 5 или 7?
цифры 5.
2. При изготовлении некоторых деталей может быть брак, как по фор2. Предприятие изготавливает 95% стандартных изделий, причём из ме, так и по размеру. Вероятность брака по форме равна 0,04, по размеру –
них 86% – первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наугад изде- 0,01. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь будет признана
лие окажется изделием 1-го сорта.
годной?
3. Изделие проверяется на стандартность одним из 2-х товароведов.
3. Из 20 имеющихся приборов 8 – 1-го класса, 5 – 2-го класса и 7 – 3-го
Вероятность того, что изделие попадёт к 1-му товароведу, равна 0,55, а ко класса. Вероятность исправной работы для приборов равного класса соот2-му – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано ветственно равна 0,9; 0,8; 0,5. Найти вероятность того, что случайно выстандартным 1-ым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное бранный аппарат будет исправен.
изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность то4. Из 32 изделий цеха 25 – изделия высшего качества. ОТК проверяет 8
го, что это изделие проверил второй товаровед.
изделий. Какова вероятность того, что более 25% из них будут высшего
4. 40% всех сотрудников предприятия имеют высшее образование. Ка- качества?
кова вероятность того, что из 8-ми сотрудников данного отдела более ше5. Имеется 6 билетов в театр, 4 из которых в первый ряд. Наудачу бести имеет высшее образование.
рут 3 билета. Составить закон распределения числа билетов а первый ряд,
5. Составить закон распределения числа попаданий в мишень при 3-х оказавшихся в выборке. Найти начальные и центральные моменты 1-го и
выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле 2-го порядка. Построить график интегральной функции распределения
равна 2/3. Найти интегральную функцию распределения, математическое
6. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распреожидание и дисперсию Х. Построить график
деления
6. Случайная величина Х задана дифференциальным законом распрепри x  0;1
2 x
деления
0

 1
f ( x)  
 π 1-x 2
0

при x  1
при - 1  x  1
при x  1
Найти начальные и центральные моменты 1-го и 2-го порядка. Построить
график
f ( x)  
0
при x  0;1
Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание и дисперсию Х. Построить графики
Вариант 19
Вариант 20
1. Среди 17 студентов на студенческий вечер разыгрываются 7 биле1. В партии готовой продукции, состоящей из 20 лампочек, имеется 5
тов. Какова вероятность того, что билеты достанутся 4 девушкам, если лампочек повышенного качества. На проверку отбирается 7 лампочек. Кавсего в группе 8 девушек?
кова вероятность того, что в этой выборке окажется 3 лампочки повышенного качества.
2. В партии из 10 резисторов 4 бракованных. Найти вероятность взять
2. При обработке деталь проходит 13 операций. Вероятность брака в
два резистора так, чтобы один был бракованным, а другой исправным, еспервых 12-ти операциях одинакова и равна 0,1, а в последней операции
ли резисторы берутся а) с возвращением; б) без возвращения.
брак возможен с вероятностью 0,3. Какова вероятность получения годной
3. Два пеленгатора независимо друг от друга пеленгуют объект, пер- детали после всех этапов обработки?
вый с вероятностью успеха 0,7, второй – 0,45. Вероятности того, что в
3. В вычислительной лаборатории имеется 8 клавишных автоматов и
данный момент работает 1-ый и 2-ой пеленгатор соответственно равны 0,4 12 полуавтоматов. Вероятность того, что за время выполнения расчётов
и 0,6. Какова вероятность запеленговать объект?
автомат не выйдет из строя, равна 0,9; для полуавтомата эта вероятность
равна 0,7. Студент произвёл весь расчёт на наудачу взятой машине. Что
4. Вероятность того, что наудачу взята деталь 2-го сорта, равна 0,7. вероятнее: расчёт производился на автомате или на полуавтомате?
Найти вероятность того, что среди 100 наудачу взятых деталей не более 20
4. Из партии в 200 деталей 60 деталей высшего сорта. Для проверки
2-го сорта.
берут 160 деталей. Найти вероятность того, что среди них будет 100 дета5. В коробке 12 карандашей, из которых 4 белых. Наудачу извлекают лей высшего сорта.
три карандаша. Составить закон распределения случайной величины Х –
5. Два стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания
числа извлеченных белых карандашей. Найти интегральную функцию 1-го стрелка равна 0,4, для 2-го – 0,7. Составить закон распределения Х –
распределения, математическое ожидание и дисперсию Х. Построить гра- числа попаданий в мишень. Найти интегральную функцию распределения,
фик
математическое ожидание и дисперсию Х. Построить график
6. Случайная величина Х имеет дифференциальную функцию распре6. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
деления:
3
45
f ( x)  x 2  6 x 4
4
на интервале (3;5), вне этого интервала f(x) = 0. Найти интегральную
функцию распределения, начальные и центральные моменты 1-го и 2-го
порядка. Построить графики

0

1
f ( x )   cos x
2

0
при x  
при 

2
при x 

2
x


2
2
Найти интегральную функцию распределения, начальные и центральные
моменты 1-го и 2-го порядка. Построить графики
Вариант 21
Вариант 22
1. В партии 100 изделий 10 изделий бракованных. Какова вероятность
1. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подтого, что среди взятых 4 изделий 3 будут не бракованные.
готовил 50. Какова вероятность того, что выбранный студентом билет, состоящий из 2 вопросов, не будет содержать ни одного из приготовленных
2. Вычислить надёжность схемы, т.е. вероятность того, что она будет им вопросов.
работать, если вероятность отказа каждого элемента 0,1 и отказы элемен2. Четыре пеленгатора независимо друг от друга пеленгуют объект.
тов являются независимыми событиями.
Первый с вероятностью успеха – 0,3; второй – 0,4; третий – 0,55; четвёртый – 0,2. Найти вероятность запеленговать объект, если выбор пеленгато1
3
ра осуществляется случайным образом.
3. В урне находятся два шара и туда же опускают серый шар, после чего
наудачу извлекают серый шар. Какая из гипотез о первоначальном цве2
4
те шаров наиболее вероятна, если до опыта все три гипотезы о цвете ша3. В каждом из 3-х одинаковых ящиков находится по 100 радиолампы, ров были равновозможные.
из них 1-го сорта в 1-ом ящике 80, во 2-ом – 75, в третьем – 60 штук,
4. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа
остальные – второго сорта. Наудачу взята лампа из наудачу взятого ящика.
одного элемента равна 0,002. Найти вероятность отказа четырёх элементов
Какова вероятность того, что она 1-го сорта.
одновременно.
4. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна
0,98. Найти вероятность трёх попаданий при четырёх выстрелах.
5.
Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:
Х
–7
–6
–5
–4
1
2
3
5. Участник игры в лапту 5 раз бьёт по мячу. Вероятность попадания в
Р 0,01 0,02 0,2 0,25 0,25 0,07 0,2
мяч при каждом ударе равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х – числа попаданий в мяч. Найти математическое ожидаСоставить интегральную функцию распределения, найти математическое
ние и дисперсию Х. построить график
ожидание и дисперсию Х. Построить график
6.
Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х

0
f ( x)  
 A sin x

при x  
при 

2

2
и при x 
x

2

2
6.
Дана дифференциальная функция распределения случайной величины
Х
0

f ( x)   x
 2 - 3
при x  (6;8)
при x  (6;8)
Найти значение параметра А, интегральную функцию распределения и
Найти интегральную функцию, начальные и центральные моменты 1-го и
начальные моменты 1-го и 2-го порядка. Построить графики
2-го порядка. Построить графики
Вариант 23
Вариант 24
1. В ящике 10 электрических ламп, в том числе 4 перегоревших. Из 1. В цехе работает 8 токарей и 5 фрезеровщиков. По табелю наудачу
ящика случайным образом берут 5 ламп. Найти вероятность того, что цепь, отбирают 6 человек. Найти вероятность того, что в отобранной группе тосоставленная из них, включённых последовательно, будет работать.
карей и фрезеровщиков будет поровну (по 3 человека).
2. Вероятность занятости каждой из трёх линий соответственно равна 2. Ткачиха обслуживает одновременно 4 независимо работающих
0,3; 0,2 и 0,5. Найти вероятность того, что все три линии свободны.
станка. Вероятность того, что в течение часа станок остановится, равна
для первого станка – 0,2; для второго – 0,7; для третьего – 0,75; для чет3. Радиолампы производятся на двух заводах, причём 1-й из них по- вёртого – 0,1. Найти вероятность того, что в течении часа, по крайней меставляет ламп вдвое больше, чем второй. Из каждых 100 ламп 1-го завода ре, один станок будет работать без остановок.
83 стандартных, а из ламп 2-го завода 63 стандартных. Какова вероятность
стандартности радиолампы, приобретаемой потребителем.
3. При изготовлении деталей количество брака по форме и по размеру
соотносятся как 4:3. Вероятность брака по форме равна 0,06, по размеру –
4. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету составляет 0,02. Деталь признана бракованной. Найти вероятность того, что этот брак
0,02. Студент приобрёл 4 билета. Какова вероятность выигрыша у него?
по размеру.
5. В коробке имеются 6 карандашей, из которых 4 карандаша – красные. 4. Шанс попадания из винтовки по самолёту 0,004. По самолёту стреНаудачу извлекают 3 карандаша. Составить закон распределения случайной ляют 3000 человек. Самолёт будет сбит, если будет не менее трёх попадавеличины Х – числа извлечённых красных карандашей. Найти интеграль- ний. Найти вероятность того, что самолёт будет сбит.
ную функцию распределения, начальные и центральные моменты 1-го и 2го порядка. Построить график
5. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию
числа бракованных деталей, если проверяется партия из 20000 деталей, а
6. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распре- вероятность того, что деталь окажется бракованной равна 0,05.
деления:
6. Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной
величины Х имеет вид
0
при x  0

x
f ( x)  
3
0
при x  (0; 6 )
при x  6
Найти интегральную функцию распределения, математическое ожидание
и дисперсию Х. Построить графики
0
x

f ( x)  
a
0
при x  0
при x  (0;2) ,
a0
при x  2
Найти параметр а , математическое ожидание и дисперсию Х. Построить
график
Вариант 25
Вариант 26
1. Определить вероятность того, что выбранное наугад целое число из
1. На систему обслуживания, состоящую из 6-ти одинаковых прибопервых 100 при возведении в квадрат даёт число, оканчивающееся едини- ров, поступает 4 заявки, причём заявка может быть обслужена любым
цей.
прибором. Найти вероятность того, что все заявки будут обслужены различными приборами.
2. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна
2. Вероятности того, что нужная сборщику деталь содержится в 1-ом,
0,8. Найти вероятность того, что из трёх проверенных изделий будут толь- 2-ом, 3-ем и 4-ом ящике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Найти
ко 2 будут изделиями высшего сорта.
вероятность того, что деталь содержится не более чем в трёх ящиках.
3. Сборщик получил 5 коробок деталей, изготовленных заводом 1, и 2
3. Из 30 имеющихся аппаратов 15 – 1-го класса, 6 – 2-го класса,
коробки деталей, изготовленных заводом 2. Вероятность того, что деталь остальные – 3-го класса. Вероятность исправной работы аппарата разного
завода 1 стандартна, равна 0,8, а завода 2 – 0,9. Сборщик наудачу извлёк класса соответственно 0,7; 0,5; 0,3. Какова вероятность того, что случайно
деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена выбранный аппарат будет исправен?
стандартная деталь.
4. Учебник издан тиражом 5000 экземпляров. Вероятность того, что он
4. В партии изделий имеется 5% брака. Найти вероятность того, что из сброшюрован неправильно, равна 0,005. Найти вероятность того, что ти40 деталей бракованными будут не более двух.
раж содержит не более 20-ти бракованных книг.
5. На факультете успеваемость составляет 90%. Наудачу выбираются
5. Составить таблицу распределения для суммы очков, выпавших при
40 студентов. Найти закон распределения, математическое ожидание и бросании двух игральных костей. Найти интегральную функцию распредисперсию Х – числа успевающих студентов, оказавшихся в выбранной деления, математическое ожидание и дисперсию Х. Построить график
группе.
6. Дана интегральная функция распределения случайной величины Х
6. Дана интегральная функция распределения случайной величины Х
4
F ( x)  
1
x
при x  0
при x  0
Найти Р (–0,5 < X < 0) и дифференциальную функцию распределения. Построить графики
F ( x) 
1

arctg x 
1
2
для x  
Доказать, что М(Х) = 0. Построить графики интегральной и дифференциальной функций
Вариант 27
Вариант 28
1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма
1. На складе имеется 15 кинескопов, причём 10 из них изготовлены
очков на верхних гранях чётная.
Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди 5-ти наудачу взятых кинескопов будут три кинескопа Львовского завода.
2. Три исследователя, независимо друг от друга, производят измерения
некоторой физической величины. Вероятность того, что 1-ый испытатель
2. В каждом из 3-х ящиков находится по 50 ламп. Из них 1-го сорта в
допустит ошибку при считывании показаний с прибора, равна 0,1. Для 1-ом 25 штук, во 2-ом – 20, в 3-ем – 15. Из каждого ящика вынимают
второго и третьего исследователя эти вероятности соответственно равны наудачу по одной лампе. Найти вероятность того, что хотя бы одна из этих
0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что два исследователя допустят ошиб- трёх ламп окажется стандартной.
ку.
3. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором
3. В ящике содержится 12 деталей завода 1, 20 деталей завода 2, 18 де- стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин как 3:2. Вероятталей завода 3. Вероятность того, что деталь завода 1, 2, 3 отличного каче- ность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легкоства равна соответственно 0,9; 0,6; 0,9. Найти вероятность того, что науда- вой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для зачу извлечённая деталь отличного качества.
правки машина. Найти вероятность того, что машина грузовая.
4. В некоторых условиях вероятность своевременного прибытия поез4. В среднем 90% студентов из потока выполняют контрольную работу
да на станцию равна 0,8. Какова вероятность того, что из 4-х ожидаемых в срок. Оценить вероятность того, что из выбранных наугад 100 студентов
поездов три и более прибудут вовремя?
задержат представление контрольной работы ровно 7 студентов.
5. Составить закон распределения для числа попаданий в мишень при
5. Составить закон распределения случайной величины Х – числа бра3-х выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле кованных деталей в партии из 100 деталей, если вероятность того, что деравна 2. Найти начальные и центральные моменты 1-го и 2-го порядка. таль окажется бракованной, равна 0,003. Найти математическое ожидание
и дисперсию Х.
Построить график интегральной функции распределения
6. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распре6. Задана дифференциальная функция распределения случайной велиделения
чины Х
0

f ( x)  
15
2 x  6
при x  (2;2,5)
при x  (2;2,5)
0
x

f ( x)  
8
0
при x  0
при 0  x  4
при x  4
Найти интегральную функцию распределения, математического ожидание
Найти интегральную функцию распределения, начальные и центральные
и дисперсию Х. Построить графики
моменты 1-го и 2-го порядка. Построить графики
Вариант 29
Вариант 30
1. Общество, состоящее из 10 мужчин и 15 женщин, разбивается на
1. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из слегруппы по 5 человек. Найти вероятность того, что в каждой группе будет дующих букв: А, Т, М, Р, С, О. Найти вероятность того, что на 4-х вынупо одинаковому числу мужчин и женщин.
тых по одной и расположенных в линию карточек можно будет прочесть
слово «торс».
2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор срабо2. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадёт в митает, равна 0,95 для 1-го сигнализатора и 0,9 для 2-го. Найти вероятность шень, равна 0,9. Стрелок произвёл 3 выстрела. Найти вероятность того,
того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
что все три выстрела попадут в цель.
3. Две перфораторщицы набили на перфораторах по одинаковому
3. Для участия в студенческих соревнованиях выделено из 1-ой групкомплекту перфокарт. Вероятность допустить ошибку у 1-ой и 2-ой соот- пы курса – 4, из 2-ой – 6, из третьей 5 студентов. Вероятность того, что
ветственно равна 0,2 и 0,06. Найти вероятность того, что при сверке пер- студент 1-ой, 2-ой, 3-ей группы попадёт в сборную института, соответфокарт будет обнаружена ошибка.
ственно равны 0,9; 0,7; 0,8. Наудачу выбранный студент попал в сборную.
Найти вероятность того, что он учится в 1-ой группе.
4. Вероятность того, что один билет выиграет в лотерее, равна 1/20.
Какова вероятность того, что выиграет не менее 2 и не более трёх из 7
4. Химчистка выполняет в срок 80% заказов. В течение недели было
купленных?
принято 225 заказов. Какова вероятность того, что из них будет выполнено
в срок более 190 заказов?
5. Вероятность попадания стрелка в мишень равна 0,5. Стрелок, имея в
запасе 6 патронов, ведёт огонь до первого попадания. Составить закон
5. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично»,
распределения случайной величины Х – числа израсходованных патронов. наугад извлекают 3 работы. Составить закон распределения случайной веНайти начальные и центральные моменты 1-го и 2-го порядка. Построить личины Х – числа работ, оцененных на «отлично» и оказавшихся в выборграфик интегральной функции распределения
ке. Найти математическое ожидание и дисперсию Х. Построить график
интегральной функции распределения
6. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
6. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х
1
 x 5
f ( x)   2

0
при x  10;12
при x  10;12
0
1

f ( x )   sin x
2
0
при x  0
при 0  x  3
при x  3
Найти интегральную функцию распределения, математическое ожидание
и дисперсию Х. Построить графики
Найти функцию распределения F (х) и начальные и центральные моменты
1-го и 2-го порядка. Построить графики