Численные методы - Тюменская государственная академия

Государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Тюменской области
«ТЮМЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА»
2.5. Реализация образовательных программ
СМК – РОП - РУП - 2.5.40 - 2013
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
СОГЛАСОВАНО
Проректор по учебной работе
_______________ Т.А. Кольцова
"____" _______________ 2013 г.
УТВЕРЖДЕНО
Решением Учёного совета
(протокол № 2 от 25.09.2013 г.)
Н.Г. МУСАКАЕВ
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Рабочая учебная программа
Направление подготовки
230700 «Прикладная информатика»
Профиль подготовки
Экономика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная, заочная
Тюмень
2013
ББК 22.193
Ч 67
Численные методы [Текст]: рабочая учебная программа. Тюмень: ГАОУ
ВПО ТО «ТГАМЭУП». 2011. 40 с.
Рабочая учебная программа по дисциплине «Численные методы» разработана
в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом
высшего профессионального образования и учебным планом, рекомендациями и
ПрООП ВПО по направлению 230700 «Прикладная информатика» профилю
«Экономика».
Рабочая учебная программа включает цели освоения дисциплины; место дисциплины в структуре ООП бакалавриата; компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины; структуру и содержание дисциплины; образовательные технологии; учебно-методическое обеспечение самостоятельной
работы студентов; оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины; учебно-методическое и
информационное обеспечение дисциплины; материально-техническое обеспечение дисциплины.
Одобрено на заседании кафедры математики и информатики (протокол
№12 от 24.05.2013 г.), печатается по решению Учебно-методического совета
(протокол заседания УМС №1 от 11.09.2013 г.).
Рецензенты:
С.Д. Захаров, к.ф.-м.н., доцент кафедры математики, информатики «ТГАМЭУП»;
С.П. Родионов, д.ф-м.н., главный научный сотрудник Тюменского филиала
Учреждения Российской Академии наук Института теоретической и прикладной
механики им. С.А. Христиановича Сибирского отделения РАН.
Автор-составитель к.ф.-м.н., доцент Н.Г. Мусакаев.
Ответственный за выпуск к.ф-м.н., доцент С. Д. Захаров
(сохранена редакция автора-составителя)
Формат 60х84/16. Гарнитура Times New Roman.
Тираж 5. Объём 2,32 у.-п.л.
Отпечатано в лаборатории
множительной техники «ТГАМЭУП»
© «ТГАМЭУП», 2013
© Мусакаев Н.Г., 2013
2
1. Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Численные методы» является получение студентами общих понятий и идей, относящихся к преобразованию математических
моделей различных прикладных задач к виду, удобному для нахождения их решения с помощью компьютеров. Прикладная цель дисциплины заключается в усвоение тех основных понятий и методов, которые позволят сравнительно быстро
научиться работать в различных областях человеческой деятельности.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Численные методы» является одной из дисциплин профиля вариативной части профессионального цикла.
Представленный курс тесно связан с другими дисциплинами учебного плана:
математикой, информатикой, информационными технологиями, технологиями
программирования. Для изучения дисциплины необходимы знания теории алгоритмов и языков программирования, основ математического анализа, линейной
алгебры, курса дифференциальных уравнений. Студент должен:
Знать:
 методы линейной алгебры и аналитической геометрии;
 виды и свойства матриц, системы линейных алгебраических уравнений;
 элементы теории формальных языков;
 методы дифференциального и интегрального исчисления;
 аналитические методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений;
 методы структурного и объектно-ориентированного программирования.
Уметь:
 исследовать функции, строить их графики;
 использовать аппарат линейной алгебры и аналитической геометрии;
 исследовать ряды на сходимость;
 выбирать методы моделирования систем, проводить системный анализ прикладной области;
 решать дифференциальные уравнения;
 разрабатывать и отлаживать эффективные алгоритмы и программы с использованием современных технологий программирования.
Студент должен быть готов к получению теоретических знаний, а также приобретению необходимых практических навыков по решению математических моделей изучаемых явлений и инженерно-экономических задач средствами и методами вычислительной математики.
Полученные студентами знания способствуют усвоению таких курсов, как
системный анализ, математическое моделирование, эконометрика и др.; а также
успешному прохождению учебной и производственной практики.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины «Численные методы» формируются элементы следующих общекультурных и профессиональных компетенций:
3
 способен использовать, обобщать и анализировать информацию, ставить цели и
находить пути их достижения в условиях формирования и развития информационного общества (ОК-1);
 способен работать в коллективе, нести ответственность за поддержание партнерских, доверительных отношений (ОК-3);
 способен находить организационно-управленческие решения и готов нести за
них ответственность (ОК-4);
 способен самостоятельно приобретать и использовать в практической деятельности новые знания и умения, стремится к саморазвитию (ОК-5);
 способен понимать сущность и проблемы развития современного информационного общества (ОК-7);
 способен понимать сущность и значение информации в развитии современного
информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом
процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том
числе защиты государственной тайны (ОК-13);
 способен при решении профессиональных задач анализировать социальноэкономические проблемы и процессы с применением методов системного анализа
и математического моделирования (ПК-2);
 способен использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности и эксплуатировать современное электронное оборудование и информационно-коммуникационные технологии в соответствии с целями образовательной программы бакалавра (ПК-3);
 способен ставить и решать прикладные задачи с использованием современных
информационно-коммуникационных технологий (ПК-4);
 способен моделировать и проектировать структуры данных и знаний, прикладные и информационные процессы (ПК-9);
 способен применять к решению прикладных задач базовые алгоритмы обработки
информации, выполнять оценку сложности алгоритмов, программировать и тестировать программы (ПК-10);
 способен принимать участие во внедрении, адаптации и настройке прикладных
ИС (ПК-13);
 способен оценивать и выбирать современные операционные среды и информационно-коммуникационные технологии для информатизации и автоматизации
решения прикладных задач и создания информационных систем (ПК-16);
 способен применять методы анализа прикладной области на концептуальном,
логическом, математическом и алгоритмическом уровнях (ПК-17);
 способен применять системный подход и математические методы в формализации решения прикладных задач (ПК-21).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
 источники и виды погрешностей решения конечномерных задач;
 принципы построения численных методов решения инженерно-экономических
задач;
 методы решения задач алгебры и математического анализа, их достоинства и недостатки;
4
 численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений (ОДУ);
 конечно-разностные методы решения краевых задач ОДУ.
Уметь:
 применять те или иные численные методы в зависимости от сложности поставленных задач и наличия вычислительных возможностей потребителя;
 учитывать влияние различных погрешностей на точность получаемого решения
конкретной задачи;
 самостоятельно преобразовать математические модели различных прикладных
задач к виду, удобному для нахождения их решения с помощью компьютеров;
 создавать алгоритмы решения математических моделей реальных процессов, реализовывать алгоритмы в виде вычислительных программ;
 анализировать имеющиеся информационные продукты для решения прикладных
задач и создания информационных систем.
Владеть:
 численными методами решения прикладных задач в соответствии с поставленной проблемой;
 методикой анализа полученных решений прикладных задач;
 современными техническими средствами и информационными технологиями.
4. Структура и содержание дисциплины «Численные методы»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц или 180 часов, в т.ч.
очная форма обучения
Лекции – 32 час.
Лабораторные занятия – 48 час.
Самостоятельная работа – 100 час., в т.ч. экзамен - 27 час.
заочная форма обучения
Лекции – 4 час.
Лабораторные занятия – 4 час.
Самостоятельная работа – 172 час., вид промежуточной аттестации – экзамен.
Раздел 1. Методы решения
задач алгебры и математического анализа
Тема 1. Погрешность ре-
СРС
Лаборат. занятия
Лекции
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и трудоемкость (в часах)
Всего
Неделя семестра
Раздел
дисциплины
(темы)
Семестр
Структура дисциплины
очная форма обучения
Формы текущего
контроля успеваемости (по неделям семестра)
Форма промежуточной аттестации (по
семестрам)
7
1-10
85
18
27
40
Коллоквиум
7
1
11
2
3
6
Опрос, тестирование
5
зультата численного решения задачи
Тема 2. Интерполирование.
Интерполирование с кратными узлами
Тема 3. Численное интегрирование
Тема 4. Численные методы
линейной алгебры
Тема 5. Численные методы
решения нелинейных уравнений
Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
Тема 6. Конечно-разностные
методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Тема 7. Численное решение
краевых задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений
Тема 8. Обзор методов решения уравнений в частных
производных
ИТОГО
Опрос, практические
задания, контрольная
работа
Опрос, практ. задания, тестирование
Опрос, практ. задания, тестирование
Опрос, практические
задания, , тестирование
Коллоквиум
7
2-3
22
4
6
12
7
4,5
18
4
6
8
7
6,7
18
4
6
8
7
8,9
14
4
6
6
7
11-18
68
14
21
33
7
10-12
31
6
9
16
Опрос, практические
задания, тестирование
7
13-15
27
6
9
12
Опрос, практические
задания, тестирование
7
16
10
2
3
5
Опрос, доклады
48
27
100
7
1-16
180
32
экзамен
Лекции
Лаборат . занятия
СРС
Раздел 1. Методы решения
задач алгебры и математического анализа
Тема 1. Погрешность результата численного решения задачи
Тема 2. Интерполирование.
Интерполирование с кратными
узлами
Тема 3. Численное интегрирование
Тема 4. Численные методы линейной алгебры
Тема 5. Численные методы решения нелинейных уравнений
Виды учебной работы, включая
самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)
Всего
Раздел
дисциплины
(темы)
Семестр
заочная форма обучения
7
85
2,5
2,5
80
7
9
0,5
0,5
8
7
22
0,5
0,5
21
7
18
0,5
0,5
17
7
18
0,5
0,5
17
7
18
0,5
0,5
13
6
Форма промежуточной аттестации
Раздел 2. Численные методы
решения дифференциальных
уравнений
Тема 6. Конечно-разностные
методы решения задачи Коши
для обыкновенных дифференциальных уравнений
Тема 7. Численное решение
краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
Тема 8. Обзор методов решения уравнений в частных производных
ИТОГО
7
68
1,5
1,5
65
7
31
0,5
0,5
30
7
27
0,5
0,5
26
7
10
0,5
0,5
9
7
180
4
4
172
экзамен
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
РАЗДЕЛ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ
И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 1. Погрешность результата численного решения задачи
Источники и классификация погрешности. Запись чисел в ЭВМ. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности. Арифметические действия с приближенными числами. Погрешность функции. Определение допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции.
Тема 2. Интерполирование. Интерполирование с кратными узлами
Постановка задачи интерполирования функции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа. Схема Эйткена. Разделенные разности и их свойства. Интерполяционная
формула Ньютона. Интерполирование сплайн-функциями. Метод наименьших
квадратов. Обратное интерполирование.
Тема 3. Численное интегрирование
Постановка задачи численного интегрирования. Вычисление определенного
интеграла по формулам прямоугольников, трапеции, Симпсона. Точностные оценки формул интегрирования, выбор шага интегрирования. Квадратурные формулы
Ньютона-Котеса. Ортогональные многочлены. Правило Рунге практической оценки погрешности. Квадратурные формулы Гаусса.
Тема 4. Численные методы линейной алгебры
Основные понятия линейной алгебры. Метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений. Схема Гаусса с выбором главного элемента.
Решение системы линейных алгебраических уравнений специального вида методом прогонки. Метод простой итерации, особенности реализации данного метода
на ЭВМ. Метод Зейделя.
7
Тема 5. Численные методы решения нелинейных уравнений
Этапы нахождения корней нелинейного уравнения. Метод деления отрезка
пополам. Метод последовательных приближений и смежные вопросы. Метод
Ньютона решения нелинейного уравнения. Модифицированный метод Ньютона.
Сравнение методов решения нелинейного уравнения по различным критериям.
РАЗДЕЛ 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Тема 6. Конечно-разностные методы решения задачи Коши
для обыкновенных дифференциальных уравнений
Задача Коши, общие замечания. Разностная аппроксимация задачи Коши для
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Особенности интегрирования систем уравнений. Построение разностной схемы. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Методы Эйлера и Рунге-Кутта.
Оценка погрешности конечно-разностных методов. Многошаговые методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на основе методов
последовательного дифференцирования и неопределенных коэффициентов.
Тема 7. Численное решение краевых задач для обыкновенны
дифференциальных уравнений
Постановка краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей. Оценка погрешности метода конечных разностей
для краевой задачи. Метод конечных разностей для нелинейного дифференциального уравнения 2-го порядка.
Тема 8. Обзор методов решения уравнений в частных производных
Физическая и математическая классификация уравнений с частными производными. Метод конечных разностей. Консервативная конечно-разностная схема. Погрешность аппроксимации, сходимость решения маршевых задач. Теорема Лакса.
5. Образовательные технологии
Учебный процесс происходит с использованием разнообразных методов организации и осуществления учебной деятельности (словесные, наглядные и практические методы передачи информации, проблемные лекции и др.); стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности (социальная и личностная
значимость учения, предъявление требований и др.); контроля и самоконтроля
(индивидуального и фронтального, лабораторных работ, письменных контрольных работ, экзамена). В организации учебного процесса используются совершенствующие подходы к обучающим технологиям.
8
Использование активных и интерактивных форм обучения
№
тема
форма проведения
часы
1. Тема 1. Погрешность результата Лекция «пресс2
конференция»
численного решения задачи
2. Тема 2. Интерполирование. Ин- Взаимопроверка домашней
2
терполирование с кратными уз- расчётной работы
лами
3.
2
Подготовка реферативных
Тема 3. Численное интегрировасообщений с мультимедийние
ными презентациями
4. Тема 4. Численные методы ли2
Взаимопроверка домашней
нейной алгебры
расчётной работы
5. Тема 5. Численные методы ре4
Взаимопроверка домашней
шения нелинейных уравнений
расчётной работы
6. Тема 6. Конечно-разностные ме- Подготовка реферативных
2
тоды решения задачи Коши для сообщений с мультимедийобыкновенных дифференциаль- ными презентациями
ных уравнений
7. Тема 7. Численное решение кра- Взаимопроверка домашней
2
евых задач для обыкновенных
расчётной работы
дифференциальных уравнений
Итого часов
16
Всего аудиторных часов
80
Процент активных и интерактивных форм 20%
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа студентов предполагает изучение теоретического
материала по актуальным вопросам дисциплины и его обсуждение на семинарских
(практических) занятиях, а также выполнение практических заданий. Самостоятельная работа реализуется в разных видах. Она включает подготовку студентов к
семинарским (практическим) занятиям. Для этого студент изучает лекции преподавателя, основную и дополнительную литературу, публикации в научных рецензируемых журналах, интернет-ресурсы. Самостоятельная работа предусматривает
также составление во внеучебное время алгоритмов и блок-схем в рамках практических заданий, приведённых в разделе 7 «Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины», проработка используемых методов решения задач, подготовка ответов на
контрольные вопросы. К самостоятельной работе студента относится подготовка к
экзамену, экзаменационные вопросы приведены в разделе 7.
ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА ДОКЛАДОВ
1. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности. Значащие и верные цифры приближенного числа.
2. Погрешность функции. Определение допустимой погрешности аргументов по
допустимой погрешности функции.
9
3. Построение интерполяционного многочлена Ньютона с разделенными разностями.
4. Использование остаточного члена интерполяции.
5. Кусочно-линейная интерполяция функции Рунге.
6. Приближение функции по методу наименьших квадратов. Нахождение оптимальной степени многочлена.
7. Построение параболического сплайна.
8. Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников, трапеции и Симпсона.
9. Квадратурные формулы интерполяционного типа.
10. Метод Гаусса вычисления определенного интеграла.
11. Интегрирование с помощью степенных рядов.
12. Точностные оценки формул интегрирования, выбор шага интегрирования.
13. Метод Рунге апостериорной оценки погрешности вычисления определенного
интеграла. Метод двойного пересчета.
14. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Нормы векторов и матриц.
15. Точные методы решения системы линейных алгебраических уравнений.
16. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Холецкого.
17. Обращение матриц и вычисление определителей по методу Гаусса-Жордана.
18. Решение системы линейных алгебраических уравнений специального вида методом прогонки.
19. Локализация корней нелинейного уравнения.
20. Теоретическая оценка радиуса интервала неопределенности корня нелинейного уравнения.
21. Численные методы решения нелинейных уравнений.
22. Методы простой итерации и Ньютона для системы нелинейных уравнений.
23. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения первого порядка. Постановка исходной задачи.
24. Построение разностной схемы. Разностная аппроксимация дифференциальных
операторов. Оценка погрешности конечно-разностных методов.
25. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений усовершенствованным методом Эйлера.
26. Оценка погрешности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений по правилу Рунге.
27. Общая формулировка многошаговых методов для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
28. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
29. Оценка погрешности метода конечных разностей для краевой задачи.
30. Дивергентная форма уравнений в частных производных. Консервативная конечно-разностная схема.
10
7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа
Практическое задание к теме 1. Погрешность результата численного
решения задачи
1. Округляя следующие числа до трех значащих чисел, определить абсолютную и
относительную погрешности полученных приближенных чисел.
а) 2,1514; б) 0,16152; в) 0,01204; г) 1,225; д) –0,0015281.
2. Абсолютные погрешности измерения величин a и b равны a и b. Найти абсолютные и относительные погрешности величин a±b, a·b и a/b, полагая погрешности малыми по сравнению с основными величинами. Чем выделяется случай a–b
среди остальных?
3. Определить абсолютную погрешность следующих приближенных чисел по их
относительным погрешностям δ.
а) а=13267, δ=0,1%; б) а=2,32, δ=0,7%; в) а=35,72, δ=1%; г) а=0,896, δ=10%;
д) а=232,44, δ=1%.
4. Решить уравнение x 2  0,4002x  0,00008  0 , выполняя вычисления с 4-мя знаками, с 8-ю знаками. Какова абсолютная и относительная погрешности результата?
5. Найти сумму приближенных чисел и указать их погрешности.
а) 0,145+321+78,2 (все знаки верные);
б) 0,301+193,1+11,58 (все знаки верные);
в) 398,5–72,28+0,34567 (все знаки верные);
г) 203,5+0,567+17,12 (все знаки верные);
д) x1  x2  x3 , где x1=197,6, x1=0,2, x2=23,44, x2=0,22, x3=201,55, x3=0,17.
6. Каждое ребро куба, измеренное с точностью до 0,02 см, оказалось равным 8 см.
Найти абсолютные и относительные погрешности вычисления объема куба.
7. Вычислить значение z  ln 10,3  4,4 , считая верными все знаки приближенных
чисел x = 10,3 и y = 4,4.
8. С каким числом верных знаков следует взять значение аргумента x, чтобы получить значения указанных функций с точностью до 10-6.
а) y  x 3 sin x , x  2 ; б) y  x ln x , x   ; в) y  e x cos x , x  3 ;
г) y  x 2 lg x , x  3 2 ; д) y  x cos x , x  5 .
9. С каким числом верных знаков должен быть известен свободный член уравнения x 2  2 x  lg 2  0 , чтобы получить корни с 4-мя верными знаками?
Литература: основная [1], [3], [6];
дополнительная: [10], [12], [17]–[19].
Практическое задание к теме 2. Интерполирование. Интерполирование
с кратными узлами
Цель задания: изучение методов интерполирования функций, сравнительный
анализ рассмотренных методов, практическое интерполирование функций на
ЭВМ.
11
Задания к работе.
1. Разработать схемы интерполирования функций методами Лагранжа, Ньютона,
наименьших квадратов.
2. Написать, отладить и выполнить программы интерполирования функций
(табл. 1). Интерполирование провести любым из известных методов интерполирования функций. Построить интерполяционную кривую и найти значение функции
в указанной точке (в соответствии с вариантом задания).
Таблица 1
xi
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
№1
x= –3,5
0,1
-0,1
-1
-1
-1,5
-1,1
-0,5
-0,4
0
1
2
3
4
6
8
10
12
15
18
21
№9
x=7,5
64
52
42
33
25
17
11
7
4
2
1
1
2
7
9
№2
x=0,5
120
88
63
44
28
16
8
2
0
-1
-2
-3
-3
-4
-6
-11
-18
-28
-42
-61
№10
x= –1,3
40
42
41
37
31
25
20
14
8
5
3
3
7
15
27
№3
x=1,25
53
44
35
28
23
16
11
8
5
4
3
4
7
8
13
16
21
28
37
44
Значения yi  f ( xi )
№4
№5
x=0,75
x=3,12
-121
12
-90
7
-65
3
-45
0
-31
-2
-18
-3,3
-10
-4
-4
-4,4
-1
-3,6
0
-2
0
0,4
1
3,6
2
7
3
12
5
18
9
24
16
31
27
39
41
48
60
58
№6
x=8,25
-140
-97
-67
-44
-28
-15
-8
-5
-3
-2
-0
2
8
19
32
54
83
123
169
228
№7
x= –7,4
14
10
7
4
2
0
-1
-2
-1
-1
0
3
4
8
11
15
20
27
32
39
№8
x=1,8
-170
-122
-82
-51
-36
-19
-9
-3
0
1
3
4
7
14
26
45
67
98
139
191
№11
x=1,97
75
63
49
38
28
20
13
7
6
1
0
0
1
4
8
Значения yi  f ( xi )
№12
№13
x=9,14
x=3,2
-114
52
-77
44
-54
34
-28
26
-14
18
-4
14
-1
8
0
6
-1
4
-2
2
-2
2
-1
2
3
5
11
8
28
10
№14
x=5,43
159
122
88
60
40
29
17
8
2
1
1
3
4
10
11
№15
x= – 4,2
-47
-38
-29
-20
-13
-11
-5
-2
0
0
2
3
1
-2
-7
№16
x=8,4
-203
-147
-96
-53
-31
-10
2
10
15
14
12
9
7
7
9
12
6
7
8
9
10
14
20
26
37
47
47
67
96
131
175
14
21
33
39
51
46
74
112
159
218
16
20
28
35
42
12
12
9
4
-4
-10
-15
-24
-30
-37
18
26
44
70
102
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функций, назовите области ее применения.
2. Какую функцию называют аппроксимирующей?
3. Охарактеризуйте интерполяционную формулу Лагранжа.
4. Приведите интерполяционные формулы Ньютона.
5. Приведите оценку остаточного члена для каждой из формул.
6. Опишите метод наименьших квадратов.
Литература: основная [1]–[4], [7];
дополнительная [8], [10], [12], [13], [18].
Задание к теме 3. Численное интегрирование
Цель задания: изучение различных методов вычисления определенных интегралов, практическое интегрирование функций на ЭВМ.
Задания к работе.
1. Разработать схемы интегрирования по формулам прямоугольников, трапеций и
Симпсона.
2. Написать, отладить и выполнить программы интегрирования функций, приведенных в табл. 2. Вычисления значения интеграла на отрезке [a, b] провести с заданной точностью (в соответствии с вариантом задания). Величину шага, обеспечивающего требуемую точность, определить с помощью двойного пересчета.
3. Определить относительную погрешность вычислений по формуле:

I  Ih
 100 % ,
I
где I – точное значение интеграла, вычисленное через первообразную функции; I h – значение интеграла, полученное в результате применения конкретной
формулы интегрирования.
Таблица 2
%№
п/п
I
Подынтегральная
функция f (x )
II
x
Формулы
численного
интегрирования
Заданная
точность
Интервал
[ a, b]
Первообразная
функции F(x)
III
IV
V
VI
1
( x  3)
2
Трапеций
10-3
[0; 2]
3
 ln( x  3)
x3
2
x sin 2 x
Симпсона
10-4
 
0; 4 
sin 2 x x cos 2 x

4
2
13
3
3x
2
Симпсона
10-5
[0; 1]
23x
3 ln 2
4
ln 2 x
x
Симпсона
10-4
[1; 5]
ln 3 x
3
5
e 2 x sin x
Трапеций
10-4
 
0; 2 
0,2 e 2 x (2 sin x  cos x)
2
Симпсона
10-5
[0,2; 1]
ln(sin 3x) x
 ctg 3x
9
3
x 2 sin x
Симпсона
10-4
Трапеций
10
-3
[1; 2]
6
7
8
x
sin 3x
1
x x  1/ 4
2
[0; 1]
2 x sin x  ( x 2  2) cos x
 0,5  x 2  1 / 4 

 2 ln 


x


0,8 x
e
( 0,8 x  1)
0,64
9
x e0,8 x
Симпсона
10-4
[2; 3]
10
arctg x
Симпсона
10-5
[0; 1]
11
xln x
Симпсона
10-4
[2; 6]
12
1
1  sin x
Трапеций
10-3
 
0; 2 
ln( 1  x 2 )
2
2
2
x
x
ln x 
2
4
2

1  tg ( x / 2)
Симпсона
10-4
[0; 3]
2 ln( e x  1)  x
Симпсона
10-5
 
0; 2 
Трапеций
10-4
[1; 7]
1 4
sin x
4
1
Трапеций
10-4
[1; 3]
13
ex 1
e 1
x
14
sin 3 x cos x
15
( x  1) 2
16
x x (ln x  1)
x
2
x  arctg x 

2 ( x 2  1)
xx
Контрольные вопросы
1. В чем состоит суть методов численного интегрирования функций?
2. Опишите формулу прямоугольников.
3. Охарактеризуйте метод трапеций.
4. Опишите формулу Симпсона.
5. Приведите оценку погрешности для каждого из методов на частичном отрезке и
на всем интервале интегрирования.
6. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на основании остаточных членов формул.
7. Как оценивается погрешности приближенного вычисления интегралов по правилу Рунге?
Литература: основная [1]–[3], [5], [6];
дополнительная [8], [12], [13], [16], [19].
14
Задание к теме 4. Численные методы линейной алгебры
Цель задания: изучение численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, практическое решение систем на ЭВМ.
Задания к работе.
1. Составить схемы алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений методами Гаусса, простой итерации и Зейделя.
2. Написать, отладить и выполнить программы решения систем линейных алгебраических уравнений, записанных в векторно-матричной форме A x  b и приведенных в табл. 3. Четным вариантам решить систему методом Гаусса с выбором
главного элемента. Остальным – методом Зейделя.
3. Вычислить точностные оценки методов по координатам   max xi  xi* , где xi* –
координаты точного решения; xi – координаты численного решения.
Таблица 3
№
п/п

1
2
3
4
5
6
7
8
Матрица коэффициентов
системы A

4,52
 9,11
2,24
1,72
3,56
 6,75 14,28 2,07
 9,34
4,13
0,98
3,00
1,64
2,32
 1,80 7,12
0,31 0,14 0,30 0,27
0,26 0,32 0,18 0,24
0,61 0,22 0,20 0,31
0,40 0,34 0,36 0,17
1,32
2,06
 3,40
7,11
 9,13
5,84
1,21
0,76
3,12
 8,14
2,51
 1,13
0,77
0,17
2,32
1,10
2,01
1,00
 0,24
1,31
0,45
2,36
0,58
3,22
0,30  1,08
1,00
 2,34
1,12
0,24
2,55
 1,11
1,14
 5,03 3,01
0,12
4,77
1,03
0,58  1,17
2,11
1,17
4,89
0,88
0,14
 0,18 1,28
2,10
0,74
 0,62
2,11 0,55
0,50
0,98
1,79
0,09
 0,73
0,25
2,07 1,00
1,00
 0,85 1,95
0,15
3,1
1,5
1,1
 0,5
 2,0
5,1 0,4
1,6
0,8
2,2 0,9
4,7
 0,1 3,2 6,2
1,8
2,12 0,42 1,34
0,88
0,42 3,95 1,87
0,43
1,34
1,87
2,98 0,46
0,88 0,43 0,46 4,44
Столбец свободных членов b

 6,77
 22,25
3,99
20,08
1,02
1,00
1,34
1,27
30,17
3,62
 19,06
2,09
1,98
3,69
3,48
10,36
 10,91
12,19
0,79
 3,46
3,18
0,56
 2,89
5,20
9,70
4,71
0,18
16,43
11,172
0,115
9,009
9,349
15
Точное решение x*
V
0,5
1,0
 1,5
2,0
1
1
1
1
1
2
1
3
1
2
3
1
2
2
1
1
2
2
1
3
1,3
1,7
2,2
 1,4
3,7
 1,5
2,1
1,3
9
10
11
12
13
14
15
16
1,85 0,70
0,16 0,19
1,13 2,77
1,14
1,01
6,1
 2,2
7,2
0,9
2,8
3,3
 1,5
1,0
3,82 1,02
1,05 4,53
0,73 0,85
0,88 0,81
0,15 2,11
0,64 1,21
3,21 1,53
0,77 1,22
1,15
0,42
1,59
0,55
1,14
3,15
0,77
6,11
1,02  0,25
0,41
1,13
0,85
2,17
3,44  4,33
5,9 1,2
1,2 7,2
2,1 1,5
0,9 2,5
0,28 10,36
 2,70  1,36
2,92
3,06
0,97
2,94
 0,12
0,79
0,18
0,55
 1,2
1,8
1,1
6,3
0,75
0,98
4,71
1,28
3,75
2,05
 1,04
1,18
10,10
 0,32
2,05
 3,01
 0,30
 0,15
1,21
0,50
2,1
1,5
9,8
1,3
 0,60
0,72
1,11
2,61
 0,18
0,11
 0,20
3,22
 3,3
 4,1
2,5
0,8
0,81
1,53
0,81
3,50
8,14
 0,99
 3,18
2,25
4,25
0,29
7,86
0,74
 4,11
0,77
6,27
1,42
0,9
2,5
1,3
6,1
2,70
3,85
2,57
 13,40
8,41
 0,23
13,91
9,58
 0,50
 2,15
14,30
 14,00
16,855
22,705
22,480
16,110
16,60
 2,25
 5,47
4,99
15,08
1,01
7,90
 7,61
7,42
0,57
 6,99
 11,00
 2,0
5,3
10,3
12,6
23,56
 11,60
11,40
47,03
3
4
2
1
1,5
2,0
 2,5
2,5
2,5
3,0
3,5
2,0
1
2
1
2
1
1
1
1
0
2
1
2
1
0
1
2
1
3
4
2
Контрольные вопросы
1. Когда система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение?
2. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?
3. Охарактеризуйте точные и приближенные численные методы решения систем
линейных алгебраических уравнений.
4. Опишите метод Гаусса с выбором главного элемента.
5. Почему метод простой итерации называется самоисправляющимся?
6. Дайте определение сходимости итерационного процесса.
7. Опишите метод Зейделя.
Задание к теме 5. Численные методы решения нелинейных уравнений
Цель задания: изучение методов решения нелинейных алгебраических и
трансцендентных уравнений, практическое решение уравнений на ЭВМ.
Задания к работе.
1. Составить схемы алгоритмов решения нелинейных уравнений f(x) = 0 методами
деления отрезка пополам, простой итерации и Ньютона.
16
2. Написать, отладить и выполнить программы решения нелинейных уравнений,
приведенных в табл. 4 (в соответствии с вариантом задания). Нахождение одного
из корней уравнения провести любым из вышеназванных методов с точностью до
10-4. Интервал изоляции корня найти путем построения эскиза графика функции
f(x).
Таблица 4
№
п/п
1.
Уравнение f(x) = 0
№ п/п
Уравнение f(x) = 0
x 2  5 sin x  0
9.
x 4  0,486 x3  5,792 x 2  0,486 x  4,792  0
2.
x 2  sin( x  0,1)  0
10.
0,1e x  sin 2 x  0,5  0
3.
x  9  x  x2  4  0
11.
0,1sin x  x 3  1  0
4.
x 4  26 x 3  131x 2  226 x  120  0
12.
e x  10 x  0
5.
2x2  x  7  0
13.
6.
e x  2( x 1) 2  0
sin x  x  0,15  0
14.
0,1x 2  x ln x  0
sin x  2 x  0,5  0
15.
x  1,25 ln x  125  0
16.
e x  x 1,25  0
7.
8.
1  x  tg x  0
Контрольные вопросы
1. Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения.
2. Опишите алгоритм метода деления отрезка пополам.
3. Охарактеризуйте метод простой итерации. Как формулируется достаточное
условие сходимости данного метода?
4. Опишите алгоритм метода Ньютона. В чем достоинство и недостаток этого метода?
5. Проведите сравнение методов деления отрезка пополам, простой итерации и
Ньютона по различным критериям.
Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
Задание к теме 6. Конечно-разностные методы решения задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений
Цель задания: изучение методов численного интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений, практическое решение уравнений на ЭВМ, сравнительный анализ рассмотренных методов.
Задания к работе.
1. Составить схемы алгоритмов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта.
2. Написать, отладить и выполнить программы решения дифференциальных уравнений, приведенных в табл. 5 (в соответствии с вариантом задания), методом Рунге-Кутта 4-го порядка точности. Предусмотреть в программе вычисление значений
функции по заданному в таблице точному решению.
3. Результаты счета численным методом и по точному решению оформить в виде
графика или таблицы.
17
4. Определить близость полученного заданным методом решения к точному значению с помощью оценок:
1  max yi  ~yi ,
i  1,2,, n ,
2 
n
n
  yi  ~yi 2
 ( ~yi ) 2
i 1
– интегральная оценка.
i 1
Здесь ~yi – точное решение, yi – полученное приближенное решение.
Таблица 5
№ п/п
Дифференциальное
уравнение
I
II
1
y   2 y   y  0
2
y   3 y   2 y  2 x  3  0
3
y   y  4e x
4
x 2 y  xy  0
5
y  2 y  2e x
6
y   4 y  cos 3x
7
y   2 y   2 y  x e  x
8
(1  x 2 ) y   y2  1  0
9
y   4 y   4 y  0
10
y   3 y   e5 x
11
x 2 y  2 y  0
12
y  5 y  6 y  e x
13
y  y  1  e
x
Начальные
условия
III
y (2)  1
y (2)  2
y ( 0)  1
y (0)  2
IV
Интервал
интегрирования
V
0,2
[2; 10]
y  (7  3x)e x  2
0,2
[0; 8]
y  ex  x
Шаг h
y (0)  4
Точное решение
VI
y  2 cos x  2e x 
y (0)  3
0,1
[0; 4]
0,05
[1; 3]
y  5  ln x
0,1
[1; 5]
y  e 2 x 1  2e x  e  1
0,1
[0; 4]
0,1
[0; 4]
y  e  x ( x  sin x)
0,05
[0; 2]
y  1  x  2  ln( 1  x)
0,1
[0; 4]
y  (1  x) e 2 x
0,02
[0; 0,8]
y  2  0,1( e3x  e5 x )
0,1
[1; 5]
0,02
[0; 0,8]
y (1)  5
y (1)  1
y (1)  1
y (1)  0
y (0)  0,8
 5 sin x
y  cos 2 x  sin 2 x 
y (0)  2
y ( 0)  0
y (0)  0
y ( 0)  1
y (0)  1
y ( 0)  1
y (0)  1
y (0)  2,2
y (0)  0,8
y (1)  0,83
y (1)  0,66
y ( 0)  0
y (0)  0
 0,2 cos 3 x
y  0,5 x 2 
1
3x
y  0,5 ( e3x  e x )  e 2 x
y  cos x  sin x 
y (0)  2,5
0,1
y (0)  1,5
18
[0; 4]
 0,5e x  1
14
x y  2,5 xy  y  0
15
y  y  x  x  2
16
2
2
y  
3
y  x
x
y (1)  2
y (1)  3,5
0,1
[1; 5]
0,1
[0; 4]
0,05
[1; 3]
y ( 0)  1
y (0)  0
y 3 x 
x2
y  cos x  sin x 
 x2  x
y (1)  0
y (1)  0
1
y
x 4 x3 1


4
3 12
Контрольные вопросы
1. Дайте определение обыкновенного дифференциального уравнения. Что значит
решить дифференциальное уравнение?
2. Сформулируйте задачу Коши для одного дифференциального уравнения и для
системы дифференциальных уравнений.
3. В чем состоит суть численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений?
4. Охарактеризуйте метод Эйлера.
5. Опишите методы Рунге-Кутта.
Задание к теме 7. Численное решение краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений
Цель задания: изучение разностных методов решения краевой задачи для
обыкновенных дифференциальных уравнений, практическое решение уравнений
на ЭВМ.
Задания к работе.
1. Составить схемы алгоритмов решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей.
2. Написать, отладить и выполнить программы решения дифференциального
уравнения с указанными краевыми условиями методом конечных разностей. Исходное уравнение заменить центрально-разностными отношениями. Полученную
систему решить методом прогонки.
3. Результаты расчетов оформить в виде графика или таблицы.
Варианты заданий
2 
1. x y  x y  1, y(1)  0 , y(2)  0,2402 .
2. y  f ( x) y  y cos(0,7 x)  2 x 2  2 x  4 , y(0)  0 , y(1)  0 .
xi
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
f ( xi )
-1,7930 -1,7863 -1,7832 -1,7838 -1,7878 -1,7953
3. y  0,5x y  (1  2 2 x 2 ) y  4 x ,
y(0)  1,
y(1)  1,367 .
y(0)  0 , y(1)  0 .
4. y   (1,4  x 3 ) y   (1  x 2 ) y  e1 3 x ,
y (0)  1, y (1)  1,367 .
5. y   ( x  1) y   3,125 y  4 x ,
x
,
y (0)  0 , y (1)  0 .
6. y   x 3 y   (1,4  x) y  2
x  2,5
2
19
7. y   y  sin 2,2 x  y 
1
,
y (0)  0 , y (1)  0 .
3,5  sin 2 2,2 x
y (0)  y ( )  0 .
8. y   y  1,
10  4 x
9. y   2 x y   2 y 
,
y(0)  1, y(1)  1,367 .
(2  x) 3
y (0)  1, y (0,5)  1,279 .
10. y   2 x y   2 y  4 x ,
11. y  f ( x) y  y cos(0,75 x)  2 x 2  2 x  4 , y(0)  0 , y(1)  0 .
xi
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
f ( xi ) -1,6184 -1,5994 -1,5838 -1,5714 -1,5630 -1,5555
y
12. y  
 1,8 y  x ,
y(0)  y(1)  0 .
2
x 4
y (0)  y ( )  0 .
13. y   y  2 x   ,
14. y  4 y  4 y  xe 2 x ,
15. y  5 y  3x 2  sin 5x ,
y(0)  0,9688 ,
y(0)  3,0200 ,
y(1,5)  1,3798 .
y(0,5)  14,0755 .
16. y  f ( x) y  y cos(0,85 x)  2 x 2  2 x  4 , y(0)  0 , y(1)  0 .
xi
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
f ( xi ) -1,4747 -1,4480 -1,4246 -1,4043 -1,3869 -1,3722
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения.
2. Дайте определение краевым условиям 1-го рода, 2-го рода и 3-го рода. Какие
краевые условия называются однородными?
3. Охарактеризуйте метод конечных разностей.
4. В чем состоит суть метода прогонки?
5. Дайте оценку погрешности метода конечных разностей для краевой задачи. Как
определяется приближенная оценка погрешности?
Контрольные вопросы к теме 8. Обзор методов решения уравнений
в частных производных
1. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных гиперболического типа? Параболического типа? Эллиптического типа?
2. Какая задача называется маршевой?
3. Дайте формулировку корректно поставленной задачи?
4. В чем состоит суть метода конечных разностей для уравнений в частных производных?
5. Какая конечно-разностная схема называется согласованной?
6. Дайте формулировку теоремы Лакса об эквивалентности.
7. Укажите методы построения конечно-разностных схем.
8. Из чего складывается погрешность решения разностным методом уравнения в
частных производных?
20
9. Какая конечно-разностная схема называется сильно неустойчивой (устойчивой)? Слабо неустойчивой (устойчивой)?
10. Дайте определение условия Куранта-Фридрихса-Леви. Каков физический и
геометрический смысл данного условия?
11. Сформулируйте задачу Дирихле для уравнения Лапласа.
12. Какому типу граничных условий соответствует задача Неймана? Задача Робина?
ТЕСТЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Тестовые задания предназначены для выделения основных положений каждой темы, понимания численных методов решения математических задач, повторения и закрепления учебного материала, проверки знаний, контроля остаточных
знаний.
Тестовые задания могут быть использованы при подготовке к аудиторным
занятиям, контрольным работам, зачету.
Тесты составлены по всем темам программы учебной дисциплины «Численные методы», включают от 7 до 13 вопросов и 3 ответа к каждому вопросу. Правильным может быть только 1 из 3-х предложенных ответов.
РАЗДЕЛ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ
И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 1. Погрешность результата численного решения задачи
1. Чем вызвана неустранимая погрешность?
а) Тем, что математическая модель исследуемого объекта никогда не учитывает
всех без исключения явлений, влияющих на состояние объекта, и тем, что входящие в задачу заданные параметры (числа или функции) измеряются с какой-либо
ошибкой.
б) Тем, что любые арифметические операции над числами производятся при наличии ограниченного количества используемых для записи чисел разрядов позиционной системы исчисления.
в) Тем, что в результате применения численного метода могут быть получены не
точные, а приближенные значения искомой функции, даже если все предписанные
методом вычисления проделаны абсолютно точно.
2. Некоторые величины t = 0,34 и k = 0,42 измерены с точностью до 0,01. Найти
абсолютную и относительную погрешности в определении величины
d = t·k = 0,1428.
а) Абсолютная погрешность = 0,0075 , относительная погрешность = 0,053.
б) Абсолютная погрешность = 0,0077 , относительная погрешность = 0,051.
в) Абсолютная погрешность = 0,0077 , относительная погрешность = 0,054.
3. Пусть а* – точное, а – приближенное значение некоторого числа. Дайте определение относительной погрешности.
а) Относительной погрешностью приближения а называется величина δa такая, что
a  a*   a .
21
б) Относительной погрешностью приближения а называется величина δa такая,
что  a  (a  a  ) a , (а ≠0).
в) Относительной погрешностью
приближения
а
называется
величина

 a  (a  a ) a , (а ≠ 0).
4. Определить относительную погрешность приближенного числа b = 2,3254 по ее
абсолютной погрешности Δb = 0,01, предварительно округлив число b до верных
знаков.
а) Относительная погрешность = 0,0078.
б) Относительная погрешность = 0,0043.
в) Относительная погрешность = 0,0143.
5. Объем V = 2,385 м3 и плотность ρ = 1400 кг/м3 образца измерены с точностью до
1 дм3 и 1 кг/м3 соответственно. Найти абсолютную и относительную погрешности
в определении массы образца m = V∙ρ = 3339 кг.
а) Абсолютная погрешность = 3,895 , относительная погрешность = 0,0012.
б) Абсолютная погрешность = 3,786 , относительная погрешность = 0,0011.
в) Абсолютная погрешность = 3,657 , относительная погрешность = 0,0010.
6. Даны числа a = 1,137 и b = 1,073 с абсолютными погрешностями Δa=Δb=0,011.
Оценить погрешность их разности c = a – b.
а) Δс = 0,011.
б) Δс = 0,022.
в) Δс = 0,001.
7. Чем обусловлено появление погрешности округления при численном решении
поставленной задачи?
а) Тем, что математическая модель исследуемого объекта не может учитывать все
без исключения явления, влияющие на состояние объекта.
б) Тем, что любые арифметические операции над числами производятся при наличии ограниченного количества используемых для записи чисел разрядов позиционной системы исчисления.
в) Тем, что в результате применения численного метода могут быть получены не
точные, а приближенные значения искомой функции, даже если все предписанные
методом вычисления проделаны абсолютно точно.
Тема 2. Интерполирование. Интерполирование с кратными узлами
1. Дайте определение сплайн-функции.
n
n 


а) Полином Pn ( x)   f ( xi )  ( x  xk ) ( x  xi ) ( xi  xk )  , принимающий в точ

i 0
k 0
k i

ках xi значения f(xi), называется сплайн-функцией, соответствующей данной функции f(x) и узлам xi (i = 0, 1,…, n).
б) Сплайн-функцией m-го порядка, соответствующей данной функции f(x) и узлам
xi (i = 0, 1,…, n), называется функция s(х), которая: 1) является полиномом m-го
порядка на каждом частичном отрезке [xi-1, xi] (i = 1, 2,…, n); 2) непрерывна вместе
со своими производными до (m–1)-го порядка в узлам xi (i = 1, 2,…, n–1); 3)
s(xi) = f(xi) (i = 0, 1,…, n).
в) Сплайн-функцией, соответствующей данной функции f(x) и узлам
xi (i = 0, 1,…, n),
называется
полином
вида
22
q(q  1) 2
q(q  1)(q  n  1) n
 y0   
 y0 , где q  ( x  x0 ) h ,
2!
n!
h – шаг разностной сетки, Δkyi – конечные разности k-го порядка.
2. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функции.
а) Требуется вычислить производные от функций, заданных в табличном виде.
б) Требуется найти значение функции f(x), x≠xi (i = 0, 1,…,n), если известны узлы
интерполирования xi (i = 0, 1,…,n) и значения функции f(x) в этих узлах.
в) Требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции.
3. Что принимают за меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x)
в методе наименьших квадратов?
а) За меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в узлах xi принимают максимум модуля разности f(xi) и Pm(xi) (i = 1, 2,…, n).
б) За меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в узлах xi приPn ( x)  y0  q  y0 
n
нимают сумму
 ( xi )  f ( xi )  Pm ( xi )  2 , где ω(x) ≥ 0
– заранее выбранная «ве-
i 1
совая» функция.
в) За меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в узлах xi приn
нимают сумму

i 1
f ( xi )  Pm ( xi ) .
4. В чем заключается задача обратного интерполирования?
а) Пусть функция y = f(x) задана таблицей. Требуется по заданному значению
функции y найти соответствующее значение аргумента x.
б) Пусть функция y = f(x) задана таблицей. Требуется найти функцию φ(x), расчеты по которой либо совпадают, либо в определенном смысле приближаются к
данным значениям функции f(x).
в) Пусть функция y = f(x) задана таблицей. Требуется построить полином вида
n
n 


Pn ( x)   f ( xi )  ( x  xk ) ( x  xi ) ( xi  xk )  , принимающий в точках xi, назы

i 0
k 0
k i

ваемых узлами, значения интерполируемой функции f(xi).
5. По прогнозу 1983 г. добыча нефти в Западной Европе должна была составить в
1980 г. – 2,6 млн. баррелей/сут., в 1985 г. – 3,9 млн. баррелей/сут. и в 1990 г. –
3,2 млн. баррелей/сут. Используя интерполяционный полином Лагранжа, рассчитать данный показатель на 1988 г.
а) 3,720 млн. баррелей/сут.
б) 3,894 млн. баррелей/сут.
в) 3,643 млн. 3,894 млн. баррелей/сут.
6. Как определяется остаточный член интерполирования полиномами Ньютона.
h 2 (b  a)
M 2 , где M 2  max f ( ) , ξ – некоторая точка заданного проа) Rn 
24
 [ a, b]
межутка [а, b], h = const – расстояние между соседними узлами интерполяции
xi (i = 0, 1,…, n).
23
f ( n 1) ( )
б) Rn ( x) 
( x  x0 )( x  x1 )( x  xn ) , где ξ есть некоторая точка
(n  1)!
наименьшего промежутка, содержащего все узлы интерполяции xi (i = 0, 1,…, n) и
точку х, в которой находится значение сеточной функции f(x).
в) Rn  max x  xi , (i  0, n ) , где xi – узлы интерполяции, х – точка, в которой
находится значение сеточной функции f(x).
7. Какую функцию называют аппроксимирующей?
а) Пусть для конечного множества значений аргумента x0, x1, …, xn известны табличные значения функций f(x0), f(x1), …, f(xn). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), расчеты по которой либо совпадают, либо в определенном смысле приближаются к данным значениям функций.
б) Пусть для конечного множества значений аргумента x0, x1, …, xn известны табличные значения функций f(x0), f(x1), …, f(xn). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), производные от которой равны производным функции f(x).
в) Пусть для конечного множества значений аргумента x0, x1, …, xn известны табличные значения функций f(x0), f(x1), …, f(xn). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), значения которой отличаются от данных значений
функций на постоянную величину.
8. Назовите достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа.
а) Достоинство – метод наиболее прост в понимании и организации вычислительного процесса. Основной недостаток метода – при увеличении числа узлов и соответственно степени интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить
заново.
б) Достоинство – метод относится к числу итерационных методов и имеет
наибольшую точность интерполяции. Основной недостаток метода – медленная
скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени.
в) Достоинство – использование многочленов невысокого порядка и вследствие
этого малое накопление погрешностей в процессе вычислений. Основной недостаток метода – из числа методов интерполяции наиболее сложен в организации вычислительного процесса.
9. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов?
а) Метод состоит в следующем. Весь отрезок интерполирования разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют интерполируемую функцию f(x) многочленом невысокой степени. Для того чтобы не
возникало разрывов производной в местах сочленения, на каждом частичном отрезке степень полинома берется «с запасом», а возникающую свободу в выборе
коэффициентов полиномов используется для сопряжения производных на границах участков.
б) Метод состоит в том, что строится полином, сумма квадратов отклонений которого от табличных значений интерполируемой функции yi = f(xi) минимальна, т.е.
за меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в узлах xi прини-
24
n
мают сумму
 ( xi )  f ( xi )  Pm ( xi )  2 , где ω(x) ≥ 0
– заранее выбранная «весо-
i 1
вая» функция.
в) Сущность метода наименьших квадратов состоит в следующем. Строится полиn
n 


ном вида Pn ( x)   f ( xi )  ( x  xk ) ( x  xi ) ( xi  xk )  , принимающий в точках


i 0
k 0
k i

xi, называемых узлами, значения интерполируемой функции f(xi).
10. Когда удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткена?
а) Когда требуется найти многочлен Pn(x), значения которого в точках xi
(i = 0, 1 ,…, n) совпадают со значениями функции f(x), т.е. Pn(xi) = f(xi).
б) Когда требуется найти не общее выражение интерполяционного многочлена
Pn(x), а лишь его значения при конкретных x и при этом значения функции даны в
достаточно большом количестве узлов.
в) Когда требуется найти функцию φ(x), значения которой отличаются от табличных значений функций f(x0), f(x1), …, f(xn) на постоянную величину.
11. Написать интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x), которая
представлена четырьмя своими значениями: f(0) = –0,5; f(0,1) = 0; f(0,3) = 0,2 и
f(0,5) = 1.
1
1
2
а) P3 ( x)  x 3  x 2  11x  .
3
7
13
25
73
4
б) P3 ( x)  x 2  x  .
11
12
7
125 3
73
1
в) P3 ( x) 
x  30 x 2  x  .
3
12
2
12. Назовите области применения интерполирования функций.
а) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда приходится вычислять значения функции в промежуточных точках, при этом данная функция задана
в табличном виде и аналитическое выражение функции неизвестно. Интерполирование применяют и в случае, когда аналитический вид функции известен, но сложен и требует большого объема вычислений для определения отдельных значений
функции.
б) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда приходится вычислять производные от функций, заданных таблично, или когда непосредственное
дифференцирование функции затруднительно. Интерполирование применяют и в
случае, когда необходимо вычислить производные от функций, имеющих разрыв
2-го рода.
в) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции.
Интерполирование применяют и в случае, когда необходимо вычислить погрешность функции нескольких переменных при заданных погрешностях аргументов.
13. С какой точностью можно вычислить по интерполяционной формуле Лагранжа
ln 100,5 по известным значениям ln 100, ln 101, ln 102 и ln 103.
а) 4,5∙10-5;
25
б) 6,7∙10-7;
в) 2,3∙10-9.
Тема 3. Численное интегрирование
1. В чем состоит суть методов численного интегрирования функций?
а) Суть состоит в замене подынтегральной функции f(x) вспомогательной, интеграл от которой легко вычисляется в элементарных функциях.
б) Суть состоит в следующем: при заданном числе интервалов разбиения следует
расположить их концы так, чтобы получить наивысшую точность интегрирования.
в) Суть состоит в том, что из подынтегральной функции f(x) выделяют некоторую
функцию g(x), имеющую те же особенности, что функция f(x), элементарно интегрируемую на данном промежутке и такую, чтобы разность f(x)–g(x) имела нужное
число производных.
2. Опишите методику вычисления определенного интеграла по формулам прямоугольников.
а) Отрезок интегрирования [a, b] разбивается на n равных интервалов. В пределах
каждого интервала [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени с узлами xi и xi+1, что соответствует замене кривой на секущую. Интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.
1
б) В квадратурных формулах
n
 f (t ) dt  ci f (ti )  
1
коэффициенты ci и абсцис-
i 1
сы ti подбираются так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей
возможной степени N. При n узлах точно интегрируются все многочлены степени
N ≤ 2n–1. Коэффициенты ci и абсциссы ti находятся из системы 2n-1 нелинейных
уравнений.
в) Отрезок интегрирования [a, b] разбивают на частичные отрезки [xi, xi+1] равной
длины. На каждом отрезке [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется на
постоянную величину f(xi+1/2) (либо f(xi), либо f(xi+1)) и интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.
5
3. Вычислить приближенное значение интеграла
dx
 x по формуле трапеций при
1
n = 4.
а) Значение интеграла = 1,628.
б) Значение интеграла = 1,683.
в) Значение интеграла = 1,647.
4. Определить величину шага h по оценке остаточного члена для вычисления ин1
теграла
dx
1  x2
по формуле трапеций с точностью до 10-2.
0
а) h = 1,49.
б) h = 0,79.
в) h = 0,96.
5. Назовите области применения формул численного интегрирования.
26
а) К численному интегрированию чаще всего прибегают, когда приходится вычислять интегралы от функций, заданных таблично, или когда непосредственное интегрирование функции затруднительно.
б) К численному интегрированию чаще всего прибегают, когда приходится вычислять значения функции в промежуточных точках, при этом данная функция задана в табличном виде и аналитическое выражение функции неизвестно.
в) К численному интегрированию чаще всего прибегают, когда требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции.
6. Назовите достоинства метода Гаусса (метода наивысшей алгебраической точности) вычисления определенного интеграла.
а) Метод Гаусса в ряду других методов численного интегрирования наиболее
прост в понимании и организации вычислительного процесса. При этом есть легко
определяемая оценка погрешности.
б) В методе Гаусса отрезок интегрирования разбивается на n равных интервалов в
отличие от других квадратурных формул, в которых абсциссы xi подбираются исходя из соображений точности и, вообще говоря, являются иррациональными числами.
в) Для функций высокой гладкости при одинаковом числе узлов метод Гаусса дает
значительно более точные результаты, чем другие методы численного интегрирования. При этом для получения одной и той же точности по формуле Гаусса необходимо выполнить меньше операций.
7. Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисления
интеграла с помощью метода двойного пересчета.
а) Общая погрешность вычисления интеграла рассматривается как сумма погрешности усечения s и погрешности округления p. Так как с уменьшением шага расчета h погрешность s убывает, а p возрастает, то существует оптимальный шаг h,
определяемый таким образом, чтобы s составляла примерно половину p.
б) Вычисляют интеграл I по выбранной квадратурной формуле дважды: сначала
интеграл Ih с некоторым шагом h, затем интеграл Ih/2 с шагом h/2, а затем сравнивают их. Если окажется, что I h  I h / 2   , где  – допустимая погрешность, то полагают I ≈ Ih/2. Если же I h  I h / 2   , то расчет повторяют с шагом h/4 и т.д.
в) Пусть требуется вычислить интеграл I с точностью . Используя формулу соответствующего остаточного члена , выбирают шаг h таким, чтобы выполнялось
неравенство ││< /2. Затем вычисляют I по выбранной квадратурной формуле с
полученным шагом. При этом вычисления следует производить с таким числом
знаков, чтобы погрешность округления не превышала /2.
8. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на основании остаточных членов формул.
а) Формула прямоугольников обеспечивает высокую точность при небольшом
числе узлов, чем формулы Симпсона и трапеций, а последние – более точные результаты, чем формула Гаусса. Однако для функции малой гладкости, имеющих
лишь 1-ю или 2-ю производную, а также для функций с разрывами производных
простые формулы интегрирования (Гаусса, трапеции и Симпсона) могут давать
примерно ту же точность, что и формула прямоугольников.
27
б) Для функций имеющих непрерывные производные достаточно высокого порядка при одинаковом числе узлов формула Гаусса дает значительно более точные
результаты, чем формула Симпсона, а последняя – более точные результаты, чем
формулы прямоугольников и трапеций. При этом для получения одной и той же
точности по формуле Гаусса необходимо выполнить меньше операций, чем по
формуле Симпсона, а по последней – меньше, чем по формуле трапеций.
в) Анализ формул численного интегрирования показывает, что для функций высокой гладкости квадратурная формула трапеций является наиболее точной по сравнению с формулами Гаусса и Симпсона). Однако для функций с разрывами производных наиболее точной является более сложная формула прямоугольников.
5
9. Вычислить по формуле трапеций интеграл I  
1
dx
при n = 4 и оценить остаточx
ный член.
a) I = 67/38, │R│ ≤ 0,053;
б) I = 101/60, │R│ ≤ 0,67;
в) I = 65/30, │R│ ≤ 0,94.
Тема 4. Численные методы линейной алгебры
1. Отличие метода Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента от метода
Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
а) Отличие в том, что на очередном шаге реализации метода Гаусса исключается
не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором
является наибольшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента
здесь выбирается главный, т.е. наибольший по модулю элемент.
б) Отличие в том, что на очередном k-ом шаге реализации метода Гаусса исключа( k 1)
ется элемент akk
, называемый главным элементом на k-м шаге исключения.
Тем самым система линейных алгебраических уравнений приводится к треугольному виду.
в) Отличие в том, что на очередном шаге реализации метода Гаусса исключается
не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором
является наименьшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента
здесь выбирается главный, т.е. наименьший по модулю элемент.
2. В чем преимущество метода Зейделя для решения системы линейных алгебраических уравнений перед методом простой итерации?
а) Дает большой выигрыш в точности, так как, во-первых, метод Зейделя существенно уменьшает число умножений и делений, во-вторых, позволяет накапливать сумму произведений без записи промежуточных результатов.
б) Метод Зейделя являются абсолютно сходящимся, т.е. для него нет необходимости вводить достаточные условия сходимости в отличие от метода простой итерации.
в) Обычно данный метод дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации.
Кроме того, метод Зейделя может оказаться более удобным при программирова-
28
нии, так как при вычислении xi( k 1) нет необходимости хранить значения x1( k ) ,
x2( k ) , …, xi(k1) .
3. Для решения систем линейных алгебраических уравнений какого вида разработан метод прогонки?
а) Метод прогонки разработан для решения систем линейных алгебраических
уравнений с разреженной (лишь малая доля элементов матрицы отлична от нуля)
матрицей коэффициентов.
б) Метод прогонки разработан для решения систем линейных алгебраических
уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов.
в) Метод прогонки разработан для решения систем линейных алгебраических
уравнений с апериодической матрицей коэффициентов.
4. Опишите метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
а) В основе данного метода лежит идея последовательного исключения неизвестных. Решение системы распадается на два этапа: 1) прямой ход, когда исходная
система приводится к треугольному виду; 2) полученные коэффициенты при неизвестных и правые части уравнений хранятся в памяти ЭВМ и используются при
осуществлении обратного хода, который заключается в нахождении неизвестных
из системы треугольного вида.
б) Заданная система линейных уравнений каким-либо образом приводится к эквивалентному виду. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационный процесс. При выполнении достаточных условий сходимости получается
последовательность векторов, неограниченно близко приближающихся к точному
решению.
в) Если матрица коэффициентов А невырожденная (определитель этой матрицы не
равен нулю), то исходная система имеет единственное решение. Значения неиз-
вестных могут быть получены по формулам xi 
det Ai
, det Ai и det A - определитеdet A
ли матриц Ai и А соответственно, матрица Ai образуется из матрицы А путем замены ее i-го столбца столбцом свободных членов.
5. Почему метод простой итерации решения систем линейных алгебраических
уравнений называется самоисправляющимся?
а) Потому что для данного метода вводятся достаточные условия сходимости.
б) Потому что отдельная ошибка, допущенная при вычислениях, не отражается на
конечном результате, т.к. ошибочное приближение рассматривается как новый
начальный вектор.
в) Потому что при использовании данного метода строится отдельная процедура,
исправляющая любые ошибки, допущенные при расчетах.
6. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?
а) Данное правило разработано и применимо лишь для решения систем линейных
алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов.
б) Реализация данного метода в виде вычислительной процедуры требует выполнения значительного количества арифметических операций и соответственно
больших затрат машинного времени. Кроме того, он очень чувствителен к ошибкам округления.
29
в) Данный метод дает менее точные результаты, чем другие методы решения систем линейных алгебраических уравнений. При этом требуется выполнение жестких достаточных условий сходимости.
7. Опишите метод Якоби (простой итерации) решения системы линейных алгебраических уравнений.
а) Исходная система линейных алгебраических уравнений записывается в виде,
разрешенном относительно неизвестных; при этом неизвестные появляются и в
правой части. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационная процедура. При выполнении достаточных условий сходимости, получается
последовательность векторов, неорганично приближающихся к точному решению.
Точное решение системы получается лишь в результате бесконечного итерационного процесса и всякий вектор из полученной последовательности является приближенным решением.
б) Находятся определители матриц Ai (det Ai ) и А (det A), где А - матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений, матрица Ai образуется из А
путем замены ее i-го столбца столбцом свободных членов. Если определитель
матрицы коэффициентов А не равен нулю, то исходная система имеет единственное решение и значения неизвестных определяются по формулам
xi  det 2 Ai  det 2 A xi  det 2 Ai  det 2 A .
в) Метод Якоби разработан для решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Исходная система n уравнений приводится к виду xi   i   i xi 1 , (i  1, 2, , n  1) . Числа  i и  i , называемые прогоночными коэффициентами, последовательно находятся в прямом ходе.
При осуществлении обратного хода определяется xn, а затем вычисляются значения xi ( i  n  1, , 1) , последовательно применяя рекуррентные формулы
xi   i   i xi 1 .
Тема 5. Численные методы решения нелинейных уравнений
1. Опишите метод деления отрезка пополам.
а) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 требуется, чтобы на концах интервала [а, b] функция f(x) принимала ненулевые значения противоположного знака. Итерационная процедура состоит в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин предыдущего и обладающему
тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности ε, и в качестве нелинейного корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала.
б) Согласно данному методу общая погрешность вычисления интеграла рассматривается как сумма погрешности усечения s и погрешности округления p. Так
как с уменьшением шага расчета h погрешность s убывает, а p возрастает, то существует оптимальный шаг h, определяемый таким образом, чтобы s составляла
примерно половину p.
в) Строится система равноотстоящих точек xi = x0+i∙h (i = 0, 1, 2,…) при достаточно малом шаге h. Приближенные значения y(xi), являющиеся решением дифференциального уравнения y' = f(x, y), вычисляются последовательно по формулам
yi+1 = yi + h∙f(xi, yi).
30
2. Сколько необходимо проделать итераций, чтобы методом деления отрезка пополам решить нелинейное уравнение y  x 2  0,55 с точностью   0,05 на отрезке
[0,5; 0,9].
а) Потребуется 5 итераций, корень уравнения = 0,74.
б) Потребуется 6 итераций, корень уравнения = 0,76.
в) Потребуется 7 итераций, корень уравнения = 0,75.
3. Опишите методику нахождения корней уравнения f(x) = 0 методом обратного
интерполирования.
а) Рассмотрим функцию y = f(x) и составим таблицу ее значений, близких к нулю.
При этом количество узлов выбираем в зависимости от требуемой точности корня.
В качестве x0 и x1 берем те соседние узлы, для которых f ( x0 )  f ( x1 )  0 , и применяя
метод обратного интерполирования, отыскиваем значение x, при котором y = 0.
б) Рассмотрим интервал [а, b], на концах которого функция f(x) принимает ненулевые значения противоположного знака. Строим итерационную процедуру, состоящую в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с
одной из половин предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной
точности ε, и в качестве корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала.
в) На выбранном интервале строится система равноотстоящих точек xk = x0+k∙h
(k = 0, 1, 2,…) при достаточно малом шаге h. Применяя метод обратного интерполирования, находим значения функции y = f(x) в всех точках xk. Затем методом
простого перебора выбираем наименьшее значение функции y.
4. В чем достоинство и недостаток метода Ньютона нахождения корней нелинейного уравнения?
а) Метод Ньютона весьма быстро сходится, точность каждого приближения в этом
методе пропорциональна квадрату точности предыдущего. Основной недостаток
метода – необходимость достаточно точного начального приближения.
б) Метод Ньютона относится к числу итерационных методов второго порядка и
имеет наибольшую точность нахождения корней нелинейного уравнения. Основной недостаток метода – медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени при решении сложных нелинейных уравнений.
в) Метод Ньютона в ряду итерационных методов нахождения корней нелинейного
уравнения наиболее прост в организации вычислительного процесса. Основной
недостаток метода – достаточно медленная скорость сходимости.
5. Дано уравнение x3  x 2  1  0 . Привести данное уравнение к виду, при котором
выполняются достаточные условия сходимости для метода простой итерации на
отрезке [0,1; 1].
а) x  x  2  3.
б) x  (1  x 3 ) 3x . в) x  1 x  3 .
6. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.
а) Нелинейное уравнение f(x) = 0 на интервале [а, b] заменяется эквивалентным
уравнением x = φ(x). Итерации образуются по правилу xk+1 = φ(xk), (k = 0, 1, …),
31
причем задается начальное приближение x0. Если последовательность чисел xk
имеет предел при k→0, то этот предел является корнем уравнения x = φ(x).
б) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом простой итерации требуется, чтобы на концах интервала [а, b] функция f(x) принимала ненулевые значения противоположного знака. Итерационная процедура состоит в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин
предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда
длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности ε, и в качестве корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала.
в) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом простой итерации требуется, чтобы функция f(x) имела на интервале [а, b] непрерывные производные 1-го и 2-го порядков, сохраняющие на [а, b] постоянный знак. Для начала
вычислений необходимо задание одного начального приближения x0. Последующие приближения определяется по формуле xk+1 = xk – f(xk)/f΄(xk), (k = 0, 1, …).
7. Проведите сравнение методов деления отрезка пополам (ДОП) и Ньютона по
различным критериям (универсальность, скорость сходимости).
а) Метод Ньютона обладает большей универсальностью, чем метод ДОП, т.к. сходимость зависит только от выбора начальной точки. Вычисления методом ДОП
можно начинать лишь с отрезка, на концах которого функция имеет разные знаки,
а внутри этого интервала непрерывные производные 1-го и 2-го порядков. При
решении практических задач не всегда удается проверить выполнение необходимых ограничений на выбор подобного интервала. Однако метод ДОП обладает более высокой скоростью сходимости.
б) Более универсальным является метод ДОП. Он гарантирует получение решения
для любой непрерывной функции f(x), если найден интервал, на котором она меняет знак. Метод Ньютона предъявляет к функции более жесткие требования.
Сходимость метода Ньютона существенно зависит от выбора начальной точки.
При реализации данного метода необходимо предусматривать вычисление производных функции для организации итерационного процесса и проверки условий
сходимости. Важным преимуществом метода Ньютона является высокая скорость
сходимости, обеспечивающая значительную экономию машинного времени при
решении сложных нелинейных уравнений.
в) Методы Ньютона и ДОП имеют одинаковые необходимые и достаточные условия сходимости, поэтому применимы в одинаковых условиях. Однако метод ДОП
обладает линейной скоростью сходимости, поэтому весьма быстро сходится в отличие от метода Ньютона, который обладает лишь квадратичной скоростью сходимости.
8. Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения.
а) На первом этапе левая часть нелинейного уравнения f(x) = 0 аппроксимируется
на интервале [а, b] интерполяционным многочленом Ньютона. На втором этапе,
используя заданное начальное приближение, строится итерационный процесс,
позволяющий уточнить значение отыскиваемого корня.
б) На первом этапе проверяется выполнение достаточных условий сходимости. На
втором этапе нелинейное уравнение заменяется на интервале [а, b] эквивалентным
уравнением. На третьем этапе строится итерационный процесс, позволяющий
определить значение корня нелинейного уравнения.
32
в) На первом этапе изучается расположение корней и проводится их разделение,
т.е. находится какой-либо интервал [a, b] оси Ox, внутри которого находится один
корень, и нет других решений нелинейного уравнения. На втором этапе, используя
заданное начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий
уточнить значение корня нелинейного уравнения.
РАЗДЕЛ 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Тема 6. Конечно-разностные методы решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений
1. Применяя метод Эйлера, численно решить дифференциальное уравнение
y   0,5 x  y с начальным условием y (0)  1 на отрезке [0; 1] с шагом h = 0,2.
а) y(0,2) = 1,0000; y(0,4) = 1,0420; y(0,6) = 1,1952; y(0,8) = 1,3646; y(1,0) = 1,5644.
б) y(0,2) = 1,0200; y(0,4) = 1,0404; y(0,6) = 1,0612; y(0,8) = 1,0942; y(1,0) = 1,1321.
в) y(0,2) = 1,0000; y(0,4) = 1,0200; y(0,6) = 1,0608; y(0,8) = 1,1244; y(1,0) = 1,2144.
2. Оценить погрешность аппроксимации правой разностной производной
y ( xi 1 )  y ( xi ) yi 1  yi
, разложив в ряд Тейлора решение дифференциальной

xi 1  xi
h
задачи в окрестности узла xi (h – шаг разностной сетки).
а) O(h2).
б) O(h).
в) O(h3).
3. Численное решение методом Эйлера задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
а) В методе Эйлера решение y(x) дифференциального уравнения y' = f(x, y)
получается как предел последовательности функций yn(x), которые находятся по
x
реккурентной формуле y n ( x)  y0 
 f x, yn 1 ( x)  dx .
x0
б) Строится система равноотстоящих точек xi = x0+i∙h (i = 0, 1, 2,…). Вычисления
значений y(xi), являющихся решением дифференциального уравнения y' = f(x, y),
проводятся в два этапа. На первом этапе находится промежуточное значение
yi  yi   h f ( xi , yi )
с
шагом
 h,
на
втором
этапе
–
yi 1  yi  (1   ) h f ( xi , yi )   h f ( xi  h, yi ) , где  > 0, σ > 0 – параметры, определяемые из соображений точности.
в) Строится система равноотстоящих точек xi = x0+i∙h (i = 0, 1, 2,…) при достаточно малом шаге h. Приближенные значения y(xi), являющиеся решением дифференциального уравнения y' = f(x, y), вычисляются последовательно по формулам
yi+1 = yi + h∙f(xi, yi).
4. Почему метод Рунге-Кутта называется самостартующим?
а) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления yi+1 нужно
использовать лишь имеющеюся информацию о r предыдущих точках (xi+1, yi+1), (xi1, yi-1),,..., (xi-r , yi-r), (r - шаговый метод).
33
б) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления yi+1 нужно знать лишь одно значение yi и с помощью этого метода можно начинать решение дифференциального уравнения.
в) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. невязка или погрешность
аппроксимации разностной схемы стремится к нулю при измельчении сетки.
5. Оценить погрешность аппроксимации центральной разностной производной
y ( xi 1 )  y ( xi 1 ) yi 1  yi 1
, разложив в ряд Тейлора решение дифференциаль
xi 1  xi 1
2h
ной задачи в окрестности узла xi.
а) O(h3), где h – шаг разностной сетки.
б) O(h2), где h – шаг разностной сетки.
в) O(h/3), где h – шаг разностной сетки.
6. Какой метод численного решения дифференциального уравнения называется
многошаговым?
а) Метод, дающий формулу для вычисления значения функции yi 1  y ( xi 1 ) , являющегося решением дифференциального уравнения, по k предыдущим значениям yi , yi 1 , , yi  k 1 , называется многошаговым, если k = 1.
б) Метод, дающий формулу для вычисления значения функции yi 1  y ( xi 1 ) , являющегося решением дифференциального уравнения, при известном значении yi
и известном шаге h.
в) Метод, дающий формулу для вычисления значения функции yi 1  y ( xi 1 ) , являющегося решением дифференциального уравнения, по k предыдущим значениям yi , yi 1 , , yi  k 1 , называется многошаговым, если k > 1.
7. Применяя метод Эйлера, найти решение обыкновенного дифференциального
уравнения y΄= y – 2x/y на интервале [0; 1] с начальным условием y(0) = 1, выбрав
шаг h = 0,2.
а) y(0,2) = 1,2000; y(0,4) = 1,4205; y(0,6) = 1,9562; y(0,8) = 2,3646; y(1,0) = 3,0644.
б) y(0,2) = 0,9200; y(0,4) = 0,9040; y(0,6) = 0,8612; y(0,8) = 0,7942; y(1,0) = 0,7321.
в) y(0,2) = 1,2000; y(0,4) = 1,3733; y(0,6) = 1,5294; y(0,8) = 1,6786; y(1,0) = 1,8237.
Тема 7. Численное решение краевых задач для обыкновенны
дифференциальных уравнений
1. Сформулируйте краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка y   f ( x, y, y ) .
а) Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка y   f ( x, y, y ) заключается в нахождении функции f ( x, y, y ) , определенной в области D  0  x  X , y  y0  U  и удовлетворяющей в этой области
условию Липшица: f ( x, y1, y)  f ( x, y2 , y)  K y1  y2 , где K = const > 0.
б) Найти функцию y  y (x) , которая внутри отрезка [а, b] удовлетворяет уравнению y   f ( x, y, y ) , а на концах отрезка – краевым условиям: 1  y (a), y (a)  0 ,
 2  y (b), y (b)  0 .
34
в) Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка y   f ( x, y, y ) заключается в отыскании функции y  y (x) , удовлетворяющей этому уравнению и начальным условиям: y ( x0 )  y0 , y ( x0 )  y0 .
2. Опишите сущность разностной аппроксимации задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
а) Исходным пунктом при разностной аппроксимации является вычисление погрешности ε. Полагается, что погрешность ε можно представить в виде интерполяционного полинома n-ой степени. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения ограничен, следовательно, можно взять интеграл Фурье от данного полинома. В таком случае погрешность аппроксимации стремится к нулю
при измельчении разностной сетки.
б) Исходным пунктом при разностной аппроксимации является замена области
непрерывного изменения аргумента некоторым конечным множеством точек, лежащих в этой области (разностная сетка) Эта дискретная модель среды описывается сеточными функциями, которые определены в узлах сетки. Дифференциальное уравнение заменяются соответствующими конечно-разностными соотношениями. В итоге исследуемая задача Коши заменяется, или, как говорят, аппроксимируется системой разностных уравнений – разностной схемой.
в) Заданный отрезок [a, b] заменяется системой частичных отрезков [xi, xi+1] равной длины, называемой разностной сеткой. Расстояние между концами интервала
xi+1 – xi, = h есть единичная длина сетки. На каждом отрезке [xi, xi+1] осуществляется численное решение дифференциального уравнения. Общее решение на [a, b]
вычисляется как сумма частных решений по всем частичным отрезкам.
3. Оценить погрешность аппроксимации левой разностной производной
y ( xi )  y ( xi 1 ) yi  yi 1

, разложив в ряд Тейлора решение дифференциальной
xi  xi 1
h
задачи в окрестности узла xi (h – шаг разностной сетки).
а) O(h). б) O(h2). в) O(h3).
4. Опишите построение разностной схемы для численного решения обыкновенного дифференциального уравнения.
а) Область непрерывного изменения аргумента заменяется некоторым конечным
множеством точек, лежащих в этой области. Это множество называется разностной сеткой. Для одномерной задачи примером пространственной разностной сетки
являются совокупность точек разбиения отрезка на N частей. Точки деления xi отрезка называют узлами сетки. Расстояние между узлами xi+1 – xi = h есть шаг сетки.
б) Заданный отрезок [a, b] заменяется системой частичных отрезков [xi, xi+1] равной длины, называемой разностной сеткой. Расстояние между концами интервала
xi+1 – xi, = h есть единичная длина сетки. На каждом отрезке [xi, xi+1] осуществляется численное решение дифференциального уравнения.
в) Пусть для некоторого множества точек x0, x1, …, xn исходной области известны
табличные значения функции y = f(x), являющейся решением дифференциального
уравнения. Данное множество значений функции y0, y1, …, yn, называемых узлами,
есть разностная сетка. Расстояние между узлами yi+1 – yi = h называется шагом сетки.
5. В чем достоинство неявных методов решения дифференциальных уравнений?
35
а) В том, что неявные методы в большинстве случаев абсолютно устойчивы.
б) В том, что неявные методы в большинстве случаев являются более простыми в
реализации в виде программного продукта.
в) В том, что неявные методы не требуют на каждом шаге решения нелинейного
уравнения.
6. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.
а) Сеточная функция yi есть функция дискретного аргумента, решение дифференциальной задачи u – функция непрерывного аргумента. Они принадлежат разным
функциональным пространствам. О близости решений разностной и дифференциальной задач говорят в том случае, когда величина нормы u ( xi )  yi в пространстве сеточных функций неограниченно уменьшается при шаге разностной сетки
h→0.
б) Рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x, y) с
начальным условием y(x0) = y0. Выбрав достаточно малый шаг h, строят систему
равноотстоящих точек (разностную сетку) xi = x0+i∙h. При этом приближенные
значения y(xi) вычисляются последовательно по формулам yi+1 = yi + h∙f(xi, yi).
в) При определении разностной производной вместо отношения бесконечно малых ограничиваются отношением конечных разностей, т.к. для функции дискретного аргумента на фиксированной сетке понятие предельного перехода при
нахождении производной теряет смысл. При этом разностный оператор Lh аппроксимирует дифференциальный оператор L с порядком n0 в точке xi, если для погрешности аппроксимации имеет место  i   ( xi )  Lh u  Lu x  x  O(h n ) или
i
  M  h , где M = const > 0 не зависит от шага разностной сетки h.
n
7. Какая конечно-разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой)?
а) Если отдельная погрешность округления растет (не растет), то разностная схема
называется слабо неустойчивой (устойчивой).
б) Если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится к нулю
(единице), то разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой).
в) Если полная погрешность округления растет (не растет), то разностная схема
называется слабо неустойчивой (устойчивой).
Тема 8. Обзор методов решения уравнений в частных производных
1. Какая конечно-разностная схема, аппроксимирующая дифференциальное уравнение в частных производных, называется согласованной?
а) Согласованной называется разностная схема, аппроксимирующая уравнение в
частных производных, если при измельчении сетки погрешность аппроксимации
стремится к нулю.
б) Разностная схема называется согласованной, если на каждом шаге по маршевой
координате любая ошибка не возрастает при переходе от одного шага к другому.
в) Согласованной схемой называется разностная схема, обеспечивающая точное
выполнение законов сохранения (исключая погрешности округления) на любой
сетке в конечной области, содержащей произвольное число узлов разностной сетки.
36
2. Какая задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной?
а) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если выполняются условия устойчивости и согласованности.
б) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если она имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начальных и
граничных условий.
в) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если начальные и граничные условия определены и непрерывны в заданной
области.
3. Физический смысл условия Куранта-Фридлихса-Леви.
а) Область зависимости аналитического решения гиперболического уравнения в
частных производных должна лежать внутри области зависимости численного
решения.
б) Отличительной особенностью условия Куранта-Фридлихса-Леви является то,
что оно обеспечивает «баланс» физической величины в окрестности узла разностной сетки, т.к. учитывает дискретный характер решения поставленной задачи.
в) Тангенс угла наклона прямых, соединяющих узлы разностной сетки (j±1, n) и
(j, n+1), по абсолютной величине должен быть больше тангенса угла наклона характеристик гиперболического уравнения в частных производных.
4. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных эллиптического типа?
а) Уравнения в частных производных эллиптического типа обычно описывают
установившиеся процессы.
б) Уравнения в частных производных эллиптического типа обычно описывают одномерные динамические процессы.
в) Уравнения в частных производных эллиптического типа обычно описывают неустановившиеся процессы, но зона зависимости их решений в отличие от гиперболических уравнений не ограничена.
5. Укажите методы построения конечно-разностных схем, аппроксимирующих
дифференциальное уравнение в частных производных.
а) Методы: 1) разложение функций в ряд Фурье; 2) дифференциальный метод; 4)
метод конечного объема.
б) Методы: 1) разложение функций в ряд Тейлора; 2) интерполяция функций полиномами; 3) интегральный метод; 4) метод контрольного объема.
в) Методы: 1) простой явный метод Эйлера; 2) метод Лакса-Вендроффа; 3) метод
использования разностей против потока; 4) метод Кранка-Николсона.
6. Дайте определение маршевой задачи для уравнений в частных производных.
а) Задача называется маршевой, если решение уравнения в частных производных
внутри некоторой области определяется лишь условиями на границе этой области.
б) Задача называется маршевой, если на границе области задана линейная комбинация искомой функции и ее производной по нормали к границе.
в) Маршевой называется задача, в которой требуется найти решение уравнения в
частных производных в незамкнутой области при заданных граничных и начальных условиях.
7. Приведите условие Куранта-Фридрихса-Леви.
37
а)   c t x  1 .
б)    t  x   1/ 2 .
2
в)   c2 x  t   1 .
2
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Источники и виды погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности.
2. Интерполирование функции многочленами Лагранжа.
3. Интерполяционные формулы Ньютона.
4. Интерполирование сплайн-функциями.
5. Метод наименьших квадратов.
6. Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников.
7. Вычисление определенного интеграла по формуле трапеции.
8. Вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона.
9. Квадратурные формулы интерполяционного типа.
10.Метод Рунге апостериорной оценки погрешности вычисления определенного
интеграла.
11.Метод Гаусса вычисления определенного интеграла.
12.Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
13.Решение системы линейных алгебраических уравнений специального вида методом прогонки.
14.Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Якоби (простой итерации).
15.Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.
16.Метод деления отрезка пополам.
17.Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.
18.Метод Ньютона нахождения корней нелинейного уравнения.
19.Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения первого порядка. Постановка исходной задачи.
20.Построение разностной схемы для численного решения обыкновенного дифференциального уравнения.
21.Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.
22.Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом
Эйлера.
23.Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта второго порядка.
24.Общая формулировка методов Рунге-Кутта для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Семейство методов третьего и четвертого порядков.
25.Общая формулировка многошаговых методов для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
26.Метод Адамса решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения.
27.Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения. Постановка
задачи.
28.Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
38
29.Аналитические методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
30.Методы построения конечно-разностных схем, аппроксимирующих дифференциальное уравнение в частных производных
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Литература
основная:
1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Издатель Численные методы:
БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012-636с.
2. Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). Учебное пособие Издатель: Директ-Медиа,
2013-400с.
3. Мусакаев Н.Г. Численные методы. УМК. Тюмень:ТГАМЭУП, 2007.-36с.
4. Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике. Учебное
пособие. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2006.
5. Протасов И.Д. Лекции по вычислительной математике. – М.: Гелиос АРВ, 2004.
6. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. – М.: Физматлит, 2005.
7. Формалев В.Д., Ревизников Д.Л. Численные методы. – М.: Физматлит, 2006.
дополнительная:
8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Н. Численные методы. – М.: Лаборатория
базовых знаний, 2002.
9. Бабенко К.И. Основы численного анализа. – М.: Наука, 1986.
10. Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической
физики. – М.: Изд-во Н.Э. Баумана, 2001.
11. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. – М.: Наука, 1977.
12. Измаилов А.Ф. Численные методы оптимизации. – М.: Физматлит, 2005.
13. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.:
Наука, 1972.
14. Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике. – М.: Физматлит, 2000.
15. Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. – М.: МЗПресс, 2006.
16. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения. – М.: Наука, 1986.
17. Романко В.К. Разностные уравнения. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2006.
18. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. – М.: Физматлит, 2000.
19. Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Наука, 1987.
20. Сборник задач по методам вычислений. Под ред. Монастырного П.И. – Минск: Издво БГУ, 1983.
21. Уткин В.Б., Балдин К.В., Рукосуев А.В. Математика и информатика. – М.: Дашков и
К, 2006.
Журналы
1. Алгоритмы и программы.
2. Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика.
3. Вычислительные технологии.
4. Журнал вычислительной математики и математической физики.
5. Математическое моделирование.
39
6. Прикладная математика и механика.
7. Программирование.
8. Сибирский журнал вычислительной математики.
9. Экономика и математические методы.
10. Mathematical Programming.
Электронные ресурсы
1.
2.
3.
4.
http://www.inm.ras.ru
http://www-psb.ad-sbras.nsc.ru
http://www.exponenta.ru
http:// www.cmc.msu.ru
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Лекционные занятия по дисциплине «Численные методы» проводятся на основе материалов, представленных в рабочей учебной программе и другой литературе. На практических занятиях используются тестовые и практические задания
настоящей РУП. Практические занятия по дисциплине «Численные методы» требуют аудиторий, обеспеченных компьютерной техникой с возможностью выхода в
Интернет, лекционные занятия проводятся с использованием проекторов.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Цели освоения дисциплины ........................................................................................3
2. Место дисциплины в структуре ооп бакалавриата ..................................................3
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины......................................................................................................3
4. Структура и содержание дисциплины «численные методы» .................................5
5. Образовательные технологии .....................................................................................8
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов..............9
7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины..............................................................11
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины .................39
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины ...........................................40
40