Авторы: Батаева Анна, Демендеева Анастасия 8 класс.

Авторы: Батаева Анна, Демендеева Анастасия 8 класс.
Руководитель: Гуленкина Валентина Васильевна, учитель математики.
Тема: Задачи из «Путешествий Гулливера».
Образовательное учреждение: МОУ «Песочнодубровская средняя общеобразовательная школа», Кожевниковского района.
Используемые медиаресурсы: текстовый редактор WORD, табличный редактор EXCEL, ресурсы сети Интернет.
1. Актуальность исследования (почему данная тема взята авторами для исследования?)
Когда в начале учебного года в кабинете математики были вывешены темы проектов и исследований, нас привлекла тема «Задачи из «Путешествий Гулливера».
Читая роман Джонатана Свифта «Путешествия Гулливера» в младших классах, мы
обратили внимание на то, что самые удивительные страницы романа те, где автор
описывает необычайные приключения героя в стране крошечных лилипутов и в
стране великанов – «бробдингнегов». А отражения математических знаний в романе
даже не заметили. Обратились за консультацией к учителю математики. Оказалось,
что в художественной литературе можно найти немало примеров использования математических знаний в самых различных ситуациях. Прекрасной иллюстрацией к
законам математики служит как раз одно из самых известных и часто цитируемых
произведений – это роман Д. Свифта «Путешествия Гулливера». Чтобы убедиться в
этом, надо было перечитать роман и посмотреть на любимую книгу глазами математика. Оказалось, что описанный Свифтом мир лилипутов и великанов подобен миру
главного героя. В этом нам стоит убедиться самим.
2. Определение предмета исследования (Что подлежит исследованию?)
Перечитывая роман, больше внимания стали обращать на цифры, которые даны
автором чуть ли не на каждой странице, задумываться над ними и над утверждениями автора. Мы выбрали наиболее интересные и значимые факты из романа, поставили к ним вопросы и получили на их основе задачи, которые назвали задачами из
«Путешествий Гулливера». Эта работа увлекла не только нас, но и наш класс. Получился сборник задач, который является конечным продуктом нашего исследования. Он содержит более 20 задач, составленных по расчётам автора. Некоторые из
них послужили предметом исследования.
3. Формулировка проблемы (В чём заключается проблема? На какие вопросы
предстоит ответить?)
Уже на первых страницах романа встречаем отражение математических знаний.
«Средний рост туземцев немного меньше шести дюймов, и ему точно соответствует рост как животных, так и растений: например, лошади и быки не бывают там выше четырёх или пяти дюймов, а овцы выше полутора дюймов; гуси
равняются нашему воробью, и так далее вплоть до самых крохотных созданий… Самые высокие деревья в лилипутии не более семи футов…»
Перед нами стала проблема:
1
– Насколько точны расчёты самого Свифта, которому приходилось их давать едва ли не на каждой странице романа?
– Все ли его утверждения рассчитаны по правилам математики?
– Используются ли автором научные знания в процессе написания романа?
4. Выдвижение гипотезы (Каким может быть предположительный ответ?)
Гипотеза исследования связана с предположением, что все утверждения автора
верны и рассчитаны по законам математики.
Поэтому, целью исследования стало: на конкретных примерах и простых математических выкладках доказать или опровергнуть гипотезу.
5. Проверка гипотезы.
Данный раздел состоит из двух частей. В первой части – знакомство с английскими мерами длины и с особенностями стран, в которых побывал герой. Во второй
части – анализ некоторых количественных расчётов автора и сопоставление их с
научными результатами.
Автор «Путешествий» – англичанин, и в романе использованы английские меры
длины. Поэтому, чтобы работать над исследованием, необходимо изучить их.
Справочный материал.
Английские меры длины.
1 миля = 1760 ярдов ≈ 1 км. 609 м. (1,609 км.)
1 ярд = 3 фута = 91 см. 4 мм. (91,4 см.)
1 фут = 12 дюймов ≈ 30 см 5 мм. (30,5 см.)
1 дюйм = 12 линий = 2 см. 5 мм. (2,5 см.)
В качестве методов исследования выбраны:
1. Изучение и анализ теоретического и исследовательского материала по данной
проблеме.
2. Методы опытного получения данных:
 Эксперимент;
 Опрос;
 Беседа;
 Экскурсии.
3. Методы математической и статистической обработки.
В третьей главе романа автор знакомит героя, как производились расчёты в
стране лилипутов.
"…Я спросил у одного моего придворного друга, каким образом была установлена
такая точная цифра. Он ответил, что математике его величества, определив
при помощи квадранта (старинный астрономический инструмент для определения высоты небесных светил, главным образом, Солнца) мой рост и найдя,
что я в 12 раз выше лилипута… ".
Почему автор «Путешествий» избрал именно число 12? Легко понять, что это есть
отношение фута к дюйму. Значит, в стране лилипутов размеры – высота, ширина,
толщина всех людей, животных, растений, вещей были в 12 раз меньше, чем у нас. В
стране великанов наоборот, в 12 раз больше нормальных вещей. Из романа узнаём,
что лилипуты (великаны) представляют собой точное, хотя уменьшенное (увели2
ченное) подобие обыкновенных людей. Следовательно, лилипуты были в 12 раз ниже ростом, в 12 раз уже и в 12 раз тоньше Гулливера. Поэтому, площадь в стране
лилипутов уменьшается в 12  12 = 144 раза, а объём в 12  12  12 = 1728 раз. Так
как масса и объём находятся в прямо пропорциональной зависимости, то и масса в
стране лилипутов в 1728 раз меньше массы нормального человека. В стране великанов наоборот – линейные размеры увеличиваются в 12 раз, площадь в 144 раза, объём и масса в 1728 раз.
В 12 раз меньше, в 12 раз больше – как будто не очень значительное уменьшение и
увеличение. Однако, отличие природы и обстановка жизни в этих фантастических
странах от тех, каким мы привыкли, оказались поразительными. Покажем это на
примерах.
5.1 Уже на первых страницах романа читаем:
"…я различал перед собой человека ростом не более 6 дюймов…"
Определить рост лилипута и проверить правильность расчетов.
(6 ∙ 2,5 = 15 (см.)– рост лилипута.)
По статистическим данным средний рост человека у нас приближённо равен
180 см. Рост лилипута в 12 раз меньше 180 : 12 = 15(см.) Значит, расчеты сделаны верно.)
5.2 Понадобилось полторы тысячи самых крупных лошадей из придворных
конюшен каждая вышиной в 4,5 дюйма, чтобы довести меня до столицы." –
рассказывает Гулливер.
1500 лошадей? Не много ли для этой цели?
(Масса тела лилипутов в 1728 раз меньше массы обыкновенных людей. Перевести
тело Гулливера на лошадях, значит перевести 1728 взрослых лилипутов. Отсюда
понятно, почему автор ставит в повозку с Гулливером 1500 лилипутских лошадей.)
5.3 В главе 8 автор пишет, что, возвращаясь на свою родину "взял с собой шесть
живых коров, двух быков, и столько же овец с баранами, чтобы привести их к
себе на родину и заняться их разведением".
И дальше "…рассовав коров и овец по карманам, я вошел на борт корабля со всем
своим небольшим грузом". Возможно ли это?
Чтобы доказать эти утверждения автора, понадобились дополнительные знания: как
узнать массу коровы? За ответом пошли на ферму ЗАО «Дубровское». Узнали, что
PL
массу коровы можно найти по формуле m =
где Р – обхват туловища за лопат50
ками (в сантиметрах), L – расстояние от передней ноги до хвоста. Заведующая фермой показала, как правильно сделать измерения. Измерив три коровы, узнали среднюю массу одной коровы:
3
1
2
3
Р
207
172
197
L
137
149
150
M
567
512
591
(Средняя масса нашей коровы 550 кг. А вес лилипутской коровы в 1728 раз меньше.
550 : 1728 = 0,32 (кг). = 320 г.
Наша корова имеет высоту 1,5 м. Корова лилипутов была ростом
150 : 12 = 12,5(см).
Такую игрушечную корову можно поместить в карман. Прав автор, когда пишет,
что шесть коров, два быка, шесть овец и два барана, Гулливер рассовал по карманам.
Нетрудно убедиться, что это составляет менее 3 кг.)
5.4
В главе второй автор говорит, что для прокормления Гулливера, каждый день
на рассвете доставляли "шесть быков, сорок баранов и другую провизию…"
Правдоподобен ли этот рассказ?
(В беседе с животноводами и населением выяснили, что вес обычной бычьей туши
равен примерно 200 кг, а вес бараньей туши 30 кг.
6 ·200 + 40 ·30 = 2400 (кг). В Лилипутии такое количество весило бы
2400 : 1728 ≈1,4 (кг). Нормальный же человек в день съедает 500 г. мяса. Значит,
рассказ не вполне правдоподобен).
5.5 В главе третьей герой отмечает: "…в последнем пункте условий моего освобождения император дает обещание выдавать мне еду и питье в количестве,
достаточном для прокормления 1724 лилипутов"
Из какого расчета назначили лилипуты такой огромный паек? Какова точность вычислений?
(Объём тела Гулливера в 1728 раз больше объёма тела лилипутов, т.е. ему нужен
паек, достаточный для прокормления 1728 лилипутов. Точность расчётов:
4
1
1728 – 1724 = 4;
≈ 0, 0023 = 0,23% – ошибка расчётов крайне мала).

1728 432
5.6
О том, как лилипуты приготовили ложе своему гостю великану, читаем в
"Путешествиях Гулливера" следующее: "…По специальному приказанию императора для меня изготовили матрац и другие постельные принадлежности. Привезли 600 тюфяков, обыкновенных лилипутских размеров, и в моем доме началась работа. Сто пятьдесят штук были сшиты вместе, и таким образом получился один матрац, подходящий для меня в длину и в ширину: четыре таких
матраца положили один на другой; но твердый каменный пол, на котором я
спал, не стал от этого намного мягче. (глава 2).
Почему же Гулливеру было на этой постели так жестко?
И правилен ли приведенный здесь расчёт?
( Поверхность лилипутского матраца в 144 раза меньше поверхности нашего матраца. Чтобы улечься Гулливеру нужно было 144 лилипутских тюфяков. А всего для
4
изготовления матраца для Гулливера пошло 144 ×4 = 576 тюфяков. Ошибка в рас24
чётах: 600 – 576 = 24,
 0,04 = 4%.
600
Измерения показали, что средняя толщина нашего матраца 8 см = 80 мм. Толщина
лилипутского тюфяка 80 : 12 = 6,6(мм.) ≈ 7 (мм.)
Теперь понятно, что даже 4 слоя подобных тюфяков не представляли достаточно
мягкого ложа: получился тюфяк втрое тоньше нашего обыкновенного:
6,6 ∙ 4 = 26,4 (мм) = 2,6 (см). Лежать на матраце толщиной в 3 см Гулливеру было
не совсем удобно).
5.7"…Тремстам портным было поручено сшить мне костюм…"
Неужели нужна такая армия портных, чтобы сшить один костюм для человека,
ростом всего в дюжину раз больше лилипутского?
(Поверхность Гулливера была в 144 раза больше поверхности лилипута. Т.е. каждому квадратному дюйму поверхности лилипута соответствует квадратный фут
поверхности тела Гулливера, а в квадратном футе содержится 144 квадратных
дюйма. Значит, на костюм Гулливера должно пойти в 144 раза больше сукна, чем
на костюм лилипута, и, значит соответственно и больше рабочего времени.
Выяснили, что один портной может сшить костюм за 2 дня, то, чтобы сшить в
один день 144 костюма (или один костюм Гулливера)могло понадобиться около 300
портных)
В другом месте автор пишет: " Чтобы белошвейки могли снять с меня мерку,
я лег на землю. Одна швея стала около моей шеи, другая около колена; они держали за концы туго натянутую веревку; третья же смерила длину веревки линейкой в один дюйм. Затем они смерили большой палец правой руки. Больше им
ничего не было нужно. Зная, что окружность кисти в два раза больше окружности большого пальца, а окружность шеи вдвое больше окружности кисти, они
сшили мне белье как раз по росту. "
Верно ли утверждение автора, что отношение окружности кисти к окружности
большого пальца и отношение окружности шеи к окружности кисти равно 2?
В таблице приведены данные измерений участников эксперимента.
Участники
эксперимента
Длина
окружности
большого пальца
Длина
окружности
кисти
Длина
окружности
шеи
1
7
17
34
2
7
15
28
3
5
13
26
4
5
17
30
5
7
20
38
6
7
14
28
5
Из таблицы видно, рассуждения автора, что отношение окружности кисти к
окружности большого пальца и отношение окружности шеи к окружности кисти
равно 2, выполняется не у каждого участника эксперимента.
5.8 "Насытившись, я сделал знак, что хочу пить. Это был смышленый и изобретательный народец. По количеству, съеденному мной они заключили, что
малым меня не удовлетворить, и необычно ловко тащили на меня с помощью
веревок одну из самых больших бочек с вином, подкатили ее к моей руке и вышибли дно. И я выпил ее залпом. Они принесли мне вторую бочку, которую я
осушил таким же образом, и знаками потребовал еще, но больше у них не оказалось".
В другом месте Гулливер говорит о ведрах лилипутов, что они были "не больше
нашего наперстка".
Такие крошечные бочки и ведра могли ли быть в стране, где все предметы
меньше нормальных в 12 раз?
(Если бочки и вёдра лилипутов, имели такую же форму как наши, они должны
быть меньше наших в 12 раз не только по высоте, но и по ширине и длине, а следовательно по объему меньше в 1728 раз. Считая, что в одном стакане – 200 г., в
одном литре – 5 стаканов, в одном ведре – 60 стаканов, мы рассчитаем, что вед60
ро лилипутов вмещало
или, круглым числом, 1/30 стакана или 6,7 г. Одна чай1728
ная ложка вмещает 6 г. Это подтверждает, что ведро лилипутов не превышает
нашего крупного напёрстка. Если считать, что в бочке 10 вёдер, тогда бочка лилипутов содержит 10 ∙ 6,7 = 67 (г). Это меньше, чем наши полстакана. Поэтому,
Гулливер не мог утолить жажду даже двумя такими бочками.)
Не менее интересные и увлекательные происшествия случаются с главным героем и в "Путешествиях в Бробдингнег" (страну великанов), где английскому дюйму
соответствовал фут, т.е. все люди, животные, растения и вещи в 12 раз больше, чем
нормальные
5.9 "Один раз, — читаем мы в "Путешествиях Гулливера к великанам", — с нами
отправился в сад придворный карлик. Улучив момент, когда я, прохаживаясь,
очутился под одним из деревьев, он ухватился за ветку и встряхнул ее над
моей головой. Град яблок, величиной с хороший бочонок, шумно посыпался на
землю; одно ударило меня в спину и сшибло с ног"...
Сколько же весило яблоко в стране великанов, чтобы Гулливеру пришлось пролежать в постели несколько дней – так сильно оно его ушибло?
(Яблоко, которое весит у нас около 100 г, должно было в стране великанов весить,
соответственно своему объему, в 1728 раз больше, то есть100 ∙1728 ≈ 173 (кг).
Такое яблоко, упав с дерева и ударив человека в спину, едва ли оставит его в живых. Гулливер отделался чересчур легко от угрожавшей ему опасности быть раздавленным подобным грузом.)
6
5.10 И когда в другом месте Гулливер рассказывает, что обыкновенный град в
стране великанов мгновенно повалил его на землю и что градины его "жестоко
колотили по спине, по бокам и по всему телу, словно большие деревянные шары,
какими играют в крокет", то это вполне правдоподобно, потому что каждая градина страны великанов должна весить не меньше килограмма.
(Эксперимент показал, что средний вес градины равен 0,6 г. Градина в стране великанов весила бы 1,036 кг.).
Немного неточен автор, когда пишет, что Гулливер «измерил и взвесил несколько
градин и убедился, что они в тысячу восемьсот раз больше и тяжелее тех, которые ему приходилось видеть в других странах»
Верное утверждение в 1728 раз!
5.11 В другой раз "какой-то каверзный школьник запустил орехом прямо мне
в голову и едва не попал, — а брошен был орех с такой силой, что неминуемо
размозжил бы мне череп, так, как был немногим меньше нашей небольшой
тыквы".
Верно ли утверждение автора?
(Измерения показали, что орех, взятый для исследования, весил 2 г. Длина его
окружности 6,3 см. По формуле С = πd вычислим длину ореха в поперечнике: d
= 6,3 : 3,14 ≈ 2 (см). Орех в стране великанов весил бы 2 ∙ 1728 ≈ 3,5 (кг). В поперечнике его длина равна 2 ·12 = 24 (см).
Значит, прав автор, когда писал, что орех неминуемо должен был размозжить
голову человеку нормальных размеров).
5.12 В числе предметов, вывезенных Гулливером из страны великанов, было, говорит он, "золотое кольцо, которое королева сама мне подарила, милостиво сняв
его с своего мизинца и накинув мне через голову на шею, как ожерелье".
Возможно ли, чтобы колечко с мизинца, хотя бы и великанши, годилось Гулливеру как ожерелье? И сколько примерно должно было такое кольцо весить?
(Достаточно измерить у себя длину окружности мизинца и длину окружности
головы, чтобы получить ответ на данный вопрос. Формулы, которые используются в данных расчётах: Сн = πdн; dн = Сн : π; DВ = 12dн; Св = πDВ.
Длина попеДлина
Окружность
Длина
Длина поперечника ми- окружности головы "ГулСписок
окружности речника мизинца вели- кольца веливеров"
учащихся
мизинца
зинца
канши
ликанши
учащихся
Сн (см)
dн (см)
Dв (см)
CВ (см)
(см)
Батаева А.
5
1,5
18
56.5
56
Осипова З.
4
55
Афанасьева
6
53
С.
7
( Расчёты показали, что поперечник мизинца человека нормальных размеров около
1,5 см. Умножив на 12, имеем поперечник кольца великанши 1,5 × 12=18 см;
1
кольцо с таким просветом имеет окружность 18 × 3 = 56,5 см.
7
Это достаточные размеры, чтобы возможно было просунуть через него голову
нормальной величины (в чём легко убедиться, измерив окружность головы в самом
широком месте.
Что касается веса такого кольца, то обыкновенное колечко, с которым мы работали весит 5 г. Кольцо такого же фасона в стране великанов должно весить
5 ∙1728 = 8640 (г.) = 8,64 кг.)
Вывод: Колечко с мизинца великанши годилось Гулливеру как ожерелье,
5.13 О книгах в стране великанов Гулливер сообщает такие подробности:
"Мне разрешено было брать из библиотеки книги для чтения, но для того,
чтобы я мог их читать, пришлось соорудить целое приспособление. Столяр
сделал для меня деревянную лестницу, которую можно было переносить с места на место. Она имела 25 футов в вышину, а длина каждой ступеньки достигала 50 футов. Когда я выражал желание почитать, мою лестницу
устанавливали футах в десяти от стены, повернув к ней ступеньками, а на
пол ставили раскрытую книгу, прислонив ее к стене.
Я взбирался на верхнюю ступеньку и начинал читать с верхней строки, переходя слева направо и обратно шагов на 8 или на 10, смотря по длине строк. По
мере того как чтение подвигалось вперед и строки приходились все ниже и
ниже уровня моих глаз, я постепенно спускался на вторую ступеньку, на
третью и т. д. Дочитав до конца страницы, я снова поднимался вверх и
начинал новую страницу таким же манером. Листы я переворачивал обеими
руками, что было нетрудно, так как бумага, на которой у них печатают
книги, не толще нашего картона, а самые большие их фолианты имеют не
более 18—20 футов в длину". Соразмерно ли все это?
(Для поверки данных расчётов было взято две книги. Первая книга имеет размеры:
ширина – 13 см, высота – 20 см. В ней 500 страниц. Ее вес 430 г. Такая книга в
стране великанов имела бы высоту 12 × 20 = 240 (см.) = 2,4 м, ширину – 156 см.
Чтобы читать книгу менее 3 м вышины и полутора метра ширины, можно обойтись без лестницы, и нет надобности ходить вправо и влево на 8 — 10 шагов. Но
во времена Свифта, в начале XVIII века, обычный формат книг (фолиантов) был гораздо больше, чем теперь.
8
Вторая книга имеет высоту – 33 см., ширину – 20 см. Размеры подобной книги
страны великанов 369 см. и 240 см. Читать 4-метровую книгу без лестницы нельзя.
А ведь это еще не настоящий фолиант, имеющий размер большого газетного листа.
Расчёты показали, что вес одной страницы первой книги равен 1,6 г(430 : 250) .
Увеличивая массу в 1728 раз, получим, что в стране великанов лист имеет массу
2765 г. ≈ 3 кг. — груз для пальцев руки, обременительный).
Поэтому прав Гулливер, когда говорил: "Листы я переворачивал обеими руками, что было нетрудно".
Подобным образом можно исследовать и другие утверждения автора.
6. Интерпретация (объяснения) результатов. Возможные выводы.
В результате проверок расчётов и утверждений автора романа гипотеза подтвердилась. Мы видим, что у Свифта в «Путешествиях Гулливера» все, казалось
бы, столь причудливые образы его фантазии добросовестно рассчитаны по правилам математики, несмотря на незначительные неточности в расчётах.
Практическая значимость проекта и его конечного продукта – сборника «Задачи из «Путешествий Гулливера» актуальна. Сборник задач отпечатан в ООО
«Кожевниковская типография», тираж 15 экземпляров, страниц 39, ч/б иллюстрации. В данное пособие включено более 20 задач, составленных по данным
автором романа утверждений. Пособие адресовано учителям математики, стремящимся прививать любовь к одной из сложнейших школьных дисциплин, а так
же учащимся, для которых математика станет более доступной и привлекательной. В результате опроса учителей нашего района материалы сборника были использованы на уроках математики при изучении тем: «Подобие фигур», «Отношение. Пропорция», «Длина окружности», «Формулы», «Масштаб», «Среднее
арифметическое». Материалы могут с успехом использоваться и при проведении
занятий дополнительного образования.
Тема проекта может иметь продолжение: по утверждениям автора романа
можно ещё составить не один десяток интересных и занимательных задач.
7. Подготовка к презентации исследовательского материала. Написание отчёта.
Для написания отчёта были использованы возможности текстового редактора
WORD и табличного редактора EXCEL. Итоговый материал представлен в виде
презентации, выполненной в редакторе POWER POINT. Иллюстрированный материал для презентации был собран в течение 2007, 2008 годов в режиме групповой
работы с различными источниками и с помощью цифрового фотоаппарата SAMSUNG. В результате работы была использована следующая литература:
1. Я.И. Перельман «Занимательные задачи и опыты», Минск «Беларусь», 1994
2. Д. Свифт «Путешествие Лемюэля Гулливера», Томск, 1993
3. Журнал «Математика в школе», №4 2004
4. Журнал «Математика для школьников», №4 2005
Были также использованы Интернет-ресурсы:
ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/perelman/zadachi&opyty.htm
www.poznovatelno.ru/opit/pic/
9
10