Тема урока: Многогранники. Правильная пирамида.

Паспорт открытого урока
(на основе модульно - компетентносной технологии)
Объект обучения: обучающиеся группы №15, I курса.
Дата проведения: 21 марта 2012 года
Предмет: Математика. Стереометрия.
Тема урока: Многогранники. Правильная пирамида.
Цели урока:
Обучающие:
 сформировать понятия: правильная пирамида, апофема правильной
пирамиды, боковая и полная поверхности;
 определять элементы правильной пирамиды: основание, боковые грани,
вершину, боковые рёбра, высоту, апофему.
Развивающие:
 развивать пространственное воображение обучающихся и графическую
культуру;
 сформировать умения осуществлять самоконтроль в процессе
самостоятельной работы.
Воспитательная:
 создать условия для навыков коммуникативной компетентности.
Тип урока: модульно – компетентностный.
Вид урока: урок усвоения новых знаний на основе имеющихся.
Методы обучения: репродуктивный ( самостоятельная работа, беседа,
выполнение упражнений).
Межпредметные связи : техническая графика «Геометрические
построения».
Внутрипредметные связи: планиметрия «Правильные многогранники»
Дидактическое и материально-техническое обеспечение урока:
 учебно-раздаточный
материал;
 модель правильной
пирамиды;
 линейка-шаблон;
 листы с заданиями;




дневник урока;
учебная доска;
компьютер с проектором;
стенд «К теме» с рисунками
и терминами.
ПРИЛЖЕНИЕ1, ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Модуль 3: Многогранники
Результат 4. Охарактеризовать геометрические фигуры – пирамиды, как
группу многогранников.
Критерий оценки деятельности (КОД)
а) элементы пирамиды, виды пирамид, ее математические характеристики
названы, верно;
б) описание правильной пирамиды, свойств её элементов, боковой
поверхности дано, верно;
в) сечения пирамиды по заданному условию построены, верно;
г) анализ и решение задачи на вычисление площади боковой поверхности
пирамиды проведены, верно;
д) анализ и решение задачи на вычисление объема пирамиды выполнены,
верно.
Описание уровней: Виды пирамид – произвольные, правильные,
усеченные. Элементы пирамиды – вершина, основание, ребро, боковая грань,
высота, апофема правильной пирамиды. Математические характеристики –
площадь боковой и полной поверхности, объем.
Требования к доказательству: Письменное или устное подтверждение
способности
обучающихся
характеризовать
пирамиды,
как
группу
многогранников. Все критерии деятельности охвачены от «а» до «д». При
необходимости могут быть заданы дополнительные вопросы.
Ход урока
Организационно-мотивационный этап:
I.
1.1.
Постановка целей и мотивация изучения темы. (2 мин.)
(презентация: слайд 1)
1.2.
Предварительное определение уровня знаний учащихся. (4 мин.)
(Предварительное определение уровня знаний учащихся проводится в форме
графического диктанта.)
Организация самостоятельной работы учащихся по вопросам
темы урока:
2.1. Правильная пирамида и ее свойства.
(13 мин)
II.
(Выполнение упражнений № 1, 2.)
Проверка выполнения упражнений:
№1 по слайду 2 презентации,
№2 по слайду 3 презентации.
2.2.
Площадь поверхности пирамиды
(13 мин)
(Выполнение упражнения №3,4.)
Проверка выполнения упражнений:
№,3 по слайду 4 презентации,
№,4 по слайдам 5, 6 презентации.
(Дополнительное упражнение. Задание 5.)
Проверка выполнения упражнения №,5 по слайду 6 презентации.
III.
Подведение итогов урока:
3.1. Проверка степени усвоения материала.
(5 мин.)
(Устные ответы на вопросы)
по слайду 7 презентации,
3.2. Домашнее задание.
(2 мин.)
1. Знать определение правильной пирамиды и её элементов.
2. Знать свойства элементов правильной пирамиды.
3. Изготовить развертку правильной четырехугольной пирамиды по
заданному чертежу, выполнить соответствующие измерения и
вычислить боковую и полную поверхность этой пирамиды.
3.3. Выставление оценок.
(3 мин.)
Заполнение дневника.
3.4. Релаксация (презентация учащихся «Пирамиды, какие они?»)
(3 мин.)
1.2. Предварительное определение уровня знаний учащихся.
Предварительное определение уровня знаний учащихся проводится в форме графического
диктанта.
Подтвердите или опровергните следующие утверждения: Да - ^; нет - __
1.Многогранник, составленный из n-угольника и n-треугольников
называется пирамидой.
2.Высота пирамиды, это перпендикуляр, проведенный из вершины к
основанию.
3. Пирамида может иметь 3 грани, перпендикулярные к плоскости
основания.
4.Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные
боковые грани перпендикулярны к основанию?
5.Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными
треугольниками?
6.Общая точка боковых граней пирамиды называется вершиной.
7.Боковая грань пирамиды - квадрат.
8.Основанием треугольной пирамиды является треугольник.
2.1.
Правильная пирамида и ее свойства.
Определение: Пирамида называется правильной, если ее основанием
является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в
центр основания.
Элементы правильной пирамиды такие же, как и у всех
пирамид: основание, вершина, боковые ребра, боковые грани,
высота.
Осью правильной пирамиды называется прямая,
содержащая ее высоту.
Высота боковой грани правильной
пирамиды, проведенная из вершины
пирамиды, называется апофемой.
Этот термин употребляется только для правильной
пирамиды, хотя у неправильной пирамиды также есть
высоты боковых граней.
Элементы правильной пирамиды обладают следующими свойствами:





боковые ребра равны;
боковые грани – равнобедренные треугольники;
боковые грани равны;
апофемы раны;
двугранные углы при основании равны.
Некоторые виды правильных пирамид
Треугольная правильная
пирамида
Четырехугольная
правильная пирамида
Шестиугольная
правильная пирамида
Основание – правильный
(равносторонний)
треугольник
Основание – квадрат
Основание – правильный
шестиугольник
Задание 1. На рисунке дано изображение пирамиды, в основании которой
лежит квадрат. Запишите:
а) вид пирамиды, представленной на рисунке
________________________________________________
б) равные боковые ребра __________________________
в) равные ребра основания _________________________
г) равные двугранные углы при основании ___________
д) равные углы между боковыми ребрами и основанием
________________________________________________
е) апофемы правильной пирамиды __________________
ж) равные боковые грани __________________________
з) ось правильной пирамиды, проходит через
_______________________________________________
Задание 2. Выберите верный ответ из числа предложенных.
1. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины,
называется –
а) диагональю;
б) медианой;
в) апофемой;
г) биссектрисой.
2. Количество ребер правильной шестиугольной призмы –
а) 18
б) 6
в) 24
г) 12
д) 15
3. Наименьшее число граней пирамиды –
а) 3
б) 4
в) 5
г) 6
д) 9
Площадь поверхности пирамиды.
2.3.
Чтобы определить площадь боковой поверхности пирамиды, надо найти
сумму площадей всех её боковых граней.
Если к площади боковой поверхности пирамиды прибавить площадь её
основания, получится площадь полной поверхности пирамиды.
Для краткости говорят: боковая поверхность пирамиды и полная поверхность
пирамиды, опуская слово «площадь».
Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине
произведения периметра основания на апофему.
Доказательство:
Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные
треугольники, основания которых – стороны основания пирамиды и равны
числу а, а высоты равны апофеме ha.
Площадь одной боковой грани равна
площади треугольника
𝟏
т.е. Sтр = а ha
𝟐
Боковая поверхность состоит из п таких
треугольников.
𝟏
Тогда Sбок. = а∙ha∙п.
𝟐
Но а∙п = Росн. (Росн. – периметр основания
правильной пирамиды).
𝟏
Следовательно, Sбок. = Росн∙ha.
𝟐
Теорема доказана.
ha
а
а
___________________________________________________________________
Задание 3. Запишите в тетрадь формулировку и формулу теоремы о боковой
поверхности правильной пирамиды.
Задание 4. Решите задачу:
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 10 см., а
апофема – 8 см. Найдите площадь боковой поверхности.
Дополнительные упражнения:
Задание 5. Решите задачу:
Высота и сторона основания правильной
четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14.
Найдите: а) апофему пирамиды;
б) площадь боковой поверхности;
в) площадь полной поверхности.
3.1. Проверка степени усвоения материала.
Ответьте на вопросы (устно):
 Какая пирамида называется правильной?
 Являются ли равными боковые ребра правильной пирамиды?
 Чем являются боковые грани правильной пирамиды?
 Что называется апофемой?
 Сколько высот в пирамиде? Сколько апофем в пирамиде?
 Что называют площадью боковой поверхности пирамиды?
 Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды?
 Как определить площадь полной поверхности пирамиды?
3.2. Домашнее задание.
1. Знать определение правильной пирамиды и её элементов.
2. Знать свойства элементов правильной пирамиды.
3. Изготовить развертку правильной четырехугольной пирамиды по
заданному чертежу, выполнить соответствующие измерения и вычислить
боковую и полную поверхность этой пирамиды.