Lekciya_9

Лекция № 9.
Термоэлектронная эмиссия. Статистический и термодинамические вывод формулы
плотности тока термоэлектронной эмиссии. Влияние внешнего электрического поля
(Эффект Шоттки). Распределение термоэлектронов по энергиям.
Средняя энергия
термоэлектронов. Экспериментальное измерение распределения термоэлектронов по
энергиям. Экспериментальное определение констант термоэмиссии.
IX. ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ.
§ 9.1. Электроны в металлах.
«Электронный газ» в металлах представляет собой электроны зоны проводимости,
возникшие как обобщенные валентные электроны атомов при сближении атомов на
расстояния, когда перекрываются электронные облака
отдельных атомов. Сплошная зона проводимости
f E 
T=0
возникает из-за расщепления энергетических уровней
электронов
отдельных
атомов
в
силу
запрета
нахождения электронов в одинаковом квантовом
состоянии.
Так
расщепленные
как
число
уровни
атомов
велико,
электронов
то
EF
2kT
образуют
непрерывную энергетическую полосу, называемую
зоной проводимости, в которой электроны можно
Рис.9.1. Функция
распределения Ферми-Дирака
считать свободными, т.е. не привязанными к какому-либо атому. С другой стороны,
оставшиеся без электрона атомы, т.е ионы играют роль нейтрализующего электроны
фона, так что электронный газ и ионы кристаллической решетки можно считать плазмой.
Однако расстояние между ионами:
1
1

1/ 3
27
n
10


1/ 3
 10 9 м становится меньше длины
волны де Бройля электрона:
e 
h
6.6 1034 Дж  сек
6.6 1034 Дж  сек
6 1034



 108 м .
26
23
31
me ve
2

3

10
kT
1.38 10  300  9 10 кг
me 
me
Следовательно, электрон нельзя считать частицей, т.е. плазма становится квантово
вырожденной, подчиняющейся уже не классической статистике Максвелла-Больцмана, а
статистике Ферми-Дирака. При этом электрон необходимо описывать волновой функцией,
имеющей смысл плотности вероятности нахождения
pz
электрона в данной точке в данный момент времени:


 r , t    k r    t  
k
 

1
exp ik r exp  it  ,
V
pF
где
px
2
- волновой вектор, V  L3 – объем металла, ω
L
Рис.9.2. Сфера Ферми в импульсном
пространстве.
– частота волны. Энергия электрона в состоянии  k :
Ek 
py
0
p k2
2k 2
. Функция распределения Ферми
2 me
2 me
Дирака, т.е. число частиц в одном состоянии:
f E  
1
 E  EF 
1  exp 

 kT 
p
Импульс электрона можно выразить через квантовое число s :
(рис. 9.1).
h
s , так что
L
h
h
h
sx , p y  s y , pz  sz , где s x , s y , s z целые положительные и
L
L
L
h3
отрицательные числа. Элементарный кубик в импульсном пространстве имеет объем 3 ,
L
поэтому число возможных квантовых состояний в интервале dpx dp y dpz равно
компоненты импульса px 
L3
dpx dp y dpz . При T = 0 все электроны находятся внутри так называемой сферы Ферми
h3
(см. рис. 9.2). Если учесть принцип Паули и две возможные ориентации спина, то число
1/ 3
 L3  4 3
 3n0 
состояний в сфере Ферми:
2 3   p F  N , следовательно,
p F  h
 , где
 8 
h  3
2/ 3
2
2/ 3
N
p2
h2  3n0 
, V  L3 . Тогда энергия Ферми равна: EF  F 
.


3 2 n0

V
2me 2me  8 
2me
Энергия Ферми не зависит от объема металла, а зависит от концентрации свободных
n0 


электронов. На первый взгляд странный вывод. При росте V число N растет, казалось бы,
должно расти число уровней и верхний уровень E F , но E F не зависит от общего числа
уровней. Это связано с тем, что уменьшается расстояние между уровнями E 
EF
(с
N /2
учетом спина) и зона проводимости при N   становится сплошной. Число частиц с
энергией не больше E определим из соотношения: E 
1  2m E 
n  E   2  2e 
3 

3/ 2
.
2
 3 n 
2
2me
3/ 2
, следовательно,
Тогда
плотность
электронов
в
импульсном
 E 
пространстве, т.е. распределение по энергии
dn
1  2m 
 E 



dE 2 2 

С
учетом
E
1/ 2
T 0
.
распределения
Ферми-Дирака
распределение электронов по энергии имеет вид:
 E 
1  2m 


2 2  2 
3/ 2
T 0
3/ 2
0
EF
1/ 2
E dE
(рис.9.3).
 E  EF 
1  exp 

 kT 
E
2kT
Рис. 9.3. Функция распределение электронов
по энергии.
§ 9.1. Плотность термоэмиссионного тока.
Статистический вывод по модели Зоммерфельда.
Испускание
электронов
нагретыми
проводящими
материалами
называется
термоэлектронной эмиссией. Это явление было обнаружено в 1883 г. Эдисоном.
Аналитический расчет плотности термоэмиссионного тока можно получить исходя из
модели Зоммерфельда о нахождении электронов в металле как в потенциальной яме. При
абсолютном нуле температуры энергия электронов металла
не может быть больше
энергии Ферми, поэтому ни один электрон не может выйти из металла, а функция
распределения обрывается при EF (рис. 9.3). При Т > 0 обрыв сглаживается, появляется
«хвост» функции распределения электронов с энергиями больше EF, именно у этих
электронов, количество которых экспоненциально растет с ростом температуры
поверхности, появляется ненулевая вероятность преодоления потенциального барьера на
границе металла. Поэтому термоэмиссионный ток заметен только для нагретых тел. Как
известно из электростатики, на электрон вне металла около его поверхности действует
сила со стороны наведенного симметрично заряда:
F x   
e2
. Тогда зависимость
4x 2
потенциальной энергии можно выразить соотношением: U x   E F  e a 
e2
. Те
4x
электроны, которые имеют перпендикулярную к поверхности составляющую энергии
больше высоты потенциального барьера, будут уходит на бесконечность, то есть
эмитироваться с поверхности (рис.9.4).
Рис. 9.4. Энергетическая диаграмма, поясняющая механизм термоэмиссии.
Таким
образом,
термоэмиссионный ток
U x 
обусловлен «хвостом»
E
Термоэлектроны
функции
e a  Wa  E F
распределения.
T1
Зона
проводи
мости
низких
EF
W a - высота барьера
таких
температурах
электронов
пренебрежимо мало. С
T2  T1
 E 
x
При
ростом
температуры
«хвост»
удлиняется,
термоэмиссия растет.
Подсчитаем количество электронов с импульсами от p x до p x  dp x в единице
объема:

2
dn x  dp x   dp y dp z f  p x , p y , p z   dp x 3
h

 dpx
2
h3

  dp dp
y

z

  dp dp
y

1
 px2  p y2  pz2
 EF

2me

1  exp

kT








z
1

 E  EF 
1  exp 

 kT 
. Для вычисления этого интеграла перейдем
к полярной системе координат: p y2  p z2   2 , dp y dp z  dd , тогда:

2
2
dn x  3 dp x  d 
h
0
0
d
  2  2me E F  p x2 

1  exp 
2me kT


. Обозначим
2
2me kT
 x,
p x2  2me E F
 ,
2me kT

4me kT
dx
тогда dn x 
. Умножим числитель и знаменатель дроби под
dp x 
3
1  exp x   
h
0

4me kT
d exp  x   
интегралом на exp  x    : dn x  
. Введем переменную
dp x 
3
1  exp  x   
h
0
4 me kT
4 me kT
d
dpx 

dpx ln 1  exp     
  exp  x    , тогда: dnx  
3
h
 1
h3
exp  
0

4 me kT

 E  EF  
dpx ln 1  exp   x
  . Плотность термоэмиссионного тока, находим как
3
h
kT  


p x2
p dp
количество всех электронов, имеющих энергию Ex  Wa , где E x 
, dE x  x x :
2 me
me

jt 
 evx dnx 
Wa

e
Wa

px
4 me kT

e
 E  EF
dnx  
px
dpx ln 1  exp   x
3
me
me
h
kT


Wa

 



4 me kT

 E  EF  
ln 1  exp   x
  dEx .
3

h
kT  


Wa
Ex  EF , Ex  EF  kT ,
При
используем
приближение ln 1      при   0 :

jT 
4 me ekT
 E  EF
exp   x
3

h
kT

Wa
4 me ekT

 W  EF
exp   a
 dEx 
3
h
kT


- это формула Ричардсона-Дэшмана, где A0 

 ea 
2
  A0  T exp  


 kT 
(9.1)
4me ek 2
A
- универсальная
 120 2
3
h
см  град 2
постоянная Ричардсона.
Термодинамический вывод плотности термоэмиссионного тока.
Зависимость (9.1) для плотности термоэмиссионного тока можно получить, если
рассматривать термоэмиссионный ток как поток электронов в вакуум, преодолевающих
потенциальный барьер (рис.9.5): jТ = enevср/4. С учетом распределения Больцмана для
1
 e
электронов в потенциальном поле: jT  e n0 exp   a
4
 kT
8kTe

  ve , где ve 
 me

среднеквадратичная скорость.
1 
nV e
4
зависимости
a
Рис.9.5.
Потенциальный барьер
для термоэлектронов.
плотности
1  2m E 
n0  2  2e 
3  h 
3/ 2

электронов
2me 3 / 2
1
3
С учетом полученной ранее
2
h
3
от
kTe 3 / 2
 e
аналогичное выражение: jT  A0T 2 exp   a
 kT
энергии
получим

.

§ 9.2. Учет прозрачности барьера и температурной зависимости работы выхода.
Необходимо учесть прозрачность барьера D и температурную зависимость работы
выхода. При изменении температуры, вследствие изменения концентрации электронов n 0
меняется E F . Это можно учесть, введя температурный коэффициент работы выхода
 e
d
dT
, тогда e a T   e a T0    T  T0  .
Как известно, работа выхода может
T T0
увеличиваться или уменьшаться с ростом температуры в зависимости от металла. При
расширении
металла
уменьшается
плотность
зарядов,
обуславливающих
потенциала на границе, поэтому с ростом температуры
скачок
уменьшается глубина
потенциальной ямы и понижается уровень Ферми в металле. Если с ростом температуры
уровень Ферми падает быстрее, чем глубина потенциальной ямы, то работа выхода будет
увеличиваться. Если уровень Ферми понижается медленнее, то работы выхода
уменьшается. Поэтому коэффициент  для различных материалов может быть как
больше, так и меньше нуля и имеет значения  ~ 10 5  10 4
эВ
. С учетом этого
град
формула для плотности термоэмиссионного тока примет вид:
 e
jT  D  A0 e  / k T 2 exp   a
 kT
где A  D  A0e  / k

 ea
2
  A  T exp  

 kT

,

(9.2)
- постоянная Ричардсона, которая, так же как работа выхода,
определяется для каждого материала экспериментально и приводится в таблицах
специализированной литературы по эмиссионной электронике.
§ 9.3. Зависимость работы выхода от внешнего электрического поля (эффект
Шоттки).
В присутствии внешнего электрического поля меняется форма потенциального
барьера (рис.9.6), который теперь описывается в виде: eV x   E F  e a 
e2
 eEx .
4x
Найдем
eV x
eV  x  
положение
e2
1
 eE  0  x m 
2
2
4 xm
максимума:
0
x m  A 
 
e
,
E
1,9
В
E 0 
 А 
e ш
 e  E  x 
;
Значение потенциала в максимуме:
e3 / 2  E
eV xm   E F  e a 

 E F  e a  e 3 / 2 E ,
2
2 e
e2 E
x
xm
Следовательно, изменение работы выхода: eш  e3/ 2 E ,
Рис. 9.6. Форма потенциального
барьера во внешнем поле.
В
eш  эВ   3.79 E  0  . С учетом этого плотность термоэмиссионного тока при наличии
 A 
электрического поля:
jTш
 e3 / 2  E1/ 2 
 .
 jT  exp 
kT


(9.3)
Этот ток в присутствии внешнего сильного ускоряющего электрического поля целиком
 e3/ 2  E1/ 2 
будет приходить на анод ja  jT  exp 
 . Прологарифмируем это соотношение:
 kT 
ln ja  ln jT 
e3/ 2 E
. Таким образом ln ja ~ Va , где Va - ускоряющее напряжение на
k T
аноде. При слабом внешнем ускоряющем электрическом поле в режиме ограничения тока
объемным
зарядом
плотность
тока
на
анод
определяется
законом
«3/2»:
3
j a  j3 / 2  C  Va3 / 2  ln j a  C 0  ln Va . При наличии сильного электрического поля
2
объемный заряд ликвидируется и ln j a  A  B Va , где B  tg 
Нелинейность
ln j a
e3/ 2
(рис. 9.7).
kT
и
периодичность
экспериментальной зависимости ln j a  f

V
a
при больших напряжениях, т.е. больших E ,
связана с тем, что ширина потенциального
барьера
Va
Рис.8 7. Зависимость плотности тока
на анод от ускоряющего напряжения.
отражение
уменьшается
с
электронных
интерференции
увеличением
волн
отражающихся
E,
за
счет
от
двух
плоскостей волн имеет периодическую
зависимость от толщины барьера.
§
9.4.
Распределение
термоэлектронов
по
энергиям.
Средняя
энергия
термоэлектронов.
Число электронов в шаровом слое импульсного пространства от p до p  dp :
2
dn  3
h
dpx dp y dpz
 px2  p y2  pz2
 EF

2me

1  exp

kT









2dpx dp y dpz
h3
E
exp  F
 kT
 px2  p y2  pz2 

 , так как
 exp  
2me kT 


термоэлектроны – это электроны, которые имеют импульсы, удовлетворяющие условию:
p x2
 Wa ,
2 me
p x2  p y2  p z2
следовательно:
2me

p x2
 E F  Wa  E F  e a  kT ,
2me
поэтому
второе слагаемое в знаменателе много больше единицы. Термоэлектроны (быстрые
электроны) и в металле имеют максвелловское распределение. Изменится ли оно после
прохождения барьера W a ? Проверить это нужно только для составляющей энергии вдоль
оси x , в направлении которой происходит преодоление потенциального барьера. Пусть u
- скорость термоэлектрона в вакууме. Тогда:
 meu x2 me vx2

 Wa

2
 2
u y  vy


u z  vz


p x2
p x2

 Wa , где px  m e u x , py  m e u y , pz  m e u z . Число
,т.е.
2me 2me
электронов, имеющих энергию от E x до E x  dE x (импульс от p x до p x  dp x ):
 mu x2
 Wa

4 me kT
 EF 
2



dN  dnx  dEx  dnx  u x  dpx  px  dpx 
 exp 
 exp  
h3
kT
 kT 



4 me kT
 e 
 E 

 exp   a   exp   x  dEx
3
h
 kT 
 kT 
Учтем,
dN 
4me k 2T 2
 e 
jT 
 exp   a  ,
3
h
 kT 
что
jT
N
 E 
 E 
exp   x  dEx 
exp   x  dEx ,
ekT
kT
 kT 
 kT 
распределения
электронов



 .


в
вакууме
по
где N 
тогда
jT
. Следовательно, функция
e
составляющей
обусловленной движением перпендикулярно плоскости катода:
кинетической
энергии,
f E x  
1 dN
1
 E 

exp   x  - это модифицированное распределение Максвелла
N dE x kT
 kT 
(рис.9.8). Для компонент энергии E y и Ez распределение Масквелла:
 E 
 E 
exp   y 
exp   z 
 kT  , f E 
 kT  .
f  Ey  
 z
4 kT E y
4 kT Ez
f E x 
Средняя энергия движения электронов в
перпендикулярном
направлении
плоскости катода:


0
0
к
0
E x   E x f E x dE x  kT   exp   d 



 kT   exp        exp   d   kT
0


Ex
Рис.9.8. «Модифицированное»
распределение Масквелла.
Тогда полная средняя энергия термоэлектронов, с учетом Ez  E y 
1
kT , будет равна:
2
E  Ex  Ey  Ez  2kT .
§ 9.5. Экспериментальное измерение распределения термоэлектронов по энергиям.
Метод задерживающего поля.
Возможна
достаточно
простая
экспериментальная
проверка
распределение
электронов по энергиям методом задерживающего поля. Для этого нужно приложить не
ускоряющее электроны электрическое поле, а тормозящее (рис.9.9). В этом случае
K

E
v
до анода дойдут только те электроны, скорость vx
А
1
которых удовлетворяет условию: mvx2  eVa .
2
vy
Тогда
полный
ток
на
анод

vx

2 eVa
me
ln I a  ln I T 
Линейная
ln I a
 E  dE
exp   x  x 
 kT  kT
2 eVa

vx dndpx S  e 

me
 eV 
 eV 
 S  jT  exp  a   IT  exp  a  .
 kT 
 kT 
-
Va
e
11600
Va  ln I T 
Va .
kT
T
ln I T Va 
зависимость
экспериментальным
Va
S


Ia  S  e 
площади
служит
доказательством
максвелловского распределения термоэлектронов.
Зона
вместимости
Рис.9.9. Определение энергетического
распределения термоэлектронов
методом задерживающего поля.
§ 9.6. Экспериментальные методы определения термоэлектронных характеристик.
Метод прямой Ричардсона.
Если
для некоторого материала катода измерить для различных температур
величины плотностей тока, то можно построить график зависимости ln
от
1
T
(рис.9.10).
зависимости,
являться
ln
Графиком
согласно
прямая,
e
jT
 ln A  0 ,
2
kT
T
(9.2),
этой
будет
так
как
тангенс
угла
наклона прямой равен
ln
j
T
j
T2
как функцию
tg ( ) 
2
ln A
e0  ktg ( )

0
e0
. Прямая
k
e0
k
1
T
Рис.9.10. Определение термоэлектронных
характеристик методом прямой Ричардсона.
отсекает на оси абсцисс значение ln A .
Калориметрический метод.
При уходе с поверхности один электрон уносит из металла энергию   e 0  2kT .
Полная энергия, уносимая электронами: Q   
jT
2kT 

 jT   a 
 . Если на анод подано
e
e 

запирающее напряжение, то электроны ничего не уносят и потери мощности на
омический нагрев идут на излучение. При jT  0 : RI 2  S StT 4 , где R - сопротивление
катода, S - площадь катода,  - коэффициент серости,  St - константа Стефана-Больцмана.
При
jT  0 энергия, выделяющаяся в катоде, расходуется не только на тепловое
излучение, но и на термоэмиссию. Чтобы сохранить температуру катода потребуется
увеличить
I  I .
ток:
Т.е.
при
2kT
2

R  I  I   S StT 4  I a    a 
e


 , или

jT  0
тепловой
баланс
имеет
вид
2kT

RI 2  2 RI I  I 2  S StT 4  I a  a 
e


.

Считая, что I  I , получаем:
2 RI Ie
2kT 

 2kT .
2 RI I  I a   a 
 , т.е. e a 
Ia
e 

Таким
образом,
по
изменению
тока
К
I
А
Ia
для
сохранения заданной температуры определяем
работу выхода. В отличие от метода прямых
R
Ричардсона, в котором предполагается линейная
зависимость работы выхода от температуры,
определяемая
калориметрическим
работа выхода не зависит от
методом
характера ее
Рис.9.10. Определение работы выхода
калориметрическим методом.
температурной зависимости .
Метод контактной разности потенциалов.
Для определения работы выхода некоторого металла измеряется контактная
разность потенциалов между данным металлом и металлом, работа выхода которого
известна. На границе контакта двух различным материалов (граница А на рис.9.11),
возникает внутренняя контактная разность потенциалов, равная разности уровней Ферми,
препятствующая потоку электронов из металла с их большей концентрацией (в котором
выше уровень Ферми) в металл с их меньшей концентрацией. Между границами
соприкосновения металла с вакуумом (границы В и С на рис.9.11) устанавливается
внешняя контактная разность потенциалов Таким образом, без учета прозрачности
барьера и того, что работа выхода зависит от температуры, контактная разность
потенциалов равна разности работ выхода разных металлов, деленная на заряд электрона.
С учетом прозрачности барьера и температурной зависимости работы выхода контактная
В
разность
С
потенциалов
VК . Р. П .  a1  a 2 
1
2
постоянные
А
равна
kT A2
ln
, где A1 , A2 –
e
A1
Ричардсона.
Таким
образом, если известна работы выхода
одного
U BC  U К , Р , П ,
материала,
и
постоянные
Ричардсона для обоих материалов,
можно найти работу выхода другого
eU К , Р , П ,  e a1   a 2 
e a1
E F1
металла, если измерить их контактную
e a 2
разность потенциалов. Для измерения
EF 2
контактной
разности
потенциалов
eU Вн. К , Р , П ,  E F 1  E F 2 можно использовать метод смещения
вольтамперных характеристик (ВАХ).
В
Рис.9.11. Определение работы выхода по
контактной разности потенциалов.
случае,
если
изготовлена
из
катод
и
одного
анод
материала
VК .Р. П .  0 (сплошная линия
ВАХ на
рис.9.12.). В случае разных материалов
к
внешней
разности
потенциалов
Ua
добавляется ( aA  aK ) или
M2
M1
А
вычитается
( aA  aK )
контактная
разность
потенциалов
ВАХ определяется VК .Р. П . .
 aA   aK
 aA   aK
U К ,Р,П ,
В
результате по смещению
ln I
Ua
VК .Р. П . .
Ua
Рис.9.12. Определение контактной разности потенциалов методом
смещения вольтамперных характеристик.