отсюда - Кафедра высшей математики и физики.

Федеральное агентство по сельскому хозяйству
Государственный университет по землеустройству
Кафедра высшей математики и физики
Высшая математика
Теория вероятностей,
математическая статистика
Учебное пособие
для студентов II курса специальностей:
120301 – «Землеустройство»
120302 – «Земельный кадастр»
120303 – «Городской кадастр»
120101 – «Геодезия»
Москва 2006
УДК 51
Подготовлено и рекомендовано к печати кафедрой высшей
математики и физики Государственного университета по землеустройству (протокол № 10 от 30.08. 2006 г).
Рецензент: Заведующий кафедрой высшей математики
МЭИ доктор физико-математических наук профессор Петрушко И.М.
Авторы:
к.ф.-м.н. доц. Червяков А.В., к.ф.-м.н. доц. Репин А.Ю.
2
Общие указания
Предлагаемая работа содержит контрольные задания по
программе второго курса высшей математики (теория вероятностей и математическая статистика) для студентов всех специальностей. Каждое задание содержит образец решения.
Выполнение студентами контрольных заданий является
одним из этапов изучения учебной дисциплины и подготовки к
экзамену. Каждое контрольное задание выполняется на отдельном листе формата А4. Все задания брошюруются и предъявляются преподавателю для защиты.
К экзамену допускаются лишь те студенты, у которых зачтены все контрольные задания, запланированные в данном семестре.
Каждый студент выполняет контрольные задания в соответствии со своим вариантом.
3
Глава I
Основные формулы классической и
геометрической вероятности
Непосредственный расчёт вероятности возможен в том случае,
когда результат опыта можно представить в виде полной группы
элементарных событий, которые несовместны и равновозможны.
При этом в классическом случае вероятность события есть отношение числа m благоприятствующих этому событию элементарных случаев к общему числу n всех равновозможных случаев,
т.е.
m
p .
(1.1)
n
Пример 1.1
Пусть имеется 12 тщательно перемешанных одинаковых шаров белого (5 штук) и чёрного (7 штук) цвета, из которых случайно выбираются 4 шара. Какова вероятность того, что в числе извлечённых будет чёрных и белых шаров поровну?
Решение:
Число всех элементарных событий при этом опыте будет
12! 9  10  11  12
n  C124 

 495 .
4! 8!
1 2  3  4
Количество благоприятствующих случаев можно рассчитать
по формуле
5! 7!
4 5 67
m  C52  C72 

 210 .
2! 3! 2! 5!
2 2
Искомая вероятность равна
C52  C72 210 42 14
p


 .
C124
495 99 33
Непосредственным подсчётом благоприятствующих исходов могут быть решены варианты 1,2,3,4.
Геометрическое определение вероятности применяют в том
случае, когда результат опыта определяется случайным положением точки в некоторой области   R2 , причём любые положения точек в этой области равновозможны. Если размер всей области равен m , а размер части попадание в которую благоприят-
4
ствует данному событию есть mA , тогда искомая вероятность события A определяется по формуле
mA
p
.
(1.2)
m
Область  может иметь любое число измерений, поэтому величины m , mA могут представлять собой длины отрезков, площади, объёмы и т.д. Геометрической вероятности посвящены варианты 5,6,7.
Пример 1.2
Какова вероятность того, что сумма двух случайно взятых положительных дробей не больше единицы?
Решение:
Пусть x и y – взятые правильные дроби. Их возможные значения определяют область   ( x, y ) : 0  x  1;0  y  1. На
плоскости R2 это множество соответствует квадрату с площадью
m  1. Благоприятствующие значения соответствуют треугольнику A  ( x, y ) : x  y  1; x  0; y  0. Площадь этого треугольника mA  1/ 2 , поэтому p  1/ 2 .
Условной вероятностью P( A / B) события A называется вероятность появления этого события, вычисленная в предположении,
что имело место событие B .
События A и B независимы, если P( A / B)  P( A) .
Вероятность произведения двух событий определяется по
формуле:
P( AB)  P( A)  P( B / A)  P( B)  P( A / B) . (1.3)
В случае трёх событий A, B, C формула несколько усложняется:
(1.4)
P( ABC )  P( A)  P( B / A)  P(C / AB) .
Если события A1 , A2 ,..., An независимые, то вероятность произведения этих событий равна произведению вероятностей отдельных
событий:
 n  n
P  Ai    P ( Ai ) .
(1.5)
 i 1  i 1
В частности, для двух независимых событий A и B имеем формулу
(1.6)
P( AB)  P( A)  P( B) .
5
Пример 1.3
Партия из ста деталей подвергается выборочному контролю.
Условием непригодности всех партий является наличие хотя бы
одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть непринятой, если она содержит 5% неисправных деталей?
Решение:
Пусть событие B заключается в том, что партия деталей принята. Данное событие является произведением пяти событий
B  B1  B2  B3  B4  B5 ,
где Bk – означает, что k -тая проверенная деталь доброкачествен95
ная. Вероятность события B1 P ( B1 ) 
. Далее рассчитываем
100
условные вероятности:
94
93
P ( B2 / B1 )  , P( B3 / B1B2 )  ,
99
98
92
91
P ( B4 / B1B2 B3 )  , P ( B5 / B1B2 B3 B4 )  .
97
96
Поэтому вероятность события B равна
95 94 93 92 91
P( B ) 
     0,77 .
100 99 98 97 96
Аналогично можно решить задачи вариантов 8,9,10.
Вероятность суммы двух событий определяют по формуле:
(1.7)
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB) .
В случае трёх событий A, B, C формула имеет вид:
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( AB)  P( AC )  P( BC )  P( ABC ).
(1.8)
Для несовместных событий вероятность суммы событий равна
сумме вероятностей этих событий
 n  n
P  Ai    P ( Ai ) .
(1.9)
 i 1  i 1
Для двух несовместных событий A, B эта формула записывается
в виде:
(1.10)
P( A  B)  P( A)  P( B) .
6
Пример 1.4
Определить вероятность того, что партия из ста деталей, среди
которых пять бракованных, будет принята при испытании случайно выбранной половины всей партии, если условиями приёма
допускается не более одной бракованной детали из пятидесяти.
Решение:
Пусть A – событие, состоящее в том, что среди пятидесяти деталей нет брака, а B – событие при осуществелнии которого в
партии из пятидесяти деталей только одна бракованная. События
A и B несовместны, поэтому
P( A  B)  P( A)  P( B) .
Кроме того, очевидно, что
50
C95
C51  C9549
P ( A)  50 , P ( B ) 
.
50
C100
C100
Таким образом, искомая вероятность равна
50
C95
C51  C9549 50! 50! 95! 5  95! 50! 50!
P( A  B )  50 



50
C100
C100
100! 50! 45! 49! 46! 100!
46  47  48  49  50 5  50  47  48  49  50 47  37



 0,181 .
96  97  98  99  100 96  97  98  99  100 97  99
Аналогично могут быть решены варианты 11 – 16.
Пусть событие A может произойти только вместе с одним из
несовместных событий H1 , H 2 ,..., H n . Эти попарно несовместные
события H1 , H 2 ,..., H n называются гипотезами. Гипотезы
H k (k  1,2,..., n ) должны составлять полную группу событий, т.е.
 n
 n
P  H k    P( H k )  1.
 k 1  k 1
Тогда для вероятности P( A) осуществления события A , имеет
место формула полной вероятности
n
P( A)   P( H k ) P( A / H k ) .
(1.11)
k 1
Пример 1.5
В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно: 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берёт
одно из ружей случайно.
7
Решение:
Пусть гипотеза H k означает, что стреляющий выбрал k -тое
1
ружьё (k  1,2,3,4,5) . Из условия задачи P ( H k )  . Условные ве5
роятности P ( A / H k ) также заданы в тексте задачи:
P( A / H1 )  0,5 ; P( A / H 2 )  0,6 ; P ( A / H 3 )  0,7 ;
P( A / H 4 )  0,8 ; P ( A / H 5 )  0,9 .
Согласно формуле полной вероятности получаем:
5
1
P( A)   P( H k ) P( A / H k )   0,5  0,6  0,7  0,8  0,9   0,7 .
5
k 1
Аналогично решаются задачи 17–20.
Вероятность P ( H k / A) гипотезы H k после того, как имело место событие A , определяется формулой Байеса:
P( H k )  P( A / H k )
P( H k / A) 
,
(1.12)
P( A)
n
где P( A)   P( H k ) P( A / H k ) .
k 1
Пример 1.6
Имеются две партии деталей, причём известно, что в одной
партии все детали удовлетворяют требованиям качества, а в другой партии 1/4 деталей бракованные. Деталь, взятая из случайно
выбранной партии, оказалась хорошего качества. Определить в
связи с этим вероятность того, что партия содержит недоброкачественные детали.
Решение:
Имеются две равновозможные и несовместные гипотезы: H 1 –
выбор партии с доброкачественными деталями, H 2 – выбор партии в которой имеется брак. Очевидно, что P( H1 )  P( H 2 )  1/ 2 .
Кроме того, по условию задачи P( A / H1 )  1 , P( A / H 2 )  3/ 4 . По
формуле полной вероятности:
1  3 7
P( A)  P( H1 )  P( A / H1 )  P( H 2 )  P( A / H 2 )  1    .
2  4 8
Наконец по формуле Байеса определяем:
8
P( H 2 )  P( A / H 2 ) 3/ 4  1/ 2 3

 .
P( A)
7/8
7
Аналогично решаются задачи вариантов 21–23.
Если производятся n независимых опытов, вероятность появления события в каждом из которых постоянна и равна p , то вероятность Pn ( m ) того, что это событие при n опытах осуществится ровно m раз, определяется формулой Бернулли:
Pn (m)  Cnm  p m  q n m ,
(1.13)
n!
где Cnm 
, q 1 p.
m ! (n  m )!
Вероятность появления события не менее m1 и не более m2 раз
можно рассчитать по формуле Бернулли, принимая во внимание
формулу сложения несовместных событий:
P( H 2 / A) 
Pn (m1  m  m2 ) 
m2
C
m
n
 p m  q n m .
(1.14)
m  m1
Вероятность появления события хотя бы один раз в n опытах
можно определить по формуле:
Q  1  Pn (0)  1  qn .
(1.15)
Количество опытов n , которые нужно провести для того, чтобы с
вероятностью не меньшей Q можно было утверждать, что данное
событие осуществится, по крайней мере, один раз, определяется
из неравенства:
ln(1  Q )
n
.
(1.16)
ln q
При больших значениях m и n и постоянном значении p имеет
место интегральная формула Лапласа:


m  np
lim P  a 
 b   (b)  (a ) , (1.17)
n 
npq


m
x
1
t2 / 2
e
dt – функция Лапласа.
где  ( x ) 

2 0
Если n   , а p  0 причём так, что np  a  const , тогда из
формулы Бернулли можно получить формулу Пуассона:
9
Pn (m)  C  p  q
m
n
m
n m
a m a

e .
m!
Пример 1.7
Вероятность выхода из строя изделия за время испытаний на
надёжность равна p  0,05 . Какова вероятность, что за время испытаний 100 изделий выйдут из строя не более 5 изделий?
Решение:
Необходимо вычислить вероятность P100 (0  m  5) . Для этого
применим интегральную формулу Лапласа. В данном примере
np  5 , npq  4,75 .
 55 
 05 
P100 (0  m  5)   
 
  (0)  (2,29)  0,489 .
 4,75 
 4,75 
Аналогично могут быть решены задачи вариантов 24–30.
Задача №1
Решить соответствующий вариант, применяя основные формулы классической и геометрической вероятности.
Вариант 1. Секретный замок содержит на общей оси пять дисков. Первый диск разделён на шесть секторов с буквами:
A,B,C,D,E,F. Остальные четыре разбиты на десять секторов с
цифрами от 0 до 9. Какова вероятность разгадать код с первой
попытки?
Указание. Использовать формулу 1.1.
Ответ:  1,67  105 .
Вариант 2. Двенадцать книг расставлены на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что четыре определённые
книги окажутся поставленными вместе?
Указание. Использовать формулу 1.1.
Ответ: 1/ 55 .
Вариант 3. Имеется пять отрезков, длины которых равны соответственно 1,3,5,7 и 9. Определить вероятность того, что с помощью взятых наудачу трёх отрезков из данных пяти можно построить треугольник.
Указание. Из трёх отрезков a , b, c можно построить треугольник в том случае, если a  b  c , a  b  c . Для подсчёта вероятности использовать формулу 1.1.
10
Ответ: 0,3 .
Вариант 4. Из колоды карт (52 шт.) случайно извлекают три.
Какова вероятность, что это будут: тройка, семёрка, туз?
Указание. Применить формулу 1.1.
Ответ: 2,9  103 .
Вариант 5. Два теплохода должны подойти к одному и тому
же причалу. Время прихода обоих теплоходов независимо и равновозможно в течение суток. Определить вероятность того, что
одному из теплоходов придётся ожидать освобождения причала,
если время стоянки первого теплохода один час, а второго – два
часа?
Указание. Применить формулу 1.2.
Ответ: 0,121.
Вариант 6. Спутник Земли движется по орбите, которая заключена между 600 северной и 600 южной широты. Считая падение спутника в любую точку поверхности Земли между указанными параллелями равновозможным, найти вероятность того, что
спутник упадёт выше 300 северной широты.
Указание. Использовать формулу 1.2.
Ответ: 0,21.
Вариант 7. Определить вероятность того, что корни уравнения
2
x  2ax  b  0 вещественны и положительны, если a  1; b  2
(любое значение параметров a, b в указанных пределах равновозможны).
Указание. Использовать формулу 1.2 и свойства корней квадратного уравнения.
Ответ: 1/ 24 .
Вариант 8. Имеются две карточки с буквой «А» и четыре карточки с буквами «Е,К,Р,Т». Карточки перемешиваются, затем
наугад извлекаются по одной. Какова вероятность, что получится
слово «РАКЕТА»?
Указание. Применить формулу 1.5.
Ответ: 1/ 360 .
Вариант 9. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона
и поэтому набирает её наудачу. Определить вероятность того, что
ему придётся звонить не более чем в три места.
11
Указание. Прейти к противоположному событию и применить
формулу 1.4.
Ответ: 0,3 .
Вариант 10. В лотерее 100 билетов, из которых 5 выигрышных. Какова вероятность выиграть, имея 3 билета?
Указание. Прейти к противоположному событию и применить
формулу 1.4.
Ответ:  0,144 .
Вариант 11. В двух урнах находятся одинаковые шары, отличающиеся только цветом, причём в первой урне 5 белых шаров,
11 чёрных и 8 красных, а во второй соответственно 10,8 и 6. Из
обеих урн случайным образом извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?
Указание. Применить формулы 1.1 и 1.9.
Ответ: 0,323 .
Вариант 12. Билет в партер стоит 500 руб., в бельэтаж – 400
руб., на ярусы – 300 руб. Определить вероятность того, что покупаемые наугад два билета стоят вместе не дороже 800 руб., если
равновозможно приобретение билетов любого типа.
Указание. Использовать формулы 1.6, 1.9.
Ответ: 2 / 3 .
Вариант 13. Определить вероятность того, что случайно выбранное целое положительное число: а) не делится ни на два, ни
на три; б) не делится на два или на три.
Указание. Использовать формулы 1.3, 1.7.
Ответ: 1/ 3; 5/ 6.
Вариант 14. Из урны, содержащей 13 шаров с номерами от 1
до 13, последовательно извлекаются два шара, причём первый
шар возвращается, если его номер не равен единице. Найти вероятность того, что шар с номером два будет извлечён при втором
выборе.
Указание. Использовать формулы 1.6 и 1.10.
Ответ:  0,077.
Вариант 15. Двое игроков поочерёдно бросают монету. Выигрывает тот игрок, у которого раньше появится герб. Определить
вероятности выигрыша для каждого из игроков.
Указание. Применить формулы 1.5 и 1.9.
12
Ответ: первый бросающий p  2 / 3 , второй бросающий
p  1/ 3.
Вариант 16. В электропоезд, состоящий из 4 вагонов, входят 5
пассажиров, которые выбирают вагоны наудачу. Определить вероятность того, что в каждый вагон войдёт хотя бы один пассажир.
Указание. Применить формулы 1.5 и 1.8.
Ответ:  0,234 .
Вариант 17. В двух урнах находится соответственно 5 и 3 белых и 7 и 5 чёрных шаров. Из каждой урны случайно извлекается
один шара, а затем из этих двух шаров наудачу берётся один. Какова вероятность, что этот шар белый?
Указание. Применить формулу 1.11.
Ответ: 19 / 48 .
Вариант 18. Видеоплата, поставленная в компьютер, может
принадлежать к одной из трёх партий с вероятностями соответственно 0,25; 0,5; 0,25. Вероятности того, что плата проработает
заданное число часов для этих партий равны, соответственно:
0,95; 0,9; 0,81. Найти вероятность того, что плата проработает заданное число часов.
Указание. Применить формулу 1.11.
Ответ: 0,89 .
Вариант 19. Определить вероятность того, что 10 лампочек,
взятых наудачу из 100, окажутся исправными, если известно, что
число испорченных лампочек на 100 штук равновозможно от 0 до
32.
Указание. Применить формулу 1.11.
Ответ:  0,9 .
Вариант 20. В коробку, содержащую 5 шаров, опущен белый
шар. Какова вероятность извлечь из этой коробки белый шар, если все предположения о начальном количестве белых шаров равновозможны?
Указание. Применить формулу 1.11.
Ответ: 7 /12 .
Вариант 21. В тире имеется девять ружей, из которых только
два пристреляны. Вероятность попадания в цель из пристрелянного ружья 0,8, а из непристрелянного – 0,1. Выстрелом из слу13
чайно выбранного ружья мишень поражена. Определить вероятность того, взято пристрелянное или непристрелянное ружьё.
Указание. Применить формулу 1.12.
Ответ: 16/ 23 и 7 / 23 .
Вариант 22. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Некоторая схема контроля признаёт годной стандартную продукцию с вероятностью 0,98, а бракованную – с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что изделие,
прошедшее этот контроль стандартно?
Указание. Применить формулу 1.12.
Ответ: 0,998 .
Вариант 23. Имеются десять одинаковых ящиков. В девяти из
них находятся по два чёрных и по два белых шара, а в одном пять
белых и один чёрный шар. Из случайно выбранного ящика извлечён белый шар. Какова вероятность, что этот шар выбран из ящика с пятью белыми шарами?
Указание. Применить формулу 1.12.
Ответ: 5/ 32 .
Вариант 24. В магазине имеются книги по программированию
и математике. Вероятность того, что любой покупатель возьмёт
книгу по программированию, равна 0,7, а по математике – 0,3.
Определить вероятность того, что пять покупателей подряд возьмут книги или только по программированию, или только по математике, если каждый из них покупает только одну книгу.
Указание. Применить формулу 1.13.
Ответ: 0,17 .
Вариант 25. Пять электрических лампочек включены в цепь
последовательно. Определить вероятность того, что при скачке
напряжения в сети произойдёт обрыв цепи, если вероятность выхода из строя любой лампочки одинакова и равна 0,95.
Указание. Применить формулу 1.15.
Ответ:  0,226 .
Вариант 26. Вероятность того, что лампа остаётся исправной
после 1000 часов работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что
хотя бы одна из трёх ламп остаётся исправной после 1000 часов
Работы?
Указание. Применить формулу 1.15.
14
Ответ: 0,488 .
Вариант 27. Аппаратура содержит 2000 одинаково надёжных
элементов, вероятность отказа для каждого из них равна 5  104 .
Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?
Указание. Применить формулу 1.18.
Ответ:  0,63 .
Вариант 28. Вероятность того, что изделие не выдержит испытание, равна 103 . Найти вероятность того, что из 5000 изделий
более чем одно не выдержит испытание.
Указание. Использовать формулу 1.18.
Ответ:  0,96 .
Вариант 29. Производится 60 опытов в одинаковых условиях.
Вероятность появления некоторого события в одном опыте равна
0,6. Какова вероятность того, что это событие появится в большинстве опытов.
Указание. Использовать формулу 1.17.
Ответ: 0,943 .
Вариант 30. Вероятность выхода из строя за 1000 часов одного конденсатора равна 0,2. Определить вероятность того, что из
100 конденсаторов в течение 1000 часов выйдут из строя от 14 до
26 конденсаторов.
Указание. Использовать формулу 1.17.
Ответ:  0,866 .
15
Глава II
Случайные величины
Дискретная случайная величина имеет конечное или счётное
множество значений. Каждое значение дискретная случайная величина принимает с некоторой вероятностью pi  P ( X  xi ) , при
этом выполняется равенство:
(2.1)
 pi  P( X  xi )  1 .
i
i
В отличие от дискретной величины непрерывная случайная величина может принимать любые числовые значения в заданном
интервале. Для математического исследования непрерывных случайных величин вводят функцию распределения:
(2.2)
F ( x)  P( X  x), x  R .
Для функции распределения (2.2) характерны следующие свойства:
(2.3)
F ( x2 )  F ( x1 ) , если x2  x1 ,
(2.4)
lim F ( x )  1 , lim F ( x)  0 ,
x 
x 
lim F ( x )  F ( x0 ) .
x  x0 0
(2.5)
Первая производная от функции распределения называется
плотностью вероятности и обозначается f ( x ) :
(2.6)
f ( x)  F ( x) .
Справедлива следующая формула, которая следует из (2.4), (2.6):
x
F ( x) 

f (t )dt .
(2.7)

Пример 2.1.
Из партии, состоящей из 100 изделий, среди которых имеется
10 бракованных, выбраны случайным образом 5 изделий для проверки качества. Построить распределение числа бракованных изделий в выборке.
Решение:
Количество бракованных изделий – дискретная случайная величина, имеющая шесть значений:
x0  0, x1  1, x2  2, x3  3, x4  4, x5  5 .
Применяя методы главы I нетрудно подсчитать вероятность каждого из этих значений:
16
5 i
C10i  C40
P( X  xi )  pi 
.
5
C100
В результате расчётов по этой формуле с точностью до   103
получим распределение X .
0
1
2
3
4
5
X
0,583
0,34
0,07
0,007
0
0
P
Пример 2.2.
Пусть функция распределения некоторой непрерывной случайной величины имеет вид:
F ( x)  a  b  arcctg ( x), a, b  R .
Определить в этих условиях значение неизвестных постоянных a, b .
Решение:
Для решения этой задачи используем свойство функции распределения (2.4):
lim (a  b  arcctg (  x ))  0 , lim ( a  b  arcctg (  x ))  1.
x 
x 
Для вычисления этих пределов используем свойства функции
y  arcctg ( x) :
lim arcctg ( x )   , lim arcctg ( x )  0 .
x 
x 
На основании этого определяем значения a, b :
lim (a  b  arcctg (  x ))  a  a  0 ,
x 
lim ( a  b  arcctg (  x ))  a  b  b 
x 
Окончательно получаем:
F ( x) 
1

1

.
arcctg (  x ) .
Плотность вероятности f ( x ) обладает следующими основными свойствами:
1) f ( x)  0 ;

2)

f ( x )dx  1;

17
b
3) P(a  X  b)   f ( x )dx .
a
К основным числовым характеристикам случайных величин
относят математическое ожидание M ( X ) , дисперсию D( X ) , а
также среднеквадратическое отклонение  ( X )  D( X ) .
Математическое ожидание дискретной случайной величины
определяется формулой:
(2.8)
M ( X )   xi  pi .
i
Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по
формуле:
D( X )  M ( X  M ( X ))2   ( xi  M ( X )) 2  pi . (2.9)
i
Из формулы (2.9) можно получить удобную для расчётов формулу:
(2.10)
D( X )  M ( X 2 )  M 2 ( X ) ,
где M ( X 2 )   xi2  pi .
i
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины рассчитываются по формулам:
(2.11)
M ( X )   x  f ( x )dx ,
E
D( X )   x 2  f ( x )dx  M 2 ( X ) .
(2.12)
E
В формулах (2.11), (2.12) интегрирование проводится по множеству E , где f ( x)  0 .
Пример 2.3.
Бросается игральный кубик. Если выпадает чётное число очков, то игрок A получает от B количество рублей равное числу
выпавших очков. Если выпадает нечётное количество очков, то
игрок B получает от A такое же количество рублей. Определить
средний выигрыш каждого игрока.
Решение:
Составим распределения для игроков A и B .
18
Игрок А
XA
–1
1/6
P
2
1/6
–3
1/6
4
1/6
–5
1/6
6
1/6
Игрок B
XB
1
1/6
P
–2
1/6
3
1/6
–4
1/6
5
1/6
–6
1/6
Определим математические ожидания игроков A и B :
1
1
M ( X A )   ( 1  2  3  4  5  6)  ,
6
2
1
M ( X B )  M ( X A )   .
2
Как видно из этих расчётов данная игра является проигрышной
для игрока B .
Пример 2.4.
Функция распределения случайной величины X имеет вид:
0, x  1

F ( x )   A  B  arcsin x, x  ( 1,1]
1, x  1.

Из условия непрерывности F ( x) определить постоянные A и
B . Найти плотность вероятности f ( x ) , M ( X ) , D( X ) и  ( X ) .
Решение:
Из условия непрерывности получаем серию выкладок:
F ( 1)  0  lim( A  B  arcsin x ) ,
x 1
F (1)  A  B   / 2  lim F ( x )  1 ,
x 1 0
A /2 B  0
.

A


/
2

B

1

Решая эту систему определяем A  1/ 2 , B  1/  .
По формуле (2.6) определяем f ( x ) :
19
0, x  1

1

f ( x )  F ( x )  
, x  ( 1,1)
2
 1  x
0, x  1.
Далее, по формулам (2.11), (2.12) рассчитаем M ( X ) и D( X ) :
1
1
1
xdx
1
2
M(X )  
 lim  1  x
 0,
 1 1  x 2   0
1
1
1
1
1
x 2 dx
1
dx
1 1  x2
D( X )  


dx 
 1 1  x 2  1 1  x 2  1 1  x 2


1
1
1 1

1

 .





2
2
2
1
1
Последний интеграл равен половине площади круга радиуса единица.
2
 ( X )  D( X ) 
.
2

1
arcsin x

1
1
1  x2 
1
 / 2  (  / 2)  
Нормальная случайная величина имеет плотность вероятности,
выражаемую формулой:
( x  a )2

1
2
f ( x) 
e 2 ,
(2.13)
2
2
где a  M ( X ) ,   D( X ) .
Справедлива следующая основная формула для расчётов вероятностей, связанных с нормальной величиной:
 x a
 x1  a 
(2.14)
P( x1  X  x2 )    2
  
,






2
x
t

1
где ( x ) 
e 2 dt (функция Лапласа).

2 0
Для расчётов по формуле (2.14) можно использовать таблицу 3,
помещённую в конце пособия.
20
Задача №2
Дискретная случайная величина, её распределение и числовые
характеристики.
Вариант 1. Опыт состоит из трёх независимых бросаний монеты. Для случайного числа появлений герба построить ряд распределения и вычислить M ( X ) , D( X ) и  .
Вариант 2. Производится стрельба по мишени до первого попадания либо до полного израсходования патронов, число которых равно пяти. Построить распределение случайного числа выстрелов. Определить M ( X ) , D( X ) и  . Вероятность промаха
q  0,15 .
Вариант 3. Опыты продолжаются до первого положительного
исхода, после чего они прекращаются. Найти для случайного
числа опытов ряд распределения, M ( X ) , D( X ) и  . Вероятность
успеха p  0,6 .
Вариант 4. Два баскетболиста поочерёдно забрасывают мяч в
корзину до тех пор, пока один из них не попадёт. Построить ряд
распределения случайного числа бросков для каждого баскетболиста, если вероятность промаха для первого 0,25, а для второго
0,3. Определить среднее число бросков для каждого баскетболиста.
Вариант 5. Мишень состоит из круга №1 и двух колец №2 и
№3. Попадание в круг №1 даёт 10 очков, в кольцо №2 – 5 очков, в
кольцо №3 – минус 1 очко. Вероятности попадания в круг №1 и
кольца №2 и №3 соответственно равны 0,5; 0,3; 0,2. Определить
среднее число полученных очков при трёх выстрелах.
Вариант 6. Испытуемый прибор состоит из трёх элементов.
Отказы элементов независимы, а вероятности их элементов с номером k равны: pk  0,2  0,1  ( k  1), k  1,2,3 . Определить
средне число отказавших элементов.
Вариант 7. Определить среднее число приборов, отказавших
во время испытания. Вероятность отказа у всех одинакова и равна 0,15. Число приборов n  5 .
Вариант 8. Автоматическая линия может выпускать бракованное изделие с вероятностью 0,05. Переналадка линии производится сразу после появления брака. Найти среднее число изделий,
изготовленных между двумя переналадками линии.
21
Вариант 9. Случайная величина X имеет следующее распределение:
1
2
3
4
5
…
X
3
5
2
4
…
 /3
 /3
 /3
P
 /3
 /3
Определить  , M ( X ) , D( X ) и  .
Вариант 10. Случайная величина X может получать любые
положительные значения с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии. Выбрать первый член и знаменатель
прогрессии так, чтобы M ( X )  10 .
Вариант 11. Из ящика с 3 белыми и 2 чёрными шарами извлекают с возвращением шары до тех пор, пока не появится белый
шар. Каково среднее число вынутых чёрных шаров?
Вариант 12. Бросается кубик. Если в n  0 бросаниях выпалов
чётное число очков, а в n  1 бросании нечётное число очков, то
игрок A получает от B n рублей. Если же n  0 , то A платит B
один рубль. Определить выигрыш игрока A .
Вариант 13. Реле состоит из элементов A , B и C , собранных
по схеме.
B
A
Âõî ä
C
Âû õî ä
Вероятности отказов элементов A , B и C равны соответственно:
0,12; 0,13; 0,17. Реле испытывают до первого отказа. Каково в
этих условиях среднее число безотказных срабатываний?
Вариант 14. Из урны с 4 белыми и 3 чёрными шарами извлекают с возвращением шары до появления чёрного шара. Составить ряд распределения для случайного числа белых шаров X .
Определить M ( X ) .
Вариант 15. Величина X имеет распределение:
1
2
3
…
X
2
q
…
q

P
Определить  и q по условию M ( X )  7 .
Вариант 16. Мишень состоит из центрального круга (10 очков)
и концентрических колец №1 (5 очков), №2 (1 очко) и №3 (–12
очков). Вероятности попадания в эти объекты равны соответственно 0,5; 0,3; 0,15; 0,05. Найти среднее количество очков и
среднеквадратическое отклонение  .
22
Вариант 17. Два стрелка поочередно стреляют по мишени до
первого попадания. Вероятность промаха для первого 0,15, для
второго 0,17. Какой стрелок в среднем произведёт больше выстрелов?
Вариант 18. Бросается игральный кубик. Если число очков не
превосходит 4 игрок A получает от игрока B 3 рубля, в противном случае A платит B S рублей. Определить S из условия безобидности данной игры. Какова при этом дисперсия выигрыша
игрока B ?
Вариант 19. Бросается игральный кубик. Если выпадает 1 очко
игрок A платит игроку B S 2 рублей. При выпадении 6 очков игрок A получает от B 5 рублей. В остальных случаях игрок A получает от B S рублей. Определить S из условия безобидности
данной игры. Чему равно среднеквадратическое отклонение выигрыша игрока A ?
Вариант 20. Реле состоит из одинаковых элементов A , собранных по схеме.
A
A
A
Вероятность отказа элемента A равна 0,005. Реле испытывают до
первого отказа. Время испытания   0,5 сек. Определить срок
службы реле.
Вариант 21. Случайная величина X задана распределением:
1
2
3
4
5
X
a
ad
a  2d
a  3d
a  4d
P
Определить a и d , если известно, что M ( X )  7 / 2 .
Вариант 22. Случайная величина X имеет распределение:
5
4
3
2
1
X
a
ad
a  2d
a  3d
a  4d
P
Определить a и d , если известно, что M ( X )  4 .
Вариант 23. Случайная величина X имеет распределение:
1
2
3
4
5
X
0,2  d
0,3  d
0,2  d
0,2  d
0,1
P
Определить параметр d из условия минимума D( X ) .
23
Вариант 24. Случайная величина X имеет распределение:
0,1
0,2
–0,3
0,4
–0,1
X
0, 25  d
0,3  d
0,15
0,2
0,1
P
Определить d таким образом, чтобы дисперсия X имела своё
минимальное значение.
Вариант 25. Распределение случайной величины X задано
таблицей:
–0,15
–0,1
0,12
0,2
0,5
X
0,25  t
0,1
0,2
0,3
0,15  t
P
Определить t из условия минимума D( X ) .
Вариант 26. Задана дискретная случайная величина X :
1
2
3
4
5
X
0,1
0,3  t
0,2
0,3  t
0,1
P
Каково максимальное значение D( X ) при допустимых значениях
t?
Вариант 27. Двое равносильных соперников играют в шахматы. Вероятность ничейного исхода равна 0,2. Определить среднее
количество очков и дисперсию для игроков, если победа приносит 2 очка, поражение даёт – 2 очка, за ничью присваивается 1
очко.
Вариант 28. Два игрока A и B играют в шахматы. Вероятность ничьи равна 0,1. Игровая практика показала, что среднее
число очков игрока B равно 1 (очки засчитываются по схеме: поражение –2 очка; ничья +1; победа +2). Каково среднее число очков у игрока A . Кто более сильный шахматист?
Вариант 29. Дискретная случайная величина представлена
своим распределением:
1
2t
3 
X
0,4
0,3
0,3
P
Известно, что t  [0,1] , а   [1, 1] . Определить в этих условиях
максимальную дисперсию X .
Вариант 30. Два стрелка имеют следующие показатели ( X –
количество очков):
10
7
5
1
X
0,7
0,2
0,09
0,01
P
10
7
5
X
0,62
0,38
0
P
Кому из них можно отдать предпочтение?
24
1
0
Задача №3
Непрерывная случайная величина.
Вариант 1. Функция распределения случайной величины X
определяется следующим образом:
0, x  0
F ( x)  
x
 A  e , x  0.
Определить A , плотность вероятности, M ( X ) , D( X ) и  .
Вариант 2. Известно, что:
0, x  0

F ( x )   A  sin  x, 0  x  1
1, x  1.

Определить в этих условиях A ,  , плотность вероятности,
M ( X ) , D( X ) и  .
Вариант 3. Пусть:
0, x  1

F ( x )   x  1
 x , x  1.
При каком значении  дисперсия этой случайной величины будет конечной?
Вариант 4. Случайная величина X имеет плотность вероятноx
сти f ( x )  1/ 2  e . Определить F ( x) , M ( X ) , D( X ) и  .
Вариант 5. Функция распределения случайной величины X
задаётся формулами:
0, x  0
F ( x)  
 x
1  e , x  0.
При каком значении  дисперсия этой величины будет меньше
1?
Вариант 6. Функция распределения случайной величины X
имеет вид:
0, x  1

F ( x )  a  b  arcsin x, x  1
1, x  1.

25
Определить a и b , найти f ( x ) , M ( X ) , D( X ) и  .
Вариант 7. Функция распределения случайной величины X
x
определяется по формуле: F ( x )  A  B  arctg . Определить по2
стоянные A и B . Найти P(0  X  3) ?
Вариант 8. Плотность вероятности f ( x )  e
 , F ( x ) , M ( X ) , D( X ) и  .
 x
. Определить
Вариант 9. Плотность вероятности f ( x )  A  x e  x . Определить A , F ( x) , M ( X ) , D( X ) и  .
Вариант 10. Плотность вероятности f ( x)  A  x 2e x при x  0 ,
f ( x)  0 при x  0 . Определить A , M ( X ) , D( X ) и  .
Вариант 11. Дана функция распределения случайной величи0, x  [0,  / 2]
ны X : F ( x )  
 A  cos x, x  [0,  / 2].
Определить значение постоянной A из условия непрерывности
F ( x) , а также плотность вероятности, M ( X ) , D( X ) и  .
2
x
Вариант 12. Дана плотность вероятности f ( x )  A  e . Определить значение постоянной A , найти функцию распределения
F ( x) , а также M ( X ) , D( X ) и  .
Вариант 13. Дана плотность вероятности:
 A  sin  x, x  [0,1]
f ( x)  
0, x  [0,1].
Определить функцию распределения F ( x) , A , M ( X ) , D( X ) и  .
Вариант 14. Пусть X – равномерная на отрезке [0,1] случайна
величина. Будет ли величина Z  2 X  1 также равномерной? Какова её плотность вероятности?
Вариант 15. Известно, что X – равномерная случайная величина на отрезке [  ,  ] . Найти функцию распределения величины Y  X 2 . Определить плотность вероятности и M (Y ) .
Вариант 16. Пусть X – стандартная нормальная величина.
Определить отрезок единичной длины, вероятность попадания в
который наибольшая.
26
Вариант 17. Известно, что плотность вероятности величины
1
. Определить отрезок единичной длины
X равна f ( x ) 
 (1  x 2 )
с наибольшей вероятностью попадания.
Вариант 18. Функция распределения некоторой случайной ве0, x  0

личины X задана: F ( x )   x 2 , 0  x  1
1, x  1.

Определить симметричный относительно M ( X ) интервал вероятность попадания в который равна 0,99.
Вариант 19. Величина X имеет равномерное распределение
на отрезке [ 1,1] . Найти функцию распределения и плотность вероятности величины Y  X 4 .
Вариант 20. Случайная величина X задана своей функцией
распределения:
0, x  1

F ( x )   4 x 2  4 x,  1  x  1/ 2
1, x  1/ 2.

Определить все интервалы длиной 0,25 вероятность попадания в
которые не менее 0,7.
Вариант 21. Даны две случайные величины X 1 и X 2 , имеющие плотности вероятности:
0, x  [  / 2,  / 2]

f1 ( x )   1
 2 cos x, x  [  / 2,  / 2].
0, x  [0,  ]

f2 ( x)   1
 2 sin x, x  [0,  ].
X3
Определить
третью
величину
с
плотностью
f 3 ( x )   f1 ( x )   f 2 ( x ) , таким образом, чтобы D( X 3 ) была минимальной.
Вариант 22. Величина X 1 имеет равномерное распределение
на отрезке [ 1,1] , а величина X 2 равномерна на [0,2] . Опреде27
X3
лить
величину
с
плотностью
вероятности
f 3 ( x )   f1 ( x )   f 2 ( x ) , так, чтобы D( X 3 ) была минимальной, где
f1 ( x ) , f 2 ( x ) – плотности вероятности величин X 1 и X 2 .
Вариант 23. Известно, что X  N (1,1) . Найти отрезок длиной
2, вероятность попадания в который максимальна.
Вариант 24. Пусть X  N (2,3) . Определить отрезок единичной длины, вероятность попадания в который максимальна.
Вариант 25. Экспериментальные исследования показали, что
плотность вероятности некоторой случайной величины может
 Ax 2  Bx 3 , x  ( 1,1)
быть выражена формулами: f ( x )  
 0, x  ( 1,1).
Выбрать постоянные A , B из условия D( X )  min .
Вариант 26. Известно, что X  N (1, ) , при этом
P  X  1  1  0,95 . Определить в этих условиях D( X ) .
Вариант 27. Случайная величина X  N ( 3,  ) . Известно, что


P X  3  2  0,05 . Чему равно значение  ?
Вариант 28. Плотность вероятности величины X определяет
( x 1)2
2
  e
ся формулой 2  f ( x )    e
метры  и  так, чтобы D( X )  min .
Вариант

29.

Известно,
что

( x 1)2
2
. Выбрать пара-
X  N (2, 2) ,
при
этом
P X  1  t 2  0,99 . Определить значение t .
Вариант 30. Случайная величина X равномерно распределена
на отрезке [0,16] . Какое распределение имеет величина X .
Найти её основные числовые характеристики (математическое
ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение).
28
Глава III
Математическая статистика
Множество однородных объектов, каждый из которых является носителем одного и того же признака называется генеральной
совокупностью. Совокупность значений признака описывается с
помощью случайной величины (дискретной или непрерывной).
Основной задачей математической статистки является исследование генеральной совокупности статистически, т.е. выяснение
вероятностных свойств случайной величины, описывающей значения количественного признака генеральной совокупности.
Полное исследование генеральной совокупности, как правило,
осуществить не удаётся, поэтому в математической статистике
используют выборочный метод. Согласно этому методу исследуется не вся генеральная совокупность, а только некоторые её объекты (выборка). С помощью выборки оценивают генеральную
совокупность по вероятностным свойствам (числовые характеристики, законы распределения и т.д.). Чтобы оценки были достоверными, выборка должна быть представительной, т.е. её вероятностные свойства должны совпадать или быть близкими к свойствам генеральной совокупности.
Представительную выборку можно получить, если выбирать
объекты случайно, т.е. гарантировать всем объектам генеральной
совокупности одинаковую вероятность подвергнуться исследованию. С точки зрения теории вероятностей представительную выборку объёма n можно промоделировать с помощью n независимых случайных величин X i с одинаковым законом распределения. После получения выборки приступают к вычислению оценок числовых характеристик генеральной совокупности (например, математического ожидания и дисперсии).
Различают два вида оценок: точечные и интервальные. Точечные оценки представляют собой числовые значения, рассчитанные по выборочным данным. Например, для оценки генерального
среднего и дисперсии используют следующие формулы:
1 n
(3.1)
X   Xi ,
n i 1
29
2
1 n
,
(3.2)
S 
X

X


 i
n  1 i 1
где n – объём выборки. Основным требованием, предъявляемым
к точечным оценкам, является их несмещённость. Оценка называется несмещённой, если её математическое ожидание совпадает
с генеральным значением. Приведённые в (3.1), (3.2) оценки несмещены. Действительно, пусть
a  M ( X i ) ,  2  D( X i )  M ( X i  a )2 , i  1,2,..., n.
Тогда
na
1 n
 1 n
M (X )  M   Xi    M (Xi ) 
 a,
n
 n i 1  n i 1
2
2
1 n
 1 n
2
M (S )  M 
X

X

M
X

a

X

a









i
 n 1  i
n

1
i 1
i 1


2
2
1 n
2 n
1 n
2

M
X

a

M
X

a
X

a

M
X

a












i
i
n  1 i 1
n  1 i 1
n  1 i 1
2
n 2
2 n n M  Xi  a  M  X j  a
n



M  X  a 

n  1 n  1 i 1 j 1
n
n 1
2
n 2 2 2
1
n 2 2 2
2
( n  1) 2
 n




M   Xi  a 



  2.
n  1 n  1 ( n  1)n  i 1
n 1
 n 1 n 1 n 1
В отличие от точечной оценки интервальная оценка неизвестного параметра генеральной совокупности представляет собой
некий интервал, концы которого вычисляются по выборочным
данным и специальным таблицам (таблицы 3,4 в конце пособия).
При этом согласно определению, этот интервал, который называется доверительным, содержит внутри себя неизвестный параметр с заданной доверительной вероятностью  (обычно  принимают равной 0,9; 0,95; 0,99).
Например, чтобы дать интервальную оценку математическому
ожиданию нормальной генеральной совокупности используют
X a
случайную величину t 
n . Величина t имеет распределеS
ние Стьюдента с числом степеней свободы k  n  1 (число независимых случайных величин участвующих в её образовании). В
30
таблице 3 представлено распределение этой случайной величины
для различных значений k и   1   . По входным данным
k  n  1 и   1   можно определить число t , удовлетворяющее условию:
 X a

(3.3)
P
n  t     1   .
S


Из равенства (3.3) следует нужное равенство:
 X a

(3.4)
P
n  t    .
S


После раскрытия модуля получаем окончательно:
P  X    a  X      ,
(3.5)
S
.
n
Для получения интервальной оценки дисперсии нормальной
генеральной совокупности используют случайную величину
(n  1) S 2
2
 
. Величина  2 имеет распределение Пирсона с чис2
где   t

лом степеней свободы k  n  1 и представлена в таблице 4 в конце пособия. По этой таблице определяют два числа u1 и u2 по
условиям:
1 
P   2  u1   1 
, k  n  1,
(3.6)
2
1
P   2  u2    2 
, k  n 1.
(3.7)
2
Из условий (3.6), (3.7) получаем равенство:
P  u1   2  u2    .
(3.8)
После замены  2 её значением получим окончательно:
 (n  1) S 2
(n  1) S 2 
2
P
 
(3.9)
 .
u
u
2
1


При построении доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии предполагалось, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение. В практических задачах заранее неизвестно какое распределение имеет генеральная
31
совокупность. Тем не менее, можно проверить гипотезу о принадлежности генеральной совокупности (точнее значений её количественного признака) к тому или иному распределению. Рассмотрим критерий согласия Пирсона (  2 -критерий) – часто применяемый, но далеко не единственный способ проверки нормальности генеральной совокупности по выборке. Прежде всего,
согласно этой процедуре по выборке составляют вариационный
ряд с некоторой фиксированной длиной интервала h . Если в некотором интервале частота ns мала ( ns  5 ), то этот интервал объединяют с соседним. По гипотетическому распределению можно
рассчитать теоретические частоты ms  nps , где S – номер интервала, а ps в случае нормального распределения можно рассчитать
по формуле:
x X
 xs  X 
ps    s 1


(3.10)

 S .
S




В формуле (3.10) xs 1  xs  h , а xs – левый конец S -го интервала.
Чтобы количественно оценить согласованность теоретических ms
и эмпирических частот ns используют величину Q 2 (статистику
гипотезы), рассчитываемую по формуле:
r
( ni  mi ) 2
2
Q 
.
(3.11)
m
i 1
i
В формуле (3.11) r означает общее количество интервалов вариационного ряда. Случайная величина Q 2 имеет распределение
Пирсона с числом степеней свободы k  r  3 . Далее с помощью
уровня значимости  (эту величину обычно выбирают равной
0,05; 0,01; 0,001) и числа степеней свободы k по таблице 4 выбирают границу uкр критической области
P(Q 2  uкр )   .
(3.12)
В том случае, если рассчитанное по формуле (3.11) значение Q 2
входит в критическую область (Q 2  uкр ) – гипотезу о нормальности генеральной совокупности отвергают. В противном случае
гипотеза принимается.
32
Задача №4
Провести исследование некоторой генеральной совокупности,
используя выборочные данные соответствующего варианта.
1) По формулам (3.1), (3.2) дать точечные оценки генеральному среднему и дисперсии.
2) Предполагая, что выборка сделана из нормальной совокупности, построить доверительные интервалы для a и  2 , принять
  0,95 (формулы (3.5), (3.9)).
3) Построить вариационный ряд и гистограмму (шаг h указан
в варианте).
4) При уровне значимости  =0,001 проверить гипотезу о нормальности генеральной совокупности, используя критерий согласия Пирсона (формула (3.11)).
33
Вариант 1
Выборка объёма N  181 , начало первого интервала a  102 , шаг h  4 .
135 133 124 132 104 152 134 130 129 120 122 124
117 123 123 129 121 122 125 131 147 124 137 112
126 128 111 129 115 147 131 132 137 119 125 120
129 125 123 127 132 118 133 132 132 134 131 120
135 132 125 132 108 114 121 133 133 135 131 125
114 115 122 131 125 132 120 126 115 117 118 118
132 134 127 127 124 135 128 127 115 144 129 120
137 127 125 116 132 120 117 127 118 109 127 122
120 135 116 118 133 136 125 126 119 126 129 127
129 124 127 132 126 131 127 130 126 124 135 127
124 123 123 130 132 143 122 139 120 134 108 132
121 111 123 140 137 120 125 131 118 120 120 136
129 127 116 138 128 133 122 131 128 140 138 134
120 126 109 137 111 115 117 130 113 126 115 124
125 118 115 128 123 129 128 120 115 134 118 135
134
Вариант 2
Выборка объёма N  213 , начало первого интервала a  62 , шаг
h  4.
95
80
89
93
85
111
101
96
88
109
95
91
97
92
104
96
81
88
96
85
83
88
85
95
86
83
97
80
91
78
75
100
87
82
99
85
103
91
100
77
80
94
89
88
90
95
88
87
95
79
90
102
100
95
89
87
86
92
95
84
80
91
86
87
91
92
88
96
85
73
81
74
72
101
85
92
91
64
88
95
93
89
81
103
84
104
89
100
95
85
105
94
95
103
93
87
85
94
91
85
88
77
96
84
83
81
88
88
85
98
95
85
70
85
93
88
98
87
78
101
79
89
84
86
90
78
34
85
85
83
90
83
87
79
80
95
72
75
66
89
82
98
84
87
97
91
82
87
83
93
87
95
96
83
77
80
71
94
93
81
86
97
74
101
94
92
86
95
81
90
93
84
90
97
90
100
92
97
88
90
82
86
92
104
95
82
107
77
91
97
95
105
87
85
86
90
100
91
72
79
104
78
97
93
71
99
87
83
76
100
80
81
94
94
Вариант 3
Выборка объёма N  175 , начало первого интервала a  37 , шаг h  2 .
–29
–29
–30
–23
–15
–25
–17
–24
–11
–23
–28
–21
–22
–29
–23
–24
–18
–23
–24
–13
–22
–24
–18
–32
–16
–19
–30
–25
–17
–21
–16
–20
–24
–21
–21
–16
–20
–12
–18
–20
–19
–22
–23
–19
–18
–26
–27
–18
–16
–26
–20
–23
–21
–22
–15
–17
–19
–25
–31
–15
–18
–18
–13
–17
–12
–25
–22
–13
–18
–18
–23
–22
–28
–20
–17
–11
–24
–16
–22
–27
–31
–16
–23
–15
–20
–9
–24
–22
–30
–25
–19
–25
–16
–30
–27
–15
–32
–24
–28
–19
–33
–19
–20
–25
–18
–16
–21
–22
–22
–20
–26
–19
–22
–17
–19
–19
–24
–24
–21
–18
–23
–19
–21
–25
–15
–30
–33
–22
–14
–13
–22
–26
–26
–21
–29
–18
–13
–14
–22
–23
–14
–34
–10
–23
–26
–23
–26
–25
–17
–22
–26
–18
–24
–25
–11
–24
–16
–22
–19
–21
–23
–25
–22
–20
–25
–26
–36
–25
–19
–24
–16
–9
–19
–22
–24
Вариант 4
Выборка объёма
58
78
84
71
92
71
88
102 104
50
66
73
82
46
60
81
71
98
103
98
108
99
81
92
77
90
103
83
69
90
78
114
79
54
62
82
84
82
56
94
92
89
85
76
85
70
106
68
96
80
N  194 , начало первого интервала a  39 , шаг h  6 .
62
93
88
76
94
78
68
76
119
99
70
103
78
109
84
81
63
83
64
100
109
85
65
82
57
69
56
91
80
69
68
61
100
42
96
72
93
80
71
95
102
85
62
61
88
58
74
64
55
110
92
86
79
93
82
75
100
84
73
93
66
75
78
100
35
90
110
67
46
74
64
70
45
83
70
71
68
78
72
87
73
102
56
78
102
62
65
84
94
68
80
77
109
65
101
69
74
70
96
95
95
97
109
73
81
69
117
98
96
50
92
75
57
66
95
71
98
94
89
65
84
68
76
86
67
88
75
61
63
89
87
105
84
91
55
79
68
81
104
82
110
72
77
53
102
Вариант 5
Выборка объёма N  229 , начало первого интервала a  25 , шаг h  6 .
34
1
17
–6
19
–1
11
31
–8
7
9
21
–16
34
6
36
14
8
–21
11
–8
–10
15
31
–12
11
18
33
–22
–16
–7
13
–14 10
9
29
–9
3
11
6
–20 –17 16
3
3
–2 17 13
29
0 –13 0
20 –7 21 10
13
2
–5 –12
–11 –7 23 –20
8
30 –22 18
20 23 12 19
–16 0
–8 25
7
19 –2
6
–7 13 20 18
–9
5
20 –8
4 –14 3
2
–2 18
27
26
6
8
9
8
11
–2
–9
52
32
14
1
25
24
–1
6
25
27
26
–5
9
–12
19
–10
26
8
4
7
–5
–4
8
0
11
19
–2
34
–3
17
32
–1
14
–4
19
4
Вариант 6
17
16
4
9
29
9
9
13
28
29
–5
27
2
5
24
23 13 18 –17 –22
19 22 –8 23 –5
5
6 –21 –2
8
12 12 –1 25
4
9
22 30 13 19
–10 1
12
8
35
–2 –20 –4 –2 19
–7 15
8
–9 19
26
6
–7
0
–9
33
3
–8
5
–4
6
–5 21
9
17
16 –6
8
–2 –3
20 14 28 –9 –2
12 –2
5
25
1
30 21
7
27 12
Выборка объёма N  237 , начало первого интервала a  285 , шаг h  7 .
324 296 313 323 312 321 322 301 337 322 329 307
301 328 312 318 327 315 319 317 309 334 323 340
326 322 314 335 313 322 319 325 312 300 323 335
339 326 298 298 337 322 303 314 315 310 316 321
312 315 331 322 321 336 328 315 338 318 327 323
325 314 297 303 322 314 317 330 318 320 312 333
332 319 325 319 307 305 316 330 318 335 327 321
332 288 322 334 295 318 329 305 310 304 326 319
317 316 316 307 309 309 328 317 317 322 316 304
303 350 309 327 345 329 338 311 316 324 310 306
308 302 315 314 343 320 304 310 345 312 330 324
308 326 313 320 328 309 306 306 308 324 312 309
324 321 313 330 330 315 320 313 302 295 337 346
327 320 307 305 323 331 345 315 318 331 322 315
304 324 317 322 312 314 308 303 333 321 312 323
317 288 317 327 292 316 322 319 313 328 313 309
329 313 334 314 320 301 329 319 332 316 300 300
304 306 314 323 318 337 325 321 322 288 313 314
307 329 302 300 316 321 315 323 331 318 334 316
328 294 288 312 312 315 321 332 319
36
Вариант 7
Выборка объёма N  161 , начало первого интервала a  48 , шаг h  3 .
61 59 60 50 58 71 57 61 55 75 68 65 63 68 60
66 52 70 69 62 58 56 54 65 61 67 64 58 61 64
71 60 51 54 57 56 55 57 65 56 61 49 67 64 59
65 63 72 67 54 53 58 69 63 66 55 57 68 53 61
55 69 54 64 54 61 66 65 57 60 72 62 68 61 62
52 62 55 70 72 64 71 54 58 71 66 65 66 62 68
60 64 63 61 60 64 65 68 64 66 69 53 57 59 62
60 63 65 60 66 68 66 64 64 67 62 55 65 62 60
55 65 56 57 72 53 62 68 63 57 55 68 59 61 63
62 63 62 59 67 56 65 67 56 69 63 53 55 67 61
54 68 59 63 67 57 64 68 76 64 64
Вариант 8
Выборка объёма N
78 85 52 53
61 64 62 53
62 54 75 52
59 54 83 53
54 66 64 82
64 66 80 71
60 58 59 67
73 85 50 63
51 68 65 64
65 59 64 58
63 53 76 58
80 53 83 51
69 56 48 64
70 64 75 78
66 54 70 81
79 46 54 49
 235 , начало первого интервала a  28 , шаг h  5 .
62
89
59
71
78
53
53
50
72
71
58
46
75
59
47
63
56
66
72
64
70
99
56
74
72
76
77
63
62
51
68
96
58
54
54
60
88
58
74
78
70
51
68
74
67
86
85
63
68
62
66
48
61
63
71
60
70
52
67
45
49
74
93
61
37
98
57
46
77
63
43
86
78
78
67
60
73
58
72
70
82
58
64
44
47
77
56
30
68
50
71
69
70
73
43
51
61
94
66
57
51
41
51
55
72
56
61
64
92
52
53
71
84
35
63
54
62
70
58
65
66
73
53
79
64
65
87
57
53
86
60
69
73
67
87
73
45
70
82
67
53
56
68
73
63
67
60
76
76
62
67
82
79
73
57
98
63
64
57
61
85
64
73
69
72
60
64
79
64
40
64
49
Вариант 9
Выборка объёма N
56 76 65 66
55 67 51 73
69 68 65 34
62 65 75 56
42 87 81 67
58 77 73 54
53 64 65 76
72 58 68 94
57 68 70 58
40 63 86 48
51 86 67 58
64 78 78 60
83 43 64 67
47 76 81 72
75 61 80 51
 217 , начало первого интервала a  26 , шаг h  5 .
76
75
77
66
65
58
88
54
72
75
73
46
50
66
63
62
61
63
92
81
77
59
58
57
66
71
71
60
83
62
89
88
57
60
90
86
62
58
62
83
46
71
83
73
46
48
46
61
43
38
52
67
81
63
64
86
74
61
71
62
57
42
52
58
61
62
57
87
55
68
79
83
70
Вариант 10
50
65
85
80
60
42
90
70
61
75
79
65
67
60
47
60
49
68
79
70
88
71
91
65
50
61
67
68
80
72
41
70
79
93
69
78
57
67
58
62
58
52
67
28
62
76
50
54
61
52
57
54
66
84
46
51
87
75
63
62
64
65
81
93
66
70
69
53
73
63
78
51
80
55
70
51
65
89
68
44
61
67
58
63
Выборка объёма N  167 , начало первого интервала a  23 , шаг h  5 .
71 62 43 80 70 44 42 25 48 55 58 44 74 55 56
49 54 63 60 57 70 52 74 65 61 60 72 69 68 47
30 62 81 56 55 38 68 55 74 50 29 35 55 52 27
58 50 62 80 49 68 68 81 66 64 41 45 48 68 79
56 82 76 84 47 44 72 58 58 80 61 55 66 36 69
44 88 88 73 39 70 70 35 51 69 50 59 35 43 71
54 65 85 63 59 52 88 64 60 61 31 64 48 49 50
41 62 42 76 81 76 70 76 75 53 66 87 74 61 68
73 44 61 53 46 69 71 58 63 73 56 65 53 77 39
83 45 55 77 61 42 72 49 52 67 62 68 72 46 76
67 53 70 76 56 62 38 59 53 50 76 52 73 34 51
60 61
38
Вариант 11
Выборка объёма N  190 , начало первого интервала a  112 , шаг h  5 .
127 141 121 131 145 139 141 131 139 137 128 132
129 134 140 143 140 127 132 136 134 133 121 133
136 126 138 144 138 138 137 137 127 139 140 141
125 136 136 129 136 135 142 132 129 128 134 139
130 137 132 140 125 127 129 133 134 135 124 132
127 133 140 135 140 130 130 130 131 133 133 131
129 127 138 128 122 137 136 137 140 138 117 114
132 137 126 137 136 130 148 130 140 132 127 125
134 136 116 120 125 136 124 144 133 132 123 136
131 130 130 134 132 131 125 138 130 146 132 131
138 135 133 126 134 137 141 136 126 125 135 139
150 130 136 132 127 131 122 125 133 133 123 136
131 135 130 123 133 123 140 133 138 124 129 129
128 126 128 138 127 120 144 135 126 126 144 125
123 132 138 155 139 137 133 129 124 140 131 128
130 130 124 142 124 129 131 143 129 127
Вариант 12
Выборка объёма N  207 , начало первого интервала a
103 120 129 105 131 138 113
87
117
162 139 101
98
114 116
94
125 108
116 124 137 140 151 102 115 127 121
112
96
112 112 120 100 118 104 106
106 107 115 130 140 104 127 125 117
112
90
111 138 112
97
124 128 105
84 138 123 119 121 116 120 101 118
145 117 110 138 107 127 119 127 128
105 131 118 127 105 139
92
122 116
99
98
103 123 114 126 132 123 142
138 115
94
116 138 125
91
132
98
146 123
96
112 104 111 108
89
128
131 102 116 105 135
96
102 106
99
128 125
97
97
96 114 148 133 126
93 123 112 117
87
98
79
97
136
113 116 117 115
97 108 110 110 103
98 121 119
99
134 114 157 133 109
147 110 120
39
 76 , шаг h  6 .
109
119
110
123
109
122
102
90
111
92
111
111
116
98
121
128
120
109
130
131
112
106
118
102
95
111
103
154
140
99
107
100
86
129
113
127
106
134
109
126
120
92
101
109
129
143
129
130
127
126
129
Вариант 13
Выборка объёма N  184 , начало первого интервала a  95 , шаг h  8 .
–71
–44
–58
–49
–53
–72
–59
–59
–62
–78
–62
–47
–46
–74
–62
–52
–45
–66
–48
–59
–44
–56
–58
–34
–55
–57
–51
–59
–58
–53
–67
–38
–90
–68
–36
–53
–35
–50
–74
–87
–50
–72
–50
–64
–51
–72
–52
–67
–58
–38
–79
–54
–37
–91
–62
–73
–63
–37
–61
–60
–64
–71
–64
–63
–72
–51
–47
–47
–49
–60
–74
–42
–45
–52
–67
–50
–64
–65
–58
–21
–67
–58
–36
–78
–63
–59
–59
–77
–77
–54
–69
–40
–41
–52
–79
–29
–59
–27
–59
–23
–63
–70
–58
–74
–67
–58
–65
–68
–59
–46
–58
–73
–58
–50
–72
–35
–57
–55
–68
–79
–58
–56
–62
–63
–50
–46
–42
–49
–56
–50
–39
–78
–67
–72
–88
–63
–39
–66
–70
–68
–60
–64
–54
–68
–69
–50
–30
–67
–71
–44
–84
–44
–71
–68
–86
–70
–44
–55
–41
–74
–48
–71
–65
–50
–46
–53
–49
–66
–69
–30
–59
–59
–39
–72
–65
–74
–79
–70
–48
–45
–69
–56
–54
–60
Вариант 14
Выборка объёма N
58 49 46 53
48 58 54 59
40 51 46 58
65 52 60 58
55 53 51 33
52 46 56 65
52 52 47 48
47 54 52 60
42 63 59 60
73 41 68 54
54 63 63 65
45 40 54 77
54 57 52 63
47 52 51 59
50 46 42 48
 221 , начало первого интервала a  25 , шаг h  4 .
63
66
63
27
53
52
55
47
70
48
60
49
42
42
59
64
61
51
41
70
61
58
55
54
52
47
56
41
56
53
53
69
65
60
55
52
72
48
40
52
72
45
57
43
64
46
70
55
44
60
65
53
64
58
50
58
64
60
50
53
40
59
51
55
38
50
51
69
63
49
67
55
69
60
44
54
64
60
61
44
51
58
42
72
66
59
52
57
52
45
72
50
47
45
59
50
54
41
51
59
43
53
50
49
59
55
55
50
50
72
55
55
59
55
55
64
49
59
46
54
57
43
44
43
57
64
56
50
50
57
59
74
60
56
55
62
45
60
58
58
28
65
46
71
43
47
71
71
68
48
57
50
61
68
50
66
58
67
45
38
57
63
Вариант 15
Выборка объёма N  234 , начало первого интервала a  141 , шаг h  5 .
174 166 157 161 165 162 161 164 172 158 161 163
160 154 171 160 168 171 161 162 168 164 166 159
172 154 154 154 153 159 160 173 150 166 157 177
165 168 152 168 164 158 153 164 174 179 159 165
167 169 164 168 151 174 166 169 170 159 162 153
175 178 157 170 174 169 159 154 165 167 161 168
157 182 175 170 155 164 174 167 170 159 160 153
151 169 155 143 163 155 173 166 164 186 161 158
150 159 167 163 166 155 149 157 164 166 171 172
154 161 169 164 173 164 162 171 156 155 160 156
165 149 175 150 162 179 154 167 158 155 147 161
161 173 166 156 171 158 164 168 173 166 148 174
176 173 167 162 166 167 164 158 160 163 161 154
151 156 150 157 163 168 270 165 174 149 161 162
155 164 156 157 170 173 165 160 166 166 160 165
159 157 162 173 173 151 151 169 167 145 166 168
161 169 170 172 159 161 162 151 165 161 151 156
167 148 167 170 149 162 169 157 167 169 174 163
164 169 161 164 172 160 154 156 166 170 164 160
161 149 158 168 176 155
Вариант 16
Выборка объёма N  210 , начало первого интервала
79 56 46 50 67 37 53 49 42 57 49
54 43 82 54 49 27 56 49 26 46 72
59 61 41 32 42 71 55 46 71 68 37
39 59 39 42 45 55 45 54 87 72 68
69 52 67 66 7 54 56 39 40 61 73
77 54 70 45 49 50 41 39 61 70 44
70 55 45 36 40 71 17 48 49 48 72
64 11 66 37 12 36 15 55 39 72 61
48 28 40 32 26 69 33 50 78 56 61
25 67 50 60 69 63 60 58 46 11 59
41 76 56 46 26 58 40 43 55 45 73
86 25 27 43 26 61 64 10 50 24 42
54 80 56 27 57 76 43 49 43 67 75
62 88 27 37 56 67 63 56 48 28 24
41
a  3 , шаг h  9 .
20
41
67
44
50
42
48
68
36
53
47
36
64
42
45
38
36
33
49
43
53
42
44
77
76
33
39
43
83
29
33
47
72
71
28
48
36
38
46
51
64
48
15
65
38
63
57
57
44
72
52
54
16
34
53
49
Вариант 17
Выборка объёма N  236 , начало первого интервала a  84 , шаг h  7 .
–21
–41
–43
–32
–47
–54
–70
–28
–72
–60
–39
–38
–54
–53
–51
–65
–66
–45
–78
–61
–34
–21
–59
–69
–38
–50
–16
–34
–36
–54
–81
–63
–28
–45
–38
–37
–30
–40
–45
–33
–50
–57
–54
–39
–33
–44
–42
–37
–40
–41
–43
–54
–62
–25
–57
–45
–51
–46
–63
–31
–46
–43
–52
–47
–37
–42
–46
–42
–44
–59
–45
–38
–49
–70
–63
–46
–23
–37
–50
–43
–58
–27
–37
–26
–39
–40
–33
–42
–47
–42
–27
–52
–56
–49
–20
–35
–44
–33
–46
–30
–25
–48
–51
–30
–63
–39
–48
–80
–28
–63
–53
–81
–32
–33
–47
–60
–49
–54
–47
–29
–52
–43
–38
–21
–36
–52
–49
–44
–60
–63
–48
–40
–48
–38
–58
–18
–34
–60
–34
–54
–35
–50
–40
–18
–33
–51
–59
–65
–51
–42
–32
–57
–47
–52
–40
–50
–52
–58
–55
–41
–47
–53
–30
–50
–43
–34
–36
–46
–63
–52
–49
–50
–51
–51
–55
–53
–55
–46
–37
–63
–50
–46
–42
–45
–53
–46
–43
–55
–58
–58
–48
–47
–37
–60
–53
–44
–31
–37
–47
–65
–34
–32
–47
–65
–40
–28
–37
–23
–42
–47
–64
–30
–47
–37
–55
–33
–54
–26
–36
–40
–49
–31
–36
–49
–61
–45
–75
–32
–58
–39
–31
–56
–34
–58
–19
–46
Вариант 18
Выборка объёма N
52 40 47 54
42 53 54 65
43 49 77 64
58 66 49 49
46 53 51 50
54 40 33 20
54 52 62 69
82 67 68 34
61 42 54 33
43 30 60 61
40 57 56 33
53 49 55 25
38 53 48 68
50 59 33 56
 204 , начало первого интервала a  17 , шаг h  7 .
40
46
53
57
60
55
65
56
39
53
44
53
36
49
54
65
64
48
30
42
49
51
47
47
43
48
53
31
41
61
58
42
48
61
48
56
46
42
45
73
41
70
74
55
54
46
56
54
63
48
47
56
35
38
55
56
42
45
38
56
52
29
41
52
53
73
70
35
58
51
56
45
66
53
59
74
45
46
47
63
48
56
72
50
51
42
43
50
52
75
44
59
34
45
59
57
45
76
56
35
62
60
59
55
51
44
65
66
46
50
58
54
56
50
44
41
60
59
51
48
56
54
29
37
40
34
55
62
51
54
66
46
48
52
55
60
40
60
59
55
23
45
39
48
40
51
44
59
39
Вариант 19
Выборка объёма N  224 , начало первого интервала a  80 , шаг h  11.
144 166 120
89
103 140 143 126 119 125 161 140
168 133 151 132 135 166 131 120 127 105 136 145
154 105 173
97
113 150 143 107 133 139 127 138
107 107 127 127 159 170 120 120 106 126 152 128
160 120 109 106 134 127 107 106
95
91
113 128
120
99
160 137 143 103 138 143 131 157 148 146
112 141 174 109 173
91
148 123 133 117 122 139
107 139 169 125 141 132 115 157 127 158 115 161
165 145 168 107 105 115 113 138 113 145 104
99
137 144 122
93
124 120 112 159 135 145 137 115
98 159 158 125 125 121 145 130 168 132 118 139
184 153 133 122 138 117 147 115 134 102 107
85
159 139 156 123 138 136 112 101 114 141 164 142
96 137 161 153 125 147 137 129 140 171 115 155
126 145 109 147 112
98
144 114 109 149 114 173
118 138 102 168 116 125 151
86
129 166 115 106
120 133 159 158 156 114 109 138 108 155 129 145
139 161 116 110 155 122 181 151 129 128 137 104
107 115 131 146 119 125 164 145
Вариант 20
Выборка объёма N  209 , начало первого интервала a  36 , шаг h  11.
107
78
93
81
80
92
126
93
67
50
104 110
120
91
101
91
120
88
69
74
102
65
48
71
103
67
95
112 112
86
99
99
103 122 112 102
92
69
105 106 124
46
72
75
126
73
106
75
80
92
68
112 127
88
93
74
131
51
117 145
96
76
71
138 104 120
67
92
130
99
94
92
97 105
84
78
100
98
114 113
94
108
76
88
91
78
96
81
116
75
120
75
62
113 109 111
127
63
87
86
66 100
75
84
95
121 103
95
70
98
67
148
95
92
105 114
98
102
41
76
114
90
97
111
93 110
79
63
109
69
108
71
111 100 136
92
84 123
84
125 102
96
72
102
90 136
87
132 137 100 102
88
65
75
114
79
122
63
115
90
78
86
122 119
87
115
96
137
106 105
88
75
100
84
71
123 121
94
114
94
93 118
94
102 109
86
45
97
93
43
48
114
85
79
124
89
104 108 108 100 106 102 105 119
71
86
115
82
101
43
Вариант 21
Выборка объёма N  193 , начало первого интервала a  95 , шаг h  5 .
110 115 122 128 115 118 116 124 120 127 136 129
119 124 131 116 108 122 118 132 118 118 116 132
124 120 124 124 118 127 126 119 115 122 131 129
128 122 103 125 115 122 114 109 132 122 121 129
108 111 104 115 105 135 132 133 119 137 126 102
114 109 125 121 112 131 115 122 118 116 130 126
131 127 116 120 119 128 104 131 115 140 115 124
126 115 104 125 131 117 118 102 127 120 102 120
130 128 106 132 129 131 126 116 128 134 132 124
107 119 132 117 120 122 114 125 139 116 125 132
111 122 120 113 123 119 122 112 125 101 121 124
110 123 141 115 121 113 125 139 111 117 114 109
128 126 139 114 123 125 123 118 129 123 124 122
123 120 115 115 127 115 114 133 128 123 104 124
105 124 112 135 117 127 134 117 120
97
123 105
108 119 112 114 133 112 120 145 121 126 127 118
129
Вариант 22
Выборка объёма N  236 , начало первого интервала a  154 , шаг h  6 .
184 181 201 178 190 188 181 180 186 180 176 186
185 184 187 176 189 194 196 190 193 180 186 195
197 189 197 190 176 200 196 188 203 191 180 181
188 185 188 173 184 180 189 178 190 175 193 184
177 179 177 203 185 182 191 183 183 211 189 177
195 196 175 188 189 187 193 185 184 193 181 185
214 177 196 195 193 173 190 200 176 179 185 182
175 180 179 170 206 182 197 197 180 193 192 200
175 196 174 171 160 187 185 206 187 182 175 172
191 179 191 199 197 177 175 170 174 194 188 182
179 186 190 183 196 183 185 174 195 179 197 182
183 184 185 172 193 175 172 179 179 184 190 183
178 192 186 157 172 185 180 193 177 174 200 195
184 186 185 206 192 189 189 184 183 182 179 186
184 169 189 180 183 192 186 200 176 191 186 182
202 184 192 179 204 197 194 182 172 185 175 187
182 184 186 201 197 188 188 194 184 193 178 191
203 193 190 185 181 187 181 196 204 177 178 167
178 194 188 182 182 199 180 181 187 187 178 181
180 182 160 183 193 189 193 191
44
Вариант 23
Выборка объёма N  183 , начало первого интервала a  57 , шаг
h  14 .
5
–3
5
33
20
17
19
–6
9
28
1
17
24
–25 13
53 –6
8
6
2 –20
–35 27
–15 26
–8
9
14
6
3 –34
–4
8
35
1
23
3
28
7
29
14
30
5
11
17
37
24
–7
–1
21
3
28 24 –8 40 24 –7 42 –49 30 –31 –7
46 –16 3
2
19 31 –26 10 46 –4 –5
39 14
3
32
6
25 –13 –12 20 26
5
29
5
39 36 24 38 –2 30 53 52
7
–12 23
1 –10 –3 –5 31 21
6 –15 –2
0
46 13 21 –3
6
9
31 –15 43
4
43 –3 20 20 24 17
3
43 –19 –36 19
5 –50 4 –24 –6 43 17 –22 37 19 28
19 18 –14 19 15 –26 –6 52
5
26 29
30 65
1
25 –3
1
30 53 35
9 –11
76 29 –15 6 –31 –6 58 18 –10 3
60
27 –2
9
88
6
–1 21 –6 30 12
1
Вариант 24
–64
0
–20
–28
–16
–47
–51
1
–22
–36
6
–88
–25
25
Выборка объёма N  203 , начало первого интервала a  94 , шаг
h  12 .
5
–37
–73
–63
–58
–46
–30
–17
–30
–46
–6
–12
–6
–77
–53
–50
–57
–24
–73
–33
–43
–33
–15
–69
–7
–8
–31
1
–29
–46
–40
–25
–43
–15
–64
11
–30
–22
–41
–83
–75
–65
–61
–13
–4
–24
–31
–79
–24
–54
–18
–59
–37
–13
–48
–35
–49
7
–40
–38
–65
–48
–50
–31
–77
–30
–11
–30
–77
–51
–1
–13
–83
16
–12
1
–22
–34
6
–22
–11
–48
–14
–24
–22
–42
–33
–38
–4
–62
–37
–38
–47
5
–65
–66
–55
–42
45
–25
–1
–37
–15
–38
–14
–6
–22
–33
–29
–36
–9
–26
–38
–44
–26
29
–25
–49
–11
–2
–21
–42
–58
–31
–9
–73
–27
–79
–11
–31
–31
–78
–9
–86
–47
–36
–13
–32
–20
–20
–16
–14
–7
–25
–51
–15
–31
5
–30
–32
–41
–8
–33
–77
–34
–9
–33
–1
–6
–45
–17
–46
–21
–68
–37
–37
–5
–31
–60
–38
–9
–87
–43
–71
–15
–47
–55
–47
–30
–51
–23
–61
–27
–34
–45
–19
–36
–49
–50
–53
Вариант 25
Выборка объёма N  177 , начало первого интервала a  25 , шаг h  13 .
100
51
80
83
83
67
55
84
78
83
101
75
78
99
69
99
71
67
56
74
51
78
34
67
107
66
106
70
117
67
116
79
120
47
113 113
59 100
78
31
68
66
91
85
64
55
83
77
68
83
38
89
88
58
75
60
89
111
42
104
33
96
50
42
81
78
42
64
89
60
32
46
82
33
72
93
94
49
153
68
85
78
95
51
76
81
67
50
75
99
114 111 108 127 110
91
77
85
102 101
79 118 132 130
79
88
76
73
82
75
118
50
100
70
42
79
64
78
137
83
92
71
84
77
73 100
69
77
74
98
79
102
83
66
59
67
87
60
91
68
91
103
73
93
69
54
82
71
60
88
82
82
41
68
53
78
96
97
81
86
69
52
77
66
100 119
84
102
46
54
77
129
87 106
84
96
81
Вариант 26
Выборка объёма N
22 49 18 44
40 41 37 18
27 27 32 34
47 40 29 28
23 38 19 29
52 38 32 49
4 31 18 19
49 30 50 13
26 25 30 53
10 19 35 27
31 15 24 38
 161, начало первого интервала a  0 , шаг h  7 .
52
40
28
29
27
43
17
33
46
22
25
31
25
40
3
32
25
23
46
30
38
34
18
38
31
27
21
16
6
26
11
32
22
20
46
20
12
21
33
36
37
40
41
35
46
27
37
22
41
13
22
40
30
40
21
42
35
50
25
24
40
6
12
46
24
46
38
41
41
31
40
24
41
66
41
16
27
33
28
37
34
57
37
48
26
18
24
49
29
37
56
49
7
35
23
28
28
34
45
21
35
37
24
55
30
14
29
53
36
37
37
34
34
35
28
50
25
32
Вариант 27
Выборка объёма N  170 , начало первого интервала a  160 , шаг h  7 .
187 193 199 197 196 184 200 193 198 191 193 188
193 195 197 199 202 193 190 197 195 182 201 202
184 197 205 178 191 200 223 188 192 188 194 183
207 183 195 184 175 195 212 197 194 184 175 198
189 194 185 213 192 200 194 173 206 163 204 174
183 199 203 185 199 196 196 188 169 196 190 205
189 189 190 175 190 193 209 190 183 191 193 191
190 192 191 185 202 173 184 176 199 182 186 189
193 185 168 192 193 205 171 193 191 206 187 193
192 189 191 190 182 194 194 197 207 198 180 175
193 191 188 187 191 191 192 192 214 171 208 185
195 190 214 193 183 193 193 187 198 203 181 173
189 195 180 180 205 194 179 191 201 195 195 189
185 199 194 187 173 211 190 165 182 182 194 168
176 192
Вариант 28
Выборка объёма N  212 , начало первого интервала a  68 , шаг h  4 .
–50
–46
–33
–50
–52
–46
–41
–48
–47
–40
–47
–59
–43
–61
–55
–39
–37
–44
–36
–46
–59
–44
–50
–52
–49
–44
–47
–50
–41
–53
–48
–51
–56
–53
–53
–52
–49
–53
–44
–52
–43
–43
–48
–54
–56
–52
–44
–53
–56
–52
–52
–30
–61
–36
–51
–56
–56
–45
–49
–45
–43
–55
–57
–64
–62
–41
–39
–52
–48
–48
–54
–48
–44
–46
–41
–54
–42
–46
–44
–48
–54
–41
–48
–43
–56
–52
–39
–51
–47
–39
–53
–46
–53
–55
–60
–54
–43
–66
–61
–55
–42
–43
–42
–53
–50
–49
–44
–35
–58
–50
–39
–60
–60
–49
47
–56
–49
–47
–42
–44
–53
–50
–66
–45
–59
–45
–51
–42
–51
–46
–35
–59
–49
–46
–44
–47
–37
–54
–44
–54
–44
–34
–52
–39
–57
–54
–45
–59
–49
–48
–58
–38
–40
–41
–48
–40
–49
–50
–48
–53
–48
–62
–62
–51
–59
–50
–47
–55
–46
–46
–48
–52
–42
–55
–50
–57
–50
–55
–42
–61
–61
–42
–43
–45
–47
–48
–42
–34
–48
–36
–42
–64
–51
–46
–41
–37
–51
–59
–62
–55
–54
–53
–56
–43
–53
–52
–54
–31
–53
–45
–43
–47
–43
Вариант 29
Выборка объёма N
17 25 25 25
21 21 19 27
25 45 27 38
24 21 24 31
32 32 37 28
18 26 27 26
33 25 32 24
19 25 21 23
31 21 16 27
17 23 14 28
22 27 20 29
27 23 9 25
 177 , начало первого интервала a  6 , шаг h  4 .
32
17
8
22
29
20
33
27
34
37
24
26
32
22
19
23
17
33
17
32
16
18
17
12
23
31
25
31
17
24
15
12
30
29
24
19
24
23
15
24
24
33
26
25
20
26
15
33
23
23
24
26
28
33
25
23
24
26
24
24
26
26
23
19
18
36
21
28
16
19
21
35
29
37
39
17
38
22
37
18
20
28
22
22
34
15
21
26
18
19
24
41
33
31
30
26
29
12
29
25
28
25
36
21
21
22
19
26
32
22
30
25
23
28
26
31
28
42
23
23
22
18
14
23
37
35
22
23
33
Вариант 30
Выборка объёма N
57 61 60 63
58 60 66 59
66 72 71 60
49 79 58 73
64 42 73 62
58 63 71 73
54 73 59 69
71 55 67 57
60 54 75 62
73 54 57 56
58 58 62 58
72 43 63 59
57
 181, начало первого интервала a  40 , шаг h  4 .
66
62
74
61
69
68
60
64
74
65
52
76
68
64
62
63
60
80
67
70
63
53
62
67
64
53
49
64
64
54
57
55
64
64
65
63
72
50
62
59
69
64
54
65
76
58
71
71
48
69
50
76
55
62
53
69
69
59
67
64
66
59
55
66
70
67
64
55
65
71
48
66
59
71
70
64
62
67
68
70
65
68
66
65
69
62
61
62
61
72
58
65
60
55
68
58
65
69
77
60
68
57
73
61
66
68
55
66
66
57
70
53
69
51
68
65
63
61
77
73
50
61
65
65
67
77
61
62
74
57
59
73
65
Таблица №1
Функция плотности вероятности нормального распределения
x2
1 2
f ( x) 
e , f ( x)  f ( x) , если x  5 , то f ( x)  0
2
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
39894
39695
39104
38139
36827
39892
39654
39024
38023
36678
39886
39608
38940
37903
36526
39876
39559
38853
37780
36371
39862
39505
38762
37654
36213
39844
39448
38667
37524
36053
39822
39387
38568
37391
35889
39797
39322
38466
37255
35723
39767
39253
38361
37115
35553
39733
39181
38251
36973
35381
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
35207
33322
31225
28969
26609
35029
33121
31006
28737
26369
34849
32918
30785
28504
26129
34667
32713
30563
28269
25888
34482
32506
30339
28034
25647
34294
32297
30114
27798
25406
34105
32086
29887
27562
25164
33912
31874
29659
27324
24923
33718
31659
29430
27086
24681
33521
31443
29200
26848
24439
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
24197
21785
19419
17137
14973
23955
21546
19186
16915
14764
23713
21307
18954
16694
14556
23471
21069
18724
16474
14350
23230
20831
18494
16256
14146
22988
20594
18265
16038
13943
22747
20327
18037
15822
13742
22506
20121
17810
15608
13542
22265
19886
17585
15395
13344
22025
19652
17360
15183
13147
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
12952
11092
09405
07895
06562
12758
10915
09246
07754
06438
12566
10741
09089
07614
06316
12376
10567
08933
07477
06195
12188
10396
08780
07341
06077
12001
10226
08628
07206
05959
11816
10059
08478
07074
05844
11632
09893
08329
06943
05730
11450
09728
08183
06814
05618
11270
09566
08038
06687
05508
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
05399
04398
03547
02833
02239
05292
04307
03470
02768
02186
05186
04217
03394
02705
02134
05082
04128
03319
02643
02083
04980
04041
03246
02582
02033
04879
03955
03174
02522
01984
04780
03871
03103
02463
01936
04682
03788
03034
02406
01888
04586
03706
02965
02349
01842
04491
03626
02898
02294
01797
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
01753
01358
01042
00792
00595
01709
01323
01014
00770
00578
01667
01289
00987
00748
00562
01625
01256
00961
00727
00545
01585
01223
00935
00707
00530
01545
01191
00909
00687
00514
01506
01160
00885
00668
00499
01468
01130
00861
00649
00485
01431
01100
00837
00631
00470
01394
01071
00814
00613
00457
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
00443
00327
00238
00172
00123
00430
00317
00231
00167
00119
00417
00307
00224
00161
00115
00405
00298
00216
00156
00111
00393
00288
00210
00151
00107
00381
00279
00203
00146
00104
00370
00271
00196
00141
00100
00358
00262
00190
00136
00097
00348
00254
00184
00132
00094
00337
00246
00178
00127
00090
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
00087
00061
00042
00029
00020
00084
00059
00041
00028
00019
00081
00057
00039
00027
00018
00079
00055
00038
00026
00018
00076
00053
00037
00025
00017
00073
00051
00035
00024
00016
00071
00049
00034
00023
00016
00068
00047
00033
00022
00015
00066
00046
00031
00021
00014
00063
00044
00030
00021
00014
4,0
00013
00009
00006
00004
00002
00002
00001
00001
00000
00000
49
Таблица №2
Нормальное распределение
1
F ( x) 
2
x
x
e

t2
2
dt , F ( x)  1  F ( x) , если x  5 , то F ( x)  1

0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0
50000
53983
57926
61791
65542
1
50399
54380
58317
62172
65910
2
50798
54776
58706
62552
66276
3
51197
55172
59095
62930
66640
4
51595
55567
59483
63307
67003
5
51994
55962
59871
63683
67364
6
52392
56356
60257
64058
67724
7
52790
56749
60642
64431
68082
8
53188
57142
61026
64803
68439
9
53586
57535
61409
65173
68793
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
69146
72575
75804
78814
81594
69497
72907
76115
79103
81859
69847
73237
76424
79389
82121
70194
73565
76730
79673
82381
70540
73891
77035
79955
82639
70884
74215
77337
80234
82894
71226
74537
77637
80511
83147
71566
74857
77935
80785
83398
71904
75175
78230
81057
83646
72240
75490
78524
81327
83891
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
84134
86433
88493
90320
91924
84375
86650
88686
90490
92073
84614
86864
88877
90658
92220
84850
87076
89065
90824
92364
85083
87286
89251
90988
92507
85314
87493
89435
91149
92647
85543
87698
89617
91308
92786
85769
87900
89796
91466
92922
85993
88100
89973
91621
93056
86214
88298
90147
91774
93189
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
93319
94520
95543
96407
97128
93448
94630
95637
96485
97193
93574
94738
95728
96562
97257
93699
94845
95818
96638
97320
93822
94950
95907
96712
97381
93943
95053
95994
96784
97441
94062
95154
96080
96856
97500
94179
95254
96164
96926
97558
94295
95353
96246
96995
97615
94408
95449
96327
97062
97670
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
97725
98214
98610
98928
99180
97778
98257
98645
98956
99202
97831
98300
98679
98983
99224
97882
98341
98713
99010
99245
97932
98382
98745
99036
99266
97982
98422
98778
99061
99286
98030
98461
98809
99086
99305
98077
98500
98840
99111
99324
98124
98537
98870
99134
99343
98169
98574
98899
99158
99361
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
99379
99534
99653
99744
99813
99396
99547
99664
99752
99819
99413
99560
99674
99760
99825
99430
99573
99683
99767
99831
99446
99585
99693
99774
99836
99461
99598
99702
99781
99841
99477
99609
99711
99788
99846
99492
99621
99720
99795
99851
99506
99632
99728
99801
99856
99520
99643
99736
99807
99861
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
99865
99903
99931
99952
99966
99869
99906
99934
99953
99968
99874
99910
99936
99955
99969
99878
99913
99938
99957
99970
99882
99916
99940
99958
99971
99886
99918
99942
99960
99972
99889
99921
99944
99961
99973
99893
99924
99946
99962
99974
99896
99926
99948
99964
99975
99900
99929
99950
99965
99976
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
99977
99984
99989
99993
99995
99997
99978
99985
99990
99993
99995
99998
99978
99985
99990
99993
99996
99999
99979
99986
99990
99994
99996
99999
99980
99986
99991
99994
99996
99999
99981
99987
99991
99994
99996
–
99981
99987
99992
99994
99996
–
99982
99988
99992
99995
99996
–
99983
99988
99992
99995
99997
–
99983
99989
99992
99995
99997
–
50
Таблица №3
t -распределение (распределение Стьюдента)
P  t  t   
k
Двусторонняя критическая область (  )
1
2
3
4
5
0,2
3,08
1,89
1,64
1,53
1,48
0,1
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
0,05
12,71
4,30
3,18
2,78
2,57
0,02
31,82
6,96
4,54
3,75
3,36
0,01
63,66
9,92
5,84
4,60
4,03
0,005
127,32
14,09
7,45
5.60
4,77
0,002
318,30
22,33
10,21
7,17
5,89
0,001
636,61
31,60
12,92
8,61
6,87
6
7
8
9
10
1,44
1,41
1,40
1,38
1,37
1,94
1,89
1,86
1,83
1,81
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
3,14
3,00
2,90
2,82
2,76
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
4,32
4,03
3,83
3,69
3,58
5,21
4,79
4,50
4,30
4,14
5,96
5,41
5,04
4,78
4,59
11
12
13
14
15
1,36
1,36
1,35
1,34
1,34
1,80
1,78
1,77
1,76
1,75
2,20
2,18
2,16
2,14
2,13
2,72
2,68
2,65
2,62
2,60
3,11
3,05
3,01
2,98
2,95
3,50
3,43
3,37
3,33
3,29
4,02
3,93
3,85
3,79
3,73
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
16
17
18
19
20
1,34
1,33
1,33
1,33
1,33
1,75
1,74
1,73
1,73
1,72
2,12
2,11
2,10
2,09
2,09
2,58
2,57
2,55
2,54
2,53
2,92
2,90
2,88
2,86
2,85
3,25
3,22
3,20
3,17
3,15
3,69
3,65
3,61
3,58
3,55
4,02
3,97
3,92
3,88
3,85
21
22
23
24
25
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,72
1,72
1,71
1,71
1,71
2,08
2,07
2,07
2,06
2,06
2,52
2,51
2,50
2,49
2,49
2,83
2,82
2,81
2,80
2,79
3,14
3,12
3,10
3,09
3,08
3,53
3,51
3,48
3,47
3,45
3,82
3,79
3,77
3,75
3,73
26
27
28
29
30
1,32
1,31
1,31
1,31
1,31
1,71
1,70
1,70
1,70
1,70
2,06
2,05
2,05
2,05
2,04
2,48
2,47
2,47
2,46
2,46
2,78
2,77
2,76
2,76
2,75
3,07
3,06
3,05
3,04
3,03
3,44
3,42
3,41
3,40
3,39
3,71
3,69
3,67
3,66
3,65
40
60
120
1,30
1,30
1,29
1,28
1,68
1,67
1,66
1,64
2,02
2,00
1,98
1,96
2,42
2,39
2,36
2,33
2,70
2,66
2,62
2,58
2,97
2,91
2,85
2,81
3,31
3,23
3,16
3,09
3,55
3,46
3,37
3,29

51
Таблица №4
 -распределение (распределение Пирсона)
P   2  x   
2

k
0,99
0,98
0,95
0,90
0,80
0,20
0,10
0,05
0,02
0,01
1
2
3
4
5
0,00016
0,0201
0,115
0,297
0,554
0,0063
0,0404
0,185
0,429
0,752
0,393
0,103
0,352
0,711
1,145
0,0158
0,211
0,584
1,064
1,610
0,0642
0,446
1,005
1,649
2,343
1,642
3,219
4,642
5,989
7,289
2,706
4,605
6,251
7,779
9,236
3,841
5,991
7,815
9,488
11,070
5,412
7,824
9,837
11,668
13,388
6,635
9,210
11,341
13,277
15,086
6
7
8
9
10
0,872
1,239
1,646
2,088
2,558
1,134
2,564
2,032
2,532
3,059
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
2,204
2,833
3,490
4,168
4,865
3,070
3,822
4,594
5,380
6,179
8,558
9,803
11,030
12,242
13,442
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
15,033
16,622
18,168
19,679
21,161
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
11
12
13
14
15
3,053
3,571
4,107
4,660
5,229
3,609
4,178
4,765
5,368
5,985
4,575
5,226
5,892
6,571
7,261
5,578
6,304
7,042
7,790
8,547
6,989
7,807
8,634
9,467
10,307
14,631
15,812
16,985
18,151
19,311
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
22,618
24,054
25,472
26,873
28,259
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
16
17
18
19
20
5,812
6,408
7,015
7,633
8,260
6,614
7,255
7,906
8,567
9,237
7,962
8,672
9,390
10,117
10,851
9,312
10,085
10,865
11,651
12,443
11,152
12,002
12,857
13,716
14,578
20,465
21,615
22,760
23,900
25,038
23,542
24,769
25,989
27,204
28,412
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
29,633
30,995
32,346
33,687
35,020
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
21
22
23
24
25
8,897
9,542
10,196
10,856
11,524
9,915
10,600
11,293
11,992
12,697
11,591
12,338
13,091
13,848
14,611
13,240
14,041
14,848
15,659
16,473
15,445
16,314
17,187
18,062
18,940
26,171
27,301
28,429
29,553
30,675
29,615
30,813
32,007
33,196
34,382
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
36,343
37,659
38,968
40,270
41,566
38,932
40,289
41,638
42,980
44,314
26
27
28
29
30
12,198
12,879
13,565
14,256
14,953
13,409
14,125
14,847
15,574
16,306
15,379
16,151
16,928
17,708
18,493
17,292
18,114
18,939
19,768
20,599
19,820
20,703
21,588
22,475
23,364
31,795
32,912
34,027
35,139
36,250
35,563
36,741
37,916
39,087
40,256
38,885
40,112
41,337
42,557
43,773
42,856
44,140
45,419
46,693
47,962
45,642
46,963
48,278
49,588
50,892
52
Для заметок:
53
Учебное пособие для студентов II курса
Высшая математика
Теория вероятностей,
математическая статистика
Составители: Червяков А.В., Репин А.Ю.
Издано в авторской редакции
Макетирование:
Редакционно-издательский отдел ГУЗа ЛР № 020484 от 02.02.1998 г.
Сдано в производство . .2006 г. Подписано в печать . .2006 г.
Формат 60х84/16. Объем
п.л.,
уч.-изд. Л. Бумага офсет.
Ризография. Тир. 300. Зак
.
Участок оперативной полиграфии ГУЗа,
ул. Казакова, 15.
54
55
56