C4 Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8

C4
1. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок,
соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25.
Прямые AB и CD пересекаются в точке М. Найдите радиус окружности, вписанной
в треугольник ВМС.
О т в е т : 4; 6.
2. Расстояние между параллельными прямыми равно 6. На одной из них лежит
вершина C, на другой — основание AB равнобедренного треугольника ABC.
Известно, что
Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из
которых писана в треугольник ABC, а вторая касается данных параллельных
прямых и боковой стороны треугольника ABC.
. Ответ:
или
3. Точка лежит
на
отрезке
точка удаленная от точек
Найдите площадь треугольника
На
окружности
с
диаметром
взята
и на расстояния 40, 29 и 30 соответственно.
Ответ:
4. В
прямоугольнике ABCD со
сторонами AB =
4
и BC =
10
на
стороне AD расположены точки M и N таким образом, что DM = 4, при этом P —
точка пересечения прямых BN и CM. Площадь треугольника MNP равна 1. Найдите
длину отрезка, соединяющего точки M и N.
Ответ: 2 или 2,5.
5. Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в окружность.
Прямые АВ и DC пересекаются в точке М. Найдите площадь четырехугольника,
если известно, что
и радиусы окружностей, вписанных в
треугольники ВМС и AMD равны соответственно r и R
Ответ:
6. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от
него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус
окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен
12, а косинус острого угла равен .
Ответ: 8 или 9.
7. Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного
между точками касания, если радиусы окружностей раины 23 и 7, а расстояние
между центрами окружностей равно 34
Ответ: 30 или 16.
8. Дан треугольник АВС. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ,
площадь которого равна 14, ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD.
Найдите
площадь
треугольника АВС,
если
известно,
что
и
Ответ: 25 или 39.
9. Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отрезок,
соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5.
Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник ALM
Ответ: 2; 5.
10. Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника,
отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите
радиус окружности, если отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен
6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно .
Ответ: или .
11. В
треугольнике ABC
,
,
.
Точка D лежит
на
прямой BC причем
. Окружности, вписанные в каждый из
треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину
отрезка EF.
Ответ: или .
12. Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках А и В. Найдите расстояние
между центрами окружностей, если АВ = 16.
Ответ: 21 и 9.
13. Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине
равен . Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на
боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон
вдвое больше другой.
Ответ: 512 или 800.
14. Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4, касаются внешним образом.
Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и
их общей внешней касательной.
Ответ: : 3;
..
15. Дан прямоугольный треугольник
с катетами
и
С центром в
вершине проведена окружность радиуса 13. Найдите радиус окружности,
вписанной в угол
и касающейся окружности
Ответ:
или
16. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус
вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности,
касающейся стороны треугольника и продолжении двух его сторон.
Ответ: 9 или 36.
17. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от
него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус
окружности, если oтрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен
40, а отношение катетов треугольника равно
Ответ: 25 или 32.
18. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от
него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус
окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен
14, а отношение катетов треугольника равно
.
Ответ: 8 или 12,25.
19.
Ответ:
20.
Ответ: 1 или 7
21.
Ответ:
22. Дана окружность и точка М. Точки А и В лежат на окружности, причём Аближайшая к М точка окружности, а В - наиболее удалённая от М точка
окружности. Найдите радиус окружности, если МА=а, и МВ=b.
ва
ва
или
Ответ:
2
2
23. В параллелограмме АВСD известны стороны АВ = а, ВС = b и BAD   . Найдите
расстояние между центрами окружности, описанных около треугольников ВСD и
DАВ.
Ответ:
а 2  в 2  2авсos ctg
24. В треугольнике АВС проведены высоты ВМ и СN, О -центр окружности,
касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Известно, что ВС=12,
МN=6. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС.
Ответ: 4 3или12
25. Дана трапеция АВСD с боковыми сторонами АВ=36, СD=34 и верхним основанием
1
ВС=10. Известно, что cos ABC   . Найдите ВD.
3
Ответ: 8 19или36
26.
27.
28.
29.