2 тур 8 класс

2 тур
8 класс
1. Так как нас интересует последняя цифра результата, то определим последнюю цифру
числа 92003 . Число 9 при возведении в степень дает 2 варианта последней цифры – 9 (если
показатель степени нечетный) и 1 (четный показатель степени). 2003-число нечетное, то
92003 оканчивается цифрой 9.
2. Обозначим выражение в скобках через a, получим
а 2  4 ха  12 х 2  (а  2 х) 2  (4 х) 2  (а  2 х)( а  2 х)  ( х 2  8 х  15)( х 2  16 х  15)  ( х  3)( х  5)
( х  1)( х  15)
3. За час минутная стрелка проходит полный круг (3600), а часовая в 12 раз меньше, т.е.
300. Поэтому в 7 часов минутная стрелка будет отставать от часовой на 2100. Через 38
38
 360 0  228 0 , а часовая – на угол, в 12 раз
минут минутная стрелка повернется на
60
меньший ( т.е. 190). Следовательно, в 7 часов 38 минут угол между стрелками будет равен
2100+190-2280=10
4. Из условий Р(1)=Р(-1) и Р(2)=Р(-2) для многочлена Р( х)  а0  а1 х  а2 х 2  а3 х 3  а4 х 4
получаем систему
 а1  а3  а1  а3

2а1  8а3  2а1  8а3
Откуда а0  а1  0 и Р( х)  а0  а2 х 2  а4 х 4  Р( х)
9 класс
1. Введем новые переменные : u=3x+y, v=x-y. Решим систему уравнений относительно
переменных u и v. Затем найдем х и у. Ответ (3; -1), (-3;1).
2. Масса «сухого вещества» арбуза составляет 1 % первоначальной массы, или 20∙0,01=0,2
кг. После того, как арбуз усох, масса «сухого вещества» составляла 2% от новой массы
арбуза. Найдем эту новую массу: 0,2:0,02=10 кг. После того, как арбуз усох, его масса
уменьшилась вдвое.
3. SABE=SCDE отсюда следует, SABD=SCDA. Тогда AD параллельна ВС. Значит АВСД –
трапеция. ВСА  САД . По условию, АС- биссектриса А.
Значит, ВСА  ВАС , ВС=АВ=4.
4. Ответ: 105. Пусть xyz - искомое число. По условию задачи 7(10х+z)-100x+10y+z,
которое после приведения подобных членов и сокращений принимает вид: 3z=15x+5y. Из
уравнения следует, что z делится на 5 и z>0, так как x>0. Поэтому z=5, а цифры х, у
удовлетворяют уравнению 3=3х+у, имеющему единственное решение х=1, у=0.
10 класс
1. Перенесем 16 в левую часть неравенства и воспользуемся формулой разности
квадратов:
( х 2  4 х  4)( х 2  4 х  4)  0  ( х  2) 2 ( х 2  4 х  4)  0 .
Так как ( х 2  4 х  4)  ( х  2  8 )( х  2  8 ) , то неравенство примет вид:
( х  2) 2 ( х  2  8 )( х  2  8 )  0 .
Его решением будет: (; 2  8 ]  {2}  [2  8 ;)
2. Пусть в гору велосипедист ехал со скоростью хкм\ч, а с горы- укм/ч. Больше времени
заняла дорога с большим подъемом, поэтому15/х+6/у=3,1 и 6/х+15/у=2,5. Обозначим
а=1/х и в=1/у. Решим систему уравнений
15а  6в  3,1

6а  15в  2,5
Она имеет единственное решение а=1/6, в=1/10. х=6, у=10. Скорость велосипедиста в гору
6км/ч, а с горы 10 км/ч
3. Пусть АМ- медиана треугольника АВС, причем АМ=5, АВ=10, АС=12. На
продолжении медианы АМ за точку М отложим отрезок МД, равный АМ. Тогда АВСД параллелограмм с диагоналями ВС и АД, а площадь треугольника АВС равна площади
равнобедренного треугольника АВД, в котором АВ=АД=10, ВД=12. Высоту АН
треугольника находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВН:
АН  АВ 2  ВН 2  100  36  8
Следовательно,
1
1
S ABC  S ABD  BD  AH  12  8  48
2
2
4. По теореме Виета имеем равенства:
а+b= -р, аb=1, с+d=-q, сd=1,
из которых получаем (a-c)(b-c)(a+d)(b+d)=q2-p2.
11 класс
1. Записать уравнение в виде
(3 х ) 3  (2 х ) 3  3  (2 х  (3 х ) 2  3 х  (2 х ) 2 )
Далее заменой 2 х  а, 3 х  b , где a>0, b>0 получим (a-b)3=0, a=b, x=0 – единственный
корень исходного уравнения
2. Пусть это 4 последовательных числа: n, n+1, n+2, n+3. Тогда
n( n  1)( n  2)( n  3)  1  (n 2  3n)(n 2  3n  2)  1  (n 2  3n) 2  2(n 2  3n)  1  (n 2  3n  1) 2
3. Так как       180 0 , то   1800  (   ) и
cos 2   cos 2   cos 2 (1800  (   ))  1
cos 2   cos 2   sin 2 (   )
cos 2   cos 2   (cos  sin   sin  cos ) 2
cos 2  (1  sin 2  )  cos 2  (1  sin 2  )  2 sin  sin  cos  cos
cos  cos  cos(   )  0
cos   0 cos   0 cos(   )  0
В каждом случае АВС- прямоугольный
4. Для того, чтобы прямая у=ах-5 касалась кривой у=3х2-4х-2 в точке с абсциссой х0,
необходимо и достаточно, чтобы значения обеих функций х=х 0 совпадали и значение а
(угловой коэффициент прямой) было равно значению производной функции у=3х2-4х-2
при х=х0
y`=(3х2-4х-2)`=6x-4, значит , искомые значения а должны удовлетворять системе:
ax0  5  3x 2  4 x  2

a  6 x0  4

Откуда находим: х0= -1, а= -10 и х0= 1, а= 2