Теория возмущений. Е.М. Новикова

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория возмущений»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет прикладной математики и кибернетики МИЭМ
Программа дисциплины «Теория возмущений»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
для магистерской программы «Математические методы естествознания и компьютерные
технологии»
Автор программы: Новикова Елена Михайловна, к.ф.-м.н., профессор
emnovikova@hse.ru
Одобрена на заседании кафедры прикладной математики « 11 » февраля 2013 г.
Зав. кафедрой
Карасев М. В.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель [Введите И.О. Фамилия]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Москва, 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория возмущений»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки 010400.68 «Прикладная математика и информатики», обучающихся по магистерской программе «Математические методы естествознания и компьютерные технологии», изучающих дисциплину «Теория возмущений».
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет –
Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория «Национальный исследовательский университет»;
 Образовательной программой «Математические методы естествознания и компьютерные технологии» для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра по программе «Математические методы естествознания и компьютерные технологии», утвержденным в 2013г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Теория возмущений» являются:
 ознакомление студентов с классическими методами возмущений для систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений;
 ознакомление студентов с методом усреднения для линейных и нелинейных систем дифференциальных уравнений, позволяющим решать задачи на больших
временах;
 ознакомление студентов с квантовым методом усреднения;
 демонстрация применения метода усреднения к известным задачам математической физики.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основные методы теории возмущений для линейных и нелинейных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений; методы теории возмущений для
гамильтоновых систем, в том числе, на больших временах и в окрестности положения; квантовый метод усреднения;
 Уметь вычислять приближенные решения линейных и нелинейных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе, гамильтоновых, при
наличии возмущения; исследовать перестройку фазового портрета системы при
изменении параметров; исследовать гамильтоновы системы в окрестности положения равновесия, применять теорию возмущений для решения спектральных задач.
 Владеть базовыми понятиями теории возмущений: ряд Рэлея-Шредингера, метод
усреднения, бифуркация решений, частотный резонанс, нормальные формы,
адиабатические инварианты.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория возмущений»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Выпускник по направлению подготовки 010400.68 «Прикладная математика и информатика» с квалификацией (степенью) магистр в соответствии с задачами профессиональной деятельности и целями основной образовательной программы должен обладать следующими компетенциями.
Системные (СК):
№
Код
СК6
СК-М6
Описание
Способен анализировать, верифицировать, оценивать полноту информации в
ходе профессиональной деятельности, при необходимости восполнять и синтезировать недостающую информацию.
Профессиональные (ПК)
А) Социально-личностные (СЛК):
№
Код
ПК2 СЛК-М2 Способен задавать, транслировать правовые и этические нормы в профессиональной и социальной деятельности.
ПК3 СЛК-М3 Способен использовать социальные и мультикультурные различия для решения проблем в профессиональной и социальной деятельности.
ПК4 СЛК-М4 Способен определять, транслировать общие цели в профессиональной и социальной деятельности.
ПК5 СЛК-М5 Способен к осознанному выбору стратегий межличностного взаимодействия.
ПК6 СЛК-М6 Способен анализировать и разрешать для себя мировоззренческие, социально
и личностно значимые проблемы.
ПК7 СЛК-М7 Способен строить профессиональную деятельность, бизнес и делать выбор,
руководствуясь принципами социальной ответственности.
ПК8 СЛК-М8 Способен порождать принципиально новые идеи и продукты, обладает креативностью, инициативностью.
Б) Инструментальные (ИК):
№
Код
Способен осуществлять целенаправленный многокритериальный поиск информации о новейших научных и технологических достижениях в сети Интернет и в других источниках.
Способен описывать проблемы и ситуации профессиональной деятельности,
ИКПК14
используя язык и аппарат прикладной математики при решении междисципМ5.1пми
линарных проблем.
ИКСпособен строить и решать математические модели в соответствии с направПК17
М7.2пми лением подготовки и специализацией.
Способен применять в исследовательской и прикладной деятельности совреИКменные языки программирования и языки манипулирования данными, опеПК20
М7.5пми рационные системы, электронные библиотеки и пакеты программ, сетевые
технологии и т.п.
ПК13
4
ИКМ4.1
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина является адаптационной.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория возмущений»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Дифференциальные уравнения;
 Уравнения математической физики;
 Методы некоммутативного анализа.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Навыками решения типовых задач этих дисциплин.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 Математические методы исследования нелинейных систем;
 Асимптотический анализ и многомасштабное осреднение.
5
№
Тематический план учебной дисциплины
Всего
часов
Название темы
Аудиторные занятия
Лекции Семинары
Самост.
работа
Асимптотические решения обыкно1
венных дифференциальных уравнений
21
8
8
5
17
6
6
5
17
6
6
5
21
8
8
5
32
12
12
8
108
40
40
28
и краевых задач.
2
3
4
5
Пограничный слой.
Многопараметрические решения ОДУ.
Бифуркации положений равновесия.
Теория возмущений в окрестности положения равновесия.
Эволюционные задачи на больших
временах.
Всего
6 Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
1 год
Форма контроля
3
Итоговый
Зачет
Параметры
4
х
Устный зачет
6.1 Критерии оценки знаний, навыков
Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания
основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные
на семинарских занятиях.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория возмущений»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
6.2 Порядок формирования оценок по дисциплине
Контроль знаний студентов происходит форме итогового контроля, который осуществляется в виде устного зачета.
Преподаватель также оценивает работу студентов на семинарских занятиях: оценивается
правильность ответов на вопросы и правильность решения задач. Оценки за работу на семинарских занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Аудиторная оценка по 10-ти
балльной шкале за работу на семинарских занятиях определяется перед итоговым контролем Оаудиторная. Округление текущей оценки производится до целого по правилам округления.
Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом:
Орезульт = 0,4* Оаудиторная + 0,6 *·Озач .
Округление результирующей оценки производится до целого по правилам округления.
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл
для компенсации оценки за текущий контроль.
ВНИМАНИЕ: оценка за итоговый контроль блокирующая, при неудовлетворительной
итоговой оценке она равна результирующей.
7 Содержание дисциплины
Тема 1. Асимптотические решения обыкновенных дифференциальных уравнений и краевых задач. Метод Пуанкаре построения равномерно пригодных асимптотических решений.
Метод многих масштабов.
Основная литература.
1. Коул Дж., Методы возмущений в прикладной математике, М., "Мир", 1972.
2. Найфэ А.Х., Методы возмущений, М., "Мир", 1976.
3. Олвер Ф., Введение в асимптотические методы и специальные функции, М., "Наука", 1978.
Дополнительная литература
1. Федорюк М.В., Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений, М.,
"Наука", 1983.
2. Арнольд В.И., Математические методы классической механики, М., "Наука", 1974.
Тема 2. Пограничный слой. Пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений.
Основная литература.
1. Коул Дж., Методы возмущений в прикладной математике, М., "Мир", 1972.
2. Ильин А.М., Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, М.,
"Наука", 1989.
Дополнительная литература
1. Федорюк М.В., Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений, М.,
"Наука", 1983.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория возмущений»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Тема 3. Многопараметрические решения ОДУ. Бифуркации положений равновесия.
Асимптотика решений уравнения колебаний по различным параметрам. Бифуркации точек покоя уравнения градиентного типа.
Основная литература.
1. Коул Дж., Методы возмущений в прикладной математике, М., "Мир", 1972.
2. Найфэ А.Х., Методы возмущений, М., "Мир", 1976.
3. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. М., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1967.
Дополнительная литература
1. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приёмы качественного исследования динамических
систем на плоскости. — М.: Наука, 1990.
Тема 4. Теория возмущений в окрестности положения равновесия. Нормальные формы.
Нерезонансный и резонансный случаи.
Основная литература.
1. Арнольд В.И., Дополнительные главы по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., "Наука", 1978.
2. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. М., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1967.
Дополнительная литература
1. Арнольд В.И., Математические методы классической механики, М., "Наука", 1974.
2. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приёмы качественного исследования динамических
систем на плоскости. — М.: Наука, 1990.
Тема 5. Эволюционные задачи на больших временах. Метод усреднения для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Общий алгоритм. Решение гомологического уравнения. Асимптотика на больших временах. Сведение нелинейных задач к линейным.
Асимптотика решений нелинейных дифференциальных уравнений на больших временах. Случай гамильтоновых систем.
Основная литература.
1. Арнольд В.И., Дополнительные главы по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., "Наука", 1978.
Дополнительная литература
1. M.V. Karasev (ed.), Quantum algebra and Poisson geometry in mathematical physics. Advances
Math.Sci., 57, AMS, 2005.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория возмущений»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
8 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Примеры заданий текущего и итогового контроля
1. Построение асимптотических решений краевой задачи для уравнения
 2 u’’(x) – q(x) u(x) = f(x) .
2. Применение метода усреднения к спектральной задаче для двумерного изотропного ангармонического осциллятора.
9 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Базовый учебник
1. Коул Дж., Методы возмущений в прикладной математике, М., "Мир", 1972.
Основная литература
1. Найфэ А.Х., Методы возмущений, М., "Мир", 1976.
2. Ильин А.М., Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, М.,
"Наука", 1989.
3. Олвер Ф., Введение в асимптотические методы и специальные функции, М., "Наука",
1978.
4. Арнольд В.И., Дополнительные главы по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, М., "Наука", 1978.
5. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. М., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1967.
Дополнительная литература
1. Федорюк М.В., Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений,
М., "Наука", 1983.
2. Арнольд В.И., Математические методы классической механики, М., "Наука", 1974.
3. М.В. Карасев, В.П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. М.:
1991.
4. А.И. Базь, Я.Б. Зельдович, А.М. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М.: Наука, 1981.
5. M.V. Karasev (ed.), Quantum algebra and Poisson geometry in mathematical physics. Advances. Math.Sci., 57, AMS, 2005.
6. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1990.