Площади сечений многогранников
1. В прямоугольном параллелепипеде
лежит ребру
и делит его в отношении
педа плоскостью, проходящей через точки
известны рёбра
Точка принадсчитая от вершины
Найдите площадь сечения этого параллелепии
2.
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через
диагональ её основания.
3.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что
AM — биссектриса угла SAC. Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B, равна
сторону основания.
4.
Найдите
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и
BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания
равна 4.
5. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.
6. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 6, точка K ― середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной плоскости BCP.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды.
7. На ребре
на ребра
прямоугольного параллелепипеда
взята точка
так, что
Точка
— середи-
Известно, что
а) Докажите, что плоскость
делит ребро
в отношении
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью
8. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.
9. В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 построена
плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P: PB1 = 2:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
10. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD со стороной
равна
, высота призмы
. Точка K — середина ребра BB1. Через точки K и С1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
11. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N —
середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. ЕГЭ 2015
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
12. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 24, а боковое ребро SA равно 19. Точки M и N —
середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
13. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
14. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. На стороне ВВ1 отмечена точка К так, что ВК = 3. Плоскость α проходит через точки
С1 и К и параллельна прямой BD1. Плоскость α пересекает ребро А1В1 в точке Р.
а) Докажите, что А1Р : РВ1 = 2 : 1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к грани ВВ1С1С.
15. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N —
середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
16. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 24, а боковое ребро SA равно 19. Точки M и N —
середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
17. В прямоугольном параллелепипеде
жит ребру
и делит его в отношении
костью, проходящей через точки
и
18. Точка — середина ребра
куба равны
куба
известны рёбра:
Точка принадлесчитая от вершины Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плос-
Найдите площадь сечения куба плоскостью
если ребра
19. Точка — середина ребра
куба равны
куба
Найдите площадь сечения куба плоскостью
если ребра
20. В правильной треугольной призме
стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины
и середину ребра
Найдите его площадь.
21. В правильной треугольной призме
стороны основания равны , боковые рёбра равны
чение, проходящее через вершины
и середину ребра
. Найдите его площадь.
22. В правильной четырехугольной пирамиде
с вершиной стороны основания равны
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку и середину ребра
ЕГЭ 2013
23. В правильной четырёхугольной пирамиде
с вершиной стороны основания равны
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку и середину ребра
. Изобразите се-
а боковые ребра равны
параллельно прямой
а боковые рёбра равны
параллельно прямой
24. В правильной четырёхугольной призме
принадлежит ребру
и делит его в отношении
плоскостью, проходящей через точки
и
сторона основания равна
а боковое ребро
Точка
считая от вершины
Найдите площадь сечения этой призмы
25. В правильной четырёхугольной призме
принадлежит ребру
и делит его в отношении
плоскостью, проходящей через точки
и
сторона основания равна
а боковое ребро
Точка
считая от вершины
Найдите площадь сечения этой призмы
26. В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 5, а сторона основания AB = 4. Найдите площадь сечения
пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC .
27. В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 6, а сторона основания AB = 4. Найдите площадь сечения
пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC .
28.??? В правильной треугольной пирамиде
с основанием
стороны основания равны а боковые рёбра
ребре
находится точка
на ребре
находится точка а на ребре
— точка Известно, что
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки
и
На
29. В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра 8. На ребре
AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что СD = BE = LM = 2. Найдите
площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
30. Плоскость пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью
равна Плоскость параллельная плоскости касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна Найдите площадь сечения большего шара плоскостью
31. Плоскость пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью
равна Плоскость параллельная плоскости касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна Найдите площадь сечения большего шара плоскостью
32. Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса
выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:3. Найдите площадь сечения
конуса плоскостью ABP.
33. ???В треугольной пирамиде
основанием является правильный треугольник
ребро
перпендикулярно
плоскости основания, стороны основания равны а ребро
На ребре
находится точка
на ребре
точка а
на ребре
— точка Известно, что
и
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки
и
34. В треугольной пирамиде MABC, в основаниии которой лежит правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно
плоскости основания, стороны основания равны 6, а ребро MA равно 11. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка
E, а на ребре AM — точка F. Известно, что AD = 4 и BE = 2, F — середина AM. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и F.
35. В основании прямой призмы
лежит на диагонали
причём
лежит квадрат
со стороной
а высота призмы равна
Точка
а) Постройте сечение призмы плоскостью
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью
36. В правильной четырёхугольной пирамиде
с основанием
проведено сечение через середины рёбер
и вершину Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно а сторона основания равна
и
37. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС
и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.
38. Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит
через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.
39. В правильной треугольной пирамиде
с основанием
сторона основания равна а угол
равен
На
ребре
взята точка так, что
— биссектриса угла
Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через
точки
и
40. Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64.
а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания.
б) Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды, если площадь сечения пирамиды плоскостью SAC равна 64.
41. В прямоугольном параллелепипеде
пирамиды
если
— точка на ребре
заданы длины ребер
причем
Найдите объем