Скорость тела относительно неподвижной системы координат

Горбанева Лариса Валерьевна
Решение задач на относительность движения
Движение любого тела можно рассматривать по отношению к любым
другим телам. По отношению к разным телам данное тело будет совершать
различные движения: чемодан, лежащий на полке в вагоне идущего поезда,
относительно вагона покоится, но относительно Земли движется. Воздушный
шар, уносимый ветром, относительно Земли движется, но относительно воздуха
покоится. Самолет, летящий в строю эскадрильи, относительно других
самолетов строя покоится, но относительно Земли он движется с большой
скоростью, например 800 км в час, а относительно такого же встречного
самолета он движется со скоростью 1600 км в час.
Всякое движение, а также покой тела (как частный случай движения)
относительны. Отвечая на вопрос, покоится тело или движется и как именно
движется, необходимо указать, относительно каких тел рассматривается
движение данного тела. Иначе никакое высказывание о его движении не может
иметь смысла.
В ряде задач приходится рассматривать движение одного и того же тела
относительно разных систем отсчета, причем эти системы могут двигаться
относительно друг друга.
Тела, относительно которых рассматривается данное движение, называют
системой отсчета. Движение тел можно описывать в различных системах
отсчета. С точки зрения кинематики все системы отсчета равноправны. Однако
кинематические характеристики движения, такие как траектория, перемещение,
скорость, в разных системах оказываются различными. Величины, зависящие
от выбора системы отсчета, в которой производится их измерение, называют
относительными.
Выбор системы отсчета при изучении данного движения делают в
зависимости от условий задачи. При изучении движений на поверхности Земли
обычно принимают за систему отсчета Землю (хотя можно выбрать за систему
отсчета и поезд, и самолет, и любое другое тело). Изучая движение Земли в
целом или движение планет, принимают за систему отсчета Солнце и звезды.
Рассмотрим движение одного и того же тела относительно двух разных
систем отсчета, движущихся одна относительно другой прямолинейно и
равномерно. Одну из них мы будем условно считать неподвижной. Другая
движется относительно нее прямолинейно и равномерно. Вот простой пример.
Лодка пересекает реку перпендикулярно течению, двигаясь с некоторой
скоростью относительно воды. Вода в реке движется относительно берега со
скоростью течения реки.
Представим себе, что за движением лодки следят два наблюдателя: один
неподвижный, расположился на берегу в точке О (рис. 1), другой – на плоту,
плывущем по течению (со скоростью течения реки).
Оба наблюдателя измеряют перемещение лодки
и время, затраченное на него. Относительно воды
плот неподвижен, а по отношению к берегу, он
движется со скоростью течения реки.
Проведем мысленно через точку О систему
координат XOY. Ось X направим вдоль берега, ось Y
– перпендикулярно течению реки. Это неподвижная система координат.
Другую систему координат X'O'Y' свяжем с плотом. Оси X` и У`
параллельны осям X и Y. Это – подвижная система координат.
Рассмотрим движение лодки относительно этих двух систем.
Наблюдатель на плоту, двигаясь вместе со «своей» системой координат
по течению, видит, что лодка удаляется от него к противоположному берегу все
время перпендикулярно течению. Он видит это и в точке А, и в точке В, и в
любой другой точке. А когда через некоторое время плот окажется в точке С,
лодка достигнет противоположного берега в точке С. Относительно подвижной
системы координат (плота) лодка совершила перемещение S1 = СС'. Разделив
его на t, подвижный наблюдатель получит скорость лодки V1 относительно
плота: ⃗⃗⃗
𝑉1 =
⃗⃗⃗⃗
𝑆1
𝑡
Совсем другим представится движение лодки неподвижному
наблюдателю на берегу. Относительно «его» системы координат лодка за то же
время t совершила перемещение 𝑆 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐶`. За это же
время подвижная система отсчета вместе с плотом
совершила перемещение S2 (лодку, как говорят,
«отнесло» вниз по течению). Схематически перемещения
лодки показаны на рисунке 2.
Формула сложения перемещений.
Из рисунков 1 и 2 видно, что перемещение S лодки относительно
неподвижной системы координат связано с перемещениями S1 и S2 формулой:
𝑆 = ⃗⃗⃗
𝑆1 + ⃗⃗⃗
𝑆2
Формула сложения скоростей.
Скорость V лодки относительно неподвижной системы координат можно
получить, разделив перемещение S на время t:
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑡
𝑡
⃗ = 𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2
𝑉
𝑡
или
⃗ = ⃗⃗⃗
𝑉
𝑉1 + ⃗⃗⃗
𝑉2 ,
где ⃗⃗⃗
𝑉2 – скорость плота относительно берега (скорость течения).
Скорость тела относительно неподвижной системы координат равна
геометрической сумме скорости тела относительно подвижной системы
координат и скорости подвижной системы относительно неподвижной.
Из вышесказанного видно, что и перемещение и скорость тела
относительно разных систем отсчета различна. Различны и траектории
движения (СС` – относительно подвижной системы и ОС` – относительно
неподвижной).
В этом и состоит относительность движения.
В данном примере за неподвижную систему координат был выбран берег.
Но можно было условиться считать неподвижной
систему координат,
связанную с плотом. Тогда подвижным оказался бы берег и связанная с ним
система координат, и тогда рассматривали бы движение берега относительно
плота и лодки. Формулы сложения перемещений и скоростей остались бы
такими же. Это еще раз показывает, что относительно не только движение,
относителен и покой.
При решении задач предлагаем использовать следующий алгоритм.
1. Анализ условия задачи, выделение движущихся тел. Краткая запись
условия задачи. Определение неподвижной и подвижной системы
отсчета (НСО и ПСО), движущегося тела.
2. Записать закон сложения скоростей или перемещений в векторной
форме.
3. Записать закон сложения скоростей (перемещений) в проекциях на оси
координат, объединив их в систему (или найти геометрическую сумму
путем сложения векторов).
4. Решить полученную систему уравнений. Подставить в решение
общего вида значения величин и произвести вычисления.
На примерах решения типовых задач на относительность движения
покажем применение данного способа решения.
Задача № 1. Два поезда движутся равномерно друг за другом. Скорость
первого 80 км/ч, а второго 60 км/ч. Какова скорость второго поезда
относительно первого?
Первый и второй поезда движутся относительно Земли с некоторыми
⃗ , скорость второго ⃗⃗⃗
скоростями. Скорость первого поезда 𝑉
𝑉2 .
Решение:
За НСО примем Землю, за ПСО – первый поезд.
Скорость ПСО относительно НСО – V.
Движущимся телом является второй поезд.
Скорость движущегося тела относительно НСО – V2.
Неизвестная скорость второго поезда относительно
первого (ПСО) – V1.
⃗ + ⃗⃗⃗
Закон сложения скоростей ⃗⃗⃗
𝑉2 = 𝑉
𝑉1 . Скорость
второго поезда относительно НСО равна геометрической
сумме скорости второго поезда относительно ПСО и скорости ПСО
относительно НСО.
Через t=1час положение ПСО (первого поезда) изменится на расстояние,
равное 80 км, а второго поезда, относительно НСО окажется на расстоянии 60
км.
⃗⃗⃗2 = 𝑉
⃗ +𝑉
⃗⃗⃗1 .
5. Соотнесем график и формулу закона сложения скоростей 𝑉
Убеждаемся в том, что обе формы отражения закона совпадают.
6. Для вычисления скорости второго поезда относительно первого найдем
проекции и запишем:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉2𝑥 = ⃗⃗⃗
𝑉𝑥 + 𝑉
1𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗𝑦 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉2𝑦 = 𝑉
𝑉1𝑦
𝑉2 = 𝑉 − 𝑉1
𝑉2 = 𝑉 − 𝑉1
−𝑉1 = 𝑉2 − 𝑉
𝑉1 = 𝑉 − 𝑉2
V1 = 80 км/ч – 60 км/ч = 20 км/ч
Ответ: скорость второго относительно первого поезда равна 20 км/ч.
Задача № 2. Скорость течения реки V= 1,5м/с. Каков модуль скорости V1
катера относительно воды, если катер движется перпендикулярно к берегу со
скоростью V2 = 2 м/с относительно него.
Решение. За НСО примем берег реки, за ПСО – реку
(скорость течения реки V), движущееся тело – катер.
⃗ + ⃗⃗⃗
Закон сложения скоростей ⃗⃗⃗
𝑉2 = 𝑉
𝑉1 . Скорость катера
относительно НСО (берега реки) равна геометрической сумме скорости катера
относительно ПСО (течения реки) и скорости течения реки.
Так как полученный треугольник прямоугольный, то
V1 
1,5м / с2  2 м / с2
V1  V 2  V22
 2,5 м / с .
Задача № 3. Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями
72 и 54 км/ч. Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй
поезд проходит мимо него в течение 14 с. Какова длина второго поезда?
Решение. Так как движение поездов можно считать равномерным, то
длину второго поезда можно найти по формуле 𝑙 = 𝑉21 ∙ 𝑡, где V21 – скорость
второго поезда относительно первого поезда. Значит, для определения l
необходимо найти V21.
Примем за НСО Землю, а за ПСО – первый поезд, движущееся тело –
второй поезд.
V2 – скорость второго поезда относительно НСО. Скорость ПСО – V1.
Закон сложения скоростей ⃗⃗⃗
𝑉2 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉21 + ⃗⃗⃗
𝑉1 . Скорость второго поезда
относительно НСО равна геометрической сумме скорости второго поезда
относительно ПСО (первого поезда) и скорости ПСО (первого поезда).
⃗⃗⃗
𝑉2 и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉21 . направлены в одну сторону, а ⃗⃗⃗
𝑉1 . в противоположную, тогда
закон сложения скоростей можно записать
Или
– V2 = V1 – V21
V21 = V1 + V2
Тогда l = (V1 + V2) t
l = (20 м/с + 15 м/с) 14 с = 490 м.
Ответ: длина второго поезда 490 м.
Задача №4. Катер, двигаясь против течения реки, проплывает около
стоящего на якоре буя и встречает там плот. Через 12 минут после встречи
катер повернул обратно и догнал плот на расстоянии 800м ниже буя. Найти
скорость течения реки.
НСО свяжем с буем, ПСО – плот (движущийся со скоростью течения
реки V0), движущееся тело – катер.
Скорость катера относительно НСО – V, а относительно ПСО – V1.
Закон сложения скоростей для катера, движущегося по течению и против
⃗ =𝑉
⃗⃗⃗0 + 𝑉
⃗⃗⃗1 . Скорость катера
течения реки, в геометрической форме совпадает: 𝑉
относительно НСО равна геометрической сумме скорости ПСО (течения реки)
и скорости катера относительно ПСО.
Тогда
– V = V0 – V1 или
V = V1 – V0
Аналогично найдем скорость катера, двигающегося по течению реки
V = V0 + V1
𝑆 = 𝑉0 ∙ 𝑡
Запишем уравнения движения плота и катера: { пл
𝑆к = 𝑆1 − 𝑆2
где S1 – расстояние, пройденное катером по течению, S2 – расстояние,
пройденное катером против течения.
𝑆пл = 𝑉0 ∙ 𝑡
{
𝑆к = −(𝑉1 − 𝑉0 ) ∙ 𝑡 + (𝑉0 + 𝑉1 ) ∙ (𝑡 − 𝑡1 )
Расстояние, пройденное катером от буя до того места, где катер догнал
плот, равно расстоянию пройденному плотом, то есть Sпл = Sк, тогда
V0  t = – ( V1 – V0 ) t1 + (V0 + V1)  (t – t1)
V0  t = – V1 t1 + V0  t1 + V0  t + V1  t – V0  t1 – V1 t1
V1 t = 2 V1 t1
t = 2 t1
V0 
S
S

t 2t 1
V0 
800 м
 0,55 м / с .
1440с
Задача № 5. В лобовой щит танка, движущегося со скоростью
Vт=54км/ч, ударяется пуля, летящая со скоростью V0 = 1800 км/ч под углом
φ= 60° к направлению движения танка, и упруго
отскакивает от него (рис. 3). С какой скоростью V
полетит отскочившая пуля?
Решение. Задачу удобно сначала решить в
системе отсчета, связанной с танком, а затем перейти
в неподвижную систему отсчета.
Относительно танка скорость пули до удара
⃗⃗⃗` = ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗т (рис. 4). После упругого удара модуль
равна𝑉
𝑉0 − 𝑉
0
⃗⃗⃗ ` = ⃗⃗⃗
скорости пули ⃗⃗⃗
𝑉0` остается прежним𝑉
𝑉0` , а угол «отражения» β´ будет равен
углу «падения» φ´.
⃗ = ⃗⃗⃗
Запишем закон сложения скоростей 𝑉
𝑉 ` + ⃗⃗⃗
𝑉т .
Модуль и направление этой скорости найдем из рисунка 4:
𝑉 = √(𝑉0 ∙ cos 𝜑 + 2𝑉т )2 + (𝑉0 ∙ sin 𝜑)2 ≈ 1862км/ч.
Задачи для самостоятельного решения
Ф.10.1. Пловец переплывает реку шириной H. Под каким углом α к
течению он должен плыть, чтобы переправиться на противоположный берег в
кратчайшее время? Где он в этом случае окажется, переплыв реку, и какой путь
S он проплывает, если скорость течения равна V1, скорость пловца
относительно воды V2?
Ф.10.2. Корабль идет на запад со скоростью V. Известно, что ветер дует с
юго-запада. Скорость ветра, измеренная на палубе корабля, равна V1. Найти
скорость ветра относительно земли.
Ф.10.3. С подводной лодки, погружающейся равномерно, испускаются
звуковые импульсы длительностью 30,1с. Длительность импульса, принятого
на лодке после его отражения от дна, равна 29,9с. Определите скорость
погружения лодки. Скорость звука в воде 1500м/с.
Ф.10.4. Спортсмены бегут колонной длиной 20м с одинаковой скоростью
3м/с. Навстречу бежит тренер со скоростью 1м/с. Каждый спортсмен,
поравнявшись с тренером, бежит назад с прежней скоростью. Какова будет
длина колоны, когда все спортсмены развернутся?
Ф.10.5. В безветренную погоду самолет затрачивает на перелет между
городами 6ч. На сколько минут увеличится время полета, если будет дуть
боковой ветер со скоростью 20м/с перпендикулярно линии полета? Скорость
самолета относительно воздуха равна 328км/ч.
Ф.10.6. Два велосипедиста одновременно выехали из пунктов А и В
навстречу друг другу и встретились через 1 час. После встречи они продолжили
свое движение в прежнем направлении. Доехав до пунктов В и А
соответственно, они сразу развернулись и поехали обратно. Через какое время,
после первой встречи, они опять поравняются друг с другом.
Ф.10.7. Расстояние S=90км между двумя пристанями, расположенными
на реке, теплоход проходит без остановки в одном направлении (по течению) за
t1=3ч и в обратном направлении (против течения) за t2=5ч. Определить скорость
течения реки и собственную скорость теплохода.
Ф.10.8. От одного берега реки к другому плывет лодка, держа курс
перпендикулярно к берегам. Ширина реки 800 м; лодка достигает
противоположного берега через 12 мин после начала переправы. За это время
лодку сносит вниз по течению на расстояние 600 м. Определить скорость
течения реки; собственную скорость лодки; скорость лодки относительно
берегов. Скорость течения у берегов и на середине реки считать одинаковой.
Ф.10.9. Трассы двух воздушных лайнеров пересекаются над поселком А.
Первый лайнер летит точно на север, второй лайнер – на юго-восток. Скорости
V1 и V2 обоих лайнеров численно равны (V1=V2=V). Определить, чему равна и
как направлена в этот момент скорость второго лайнера относительно первого.
Ф.10.10. Два снаряда выпущены горизонтально вперед один вслед за
другим с интервалом времени t со скоростью U из орудия, находящегося на
самолете, который летит горизонтально со скоростью υ. Пренебрегая
сопротивлением воздуха, найдите: 1) уравнение траектории первого снаряда
относительно земли; 2) уравнение траектории первого снаряда относительно
самолета; 3) как изменяется положение первого снаряда относительно второго
(после обоих выстрелов).
Ф.10.11. Горизонтальный диск вращается вокруг
своей оси, делая n=5об/мин. Человек идет вдоль радиуса
диска с постоянной скоростью U=1,5м/с относительно
диска. Как меняется модуль скорости человека
относительно земли в зависимости от расстояния r от оси
диска? Чему равен модуль этой скорости на расстоянии
R= 3м от оси диска?
Ф.10.12. Автоколонна длиной 2 км движется со скоростью 40 км/ч.
Мотоциклист выехал из хвоста колонны со скоростью 60 км/ч. За какое время
он достигнет головной машины? Какой путь за это время пройдет мотоциклист
относительно Земли?