Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН

Об оптимальном пороге голосования
П.Ю. Чеботарев, А.К. Логинов, Я.Ю. Цодикова, З.М. Лезина
Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН, pavel4e@gmail.com
1. Введение
Если
выдвижение
предложений,
которые
ставятся
на
голосование,
монополизировано, то результаты голосования легко манипулируемы стороной, имеющей
эту монополию. Данный вывод относится к голосованию с любыми порогами
прохождения предложений, за исключением процедуры «единогласие», и следует из
парадокса Малишевского (см. [Малишевский, 1998, с. 9], [Миркин, 1974, с. 92–95]).
Приведем простой пример, иллюстрирующий этот парадокс.
Пусть каждый из пяти участников голосования имеет 100 единиц капитала.
Предположим, что участники – классически рациональные экономические субъекты
(homo economicus): каждый участник поддерживает любое предложение, увеличивающее
его капитал, не интересуясь происходящим с другими. Пусть для принятия предложения
необходимо и достаточно, чтобы его поддержали как минимум четыре участника из пяти;
отметим, что это очень высокий порог прохождения предложений. Сказанное далее будет
выполняться и для всех более низких порогов. Предположим, что на голосование ставится
предложение: у 1-го участника капитал уменьшается на 100 единиц (т.е. становится
нулевым) и одновременно капитал каждого из остальных участников увеличивается на 1
единицу (т.е. становится равным 101). Это предложение обозначим вектором
(−100, +1, +1, +1, +1).
Поддержанное
четырьмя
участниками
из
пяти,
данное
предложение принимается и реализуется. Затем точно так же будут приняты и
реализованы еще четыре аналогичных предложения, получающиеся из первого
циклическими перестановками. Запишем векторы начальных капиталов, предложений и
итоговых капиталов.
Начальные капиталы:
( 100, 100, 100, 100, 100)
Предложение 1: + (−100, + 1, + 1, + 1, + 1)
Предложение 2: + ( +1, −100, + 1, + 1, + 1)
Предложение 3: + ( +1, + 1, −100, + 1, + 1)
Предложение 4: + ( +1, + 1, + 1, −100, + 1)
Предложение 5: + ( +1, + 1, + 1, + 1, −100)
Итоговые капиталы:
(
4,
4,
4,
4,
4)
Таким образом, после пяти голосований с высоким порогом прохождения
предложений все участники оказались практически разорены. Нетрудно заметить, что
если сторона, имеющая монополию на предложения, включит в них пункт, согласно
которому весь изымаемый капитал отходит к ней, то вся серия голосований пройдет
точно так же, и при этом монополист (не участвовавший голосованиях) присвоит почти
весь капитал участников (480 единиц из 500).
В приведенном примере реализован «алгоритм мелких подачек большинству» при
голосовании. Он состоит в следующем: в обществе, состоящем из «рациональных
субъектов», большинство за очень малую подачку готово поддержать всё что угодно в
отношении меньшинства. Это позволяет формулирующим предложения, опираясь на
демократическую процедуру, на каждом шаге конфисковывать у меньшинства и
присваивать капитал, значительно превосходящий размер подачки большинству.
Вывод:
процедура
голосования
сама
по
себе
не
может
противостоять
изобретательной злонамеренности тех, кто формулирует предложения.
Но что если никакой злонамеренности нет, а есть просто внешняя среда,
благоприятная или неблагоприятная, периодически открывающая перед людьми новые
возможности? Этими возможностями они могут воспользоваться («принять предложение
среды») или же не воспользоваться – сохранить статус-кво. Пусть, как и ранее, решения
об этом они принимают посредством голосования. К чему может приводить цепь таких
решений? И можно ли улучшить результаты, заменив порог простого большинства
α = 50% на какой-то другой? Ответам на эти вопросы и посвящена настоящая работа.
2. Модель
Исследование проводится в рамках моделей социальной динамики, определяемой
коллективными решениями в стохастической среде; этот класс моделей предложен
авторами работ [Борзенко и др., 2006; Чеботарев, 2006].
В соответствии с базовой моделью голосования в стохастической среде
«общество», состоящее из n участников, последовательно голосует за предложения,
генерируемые внешней по отношению к обществу «средой» по стохастическому закону.
Предложение
задается
вектором
приращений
капиталов/полезностей
участников.
Приращения капиталов, составляющие предложение, есть реализации независимых
одинаково распределенных случайных величин. В данной работе рассматривается случай,
когда эти величины имеют распределение N(µ,σ) – нормальное распределение с
математическим ожиданием µ и стандартным отклонением σ; µ и σ рассматриваются как
параметры. Участник типа homo economicus (рациональный экономический субъект)
поддерживает
любое
предложение,
увеличивающее
его
капитал.
Предложение
принимается (и реализуется) или отвергается обществом в соответствии с принятой
процедурой голосования. В данном случае рассматриваются процедуры α-большинства:
предложение принимается тогда и только тогда, когда его поддерживает доля общества,
большая α; α – параметр.
Простота данной модели позволяет получить многие результаты аналитически.
Это относится почти ко всем результатам настоящей работы. Соответствующие теоремы
доказаны в [Чеботарев, 2006].
3. Голосование простым большинством в умеренно неблагоприятной
среде ведет к разорению общества
Пусть общество состоит из рациональных субъектов (homo economicus). Насколько
оно жизнеспособно в условиях неблагоприятной внешней среды, т.е. при   0 , если
решения принимаются простым большинством голосов (α = 0.5)? При 21 участнике и
σ = 10 ответ дает график, показанный на рис. 1.
Если среднее предложение среды слабо отрицательно (   2.5 ) общество
сохраняет положительное среднее приращение капитала; при большом по модулю
отрицательном его значении (   8 ) участники блокируют практически все изменения
из-за их невыгодности. Наиболее интересна зона умеренно отрицательных предложений
(6    3) : при этом в среднем предложение, которое одобрено большинством,
оказывается, тем не менее, невыгодным для общества (см. рис. 1).
Рис. 1. Среднее приращение капитала участника за 1 шаг. 21 участник, σ = 10, α = 0.5.
Данный эффект объясняется тем, что совокупный убыток проигравшего меньшинства
систематически превосходит совокупный доход выигравшего большинства. Таким образом,
несмотря на то, что все участники стремятся к увеличению капитала, и всё делается только с
одобрения большинства, общество разоряется. Иными словами, происходит то же, что в
парадоксе Малишевского, причем без всякого манипулирования. Вывод прост: в
неблагоприятной среде общество, состоящее из homo economicus, нежизнеспособно – даже
имея возможность сохранять статус-кво, оно не всегда, когда нужно, пользуется им.
Каким образом общество может нейтрализовать тенденцию к разорению?
В статьях [Борзенко и др., 2006; Чеботарев, 2006; Чеботарев и др., 2009] исследован
вопрос о влиянии на социальную динамику объединения участников в группы, а в
[Чеботарев и др., 2012] – о влиянии объединения групп; рассматривался также эффект
присутствия участников с альтруистической установкой. И то, и другое, вообще говоря,
может помочь сохранению капиталов. Далее мы выясним, чего можно добиться другим
способом – посредством варьирования порога прохождения предложений. Но сначала
установим, как вид графика среднего приращения капитала участника зависит от количества
участников и σ.
4. Зависимость динамики капиталов от числа участников
и разброса предложений среды
При уменьшении числа участников n точка минимума на рис. 1 сдвигается влево,
и минимальное значение увеличивается по модулю, т.е. разорение происходит быстрее;
при увеличении числа участников – наоборот. К этому выводу приводит анализ рис. 2.
Рис. 2. Минимум среднего приращения капитала участника за 1 шаг (σ = 10, α = 0.5) в зависимости
от числа участников n. Приведены зависимости для нечетных n.
Рис. 3. Среднее приращение капитала участника за 1 шаг при нечетных n (σ = 10, α = 0.5).
Более наглядно эта зависимость представлена на рис. 3.
Пусть теперь при n = 21 варьируется σ. Графики среднего приращения капитала
показаны на рис. 4.
Рис. 4. Среднее приращение капитала участника за 1 шаг при разных σ (n = 21, α = 0.5).
При увеличении σ график среднего приращения капитала сдвигается влево и
дальше уходит в отрицательную область по ординате, т.е. ведет себя примерно так же, как
при уменьшении n (рис. 3). Иными словами, область «слабо отрицательных µ», при
которых обществу удается сохранять положительную динамику капитала, расширяется,
но расширяется и углубляется также и так называемая «яма ущерба» – область умеренно
отрицательных µ, при которых общество разоряется.
5. Зависимость динамики капиталов от порога голосования α
При увеличении порога прохождения предложений α среднее приращение
капитала участника всё меньше заходит в отрицательную область: «яма ущерба»
становится узкой и очень неглубокой.
Рис. 5. Среднее приращение капитала участника за 1 шаг при разных порогах α (n = 21, σ = 10).
Однако в случае высоких α скорость роста капитала участника при увеличении µ
снижается (по сравнению с голосованием по простому большинству). При высоком α
общество страхуется от ущерба (при малых µ), но одновременно и теряет выгоду (когда µ
велико).
Зависимость среднего приращения капитала участника от µ при разных α показана
на рис. 5. Анализ этой зависимости показывает, что при умеренно низком µ (когда среда
неблагоприятна, но не катастрофична) обществу выгодно голосовать с высоким порогом,
т.к. иначе оно оказывается в «яме ущерба» и быстро разоряется. Напротив, при высоком µ
(среда более благоприятна) порог голосования можно снизить. В числе прочих на рис. 5
показана кривая для α = 0.45. Она имеет самую широкую и глубокую «яму ущерба», но
при увеличении µ растет быстрее других и в области положительных µ обгоняет кривые,
соответствующие 𝛼 ≥ 0.5 (см. также рис. 6). Это означает, что в благоприятной среде
можно «рискнуть» принимать предложения, поддержанные не большинством, а несколько
меньшей долей общества. Несмотря на то, что большинству они невыгодны, выгода
меньшинства будет систематически превышать ущерб большинства, и, в силу
независимости приращений капитала участников, в конечном счете это приведет к выгоде
для всех.
6. Оптимальный порог голосования
Проведенный выше анализ показывает, что если n и σ фиксированы, то при каждом
«уровне благоприятности среды» µ имеется оптимальное значение порога голосования
α – это значение, максимизирующее среднее приращение капитала участника.
а)
б)
Рис. 6. а) огибающая кривых приращения капитала, построенных при разных α; б) среднее
приращение капитала участника при голосовании с оптимальным порогом α (n = 21, σ = 10).
Найти оптимальный порог α как функцию от µ можно следующим образом:
провести верхнюю огибающую кривых, показанных на рис. 5 (она построена на рис. 6а) и
каждому µ сопоставить кривую, которой огибающая касается в точке с абсциссой µ.
Значение α, соответствующее этой кривой, и будет оптимальным порогом прохождения
предложений, отвечающим µ. При голосовании с оптимальным порогом (рис. 6б) среднее
приращение капитала участника положительно при любом µ, отсутствует «яма ущерба» и
обеспечивается максимально возможный рост благосостояния при увеличении µ.
Каков же оптимальный порог голосования? Прежде всего, зависимость его от µ –
«лестница» со ступеньками равной высоты, т.к. минимальное увеличение «поддержки»
предложения – один участник, и голосование нечувствительно к изменениям α, не
меняющим ⌊𝛼𝑛⌋, где ⌊𝑥⌋ – целая часть числа x. Таким образом, если порог α оптимален
и ⌊𝛼𝑛⌋ = ⌊𝛼1 𝑛⌋, то порог 𝛼1 также оптимален.
На рис. 7 показаны средние значения классов эквивалентности оптимальных
порогов голосования в зависимости от 𝜇 ∈ [−5, 5] при n = 21, σ = 10; вертикальные
отрезки проведены для наглядности.
Рис. 7. Средние значения классов эквивалентности оптимальных порогов голосования α
(n = 21, σ = 10).
Следует отметить, что за пределами отрезка μ ∈ [−7, 7] при голосовании с
«разумными» порогами предложения либо практически никогда не принимаются (левее
отрезка), либо (правее отрезка) практически всегда принимаются (см. рис. 6б). Поэтому
понятие оптимального порога теряет практический смысл.
Если α0 – среднее значения класса эквивалентности оптимальных порогов
голосования при фиксированных n, σ и µ, то сам этот класс есть полуинтервал
[𝛼0 −
1
2𝑛
1
, 𝛼0 + 2𝑛
[.
В реальности, чтобы найти оптимальный порог голосования, нужно знать n,
оценить σ и µ и иметь основания считать, что модель хотя бы приблизительно адекватна.
Но даже в случае, когда получение оценок и вопрос об адекватности модели вызывают
затруднения, общий вывод о желательности повышения порога голосования, когда среда
становится менее благоприятной, судя по всему, сохраняет силу. Этот вывод связан с тем,
что в неблагоприятной среде совокупные потери меньшинства могут систематически
превышать
суммарный
выигрыш
большинства.
Здесь
мы
сталкиваемся
с
фундаментальным свойством большинства процедур голосования: голоса учитываются
независимо от важности данного вопроса для голосующих, от того, много или мало
каждый из них приобретает/теряет в результате принятия того или иного решения.
Литература
1.
Борзенко В.И., Лезина З.М., Логинов А.К., Цодикова Я.Ю., Чеботарев П.Ю. Стратегии
при голосовании в стохастической среде: эгоизм и коллективизм // Автоматика и
телемеханика. 2006. № 2. С. 154–173.
2.
Малишевский А.В. Качественные модели в теории сложных систем. – М.: НаукаФизматлит, 1998.
3.
Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. – М.: Наука, 1974.
4.
Чеботарев П.Ю. Аналитическое выражение ожидаемых значений капиталов при
голосовании в стохастической среде // Автоматика и телемеханика. 2006. № 3. С. 152–
165.
5.
Чеботарев П.Ю., Логинов А.К., Цодикова Я.Ю., Лезина З.М., Борзенко В.И.
«Снежный ком» кооперации и «снежный ком»-мунизм // Четвертая международная
конференция по проблемам управления: Сборник трудов. М.: ИПУ РАН, 2009.
С. 687–699.
6.
Чеботарев П.Ю., Логинов А.К., Цодикова Я.Ю., Лезина З.М. Демократические
решения в стохастической среде: анализ механизмов сотрудничества // XII
Международная научная конференция по проблемам развития экономики и общества.
М.: Издательский дом Высшей школы экономики, 2012. Т. 2. С. 256–265.