Порядок выполнения работы - ВоГТУ - ЭЭФ

Федеральное агентство по образованию
Вологодский государственный технический университет
Волновая оптика. Квантовая физика.
Статистическая физика.
Лабораторный практикум
для студентов очной формы обучения
Утверждено редакционно-издательским советом ВоГТУ
Вологда
2008
УДК 530.1
ББК 22.5
В 67
Рецензенты:
Домаков А.И., канд. техн. наук, профессор;
Дрижук А.Г., канд. физ.-мат.наук, доцент
В 67
Волновая оптика. Квантовая физика. Статистическая
физика: лабораторный практикум / под. ред. В.И. Богданова. –
Вологда: ВоГТУ, 2008. – 133 с.
Представлены лабораторные работы по физике по третьей части курса
для студентов всех форм обучения, всех направлений и специальностей.
Составители:
Богданов В.И., профессор, доктор физ.-мат. наук;
Кузина Л.А., доцент, канд. физ.-мат. наук;
Максимов В.К., доцент, канд. техн. наук;
Штрекерт О.Ю., доцент, канд. физ-мат. наук
УДК 530.1
ББК 22.5
2
Содержание
Введение……………………………………………………..…….………..4
Лабораторная работа 3-01. Изучение интерференции света с помощью
бипризмы Френеля..……… ……………………….………………………...…..5
Лабораторная работа 3-02. Изучение дифракции монохроматического
лазерного излучения на дифракционной решётке……………..…….……….11
Лабораторная работа 3-03. Проверка закона Малюса………...………...17
Лабораторная работа 3-04. Вращение плоскости поляризации………..25
Лабораторная работа 3-05. Изучение зависимости показателя преломления
стеклянной призмы от длины волны…………………………..32
Лабораторная работа 3-06. Определение постоянной СтефанаБольцмана............................................................................................................39
Лабораторная работа 3-07. Изучение явления внешнего фотоэффекта..47
Лабораторная работа 3-08. Изучение спектра водорода и определение
постоянной Ридберга............................................................................................57
Лабораторная работа 3-09. Опыт Франка и Герца……………………….66
Лабораторная работа 3-10. Изучение поглощения света………………..72
Лабораторная работа 3-11. Изучение распределения Гаусса на
механической модели ……….………………….……………………………..79
Лабораторная работа 3-12. Определение коэффициента вязкости воздуха и
средней длины свободного пробега молекул………………………………87
Лабораторная работа 3-13. Определение работы выхода электронов из
металла…………………………………………………………………………..93
Лабораторная работа 3-14. Определение коэффициента линейного
теплового расширения…………………..…………………………………...100
Лабораторная работа 3-15 Исследование эффекта Зеебека………… 105
Лабораторная работа 3-16. Изучение зависимости электрического
сопротивления металлов и полупроводников от температуры. Определение
энергии активации полупроводников………………….……………………109
Лабораторная работа 3-17. Эффект Холла ……………………..……..120
Лабораторная работа 3-18. Изучение работы полупроводникового
диода…………………………………………………………………………..126
Библиографический список…………………………………………….133
3
Введение
В пособии представлена третья часть физического практикума по курсу
общей физики. Она состоит из 18 лабораторных работ по разделам: «Волновая
оптика», «Квантовая физика» и “Статистическая физика”.
В указаниях к каждой лабораторной работе сформулирована цель работы,
представлены: теоретическое введение, методика измерений, описание
установки, порядок выполнения работы и обработки результатов измерений.
Контрольные вопросы, приведённые в конце каждой работы, облегчают
подготовку к ней и защиту. Далее приведён список литературы,
рекомендуемой для самостоятельной подготовки к выполнению лабораторной
работы.
Кафедрой физики подготовлены методические указания по оформлению
отчётов по лабораторным работам, требования к допуску, защите работ и
обработке результатов измерений. Эти указания, образец выполнения
лабораторной работы и сами описания имеются на сайте кафедры
www.physics.vstu.edu.ru.
4
Лабораторная работа 3-01
Изучение интерференции света с помощью бипризмы Френеля
Цель работы:
Наблюдение интерференционной картины, определение
размера интерференционной полосы и параметра бипризмы Френеля –
преломляющего угла бипризмы.
Теоретическое введение
Интерференция волн – пространственное перераспределение энергии
волн, которое происходит при наложении двух или нескольких
когерентных волн. Волны когерентны, если их фазы согласованы (разность
фаз остаётся постоянной во времени). Когерентность – согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов. Интерференция
возможна для волн любой природы.
Интенсивность электромагнитной волны пропорциональна амплитуде
колебаний вектора напряженности электромагнитного поля:
I~ Е02 .
(1.1)
Рассмотрим две электромагнитные волны одинаковой частоты, которые
накладываются друг на друга и возбуждают в некоторой точке пространства два
колебания одинакового направления:
E2  E02 cos t   2  ,
E1  E01 cos t  1  ,
где φ1 и φ2 определяются начальными фазами колебаний и расстояниями,
пройденными волнами до точки наложения, но не зависят от времени. Амплитуда
Е0 результирующего колебания E  E0 cos t   0  зависит от разности фаз
складываемых колебаний в данной точке. Для волн одинаковой частоты разность
фаз колебаний не изменяется во времени и равна φ1–φ2=const, то есть волны
когерентны. При этом результирующая амплитуда Е0 также остается постоянной
во времени:
2
2
E0  E01
 E02
 2 E01E02 cos 1  2  .
(1.2)
Для когерентных волн cos 1   2  имеет постоянное во времени значение
(но свое для каждой точки пространства), так что результирующая интенсивность
света, как следует из (1.1) и (1.2), равна
(1.3)
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos 1  2 .
Таким образом, при наложении когерентных световых волн происходит
перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних
местах возникают максимумы (если cos 1   2   1), а в других – минимумы
интенсивности (если cos 1   2   1). Отсюда получаем условия максимума и
минимума при интерференции: если сдвиг фаз волн в данной точке пространства
  1   2   2m ; (m=0, 1, 2, …),
(1.4)
то наблюдается интерференционный максимум; если
5


1
2
  2  m   ;
(m=1, 2, 3, …),
(1.5)
то наблюдается минимум.
Если накладываются некогерентные волны, то в данной точке пространства
складываются колебания, разность фаз которых не постоянна во времени и,
вообще говоря, принимает случайные значения. Поскольку в этом случае среднее
значение cos 1  2   0 , то наблюдаемая интенсивность света во всех точках
пространства
представляется
просто
суммой
интенсивностей
двух
волн: I  I1  I 2 (1.3). Таким образом, необходимым условием наблюдения
интерференции волн является их когерентность.
Метод Юнга.
Для получения интерференционной картины необходимы когерентные
световые пучки. До появления лазеров во всех приборах для наблюдения
интерференции света когерентные пучки получали методом разделения волны:
лучи, исходящие из одного и того же источника, разделяли с помощью экранов со
щелями или зеркал, затем полученные таким образом когерентные лучи сводили
вместе. Одним из таких способов является метод Юнга. Источником света служит
ярко освещенная щель S, от которой свет падает на две равноудаленные щели S1 и
S2, параллельные щели S (рис. 1.1). Щели S1 и S2 являются источниками
когерентных пучков света.
Результат интерференции колебаний, доходящих до некоторой точки М
экрана (рис. 1.2) от источников S' и S", будет зависеть от их разности хода
  r" r  . Если разность хода Δ равна целому числу длин волн :
  m ;
(m=0, 1, 2, …),
(1.6)
то колебания от обоих источников приходят в одной фазе и освещенность в
этой точке будет максимальна. Если же  равно полуцелому числу волн:
1

   m   ; (m=1, 2, 3, …),
(1.7)
2

то колебания приходят в противофазе и освещенность в этой точке будет минимальна. При других значениях  освещенность будет иметь промежуточное значение.
Рис. 1.1
Рис. 1.2
Найдём расстояние xm между центральным максимумом (точкой О) и максимумом
m-го
порядка
(рис.1.2).
Для
получения
различимой
6
интерференционной картины расстояние d между источниками должно быть
значительно меньше расстояния до экрана l . При этих условиях можно считать
угол  достаточно малым, тогда
(1.8)
tg  sin  .
Из рис.1.2 можно найти:
x

(1.9)
tg  m , sin   .
l
d
Решая уравнения (1.6) и (1.8-1.9) получим:
xm  ltg  l sin  
l   l  m

.
d
d
Отсюда ширина интерференционной полосы
соседними максимумами или минимумами, равно:
x  xm 1  xm 
(1.10)
Δx, т.е. расстояние между
l  m  1 l  m l  


.
d
d
d
(1.11)
В соответствии с (1.11) расстояние между соседними максимумами растёт с
уменьшением расстояния d между источниками. При d, сравнимом с l ,
расстояние между полосами было бы того же порядка, что и λ, то есть
отдельные полосы были бы совершенно неразличимы. Для того чтобы
интерференционная картина была отчётливой, необходимо выполнение
упоминавшегося выше условия: d<< l .
Бипризма Френеля
При
наблюдении
интерференции
света
с
α
помощью бипризмы Френеля,
как и в опыте Юнга, искусственно создаются когерентные
пучки путем разделения и
l0
последующего
сведения
световых лучей, исходящих из
Рис.1.3
одного и того же источника.
Бипризма Френеля представляет собой симметричную стеклянную призму с очень малыми преломляющими углами α (рис.1.3).
Источником света служит узкая щель S, расположенная параллельно ребру тупого угла бипризмы. При этом лучи, прошедшие от щели через верхнюю
и нижнюю половины бипризмы, отклоняются к линии АА1. В части пространства (на рис.1.3 оно заштриховано) будут распространяться световые волны,
прошедшие через верхнюю и нижнюю половины бипризмы. Эти волны можно
считать исходящими из двух мнимых изображений щели S' и S", которые можно рассматривать как два когерентных источника. Заштрихованная область
7
является областью интерференции света. На экране, находящемся в этой области, можно видеть интерференционные светлые и темные полосы.
Если преломляющий угол призмы  мал и углы падения лучей на грань
не очень большие, то можно показать, что все лучи отклоняются на
практически одинаковые углы
(1.12)
   n  1 ,
где n – показатель преломления призмы. В результате образуются два
мнимых когерентных источника S' и S", лежащие в одной плоскости с
источником S. Угловая ширина зоны интерференции (угол ) зависит только от
свойств бипризмы:
(1.13)
  2  2 n  1 .
Угол  вследствие малости может быть определен с помощью формулы:
d
(1.14)
 ,
l0
где d – расстояние между мнимыми источниками, l0 – расстояние между щелью и бипризмой (рис.1.3).
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: компактный гелий-неоновый лазер с длиной
волны излучения 632.8 нм, оптическая скамья, бипризма Френеля, линза, экран
для наблюдения, линейка.
Описание установки
В работе изучается интерференция красного лазерного света с помощью
бипризмы Френеля. Наблюдается интерференционная картина на экране за
бипризмой, находится размер интерференционной полосы и определяется
параметр бипризмы Френеля – преломляющий угол бипризмы.
Интерференционная картина появляется при наложении двух когерентных
пучков света. В работе складываются два пучка, полученные путем деления
(расщепления) луча лазера на два пучка с помощью призмы.
Бипризма Френеля 3 (рис.1.4) состоит из двух стеклянных призм с малыми
преломляющими углами α, сложенных своими основаниями. Источником света
служит сфокусированное в точку S0 лазерное излучение.
После преломления в бипризме падающий пучок света разделяется на два
когерентных пучка с вершинами в мнимых изображениях S1 и S2 источника S0.
В области экрана 6 пучки перекрываются и дают систему параллельных
интерференционных полос.
В работе: α – преломляющий угол бипризмы, n – показатель преломления
бипризмы (для расчетов считать n равным показателю преломления стекла,
n=1.5), a и b – расстояния от бипризмы до источника излучения S0 и до экрана
наблюдения соответственно. Каждая половина бипризмы отклоняет луч на
угол ψ=(n–1)α. Расстояние d между мнимыми источниками S1 и S1 равно
8
d=S1S2=2aψ=2а(n – 1)α,
угловое расстояние между ними
φ=d/(a+b).
Ширина интерференционной полосы из (1.11):
x 
(1.15)
(1.16)
l   a  b   

,
d
d
(1.17)
поскольку l  a  b (сравните рис.1.2 и 1.4). Тогда
Δx=λ/φ.
(1.18)
3
2
α
1
а
b
Рис. 1.4
Порядок выполнения работы
1. Включить в сеть лазер. В луч лазера перед бипризмой поставить линзу
2. Она создает источник S0 и расширяет пучок. Линзу устанавливают так,
чтобы фокус ее был перед призмой (точка S0). Плавно перемещая бипризму в
лазерном пучке, добиться четкой интерференционной картины.
2. Измерить x1 – координату середины крайней левой четко видной
светлой полосы и xm+1 – координату (m+1) полосы, записать в таблицу 1.1.
№
1
2
3
4
5
λ,
нм
633
n
L
b
a
m
x1
xm+1
Δx
Таблица 1.1
α
Δα
1.5
3. Записать m – количество видных полос.
4. Рассчитать Δx=(xm+1–x1)/m – ширину интерференционной полосы.
5. Измерить L – расстояние между линзой и бипризмой и b – расстояние
между бипризмой и экраном.
9
6. Вычислить расстояние между изображениями источника и бипризмой:
a=L–F, где F=15 мм - фокусное расстояние линзы.
7. Вычислить значение преломляющего угла бипризмы α и занести в
таблицу 1.1. Из формул (1.15) и (1.17) получим:
a  b   .

2an  1  x
8. Повторить измерения по пунктам 2–7 при других положениях линзы
или бипризмы. Опыт повторить не менее 5 раз.
9. Рассчитать αср. и погрешность Δα:
  t N ,P
  ср.   2 ,
N  N  1
где N – число опытов.
10. Сделать выводы.
Контрольные вопросы
1. Что такое интерференция волн?
2. Какие источники света называются когерентными?
3. В чём состоит отличие интерференции от сложения некогерентных
волн?
4. Почему невозможно осуществление двух когерентных источников
обычного типа?
5. Какой метод используется в оптике для получения когерентных
световых волн? Опишите метод Юнга и выведите формулу (1.11) для ширины
интерференционной полосы.
6. Опишите устройство бипризмы Френеля и объясните принцип ее действия.
7. Почему бипризму делают с очень малым преломляющим углом?
8. Вывести формулу для определения расстояния между центрами светлых
интерференционных полос на экране при использовании бипризмы Френеля.
Используемая литература
[1] § 31.2;
[2] §§ 24.1-24.4;
[3] § 3.33;
[5] §§ 84-86;
[7] §§ 171-173.
10
Лабораторная работа 3-02
Изучение дифракции монохроматического лазерного излучения на
дифракционной решётке
Цель работы: исследование дифракции монохроматического излучения
гелий-неонового лазера на дифракционной решетке и определение длины волны лазерного излучения.
Теоретическое введение
Дифракцией называется отклонение волн от прямолинейного
распространения при их взаимодействии с препятствием. Дифракция
наблюдается для волн любой природы. Благодаря дифракции волны могут
попадать в область геометрической тени: звук слышен за углом дома,
радиоволны могут распространяться далеко за пределы прямой видимости
антенны передатчика, а в центре тени от освещенного диска наблюдается
светлое пятно.
Необходимым условием наблюдения дифракции является соизмеримость
длины волны с размерами препятствия. Так, например, мы не можем видеть,
что происходит за углом дома, но можем слышать: потому что длина волны
света много меньше размеров препятствия (λ≈5.10-7м<<l), а длина волны звука
– того же порядка.
При
дифракции
(как
и
при
интерференции)
происходит
перераспределение интенсивности в результате суперпозиции волн. В
сущности, между дифракцией и интерференцией нет принципиальных
различий: по историческим причинам суперпозицию конечного числа волн
называют интерференцией, а суперпозицию бесконечного числа волн –
дифракцией.
Для анализа распространения света Гюйгенс предложил простой метод,
названный впоследствии принципом Гюйгенса: каждая точка волнового
фронта является вторичным точечным источником сферических волн.
Волновой фронт – это совокупность точек пространства, до которых дошла
волна к данному моменту времени.
Французский физик О. Френель дополнил этот принцип. В соответствии с
принципом Гюйгенса-Френеля:
1. Каждый элемент поверхности волнового фронта служит источником
вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна
площади элемента.
2. Все вторичные источники когерентны и излучают в одной и той же
фазе, если расположены на одной и той же волновой поверхности.
3. Вторичные источники излучают преимущественно в направлении
нормали к волновому фронту.
Дифракция на щели
Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская световая волна. В
соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля освещенную щель можно
11
рассматривать как множество точечных когерентных источников волн.
Поместим за щелью экран, расстояние до которого достаточно велико по
сравнению с шириной щели. Это условие означает, что в данную точку Р
экрана попадет параллельный пучок лучей, отклонившийся на угол φ (рис. 2.1).
Оптическая разность хода АС=Δ крайних лучей из этого пучка определяется из
треугольника ABC ( АВС   ):
(2.1)
  a sin  ,
где а=АВ – ширина щели. Разобьем щель на
зоны
Френеля,
параллельные
щели:
оптическая разность хода лучей, идущих от
соседних зон, равна половине длины волны,
то есть колебания в них происходят в
противофазе. Если при наблюдении из точки
Р в щели помещается четное число зон
Френеля:
Рис. 2.1

(2.2)
  m ,
2
то их вклады взаимно погасятся и в точке Р
будет наблюдаться минимум интенсивности света. Таким образом, из (2.1) и
(2.2) получим условие дифракционных минимумов при дифракции на щели:
(2.3)
a sin min,m  m ; (m=1, 2, 3,…)
где угол min,m – направление на минимум с номером m.
Если разность хода крайних лучей равна нечетному числу полуволн:

1

  2m  1    m   ,
(2.4)
2
2

то при наблюдении из точки Р в щели помещается нечетное число зон
Френеля. Каждая зона гасит соседнюю, а оставшаяся последняя посылает свет
в направлении max,m и образует максимум. Поэтому условие максимумов
имеет вид:
1

a sin max,m   m   ;
(m=1, 2, 3,…)
(2.5)
2

Соображения, приводящие к выражениям (2.3) и (2.5), имеют, вообще
говоря, приближенный характер, поскольку мы применили метод зон Френеля
для бесконечно удаленных точек наблюдения, рассматривая дифракцию в
параллельных лучах, однако условие минимумов (2.3) оказывается точным.
Что же касается «центральной» точки О экрана, расположенной против
центра щели, то в нее попадает пучок неотклонённых лучей, ортогональных
щели. Все они имеют одинаковую фазу, т. е. должны усиливать друг друга.
Поэтому в условии минимумов (2.3) исключено значение m=0, соответствующее точке О.
12
  2m 
Значение m=0 исключено и из условия максимумов (2.5), поскольку этот
максимум должен был бы расположиться между центральным максимумом и
первым минимумом, что невозможно.
Точные расчёты показывают, что при наложении всех вторичных волн,
идущих под углом  от каждой точки щели, с учётом их амплитуд и фаз,
амплитуда результирующего колебания имеет вид:
 a

sin  sin  

.
(2.6)
A  A0 
a
 sin 

Для точки О, лежащей против центра щели, угол φ=0 и Аφ=А0. Этот результат следует, как мы видели, и из физических рассуждений. Следующий за
dA
ним первый максимум можно найти при решении уравнения
 0 , что даёт:
d
sin   1.43 

.
(2.7)
a
Из приближенного выражения (2.5) при m=1 следует коэффициент 1.5
вместо правильного 1.43, что приводит к
Iφ
погрешности всего лишь в 5%. Для
других
максимумов согласие с
приближенной формулой становится еще
лучше. При углах φ, удовлетворяющих
условию a sin   m (m=1, 2, 3, ...),
амплитуда A , как видно из (2.6), равна
a  sin  нулю. Это условие определяет положение
минимумов, как и было получено выше в

(2.3).
На
рис.2.2
представлена
Рис.2.2
зависимость интенсивности света от угла
дифракции.
Дифракционная решетка
Широкое распространение в научном эксперименте и технике получили
дифракционные решетки, которые представляют собой множество
параллельных, расположенных на равных расстояниях одинаковых «щелей»,
разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками.
Дифракционные решетки изготавливаются с помощью делительной машины,
наносящей штрихи (царапины) на стекле или другом прозрачном материале.
Там, где проведена царапина, материал становится непрозрачным, а
промежутки между ними остаются прозрачными и фактически играют роль
щелей.
13
Рассмотрим сначала дифракцию света от решетки на примере двух щелей.
Пусть а – ширина щели, а b – ширина
непрозрачного промежутка (рис. 2.3).
Расстояние между серединами соседних
щелей называется периодом решетки:
d=a+b.
(2.8)
Разность хода двух крайних лучей
равна:
(2.9)
  d  sin  .
Если разность хода равна целому
числу длин волн:
Рис. 2.3
(m=0, 1, 2, 3,…) (2.10)
  m ,
то свет, посылаемый каждой щелью,
будет взаимно усиливать друг друга. Условие интерференционных максимумов с учетом (2.9) имеет вид:
(m=0, 1, 2,…)
(2.11)
d  sin   m ,
Это формула для главных максимумов при дифракции на
дифракционной решетке.
Кроме того, в тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях, т. е. главные
минимумы при дифракции на решетке будут наблюдаться в направлениях,
определяемых условием (2.3) для одной щели:
(2.12)
a sin   m ; ( m  =1, 2, 3,…)
Если дифракционная решетка состоит из N щелей, то условием главных
максимумов является, как и в случае двух щелей, соотношение (2.11),
условием главных минимумов – соотношение (2.12), а условие
дополнительных минимумов имеет вид:
m
d  sin   
 , ( m  = 1, 2, …N-1, N+1,…2N-1, 2N+1,..) (2.13)
N
m 
Здесь
может
I
принимать все целочисленные
значения, кроме кратных
числу щелей N: m  0, N, 2N,
.... Следовательно, в случае N
sin 
щелей между двумя главными
максимумами располагается


2

(N–1) дополнительных миниa
a
a
мумов,
разделенных
2

 2
вторичными
максимумами,


d
d
d d
создающими
относительно
слабый фон.
Рис. 2.4
14
Рис. 2.4 даёт представление о распределении интенсивности при
дифракции на решётке. Положение главных максимумов зависит от длины
волны λ. Поэтому при пропускании через решетку белого света все
максимумы, кроме центрального, разлагаются в спектр, фиолетовый конец
которого обращен к центру дифракционной картины, а красный – наружу.
Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный
прибор. Заметим, что в то время как стеклянная призма сильнее всего
отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, наоборот, сильнее
отклоняет красные лучи.
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: гелий-неоновый лазер, дифракционная решетка,
содержащая 50 штрихов/мм.
Экспериментальная установка
Принципиальная схема лабораторной установки представлена на рис. 2.5.
Методика измерений
Методика измерения длины волны монохроматического излучения, каковым является лазерное, состоит в исследовании картины, получаемой после
прохождения излучения через дифракционную решетку. Определяя на дифракционной картине расстояние x между двумя симметричными главными максимумами разных порядков и измеряя расстояние от дифракционной решетки до
экрана, можно легко найти длину волны лазерного излучения. Для угла
дифракции φ (рис.2.5) получим:
l
φ
Рис. 2.5
x
x
tg  2  .
l
2l
(2.14)
Из (2.11) получим:

d
 sin  .
m
(2.15)
15
Период дифракционной решётки, которая используется в данной работе,
d=0.02 мм.
Внимание!
1. Работая с лазером, ПОМНИТЕ, что на электроды газоразрядной
трубки подается ОПАСНОЕ ДЛЯ ЖИЗНИ высокое напряжение.
2. Попадание лазерного излучения на сетчатку глаза вызовет непродолжительное ослепление или более серьезные неприятности.
Порядок выполнения работы
1. Включайте установку в присутствии преподавателя. Включите лазер
тумблером "СЕТЬ". Через несколько секунд вы сможете наблюдать генерацию
лазерного луча.
2. Установите дифракционную решетку и экран перпендикулярно лучу лазера.
3. Измерьте расстояние l от дифракционной решетки до экрана.
4. Определите расстояние x между двумя максимумами первого порядка
(m=1), расположенными симметрично по разные стороны от центрального "нулевого" максимума (наиболее яркого пятна на экране).
5. Измерьте x для максимумов с номерами m=2, 3, 4, … В затемненном помещении удается наблюдать максимумы до 6-7 порядка. Все данные запишите
в табл.2.1.
6. Выключите лазер.
7. Вычислите tg по (2.14) и угол дифракции φ.
8. Определите длину волны лазерного излучения для каждого порядка по
формуле (2.15); рассчитайте её среднее значение λср. и погрешность Δλ. Все
результаты запишите в таблицу 2.1.
9. Сделайте выводы.
Таблица 2.1
tg
Порядок
d,
l,
х,
φ,
,
ср.,
Δ, Δ ср.,
максимума
м
м
град.
м
м
м
м
m
м
1
2.10-5
2
3
4
5
6
7
Контрольные вопросы
1. Что такое дифракция волн?
2. Сформулируйте принцип Гюйгенса-Френеля.
3. При каких условиях возможно наблюдение дифракции?
16
4. Какой вид имеет дифракционная картина при дифракции на щели?
Сформулируйте и докажите условия минимума (2.3) и максимума (2.5).
5. Что такое дифракционная решётка?
6. Сформулируйте и докажите условие главных
максимумов при
дифракции на решётке (2.11).
7. Сформулируйте условия главных и дополнительных минимумов при
дифракции на решётке (2.12) и (2.13).
8. Как влияет период дифракционной решётки на дифракционную
картину?
9. Как изменится дифракционная картина, если увеличить общее число
штрихов N, не меняя её период d?
10. Как определить наибольший порядок спектра дифракционной
решётки?
11. Почему при использовании белого света только центральный
максимум белый, а остальные радужно окрашены?
Используемая литература
[1] §§ 32.1, 32.3, 32.4;
[2] §§ 25.1, 25.4, 25.5;
[3] §§ 3.36, 3.38, 3.39;
[5] §§ 90, 93, 94;
[7] §§ 176-180.
Лабораторная работа 3-03
Проверка закона Малюса
Цель работы: исследование зависимости интенсивности света, прошедшего через систему двух скрещенных поляроидов, от угла между их главными
плоскостями.
Теоретическое введение
Линейно поляризованный свет. Следствием теории Максвелла является
поперечность световых волн:
векторы напря

женности
электрического
и
магнитного
H
E
v
полей волны взаимно перпендикулярны и

колеблются перпендикулярно вектору скорости v
распространения волны (рис.3.1). При рассмотрении поляризации обычно все рассуждения
связывают с плоскостью колебаний вектора

напряженности
электрического
поля
–
E
Рис. 3.1
светового вектора, так как химическое, физиологическое и другие виды воздействия света на вещество обусловлены главным
образом электрическими колебаниями.
17
Электромагнитная волна от отдельного элементарного
излучателя (атома, молекулы) всегда поляризована. В свете,
испускаемом обычными источниками, имеются колебания,
совершающиеся
в
различных
направлениях,
перпендикулярных к лучу. В таких световых волнах,
исходящих из различных
элементарных излучателей

Рис. 3.2
(атомов), векторы E имеют различные ориентации,
причем все эти ориентации равновероятны, что обусловлено большим числом атомных излучателей. Такой свет называется
естественным, или неполяризованным (рис.3.2).
Из пучка
 естественного света можно выделить часть, в которой колебания
вектора E будут происходить в одном определенном направлении в
плоскости, перпендикулярной лучу, т.е. выделенный свет будет линейно
поляризованным. Плоскость, в которой колеблется
 световой вектор (то есть
вектор напряжённости электрического поля E ), называется плоскостью
колебаний. По историческим причинам плоскостью
поляризации была названа

не плоскость, в которой колеблется вектор E , а перпендикулярная к ней
плоскость.
Закон Малюса. Плоскополяризованный свет можно получить из
естественного с помощью приборов, называемых поляризаторами. Эти
приборы свободно пропускают колебания, параллельные плоскости, которая
называется главной плоскостью поляризатора, и полностью задерживают
колебания, перпендикулярные к этой плоскости. Колебание амплитуды E0,
совершающееся в плоскости, образующей угол φ с главной плоскостью
поляризатора, можно разложить на два колебания с амплитудами
(3.1)
E||  E0 cos 
и E  E0 sin (рис. 3.3). Первое колебание пройдёт через прибор, второе
будет задержано. Интенсивность волны пропорциональна квадрату её
амплитуды: I  E0 2 , поэтому из (3.1) получим: E||2  E02 cos 2  , или для
интенсивности I прошедшей через поляризатор волны:
E0

E||
E
Рис. 3.3
18
I  I 0 cos 2  ,
(3.2)
где
I0
–
интенсивность
падающей
на
поляризатор
линейно поляризованной волны, φ
–
угол
между
главной
плоскостью поляризатора и
плоскостью колебаний падающей
волны.
Соотношение (3.2) носит
название закона Малюса.
В естественном свете все значения φ равновероятны. Поэтому доля
света, прошедшего через поляризатор, будет равна среднему значению
cos 2  , т.е. ½:
1
(3.3)
I ест.
2
При вращении поляризатора вокруг направления естественного луча
интенсивность прошедшего света остаётся одной и той же, изменяется лишь
ориентация плоскости колебаний света, выходящего из прибора.
Поставим на пути естественного луча два поляризатора, главные
плоскости которых образуют угол φ. Из первого поляризатора выйдет
1
плоскополяризованный
свет,
интенсивность
которого
I 0  I ест. .
2
Интенсивность света, вышедшего из второго поляризатора (его называют
анализатором), согласно закону Малюса (3.2) равна:
1
(3.4)
I  I ест. cos 2  .
2
Максимальная интенсивность, равная
Iест./2, получается при φ=0 (главные плоскости
поляризаторов параллельны). При φ=π/2
интенсивность равна нулю – скрещенные
поляризаторы света не пропускают (рис.3.4).
Рис. 3.4
Эллиптическая поляризация. Рассмотрим
две
когерентные
плоскополяризованные
световые волны, плоскости колебаний которых взаимно перпендикулярны.
Пусть колебания в одной волне совершаются вдоль оси х (рис.3.5), во второй –
вдоль оси у (оси х и у лежат в перпендикулярной к лучу плоскости). Проекции
световых векторов этих волн на соответствующие оси изменяются по закону:
E x  A1 cos   t 
(3.6)
E y  A2 cos   t   .
I 0  I ест. cos 2  
Величины Ех и Еу представляют собой координаты

конца результирующего светового вектора E (см. рис.
3.5). Исключая переменную t, получим:
x2
Рис. 3.5
A12

y2
A22

2 xy
cos   sin 2  .
A1  A2
(3.7)
Это в общем случае уравнение эллипса. Таким образом, две когерентные
плоскополяризованные световые волны, плоскости колебаний которых
взаимно перпендикулярны, при наложении друг на друга дают волну, в
которой световой вектор (вектор E ) изменяется со временем так, что конец его
описывает эллипс. Такой свет называется эллиптически поляризованным.
19
При разности фаз    эллипс вырождается в прямую, и получается
плоскополяризованный свет. При разности фаз  

и равенстве амплитуд
2
складываемых волн эллипс превращается в окружность. В этом случае
получается свет, поляризованный
по кругу. В зависимости от направления

вращения вектора E различают правую и левую эллиптическую и круговую
поляризацию.
Поляризация при двойном лучепреломлении. При прохождении света через
некоторые кристаллы световой луч разделяется на два луча. Это явление,
получившее название д в о й н о г о л у ч е п р е л о м л е н и я , было наблюдено в
1670 г. Эразмом Бартоломином для исландского шпата (разновидность
углекислого кальция, СаСО3). При двойном лучепреломлений один из лучей
удовлетворяет обычному закону преломления и лежит в одной плоскости с
падающим лучом и нормалью. Этот луч называется о б ы к н о в е н н ы м и
обозначается на чертежах буквой о. Для другого луча, называемого
н е о б ы к н о в е н н ы м (его принято обозначать
е буквой е), отношение (sini1/sini2) не остается
постоянным при изменении угла падения. Даже при
о нормальном падении необыкновенный луч, вообще
говоря, отклоняется от первоначального направления
(рис.3.6). Кроме того, необыкновенный луч не лежит,
как правило, в одной плоскости с падающим лучом и
Рис. 3.6
нормалью к преломляющей поверхности.
Явление двойного лучепреломления наблюдается для всех прозрачных
кристаллов, за исключением принадлежащих к кубической системе. У так
называемых одноосных кристаллов имеется направление, вдоль которого
обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются не разделяясь и с
одинаковой скоростью. Это направление называется о п т и ч е с к о й осью
к р и с т а л л а . Следует иметь в виду, что оптическая ось – это не прямая
линия, проходящая через какую-то точку кристалла, а определенное
направление в кристалле. Любая прямая, параллельная данному направлению,
является оптической осью кристалла.
Любая плоскость, проходящая через оптическую ось, называется
г л а в н ы м с е ч е н и е м или г л а в н о й п л о с к о с т ь ю кристалла. Обычно
пользуются главным сечением, проходящим через световой луч.
Оба луча, обыкновенный и необыкновенный, полностью поляризованы во
взаимно перпендикулярных направлениях (см. рис.3.6). Плоскость колебаний
обыкновенного луча перпендикулярна к главному
сечению кристалла. В

необыкновенном луче колебания вектора E совершаются в плоскости,
совпадающей с главным сечением.
В некоторых кристаллах один из лучей поглощается сильнее другого. Это
явление называется д и х р о и з м о м . Весьма сильным дихроизмом в видимых
лучах обладает кристалл турмалина. В нем обыкновенный луч практически
20
полностью поглощается на длине 1 мм. Таким же свойством обладает
поляроид – целлулоидная пленка, в которую введено большое количество
одинаково ориентированных кристалликов сульфата йодистого хинина (в этих
кристаллах один из лучей поглощается на пути примерно в 0.1 мм).
Следовательно, поляроид может быть использован в качестве поляризатора.
Двойное лучепреломление объясняется анизотропией кристаллов. В
кристаллах
некубической
системы
зависимость
от
направления
обнаруживает, в частности, диэлектрическая проницаемость ε. В одноосных
кристаллах ε в направлении оптической оси и в направлениях,
перпендикулярных к ней, имеет различные значения || и   . В других
направлениях ε имеет промежуточные значения.
Поскольку
(3.8)
n  ,
то из анизотропии ε вытекает, что электромагнитным
волнам с различными

направлениями колебаний вектора E соответствуют разные значения
показателя преломления п. Поэтому скорость световых волн
в кристалле

будет зависеть от направления колебаний светового вектора E .
В обыкновенном луче колебания светового вектора происходят в
направлении, перпендикулярном к главному сечению кристалла (на рис.3.7
эти колебания изображены точками на соответствующем луче). Поэтому при
любом направлении обыкновенного луча (на рис.3.7
указаны три направления:

1, 2 и 3) вектор E образует с оптической осью
кристалла прямой угол и скорость световой волны
будет одна и та же, равная
с
vо 
.
(3.9)

Изображая скорость обыкновенного луча в виде
отрезков, отложенных по разным направлениям, мы
получим сферическую поверхность. На рис.3.7
показано пересечение этой поверхности с плоскостью
чертежа. Представим себе, что в точке О кристалла
Рис. 3.7
помещается точечный источник света. Тогда
построенная нами сфера будет не что иное, как волновая поверхность
обыкновенных лучей в кристалле. Колебания в необыкновенном луче
совершаются в главном
сечении. Поэтому для разных лучей направления

колебаний вектора E (на рис.3.7 эти направления изображены двусторонними
стрелками) образуют с оптической осью разные углы. Для луча 1 угол равен
с
π/2, вследствие чего скорость равна v о 
; для луча 2 угол равен нулю, и

с
скорость равна v e 
. Для луча 3 скорость имеет промежуточное
||
21
значение. Таким образом, волновая поверхность необыкновенных лучей
представляет собой эллипсоид вращения. В местах пересечения с оптической
осью кристалла сфера и эллипсоид соприкасаются.
В зависимости от того, какая из скоростей, vо или ve, больше, различают
положительные и отрицательные одноосные кристаллы. У положительных
кристаллов ve<v0 (nе>n0). У отрицательных кристаллов ve> v0 (ne<n0).
Искусственное двулучепреломление. Двойное лучепреломление может
возникать в прозрачных изотропных телах, а также в кристаллах кубической
системы под влиянием различных воздействий: сильного однородного
электрического (эффект Керра) или магнитного поля, а также при
механических деформациях тел. Мерой возникающей оптической анизотропии
может служить разность показателей преломления обыкновенного и
необыкновенного лучей. Опыт показывает, что эта разность пропорциональна
механическому напряжению σ в данной точке тела (то есть силе, приходящейся
на единицу площади):
no  ne  k ,
(3.10)
где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств вещества.
Поместим стеклянную пластинку Q между скрещенными поляризаторами
Р и Р' (рис.3.8). Пока стекло не деформировано, такая система свет не
пропускает. Если же стекло подвергнуть деформации (например,
одностороннему сжатию), свет через систему начинает проходить, причем
наблюдаемая в прошедших лучах картина будет испещрена цветными
полосами. Каждая такая полоса соответствует
одинаково деформированным местам пластинки.
Следовательно, по характеру расположения полос
можно судить о распределении напряжений внутри
пластинки.
На искусственном двойном лучепреломлении
основывается
оптический
метод исследования
напряжений.
Изготовленная
из
прозрачного
Рис. 3.8
изотропного материала (например, из целлулоида или
плексигласа) модель какой-либо детали или конструкции помещается между
скрещенными поляризаторами. Модель подвергается действию нагрузок,
аналогичных тем, какие будет испытывать само изделие. Наблюдаемая при
этом в проходящем белом свете картина позволяет определить распределение
напряжений, а также судить об их величине.
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: установка, включающая осветитель, фотоэлемент, два поляроида, микроамперметр, объекты исследования.
22
Описание установки
Схема установки показана на рис.3.9. В корпусе основания помещена
лампа накаливания 1, закрытая стеклом. На верхней панели основания размещены микроамперметр 2 для регистрации фототока, ручка регулировки величины фототока 3 и тумблер включения установки. На стойке смонтированы
четыре столика, по которым могут двигаться различные объекты. На первом
столике снизу находится поляроид 4, служащий поляризатором. На второй
столик помещают объекты исследования: препарат для наблюдения интерференции в поляризованном свете 5(а), анизотропный кристалл 5(б) и модель нагруженной балки из оргстекла 5(в).
На третьем столике установлен поляроид 6 с лимбом для отсчета углов,
играющий роль анализатора. На четвертом столике находится фотоприемник 7
для регистрации интенсивности света, прошедшего через поляроиды.
Внимание! Из-за недостаточно высокого быстродействия фотоприемника снятие показаний микроамперметра нужно производить не ранее, чем
через 10 секунд после поворота поляроида.
Ввиду использования в данной работе пленочных поляроидов, характерным недостатком которых является селективность поглощения при разных
длинах волн, интегральное излучение лампы, прошедшее через поляризатор,
не будет иметь степень поляризации 100%, т.е. будет частично поляризовано.
Так как закон Малюса справедлив лишь для полностью линейно-поляризованного света, то при проверке закона Малюса из значений фототока нужно исключить фототок,
вызванный
неполяризованной
компонентой света. Для этого
измеряют фототок при скрещенных осях поляроидов (соответствующих максимальному затемнению). Это значение фототока
соответствует сумме интенсивности неполяризованной компоРис. 3.9
ненты света лампы накаливания,
дошедшей до фотоприемника, и
фоновой засветки. В дальнейшем будем называть это значение фототока фоновым и обозначать Iф .
Порядок выполнения работы
Задание 1. Наблюдение различных поляризационных явлений.
1. Включите электропитание установки.
2. Выведите фотоприемник из светового луча, сместив его влево.
3. Перемещая столик 5, введите в пучок света свободное отверстие.
23
4. Вращая один из поляроидов относительно другого, наблюдайте ослабление и усиление света. Опишите явление, объясните.
5. Поставьте поляроиды в скрещенное положение (поле зрения темное).
Введите в пучок света модель балки. Зарисуйте наблюдаемую картину, объясните. В процессе выполнения задания можно, слегка поворачивая винт (не более четверти оборота), изменить нагрузку на балку.
Задание 2. Количественная проверка закона Малюса.
1. Установите риску анализатора против цифры "90" на лимбе. Вращая
поляризатор, добейтесь максимального затемнения (поляроиды скрещены).
2. Введите в луч света фотоприемник и измерьте фоновое значение фототока Iф. Это значение фототока необходимо вычитать из всех последующих
измеренных значений.
3. Переведите анализатор в положение "0". Убедитесь, что фототок максимален. Значение максимального фототока запишите в таблицу 3.1.
4. Вращая анализатор от "0" до "90", измерьте значение фототока Iизмер.
5. Вычислите экспериментальное значение фототока Iэксп=Iизмер–Iф, введя
поправку на фоновый ток.
6. Вычислите теоретическое значение фототока: I теор.  I max cos 2  , где
Imax – максимальное значение Iэксп.; все результаты запишите в табл.3.1.
Таблица 3.1
φ, град. Iф, мкА
Imax, мкА
Iизмер, мкА
Iэксп, мкА
Iтеор, мкА
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
7. Постройте графики Iтеор=f(φ) и Iэкс = f(φ) в одних и тех же координатных
осях.
8. Сделайте выводы.
1.
2.
кость
3.
4.
24
Контрольные вопросы
Что представляет собой электромагнитная волна?
Что такое плоско (или линейно) поляризованный свет? Какая
называется плоскостью поляризации? Плоскостью колебаний?
Чем естественный свет отличается от поляризованного?
Возможна ли поляризация продольных волн?
плос-
5. Как можно получить линейно поляризованный свет?
6. Сформулируйте и выведите закон Малюса.
7.
Какой
свет
называется
эллиптически
поляризованным?
Поляризованным по кругу?
8. В чем заключается явление двойного лучепреломления? Как оно
объясняется?
9. Как поляризованы обыкновенный и необыкновенный лучи?
10. Что такое главная плоскость кристалла?
11. Что такое дихроизм?
12. Как можно создать искусственную анизотропию? Где она
применяется?
Используемая литература
[1] §§ 30.1, 34.1, 34.2, 34.4;
[2] § 26.1;
[3] §§ 3.31, 3.46, 3.47;
[5] §§ 98, 100, 101;
[7] §§ 190-195.
Лабораторная работа 3-04
Вращение плоскости поляризации
Цель работы: изучение принципа работы поляриметров, определение
удельного вращения кварца и раствора сахара, определение концентрации
сахара в растворе.
Теоретическое введение
Свет является поперечной электромагнитной волной. Естественный свет
представляет собой совокупность волн, излучаемых множеством атомов
независимо друг от друга. Поэтому естественный
свет не поляризован. Если же

направления колебаний светового вектора Е каким-либо образом
 упорядочить,
то свет будет поляризованным. Если колебания вектора Е происходят в
одной плоскости, то свет называется плоско-поляризованным.
Поляризованный свет можно получить из естественного с помощью
поляризатора (призма Николя, поляроид и др.). Он пропускает колебания,
параллельные только одной (главной) плоскости, и полностью задерживает
колебания, перпендикулярные этой плоскости.
Чтобы исследовать, является ли свет после прохождения поляризатора
действительно плоско-поляризованным, на пути лучей ставят второй

поляризатор, который называют анализатором. Пусть колебания вектора Е
поляризованной световой волны совершаются в плоскости, составляющей угол
φ с главной плоскостью анализатора. Амплитуду Е этих колебаний можно
25
разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие: Е1 –
совпадающую с главной плоскостью анализатора и Е2 – перпендикулярную ей
(рис. 4.1):
E1  E cos  ,
E2  E sin .
(4.1)
Первая составляющая колебаний пройдет через
анализатор, вторая будет задержана им. Интенсивность
света
пропорциональна
квадрату
амплитуды,
следовательно, интенсивность света, прошедшего через
анализатор,
Малюса):
пропорциональна
E cos  2
(закон
(4.2)
I  I 0 cos 2  ,
где I 0 – интенсивность поляризованного света,
падающего на анализатор; φ – угол между плоскостью колебаний падающего
света и главной плоскостью анализатора.
Если главные плоскости поляризатора и анализатора параллельны (φ=0, π;
cosφ=±1), то экран, помещенный за анализатором, будет максимально
освещенным. Если φ=π/2, т.е. cosφ=0 (поляризатор и анализатор скрещены), то
экран будет темным.
Среди явлений, возникающих при взаимодействии света с веществом,
важное место и в принципиальном, и в практическом отношении занимает
явление, открытое Д. Араго в 1811 г. при изучении двойного лучепреломления
в кварце: при прохождении поляризованного света через некоторые
вещества наблюдается вращение плоскости поляризации. Такие вещества
называются оптически активными. К их числу относятся кристаллические
тела (кварц, киноварь и др.), чистые жидкости (скипидар, никотин и др.) и
растворы некоторых веществ (водные растворы сахара, винной кислоты и др.).
Измерение
вращения
плоскости
поляризации
стало
популярным
аналитическим методом в ряде промышленных областей.
Кристаллические вещества, например, кварц, сильнее всего вращают
плоскость поляризации в случае, когда свет распространяется вдоль
оптической оси кристалла. Угол поворота φ пропорционален пути l,
пройденному лучом в кристалле:
φ=α l.
(4.3)
Коэффициент α называют постоянной вращения.
Для растворов Ж.Био (1831 г.) обнаружил следующие закономерности:
угол φ поворота плоскости поляризации пропорционален пути l луча в
растворе и концентрации С активного вещества в растворе:
φ=[α]Сl,
(4.4)
где [α] – удельное вращение. Оно характеризует природу вещества, зависит от
природы вещества и температуры. Удельное вращение обратно
Рис. 4.1
пропорционально квадрату длины волны:  
1
2
, поэтому при пропускании
поляризованного света через раствор оптически активного вещества плоскости
26
поляризации волн различной длины будут поворачиваться на разные углы. В
зависимости от положения анализатора через него проходят лучи различной
окраски. Это явление называется вращательной дисперсией.
При 20°С и λ=589 нм удельное вращение сахара равно: [α]=66.5
.
град см3/(г.дм)=0.665 град.м2/кг. Постоянная вращения кварца для жёлтых
лучей (λ=589 нм): α=21.7 град/мм, а для фиолетовых (λ=404.7 нм) α=48.9
град/мм.
Исследования показали, что объяснение явления вращения плоскости
поляризации света в естественно-активных веществах можно получить,
рассматривая общую задачу взаимодействия электромагнитной световой
волны с молекулами или атомами веществ, если только принять во внимание
конечные размеры молекул и их структуру. Эта задача очень сложна. В свое
время О.Френель (1817 г.) представил описание этого явления, сведя его к
особому типу двойного лучепреломления. В основе рассуждений Френеля
лежит гипотеза, согласно которой скорость распространения света в активных
веществах различна для волн, поляризованных по левому и по правому кругу.
Представим плоско-поляризованную волну как суперпозицию двух волн,
поляризованных по кругу вправо

и влево с одинаковыми амплитудами и
периодами. Если оба вектора Е1 и Е2 вращаются с одинаковой скоростью, то
геометрическая сумма их в каждый момент времени будет лежать в одной и
той же плоскости Р (рис. 4.2, а).
Если скорости распространения обеих волн окажутся неодинаковыми,
то


по мере прохождения через вещество один из векторов, Е1 или Е2 , будет
отставать в своем вращении от другого вектора, в результате чего плоскость
P’,

в которой лежит результирующий вектор Е , будет
поворачиваться относительно первоначальной
плоскости Р (рис. 4.2, 6).
Различие в скоростях света с разным
направлением
круговой
поляризации
обусловливается асимметрией молекул, либо
асимметричным размещением атомов в кристалле.
На рис. 4.3 приведен пример асимметричной
молекулы. В центре тетраэдра помещается атом
углерода, в вершинах – отличающиеся друг от
Рис. 4.2
друга атомы или группировки атомов (радикалы),
обозначенные буквами X, Y, Z и V. Молекула,
изображенная на рис.4.3,б, является зеркальным отражением молекулы,
показанной на рис. 4.3,а. У них нет ни центра
симметрии, ни плоскости симметрии, и они не могут
быть пространственно совмещены друг с другом
никакими поворотами и перемещениями. Физические
и химические свойства чистых оптических изомеров
совершенно одинаковы. Но если, например, вещество,
Рис. 4.3
27
образованное молекулами а, правовращающее, то вещество, образованное
молекулами б, будет левовращающим. Значения удельного вращения для
обеих модификаций отличаются только знаком.
Кроме того, физиологическое и биохимическое действие оптических
изомеров часто совершенно различно. Так, в живой природе белки строятся из
левых оптических изомеров аминокислот (19 из 20 жизненно важных
аминокислот оптически активны). Белки, синтезированные искусственным
путём из правых аминокислот, не усваиваются организмом; а левый никотин в
несколько раз ядовитее правого. Удивительный феномен преимущественной
роли только одной из форм оптических изомеров в биологических процессах
может иметь фундаментальное значение для выяснения путей зарождения и
эволюции жизни на Земле.
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: поляриметр, кюветы с растворами сахара.
Описание установки
Используемый в работе прибор изображен на рис. 4.4. Его основные части:
два николя I и II , расположенные в металлической трубке 1, поддерживаемой
штативом 2. На николь I падает естественный луч света от источника 3.
Поляризованный луч света падает на
николь
II,
который
может
поворачиваться
при
помощи
кремальеры (винта) 4 вокруг оси
прибора. Углы поворота николя II
отсчитываются при помощи нониуса
по разделенному градусному лимбу в
окуляре 7.
Рис. 4.4
Часть стенки корпуса 6 прибора
может перемещаться, открывая доступ
во внутреннюю часть корпуса, куда поочередно помещают трубки с
исследуемыми растворами сахара.
В работе используется медицинский сахариметр, оптическая схема
которого приведена на рисунке 4.5.
Рис. 4.5
28
Источником света в сахариметре является лампа накаливания Л. Свет от
лампы падает на фильтр Ф и объектив О. Полученный монохроматический
свет проходит через поляризатор П, кювету Т с раствором и анализатор А. В
качестве поляризатора и анализатора в приборе используются поляроиды.
После анализатора свет проходит через объектив Об и окуляр Ок зрительной
трубы сахариметра, которая служит для визуального наблюдения поля зрения.
Вследствие адаптации глаза визуально трудно оценивать абсолютную
освещенность. В то же время легко сравнивать освещенность различных частей
поля зрения. Для разделения поля зрения на части в сахариметре
непосредственно за поляризатором расположена тонкая кварцевая пластинка
К, через которую проходит средняя часть пучка поляризованного света,
вышедшего из поляризатора.
В результате введения кварцевой пластинки поле зрения сахариметра
оказывается разделенным на три части. Средняя часть освещается светом,
прошедшим через поляризатор, кварцевую пластинку и анализатор, а две
крайние части поля зрения – светом, прошедшим через поляризатор и
анализатор. Так как кварц является оптически активным веществом, то после
прохождения поляризованного света через пластинку его плоскость
поляризации поворачивается на некоторый угол (рис. 4.6,а).
Поворачивая анализатор, можно получить равномерно освещенное поле
зрения. Это происходит при двух положениях анализатора: 1) плоскость АА
анализатора совпадает с биссектрисой угла между направлениями колебаний в
средней и крайних частях
а
б
в
поля зрения (рис. 4.6, б); 2)
плоскость
анализатора
перпендикулярна биссектрисе
угла между направлениями
колебаний (рис. 4.6, в).
В одном случае яркость
Рис. 4.6
поля зрения будет больше, в
другом – меньше. При работе
с сахариметром следует уравнивать части поля зрения при меньшей яркости.
Если установить анализатор на равную освещенность всех частей поля
зрения, а затем поместить между поляризатором и анализатором трубку с
раствором сахара, то равенство яркостей средней и
крайней частей поля зрения нарушится. Это
происходит в результате того, что во всех частях поля
зрения плоскость колебаний светового вектора
повернется на один и тот же угол  (рис. 4.7). Для
восстановления равенства освещенностей необходимо
повернуть анализатор на этот же угол , равный углу
Рис. 4.7
поворота
плоскости
поляризации
света
при
прохождении им раствора сахара.
29
Порядок выполнения работы
Задание 1. Определение удельного вращения сахара
1. Включите осветитель сахариметра в сеть.
2. Установите окуляр 5 на ясное видение разделяющих линий тройного
поля зрения.
3. Добейтесь равномерного затемнения трех частей поля зрения, вращая
кремальеру 4. При этом шторка на трубке прибора должна быть закрыта.
4. Снимите отсчет n0 по шкале прибора. Измерение повторите три раза: n'0,
n0'', n0''' и найдите n0 ср.
5. Измерьте и запишите в табл.4.2 длину l трубки 1 с раствором сахара
известной концентрации C1.
6. Поместите трубку 1 в сахариметр и, перемещая окуляр 5, восстановите
фокусировку.
7. Снова добейтесь равномерного затемнения трех частей поля зрения.
Снимите отсчет n.
8. Измерения повторите три раза: n', n", n'" и найдите n ср;
9. Определите угол вращения плоскости поляризации:
=n ср n0 ср.
(4.5)
10. Определите удельное вращение раствора сахара (4.4).
11. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 4.2.
12. Сравните полученное значение удельного вращения с табличным.
n'0
n0''
С1, % С1, кг/м
3
n0'''
n' n'' n''' nср Δnср 1 ,
град
n0 ср.
Таблица 4.1
Δn0 ср.
Таблица 4.2
[],
Δ[] []табл.
1 l, Δl
м
градм2/кг
Задание 2. Определение концентрации раствора сахара
1. Поместите в сахариметр трубку 2 с раствором сахара неизвестной
концентрации С2 и, повторив операции п. 2÷9 задания 1, определите угол
вращения  2 плоскости поляризации для этого раствора.
2. Вычислите концентрацию С2 неизвестного раствора сахара по формуле
(4.4), используя полученное в задании 1 значение [].
3. Определите погрешность концентрации ΔС2.
4. Данные измерений и вычислений занесите в таблицу 4.3.
5. Повторите те же измерения и вычисления для трубки 3 с раствором
неизвестной концентрации С3; все данные занесите в табл. 4.3.
30
Образец
l,
м
n'
n''
n'''
nср
,
град
Таблица 4.3
ΔС
С
Δ
%
кг/м3
%
кг/м3
Трубка 2
Трубка 3
Задание 3. Определение толщины кварцевой пластинки
1. Поворотом винта 4 добейтесь максимального затемнения крайних полей
зрения. При этом шторка прибора должна быть закрыта; в приборе не должно
быть трубки с раствором.
2. Запишите в табл.4.4 отсчёт n1 по шкале.
3. Добейтесь максимального затемнения среднего поля зрения; запишите
отсчёт n2.
4. Повторите измерения n1 и n2 не менее пяти раз.
5. Вычислите средние значения n1ср. и n2ср.; рассчитайте их разность:
φ=(n1ср.–n2ср) – это и будет угол поворота плоскости поляризации света
кварцевой пластинкой, сквозь которую проходит центральная часть пучка.
6. По формуле (4.3) рассчитайте толщину пластинки.
7. Оцените погрешность Δl; все результаты запишите в табл.4.4.
8. Сделайте выводы.
№
n1
Δn1
n2
Δn2
φ,
град.
Δφ,
град.
Таблица 4.4
l,
Δl,
м
м
1
2
3
4
5
Среднее
Контрольные вопросы
1. Что такое естественный и поляризованный свет?
2. Укажите способы получения поляризованного света.
3. В чем заключается явление двойного лучепреломления?
4. Изобразите ход лучей в призме Николя.
5. Сформулируйте и докажите закон Малюса.
6. Какие вещества называются оптически активными?
31
7. Что такое удельное вращение? От чего оно зависит?
8. Объясните механизм вращения плоскости поляризации по теории
Френеля.
9. Почему кварц в твёрдом состоянии оптически активен, а в жидком – нет?
10. Объясните назначение основных элементов поляриметра и принцип
его действия.
Используемая литература
[1] §§ 34.1, 34.5;
[2] § 26.1;
[3] §§ 3.31, 3.47;
[5] §§ 98, 100, 101;
[7] §§ 190, 192, 193, 196.
Лабораторная работа 3-05
Изучение зависимости показателя преломления стеклянной призмы от
длины волны
Цель работы: изучение явления дисперсии белого света и построение
дисперсионной кривой.
Теоретическое введение
Дисперсией света называется зависимость показателя преломления n
вещества от частоты  (длины волны ) света или фазовой скорости v световых
волн от его частоты .
Дисперсия света представляется в виде зависимости: n  f (  ) ; n  f ( ) .
Первое экспериментальное исследование дисперсии света было выполнении
Ньютоном в 1672 г. Следствием дисперсии является разложение в спектр
белого света при прохождении его через призму (рис.5.1). После прохождения
Рис. 5.2
Рис. 5.1
света через призму образуется спектр, в котором линии каждой частоты (длины
волны) занимают совершенно определенное место. Величина
dn
D
,
(5.1)
d
32
называемая дисперсией вещества, показывает, как быстро изменяется
показатель преломления с длиной волны. Различают два вида дисперсии:
нормальную (D<0), при которой показатель преломления монотонно
увеличивается с ростом частоты; и аномальную (D>0), при которой показатель
преломления уменьшается с увеличением частоты. Для всех прозрачных
бесцветных веществ в видимой части спектра дисперсия нормальная (участки
1-2 и 3-4 на рис. 5.2). Если вещество поглощает свет в каком-то диапазоне длин
волн (частот), то в области поглощения дисперсия оказывается аномальной
(участок 2-3 рис. 5.2).
Из электромагнитной теории Максвелла известно, что фазовая скорость
электромагнитных волн равна
с
v
,
(5.2)

где c – скорость света в вакууме;  – диэлектрическая проницаемость среды; 
– магнитная проницаемость среды. Для большинства прозрачных сред =1,
следовательно,
с
с
v
;
(5.3)
v ;
n  .
n

Однако из последнего соотношения выявляются некоторые
противоречия: 1) n – переменная величина, а  – постоянная для данного
вещества; 2) значения n не согласуются с опытными значениями: для воды
n≈1.33, а =81.
Трудности объяснения дисперсии с точки зрения электромагнитной
теории Максвелла устраняются электронной теорией Лоренца. В теории Лоренца дисперсия света рассматривается как результат взаимодействия электромагнитных волн с веществом. Движение электронов в атоме подчиняется
законам квантовой механики. В частности, понятие траектории электрона в
атоме теряет всякий смысл. Однако, как показал Лоренц, для качественного
понимания многих оптических явлений достаточно ограничиться гипотезой о
существовании внутри атомов и молекул электронов, связанных квазиупруго.
Будучи выведены из положения равновесия, такие электроны начнут
колебаться, постепенно теряя энергию колебаний на излучение электромагнитных волн. В результате колебания будут затухающими. Затухание можно
учесть, введя «силу трения», пропорциональную скорости.
Электромагнитная волна, в которой вектор напряжённости электрического
поля изменяется по закону:
E t   E0 cos   t ,
(5.4)
проходя через вещество, действует на каждый электрон с силой:
F  qE0 cos   t  ,
(5.5)
где Е0 – амплитуда напряжённости электрического поля волны.
Исходя из второго закона Ньютона, можно записать дифференциальное
уравнение колебаний электрона:
33
d 2r
dr
(5.6)
 02 r  f 0 cos   t  ,
2
dt
dt
где r – смещение электрона из положения равновесия, β – коэффициент
qE
затухания, ω0 – собственная частота колебаний электрона, f 0  0 . Под
m
воздействием силы (5.5) электрон совершает вынужденные колебания:
(5.7)
r  A cos   t    ,
амплитуда А и фаза  которых определяются формулами:
qE0 / m
2
; tg 
.
(5.8)
A
2
2
2



0
02   2  4 2 2
Колеблющийся
электрон
возбуждает
вторичную
волну,
распространяющуюся со скоростью с. Вторичные волны, складываясь с
первичной, образуют результирующую волну. Фазы вторичных волн
отличаются от фазы первичной волны. Это приводит к тому, что
результирующая волна распространяется в веществе с фазовой скоростью v,
отличной от скорости волн в вакууме. Различие между v и с будет тем больше,
чем сильнее вынужденные колебания электронов (то есть чем ближе частота
волны к резонансной частоте электронов). Отсюда вытекает существование
зависимости v от ω.
Чтобы упростить вычисления, затуханием за счёт излучения вначале
будем пренебрегать (β=0), тогда из (5.8) получим:
qE0 / m
;  0.
(5.10)
A
02   2
Таким образом, при отсутствии затухания электрон будет совершать под
действием силы (5.5) колебания, описываемые формулой:
qE0 / m
r t  
 cos   t  .
2
2
0  
С учётом (5.4):
q / m  E t  .
r t  
02   2
В результате смещения электронов из положений равновесия молекула
приобретёт электрический дипольный момент:

qi2 / mi 

pe t    qi ri t   
 E t  .
(5.11)
 2  2 
i
 i 0i

Здесь предполагается, что каждый атом (или молекулу) вещества можно
рассматривать как систему нескольких гармонических осцилляторов –
заряженных частиц с различными эффективными зарядами qi и массами mi,
частоты собственных незатухающих колебаний которых равны 0i . Все эти
осцилляторы смещаются под действием электрического поля волны и вносят

 2


34

свой вклад в поляризацию вещества. Суммирование в (5.11) производится по
всем осцилляторам (оптическим электронам), входящим в состав молекулы.
Обозначим N – число молекул в единице объёма вещества, тогда мгновенное
значение вектора поляризации вещества:

qi2 / mi 

Pt   Npe t   N 
 E t  .
(5.12)
 2  2 
 i 0i

Диэлектрическая проницаемость вещества связана с диэлектрической
восприимчивостью  :
(5.13)
 1  ,
а величина вектора поляризации:


P   0E ,
тогда из (5.3), (5.12-5.14):
(5.14)



qi2 / mi 

 
.
(5.15)
 2  2 
 i 0i

При значениях частоты волны ω, заметно отличающихся от всех
собственных частот 0i , сумма в (5.15) будет мала по сравнению с единицей,
P
N
n   1 1
1
0E
0
2
так что n 2  1 . Вблизи каждой из собственных частот функция (5.15) терпит
разрыв: при ω→ 0i она обращается в    , если ω< 0i , и в    , если
ω> 0i . Такое поведение функции обусловлено тем, что мы пренебрегли
затуханием: положили β=0. Когда β отлично от нуля, функция (5.15) при всех
значениях ω остаётся конечной. На рис. 5.3 показан ход функции (5.15) без
учёта затухания (пунктир) и зависимость n2=f(ω) с учётом затухания (сплошная
кривая). Перейдя от частот к длинам
волн, получим кривую, изображённую
на рис.5.2.
Таким образом, в областях частот,
близким к собственным частотам
0i ,
электронов
имеет
место
аномальная дисперсия, а в остальных
областях – нормальная. Области
аномальной
дисперсии
являются
Рис. 5.3
резонансными
областями.
При
резонансе за счёт вынуждающей силы (5.5) амплитуда вынужденных
колебаний максимальна, при этом обеспечивается максимальная скорость
поступления энергии в систему, световая волна поглощается. Таким образом,
области аномальной дисперсии, вследствие их резонансного характера,
являются областями поглощения. На рис.5.2. пунктирная кривая изображает
ход коэффициента поглощения света веществом.
35
Элементарная теория дисперсии Лоренца не только позволила объяснить
нормальную и аномальную дисперсию, но избирательность поглощения света
на различных частотах.
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: гониометр ГС-5, призмы (крон и флинт), ртутная
лампа.
Методика измерений
В данной работе рассматривается
дисперсия
света
в
призме.
Пусть
монохроматический пучок света падает на
призму с показателем преломления n под
углом i (рис. 5.4). После двукратного
преломления луч оказывается отклоненным
от первоначального направления на угол ,
Рис.5.4
называемый углом отклонения. Двухгранный
угол А называется преломляющим углом
призмы, грань СВ – основанием призмы. Наиболее просто показатель
преломления призмы определяется по углу наименьшего отклонения min. Угол
отклонения =min будет минимален, если угол падения луча i и угол выхода
луча из призмы r будут равны (i=r).
A
Если   , то луч в призме идет параллельно основанию. При этом min
2
=2 и угол падения
i   
 mi n
2

A A   mi n
.

2
2
(5.16)
По закону преломления:
A   min
sin i
2
n

.
(5.17)
A
sin 
sin
2
Таким образом, в данной работе для определения показателя преломления
нужно измерить преломляющий угол призмы А и измерить угол наименьшего отклонения данного луча min.
sin
Описание установки
Гониометр предназначен для точных измерений углов. Конструкция
гониометра ГС – 5 представлена на рис. 5.5.
Здесь 1 – коллиматор, 2 – винт регулировки
диафрагмы, 3 –
микрометрический винт фокусировки, 4 – микрометрический винт подъема,
5 – объектив, 6 – столик, 7 – микрометрические винты установки столика, 8 –
объектив зрительной трубы, 9 – винт фокусировки зрительной трубы (на
обратной стороне), 10 – окуляр, 11 – маховичок микроскопа (на обратной
36
Рис. 5.5
стороне), 12 – окуляр микроскопа,
13 – алидада, 14 – винты точной
установки алидады (на обратной
стороне).
Алидада 13 со зрительной
трубой вращается относительно
вертикальной оси грубо от руки и
точно винтами 14. Отсчет углов
производится по горизонтальной
и
вертикальной
шкалам
микроскопа.
Порядок выполнения работы
Задание 1. Определение преломляющего угла призмы
1. Расположить призму на столике так, чтобы ее основание было
перпендикулярно оси коллиматора.
Рис. 5.6
Рис. 5.7
2. Зажечь ртутную лампу, получить резкое изображение щели коллиматора.
3. Поворачивая зрительную трубу, найти отраженное от грани АВ призмы
изображение щели (рис. 5.6), сфокусировать и совместить его с визирной линией в поле зрения трубы. Снять отсчет N1 по шкале окуляра 12 отсчетного
микроскопа. Для этого повернуть маховичок 11 настолько, чтобы верхние и
нижние штрихи в левом окне поля зрения окуляра совместились (рис.5.7).
Число градусов будет равно первой от вертикального индекса левой цифре
верхней шкалы. Число десятков минут равно числу интервалов между штрихами: верхним (число градусов) и нижним (отличающимся от верхнего на 180).
Число единиц минут находим по шкале в правом окне поля зрения окуляра
по левому ряду чисел.
Число десятков и единиц секунд определяем по правому ряду цифр и
числу делений, считая сверху до горизонтального неподвижного индекса на
этой шкале. (Рис. 5.7 соответствует отсчету 212о 44'13'').
4. Найти отраженное от грани АС изображение щели. Снять отсчет N2.
37
5. Вычислить угол N=|N2–N1|, если N1>N2, то угол N=360о–(N1–N2).
N
6. Вычислить угол по формуле A  .
2
7. Результаты занести в таблицу 5.1.
Таблица 5.1
№
N1
N2
N
A,
(от левой
(от правой
град.
грани)
грани)
1
2
3
Средние
Задание 2. Определение угла наименьшего отклонения min.
1. Расположить зрительную трубу вдоль оси коллиматора. Совместив
перекрестие трубы с изображением щели, определить положение не
отклоненного луча (отсчет N0).
2. Перемещая зрительную трубу, найти спектр ртутной лампы. В видимой
0
0
части спектра ртути видны линии: желтая двойная – =5790 A и 5789 A ;
0
0
светло-зеленая – =5460 A ; фиолетовая – = 4062 A .
3. Сфокусировать зрительную трубу на желтую левую линию ртути.
Вращать столик с призмой так, чтобы желтая линия приближалась к
направлению не отклоненного луча (к оси коллиматора). В некоторый момент
линия начнет двигаться в обратном направлении, несмотря на то, что
направление вращения столика не изменилось. В момент изменения движения
линии призма настроена на угол наименьшего отклонения для желтой линии
ртути. Зафиксировать этот момент, совместив перекрестие зрительной трубы с
линией, закрепить трубу и снять отсчет N.
Если при вращении столика линия будет выходить из поля зрения трубы,
необходимо трубу перемещать вслед за вращающимся столиком.
4. Аналогично провести измерения для остальных линий спектра ртути.
5. Вычислить угол min=|N–No| для всех линий.
6. Результаты отсчетов и вычислений занести в таблицу 5.2.
Таблица 5.2
№
N0
Название линии
N
n
,
min
нм
1
жёлтая
579
2
светло-зелёная
546
3
фиолетовая
406.2
7. Вычислить для всех исследуемых линий показатель преломления n по
формуле (5.17).
38
8. Построить график зависимости n=f() и сделать выводы.
Контрольные вопросы
1. Что такое дисперсия света? Дисперсия вещества?
2. Дайте определение нормальной и аномальной дисперсии.
3. Какова физическая причина зависимости показателя преломления от
длины волны по теории Лоренца?
4. Если электромагнитная волна падает на вещество, то какие силы
действуют на оптические электроны и какой вид движения совершают эти
электроны?
5. Нарисуйте кривую зависимости показателя преломления вещества от
частоты света и объясните качественно её ход.
6. Почему области аномальной дисперсии являются и областями
поглощения?
Используемая литература
[1] §§ 33.4, 33.5;
[2] § 26.2;
[3] § 3.44;
[5] § 102;
[7] §§ 185, 186.
Лабораторная работа 3-06
Определение постоянной Стефана-Больцмана
Цель работы: ознакомление с законами теплового излучения, измерение
постоянной Стефана-Больцмана.
Теоретическое введение
Поток световой энергии, падающий на поверхность непрозрачного тела,
частично входит внутрь тела и поглощается. Поглощенная телом энергия преобразуется в другие формы энергии, чаще всего в энергию теплового движения. Поэтому тела, поглощающие лучи, нагреваются. Тело, нагретое до температуры большей, чем температура окружающей среды, отдает в виде излучения
электромагнитных волн различных длин теплоту (непрерывный спектр). Всякое излучение сопровождается потерей энергии и происходит либо за счет
внутренней энергии, либо за счет получения энергии извне.
Излучение тела, обусловленное тепловым движением молекул, называется тепловым, так как происходит за счёт энергии теплового движения
молекул. Любое тело с температурой Т≠0, излучает, причём спектр излучения
– сплошной. Если уменьшение энергии тела при излучении восполняется за
счёт поглощения излучения, падающего на тело, то излучение называется
равновесным.
39
Тепловое излучение тел может быть охарактеризовано двумя основными
величинами:
1. Интегральная интенсивность излучения, численно равна энергии
всех длин волн, излучаемой в единицу времени с единичной площади
поверхности тела:
dWизлуч .
.
(6.1)
RT 
dtS
Эту величину называют также полной энергетической светимостью. Она
зависит от абсолютной температуры тела.
2. Монохроматическая (дифференциальная) интенсивность излучения
(спектральная плотность энергетической светимости) численно равна
энергии, излучаемой в единицу времени с единичной площади поверхности
тела в единичном интервале длин волн:
dWизлуч .
(6.2)
r ,T 
tSd
или частот:
dWизлуч .
.
(6.2а)
r ,T 
tSd
Монохроматическая интенсивность излучения является функцией длины
волны и температуры (6.2) или частоты и температуры (6.2а). Из определения
вытекает связь между интегральной и монохроматической интенсивностями
излучения:


RT   r ,T d   r ,T d
0
(6.3)
0
Из всей падающей на тело энергии dWпадающ. монохроматического света в
интервале длин волн [ d] часть энергии dWпоглощ. поглощается телом.
dWпоглощ .
3. Величина a ,T 
, показывающая, какую долю энергии падаdWпадающ .
ющего излучения в интервале длин волн [  d] тело поглощает, называется
спектральной поглощательной способностью тела. Тело называется
абсолютно чёрным (АЧТ), если поглощает всё излучение, падающее на него:
для абсолютно черного тела aа .,чT.т.  1.
В природе не существует абсолютно чёрных тел. Тела,
покрытые сажей или платиновой чернью, приближаются по
своим свойствам к абсолютно черным лишь в ограниченном
интервале длин волн.
Наиболее совершенной моделью черного тела может
Рис. 6.1
служить небольшое отверстие в непрозрачной стенке
замкнутой полости (рис.6.1). Луч света, попадающий внутрь
через отверстие, претерпевает многократные отражения от стенок полости,
40
прежде чем он выйдет обратно. При каждом отражении происходит частичное
поглощение энергии света стенками. Поэтому независимо от материала стенок
интенсивность света, выходящего из полости через отверстие, во много раз
меньше интенсивности падающего извне первичного излучения. Эта модель
тем ближе по характеристикам к чёрному телу, чем больше отношение
площади поверхности полости к площади отверстия.
Законы теплового излучения
Закон Кирхгофа. Исходя из второго начала термодинамики, Кирхгоф
показал, что условие теплового равновесия заключается в следующем: отношение монохроматической интенсивности излучения к поглощательной
способности тела не зависит от природы тела; является универсальной
(одинаковой для всех тел) функцией длины волны и температуры
(универсальная функция Кирхгофа):
r ,Т
  (  ,Т ) .
(6.4)
а ,Т
Следовательно, тело, поглощающее какие-либо лучи, будет их же и
излучать, и наоборот. Величина (,Т) не зависит от природы тела и является
функцией лишь длины волны и температуры. Так как для абсолютно черного
тела a,Т=1, то r ,Т   (  ,T ) . Таким образом, универсальная функция
Кирхгофа (,Т) есть монохроматическая интенсивность излучения абсолютно
черного тела.
Для тел, не являющихся абсолютно
ε(λ,Т)
чёрными,
(6.5)
r ,Т  a ,Т   (  ,T ) .
Для
многих
тел
поглощательную
способность можно считать не зависящей от
длины волны: a,Т=а=const<1. Такие тела
называются серыми, величина а называется
коэффициентом серости.
Эксперименты
показали,
что
m
зависимость
()
при
различных
температурах черного тела имеет вид,
Рис. 6.2
изображенный на рис.6.2. По мере
повышения температуры максимум смещается в область коротких волн, а
интенсивность излучения растет. Эти закономерности излучения АЧТ
описываются законами Вина.
Первый закон Вина (закон смещения Вина). Длина волны m, на которую
приходится максимум монохроматической интенсивности излучения,
обратно пропорциональна температуре:
m  b T .
(6.6)
41
Второй закон Вина. Максимальное значение спектральной плотности
энергетической светимости прямо пропорционально пятой степени
абсолютной температуры:
r ,T
max
 b  T 5 .
(6.7)
Первая и вторая константы Вина в (6.6.) и (6.7) равны соответственно:
b=2.9.10-3 м.К, b =1.29.10-5 Вт 2 5 .
м К
В соответствии с (6.3) площадь под графиком функции () равна полной
энергетической светимости АЧТ. По закону Стефана-Больцмана полная
энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна
четвертой степени абсолютной температуры:
RT=T4.
(6.8)
Постоянная Стефана-Больцмана  была определена опытным путем:
=5.67.10-8 Вт/(м2.К4).
Излучение серых тел подчиняется аналогичной закономерности, однако
излучение их для каждой длины волны меньше, чем для абсолютно черного
тела. Полное излучение
RT=аT4.
(6.8а)
«Ультрафиолетовая катастрофа». Несмотря на детальное изучение
характеристик теплового излучения, математический вид функции (,Т)
долгое время оставался для физиков загадкой. Английские учёные Дж.Рэлей и
Дж.Джинс попытались теоретически вывести зависимость (,Т), исходя из
теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням
свободы. Они предположили, что на каждое электромагнитное колебание
приходится в среднем энергия, равная двум половинкам kT – одна половинка
на электрическую, вторая – на магнитную энергию волны (по классическим
представлениям на каждую степень свободы
приходится в среднем энергия, равная kT/2), то есть
rν,Т
средняя энергия осциллятора
  kT .
(6.9)
Полученная ими формула
r ,T 
2 2
kT
(6.10)
c2
Рис. 6.3
хорошо согласовывалась с данными опыта только в
области малых частот излучения. На рис.6.3 пунктир 1 соответствует формуле
Рэлея-Джинса; сплошная кривая 2 – экспериментальная зависимость. Для
больших частот (6.10) даёт r ,T   . Полная энергетическая светимость по
формуле Рэлея-Джинса также равна бесконечности. С точки зрения
классической физики вывод формулы Рэлея-Джинса безупречен, но она
оказалась неверна.
ν
42
Классическая физика оказалась несостоятельной при описании теплового
излучения. Невозможность решения проблемы теплового излучения методами
классической физики назвали «ультрафиолетовой катастрофой».
Гипотеза и формула Планка. Причина «ультрафиолетовой катастрофы»
оказалась
лежащей
чрезвычайно
глубоко.
Законы
классической
электродинамики давали неверный результат при рассмотрении элементарных
процессов, обуславливающих тепловое излучение.
Выход из создавшегося положения указал Макс Планк, выдвинув
гипотезу, совершенно чуждую представлениям классической физики. Он
предположил, что электромагнитное излучение испускается и поглощается
дискретными порциями энергии – квантами электромагнитного поля
(фотонами). Энергия такого кванта пропорциональна частоте колебания
 0  h ,
(6.11)
а коэффициент пропорциональности h=6.63.10-34Дж.с – постоянная Планка –
получил название в честь автора квантовой гипотезы.
Так как излучение испускается порциями, то энергия квантового
осциллятора ε может принимать лишь определённые дискретные значения,
кратные целому числу элементарных порций энергии ε0: ε=nhν (n=0, 1, 2…).
Распределение квантовых осцилляторов по возможным дискретным
состояниям подчиняется закону Больцмана; тогда средняя энергия осциллятора
h
 
,
(6.12)
h
kT
e 1
где k=1.38 10 Дж/с – постоянная Больцмана. Исходя из того, что в состоянии
термодинамического равновесия расход энергии на излучение осцилляторов с
собственной частотой ν должен полностью компенсироваться в результате
поглощения этими осцилляторами энергии падающего на них излучения,
Планк показал, что
.
-23
2 2
r ,T 
 .
2
(6.13)
c
Тогда спектральная плотность энергетической светимости АЧТ
r ,T 
2 2
c
2
h

h
kT
,
(6.14)
e 1
или, при переходе от частоты к длине волны:
 (  ,Т ) 
2 hc2

5

1
hc
kT 
.
(6.14а)
e
1
Это и есть формула Планка. Если бы для определения средней энергии
 осциллятора Планк, подобно Рэлею, воспользовался законом классической
статистики, он получил бы из (6.13) и (6.9) формулу Рэлея-Джинса (5.10).
43
Формула Планка правильно описывает экспериментальную кривую
рис.6.2, на её основе были объяснены все экспериментально открытые законы
теплового излучения, не находившие своего объяснения в рамках классической
физики.
Так, например, из (6.14а) и (6.3) можно получить закон СтефанаБольцмана (6.8) интегрированием функции Планка по всему интервалу длин
волн:

RT    (  ,T )d    T 4 ,
(6.15)
0
где

2 5 k 4

(6.16)
15c 2 h3
Из формулы Планка можно получить также законы Вина, решив
d (  ,T )
уравнение
 0 . Кроме того, формула Планка удовлетворяет принципу
d
соответствия – в области малых частот, когда hν<<kT, (6.14) переходит в
формулу Рэлея-Джинса.
Тепловое излучение – единственное излучение, способное находиться в
термодинамическом равновесии с веществом. При динамическом равновесии
энергия, расходуемая телом на тепловое излучение, компенсируется
вследствие поглощения этим телом такого же количества энергии падающего
на него излучения. Отсюда следует, что если абсолютно чёрное тело находится
в среде, имеющей температуру Т2, и среду можно рассматривать как абсолютно
чёрное тело, то поток поглощённой телом энергии определяется из закона
Стефана-Больцмана: RT 2  T24 . Если температура тела Т1 отличается от
температуры среды Т2, то излучение не будет равновесным, и энергия,
излучаемая в окружающую среду единицей площади тела в единицу времени,
определяется разностью:
R  RT 1  RT 2   ( T14  T24 ) .
Или, с учетом коэффициента серости,

(6.18)

R    а  T14  T24 .
(6.18а)
Излучение накаливаемой током нити, покрытой окалиной, близко к
излучению абсолютно черного тела. Приравнивая мощность, затрачиваемую на
поддержание нити в накаленном состоянии P=IU, и мощность, излучаемую с
ее поверхности, получаем выражение


IU  a S T14  T24 ,
(6.19)
где I и U соответственно сила тока и напряжение, а S – полная площадь
поверхности нити. Используя (6.19), можно опытным путем определить
постоянную Стефана - Больцмана:
44

I U
aS( T14  T24 ) .
(6.20)
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: оптический пирометр ЛОП-72, блок,
содержащий миллиамперметр, реостат, источники постоянного тока, источник
света.
Описание установки
Используемая в работе установка (рис.6.4) состоит из пирометра 1, лампы
накаливания 2, амперметра 3, вольтметра 4, реостата 5, источника постоянного
напряжения 12 В. Основной частью установки является пирометр с исчезающей нитью, при помощи которого определяется температура нити накаливания.
Схема пирометра изображена на рис.6.5.
Основные части пирометра: 1 - объектив; 2 окуляр; 3 - пирометрическая лампа. Через окуляр пирометра имеется возможность наблюдать
яркость накала нити на фоне раскаленного тела, температуру которого требуется опредеРис. 6.4
лить.
Перед окуляром находится красный светофильтр 6, выделяющий из спектров обоих источников излучение определенной длины волны. Ток накала нити пирометрической лампы регулируется реостатом 8 при помощи поворота кольца 5. Можно добиться такого накала нити,
при котором она перестает быть видимой, исчезает на фоне раскаленного тела. Измеряемая температура отсчитывается по шкале 4.
При изготовлении пирометр градуируется по
излучению абсолютно черного тела.
Так как обычные тела излучают не так,
как черное тело, то данная температура не будет истинной. Ее называют яркостной темпеРис. 6.5
ратурой тела. Действительная температура
находится либо при помощи таблиц, прилагаемых к описанию пирометра, либо
по графику.
Данный пирометр позволяет измерить температуру нагретого тела в
интервале 700оС и выше. Введение дымчатого светофильтра позволяет
увеличить температуру до 2000оС.
45
Порядок выполнения работы
1. Включить установку в сеть. Включить тумблер «сеть» на блоке питания.
2. Убедиться, что лампа пирометра горит и накал ее можно менять реостатом 8. Добиться, чтобы в поле зрения пирометра на фоне верхушки нити
пирометра была видна нить исследуемой лампы.
3. Вращая кольцо реостата пирометра, добиться исчезновения нити пирометра на фоне исследуемой лампы
(рис.6.6, в).
4. Полученные
значения яркостной
температуры, силы
тока и напряжения
занести в таблицу
Рис. 6.6
6.1.
5. Повторить измерения при других значениях силы тока через лампу
(всего 5-6 измерений), добиваясь каждый раз исчезновения нити пирометра на
фоне исследуемой лампы.
6. По данным таблицы 6.2 построить график зависимости Тдейст.=f(Тярк).
7. Зная яркостную температуру нити исследуемой лампы, найти по градуировочному графику ее действительную температуру; все данные занести в
табл.6.1.
8. По формуле (6.20) вычислить постоянную Стефана-Больцмана в каждом
опыте. Принять а=0.43; S=25 мм2.
9. Найти среднее значение σсреднее и рассчитать погрешность Δσ. Все
результаты занести в табл.6.1.
10. Из формулы (6.16) выразить постоянную Планка, и, воспользовавшись
значением σсреднее, вычислить экспериментальное значение h. Сравнить с
табличным. Сделать выводы.
№ I, A
1
2
3
4
5
6
46
U, B
Тярк,
К
Тдейст, К
(Т1)
Т2, К
σ,
Вт
300
м2  К4
σ ср.
Δσ
Таблица 6.1
h
Δh
Таблица 6.2
Tярк,К
1073
1173
1273
1383
1473
1573
1673
1873
2073
Tдейст,К 1117
1227
1337
1447
1561
1677
1791
2021
2258
Контрольные вопросы
1. Дайте
определение
спектральной
плотности
энергетической
светимости, полной излучательной способности, поглощательной способности.
Каковы размерности этих величин?
2. Какое излучение называется тепловым?
3. Что такое абсолютно чёрное тело?
4. Сформулируйте законы теплового излучения.
5. Напишите формулу Рэлея-Джинса. Что такое «ультрафиолетовая
катастрофа»?
6. Сформулируйте гипотезу Планка о квантовании энергии излучения.
Запишите формулу Планка.
7. Как из формулы Планка получить законы Стефана-Больцмана и Вина?
8. Почему яркостная температура, измеряемая пирометром, не совпадает с
действительной? Объясните устройство и принцип действия пирометра.
Используемая литература
[1] §§ 35.1-35.3;
[2] §§ 27.1-27.4;
[3] §§ 4.8-4.10;
[6] §§ 1-6;
[7] §§ 197-201.
Лабораторная работа 3-07
Изучение явления внешнего фотоэффекта
Цель работы: определение характеристик фотоэлемента.
Теоретическое введение
Одним из явлений, подтверждающих гипотезу фотонов, является
фотоэлектрический эффект. Явление вырывания электронов с поверхности
твёрдых и жидких тел под действием света (электромагнитного
излучения) называется внешним фотоэффектом.
Впервые явление фотоэффекта было открыто Г.Герцем в 1887г.: он
заметил, что при освещении ультрафиолетовыми лучами металлическое тело
теряет электроны. Первые количественные исследования фотоэффекта сделал
47
А.Г.Столетов, который установил основные законы фотоэффекта. Позже
установка Столетова была усовершенствована Ф.Э.А.Ленардом (рис. 7.1).
Рис. 7.1
Рис. 7.2
Свет, проникающий через кварцевое окно Кв (кварц пропускает ультрафиолетовые лучи), освещает катод К, изготовленный из исследуемого
материала. Электроны, испущенные вследствие фотоэффекта, перемещаются под
действием электрического поля к аноду А. В цепи возникает фототек,
измеряемый гальванометром Г. С помощью потенциометра П можно изменять
напряжение между катодом и анодом, которое показывает вольтметр В.
Законы фотоэффекта. Проанализируем вольт-амперную характеристику
(т.е. зависимость фототока I от напряжения между электродами U), которая
получается в результате фотоэлектрического эффекта. Из кривой на рис. 7.2
видно, что при некотором не очень большом напряжении фототок достигает
насыщения – все электроны, испущенные катодом, попадают на анод. Следовательно, сила тока насыщения Iн определяется количеством электронов, испускаемых катодом в единицу времени под действием света. Поэтому сила
тока насыщения Iн прямо пропорциональна световому потоку
Iн = γФ,
(7.1)
где γ – коэффициент пропорциональности, характеризующий чувствительность
данной поверхности к свету.
Анализ кривой показывает, что электроны вылетают из катода с различными по величине скоростями. Часть электронов обладает достаточными
скоростями, чтобы при U=0 долететь до анода «самостоятельно» и создать ток
I≠0 без помощи ускоряющего поля. Для обращения фототока в нуль необходимо
приложить некоторое задерживающее напряжение Uз. По величине тормозящей
разности потенциалов U3, при которой фототок обращается в нуль, можно
определить скорость самых быстрых фотоэлектронов:
mv 2max
 eU з .
(7.2)
2
Экспериментально было установлено, что максимальная скорость
фотоэлектронов не зависит от интенсивности света, а зависит только от
частоты излучения, и эта зависимость – линейная. Эта экспериментальная
48
зависимость не укладывается в рамки классической электродинамики, так как
скорость фотоэлектронов по классическим понятиям должна зависеть от
интенсивности электромагнитной волны, а не от ее частоты.
Классическая электродинамика не смогла объяснить и безынерционность
фотоэффекта, а также ещё один закон фотоэффекта – существование красной
границы: для каждого материала имеется своя граничная частота ν0, при
которой начинается фотоэффект, так что при частоте света ν≥ν0
фотоэффект наблюдается, а при ν< ν0 – нет.
Уравнение Эйнштейна. В 1905 г. А. Эйнштейн показал, что все
закономерности фотоэффекта легко объясняются, если предположить, что свет
распространяется и поглощается такими же порциями (квантами)  0  h ,
какими он, по предположению Планка, испускается. Взаимодействуя с
электроном вещества, фотон может обмениваться с ним энергией и импульсом.
Фотоэффект возникает при неупругом столкновении фотона с электроном. При
таком столкновении фотон поглощается, а его энергия передается электрону. Таким образом, электрон приобретает кинетическую энергию не постепенно, а
сразу – в результате единичного акта столкновения. Этим и объясняется
безынерционность фотоэффекта.
Энергия, полученная электроном, доставляется ему в виде кванта hν. Часть
этой энергии электрон тратит на то, чтобы вырваться из металла. Для каждого
материала имеется своя работа выхода Авых – наименьшая энергия, которую
необходимо сообщить электрону, чтобы удалить его из вещества в вакуум.
Остаток энергии фотона (hν–Авых) тратится на кинетическую энергию (mv2/2)
электрона. Кинетическая энергия максимальна, если электрон образуется вблизи
поверхности вещества и не расходует энергию на случайные столкновения в
веществе. В этом случае будет выполняться уравнение Эйнштейна:
mv 2max
h 
 Aвых .
(7.3)
2
Уравнение Эйнштейна позволяет объяснить законы фотоэффекта.
Действительно, из соотношения Эйнштейна непосредственно следует, что
максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона линейно возрастает с
увеличением частоты падающего излучения и не зависит от его
интенсивности. Так как с уменьшением частоты падающего света кинетическая
энергия фотоэлектронов уменьшается (для данного вещества катода Авых
постоянна), то при достижении некоторой критической частоты ν=ν0
кинетическая энергия фотоэлектронов станет равной нулю и фотоэффект
прекратится. Согласно Эйнштейну, частота
А
 0  вых .
(7.4)
h
Эта частота  0 и связанная с нею длина волны  0 :
с
hc
0 

(7.5)
 0 Aвых
49
называется красной границей фотоэффекта. Она зависит лишь от работы
выхода электронов, то есть от химической природы вещества и состояния его
поверхности.
Экспериментальная часть
Старая установка
Приборы и оборудование: фотоэлемент, осветитель, выпрямитель, гальванометр, измерительная линейка.
Методика измерений
На явлении фотоэффекта основано действие фотоэлементов – приборов,
находящих широкое применение в науке, технике, народном хозяйстве. Каждый фотоэлемент характеризуется рядом параметров, определяющих не только его свойства, но и пределы применимости.
Важнейшими параметрами фотоэлементов являются: интегральная и спектральная чувствительности, вольт-амперная характеристика, рабочее напряжение и др. Под интегральной чувствительностью  понимают величину
фототока, который течет в короткозамкнутой цепи фотоэлемента при падении
на него единичного потока лучистой энергии, состоящей из волн различной
длины. Таким образом,
I
(7.6)
 ,
Ф
где I – ток в цепи фотоэлемента, Ф – падающий на фотоэлемент световой
поток. Когда приходится иметь дело с видимой областью спектра, величину
светового потока выражают в люменах, и в этом случае []=А/лм.
Освещённость Е поверхности фотоэлемента площадью S равна
Ф
(7.7)
E .
S
Освещённость, создаваемая точечным изотропным источником света на
расстоянии r от него при нормальном падении света:
I
(7.8)
E  св . ,
2
r
где Iсв. – сила света точечного источника. Тогда чувствительность
I
I
I  r2
.
(7.9)
 

Ф ES I св .  S
Другой важной характеристикой фотоэлемента является световая характеристика. Она показывает, как изменяется фототок I при изменении освещенности фотоэлемента Е. График зависимости I=f(Е) позволяет судить об области
применимости того или иного фотоприемника. Световая характеристика фотоэлемента, действие которого основано на внешнем фотоэффекте, позволяет
50
убедиться в одном из законов фотоэффекта: количество вылетающих электронов пропорционально количеству падающих на вещество фотонов; каждый
фотон взаимодействует с одним электроном.
Вольтамперные характеристики отражают зависимость фототока от приложенного к фотоэлементу напряжения при неизменном световом потоке. Эта
характеристика позволяет правильно выбрать рабочее напряжение фотоэлемента. Семейство кривых I=f(U), снятых при различных уровнях освещенности,
хорошо иллюстрируют теорию фотоэффекта Эйнштейна.
Экспериментальная установка
Рис. 7.3
Схема экспериментальной установки приведена на рис.7.3. В работе используется вакуумный фотоэлемент СЦВ-3 (1). Для защиты от постороннего
света он смонтирован в кожухе. Фотоэлемент представляет собой стеклянный
баллон, из которого до определенного давления откачан воздух. На половину
внутренней поверхности баллона напылением наносится слой металла (в СЦВ3 – цезий), являющийся фотокатодом. Анод имеет форму металлической сферы и расположен в центральной части баллона. Электрические части катода и
анода впаяны в нижнюю часть баллона и вмонтированы в цоколь фотоэлемента.
Фотоэлемент и осветитель (2) расположены на рельсах так, что расстояние
между ними можно менять. При освещении фотокатода в цепи фотоэлемента
возникает ток, измеряемый гальванометром (3). Напряжение подается от выпрямителя (4), смонтированного с вольтметром (5) в одном корпусе. Выпрямитель включается в сеть переменного тока проводом (6) и тумблером SA1. Величину напряжения можно изменять потенциометром R и измерять вольтметром.
С помощью данной установки можно снять вольтамперную характеристику фотоэлемента (зависимость силы фототока от напряжения при постоянном
расстоянии между осветителем и фотоэлементом: I=f(U)) и световую характеристику (зависимость фототока насыщения от освещенности: I=f(Е)).
Перед началом измерений следует установить пределы измерений амперметра и вольтметра и определить цену их делений.
Порядок выполнения работы
Задание 1. Снять вольтамперную характеристику фотоэлемента.
1. Ознакомиться с установкой.
51
2. Установить предел измерений вольтметра 30 В (тумблер Uф установить
в положение 0-30).
3. Поставить фотоэлемент на расстоянии 12 см от осветителя и, изменяя
напряжение от минимального до максимального (см. табл.7.1), записывать
значения соответствующего тока. Для того, чтобы установить напряжение
U>30 В, тумблер Uф установить в положение 0-300. При этом предел
измерений вольтметра равен 300 В.
4. Повторить измерения при других значениях расстояния r; все
результаты записать в табл.7.1.
5. Построить графики I=f(U) для расстояний r=12, 14 и 18 см (в одних и
тех же осях).
Задание 2. Получение световой характеристики фотоэлемента.
1. По таблице 7.1 определить для каждого r силу тока насыщения Iнас,
записать в табл.7.2.
2. Рассчитать освещённость Е по формуле (7.8). Силу света лампочки
принять Icв.= 116 кд (единица силы света – кандела, она равна 1 силы света,
60
излучаемого в направлении нормали с 1 см2 светового эталона специальной
60
конструкции, излучение которого соответствует излучению абсолютно чёрного
тела при температуре затвердевания платины).
3. Построить график зависимости Iнас.=f(E).
Таблица 7.1
№ U, В
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
I, мкА
r=0.12 м r=0.14 м r=0.16 м r=0.18 м r=0.20 м r=0.24 м
3
6
12
18
24
30
60
120
180
240
Задание 3. Определение интегральной чувствительности фотоэлемента
1. Рассчитать интегральную чувствительность фотоэлемента по формуле
(7.9), где S = 4 см2:
I
  нас. .
(7.9)
ES
52
2. Вычислить ср., найти погрешность Δγ. Результаты вычислений занести в
таблицу 7.2. Сделать выводы.
№
r, м
1
2
3
4
5
6
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.24
Iнас., мкА
Е, лк
γ,
мкА/лм
Таблица 7. 2
γ среднее,
Δγ
мкА/лм
Новая установка
Приборы и оборудование: установка для изучения явления фотоэффекта.
Методика измерений
Из (7.2) и (7.3) получим:
Uз

h  eUç  Aâû õ
.
График
зависимости
представляет собой прямую:
A
h
Uç    âû õ
e
e
(7.6)
UЗ=f()
(7.7)
h
. Таким
e
0

образом, по графику (рис.7.4) можно
экспериментально
определить
Рис. 7.4
постоянную Планка:
(7.8)
h  e  t g .
Точка пересечения графика с осью абсцисс даёт значение красной границы
фотоэффекта 0.
с угловым коэффициентом
Экспериментальная установка
Экспериментальная установка для изучения фотоэффекта состоит из
объекта исследования (блок 1 на рис.7.5) и измерительного устройства 2,
выполненных в виде конструктивно законченных изделий. Блок 1 выполнен в
виде сборного корпуса, в котором установлены осветитель – ртутная лампа 3 с
источником питания, блок светофильтров 4 и устройство регулировки
освещённости 5. Положение «0» блока светофильтров соответствует
прохождению света без светофильтров, а в положении «5» световой поток
53
полностью перекрывается. На передней панели расположены регуляторы 6
баланса усилителя «Грубо» и «Точно».
3
2
4
В
5
+
мА
–
1
7
8
6
Рис. 7.5
На передней панели измерительного устройства 2 размещены органы
управления и индикации: кнопка 8 «прямая-обратная» с соответствующими
индикаторами предназначена для включения режима измерений; кнопки «+» и
«–» – для регулировки напряжения; кнопка 7 «сброс» – для сброса напряжения
на нуль; напряжение и ток фотоэлемента фиксируют вольтметр и
микроамперметр.
Порядок выполнения работы
Задание 1. Измерение вольтамперной характеристики фотоэлемента.
1. Ознакомиться с установкой.
2. Включить установку в сеть; для этого подключить сетевые шнуры к
сети, включить тумблеры «сеть» на левой боковой стенке блока 1 и на задней
панели измерительного блока 2.
3. Диск со светофильтрами 4 установить в положение «5» и после 5минутного прогрева ручками 6 установить нулевое значение тока
микроамперметра при нулевом значении напряжения.
4. Поворотный диск 5 осторожно повернуть до упора против часовой
стрелки.
5. Кнопкой 8 выбрать прямой режим.
6. Установить светофильтр 1 поворотом диска 4 до лёгкого щелчка
фиксатора.
7. Кнопкой «сброс» установить нулевое значение напряжения.
8. Записать в табл.7.3 значения напряжения U и тока I.
54
9. Кнопками «+» и «» устанавливать нужные значения напряжения U на
фотоэлементе (см. табл.7.3) и измерять соответствующую силу тока I.
10. При достижении максимального напряжения нажать кнопку «сброс».
11. Измерения по пунктам 9 и 10 повторить для светофильтров 2, 3 и 4.
Все данные записать в таблицу 7.3.
Таблица 7.3
U, В
I, мкА
(прямое)
Светофильтр
1
2
3
4
0
2
4
6
8
10
12
15
20
25
30
35
12. Кнопкой 8 установить обратный режим.
13. Повторить измерения по пунктам 9 и 10 при значениях обратного
напряжения, указанных в табл.7.4 для светофильтров 14.
Таблица 7.4
-U, В
(обратное)
1
2
I, мкА
Светофильтр
3
4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.1
1.2
55
Замечание. При снятии обратной характеристики необходимо
нулевое значение тока считывать при уменьшении напряжения от
нулевого до запирающего, а не наоборот. Не рекомендуется также
устанавливать значение напряжения ниже запирающего.
14. Построить графики зависимости I=f(U) для всех четырёх
светофильтров.
Задание 2. Определение постоянной Планка
1. По графикам, построенным в задании 1, определить Uз для каждого
светофильтра – обратное напряжение, при котором сила тока обращается в
нуль. В табл.7.5 записать модуль Uз.
2.
Построить
график
зависимости
U з =f(),
проведя
по
экспериментальным точкам прямую линию (графическое усреднение
экспериментальных данных).
3. Определить красную границу фотоэффекта 0, экстраполируя график
до пересечения с осью абсцисс, и по формуле (7.4) найти работу выхода Авых.
Результаты занести в табл.7.5.
4. Рассчитать угловой коэффициент графика U з =f() (рис.7.4):
t g 
U Ç
.

5. По формуле (7.8) определить постоянную Планка h; сравнить с
табличным значением.
6. Оценить погрешности Авых. и h.
7. Все результаты занести в табл.7.5.
8. Сделать выводы.
Таблица 7.5
.
14
№
h,
,  10 , Uз, tg, 0, Авых, Авых, Авых,
h,
.
светоВ
Дж
эВ
Дж с Дж.с
нм
Гц
В/Гц Гц
Дж
фильтра
1
2
3
4
407
435
546
578
Контрольные вопросы
1. Что такое внешний фотоэлектрический эффект?
2. Объясните устройство и принцип действия фотоэлемента.
3. Нарисуйте вольтамперную характеристику фотоэлемента.
4. Сформулируйте основные законы фотоэффекта.
5. В чём состоит невозможность объяснения законов внешнего
фотоэффекта в волновой оптике? Изложите гипотезу Эйнштейна о фотонах.
6. Получите уравнение Эйнштейна для фотоэффекта; объясните его смысл.
56
7. Что такое «красная граница» фотоэффекта? Запишите выражение для
красной границы.
8. Что показывает интегральная чувствительность фотоэлемента?
Используемая литература
[1] §§ 36.1, 36.2;
[2] § 28.2;
[3] § 4.6;
[6] § 8;
[7] §§ 202-204.
Лабораторная работа 3-08
Изучение спектра водорода и определение постоянной Ридберга
Цель работы: измерение длин волн спектральных линий серии Бальмера,
определение постоянных Ридберга и Планка.
Теоретическое введение
Модели атома Томсона и Резерфорда. Трудности ядерной модели.
В 1903 г. Томсон предложил модель атома, согласно которой атом
представляет собой равномерно заполненную положительным зарядом сферу,
внутри которой находится электрон. Суммарный положительный заряд сферы
равен суммарному заряду электронов, так что атом в целом нейтрален.
Электрон, выведенный из положения равновесия, совершает колебания под
действием кулоновских сил. Однако в дальнейшем выяснилась
несостоятельность этой модели.
Для того чтобы выяснить характер распределения положительных и
отрицательных зарядов в атоме, было необходимо непосредственное опытное
«зондирование» внутренних областей атома. Такое зондирование осуществили
Резерфорд и его сотрудники с помощью α-частиц, наблюдая их рассеяние при
прохождении через тонкую металлическую фольгу.
Оказалось, что некоторое количество α-частиц рассеивается на очень
большие углы (почти до 1800). Столь сильное отклонение α-частиц возможно
только в том случае, если внутри атома имеется чрезвычайно сильное
электрическое поле, которое создается зарядом, связанным с большой массой и
сконцентрированным в очень малом объеме. Основываясь на этом выводе,
Резерфорд предложил в 1911 г. ядерную модель атома. Согласно
предположению Резерфорда, атом представляет собой систему зарядов, в
центре которой расположено тяжелое положительное ядро с зарядом Ze,
имеющее размеры, не превышающие 10-14 м, а вокруг ядра расположены Z
57
электронов, распределенных по всему объему, занимаемому атомом. Почти вся
масса атома сосредоточена в ядре.
Весь положительный заряд атома сосредоточен в его ядре – области,
занимающей весьма малый объем по сравнению со всем объемом атома.
Рассеяние α-частицы на таком малом объекте маловероятно, поэтому
большинство α-частиц испытывает незначительное рассеяние; α-частицы,
проходящие вблизи от ядра, испытывают резкие отклонения, так как на малых
расстояниях силы отталкивания между положительно заряженными α-частицей
и ядром должны быть очень велики. Вероятность попаданий α-частиц в ядро и
их отклонений на большие углы сравнительно мала, но не равна нулю.
Поскольку система неподвижных зарядов не может находиться в
устойчивом состоянии, Резерфорду пришлось отказаться от статической
модели атома и предположить, что электроны движутся вокруг ядра, описывая
замкнутые траектории. Модель часто называют планетарной, по аналогии с
Солнечной системой: в центре системы находится «солнце» – ядро, а вокруг него
по орбитам движутся «планеты» – электроны.
Однако ядерная модель оказалась в противоречии с законами классической механики и электродинамики. Электрон по орбите будет двигаться с
ускорением, в связи с чем, согласно классической электродинамике, он должен
непрерывно излучать электромагнитные (световые) волны. Процесс излучения
сопровождается потерей энергии, так что электрон должен в конечном счете
упасть на ядро. Атом Резерфорда оказался неустойчивой системой, что
противоречит опыту.
Далее, модель Резерфорда не могла объяснить линейчатый характер
спектров атомов. Из модели следовало, что электромагнитное излучение
атома имеет непрерывный, а не линейчатый спектр, так как электрон не
удерживается на круговой орбите, а по спирали приближается к ядру, и частота
его обращения вокруг ядра (а следовательно, и частота излучаемых им
электромагнитных волн) непрерывно изменяется.
Линейчатый спектр атома водорода.
Атомы поглощают и испускают свет только определённой длины волны,
причём спектральные линии группируются в серии (на рис.8.1 приведён спектр
водорода).
Рис. 8.1
Для спектра водорода, простейшего из атомов, была установлена (не
выведена, а угадана!) несложная формула
58
 1
1 
(8.1)
 R
  .

 k 2 n2 
Здесь λ – длина волны излучения, n и k (k<n) – целые числа, а R –
постоянная Ридберга (R=1.1.107 м-1). Оказалось, что серия Лаймана (см.
рис.8.1) получается при k=1, n=2, 3, 4, …∞; серия Бальмера (она наблюдается
в видимой области спектра) – при k=2, n=3, 4, 5, …∞; серия Пашена – при
k=3, n=4, 5, 6, …∞ и так далее.
Теория Бора атома водорода и водородоподобных ионов
Первая попытка построения неклассической теории атома была
предпринята Бором (1913) и составила важный этап в развитии современной
физики. В основе этой теории лежала идея связать в единое целое эмпирические
закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атомов Резерфорда и
квантовый характер излучения и поглощения света, подтвержденные обширным
экспериментальным материалом. В теории Бора не содержалось
принципиального отказа от описания поведения электрона в атоме при помощи
законов классической физики. Однако классическое описание дополнялось
некоторыми ограничениями, накладываемыми на возможные состояния
электронов в атоме. Эти ограничения были сформулированы в виде постулатов,
физический смысл которых не мог быть объяснен в рамках теории, но, более
того, противоречил сохраняющемуся в теории классическому описанию
движения электрона в атоме. Тем не менее, такой принципиально
непоследовательный путь привел к правильным результатам в некоторых
вопросах. Теория Бора базировалась на следующих постулатах:
Постулат стационарных состояний:
1. Электрон в атоме может находится только на стационарной
орбите; при этом он не излучает и не поглощает энергии. Круговые
стационарные орбиты определяются условием квантования момента импульса
L  mvr :
mvr  n . (n=1, 2, 3,…∞)
(8.2)
h
Здесь n – номер орбиты,  
=1.05.10-34Дж.с – постоянная Планка, m –
2
масса электрона, v и r – скорость электрона на орбите соответствующего
радиуса.
Правило частот:
2. Излучение энергии атомом происходит только при переходе
электрона с одной орбиты (n) на другую (k<n). При переходе с одной
стационарной орбиты на другую электрон излучает (поглощает) квант
света с частотой ν и энергией hν, равной разности энергий стационарных
состояний, между которыми произошел переход:
h  En  Ek .
(8.3)
Этот постулат отражает закон сохранения энергии и гипотезу ПланкаЭйнштейна о квантах.
1
59
Рассмотрим электрон, движущийся в поле атомного ядра с зарядом Ze.
При Z=1 такая система соответствует атому водорода, при иных Z –
водородоподобному иону, т.е. атому с порядковым номером Z, из которого
удалены все электроны, кроме одного (рис.8.2). По второму закону Ньютона
произведение массы электрона на его центростремительное ускорение должно
равняться кулоновской силе притяжения электрона к ядру:
v2
Ze2
.
m

r
4 0  r 2
Из (8.2) и (8.4) получим:
n
;
v
mr
Рис. 8.2
Ze2
.
4 0  r
После подстановки (8.5) в (8.6) и сокращения:
mv 2 
n 2 2

rn 
4 0 2
2
(8.5)
(8.6)
n 2 2 Ze2

mr
4 0
Ze2
;
2 2 4  r
m r
0
можно найти радиус орбиты с номером n:
m
(8.4)
 n2 .
(8.7)
Ze m
Таким образом, радиус электронных орбит в атоме может принимать лишь
ряд дискретных значений. Для первой орбиты атома водорода а0≡ r1=53 пм –
первый Боровский радиус.
Энергия атома слагается из кинетической энергии электрона (ядро
неподвижно) и потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром:
mv 2
Ze2
.
(8.8)

2
4 0  r
mv 2
Ze2
Из (8.6) следует, что кинетическая энергия
, тогда

2
2  4 0  r 
E  Eкин .  Eпот. 
Ze2
Ze2
Ze2
.
(8.9)


2  4 0  r  4 0  r
8 0r
Подставив в (8.9) радиус орбиты (8.7), получим дозволенные значения
энергии атома En:
 Z 2e 4 m   1 
 ,
En  
(8.10)
 8 2 h 2   n 2 
 0 
где n=1, 2, 3,…∞.
Схема энергетических уровней, определяемых (8.10), дана на рис.8.3.
E
60
Состояние с минимальной энергией (n=1) называется основным. Тогда
энергия электрона в атоме водорода равна Е1=–13.6 эВ. Электрон не связан с
ядром, когда n→∞, Е∞=0. Таким образом, энергия ионизации атома водорода из
основного состояния равна:
EИ=(Е∞–Е1)=13.6 эВ.
При переходе атома водорода из состояния n в состояние k в соответствии
со вторым постулатом Бора (8.3) испускается квант с энергией
Z 2e 4 m  1
1 
h  En  Ek  
    .
8 02h 2  n 2 k 2 
Тогда для длины волны излучения:

(8.11)
Z 2e 4 m  1
1 
(8.12)
 
  ,
 с 8 02h3с  k 2 n 2 
где с – скорость света. Сравнив (8.1) и (8.12), получим значение постоянной
Ридберга (для водорода Z=1):
1


R
e4m
8 02h3с
.
(8.13)
После подстановки значений
величин
получим
R  1.097 107 м 1 . Таким образом,
теория Бора позволила также
вычислить постоянную Ридберга.
Трудности
теории
Бора.
Совпадение выводов теории Бора с
опытными данными для водорода
оказалось
идеальным.
Однако
наряду с успехами в теории Бора
обнаружились
существенные
недостатки. Главнейшим из них
была
внутренняя
логическая
противоречивость теории: она не
была
ни
последовательно
классической, ни последовательно
квантовой теорией. В ряде проблем
теория
Бора
привела
к
существенным
трудностям.
Рис. 8.3
Наиболее
серьёзной
неудачей
явилась абсолютная невозможность создать теорию атома гелия, содержащего
помимо ядра два электрона.
Теория Бора оказалась лишь переходным этапом на пути создания последовательной теории атомных и ядерных явлений. Такой последовательной
теорией явилась квантовая механика. Применение её к атомным процессам
61
позволило не только объяснить многообразие явлений атомной и ядерной
физики, но и вскрыть физическое содержание самих постулатов Бора.
Водородоподобная система в квантовой механике
Состояние микрочастицы описывается в квантовой механике волновой
функцией ψ. Она является функцией координат и времени. Квадрат модуля
волновой функции определяет вероятность dP того, что частица будет
обнаружена в пределах объема dV:
2
(8.14)
dP   dV .
Волновая функция может быть найдена путем решения уравнения
Шрёдингера:
2m
(8.15)
  2 E  U   0 .

 2  2  2


Здесь Δ – оператор Лапласа (  
); U –потенциальная
x 2
y 2
z 2
энергия частицы. Уравнение Шрёдингера является основным уравнением
квантовой механики. Подобно тому, как уравнения динамики Ньютона не
могут быть получены теоретически, а представляют собой обобщение
большого числа опытных фактов, уравнение Шрёдингера также нельзя вывести
из каких-либо известных ранее соотношений. Его следует рассматривать как
исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем
обстоятельством, что все вытекающие из него следствия самым точным
образом согласуются с опытными фактами.
В атоме водорода или водородоподобном ионе потенциальная энергия
электрона равна:
Ze2
.
(8.16)
4 0 r
Уравнение Шрёдингера имеет в этом случае вид:
2m 
Ze2 
  2 E 
  0.
(8.17)
4  0 r 
 
Можно показать, что (8.17) имеет однозначные, конечные и непрерывные
решения в следующих случаях: 1) при любых положительных значениях Е; 2)
при дискретных отрицательных значениях энергии, равных:
 Z 2e 4 m   1 
 ,
En  
(n=1, 2, 3,…∞).
(8.18)
 8 2 h 2   n 2 
 0 
Случай Е>0 соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра и
удаляющемуся вновь на бесконечность. Случай Е<0 соответствует электрону,
находящемуся в пределах атома. Сравнение (8.18) и (8.10) показывает, что
квантовая механика приводит к таким же значениям энергии водородного
атома, какие получались и в теории Бора. Однако в квантовой механике эти
U 
62
значения получаются логическим путём при решении уравнения Шрёдингера.
Бору же для получения такого результата пришлось вводить специальные
дополнительные предположения.
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: монохроматор УМ-2, ртутная лампа, неоновая
лампа, водородная лампа, источник питания.
Описание экспериментальной установки
Для наблюдения спектра излучения в работе используется стекляннопризменный монохроматор типа УМ-2, предназначенный для исследования
спектров в диапазоне длин волн от 0.38 до 1.00 мкм. Схема монохроматора
представлена на рис. 8.4.
Коллиматор 1, имеющий щель 1',
снабжен микрометрическим винтом 9
для регулировки ее ширины. Свет от
исследуемого источника света падает
через нее на коллиматорный объектив 2,
снабженный микрометрическим винтом
8. Этот винт позволяет смещать объектив относительно щели при фокусировРис. 8.4
ке спектральных линий.
Далее на пути лучей расположена
сложная спектральная призма 3, смонтированная на поворотном столике 6.
Призма состоит из трех склеенных призм Р1, Р2, Р3. Промежуточная призма Р2
сделана из крона. Лучи, отражаясь от ее грани, поворачиваются на 90о. Благодаря такому устройству дисперсии призм Р1 и Р3 складываются.
Поворотный столик 6 вращается вокруг оси при помощи барабана 7, на
котором нанесены деления. При вращении барабана призма поворачивается, и
в поле зрения появляются различные участки спектра, которые рассматриваются при помощи зрительной трубы, состоящей из объектива 4 и окуляра 5. Для
отсчета положения линий спектра по делениям барабана 7 используется указатель 11. Массивный корпус 10 защищает основные узлы от повреждения и загрязнений.
Порядок выполнения работы
Задание 1. Градуировка монохроматора по спектральным линиям ртутной и неоновой ламп.
1. Установить неоновую лампу как можно ближе к входной щели
монохроматора.
63
2. Зажечь неоновую лампу и пронаблюдать полученный от нее спектр.
Определить d – положение каждой линии по барабану монохроматора.
Результаты записать в табл.8.1.
3. Заменить неоновую лампу ртутной и провести аналогичные измерения;
результаты записать в табл.8.2.
4. Построить по полученным данным обеих таблиц 8.1 и 8.2
объединенный график зависимости длины волны от делений барабана: λ=f(d)
(градуировочный график).
Таблица 8.1
Линии в спектре неона
Цвет линии
1. Ярко-красная (двойная)
2. Красно-оранжевая
(левая из 2-х двойных линий)
3. Оранжевая
(яркая из 4-х оранжевых линий)
4. Желтая
5. Светло-зеленая
(левая из двух одиночных линий)
Длина волны
Отсчёт по барабану
λ, нм
d, дел.
640.2
624.3
594.5
585.2
570.0
Таблица 8.2
Линии в спектре ртути
Цвет линии
64
Ярко-красная (двойная)
Длина волны
λ, нм
623.4
Желтая (двойная)
579.0
Светло-зеленая
546.0
Светло-голубая
(правая из 2-х зеленых)
Синяя (яркая)
491.6
Фиолетовая
(правая из двух, яркая)
406.2
435.8
Отсчёт по барабану
d, дел.
Задание 2. Измерение спектра водорода.
1. Осторожно установить водородную лампу у входной щели
монохроматора.
2. Зажечь водородную лампу и пронаблюдать полученный от нее спектр.
3. Определить положение спектральной линии по барабану
монохроматора. Результаты занести в таблицу 8.3.
4. С помощью градуировочного графика найти длины волн линий спектра
водорода и также занести в таблицу 8.3.
Таблица 8.3
Длина
Квантовые
№ Цвет линии Отсчёт
R,
Rср.,
ΔR,
.
7 -1 .
7 -1
.
в спектре
по
волны
числа
10 м
10 м
107 м-1
водорода
1
2
3
Яркокрасная
Синезелёная
Фиолетовая
барабану
d, дел.
λ, нм
перехода
n
k
2
3
2
4
2
5
5. Рассчитать постоянную Ридберга для каждой спектральной линии
водорода, выразив R из формулы (8.1).
6. Найти среднее значение Rср, рассчитать погрешность ΔR; все результаты
записать в табл.8.3.
7. По формуле (8.13) рассчитать теоретическое значение постоянной
Ридберга. Сравнить экспериментальное Rср значение с теоретическим.
8. Из (8.13) выразить постоянную Планка и рассчитать её
экспериментальное значение, подставив в формулу экспериментальное Rср.
Сравнить с табличным: h=6.63.10-34 Дж.с.
9. Сделать выводы.
Контрольные вопросы
1. Ядерная модель атома и её трудности.
2. Сформулируйте постулаты Бора.
3. Используя постулаты Бора, найдите радиусы разрешённых орбит,
скорости электрона на них и энергии стационарных состояний.
4. Представьте графически схему энергетических уровней и опишите
спектр атома водорода, происхождение серий и отдельных линий в этом
спектре. Что такое основное состояние? Возбуждённое? Ионизированное?
5. Недостатки теории Бора. В чём её ценность?
6. Как в квантовой механике описывается состояние микрочастицы?
Физический смысл волновой функции.
7. Запишите уравнение Шрёдингера. Каким образом в квантовой
механике получается квантование энергии?
65
Используемая литература
[1] §§ 37.5, 38.1-38.4, 39.1,39.2;
[2] §§ 29.1, 30.1, 30.4, 31.3;
[3] §§ 4.2, 4.16. 4.21, 4.27-4.31;
[6] §§ 14, 15, 21, 22;
[7] §§ 208-212, 223-225.
Лабораторная работа 3-09
Изучение опыта Франка и Герца.
Цель работы: изучение дискретного характера энергетического спектра
атомов ртути и определение возможных энергетических состояний атома.
Теоретическое введение
Постулаты Бора
В 70-х годах XIX столетия Максвелл в статье для энциклопедии писал:
«Атом есть тело, которое нельзя рассечь пополам». В это же время многие
факты указывали на органическую связь электронов с атомами: электролиз
(1869), катодные и анодные лучи (1886), фотоэффект (1888), рентгеновские
лучи (1895). В 1896 году Беккерель обнаружил существование особых лучей,
позднее названных радиоактивным излучением, испускаемым соединением
урана. Было доказано, что радиоактивное излучение состоит из α-, β-, γ-лучей.
В 1903 Резерфорд и Содди утверждали, что это возможно в результате распада
атома.
Изучение атомных спектров сыграло не последнюю роль в познании
строения атомов. Прежде всего, обнаруживается, что в спектрах атомов линии
располагаются не беспорядочно, а объединяются в группы, их ещё называют
серии линий.
Перечисленные выше исследования позволили считать доказанным:
внутри атома есть электроны, а силы взаимодействия внутри атомов и молекул
- электрического происхождения. Томсон предложил модель атома, согласно
которой атом представляет собой равномерно заполненную положительным
зарядом сферу, внутри которой находится электрон. Электрон, выведенный из
положения равновесия, совершает колебания под действием кулоновских сил.
Чтобы выяснить характер распределения положительных и отрицательных
зарядов в атоме, необходимо было непосредственное опытное зондирование
внутренних областей атома. Такое зондирование было осуществлено в 1911г.
Резерфордом с помощью α-частиц (ионизированных атомов гелия 42Не++ ). Он
наблюдал изменение направления полёта α -частиц при прохождении их через
тонкие слои вещества. Некоторая часть α-частиц отклонялась на углы 135-150º.
66
Это указывало на то, что представление о положительном заряде атома,
«размазанном» по объёму, несостоятельно.
Анализируя результаты опытов, Резерфорд высказал предположение, что
положительные заряды как α-частиц, так и рассеивающего атома
сосредоточены в малых объёмах, порядка 10-15 м. Остальная часть атома
(размерами ≈10-10 м) представляет собой облако отрицательно заряженных
электронов, полный заряд которых равен положительному заряду ядра.
В ядерной модели атома электроны не могут быть неподвижны. В
результате кулоновских сил притяжения они сразу же упали бы на него. Атому,
напротив, свойственна исключительная устойчивость. Устойчивость атома
невозможно понять, если ядерную модель объяснять на основе классических
законов механики, электричества. Из классической электродинамики следует,
что вращающийся электрон должен излучать электромагнитные волны. Теряя
свою энергию, электрон должен упасть на протон. Кроме того, по мере
приближения к протону линейная и угловая скорости электрона будут
увеличиваться. Вследствие этого частота излучения, определяемая частотой
обращения электрона вокруг протона, должна была бы непрерывно возрастать.
Следовательно, спектр излучения атома должен быть непрерывным, но не
линейчатым.
Чтобы объяснить наблюдаемую устойчивость атома водорода и его
линейчатый спектр, Бор предложил следующие постулаты:
Постулат стационарных состояний:
1. Электрон в атоме может находиться только на стационарной
орбите; при этом он не излучает и не поглощает энергии. Круговые
стационарные орбиты определяются условием квантования момента импульса
L  mvr :
mvr  n . (n=1, 2, 3,…∞)
(9.1)
h
Здесь n – номер орбиты,  
=1.05.10-34Дж.с – постоянная Планка, m –
2
масса электрона, v и r – скорость электрона на орбите соответствующего
радиуса. В первом постулате Бора (9.1) прослеживается «насильственное»
введение дискретности (разрешены не все орбиты).
Правило частот:
2. Излучение (или поглощение) энергии атомом происходит только при
переходе электрона с одной орбиты на другую. При переходе с одной
стационарной орбиты на другую электрон излучает (поглощает) квант
света с частотой ν и энергией hν, равной разности энергий стационарных
состояний, между которыми произошел переход:
h  En  Ek , n>k.
(9.2)
Этот постулат отражает закон сохранения энергии и гипотезу ПланкаЭйнштейна о квантах. Динамика электрона на стационарной орбите
67
определяется уравнениями классической теории. Неизбежное следствие: так
как остальные орбиты для электрона запрещены, переход осуществляется
скачком; о пути и энергии электрона между орбитами говорить не имеет
смысла: законы механики там не применимы.
Опыт Франка и Герца
Из этих представлений следует, что поглощение и излучение энергии
атомом должно происходить определёнными дозами. Франк и Герц для
проверки этих положений исследовали поглощение энергии атомами при их
столкновении с электронами.
В опытах изучались столкновения электронов с атомами газов методом
задерживающего потенциала. Идея опытов заключалась в том, что пучок
электронов, ускоряемых в электрическом поле, проходил через газ и электроны
испытывали соударения с атомами газа. Первые опыты были поставлены на
I
Рис. 9.1
Рис. 9.2
ртути. Схема опытов изображена на рис.9.1. В трубке, заполненной парами
ртути под небольшим давлением (≈1 мм рт.ст.), имелись три электрода: катод
К, сетка С и анод А. Электроны, вылетавшие из катода вследствие
термоэлектронной эмиссии, ускорялись разностью потенциалов U,
приложенной между катодом и сеткой. Эту разность потенциалов можно было
плавно менять с помощью потенциометра П. Между сеткой и анодом
создавалось слабое электрическое поле (разность потенциалов порядка 0.5 В),
тормозившее движение электронов к аноду.
Определялась зависимость силы тока I в цепи анода (измерявшейся
гальванометром Г) от напряжения U. Полученные результаты представлены на
рис.9.2. Сила тока вначале монотонно возрастает, достигает максимума при U =
4.9 В, после чего с дальнейшим увеличением U резко падает, достигает минимума и
снова начинает расти. Максимумы силы тока повторяются при U, равном 9.8 В, 14.7
В и т. д.
Такой ход кривой объясняется дискретностью энергетических уровней.
Электроны, встречающие на своем пути атомы ртути, могут испытывать с
ними соударения упругие, в результате которых энергия не изменяется, а
изменяется лишь направление скоростей электронов, или неупругие, в
результате которых электроны теряют энергию, передавая ее атомам ртути.
В соответствии с постулатами Бора, атом ртути не может принять энергию в
68
любом количестве; атом может воспринять лишь определенную порцию
энергии и перейти при этом в одно из возбужденных энергетических
состояний.
Ближайшее к основному состоянию атома ртути отстоит от основного по
шкале энергий на 4.86 эВ. До тех пор, пока электроны, ускоряемые полем, не
приобретут энергию еU1=4.86 эВ, они испытывают лишь упругие
столкновения и анодный ток возрастает с ростом U. Как только кинетическая
энергия электронов достигает значения 4.86 эВ, начинают происходить
неупругие столкновения. Электрон с таким значением энергии
(9.3)
E  eU
полностью отдает ее атому ртути, не сможет преодолеть задерживающее поле и
не достигнет анода. Таким образом, при разности потенциалов между катодом
и сеткой, равной 4.86 эВ, должно происходить резкое падение анодного тока.
Аналогичное явление будет происходить при еU2=2.4.86 эВ, … еUn=n.4.86
эВ, когда электроны могут испытать 2, 3 и т.д. неупругих столкновения с
атомами ртути, потерять всю свою энергию и не достигнуть анода.
Опыт Франка и Герца показал, что 4.86 эВ – наименьшая возможная
порция энергии (наименьший квант энергии), которая может быть
поглощена атомом ртути в основном энергетическом состоянии, что и
является проявлением дискретности уровней энергии в атоме.
Таким образом, зависимость, приведённая на рис.9.2, подтверждает
справедливость первого постулата Бора.
Правило частот Бора также экспериментально подтвердилось в опытах
Франка и Герца. Ртутные пары, возбужденные электронным ударом, оказались
источником ультрафиолетового излучения с длиной волны λ=253.7 нм. Это
излучение происходит в тот момент, когда атом ртути из возбужденного
состояния с энергией Е2 возвращается в основное состояние с энергией Е1,
излучая фотон с частотой ν:
c
(9.4)
E2  E1  E  h  h .

Тогда из (9.3) и (9.4) получим:
hc
.
(9.5)
eU
По известному значению ΔЕ=еU1=4.86 эВ можно вычислить длину волны
излучения: λ=255 нм. Этот результат полностью согласуется с экспериментом:
λэксп.=254 нм.

Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: объект исследования, блок управления,
осциллограф.
69
Экспериментальная установка
Рис. 9.3
В отличие от оригинального опыта в настоящей работе имеется несколько
особенностей:
 вместо паров ртути объект
исследования заполнен инертным газом
криптоном;
 напряжение на сетке изменяется
автоматически блоком управления по
линейному закону, синхронно с линейно
изменяющимся напряжением горизонРис. 9.4
тальной развёртки осциллографа;
 сила анодного тока преобразуется
в напряжение, которое подаётся на вертикально отклоняющиеся пластины
прибора;
 блок управления формирует метку, накладываемую на изображение на
экране осциллографа. С помощью ручек «грубо» и «точно» метка
перемещается в горизонтальном направлении (рис.9.4), а на цифровом
индикаторе отображается напряжение между катодом и сеткой.
Порядок выполнения работы
1. В соответствии с рис.9.3 проводится взаимное соединение приборов.
2. Регуляторы «грубо» и «точно» выводятся против часовой стрелки до
упора.
3. На осциллографе переключателем V/дел и mS/дел устанавливаются
соответственно в положения 0.2V/дел и 5mS/дел .
4. С разрешения преподавателя сначала включается осциллограф, затем
блок управления.
70
5. Регуляторами «стабильность» и «уровень» добиваются устойчивого
изображения на экране.
6. Регуляторами «грубо» и «точно» метка устанавливается против
соответствующего пика на экране, а по индикатору считывается напряжение U
между катодом и сеткой. Каждое измерение сделать не менее трёх раз;
результаты усреднить. Все данные записываются в табл.9.1.
7. Зная длину волны в спектре криптона (табл.9.1), рассчитать потенциал
возбуждения Uвозб,. пользуясь формулой (9.5).
Таблица 9.1
Измеренное
Каким Теорети№
U  Длина Длина
  ,
напряжение
потенческое
волны,
волны,
пика
,
%
циалам напряэксп.
U,
справ.
,
%
соотжение
λэксп.,
В
λ,
ветU
,
теор.
нм
№
среднее
нм

измерения
1
2
1
2
3
4
5
6
7
ствует

В
3
Uвозб.
-
343.17
-
-
8. Пользуясь полученным значением Uвозб. и справочными данными
табл.9.2 о потенциалах ионизации, найти соответствие измеренных значений
напряжения табличным: возбуждения Uвозб., ионизации или их сочетания
(например, 2Uвозб. или Uвозб+ Uи1 и т.д.). Рассчитать соответствующую сумму
Uтеор., записать в таблицу 9.1.
Первый Uи1
Второй Uи2
Третий Uи3
Таблица 9.2
Потенциал ионизации, справочные данные
Uи, В
14.0
24.37
36.9
9. Результаты измерений U и теоретические Uтеор. сравниваются между
собой, и рассчитывается относительная погрешность результатов измерения:
U  U теор.
U  
100 %
U
10. По формуле (9.5) рассчитать длину волны λэксп, соответствующую
первому измеренному потенциалу, записать в табл.9.1. Рассчитать

71
погрешность, используя справочные данные по длинам волн в спектре
криптона:


   эксп. 100% .


11. На миллиметровой бумаге по точкам строится изображение с экрана
осциллографа.
Контрольные вопросы
1. Схема опыта Резерфорда по рассеянию α-частиц. Какие результаты и
выводы из них были при этом получены?
2. В чём состояла невозможность классического истолкования ядерной
модели атома водорода?
3. Сформулируйте постулаты Бора.
4. Схема опыта Франка и Герца.
5. Каков главный результат опыта Франка и Герца? Какие выводы были
сделаны из экспериментальной зависимости рис.9.2?
6. Какими явлениями обусловлено свечение объекта исследования?
Используемая литература
[1] §§ 38.1-38.5;
[2] § 29.1;
[3] §§ 4.2, 4.3;
[6] § 21;
[7] § 211.
Лабораторная работа 3-10
Изучение поглощения света
Цель работы: измерение спектров поглощения, проверка закона Бугера.
Теоретическое введение
Из опытов известно, что при прохождении света в веществе его
интенсивность уменьшается. Поглощением света называется явление
уменьшения энергии световой волны при её распространении в веществе,
происходящее вследствие преобразования энергии волны во внутреннюю
энергию вещества или в энергию вторичного излучения с другим
спектральным составом и направлениями распространения. Поглощение
света может вызвать нагревание вещества, возбуждение и ионизацию атомов
или молекул, фотохимические реакции и другие процессы в веществе.
Ещё в 18 веке Бугер экспериментально, а Ламберт теоретически
установили закон поглощения света. При прохождении света через тонкий
72
слой поглощающей среды в направлении x уменьшение интенсивности света dI
пропорционально самой интенсивности I и толщине пройденного слоя dx
(рис.10.1):
(10.1)
dI  Idx .
Знак «–» указывает на то, что интенсивность уменьшается. Коэффициент
пропорциональности  в (10.1) называется натуральным
dx
показателем поглощения (коэффициентом поглощения)
среды. Он зависит от химической природы и состояния
поглощающей среды и от длины волны света. Преобразуем и
I
I+dI
проинтегрируем это выражение:
Рис. 10.1
dI
 dx ;
I
I

I
d
dI
  dx ;
I
0
ln I  ln I 0  d .
0
Здесь I0 и I – интенсивности излучения на входе и на выходе из слоя среды
толщиной d. После преобразований получим:
I
I
ln  d ;
 e d ;
I0
I0
(10.2)
I  I 0e d .
Выражение (10.2) называется законом Бугера. Выясним физический
смысл натурального показателя поглощения. Из (10.2) следует, что если
I
1
толщина слоя d  , то I  0 . Таким образом, показатель поглощения равен

e
обратной величине расстояния, при прохождении которого интенсивность
света убывает в е≈2.72 раз.
Для разбавленного раствора поглощающего вещества в непоглощающем
растворителе выполняется закон Бера:
(10.3)
  С ,
где С – концентрация раствора, а  – коэффициент пропорциональности, не
зависящий от концентрации. В концентрированных растворах закон Бера
нарушается из-за влияния взаимодействия между близко расположенными
молекулами поглощающего вещества. Из (10.2) и (10.3) получаем закон
Бугера-Ламберта-Бера:
I  I 0e  Сd .
(10.4)
I
называется коэффициентом пропускания и чаще
I0
выражается в процентах:
I
   100% .
(10.5)
I0
Оптическая плотность определяется натуральным (или десятичным)
логарифмом пропускания:
Отношение  
73
I
(10.6)
D   ln  ln 0 .
I
Коэффициент поглощения зависит от длины волны света λ (или частоты
ω). У вещества, находящегося в таком состоянии, что атомы или молекулы
практически не воздействуют друг на друга (газы

и пары металлов при невысоком давлении),
коэффициент поглощения для большинства длин
волн близок нулю и лишь для очень узких
спектральных областей обнаруживает резкие
максимумы (на рис.10.2 показан спектр паров
λ
натрия). Эти максимумы, согласно элементарной
Рис. 10.2
электронной теории Лоренца (см. лабораторную
работу 3.05), соответствуют резонансным
частотам колебаний электронов в атомах. В случае многоатомных молекул
обнаруживаются также частоты, соответствующие колебаниям атомов внутри
молекул. Так как массы атомов гораздо больше

массы электрона, молекулярные частоты намного
меньше атомных – они попадают в инфракрасную
область спектра.
Твёрдые тела, жидкости и газы при высоких
давлениях дают широкие полосы поглощения (на
рис.10.3 представлен спектр раствора фенола). По
мере повышения давления газов максимумы
поглощения, первоначально очень узкие, всё более
расширяются, и при высоких давлениях спектр
Рис. 10.3
поглощения газов приближается к спектрам
поглощения жидкостей. Этот факт указывает на то, что расширение полос
поглощения есть результат взаимодействия атомов (или молекул) друг с
другом.
Металлы практически непрозрачны для света. Это обусловлено наличием
в металлах свободных электронов. Под действием электрического поля
световой волны свободные электроны приходят в движение – в металле
возникают быстропеременные токи, сопровождающиеся выделением ленцджоулева тепла. В результате энергия световой волны быстро уменьшается,
превращаясь во внутреннюю энергию металла.
В рамках элементарной электронной теории Лоренца удалось объяснить
сам факт наличия полос поглощения, однако различие в интенсивностях полос
в рамках классической теории объяснить не удаётся.
В квантовой механике, как и в полуклассической теории Бора, излучение и
поглощение квантов света происходит лишь с частотами, удовлетворяющими
правилу частот Бора: переход атома из состояния n с энергией En в состояние
m с энергией Em сопровождающийся поглощением или излучением фотона с
частотой
74
E  Em
,
 nm  n
(10.7)
h
описывается с помощью общего уравнения Шредингера. При этом волновая
функция электрона в процессе перехода зависит не только от координат, но и
от времени: ψ=ψ(x,y,z,t)=C1.ψn+C2.ψm. Здесь ψn и ψm – волновые функции
оптического электрона в состояниях n и m, а коэффициенты C1 и C2 зависят от
времени. Средняя мощность излучения пропорциональна величине
rnm
2
2
  n r *m dV ,
(10.8)
где r – расстояние оптического электрона до ядра атома. То есть,
интенсивность линии в спектре излучения, а также и в спектре поглощения,
2
пропорциональна величине rnm . Излучение или поглощение света возможно
только в том случае, если интеграл в (10.8) отличен от нуля, иначе переход
между состояниями n и m оказывается запрещённым. Соответствующие линии
в спектрах излучения и поглощения отсутствуют. Так в квантовой механике
возникают правила отбора. Например, в спектрах атомов возможны только
такие переходы, когда орбитальное квантовое число изменяется на единицу:
Δl=±1, а изменение магнитного квантового числа должно удовлетворять
условию Δml=0; ±1. Квантовомеханическое рассмотрение дало возможность в
согласии с опытом решить задачу не только об отыскании частот спектральных
линий атомов, но и об их интенсивностях.
Спектр (набор линий поглощения или испускания атома) однозначно
характеризует данный элемент и может использоваться для качественного
спектрального анализа. Изучение молекулярных спектров позволяет получить
информацию о структуре молекул, межатомных расстояниях, массах атомов,
моментах инерции и дипольных моментах
молекул. По смещению и
уширению полос в конденсированной фазе можно судить о характере и силе
межмолекулярных взаимодействий.
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: колориметр фотоэлектрический однолучевой
КФО; набор образцов.
Экспериментальная установка
Принцип работы колориметра фотоэлектрического однолучевого КФО
заключается в измерении отношения двух световых потоков, полного и
прошедшего через измеряемую среду, методом пропорциональных
отклонений.
На фотоприёмник поочерёдно направляются световые потоки: полный Ф0
и пропущенный через измеряемую среду Ф.
75
Коэффициент пропускания τ измеряемой среды, представляющий собой
отношение этих потоков, определяется в виде отношения соответствующих
фототоков непосредственно по шкале микроамперметра:
I
(10.9)
  100% ,
I0
где I0 – фототок, соответствующий полному световому потоку Ф0, I – фототок,
соответствующий световому потоку Ф, прошедшему через измеряемую среду.
Оптическая схема прибора – одноканальная (рис.10.4). Источник света 1
помещён в фокальной плоскости
конденсора 3, после которого через
измеряемые
образцы
8
до
фотоприёмника 6 идёт параллельный
пучок света. Для выделения отдельных
участков
спектра
используются
светофильтры 2 из цветного стекла.
Шторка 4 служит для перекрытия
светового потока, падающего на
фотоприёмник; 7 – защитное стекло
кюветной камеры.
Рис. 10.4
Фотометрический
клин
5,
установленный перед фотоприёмником, предназначен для выставления отсчёта
100 по шкале микроамперметра.
Внешний вид прибора представлен на рис.10.5.
Порядок выполнения работы.
Задание 1. Измерение зависимости пропускания, оптической плотности и
коэффициента поглощения от длины волны (измерение спектров поглощения)
1. Включите прибор в сеть, для этого: включите вилку в розетку и
включите тумблер на задней стенке
прибора.
1
2. Держатель образцов достаньте из
кюветного отделения 2.
2
3. Ручку «кюветы» установите крайнее
левое положение.
4. Установите нуль по верхней шкале
микроамперметра ручкой «установка 0»
4
при открытой крышке кюветного отделения
3
(шторка
при
этом
автоматически
закроется).
5. Установите в держателе образец №1,
вставьте держатель с образцом в кюветное
Рис. 10.5
отделение. Убедитесь, что при этом
световой поток идёт МИМО образца.
76
6. Установите ручку «поглотители» в положение «5», при этом на пути
светового потока будет установлен светофильтр 5.
7. Закройте крышку кюветного отделения и с помощью ручки «установка
100» выставьте отсчёт «100» по верхней шкале прибора.
8. Введите образец, для чего ручку «кюветы» поставьте в крайнее правое
положение (открыв крышку кюветного отделения, можно проверить, что
световой поток проходит через образец).
9. При закрытом кюветном отделении измерьте и запишите в табл. 10.1
пропускание образца τ по верхней шкале.
10. Ручку «кюветы» установите снова в крайнее левое положение.
11. Ручкой «поглотители» установите следующий светофильтр (4, 3, 2 или
1) и повторите измерения образца по пунктам 7-10; все данные запишите в
табл. 10.1.
Таблица 10.1
№
Светофильтра
(поглотителя)
5
4
3
2
1
λ,
нм
Образец
1
голубой
толстый
d= …м
τ,
D ,
%
м-1
2
зелёный
тонкий
d= …м
τ,
D ,
%
м-1
3
жёлтый
d= …м
τ,
%
D
,
м-1
4
красный
d= …м
τ,
%
D
,
м-1
630
600
530
500
415
12. Установите в держателе образец №2. Повторите измерения τ на
светофильтрах 5-1 по пунктам 7-11.
13. Те же измерения (пункты 6-12) повторите для образцов №3 и 4.
14. Измерьте штангенциркулем толщину d образцов.
15. Рассчитайте оптическую плотность и коэффициент поглощения при
каждом измерении:
  
D   ln
(10.10)

 100 % 
D
 .
(10.11)
d
16. Постройте графики зависимостей τ=f(λ) и =f(λ) для измеренных
образцов.
77
Задание 2. Измерение коэффициента поглощения. Проверка закона Бугера
1. Ручкой «поглотители» установите светофильтр № 3.
2. Установите в держателе образец № 3 (жёлтый). Измерьте пропускание τ
(пункты 7-10 первого задания), запишите в табл.10.2.
3. Добавьте в держатель ещё один такой же образец и измерьте
пропускание для двойного слоя вещества.
4. Повторите те же измерения для трёх (n=3) и четырёх (n=4) слоев, все
результаты запишите в табл.10.2.
5. Микрометром измерьте толщину образца d.
6. Рассчитайте оптическую плотность по (10.10) и коэффициент
поглощения  при каждом измерении:
1    D
   ln
,

nd  100%  nd
где n – число слоёв измеряемого образца (n=1÷4).
7. Рассчитайте среднее значение  и погрешность  , запишите в
табл.10.2.
Таблица 10.2
№
Образец
Число
τ,
D
d,
,
ср . , Δ  , Δср . ,
-1
светослоёв
%
м
м
м-1
-1
м
м-1
фильтра
n
3
№3
1
(λ=530 нм) (жёлтый)
2
3
4
5
№4
1
(λ=630 нм) (красный)
2
3
4
8. Установите в держателе образец № 4 (красный). Повторите измерения
по пунктам 2-7 второго задания на светофильтре № 5; при смене светофильтра
не забудьте выставить «100» (пункт 7 первого задания); все данные занесите в
табл.10.2.
9. Сделайте выводы.
Контрольные вопросы
1. Выведите закон Бугера.
2. Каков физический смысл коэффициента поглощения ?
3. Сформулируйте закон Бугера-Ламберта-Бера.
4. Что такое оптическая плотность? Коэффициент пропускания?
5. Почему показатель поглощения среды зависит от длины волны?
6. Почему даже тонкий слой металла практически непрозрачен?
78
7. Как в квантовой механике объясняется интенсивность спектральных
полос?
8. Какой характер имеют спектры (сплошные, полосатые, линейчатые)
невзаимодействующих атомов? Молекул? Веществ в конденсированной фазе?
Почему?
9. Какие задачи позволяет решить спектральный анализ?
Используемая литература
[1] § 33.2;
[2] § 26.3;
[3] § 3.44;
[5] § 103;
[7] § 187.
Лабораторная работа 3-11
Изучение распределения Гаусса на механической модели
Цель работы: познакомится на опыте
распределения случайных величин (закон Гаусса).
с
нормальным
законом
Теоретическое введение
Случайная величина. Понятие о статистическом распределении.
В научных исследованиях, технике и массовом производстве часто
приходится встречаться с особого типа явлениями, которые принято называть
случайными. Случайное явление – это явление, которое при неоднократном
воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько поиному. Случайной называют такую величину, которая принимает
значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств.
В природе нет ни одного физического явления, в котором не
присутствовал бы в той или иной мере элемент случайности. Как бы точно ни
были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть полного и точного
совпадения результатов при повторении опыта. Существуют такие задачи, где
исход опыта зависит от столь большого числа факторов, что практически
невозможно зарегистрировать и учесть их все. Однако если обратиться к
совокупности большого числа явлений, то средние результаты
обнаруживают устойчивые закономерности, свойственные именно массовым
случайным явлениям. Примерами такого рода законов могут служить
распределения молекул по скоростям (закон Максвелла) и по компонентам
скоростей (описывается функцией Гаусса).
Случайная величина называется дискретной, если она принимает
счетное множество значений, например, число молекул в выделенном объеме
газа, энергия электрона в атоме, число зерен в колосьях. Непрерывная
79
случайная величина принимает любые значения внутри некоторого
интервала: координата материальной точки, температура воздуха, масса зерен
в колосьях.
Элементы классической статистики.
Пусть имеется макросистема, то есть система, состоящая из большого
числа микрочастиц. Пусть какая-либо случайная дискретная величина х может
принимать значения х1, х2, х3, …. Произведем N измерений величины х,
приводя систему каждый раз перед измерением в одно и то же состояние.
Вместо того, чтобы производить N измерений над одной системой, можно
взять N одинаковых систем и измерять величину х один раз в каждой системе.
Статистический ансамбль – это набор одинаковых систем, находящихся в
одинаковом состоянии. Пусть при измерениях х значение х1 получено в N1
измерениях, значение х2 – в N2 измерениях и т.д. Очевидно,
(11.1)
 Ni  N .
i
N
Вероятность pi (или р(хi)) появления результата хi – это pi  lim i ,
N
N 
причем из (11.1) следует условие нормировки (11.2):
 pi  1 .
i
(11.2)
Из определения вероятности следует, что 0≤р≤1, причем р=0 для
невозможного события и р=1 для достоверного события.
Два события несовместны, если их одновременное осуществление
невозможно (например, выпадение 1 и 3 при однократном бросании кости).
Два события называются независимыми, если наступление одного из них не
влияет на вероятность наступления второго. Математическая вероятность
подчиняется определенным закономерностям.
Закон сложения вероятностей: вероятность появления одного
(безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна
сумме их вероятностей. То есть, вероятность р(хi или хj) получить результат хi
или хj равна сумме их вероятностей:
р(хi или хj)= р(хi)+ р(хj).
(11.3)
Например, вероятность выпадения четного числа при однократном
бросании игральной кости р(2 или 4 или 6)=р(2)+р(4)+р(6)=1/6+1/6+1/6=1/2.
Закон умножения вероятностей: вероятность совместного появления
независимых событий равна произведению их вероятностей.
р(хi и хj)= р(хi) р(хj).
(11.4)
Например, при бросании двух игральных костей вероятность получить
1 1 1
сумму чисел на гранях 12 равна р(6 и 6)=   .
6 6 36
Во многих случаях наряду с распределением случайной величины или
вместо него информацию об этих величинах могут дать числовые параметры,
или числовые характеристики случайной величины. Это – математическое
80
ожидание М, дисперсия D и среднее квадратическое отклонение σ. Среднее
арифметическое значение x дискретной случайной величины
x
N x
i
i
(11.5)
i
N
при большом числе измерений (N→∞) стремится к математическому
ожиданию
(11.6)
M ( x )   p i xi .
i
Возможные значения дискретной случайной величины рассеяны вокруг ее
математического ожидания, часть их превышает M(x), часть – меньше M(x).
Дисперсия характеризует «разбросанность» случайной величины вокруг
математического ожидания.
2
(11.7)
D( x)   xi  x  pi


i
Среднее квадратическое отклонение, по определению:
(11.8)
  D(x) .
Непрерывную случайную величину нельзя задать тем же законом
распределения, что и дискретную. Введем f(x) – функцию распределения
вероятностей случайной величины – следующим образом.
Пусть dP – вероятность того, что непрерывная случайная величина
принимает значения в интервале от x до x+dx. Очевидно, что чем больше
интервал dx, тем больше и вероятность dP: dP прямо пропорциональна dx.
Кроме того, вероятность должна зависеть и от самой случайной величины x,
вблизи которой расположен интервал, поэтому
dP= f(x)dx,
(11.9)
где f(x) – плотность вероятности, т.е. функция, показывающая, как изменяется
вероятность, отнесенная к интервалу dx случайной величины, от значения
самой этой величины:
f ( x) 
dP
dx
(11.10)
Вероятность того, что случайная величина принимает какое-либо значение
в интервале от a до b, получается интегрированием функции:
b
P(a  x  b)   f ( x)dx
(11.11)
a
Условие нормировки для непрерывной случайной величины имеет вид:

 f ( x)dx  1 .
(11.12)

Замечание к формуле (11.12): интегрирование должно производиться по
всей области определения функции.
Для непрерывной случайной величины математическое ожидание M(x)
(среднее значение х) и дисперсия D(x) записываются соответственно в виде:

M ( x)  x 
 xf ( x)dx ,
(11.13)

81

D( x) 
 x  M ( x)
2
f ( x)dx ,
(11.14)

а среднее значение любой функции φ(х) равно:

    ( х) f ( x)dx .
(11.15)

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)
Существуют различные виды распределения случайных величин. Однако
особое значение в теории вероятностей и в различных практических
приложениях имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса),
характеризующийся тем, что для него среднее арифметическое значение
случайной величины является также и наиболее вероятным. Закон Гаусса
применяют, если выполняются следующие требования:
1. Величина может принимать непрерывный ряд значений.
2.
При большом числе наблюдений отклонения от среднего
одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто.
3. Большие отклонения от среднего встречаются реже, чем малые.
Плотность вероятности для нормального закона распределения
описывается формулой:
f ( x) 
1
 2
e

x x 2
2 2
,
(11.16)
где x  M (x) – математическое ожидание случайной величины, σ – среднее
квадратическое отклонение.
Кривая нормального закона распределения имеет колоколообразную
форму (рис.11.1), симметричную относительно вертикальной прямой x= x . С
уменьшением σ кривая становится все более островершинной. Площадь,
заключенная под всей кривой, согласно условию нормировки (11.12), равна
единице.
Удобно привести функцию Гаусса (11.16) к виду (11.17), если ввести
безразмерную переменную  
x


xx

:
f   

2
1
e 2 .
2
(11.17)
Тогда вероятность того, что х отклоняется от x не больше, чем на Δх,
можно рассчитать так:
p  P( x  x  x  x  x) 
xx

 f ( x)dx   f  d 
xx
2
2
  2
e
2 d .
(11.18)
0
Результаты вычисления р по формуле (11.18) приведены в табл. 11.1.
82
Таблица 11.1

0
0.1
0.2
0.3

0.4
0.5
1.0
1.5
р
0
0.08
0.16
0.24
р
0.31
0.38
0.68
0.87

2.0
2.5
3.0
4.0
р
0.95
0.988
0.997
0.99993
Очевидно, чем больше Δх, то есть чем больше ε, тем больше вероятность
того, что случайная величина принимает значение в интервале от x –Δх до
x +Δх. Так, например, вероятность того, что случайная величина принимает
какое-либо значение в интервале от x –σ до x +σ (ε=1), из (11.11):
x 
P( x    x  x   ) 
 f ( x )dx  0.68 ,
x 
то есть заштрихованная на рис.11.1 площадь равна 0.68. Если ε=2, то
вероятность того, что случайная
величина отклоняется от среднего
значения
(математического
x
f(x)
ожидания) не больше, чем на Δх=2σ,
равна 95%, а отклонение случайной
величины на Δх=3σ (ε=3) происходит
с вероятностью 99.7%.
Закону
Гаусса
подчиняется
распределение молекул газа по
компонентам скоростей. Если газ
x
x 
x 
x
находится в состоянии равновесия, в
Рис. 11.1
нем устанавливаются постоянные
давление и температура. При этом
молекулы газа движутся беспорядочно, сталкиваясь между собой и со
стенками сосуда, беспрерывно меняя свою скорость. Несмотря на полную
хаотичность молекулярных движений, их распределение по скоростям
оказывается вполне определенным, если число молекул газа достаточно
велико. На характер распределения не влияют ни столкновения между
молекулами, ни внешние поля. Оно оказывается однозначным и единственно
возможным.
Как бы ни изменялись скорости различных молекул, среднее значение
квадрата скорости остается постоянным и равно
v 2  
3kT
,
m0
(11.19)
где m0 – масса молекулы, Т – термодинамическая температура газа, k –
постоянная Больцмана. Введём функцию распределения по компонентам
dN v x
скоростей: (v )dv =
– доля молекул, проекции скорости которых на ось
x
x
N
83
ОХ лежат в интервале от vх до vх+dvх. Хаотичность движения молекул
позволяет принять для проекции скорости vх молекулы нормальный закон
распределения. Как показал Д.К.Максвелл, плотность вероятности того, что
молекула имеет компоненту скорости vх, равна:
1
 m v2 
 m0  2
 0 x ,
 v x   
exp
(11.20)

 2kT 
 2kT 


График функции распределения по компонентам скоростей изображен на
рис.11.2.
Функция принимает максимальное значение
при vx=0 и симметрична относительно оси ординат.
(vx)
Это значит, что среднее значение проекции
скорости и ее наиболее вероятное значения равны
нулю. Доля молекул, движущихся в данный момент
времени в плоскости, перпендикулярной оси ОХ,
максимальна.
vx
Поскольку все направления движения молекул
Рис. 11.2
в пространстве равноправны, выражения для (vy) и
(vz) аналогичны выражению (11.20). Вероятность того, что молекула имеет
проекцию скорости, лежащую в интервале от vх до vх+dvх:
dPx   ( v x )dv x .
(11.21)
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: доска Гальтона, сосуд с частицами (зерно,
дробь), воронка, мензурка и линейка, коробочки для сбора частиц.
Экспериментальная установка
В работе используется механическая модель (доска Гальтона), в которой
искусственно осуществляется одномерное рассеивание частиц. Сыпучий
материал (зерно, дробь) засыпается через отверстие с помощью воронки.
Внутри прибора в шахматном порядке расположены гвозди, играющие роль
рассеивающих центров при движении частиц сверху вниз. В нижней части
прибора сделаны ячейки шириной d=2 см, в которые попадают засыпаемые
частицы. Ячейки пронумерованы 111, рассеивающие центры находятся на
расстоянии 0.5 см друг от друга, число рядов рассеивающих центров – 28.
Рассеянное в результате столкновений с гвоздями зерно, собираясь в
приемнике, дает представление о характере распределения случайных
отклонений частиц от вертикали. Картина ступенчатого распределения зерна в
секциях приемника хорошо описывается кривой нормального распределения.
84
Порядок выполнения работы
Задание 1. Градуировка прибора.
1. По заданию преподавателя на листке бумаги отсчитать N0 зерен и
поместить их в малую коробочку для засыпки в прибор.
2. Прибор – доску Гальтона – расположить горизонтально и выдвинуть
переднюю подвижную стенку. После этого осторожно засыпать в одну из ячеек
прибора, например 5 или 6, отсчитанное количество зерна. После этого
подвижную стенку задвинуть и установить прибор вертикально.
3. С помощью линейки измерить высоту h0 зерна в ячейке. Результат
записать в табл.11.2.
4. Освободить прибор от засыпанных частиц и сдвинуть вверх подвижную
стенку. Когда зерно высыплется, стенку закрыть. Зерно из коробки осторожно
пересыпать в мензурку, используя воронку.
Таблица 11.2
N0
h0 , мм
V
N
Задание 2. Измерения.
1. По указанию преподавателя в мензурку, используя воронку, засыпать
указанный объем зерна. Объем записать в табл. 11.2.
2. Вставить воронку в верхнее отверстие прибора и осторожно засыпать
зерно из мензурки в прибор. Мензурку держать перпендикулярно передней
или задней стенке прибора. Линейкой измерить высоты заполнения ячеек
111. В крайних ячейках, где этого сделать нельзя, подсчитать число частиц,
попавших туда.
3. Освободить прибор от зерна (см. п. 4 задания 1). С этим количеством
зерна опыт проделать еще два раза, рассчитать средние высоты заполнения
ячеек hi ср..
4. Перевести высоты hi ср. в количество зерен, используя результаты
градуировки.
5. Результаты занести в таблицу 11.3.
6. Оценить общее число зерен N=ΣNi, записать в табл. 11.2.
Задание 3. Обработка результатов измерений.
1. На миллиметровой бумаге построить две гистограммы: а) по оси
абсцисс откладываются координаты x начала и конца ячейки; высота
прямоугольника, построенного на этом основании, равна числу зерен Ni,
85
попавших в iтую ячейку; б) по оси ординат откладывается доля (Ni/N) частиц,
попавших в iтую ячейку (см., например, рис.11.3).
2.
Построить
график,
Ni
характеризующий заполнение ячеек: по оси
N
ординат откладывается высота hi зерна в
ячейке, по оси абсцисс – координата xi
середины ячейки.
3. Построить график зависимости
вероятности рi=Ni/N попадания частицы в
данную ячейку от координаты середины
ячейки xi. Эта кривая должна достаточно
x, см хорошо
приближаться
к
функции
Рис. 11.3
распределения Гаусса.
4. Рассчитать по формулам (11.6-11.8) и записать в таблицу 11.4
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Таблица 11.3
Номера
ячеек i
Координата
середины
ячейки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
xi, см
hi, мм
hi, мм
hi, мм
hi ср., мм
Число зерен
в iтой ячейке
Ni.
pi= Ni/N
f(x)
x , см
D, см
5. Объяснить полученные результаты.
86
2
Таблица 11.4
σ, см
6. Используя полученные значения x и σ, по формуле (11.16) рассчитать
теоретические значения распределения Гаусса, записать в таблицу 11.3,
сравнить с экспериментальными значениями вероятностей pi, построить
график функции f(x).
8. По окончании работы рабочее место привести в порядок.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение вероятности, сформулируйте законы сложения и
умножения вероятностей, приведите примеры.
2. Что такое математическое ожидание? При каком условии
математическое ожидание совпадает со средним арифметическим?
3. Что такое дисперсия? Что она характеризует?
4. Что такое функция распределения вероятностей случайной величины?
Что она показывает?
5. Чему равна площадь под графиком функции распределения?
6. Запишите закон Гаусса. Как изменится график нормального закона при
изменении среднеквадратического отклонения?
7. Как, пользуясь графиком функции Гаусса, найти вероятность того, что
случайная величина отклоняется от математического ожидания не больше, чем
на Δх?
8. Запишите закон распределения Максвелла по компонентам скоростей.
9. Как влияет на форму кривых распределения Максвелла температура?
10. Как изменятся форма кривых распределения частиц в механической
модели и среднеквадратическое отклонение при увеличении количества
рассеивающих центров (гвоздей)?
Используемая литература
[1] §§ 10.1, 10.2, 10.3, 10.4;
[2] §§ 35.1, 35.2, 35.3;
[3] §§ 5.42, 5.43, 5.44, 5.52;
[4] §§ 73,74;
[7] § 44.
Лабораторная работа 3-12
Определение коэффициента вязкости воздуха и средней длины свободного
пробега молекул
Цель работы: определить коэффициент вязкости и длину свободного
пробега молекул воздуха.
87
Теоретическое введение
Тепловое хаотическое движение молекул газа способствует сглаживанию
всяких различий между равными частями газа. Поэтому, если мы имеем слои
газа, движущиеся с различными по величине скоростями, то на упорядоченное
движение слоев газа с различными скоростями накладывается хаотическое
движение молекул. Молекулы переходят из слоя, движущегося со скоростью
v1, в слой, движущийся со скоростью v2, и обратно, перенося при этом импульс. Такой процесс переноса импульса, выравнивающий скорости отдельных
слоев, сопровождается превращением кинетической энергии упорядоченного
движения данного слоя в энергию теплового движения молекул и называется
внутренним трением. Закон Ньютона для внутреннего трения имеет вид:
dv
(12.1)
F    S .
dz
Здесь η – коэффициент вязкости, численно равный силе вязкого трения
между двумя слоями единичной площади при единичном градиенте
скоростей. Этот закон можно вывести, используя основные положения молекулярно-кинетической теории. Пусть у нас имеются два слоя газа, движущиеся
со скоростями v1 и v2 (рис.12.1). Выделим мысленно в среде какую-то площадку
ΔS
ΔS и направим ось z ортогонально к ней. Две другие оси х
v1
и у параллельны площадке. Хаотичность движения
следующим
образом. Будем
v2 молекул смоделируем
считать, что ровно 1/3 молекул движется вдоль оси х, 1/3 –
вдоль оси у и 1/3 – вдоль оси z. Из молекул, летящих
Рис. 12.1
параллельно z, ровно половина (1/6 часть полного числа
молекул) движется в положительном направлении, и столько же – в
отрицательном. Подсчитаем количество молекул N, пересекающих площадку ΔS
в единицу времени. Ясно, что молекулы, летящие вдоль осей х и у, площадку не
пересекут. За время Δt молекулы преодолевают расстояние v t , где v –
средняя арифметическая скорость. Потому на площадку попадет только 1/6
часть
молекул
из
объема
v
V  v t  S , то есть
ΔS
1
p1
(12.2)
N  n v St ,
6
p2
N
n
где
– концентрация
v1
V
молекул.
v2
Импульс, переносимый потоком молекул за время Δt через
(z–λ) z (z+λ)
z
площадку ΔS в положительном направлении оси z из слоя, движущеРис. 12.2
гося со скоростью v1 (рис.12.2),
равен:
88
p1  m0 v1N ,
(12.3)
где m0 v1 – импульс одной молекулы, связанный с направленным движением
молекул.
Импульс, переносимый в противоположном направлении, равен
p2  m0 v 2 N .
(12.4)
Полное изменение импульса слоя получим из (12.2-12.4):
1
(12.5)
p  p1  p2  nm0 v v1  v 2 St .
6
Последний раз перед попаданием на площадку ΔS молекулы сталкивались с
другими молекулами на расстоянии длины свободного пробега λ от площадки.
Поэтому к выделенной нами площади они подходят с теми импульсами частиц,
которые сложились в точках с координатами (z–λ) и (z+λ) соответственно (z –
координата площадки) и соответствуют скоростям направленного движения v2 и
v1 (рис.12.2).
Поскольку длина свободного пробега λ мала, то разность скоростей
v1  v 2  можно выразить через градиент скорости и длину свободного пробега
молекул :
v1  v 2    dv .
(12.6)
2
dz
Учитывая, что nm0= (плотность вещества), из (12.5) и (12.6) получим:
1
dv
(12.7)
p    v
St .
3
dz
По второму
закону Ньютона изменение импульса тела равно импульсу си 
лы: p  Ft , тогда
1
dv
(12.8)
F    v
St .
3
dz
Мы вывели закон Ньютона (12.1) для вязкости и получили выражение для
коэффициента динамической вязкости:
1
(12.9)
   v .
3
Теперь можно установить зависимость вязкости газа от температуры:
поскольку средняя арифметическая скорость
8RT
,
(12.10)
v 

а длина свободного пробега молекул
1
,
(12.11)
2n
то при постоянной концентрации молекул (например, в изохорном процессе)
вязкость с повышением температуры увеличивается пропорционально T .

89
Получим выражение для расчёта средней длины свободного пробега
молекул из (12.9) с учётом (12.10):
3 

.
(12.12)
 8 RT
m
Плотность газа выразим из уравнения Менделеева-Клапейрона pV   RT :


m p
3RT 
3 RT
, тогда из (12.12):  
, или


V RT
p 8RT
p 8
  1.88

RT
,
(12.13)
p 
где p=105 Па – атмосферное давление; μ=0.029 кг/моль – молярная масса
воздуха; R – универсальная газовая постоянная.
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: стеклянный сосуд с краном, пробка с капилляром, штатив, мерный стакан (колба), линейка, вода.
Методика измерений и описание установки
В предлагаемом методе определения динамического коэффициента вязкости используется истечение воздуха через капилляр. Известно, что скорости
истечения бесконечно тонких цилиндрических слоев воздуха, расположенных
на различных расстояниях от оси капилляра, различны и распределены по сечению капилляра по параболическому закону. Наибольшая скорость будет на
осевой линии капилляра и, по мере приближения к стенкам, скорость уменьшается, а слой, прилегающий к стенке, неподвижен, т.е. "прилипает" к ней.
Между слоями, движущимися с различными скоростями, возникает сила
внутреннего трения (сила вязкости). При установившемся движении сила вязкости, действующая на элементарный объем и приложенная к боковой поверхности цилиндра, уравновешивает разность сил давлений, действующих на основание цилиндра. На концах капилляра при протекании по нему воздуха возникает разность давлений (p1–p2). При установившемся движении воздуха она
будет неизменной. По закону Пуазейля, при малых скоростях течения объем
воздуха, протекающего через сечение капилляра, равен:
  r 4  p1  p2   t
V
,
(12.14)
8 l
где r – радиус капилляра; (p1–p2) – разность давлений в начале и конце капилляра;  - динамический коэффициент вязкости; l – длина капилляра; V –
объем газа, протекшего через сечение капилляра за время t. Отсюда
  r 4  p1  p2  t
.
(12.15)
=
8V l
90
Таким образом, для определения коэффициента вязкости достаточно измерить разность давлений, время истечения газа, его объем, радиус и длину капилляра.
Схема
установки
представлена
на
рис.12.3.
Установка состоит из стеклянного сосуда А со шкалой C.
p1
Верхняя часть сосуда закрыта пробкой с капилляром B, а в
нижней имеется трубка с краном К. Перед началом работы
кран закрыт, сосуд заполнен водой на 3/4 объема и плотно
закрыт пробкой с капилляром. Если открыть кран К, то по
истечении некоторого времени вода из сосуда А будет вытекать каплями. При этом объем воды, вытекающий из сосуда,
равен объему воздуха, прошедшего через капилляр , а давРис. 12.3
ление p2 у открытого конца трубки D равно сумме давлений: давления p1 воздуха, находящегося над поверхностью воды в сосуде А, и гидростатического
давления pгидро  gh :
p2  p1  pгидро  p1  gh .
(12.16)
Давление p2 уравновешивается атмосферным: p2=pатм., тогда
pатм.  p1  gh .
(12.17)
Учитывая, что давление у верхнего конца капилляра равно атмосферному, разность давлений на концах капилляра выразится из (12.15):
p2  p1  pатм.  p1  gh
Поскольку в процессе опыта давление столба воды уменьшается (за счет истечения), то берут среднее значение
h h
(12.18)
p2  p1  ghср.  g 1 2 ,
2
и выражение для вязкости (12.13) примет вид:

  r 4 g h1  h2   t
16  l  V
.
(12.19)
Порядок выполнения работы
1. Подготовьте установку к выполнению работы:
а) залейте сосуд на 3/4 объема водой;
б) закройте сверху плотно трубкой с капилляром;
в) подставьте под кран сливную емкость;
г) подготовьте к работе секундомер.
2. Откройте кран К. Когда вода начнет вытекать каплями:
а) отметьте уровень воды h1;
б) подставьте мерный сосуд под трубку D;
г) запустите секундомер.
3. Когда в мерном сосуде будет 50 мл воды:
а) отметьте по шкале новый уровень воды h2. При этом объем воды в
мерном сосуде равен объему прошедшего через капилляр воздуха;
91
б) одновременно с этим остановите секундомер.
4. Результаты измерений занесите в таблицу 12.1.
5. Опыт повторите 3-5 раз, фиксируя каждый раз h1, h2 и время истечения
воздуха t.
6. Полученные результаты каждого опыта подставьте в (12.19) и рассчитайте коэффициент вязкости , рассчитайте среднее значение коэффициента
вязкости. Длина капилляра равна l=4 см, его радиус r=0.06 мм.

погрешности.

8. Полученный результат для коэффициента вязкости  подставьте в
7. Рассчитайте абсолютную  и относительную Е   
(12.13) и рассчитайте .
9. Выведите формулу и рассчитайте погрешность , а также Е   

.

10. Результаты вычислений занесите в таблицу 12.1.
№
.
1
2
3
4
5
Сред
нее
V , V,
10-6 .10-6
м3 м3
50
-
-
t,
с
Δt,
с
h1,
м
h2,
м
-
-
-
-
Таблица 12.1
h, , , Е(), , , Е(),
м Па.с Па.с %
м
м
%
-
-
-
-
-
Контрольные вопросы
1. Объясните молекулярно-кинетический механизм вязкости.
2. Сформулируйте и докажите закон Ньютона для вязкости; получите
выражение для коэффициента вязкости.
3. Каков физический смысл коэффициента динамической вязкости?
4. От каких параметров и как зависит коэффициент вязкости воздуха?
5. Сформулируйте закон Пуазейля. Как он используется в данной
лабораторной работе? Выведите рабочую формулу (12.19) для коэффициента
вязкости.
6. Что такое средняя длина свободного пробега? От чего она зависит?
Выведите расчётную формулу (12.13).
7. Какие ещё явления переноса, кроме вязкости, вы знаете? Что при этом
переносится?
92
Используемая литература
[1] §§ 10.6-10.8;
[2] §§ 36.1-36.3;
[3] §§ 5.6, 5.7;
[4] §§ 78-80;
[7] §§ 46, 48.
Лабораторная работа 3-13
Определение работы выхода электронов из металла
Цель работы: построение и изучение вольтамперной характеристики
двухэлектродной лампы (диода); исследование зависимости плотности тока
насыщения термоэлектронной эмиссии от температуры катода и определение
работы выхода электрона из вольфрама методом прямых Ричардсона.
Теоретическое введение
В этой лабораторной работе рассмотрим, как простые модели металла
могут быть использованы для объяснения термоэлектронной эмиссии
электронов.
Многие физические свойства металлов можно объяснить, основываясь на
модели свободных электронов. В этой модели валентные электроны атомов
металла считаются полностью свободными в пространстве, ограниченном
поверхностью.
Именно
валентные
электроны
обуславливают
электропроводность металла, и по этой причине их называют электронами
проводимости и отличают от электронов, заполняющих оболочки ионных
остовов.
Следующее доказательство правильности представления о свободных
электронах в металлах мы обнаруживаем в явлениях термоэлектронной
эмиссии. Известно (Ричардсон, 1903 г.), что электроны самопроизвольно
выделяются из раскаленных металлов и что в отсутствие внешнего
электрического поля они образуют электронное облако вокруг нагретого тела.
Число таких электронов можно определить, измерив ток, возникающий при
включении внешнего электрического поля.
Теоретически явление термоэлектронной эмиссии можно объяснить,
используя модель свободных электронов. В металле электроны проводимости
могут двигаться свободно, участвуя в тепловом движении. Так как они
удерживаются внутри металла, то значит, вблизи поверхности металла
существуют силы, действующие на электроны и направленные внутрь металла.
Чтобы электрон мог выйти из металла за его пределы, должна быть совершена
определенная работа А против этих сил, которая получила название работа
выхода электрона из металла. Так как электрон – заряженная частица, то
существование работы выхода показывает, что в поверхностном слое металла
93
существует электрическое поле, а следовательно, электрический потенциал при
переходе через этот поверхностный слой меняется на некоторую величину φ,
которая, так же как и работа выхода, является характеристикой металла. Эта
поверхностная разность потенциала связана с работой выхода очевидным
соотношением:
(13.1)
A  e  ,
Ep
где e – заряд электрона.
Изменение потенциала внутри
металла в отсутствие тока можно
наглядно представить при помощи
0
(рис.13.1).
По
Ек2
x диаграммы
вертикальной
оси
отложена
A=e
потенциальная энергия электрона Ep,
Eк1
то есть Е р  e   , причём значение
потенциала вне металла принято
равным
нулю.
Потенциальная
энергия электрона вне металла постоянна; в поверхностном слое она быстро
изменяется, а именно уменьшается на величину работы выхода, а внутри
металла опять становится постоянной. Так что распределение потенциальной
энергии электрона внутри металла представляется в виде потенциальной ямы
(ящика).
Можно указать две причины возникновения работы выхода. Одна
заключается в индукционном действии удаляемого электрона из металла.
Такой электрон вызывает на поверхности металла положительный
индуцированный заряд, отчего между электронами и металлом возникает сила
притяжения, препятствующая удалению электрона. Вторая заключается в том,
что вылетевшие из металла электроны образуют электронное облако. В
результате у поверхности металла возникает тонкий двойной
электрический слой, электрическое поле которого препятствует вылету
электронов из металла.
Если электрон внутри металла имеет кинетическую энергию Eк1 меньшую,
чем глубина потенциального ящика (рис.13.1): Eк1  e   , то такой электрон не
сможет покинуть металл. Если же его кинетическая энергия Eк2  e   , то
электрон вылетает из металла. Условия вылета электрона из металла:
Рис. 13.1
mv 2
 e  ,
(13.2)
2
где m – масса электрона, v – его скорость.
Работа выхода для металлов имеет порядок нескольких электрон-вольт (1
3
эВ=1.6.10-19 Дж). Величина энергии теплового движения равна  kT , и при
2
комнатной температуре Т=300 К она равна 0.02 эВ (то есть Eк  e   ).
94
Поэтому при комнатной температуре подавляющее большинство электронов
проводимости находится внутри металла.
I
Зависимость плотности тока насыщения jн ( jн  н ) от температуры
S
катода Т известна в литературе под названием формулы Ричардсона-Дэшмена:
A
jнас  BT 2  e kT ,

(13.3)
где k – постоянная Больцмана, равная 1.38.10-23 Дж/К; В – постоянная, величина
которой для многих чистых металлов лежит в пределах: (0.6÷162)А/(м2.К2).
Рассмотрим, как классическая статистическая физика объясняет эту
зависимость. Термоэлектронная эмиссия заключается в том, что быстрые
электроны металла, обладающие кинетической энергией теплового движения,
большей, чем работа выхода, встречая поверхность металла, преодолевают
потенциальный барьер на поверхности и выходят за пределы металла. Для
этого надо найти число электронов, ударяющихся за секунду о единицу
поверхности металла и причем таких, у которых кинетическая энергия
перпендикулярной к поверхности составляющей скорости движения, например
по оси ОХ, достаточна для преодоления потенциального барьера. Если
обозначим через n1 число таких электронов, то
jн  e  n1 .
(13.4)
Далее, используя закон распределения Максвелла по скоростям, нужно
mv 2x
 A . Число электронов n в единице
найти число электронов, для которых
2
объема, скорость которых лежит в интервале скоростей между v и (v+dv),
равно (распределение Максвелла)
3
2
mv 2

 4v 2  e 2kT  dv .
 m
dn  n  
(13.5)

 2  kT 
Аналогично число электронов в единице объема с компонентой скорости
между vx и (v x+dvx) равно


m v 2  v 2  v 2 
    x y z 
 m
2kT
dnx  n  
e
 dv y  dv z 
  dv x 
 2  kT 
 
mv 2
 x
m
n
 e 2kT  dv x ,
3
2
 
2  kT
(13.6)
поскольку 4v 2  dv  dv x  dv y  dv z ,
v 2  v 2x  v 2y  v 2z .
Теперь, чтобы получить число таких электронов, попадающих на
единичную площадку поверхности металла за одну секунду, нужно величину
95
dnx умножить на vx, так как за единицу времени поверхности достигают все
электроны с компонентой скорости vx, содержащиеся в слое толщины vx,
прилегающем к поверхности. Таким образом, плотность тока насыщения
выражается интегралом
mv 2
 x
m

v x  e 2kT  dv x .
2  kT
2A
m

jн  en 

(13.7)
Взяв этот интеграл, получим выражение
A

kT
jн  en 
 e kT .
2m
(13.8)
Этот результат основан на представлениях классической электронной
теории.
Квантовая
теория металлов, в которой распределение электронов
проводимости по энергиям – это распределение Ферми, приводит к
соотношению (13.3), в которое вместо T в (13.8) входит T 2 . Нужно заметить,
что на опыте это различие не очень существенно, так как зависимость
jн  f T  определяется главным образом экспоненциальным множителем
e
e kT .

Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: ИП – источник питания, ФПЭ-06 – модуль
“Определение работы выхода”, PV – вольтметр (прибор Ф-214 1/2), PA –
амперметр (прибор Ф-2141/4).
Методика измерений
Измеряя на опыте зависимость тока насыщения от температуры (рис.13.2),
можно определить работу выхода для данного металла. В нашем случае для
определения работы выхода используется метод прямых Ричардсона.
Прологарифмируем уравнение (13.3):
j
A 1
ln нас  ln B  
k T
Т2
96
(13.9)
График зависимости ln
j нас
1
от   является прямой линией с угловым
2
Т
Т 
 А
коэффициентом   (рис.13.3). Определив тангенс угла α наклона прямой к
k
оси абсцисс, можно найти работу выхода:
А  k  tg .
Ia
j 
ln  нас2 
Т 
T3
T2
T1
Iнас
0
ln B
Ua
Рис. 13.2
(13.10)
α
Рис. 13.3
1
Т
Экспериментальная установка
Электрическая схема для проведения опыта представлена на рис. 13.4 и
13.5. В качестве диода в работе используется радиолампа с вольфрамовым
катодом прямого накала. Нагрев катода осуществляется постоянным током.
Рис. 13.4
Рис. 13.5
Амперметр и вольтметр в цепи накала служат для определения мощности,
расходуемой на нагрев катода, что необходимо для определения температуры.
Амперметр на панели источника питания служит для контроля тока накала
IН, максимальное значение которого не должно превышать 2.2 А. Плавная
регулировка напряжения накала осуществляется ручкой, расположенной под
амперметром. Напряжение накала UН измеряется вольтметром (PV), который
97
подключается к тем клеммам на источнике питания, где указано напряжение
2,5–4,5 В. Вольтметр на панели источника питания измеряет анодное
напряжение UА, регулировка которого осуществляется ручкой на панели
источника питания, расположенной непосредственно под вольтметром.
Для измерения анодного тока IА используется амперметр, который
подключается к модулю ФПЭ-06 к клеммам РА. Он должен работать в режиме
миллиамперметра, измеряя ток до 20 mA.
Порядок выполнения работы
1. Подключить модуль ФПЭ-06 соединительным кабелем к источнику
питания.
2. Установить напряжение накала UН равным 3.9 В, измерить и записать
силу тока накала IH и, увеличивая анодное напряжение в интервале от 10 до
100 В через каждые 10 В, измерять значение анодного тока IА. Все результаты
записать в табл. 13.1.
UH=3.9 B,
IH= А
UA, B IA, A
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
UH=4.2 B,
IH= А
UA, B IA, A
UH=4.5 B,
IH= А
UA, B IA, A
UH=4.8 B,
IH= А
UA, B IA, A
Таблица 13.1
UH=5.7 B,
IH= А
UA, B IA, A
3. Провести измерения (пункт 2) для следующих значений напряжения
накала UН: 4.2; 4.5; 4.8; 5.7 В.
4. Для каждого значения тока накала построить вольтамперную
характеристику и точку перегиба полученной кривой считать точкой
насыщения.
5. Для всех значений напряжения накала рассчитать мощность,
выделяемую на катоде, по формуле: P  I Н  U Н , а также мощность,
98
приходящуюся на единицу площади катода:
P
. Для данной лампы площадь
Sn
поверхности катода принять Sn=3.5210-2 см2.
6. По графику (рис. 13.6) зависимости температуры катода от расходуемой
на его нагрев мощности определить температуру катода для каждого значения
мощности нагрева.
7. Рассчитать плотность анодного тока насыщения по формуле jНАС 
I НАС
,
S
принять S=1110-6 м2.
8. Все полученные данные занести в табл. 13.2.
9. Построить график зависимости ln 
j НАС 
от (1/Т), откладывая по оси
2 
 T 
j

абсцисс х=(1/Т), а по оси ординат – y  ln  НАС
(рис.13.3).
2 
 T 
10. Определить тангенс угла наклона α полученной прямой к оси абсцисс:
tg 
y
и рассчитать работу выхода по формуле (13.10). Все данные занести в
x
табл.13.3.
11. Сделать выводы.
Таблица 13.2
№
п/п
1
2
3
4
5
Iнас ,
мA
j

y   ln  НАС
2 
 Т 
IH,
A
UH,
В
P/Sn,
Bт/см2
1
x    , К-1
T 
tg 
Т,
К
y
,К
x
1/Т,
К-1
jнас,
мA/м2
А , Дж
 j НАС 
 2 
 Т 
j

ln  НАС
2 
 Т 
Таблица 13.3
А , эВ
Контрольные вопросы
1. В чем заключается явление термоэлектронной эмиссии? Напишите
формулу Ричардсона-Дэшмена, объясните ее смысл и характер выражаемой ею
зависимости.
2. Чем определяется работа выхода электронов из металла в модели
свободных электронов?
99
3. Каковы причины появления работы выхода электронов из металла?
4. Почему при обычных температурах (комнатных) из металла
«испаряется» лишь малая доля свободных электронов?
5. Почему необходимо использовать методы статистической физики для
объяснения термоэлектронной эмиссии?
6. Поясните, изменится ли представление о работе выхода, если применять
не классическую электронную теорию, а квантовую.
7. Объясните, в чем заключается косвенный метод определения
температуры катода.
Рис. 13.6
Вт/см2
Используемая литература
[1] § 18.5;
[3] §§ 5.10, 5.11, 5.12;
[7] §§ 104, 105.
Лабораторная работа 3-14
Определение коэффициента линейного теплового расширения
Цель работы: измерение температурного коэффициента линейного
расширения металла.
Теоретическое введение
Для объяснения зависимости теплоемкости твердых тел от температуры
(модели Эйнштейна, Дебая) используется модель кристалла, в которой
принимается, что отклонения атомов, ионов (частиц, из которых состоит
100
кристалл) из положения равновесия малы по сравнению с расстояниями между
ними. Предполагается, что можно точно определить свойства твердого тела,
сохраняя в разложении потенциальной энергии кристалла лишь первый
неисчезающий член, квадратичный по смещениям атомов. Это – так
называемое гармоническое приближение. Предположение о малости колебаний
кажется разумным для большинства твердых тел при температурах, лежащих
гораздо ниже температуры плавления. Может показаться, что в том случае,
когда выполняется предположение о малых колебаниях атомов кристалла,
поправки к гармоническому приближению важны лишь в очень точных
вычислениях.
Тем не менее ряд свойств твердых тел, проявляющихся при любой
температуре, не удается объяснить в чисто гармоническом приближении,
поскольку они полностью обусловлены высшими (ангармоническими) членами
в разложении энергии взаимодействия атомов вблизи ее равновесного
значения. Важнейшее из этих физических свойств – эффект теплового
расширения. У строго гармонического кристалла равновесные размеры не
зависели бы от температуры.
Для кристаллов с кубической симметрией коэффициент теплового
расширения определяется так:
1  l 
1  V 
(14.1)
    

 .
l  T  P 3  V  T  P
Здесь l – линейные размеры тела, V – его объем. Индекс «P» означает, что
производная берется при постоянном давлении.
При свободном тепловом расширении твердого тела тепловая деформация
ε (относительное изменение линейных размеров) будет пропорциональна
изменению температуры T:
l
     T .
(14.2)
l
Как правило, с повышением температуры размеры твердых тел
увеличиваются, т.е. α>0. Явление теплового расширения в твердых телах
обусловлено некоторым изменением характера межатомного взаимодействия
при изменении температуры. С усилением теплового движения, с увеличением
температуры, с ростом амплитуды колебаний атомов твердого тела силы
притяжения и отталкивания между ними, определяющие их энергию
взаимодействия, различным образом меняются. И это приводит к тому, что
среднее расстояние между атомами в твердом теле изменяется при изменении
температуры.
Поясним на простой модели линейной цепочки атомов причины теплового
расширения. Для этого рассмотрим влияние ангармонического вклада в
выражении для потенциальной энергии взаимодействия пар атомов при
температуре T. Потенциальную энергию взаимодействия атомов при смещении
на расстояние x от положения равновесия x0 представим в виде:
U x   k  x  x0 2  g  x  x0 3 .
(14.3)
101
Здесь k – квазиупругая постоянная, g – ангармоническая постоянная;
первое слагаемое – потенциальная энергия в гармоническом приближении,
второе слагаемое – ангармонический вклад в потенциальную энергию. Он
определяет асимметрию взаимного отталкивания атомов. В отсутствие
ангармонизма (g=0) на атомы действует только квазиупругая сила –
зависимость U(x) описывается параболой. Из (14.3) находим по определению
U
(F 
) возвращающую силу, действующую на атом:
x
(14.4)
F  2k x  x0   3g x  x0 2 .
Среднее по времени значение силы F (это сила, действующая на атом в
состоянии равновесия) должно быть равно нулю, иначе атомы в среднем
обладали бы ускорением и сместились из положения равновесия. Так что:
F  2  k  x  x0   3  g  x  x0 2  0 .
(14.5)
Укажем, что, во-первых, по определению (14.2)  
x  x0
, и что в
x0
гармоническом приближении (g=0) из (14.5) следует x  x0 , и теплового
расширения нет. Этот результат не зависит от амплитуды колебаний атомов.
Атомы колеблются гармонически, и в среднем их позиции в кристаллической
решётке не зависят от температуры.
Из соотношения (14.5) следует также, что с учётом ангармонизма:
x  x0
3 g 1
(14.6)
   
  x  x0 2 .
x0
2 k x0
Для нахождения величины x  x0 2 можно при высоких температурах
воспользоваться классическим законом распределения энергии по степеням
свободы:
k   x  x0 2
 kБ  Т ,
(14.7)
2
где kБ – постоянная Больцмана.
Сравнивая (14.6) и (14.2) с учётом (14.7) находим, что для линейной
цепочки атомов x  x0 , так что отклонения атомов от положения равновесия
x  x0  становятся зависящими от температуры, а тепловая деформация

x  x0 3  g  k Б

T ,
2
x0
k  x0
Тогда

102
3  g  kБ
k 2  x0
.
(14.8)
(14.9)
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: исследуемый образец, нагреватель, термопара,
индикатор, милливольтметр, линейка, термометр.
Методика измерений и экспериментальная установка
Построив
график
зависимости
Δl
Δl=f(Δt), по тангенсу угла наклона
графика к оси ОХ (рис.14.1) можно
Δy определить коэффициент линейного
расширения α:
1
1 y


tg


 , (14.10)
Δx
l
l
β
0
0 x
где y  l , x  t .
Δt
Рис. 14.1
Исследуемый образец (трубка) 1
закреплён верхним концом на станине (рис.14.2). Для измерения удлинения
трубки используется индикатор 2. Его измерительная головка упирается в
нижний конец трубки. Цена
деления индикатора 10-5 м.
1
Внутри
трубки
находится
нагреватель
3
(нихромовая
проволока).
С
понижающего
4
А
трансформатора 4 на нагреватель
6
5
подаётся напряжение 20 В.
Температура образца измеряется с
помощью
термопары
5,
мВ
соединённой с милливольтметром
6.
Удельная
термо-ЭДС
термопары равна αТЭДС=1.43.10-3
В/К (см. лабораторную работу 33
15). Напряжение U, измеряемое
милливольтметром,
пропорционально
разности
температур
Δt=t–t0
двух
2
контактов термопары:
Рис. 14.2
U=αТЭДС .Δt.
(14.11)
Порядок выполнения работы
Внимание! Нагрев начинается сразу после включения установки в сеть.
Заранее подготовьте таблицу для записи опытных данных.
1. Измерьте длину l0 образца от нижнего конца, упирающегося в головку индикатора, до винта, закрепляющего верхний конец. Данные запишите в табл. 14.1.
2. Убедитесь, что индикатор стоит на нуле; милливольтметр также должен
показывать нуль.
103
3. Включите установку в сеть.
4. Когда стрелка милливольтметра отклонится на 10 делений, запишите
показания индикатора Δl.
5. Записывайте удлинение образца Δl при напряжениях, указанных в
табл.14.1.
6. Отключите установку от сети.
7. Вычислите Δt по формуле (14.11).
8. Постройте график зависимости Δl=f(Δt).
9. По формуле (14.10) определите коэффициент линейного расширения α;
сравните полученное значение с табличными; определите, из какого материала
сделан образец.
10. Оцените погрешность Δα определения коэффициента линейного
теплового расширения.
11. Все полученные результаты занесите в табл.14.1.
Таблица 14.1
№
l0, м
U,
Δt,
Δl,
Δx,
Δy,
α,
Δα,
.
-5
.
-5
-1
мВ
К
10 м
К
10 м
К
К-1
1
10
2
20
3
30
4
40
5
50
6
60
7
70
8
80
9
90
10
100
Контрольные вопросы
1. Как определяется в термодинамике коэффициент линейного расширения
твердых тел?
2. Что такое гармоническое приближение?
3. Какие физические свойства нельзя объяснить без учета ангармонизма?
4. Представьте выражение для коэффициента линейного расширения для
линейной цепочки атомов в гармоническом приближении и с учетом
ангармонического вклада.
5. Как определяется изменение температуры образца в данной работе?
Используемая литература
[2] § 43.4;
[3] § 5.28.
104
Лабораторная работа 3-15
Исследование эффекта Зеебека
Цель работы: изучение термоэлектрических
температурной зависимости ЭДС термоэлемента.
явлений,
измерение
Теоретическое введение
Если из двух разнородных металлов образовать замкнутую цепь и
контакты (спаи) металлов поддерживать при разных температурах, то по цепи
пойдёт ток. Это явление получило название термоэлектричества, а
возникающая ЭДС – термоэлектродвижущей силы (ТЭДС). Термоэлектричество было открыто Зеебеком ещё в двадцатые годы XIX века.
В небольшом диапазоне температур величина ТЭДС
(15.1)
  2  1 T2  T1  T2  T1 .
d
Здесь  i 
– коэффициент Зеебека, характеризующий градиент
dT
потенциала, который возникает в проводнике, когда его концы
поддерживаются при различных температурах. В неравномерно нагретом
d
проводнике в отсутствие тока появляется электрическое поле.  
–
dT
дифференциальная ТЭДС пары проводников, она зависит не только от рода
данной пары проводников, но и от их состояния, в частности, от температуры;
T2 – температура одного из спаев, T1 – температура другого (T2 >T1).
Величина дифференциальной ТЭДС для пары медь–платина при t=00С
равна, например,  =7.4.10-6 В/К.
Термоэлектричество широко используют для измерения температур. Для
этого служат термоэлементы (термопары). Они содержат две проволоки из
различных металлов, концы которых сварены (спай 1). Второй спай
поддерживается при постоянной температуре T1. Концы цепи присоединяют к
милливольтметру. Измерив величину
и зная T1 и  , можно определить из
(15.1) неизвестную температуру T2 спая 1. Термопары обладают тем
преимуществом, что позволяют измерить как очень высокие, так и очень
низкие температуры, что невозможно сделать с помощью обычных
жидкостных термометров.
ТЭДС обусловлена зависимостью внутренней контактной разности
потенциалов от температуры в спае.
Причина появления контактной разности потенциалов между металлами
1 и 2 может быть понята на основе классических представлений об
электронном газе в металлах, как об идеальном газе, давление которого
определяется числом электронов в единице объема n и температурой Т.
p  nkT ,
(15.2)
где k – постоянная Больцмана. Так что, если температуры обоих металлов




105
одинаковы, но концентрации разные ( n1  n2 ), то давления электронного газа в
этих металлах различны. Если, например, p1  p2 , то электроны будут
переходить из металла 1 в металл 2 в большем количестве, чем из 2 в 1 до тех
пор, пока электрическое поле, возникающее вследствие преимущественного
диффузионного
перехода
электронов,
не
компенсирует
своим
противодействием влияния перепада давления.
Внутреннюю контактную разность потенциалов 12  1   2 легко
оценить в рамках классической электронной теории. Задача о равновесии
электронов в двух соприкасающихся проводниках не отличается от задачи о
равновесии идеального газа в поле силы тяжести. В соответствии с
классической статистикой, концентрация газа n на высоте h связана с
концентрацией n0 у поверхности Земли распределением Больцмана
mgh
n  n0e kT ,

(15.3)
где m – масса молекулы газа, g=9.81 м/с .
В формуле (15.3) mgh есть разность потенциальных энергий E p 2  E p1
молекулы газа на высоте h и у поверхности Земли. Для двух соприкасающихся
металлов E p 2  E p1  e  12 и поэтому
e
2

Отсюда получаем



n2  n1e

12
kT .
(15.4)
kT n1
(15.5)
ln .
e n2
Из (15.5) следует, что чем больше различие в концентрациях электронов,
тем больше и внутренняя контактная разность потенциалов. Оценим величину
 kT 
12 . При комнатной температуре (Т=300 К) величина    0.026 В,
 e 
n
величина же ln 1 порядка единицы. Поэтому 12 получается порядка 10n2
2
÷10-3 В, а  соответственно порядка 10-4 В/К, что примерно в 100 раз меньше
величины, наблюдаемой на опыте.
Расхождение устраняется при использовании квантовой теории твёрдого
тела. Количественное рассмотрение термоэлектрических эффектов будет иным
– необходимо будет ввести понятие энергии Ферми для металлов и
пользоваться квантовой статистикой, а не классической.
12 
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: термобатарея, термометр, милливольтметр,
термопечь.
106
Методика измерений
Экспериментальная установка
Схема установки представлена на рис.15.1. Термобатарея 1 представляет
собой четыре последовательно соединённые термоэлемента. Термо-ЭДС
измеряется милливольтметром 2.
4
5
6
7
8
1
2
1
3
3
2
4
мВ
Рис. 15.1
Переключатель 3 позволяет измерять напряжение на одном, двух, трёх или
четырёх
термоэлементах
батареи.
Термобатарея
смонтирована
в
теплоизолированном корпусе термопечи 4; нагревается с помощью
нагревательной спирали 5. Температура измеряется термометром 6.
Нагреватель подключается к сети через индуктивное сопротивление 7.
Тумблер 8 позволяет включать последовательно с нагревателем печи одно или
два индуктивных сопротивления; при этом нагрев ускоряется или замедляется.
Порядок выполнения работы
Внимание! Нагрев начинается сразу после включения установки в сеть.
Заранее подготовьте таблицы для записи опытных данных.
1. Запишите в табл.15.1 комнатную температуру t0.
2. Установите тумблер 8 в нижнее положение.
3. Переключатель 3 установите в положение «4». При этом вольтметр
измеряет
напряжение
на
четырёх
последовательно
соединённых
термоэлементах.
4. Включите вилку в розетку; при этом начнётся нагрев.
5. В процессе нагрева через 5 градусов записывайте значения ТЭДС по
милливольтметру в табл.15.1.
6. При приближении температуры к 1000С нагрев замедлится. При t=1000С
измерьте ТЭДС при положениях переключателя 3 в положениях «4», «3», «2» и
«1». Данные запишите в табл.15.2.
7. Установите снова переключатель 3 в положение «4».
8. Тумблер 8 поставьте в верхнее положение; при этом нагрев ускорится.
107
9. Продолжите измерения по пункту 5; данные записывайте в табл.15.1.
t,
град.
ΔТ,
К
t0=
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
0
,
t,
град.
мВ
ΔТ,
К
,
мВ
δТ,
К
δε,
мВ
Таблица 15.1
α,
Δα,
В/К
В/К
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
10. При t=1750С нагрев снова замедлится; измерьте ТЭДС при этой
температуре аналогично пункту 6 при положениях переключателя 3 в
положениях «4», «3», «2» и «1». Данные запишите в табл.15.2.
11.Отключите установку от сети.
12. Вычислите ΔТ=t–t0, запишите в табл.15.1. Постройте график
зависимости =f(ΔТ) (рис.15.2).
13. По графику определите


δε
δT
Рис. 15.2
ΔТ
1 

в
T
соответствии с формулой (15.1).
14. Оцените погрешность Δα.
Все результаты запишите в табл.15.1.
15.
По
данным
табл.15.2
рассчитайте удельную ТЭДС одного
термоэлемента:
удельную

ТЭДС:

.
N  T
16. По каждой серии опытов рассчитайте среднее значение α1; оцените
погрешность Δα1.
108
 , мВ
N
Количество подключенных термоэлементов
(положение переключателя 3)
1
2
3
4
Таблица 15.2
α1ср,
В/К
Δα1,
В/К
t=1000С
α1, В/К
t=1750С
α, В/К
Контрольные вопросы
1. В чём заключается явление термоэлектричества?
2. Запишите формулу для ТЭДС
3. Дайте определение удельной ТЭДС.
4. Как объясняет классическая электронная теория металлов
пропорциональность ТЭДС разности температур спаев двух металлов?
5. Почему классическая электронная теория металлов даёт неверный
порядок величины удельной ТЭДС?
6. Где применяются термопары, термобатареи?
Используемая литература
[1] § 44.1;
[6] § 44;
[7] § 247.
Лабораторная работа 3-16
Изучение зависимости электрического сопротивления металлов и
полупроводников от температуры. Определение энергии активации
полупроводников.
Цель работы: исследование отличительных особенностей в свойствах
металлов и полупроводников. Измерение энергии активации полупроводников.
Теоретическое введение
При объединении атомов в кристаллическое тело структура
энергетических уровней электронов претерпевает важные изменения. Эти
изменения почти не затрагивают наиболее глубокие уровни, образующие
внутренние, заполненные оболочки. Зато наружные уровни коренным образом
перестраиваются. Указанное различие связано с разным пространственным
109
Уровни свободного атома
распределением электронов, находящихся на глубоко лежащих и на верхних
энергетических уровнях. Атомы в кристалле тесно «прижаты» друг к другу.
Волновые функции наружных электронов в существенной мере
перекрываются, что приводит к обобществлению этих электронов – они теперь
принадлежат не отдельным атомам, а всему кристаллу. В то же время волновые
функции внутренних электронов друг с другом практически не перекрываются.
Положение этих уровней в кристалле мало отличается от их положения у
изолированных атомов.
У одиночных атомов одного и того же элемента энергия соответствующих
уровней в точности одинакова. При сближении атомов эти уровни начинают
расходиться, как это изображено на
рис. 16.1. Расщепление энергетических
уровней аналогично расхождению
частот колебаний, происходящему при
появлении связи между одинаковыми
маятниками
или
между
электрическими
колебательными
контурами, настроенными на одну и ту
же частоту. Системы «разошедшихся»
уровней
образуют
в
кристалле
разрешенные энергетические зоны,
разделенные запрещенными зонами
r0
r
(рис. 16.1).
Рис. 16.1.
Ширина
зон
определяется
величиной связи между атомами и не
зависит от числа атомов в кристалле. В
то же время количество уровней в зоне равно числу атомов и описывается
цифрами с десятком или даже с несколькими десятками нулей. Таким образом,
расстояние между уровнями оказывается столь незначительным, что говорить
о положении отдельных уровней в зоне не имеет смысла. В то же время
количество уровней сохраняет вполне ясный смысл, так как при сближении
атомов число возможных состояний (а, следовательно, и число электронов,
которые могут занять эти состояния) не изменяется.
Электропроводность твердых тел определяется распределением
электронов по уровням (рис.16.2). В металлах электроны лишь частично
заполняют последнюю из занимаемых зон (зона проводимости – ЗП), и в ней
имеются свободные состояния. В присутствии электрического поля электроны
проводимости могут занимать эти состояния, и металл проводит электрический
ток.
В изоляторах (диэлектриках) электроны доверху заполняют последнюю из
занятых зон (валентную зону – ВЗ). Следующая разрешенная зона (зона
проводимости) не содержит электронов. В присутствии поля ни один из
электронов не может изменить своего состояния, так как нет свободных
энергетических состояний. Твердое тело будет не проводящим при
110
температуре, равной Т=0 К. Однако при отличной от нуля температуре
существует конечная вероятность того, что некоторые электроны будут за счет
теплового возбуждения переброшены через энергетическую щель (Еg – ширина
запрещенной зоны – ЗЗ) из валентной зоны в зону проводимости. При этом
остаются незанятые уровни в валентной зоне. Термически возбужденные
электроны способны переносить ток (переходить на свободные энергетические
состояния в зоне проводимости). В валентной зоне проводимость становится
возможной из-за появления свободных состояний – дырок, которые ведут себя
как свободные носители
зона
свободная
свободная
проводимости
положительного заряда:
зона
зона
ближайший к дырке
электрон
валентной
зоны, попадая в неё,
Eg
Eg
оставляет
при
этом
новую дырку, которую
валентная
заполнит
другой
зона
электрон валентной зоны
валентная
и т.д. Дырка валентной
зона
зоны будет перемещаться
по
кристаллу
в
металл
полупроводник
диэлектрик направлении,
противоположном
Рис. 16.2
направлению движения
электронов
валентной
зоны. Таким образом, валентная зона будет зоной дырочной проводимости.
Приведут ли тепловые перебросы электронов из валентной зоны в зону
проводимости к заметной проводимости или нет, существенно зависит от
ширины запрещенной зоны Еg, поскольку число электронов, переброшенных в
Eg

зону проводимости при температуре Т, пропорционально величине е 2kT
(k=1.38∙10-23 Дж/К – постоянная Больцмана). При Еg=4 эВ (1эВ=1.6∙10-19 Дж)
эта величина при комнатной температуре (kT≈0.025 эВ) составляет
е 80  10  35 , то есть по сути дела переброса электронов в валентную зону не
происходит. Если же Еg=0.25 эВ, то число переброшенных электронов при
5
 10  2 , так что будет
комнатной температуре определяется величиной е
наблюдаться заметная проводимость.
Твердые тела, которые являются диэлектриками при Т=0 К, но имеют
такую ширину запрещенной зоны Еg, что тепловое возбуждение при
температурах ниже точки плавления может обуславливать заметную
проводимость, называются полупроводниками. Ясно, что не существует
четкого различия между полупроводниками и диэлектриками; грубо говоря, в
наиболее важных полупроводниках Еg обычно меньше 2 эВ, а часто составляет
111
лишь несколько десятых электрон-вольта. Типичные удельные сопротивления
полупроводников при комнатной температуре лежат в интервале между 10 -5 и
107 Ом∙м (в отличие от металлов, где ρ=10-8 Ом∙м, а также и от хороших
диэлектриков, у которых ρ может достигать до 1020 Ом∙м).
Самой важной характеристикой любого полупроводника при температуре
Т является число nc электронов в зоне проводимости, приходящееся на единицу
объема, и число дырок pv на единицу объема в валентной зоне. Эти величины
определяются произведением числа уровней, имеющихся в единице объема
полупроводника, на вероятность их заполнения. Вероятность заполнения
энергетических уровней выражается функцией распределения Ферми f(E). Для
анализа электронных состояний необходимо использовать квантовую
статистику
1
,
(16.1)
f E  
E 
e kT  1
где Е – энергии уровней; μ – химический потенциал. Часто химический
потенциал полупроводников называется «уровнем Ферми» (μ=EF) . Однако, это
неудачная терминология. Обычное определение уровня Ферми – энергия, ниже
которой при Т=0 К в металле электронные уровни в зоне проводимости
заполнены, а выше – свободны (не заполнены). В полупроводниках
химический потенциал μ лежит примерно в середине запрещенной зоны,
поэтому ни один электронный уровень не совпадает с химическим
потенциалом.
Обозначим через Ес энергию дна зоны проводимости, а через Еv – энергию
потолка валентной зоны (рис. 16.3). В полупроводниках даже при весьма малой
ширине запрещенной зоны Еg=Ес–Еv обычно выполняется условие
Ес    kT .
(16.2)
Тогда благодаря тому, что каждый уровень
электрона в зоне проводимости лежит выше Ес, а
ЗП
каждый уровень валентной зоны – ниже Еv,
Eс
упрощается
выражение
для
функции
Eg
распределения f(Е) – оно становится классическим
EF
(статистика Больцмана).
Е 
Ev

1
 е kT ; Е>Ес .
(16.3)
ВЗ
E 
e kT  1
Рис. 16.3
Так что число электронов nc в зоне
проводимости, приходящееся на единицу объема,
будет равно
E 
 c
nc  AT   e kT ,
112
(16.4)
где А(Т) – число уровней, имеющихся в зоне проводимости в единице объема
полупроводника.
Вероятность появления дырки в валентной зоне определяется разностью:

1  f E   1 
1
E 
v
1
e kT

 E
e
v
kT
E 
v
1
e kT
e

 E
v
kT
,
поскольку Еv    kT и Е v   . Поэтому число дырок pv в валентной зоне,
приходящееся на единицу объема, будет равно

 E
v
(16.5)
pv  BT   e kT .
Заметим, что А(Т) и В(Т) – медленно меняющиеся функции температуры
по сравнению с экспонентами в (16.4) и (16.5).
Если полупроводник является настолько чистым, что примеси вносят
пренебрежимо малый вклад в концентрацию носителей, то мы имеем дело с
собственным полупроводником. В нем электроны могут попасть в зону
проводимости, только покинув заполненные ранее уровни в валентной зоне,
оставив вместо себя там дырки. Таким образом, число электронов в зоне
проводимости равно числу дырок в валентной зоне nc(T)=pv(T)=n. Так что из
(16.4) и (16.5) можно записать
E
1
2
g
 e 2kT .

(16.6)
nT   nc T   pv T   AT   BT 
Найдем теперь электропроводность полупроводника. В присутствии поля
большая часть электронов в зоне проводимости начинает двигаться в сторону,
противоположную полю. Средняя величина скорости электронов перестает
быть равной нулю и направлена вдоль поля. При этом вплоть до самых
сильных полей (практически до пробоя) выполняется формула
 ср  u э  Е ,
(16.7)
1
2
где  ср – среднее значение скорости электронов; Е – напряженность
электрического поля; u э – коэффициент пропорциональности, носящий
название подвижности электронов. Применяя формулу (16.7) к электронам в
зоне проводимости и к дыркам в валентной зоне, найдем электропроводность:
j
(16.8)
  | e | nсu э  pvuд  ,
E
где j – плотность электрического тока, u д – подвижность дырок. Подставляя в
(16.8) значение nc=pv=n из (16.6), получим:
Е
Е
g
g


u э  u д  е 2kT  D  е 2kT ,
 | e |  AT   BT  2 
1

(16.9)
113
где предэкспоненциальный множитель заменен константой D.
Измерим электропроводность σ как функцию температуры и изобразим
результаты на графике в полулогарифмическом масштабе:
1
ln   f   .
T 
Формула (16.9) показывает, что график должен иметь вид прямой линии с
наклоном Еg/2k. Наклон прямой позволяет, таким образом, определить ширину
запрещенной зоны Еg.
Приведенные соображения верны лишь постольку, поскольку
электропроводность полупроводника определяется переходами электронов из
валентной зоны в зону проводимости, то есть пока основной вклад в
электропроводность вносит собственная проводимость полупроводника. При
небольших температурах это обычно не имеет места, так как полупроводники
всегда содержат примеси.
Если примеси поставляют существенную часть электронов проводимости
и (или) дырок валентной зоны, то мы имеем дело с несобственным
полупроводником. Примеси, которые вносят вклад в концентрацию носителей
тока, называются донорными, если они поставляют дополнительные электроны
в зону проводимости, и акцепторными, когда они поставляют дополнительные
дырки в валентную зону (то есть захватывают оттуда электроны). Донорные
примеси – это атомы с более высокой валентностью, чем атомы чистого
полупроводника (вещество-матрица), а акцепторы – атомы с более низкой
валентностью. Самая важная информация о донорных и акцепторных уровнях
заключается в том, что они лежат вблизи границ запрещенной зоны. На рис.
16.4 изображены энергетические диаграммы донорного (а) и акцепторного (б)
полупроводника.
Е
Ec
Еd
Ev
E
Еg(d)
Еg(a)
ВЗ
Рис. 16.4.
114
При тепловом возбуждении гораздо легче вызвать переход электрона в
зону проводимости с донорного уровня или на акцепторный уровень из
валентной зоны, чем переход через всю запрещенную зону из валентной зоны в
зону проводимости. Поэтому при низких температурах именно примеси
определяют температурный ход электропроводности полупроводника.
1
На рис. 16.5 представлена зависимость ln   f   для полупроводника nT 
типа (с донорными примесями). Она показывает три области проводимости:
n>Nd (собственная проводимость), n≈Nd (область истощения примесей), n<Nd
(примесная проводимость). Здесь n – концентрация электронов собственной
проводимости, Nd – концентрация электронов примесной проводимости.
График имеет два прямолинейных участка, в соответствии с
преимущественным вкладом первого или второго слагаемого для данной
области температур в формуле (16.10) для удельной электропроводимости
такого полупроводника:
Е
E
g d 
g


 T   D  е 2kT  Dd  e 2kT .
(16.10)
Здесь E g d   Ec  Ed  – энергия активации донорного уровня, имеющего
энергию Еd. В области низких температур угловой коэффициент
прямолинейного участка t g1 
Eg  d 
2k
определяется шириной энергетического
зазора между донорным уровнем и зоной проводимости. В области высоких
температур наклон графика к оси абсцисс определяется шириной запрещённой
Eg
зоны: tg 2 
.
2k
lnσ
n>Nd
n<Nd
n≈Nd
α2
α1
Рис. 16.5
1/Т
115
Итак, наиболее яркая особенность полупроводника состоит в том, что у
них в отличие от металлов электросопротивление падает с ростом
температуры.
В металлах температурный коэффициент удельного сопротивления
1 d
(16.11)
м  
 dT
положителен, и его можно считать приближенно постоянным, если интервал
изменения температуры достаточно мал. Так, если  0 есть удельное
сопротивление при 00С, а  – его значение при t 0С, то можно положить
   0  1   м  t  .
(16.12)
В классической электронной теории металлов предполагается, что
движение электронов подчиняется законам классической механики Ньютона.
Электроны проводимости рассматриваются как электронный газ, подобный
идеальному газу в молекулярной физике. Предполагается, что причина
электрического сопротивления заключается в соударениях электронов с
положительными ионами решетки металла.
В действительности же электроны проводимости подчиняются законам
квантовой механики, и для них справедлива квантовая статистика – их
распределение по энергиям определяется функцией Ферми (16.1). И
оказывается, что причина сопротивления чистых металлов – взаимодействие
электронов с колебаниями решетки. В квантовой теории кристаллических
твердых тел кванты колебаний решетки были названы фононами.
Электросопротивление чистых металлов возникает из-за столкновений
электронов с фононами. Расчеты показывают, что при высоких температурах
(Т>θD) ρ~Т, что и наблюдается экспериментально. Здесь θD – дебаевская
температура металла.
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: исследуемые образцы (металл, полупроводник),
нагревательная печь, термометр, вольтметр, амперметр, выпрямительный мост.
Методика измерений
Температурная зависимость сопротивления полупроводника определяется
формулой (см. (16.9)):
Eg
R  R0  e 2kT
(16.13)
где Еg – ширина запрещенной зоны, k – постоянная Больцмана, R0 – постоянная
величина, характеризующая свойства полупроводника (R0=R при Т→).
Проведя логарифмирование (16.13), получим:
Eg 1
ln R  ln R0 
 .
(16.14)
2k T
116
1
График зависимости ln R от   является прямой линией с угловым
Т 
 Eg
коэффициентом 
 2k
оси абсцисс, можно
полупроводника:

 (рис.16.6). Определив тангенс угла наклона прямой к


найти энергию активации (ширину запрещённой зоны)
E g  2k  tg .
lnR
(16.15)
Сопротивление R вычисляется
опытных данных по закону Ома:
α
из
U
,
(16.16)
I
где I – измеренный ток, U – напряжение.
Температурный
коэффициент
сопротивления металла можно определить,
 1  используя формулу (16.12):
 
Рис. 16.6
R  R0  1   м  t  ,
(16.12а)
T 
R  R0
,
(16.12б)
м 
R0  t
где R0 – сопротивление металлического образца при t=00С.
R
Экспериментальная установка
Схема экспериментальной установки представлена на рис.16.7. Образцы
помещены внутри нагревательной печи 1. Температура измеряется ртутным
термометром 2. Печь подключается через индуктивное сопротивление 3 к сети
переменного напряжения 220 В. Через образцы 4, соединённые последовательно, пропускается постоянный ток после его выпрямления мостом 5. Тумблер 6
6
4
1
2
3
≈220 В
5
Рис. 16.7
117
переключает вольтметр на измерение напряжения либо на полупроводниковом
образце (нижнее положение), либо на металлическом (верхнее положение).
Порядок выполнения работы
Внимание! Нагрев начинается сразу после включения установки в сеть.
Заранее подготовьте таблицы для записи опытных данных.
1. Установите тумблер 6 в нижнее положение (полупроводник).
2. Включите установку в сеть.
3. Измерьте и запишите в табл.16.1 температуру t, силу тока I и
напряжение U .
0
tC
Т,
К
Таблица 16.1
Металл
Полупроводник
I,
A
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
U,
В
R,
Ом
lnR
1
-1
 , К
Т 
Eg 
I,
A
U,
В
R,
Ом
αм=
4. Переключите тумблер 6 вверх (металл).
5. Запишите значения I и U при той же температуре.
6. Когда температура достигнет 300С, снова измерьте и запишите значения
I и U для обоих образцов.
7. Измеряйте и записывайте значения тока и напряжения при
температурах, указанных в табл.16.1.
8. Отключите установку от сети.
9. Для каждой температуры вычислите сопротивление обоих образцов по
формуле (16.16).
1
10. Для полупроводника определите lnR и   . Все полученные данные
Т 
запишите в табл.16.1.
118
11. Постройте графики зависимостей: R=f(T) – для обоих образцов и
1
ln R  f   – для полупроводника.
T 
12. По графику R=f(T) для металла определите R0 – сопротивление при
0
t=0 C и вычислите температурный коэффициент сопротивления αм по формуле
(16.12б).
1
13. Используя график зависимости ln R  f   для полупроводника,
T 
определите энергию активации E g по формуле (16.15). Выразите её в джоулях
и электрон-вольтах.
14. Оцените погрешности вычисленных величин αм и E g . Все полученные
значения запишите в табл. 16.1.
Контрольные вопросы
1. Как объясняет зонная теория деление твердых тел на металлы,
полупроводники и диэлектрики?
2. Что такое валентная зона? Зона проводимости? Запрещенная зона? Как
они образуются?
3. Сформулируйте принцип Паули.
4. Запишите формулу статистического распределения Ферми-Дирака
(16.1). Как из неё можно получить зависимость сопротивления полупроводника
от температуры?
5. Объясните механизм собственной проводимости в полупроводниках.
6. Как зависит сопротивление полупроводника от температуры и почему?
7. Что такое энергия активации?
8. Нарисуйте график зависимости ln от 1/Т для собственной и примесной
проводимости.
9. Объясните методику определения ширины запрещенной зоны (энергии
активации) полупроводника.
10. Как зависит сопротивление металла от температуры и почему?
Используемая литература
[1] §§ 43.1, 43.2, 43.3, 43.4, 43.5;
[2] §§ 13.11, 40.1, 40.2, 40.3, 40.6;
[3] §§ 4.42, 4.43, 4.45, 4.46, 4.48, 4.49, 4.50, 4.51, 4.52;
[5] § 26;
[6] §§ 39, 40, 42, 43;
[7] §§ 98, 238, 240, 241, 242, 243.
119
Лабораторная работа 3-17
Эффект Холла
Цель работы: определение постоянной Холла (R), концентрации (n), знака
носителей заряда в полупроводнике и их подвижности (u).
Теоретическое введение
В 1880 г. американский физик Э.Г.Холл впервые описал эффект,
впоследствии названный его именем. Явление, открытое Холлом, состоит в
том, что в проводнике с током, помещённом в магнитное поле,
перпендикулярное направлению тока, возникает электрическое поле в
направлении, перпендикулярном направлениям тока и магнитного поля.
Для наблюдения явления Холла образец помещают между полюсами
сильного электромагнита, создающего магнитную индукцию порядка 1 Вб/м2,
а возникающую разность потенциалов измеряют с помощью чувствительного
гальванометра (рис.17.1).
Рис. 17.1
Опыт показывает, что поперечная разность потенциалов UH
пропорциональна плотности тока j, магнитной индукции В и расстоянию d
(толщине пластины):
U H  RdjB ,
(17.1)
где R – постоянная Холла.
Простое объяснение явления Холла даёт классическая электронная теория,
которая объясняет появление электрического поля вдоль оси OY действием
силы Лоренца. Будем приближённо считать, что все электроны движутся с
постоянной скоростью, равной средней скорости их упорядоченного движения
120
v (дрейфовая скорость). Тогда на каждый электрон действует сила Лоренца,
перпендикулярная направлению тока и магнитного поля и равная
Fл  evB .
(17.2)
Эта сила отклоняет электроны в отрицательном направлении оси OY
(дрейфовая скорость электронов направлена против тока – см. рис.17.1).
Однако электроны не могут долго двигаться в направлении оси OY, поскольку
они достигают границы проводника (грани пластины). По мере того как они
там скапливаются, нарастает электрическое поле Е, направленное вдоль оси
OY, и оно противодействует движению и дальнейшему накоплению
электронов. В состоянии равновесия действие этого поперечного поля Еy
компенсирует силу Лоренца:
evB  eE y ,
(17.3)
и ток идёт лишь в направлении оси OX. Поэтому поперечная разность
потенциалов U H  E y  d будет равна:
UH  Ey  d  v  d  B .
(17.4)
В этом выражении среднюю скорость электронов v можно выразить через
плотность тока j, так как
(17.5)
j  env ,
где n – концентрация электронов в проводнике. Из (17.4) и (17.5) получим:
1
(17.6)
UH 
d  j  B.
ne
Полученное в рамках классической электронной теории выражение (17.6)
совпадает с опытными данными (17.1), а постоянная Холла R оказывается
равной
1
.
(17.7)
R
ne
Она зависит от концентрации электронов n, и поэтому, измеряя
постоянную Холла, можно определить концентрацию электронов в
проводнике.
Видно также, что знак поперечной разности потенциалов зависит от знака
носителей заряда. Этот вывод очень важен, поскольку он означает, что
измерения поля Холла позволяют определить знак носителей заряда.
Экспериментальные данные, впервые полученные Холлом, находились в
согласии со знаком заряда электрона, определённым позднее в 1897 г.
Томсоном.
Следует отметить, что лишь для щелочных металлов постоянная Холла
соответствует предсказаниям теории свободных электронов. В некоторых
металлах даже знак постоянной Холла положительный. Объясняет это лишь
квантовая теория твёрдых тел.
Заметим ещё, что в 1985 г. К.Клитцингу была присуждена Нобелевская
премия по физике за открытие квантового эффекта Холла в кремниевых
структурах металл-окисел-полупроводник. Но это совсем другая история.
121
Методика измерений
Сила тока через образец I=jS, где S=аd – площадь сечения пластинки, а –
ширина пластинки. Тогда из (17.6) получим Холловскую разность
потенциалов:
UH 
1 I B
I B
,

 R
ne a
a
(17.8)
UH  a
,
I B
(17.9)
R
где а=3.10-4 м.
По закону Ома в дифференциальной форме плотность тока j прямо
пропорциональна напряженности электрического поля E:
j=E,
где  – удельная электропроводимость. С учетом (17.5):
  e n  u .
(17.10)
Здесь u=v/E – подвижность зарядов, численно равная средней скорости
направленного движения зарядов в электрическом поле с напряженностью,
равной 1 В/м. Зная удельную электропроводимость образца (=0.13(Ом.м)-1),
можно вычислить из экспериментальных данных постоянную Холла по
формуле (17.9) и рассчитать величину подвижности:
u    R.
(17.11)
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: измерительный блок и объект исследования.
Измерительная установка
Внешний вид установки представлен на рис.17.2. Измерительный блок
формирует и регулирует силу тока электромагнита Iэм и преобразователя (ток
через образец) I, изменяет полярность тока. Ток преобразователя и
электромагнита изменяются в пределах соответственно 0÷5 мА и 0÷10 мА.
Объект исследования состоит из полупроводникового преобразователя Холла и
электромагнита.
Порядок выполнения работы
1. Включить установку (переключатель «сеть» находится на задней панели
измерительного блока).
2. Переключателем измерителя переключить миллиамперметр в режим
измерения тока через датчик Холла (при этом должен загореться
соответствующий светодиод).
3. Установить полярность «+» переключателем «направление тока» (в
индикации миллиамперметра отсутствует знак «–»).
122
4. Кнопками регулировки силы тока «+» и «–» установить силу тока через
датчик Холла I=3 мА.
Рис. 17.2
5. Переключателем измерителя переключить миллиамперметр в режим
измерения тока электромагнита (при этом должен загореться соответствующий
светодиод).
6. Установить полярность «+» переключателем «направление тока» (в
индикации миллиамперметра отсутствует знак «–»).
7. Кнопками регулировки силы тока «+» и «–» установить силу тока
электромагнита Iэм=3 мА.
8. Измерить ЭДС Холла U+, записать все величины в таблицу 17.1.
9. Кнопками регулировки силы тока «+» и «–» устанавливать силу тока
электромагнита Iэм=4 мА; 5 мА; … 10 мА, каждый раз измеряя и записывая
величину U+.
10. Установить полярность «–» переключателем «направление тока» (в
индикации миллиамперметра присутствует знак «–»).
11. Повторить пункты 7-9, записывая в таблицу ЭДС Холла U– при другом
направлении магнитного поля.
12. Повторить измерения ЭДС Холла для тока через датчик I=4 мА
(пункты 2-11), а затем для I=5 мА.
13. По формуле (15.9) вычислите Холловскую разность потенциалов для
каждого измерения. Результаты занесите в таблицу 17.1.
Uх=(U+ – U–)/2.
(17.12)
14. По графику (рис.17.3) зависимости В от Iэм определите В и занесите в
таблицу 17.1.
15. По формуле (17.9) рассчитайте R для каждого значения В,
определяемого по току через электромагнит.
123
16. Вычислите среднее значение R.
Таблица 17.1
Ток через
образец
I, мA
3
4
5
Ток
через
электромагнит
Iэм.,
мA
3
4
5
6
7
8
9
10
3
4
5
6
7
8
9
10
3
4
5
6
7
8
9
10
U+,
мB
U– ,
мB
UH,
мB
B,
Тл
R,
м3/К
л
R ср,
м3/К
л
ΔR
u,
м /(В.с)
Δu
2
17. Используя среднее значение R, определите концентрацию носителей
заряда n по формуле (17.7).
18. По формуле (17.11) вычислите подвижность носителей заряда u.
19. Вычислите погрешности R и u.
124
В, Тл
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2
4
6
8
10
12
Iэм, мА
Рис. 17.3
Контрольные вопросы
1. В чем заключается эффект Холла?
2. Чем объясняется эффект Холла?
3. Чему равна и как направлена сила Лоренца?
4. Для каких целей практически используется эффект Холла?
5. Выведите формулу для Холловской разности потенциалов.
6. Как расположены эквипотенциальные поверхности при прохождении
постоянного тока через образец: а) в отсутствие магнитного поля; в) при
включенном магнитном поле?
7. Как
исключается погрешность, связанная с несимметричностью
контактов подключения миллиамперметра к образцу?
8. Каков знак носителей тока в изучаемом образце?
Используемая литература
[1] §§ 21.2, 23.2;
[2] §§ 14.2, 14.5;
[5] § 45;
[7] §§ 114, 117.
125
Лабораторная работа 3-18
Изучение работы полупроводникового диода
Цель работы: измерение вольтамперной характеристики и контактной
разности потенциалов в p-n–переходе.
Теоретическое введение
Структура энергетических зон в полупроводнике описана в лабораторной
работе 3-16. Там же объяснено, как возникает n– и p–тип проводимости в
примесных полупроводниках.
Электронно-дырочный переход (р-n–переход) – это переходный слой
между двумя областями полупроводника с разным типом проводимости (p– и
n–типа). Р-n–переход имеет большое практическое значение, являясь основой
многих полупроводниковых приборов, в частности полупроводникового диода
и транзистора.
Рассмотрим физические процессы, происходящие в p-n–переходе. Пусть
донорный полупроводник (полупроводник n–типа) приводится в контакт с
акцепторным полупроводником (полупроводником p–типа).
Из п–области с высокой концентрацией свободных электронов происходит
их диффузия в р–область, где эта концентрация очень мала. Имеющиеся там в
избытке дырки легко «захватывают» пришедшие свободные электроны (т.е.
эти электроны занимают вакантные места в ковалентных связях между
атомами кристалла и тем самым перестают быть свободными). Таким образом,
происходит рекомбинация – попарное исчезновение положительного (дырки) и
отрицательного (свободного электрона) носителей заряда. Рекомбинация
приводит к тому, что с обеих сторон поверхности раздела образуется тонкий
слой, лишенный основных носителей заряда и поэтому близкий по свойствам к
диэлектрику. Кроме того, уход электронов из п–области обусловливает
возникновение там избыточного положительного заряда, а их появление в р–
области – возникновение нескомпенсированного отрицательного заряда.
Следовательно, р-п–переход можно уподобить микроскопическому
заряженному конденсатору,
который создает внутреннее электрическое поле

напряженностью Eк . Это поле препятствует дальнейшему перемещению
основных носителей через р-п–переход. Если концентрации доноров и
акцепторов в полупроводниках n– и p–типа одинаковы, то толщина слоя,
обусловленная нескомпенсированным положительным зарядом в n–области,
будет равна толщине слоя, обусловленного нескомпенсированным
отрицательным зарядом в p-области. На рис.18.1,а показано пространственное
распределение зарядов в отсутствие внешнего электрического поля.
Прямое включение p-n–перехода («+» к р–области, «–» – к п–области)
создает внешнее поле, направленное противоположно внутреннему полю
(рис.18.1,б). При этом движение электронов в n–области и дырок в p–области
126
направлено к границе p-n–перехода навстречу друг к другу. Они
рекомбинируют с неосновными носителями в p-n–переходе, и толщина
контактного слоя уменьшается. При этом высота потенциального барьера
уменьшается, что благоприятствует движению основных носителей заряда
через р-п–переход. С увеличением прямого напряжения Uпр сопротивление
перехода уменьшается, и прямой ток Iпр быстро возрастает (прямая ветвь
вольтамперной характеристики, рис. 18.2).
Если к p-n–переходу приложить обратное напряжение, т.е. «+» к п–
области, а «–» – к р–области, то внешнее поле будет сонаправлено с
внутренним (рис.18.1,в). В результате происходит движение электронов в n–
n
p
Ек
а)
n
n
p
Ек
p
Ек
Е
Е
в)
б)
Рис. 1. Пространственное распределение
зарядов:
а)
в
отсутствии
внешнего
Рис. 18.1
электрического поля; б) при прямям смещении; в) при обратном смещении
области и дырок в p–области от границы p-n–перехода в противоположные
стороны. Высота потенциального барьера для основных носителей увеличится.
Через диод будет протекать очень малый по величине обратный ток, обусловленный движением малочисленных неосновных носителей. Обратный ток Iобр
слабо зависит от приложенного напряжения Uобр (обратная ветвь ВАХ, рис. 18.2).
Таким
образом,
p-n–
Iпр
переход обладает односторонней проводимостью.
При прямом включении
через тонкий р-n–переход (где
возможно пренебречь рекомбиUобр
нацией в переходном слое),
Uпр
протекает так называемый
прямой ток с плотностью:
Рис. 18.2.
Iобр
Рис. 2. Вольт-амперная характеристика
 eUp-n-перехода

 kT

jпр  js   e
 1 ,
(18.1)




127
где js– плотность тока насыщения; U – напряжение на р-n–переходе.
Плотность тока jпр будет возрастать по экспоненте в зависимости от
внешнего напряжения U.
Если теперь осуществить включение обратной полярности, то
потенциальный барьер возрастает, однако обратный ток не падает до нуля, его
плотность
  eU

 kT

jобр  j s   e
 1.
(18.2)




kT
, то первый член в скобках (18.2)
e
становиться много меньше единицы, обратный ток оказывается не зависящим
от напряжения: j обр   j s .
Если обратное напряжение U 
Это справедливо, однако, до тех пор пока обратное напряжение не
достигнет некоторого значения, выше которого начинается пробой запорного
слоя.
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: установка для изучения свойств p-n–перехода.
Экспериментальная установка и методика измерений
Установка для изучения p-n–перехода представлена на рис.18.3 и состоит
из объектов исследования и измерительного устройства. Объект исследования
выполнен в виде единого устройства 1, в котором установлены три диода и
переключатель исследуемых образцов. Кнопка КН1 на измерительном
устройстве предназначена для установки полярности напряжения, подаваемого
на диод. Полярность фиксируется светодиодом – «прямая» или «обратная»
характеристика. Кнопка КН2 переключает режим работы – снятие
вольтамперной (ВАХ) или вольтфарадной (BAХ) характеристик. Кнопками «+»
и «–» устанавливается величина необходимого напряжения. Кнопка КН3
предназначена для установки напряжения на нулевое значение.
Индикация величины регулируемого напряжения осуществляется
измерителем напряжения (рис.18.3), а измерение силы тока – измерителем
тока. Выбор режима измерения тока (мА, мкА) осуществляется автоматически.
Установка позволяет измерить электрическую ёмкость p-n–перехода.
Воспользуемся формулой ёмкости плоского конденсатора:
  0  S
C
,
(18.3)
l
128
где  0 – электрическая постоянная,  – диэлектрическая проницаемость
полупроводника, l – толщина слоя объемного заряда p-n–перехода, S –
площадь контакта p– и n–областей. Толщина слоя объёмного заряда равна:
nn  n p
2 0
,
(18.4)
l
 U к  U  
e
nnn p
где U к – контактная разность потенциалов в p-n–переходе, U – приложенное к
p-n–переходу внешнее напряжение, а n n и n p – концентрации основных
носителей заряда в n– и p–областях соответственно. Измерив ёмкость p-n–
перехода при прямом U пр . и обратном U обр . внешнем напряжении, найдём их
отношение из (18.3) и (18.4):
1
Рис. 18.3
Cпр.
Собр.

U к  U обр.
,
U к  U пр.
(18.5)
откуда можно найти величину контактной разности потенциалов
2
 Спр . 

U обр .  U пр . 
 Cобр . 

 .
Uк 
2
 Cпр . 

 1
 Cобр . 


(18.6)
Порядок выполнения работы
Задание 1. Снятие вольтамперной характеристики (ВАХ) p-n–перехода.
1. Ознакомиться с установкой.
2. Включить установку в сеть. Сетевой тумблер находится на задней
панели.
3. Переключателем на устройстве 1 (рис.18.3) установить исследуемый
диод (по заданию преподавателя).
129
4. Переключателем КН2 выбрать режим работы «ВАХ».
5. Переключателем КН1 выбрать режим снятия прямой характеристики.
6. Кнопками «+» и «–» установить требуемую величину напряжения (см.
табл.18.1).
7. Записать в табл.18.1 соответствующую силу тока.
Таблица 18.1
КД521
U, В
0
0.30
0.31
0.32
0.33
0.34
0.36
0.38
0.40
0.42
0.43
0.44
0.45
0.46
0.47
0.48
I, мкА
0
Прямая характеристика
КД226
U, В
I, мкА
0
0
0.29
0.30
0.31
0.32
0.33
0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.40
0.41
0.42
0.43
Д9К
U, В
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.20
0.21
0.22
I, мкА
0
8. Устанавливая требуемые значения напряжения кнопками «+» и «–»,
записывать соответствующие значения силы тока.
9. Нажатием кнопки КН3 установить нулевое напряжение.
10. Переключателем КН1 выбрать режим снятия обратной
характеристики.
11. Повторить измерения по пунктам 6÷9, данные записывать в табл.18.2.
12. Построить график зависимости I=f(U) – ВАХ исследуемого диода; при
этом прямые напряжение и ток считать положительными, обратные –
отрицательными.
Внимание! Следите за индикацией размерности на измерителе тока.
130
Таблица 18.2
Обратная характеристика
–I, мкА
КД521
КД226
0
0
–U, В
0
10
14
16
18
20
22
24
26
Д9К
0
Задание 2. Снятие вольтфарадной характеристики (ВФХ) и определение
контактной разности потенциалов в p-n–переходе.
1. Переключателем на устройстве 1 (рис.18.3) установить диод КД226.
2. Переключателем КН2 выбрать режим работы «ВФХ».
3. Переключателем КН1 выбрать режим снятия прямой характеристики.
4. Кнопками «+» и «–» установить требуемую величину напряжения
(см.табл.18.3).
5. Записать в табл.18.3 соответствующую ёмкость.
Таблица 18.3
Прямая
U, В
0
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.0
1.1
1.2
Обратная
С, пФ
–U, В
0
0.1
0.3
1.0
1.3
1.6
2.0
3.0
4.0
5.0
7.0
10.0
15.0
С, пФ
131
6. Устанавливая требуемые значения напряжения (см. табл.18.3) кнопками
«+» и «–», записывать соответствующие значения ёмкости.
7. Нажатием кнопки КН3 установить нулевое напряжение.
8. Переключателем КН1 выбрать режим снятия обратной характеристики.
9. Повторить измерения по пунктам 4÷7 задания 2, данные записывать в
табл.18.3.
12. Построить график зависимости С=f(U) – ВФХ исследуемого диода; при
этом прямое напряжение считать положительным, обратное – отрицательным.
Таблица 18.4
№
Uпр.,
В
Спр.,
пФ
Uобр.,
В
Собр,
пФ
Uк.,
В
Uк. ср. ,
В
ΔUк.,
В
ΔUк. ср.,
В
1
2
3
4
5
13. Выбрав любую пару значений ёмкости при прямом и при обратном
включении Спр. и Собр, по формуле (18.6) вычислите контактную разность
потенциалов Uк. При подстановке соответствующих значений Uпр. и Uобр.
помните, что в формуле (18.6) используется модуль обратного напряжения.
14. Повторите вычисления Uк ещё с четырьмя парами значений ёмкостей
Спр. и Собр.
15. Определите среднее значение Uк и оцените его погрешность ΔUк.
16. Все данные запишите в табл.18.4.
17. Сделайте выводы.
Контрольные вопросы
1. Объясните формирование энергетических зон в полупроводнике.
2. Объясните различие между металлами, диэлектриками и
полупроводниками с точки зрения структуры энергетических зон.
3. Что такое собственный полупроводник? Как возникает проводимость в
собственном полупроводнике? Почему с ростом температуры проводимость
полупроводника возрастает?
4. Что такое примесный полупроводник? Объясните механизм
проводимости в донорном (n–типа) и акцепторном (р–типа) полупроводнике.
5. Что такое p-n–переход? Объясните природу образования объёмного
заряда.
6. Объясните физические процессы, происходящие в p-n–переходе. Что
происходит при прямом и обратном включении?
132
7. Запишите и объясните формулу ВАХ для прямого направления тока.
8. Как Вы понимаете «прямое» и «обратное» направление тока?
9. Применение p-n–перехода в технике.
Используемая литература
[1] §§ 44.3, 44.4;
[2] § 40.6;
[3] § 4.54;
[6] §§ 42, 43, 45;
[7] §§ 249, 250.
133
Библиографический список
1. Детлаф, А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. – М.: Высш.
шк., 1989. – 500 с.
2. Калашников, Н.П. Основы физики: учебник для вузов: в 2-х т. / Н.П. Калашников, М.А. Смондырев. – 2-е изд., перераб. – М.: Дрофа, 2003. Т. 1. –
400 с.; Т. 2. – 432 с.
3. Лозовский, В.Н. Курс физики: учебник для вузов: в 2-х т. / под ред. В.Н.
Лозовского. – СПб.: Лань, 2000. – Т. 1-676 с.; Т. 2. – 592 с.
4. Савельев, И.В. Курс физики: учеб.: в 3-х т. / И.В. Савельев. – М.: Наука,
1989. – Т. 1. – 352 с.
5. Савельев, И.В., Курс физики: учеб.: в 3-х т. / И.В. Савельев. – М.:
Наука, 1989. – Т. 2. – 480 с.
6. Савельев, И.В., Курс физики: учеб.: в 3-х т. / И.В. Савельев. – М.:
Наука, 1989. – Т. 3. – 304 с.
7. Трофимова, Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова. – М.: Высш. школа,
1999. – 542 с.
134
135
Учебное издание
Волновая оптика. Квантовая физика.
Статистическая физика
Лабораторный практикум
Редактор – Л.А. Перерукова
Подписано к печати 16.06.2008. Формат 60 × 84/16 Печать офсетная
Уч.-изд.л. 8,5. Тираж
экз. Заказ
Отпечатано: РИО, ВоГТУ 160000, г. Вологда, ул. Ленина, 15
136