РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра математического моделирования
БУТАКОВА Н.Н.
ТЕОРИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010800.62 «Механика и математическое моделирование»,
профиль подготовки «Механика жидкости, газа и плазмы»
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Бутакова Н.Н. Теория колебательных процессов. Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов направления 010800.62 «Механика и математическое
моделирование», профиль подготовки «Механика жидкости, газа и плазмы», очная форма
обучения. Тюмень, 2011 г., 13 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Теория колебательных
процессов [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и.о. зав. кафедрой математического моделирования,
д.ф.-м.н., доцент Татосов А.В.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Н.Н. Бутакова, 2011.
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Цель курса: показать студентам, как можно распознавать в сложных, на первый
взгляд, колебательно-волновых процессах в конкретных задачах физики или техники
основные - элементарные колебательные явления и свести исходную проблему к анализу
этих моделей. Основные задачи курса: изучить основные колебательно-волновые явления
на простых моделях и системах; познакомить студентов с основными методами теории
колебаний.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Теория колебательных процессов» – это дисциплина по выбору,
которая входит в вариативную часть профессионального цикла.
Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в
результате освоения предшествующих дисциплин: «Математический анализ»,
«Дифференциальные уравнения», «Теоретическая механика», «Общая физика»,
«Комплексный анализ», «Уравнения математической физики», «Динамические системы»,
«Системы компьютерной математики», «Инструментальные средства компьютерного
моделирования».
Освоение дисциплины «Теория колебательных процессов» необходимо при
последующем изучении дисциплин «Устойчивость и управление движением»,
«Нелинейные уравнения с обратной связью» и для написания выпускной
квалификационной работы.
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими
профессиональными компетенциями:
умением формулировать результат (ПК-3);
умением на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат (ПК-5);
умением грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
●
Знать:
– основные модели колебательно-волновых явлений;
– определения и свойства математических объектов в этой области;
– формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их
приложения.
●
Уметь:
– строить математические модели колебательных процессов;
– обосновать метод решения поставленной задачи.
●
Владеть
– приемами и методами решения задач.
3
2. Структура и трудоемкость дисциплины
Дисциплина «Теория колебательных процессов» читается в седьмом семестре. Форма
промежуточной аттестации – экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 3
зачетных единицы (108 часов).
3. Тематический план
Таблица 1.
1 Динамические системы
Устойчивость
линеаризованных
2 сосредоточенных систем с
непрерывным и дискретным
временем
Колебания в нелинейных
3 системах с одной степенью
свободы
Всего
4 Автоколебательные системы
5 Параметрические системы
Резонансное взаимодействие
6
осцилляторов
Всего
Колебания и волны в
упорядоченных структурах
Автоколебания в
8 многомерных динамических
системах
Итоговая контрольная
работа
Всего
Итого (часов, баллов):
из них в интерактивной
форме
Курсовая работа
Всего:
7
Самостоятельн
ая работа
Семинарские
(практические)
занятия
Лекции
Тема
недели семестра
№
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
Итого
часов
по
теме
Из них
в
интера
ктивно
й
форме
Итого
количе
ство
баллов
Модуль 1
1-2
4
4
2
10
2
0-8
3-4
4
4
2
10
2
0-8
5-6
4
4
2
10
2
0-15
12
12
Модуль 2
7-8
6
6
8-10
4
4
6
30
6
0-30
2
2
14
10
4
2
0-8
0-8
11-12
4
2
10
2
0-14
14
14
Модуль 3
6
34
8
0-30
4
13-14
4
4
2
10
2
0-8
15-18
6
4
2
12
4
0-12
18
0
2
2
4
10
36
10
36
6
18
26
90
6
10
10
20
20
1-18
36
4
36
18
36
18
108
0-20
0-40
0-100
0-100
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
контрольная работа
решение задач на
практическом
занятии
выполнение
домашнего задания
2
3
4
5
6
Итого количество
баллов
ответ на
практическом
занятии
1
Письменные работы
собеседование
№ темы
Устный опрос
7
Модуль 1
1. Динамические системы
0-1
0-1
0-1
0-5
0-8
2. Резонансное взаимодействие
осцилляторов
0-1
0-1
0-1
0-5
0-8
3. Колебания в нелинейных системах
с одной степенью свободы
0-1
0-1
0-6
0-1
0-5
0-14
Всего
0-3
0-3
0-6
0-3
0-15
0-30
Модуль 2
4. Автоколебательные системы
0-1
0-1
0-1
0-5
0-8
5. Параметрические системы
0-1
0-1
0-1
0-5
0-8
6. Резонансное взаимодействие
осцилляторов
0-1
0-1
0-6
0-1
0-5
0-14
0-3
0-3
0-6
0-3
0-15
0-30
0-1
0-5
0-8
0-1
0-5
0-12
Всего
Модуль 3
7. Колебания и волны в
упорядоченных структурах
0-1
0-1
8. Автоколебания в многомерных
динамических системах
0-1
0-1
Итоговая контрольная работа
0-4
0-20
0-20
Всего
0-2
0-2
0-24
0-2
0-10
0-40
Итого
0-8
0-8
0-36
0-8
0-40
0-100
5
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
1
1
2
3
4
5
6
Модули и темы
Виды СРС
Неделя
обязательные дополнител семест
ра
ьные
2
3
4
5
Модуль 1
Динамические
работа с
1-2
системы
литературой;
выполнение
домашнего
задания
Резонансное
работа с
3-4
взаимодействие
литературой;
осцилляторов
выполнение
домашнего
задания
Колебания
в работа с
5-6
нелинейных
литературой;
системах с одной выполнение
степенью свободы
домашнего
задания;
решение
контрольной
работы
Всего по модулю 1:
Модуль 2
Автоколебательные
работа с
7-8
системы
литературой;
выполнение
домашнего
задания
Параметрические
работа с
9-10
системы
литературой;
выполнение
домашнего
задания
Резонансное
работа с
11-12
взаимодействие
литературой;
осцилляторов
выполнение
домашнего
задания;
решение
контрольной
работы
Всего по модулю 2:
6
Объем
часов
Кол-во
баллов
6
7
2
0-5
2
0-5
2
0-11
6
0-21
2
0-5
2
0-5
2
0-11
6
0-21
1
2
3
4
5
6
7
13-14
2
0-5
15-18
2
0-9
18
2
0-20
1-18
6
18
18
0-34
0-76
0-100
Модуль 3
7
Колебания и волны в
упорядоченных
структурах
8
Автоколебания в
многомерных
динамических
системах
Итоговая
контрольная работа
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
Курсовая работа
работа с
литературой;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой;
выполнение
домашнего
задания
подготовк
ак
итоговой
контроль
ной
работе
решение
контрольной
работы
работа с
литературой
ВСЕГО:
36
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
1
2
3
Наименование
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
(последующих)
1
2
3
4
5
6
7
8
дисциплин
Устойчивость и
+
+
+
+
+
+
+
+
управление движением
Нелинейные
уравнения с обратной
+
+
+
+
+
+
+
+
связью
Выпускная
квалификационная
+
+
+
+
+
+
+
+
работа
5. Содержание дисциплины
Тема 1. Динамические системы. Предмет и содержание теории колебаний.
Понятие динамической системы и фазового пространства, системы с непрерывным и
дискретным временем, грубой динамической системы. Динамические системы на прямой.
Грубые состояния равновесия. Основные бифуркации.
Тема 2. Устойчивость линеаризованных сосредоточенных систем с
непрерывным и дискретным временем. Устойчивость по Ляпунову и орбитная
устойчивость. Устойчивость и классификация типов состояний равновесия в системах
второго и третьего порядков. Простейшие динамические системы с дискретным временем.
7
Тема 3. Колебания в нелинейных системах с одной степенью свободы.
Линейный и нелинейный осцилляторы. Фазовый портрет. Резонанс в нелинейном
осцилляторе. Основы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем на
плоскости. Грубые предельные циклы, основные характеристики.
Тема 4. Автоколебательные системы. Система с одной степенью свободы.
Физические примеры. Динамика сверхпроводящего Джозефсоновского контакта.
Уравнения Ван-дер-Поля и Рэлея. Метод разрывных колебаний. Метод Ван-дер-Поля
(автономный и неавтономный случаи). Автогенератор с двумя степенями свободы.
Тема 5. Параметрические системы. Параметрический резонанс в системах с
одной степенью свободы. Теория Флоке. Уравнение Матье. Асимптотический метод.
Определение зон параметрической неустойчивости. Параметрическое возбуждение
автоколебаний (резонанс n-го рода). Системы с медленно меняющимися параметрами.
Тема 6. Резонансное взаимодействие осцилляторов. Взаимодействие трех
связанных осцилляторов в системе с квадратичной нелинейностью. Соотношение МэнлиРоу. Резонансное взаимодействие волн в слабонелинейных средах с дисперсией.
Тема 7. Колебания и волны в упорядоченных структурах. Дисперсионные
уравнения для цепочек связанных осцилляторов. Физический смысл понятия "дисперсия".
Переход от дискретных структур к распределенным. Фазовая и групповая скорости,
распространение волнового пакета. Характеристические уравнения ограниченных
распределенных систем.
Тема 8. Автоколебания в многомерных динамических системах. Основные
(коразмерности I) бифуркации многомерных динамических систем: Бифуркации
состояний равновесия. Бифуркации периодических движений. Нелокальные бифуркации в
окрестности гомоклинической траектории. Динамический хаос. Странный аттрактор.
Характеристические показатели Ляпунова. Фрактальные структуры и размерность
странных аттракторов. Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения
периода. Сценарии перехода к хаосу Ландау-Хопфа и Рюэля-Такенса-Ньюхауза.
Генераторы хаотических колебаний. Аттрактор Лоренца и хаос в жидкости. Бифуркации в
системе Лоренца.
6. Планы практических занятий
Тема 1. Динамические системы (4 часа).
1) системы с непрерывным и дискретным временем;
2) грубые динамические системы;
3) грубые состояния равновесия;
4) основные бифуркации.
Тема 2. Устойчивость линеаризованных сосредоточенных систем с
непрерывным и дискретным временем (4 часа)
1) устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость;
2) устойчивость и классификация типов состояний равновесия в системах второго и
третьего порядков;
3) простейшие динамические системы с дискретным временем.
Тема 3. Колебания в нелинейных системах с одной степенью свободы (4 часа)
1) линейный и нелинейный осцилляторы;
2) резонанс в нелинейном осцилляторе;
8
3) качественная теория и теория бифуркаций динамических систем на плоскости;
4) грубые предельные циклы.
Тема 4. Автоколебательные системы (6 часов)
1) система с одной степенью свободы;
2) уравнение Ван-дер-Поля;
3) уравнение Рэлея;
4) метод разрывных колебаний;
5) метод Ван-дер-Поля.
Тема 5. Параметрические системы (4 часа)
1) параметрический резонанс в системах с одной степенью свободы;
2) теория Флоке;
3) уравнение Матье;
4) системы с медленно меняющимися параметрами.
Тема 6. Резонансное взаимодействие осцилляторов (4 часа)
1) взаимодействие трех связанных осцилляторов в системе с квадратичной
нелинейностью;
2) соотношение Мэнли-Роу;
3) резонансное взаимодействие волн в слабонелинейных средах с дисперсией.
Тема 7. Колебания и волны в упорядоченных структурах (4 часа)
1) дисперсионные уравнения для цепочек связанных осцилляторов;
2) фазовая и групповая скорости, распространение волнового пакета;
3) характеристические уравнения ограниченных распределенных систем.
Тема 8. Автоколебания в многомерных динамических системах (6 часов)
1) основные бифуркации многомерных динамических систем;
2) динамический хаос, странный аттрактор;
3) характеристические показатели Ляпунова;
4) фрактальные структуры и размерность странных аттракторов;
5) переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода;
6) аттрактор Лоренца, бифуркации в системе Лоренца.
7. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)
7.1. Примерные задания для контрольной работы
1. Исследуйте устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова
𝑥̇ = −𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦,
𝑦̇ = 𝑥 − 𝑦 − 𝑥 2 − 2𝑦 5
2. Математический маятник имеет длину 𝑙 и находится в покое. В момент времени
𝑡 = 0 грузику маятника с помощью толчка сообщают скорость 𝑣0 . Найти закон
изменения во времени угла отклонения маятника от вертикали, считая, что при
колебаниях маятника на его грузик действует сила вязкого трения 𝐹тр = ℎ𝑥̇ , где 𝑥̇ скорость грузика. Колебания маятника считать малыми.
9
3. Длина нити 𝑙 математического маятника (см. рисунок) периодически изменяется на
величину 2∆𝑙 по закону меандра (см. рисунок) с периодом 𝜏 = 𝑇0 ⁄2, где 𝑇0 –
период колебаний маятника при 𝑙 = 𝑙0 , где 𝑙0 – среднее значение длины нити.
Считая, что при движении маятника проявляются силы вязкого трения, а
добротность маятника рана 𝑄, найти условие параметрического возбуждения
колебаний.
4. В последовательный колебательный контур, состоящий из индуктивности 𝐿,
емкости С и резистора 𝑅0 , включен элемент с падающим участком на
вольтамперной характеристике. Рабочая точка этого элемента выбрана таким
образом, что падение напряжения на элементе с током, текущим через него,
соотношением: 𝑢 = −𝑆1 𝑖 + 𝑆3 𝑖 3. Пользуясь методом медленно меняющихся
амплитуд найти стационарные режимы и исследовать их устойчивость.
7.2. Примерные вопросы для подготовки к экзамену
1.
Устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость.
2.
Устойчивость и классификация типов состояний равновесия в системах
второго и третьего порядков.
3.
Простейшие динамические системы с дискретным временем.
4.
Линейный и нелинейный осцилляторы.
5.
Резонанс в нелинейном осцилляторе.
6.
Бифуркации динамических систем на плоскости.
7.
Грубые предельные циклы, основные характеристики.
8.
Автоколебательные системы с одной степенью свободы.
9.
Уравнения Ван-дер-Поля и Рэлея.
10.
Метод разрывных колебаний.
11.
Метод Ван-дер-Поля (автономный и неавтономный случаи).
12.
Автогенератор с двумя степенями свободы.
13.
Параметрический резонанс в системах с одной степенью свободы.
14.
Теория Флоке.
15.
Уравнение Матье.
16.
Асимптотический метод.
17.
Определение зон параметрической неустойчивости.
18.
Параметрическое возбуждение автоколебаний (резонанс n-го рода).
19.
Системы с медленно меняющимися параметрами.
20.
Взаимодействие трех связанных осцилляторов в системе с квадратичной
нелинейностью.
21.
Соотношение Мэнли-Роу.
10
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
Резонансное взаимодействие волн в слабонелинейных средах с дисперсией.
Дисперсионные уравнения для цепочек связанных осцилляторов.
Фазовая и групповая скорости, распространение волнового пакета.
Характеристические уравнения ограниченных распределенных систем.
Бифуркации состояний равновесия.
Бифуркации периодических движений.
Нелокальные бифуркации в окрестности гомоклинической траектории.
Динамический хаос.
Странный аттрактор.
Характеристические показатели Ляпунова.
Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода.
Генераторы хаотических колебаний.
Аттрактор Лоренца и хаос в жидкости. Бифуркации в системе Лоренца
8. Образовательные технологии
При изучении дисциплины «Теория колебательных процессов» используются
следующие образовательные технологии:
– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);
– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной
работы в процессе изучения дисциплины «Теория колебательных процессов»
предусматривается использование в учебном процессе следующих активных и
интерактивных форм проведения занятий:
– практические занятия в диалоговом режиме;
– компьютерное моделирование и практический анализ результатов;
– научные дискуссии;
– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля)
9.1. Основная литература
1. Аврамов К.В., Михлин Ю.В. Нелинейная динамика упругих систем. Модели,
методы, явления. Т.1. М.: URSS, 2010. – 560 с.
2. Балакший В.И., Белов А.А., Косых Т.Б., Кузнецов Ю.И. Задачи по курсу теории
колебаний. – М.: Изд-во физического факультета МГУ, 2010. – 58 с.
3. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. – СПб: Лань, 2005 –
437 с.
9.2. Дополнительная литература
1. Андронов А. А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. – М.: Наука, 1981. - 568
с.
11
2. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004 – 592 с.
3. Бидерман В. Л. Прикладная теория механических колебаний. – М.: Высшая школа,
1972 .- 416 c.
4. Бутенин Н. В. Теория колебаний. – М.: Высшая школа, 1963. - 187 c.
5. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. – М.: Физматлит, 2001 .- 264
c.
6. Горяченко В.Д., Пригоровский А.Л., Сандалов В.М. Задачи по теории колебаний,
устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений.
Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2007. – 48 с.
7. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. Приближенные и
асимптотические методы нелинейной механики. – Ижевск: РХД, 2004. – 351 с.
8. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. - М.: Наука, 1969. –
378 с. [электронный ресурс] / Режим доступа: http://lib.mexmat.ru/books/1564
9. Уиттекер Э. Т. Аналитическая динамика. - М.: УРСС, 2004 .-504 с.
9.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы
Интернет – ресурсы:
1. Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического
факультета Московского государственного университета http://lib.mexmat.ru
2. eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://elibrary.ru
Для работы на практических занятиях необходим пакет программ Maple 12 (или
выше).
10. Технические средства и материально-техническое обеспечение
дисциплины (модуля)
Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием, компьютерный класс
для практических занятий.
12
Карта компетенций «Теория колебательных процессов»
направление 010800.62 «Механика и математическое моделирование».
Код
ПК-3
Формулировка
компетенции
умением
формулировать
результат
Результат
обучения в
целом
Знать:
Результаты обучения по уровням освоения материала
минимальный
базовый
повышенный
имеет
представление о
приемах
логического
мышления
приемы логического
мышления (в
дополнение к
минимальному
уровню)
приемы логического
мышления (в дополнение
к минимальному и
базовому уровням)
Уметь:
формулировать
результат для
простейшей задачи
формулировать
результат для
стандартной задачи(в
дополнение к
минимальному
уровню)
формулировать
результат при решении
задач в
профессиональной
деятельности (в
дополнение к
минимальному и
базовому уровням)
Владеть:
простейшими
приемами логического мышления
приемами
логического
мышления в
стандартной ситуации
(в дополнение к
минимальному
уровню)
приемами логического
мышления в любой
ситуации, связанной с
решением задач в
профессиональной
деятельности (в
дополнение к
минимальному и
13
Виды
занятий
Оценочные
средства
Лекции,
практичес
кие
занятия,
самостоят
ельная
работа
Лекции,
практичес
кие
занятия,
самостоят
ельная
работа
контрольна
я работа
контрольна
я работа
Лекции,
контрольна
практичес я работа
кие
занятия,
самостоят
ельная
работа
базовому уровням)
ПК-5
ПК-7
умением на основе Знать:
анализа увидеть и
корректно
сформулировать
результат
умением грамотно
пользоваться
основные
определения и
понятия
изучаемого курса
приемы анализа и
сравнения
математических
объектов (в
дополнение к
минимальному
уровню)
на основе анализа
увидеть и корректно
сформулировать
результат для
стандартной задачи(в
дополнение к
минимальному
уровню)
Уметь:
на основе анализа
увидеть и
корректно
сформулировать
результат для
простейшей задачи
Владеть:
простейшими
приемами логического мышления,
методами анализа и
синтеза
приемами
логического
мышления, методами
анализа и синтеза в
стандартной ситуации
(в дополнение к
минимальному
уровню)
Знать:
основные
определения и
формулировки
основных
14
доказательства
утверждений и теорем,
сферы их приложения (в
дополнение к
минимальному и
базовому уровням)
на основе анализа
увидеть и корректно
сформулировать
результат при решении
задач в
профессиональной
деятельности (в
дополнение к
минимальному и
базовому уровням)
приемами логического
мышления, методами
анализа и синтеза в любой
ситуации, связанной с
решением задач в
профессиональной
деятельности (в
дополнение к
минимальному и
базовому уровням)
возможности
применения изученного
Лекции,
практичес
кие
занятия,
самостоят
ельная
работа
Лекции,
практичес
кие
занятия,
самостоят
ельная
работа
контрольна
я работа
контрольна
я работа
Лекции,
контрольна
практичес я работа
кие
занятия,
самостоят
ельная
работа
Лекции,
контрольна
практичес я работа
языком предметной
области
понятия
утверждений и
теорем, постановки
стандартных задач
задачи (в дополнение
к минимальному
уровню)
Уметь:
сообщать идеи,
проблемы и методы
решения
простейших задач
сообщать идеи, проблемы и решения
стандартных задач (в
дополнение к
минимальному
уровню)
Владеть:
приемами и
приемами и
способами решения способами
простейших задач
исследования
стандартных задач
задач (в дополнение к
минимальному
уровню)
15
теоретического
материала в
профессиональной
деятельности (в
дополнение к
минимальному и
базовому уровням)
сообщать идеи, проблемы и решения, как
специалистам, так и
неспециалистам (в
дополнение к
минимальному и
базовому уровням)
кие
занятия,
самостоят
ельная
работа
методами и приемами
исследования задач,
возникающих в
профессиональной
деятельности (в
дополнение к
минимальному и
базовому уровням)
Лекции,
контрольна
практичес я работа
кие
занятия,
самостоят
ельная
работа
Лекции,
контрольна
практичес я работа
кие
занятия,
самостоят
ельная
работа