Содержание 1. Качественная теория (11) 1.1. Элементы топологии (13)

Содержание
1. Качественная теория (11)
1.1. Элементы топологии (13)
Топологическая структура | Гомеоморфизм | Что изучает топология? | Топологические свойства |
Топологическое многообразие | Край | Лист Мебиуса | Ручки, дырки, пленки | Бутылка Клейна |
Топологическая классификация | Гипотеза Пуанкаре | Дифференцируемое многообразие |
Связность | Касательное расслоение | Индекс кривой
1.2. Элементы теории дифференциальных уравнений (25)
Основные понятия | Типичные фазовые кривые на плоскости | Касательное пространство |
Производная отображения | Действие диффеоморфизма на векторное поле | Основная теорема
теории обыкновенных дифференциальных уравнений | Производная по направлению векторного
поля | Первые интегралы | Потенциал
1.3. Линейная теория (33)
Решение линейного дифференциального уравнения | Линейные дифференциальные уравнения
на прямой | Случай кратных собственных чисел | Глобальная качественная картина | Понятие
эквивалентности | Эквивалентность линейных систем | Устойчивость положений равновесия |
Проблема Рауса-Гурвица | Чисто мнимые собственные числа | Неоднородные уравнения |
Резонанс | Влияние диссипации на резонанс
1.4. Гамильтоновские системы (44)
Фазовый объем | Определение гамильтоновских систем | Уравнение непрерывности |
Простейшая гамильтоновская система | Эллиптические и гиперболические особые точки |
Переменные действие-угол | Спектр нелинейных колебаний | Нелинейный маятник и появление
солитонов | Метод усреднения | Вихревой дрейф | Адиабатические инварианты | Нелинейный
резонанс | Аналогия с нелинейным маятником | Фазовый портрет нелинейного резонанса |
Условия и свойства нелинейного резонанса | Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМтеория) | Теорема о сохранении инвариантных торов | Качественная перестройка фазового
портрета | Диффузия Арнольда | Практическая значимость
1.5. Диссипативные системы (63)
Отличие от консервативных систем на макроуровне | Структура фазового пространства |
Эволюция меры в фазовом пространстве | Мезоскопическое описание | Кинетический
(вероятностный) подход | Понятие аттрактора | Размерность аттрактора
1.6. Библиография и комментарии (68)
2. Особенности (70)
2.1. Дифференцируемые отображения (71)
2.2. Особенности функций (76)
2.3. Особенности отображений (79)
2.4. Теория Уитни (82)
2.5. Особенности в задачах управления (91)
3. Бифуркации (101)
3.1. Общий подход: струи и ростки (101)
Версальные деформации | Случаи общего положения | Особые (вырожденные) случаи |
Коразмерность вырождения | Пространство струй | Росток отображения
3.2. Трансверсальность (107)
Определение трансверсальности | Слабая теорема трансверсальности | Теорема
трансверсальности Тома | Распадение сложных особых точек векторного поля
3.3. Версальные деформации матриц (110)
Версальные и миниверсальные деформации | Бифуркационные диаграммы |
Однопараметрические семейства | Двухпараметрические семейства | Трехпараметрические
семейства
3.4. Бифуркации особых точек (113)
Бифуркации особых точек векторного поля | Бифуркационные значения параметра | Бифуркации
векторных полей на прямой | Тангенциальная бифуркация | Бифуркация смены устойчивости |
Бифуркация удвоения ("вилка") | Неустранимые бифуркации векторных полей на прямой |
Бифуркации многомерных векторных полей | Бифуркация "седло-узел"
3.5. Бифуркации периодических режимов (121)
Бифуркации периодических решений | Уравнение Льенара | Бифуркация Пуанкаре-АндроноваХопфа | Мягкая потеря устойчивости | Жесткая потеря устойчивости | Теорема ПуанкареАндронова | Бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа
3.6. Бифуркации в дискретных системах (127)
Открытие каскадов удвоения | Точки равновесия | Предельные циклы | Универсальная константа
Фейгенбаума | Бифуркации утроения периода
3.7. Бифуркации комплексных систем (132)
Множества Жюлиа | Множество Мандельброта | Границы алгоритма Ньютона | Решение
проблемы Кэли для полиномов второго порядка | Решение проблемы Кэли для полиномов
третьего порядка | Структурная устойчивость множества Мандельброта | Дискретизация
непрерывных систем
3.8. Бифуркации градиентных систем (141)
Теорема Тома о семи элементарных катастрофах | Гипотезы Тома | Однопараметрические
семейства | Двухпараметрические семейства | Трехпараметрические семейства |
Многопараметрические семейства
3.9. Перестройки фазовых портретов (148)
Бифуркации и локальная качественная теория | Топологически версальные деформации |
Версальные деформации однопараметрических фазовых портретов | Версальные деформации
многопараметрических семейств | Вырождения в однопараметрических семействах | Потеря
устойчивости автоколебаний | Отображение Пуанкаре | Оператор монодромии и
мультипликаторы | Замкнутые фазовые кривые общего положения | Вырождения в
однопараметрических семействах | Бифуркация рождения цикла | Бифуркация удвоения цикла
3.10. Библиография и комментарии (158)
4. Катастрофы (161)
4.1. Элементарная теория катастроф (162)
Множество катастроф | Разбиение множества критических точек | Росток катастрофы |
Эквивалентность отображений | Классификация катастроф | Элементарные (4-параметрические)
катастрофы: складка, сборка, ласточкин хвост, эллиптическая омбилика, «падающая волна»,
бабочка, гриб | 5-параметрические катастрофы | Сложные катастрофы
4.2. Катастрофические изменения градиентных систем (169)
Принцип максимального промедления | Принцип Максвелла
4.3. Приложения теории катастроф (170)
Качественный сценарий эволюции структуры | Схема использования теории катастроф |
Применение теории Уитни | Модель творческой личности | Распределение вещества во
Вселенной | Философия теории катастроф
4.4. Библиография и комментарии (176)
5. Хаос (177)
5.1. Структурная устойчивость систем (178)
Устойчивость по Ляпунову | Орбитная устойчивость | Структурная устойчивость математической
модели | Понятие структурной устойчивости | Виды эквивалентности | Определение структурной
устойчивости | Автоморфизм тора (пример У-системы) | Теорема Аносова | У-системы | У-потоки
| Гиперболические множества | Применение У-систем | Пример Смейла
5.2. Фрактальные структуры (189)
Хаусдорфова размерность | Ляпуновская размерность | Энтропийная размерность |
Определение фрактала | Кривая Коха | Канторово множество | Ковер Серпиньского |
Броуновское движение
5.3. Странные аттракторы (194)
Аттрактор Лоренца | Гиперболические множества и гидродинамика | Странные аттракторы и
турбулентность
5.4. Причины хаотизации динамики (196)
Эргодичность | Перемешивание | Локальная неустойчивость | К-системы | Энтропия
Колмогорова-Синая | Роль неустойчивости | Регулярность и стохастичность хаоса
5.5. Кинетический анализ хаоса (202)
Кинетическое уравнение | Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова | Кинетика гамильтоновских
систем | Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для К-систем | Стохастический нагрев | Два
типа диффузионности | Кинетика диссипативных систем
5.6. Сценарии хаоса (208)
Начало хаотизации: потеря устойчивости | Сценарий Ландау-Хопфа | Сценарий Рюэля-Такенса |
Сценарий Фейгенбаума | Сценарий Помо-Манневиля | Другие сценарии хаоса
5.7. Геометрические структуры хаоса (214)
Стохастическая паутина | Кантор-торы | Фрактальные структуры хаоса
5.8. Библиография и комментарии (223)
6. Волны (227)
6.1. Нелинейные волны (228)
Бегущие волны | Опрокидывание фронта волны | Уравнение Бюргерса | Ударная волна |
Уравнение Кортевега-де Фриза | Периодические волны | Солитоны | Аналог числа Рейнольдса |
Уравнение Клейна-Гордона | Кинки
6.2. Система Лоренца (238)
Тепловая конвекция | Число Рэлея | Модель Лоренца | Качественная картина |
Последовательность бифуркаций | Аттрактор Лоренца | Конвективная турбулентность
6.3. Конвекция Рэлея -Бенара (242)
Модель конвекции | Конвекция Рэлея | Конвекция Бенара | Развитие неустойчивостей и
усложнение структур | Пространственный хаос
6.4. Турбулентность (246)
Гидродинамическая турбулентность | Спектр турбулентности | Теория Колмогорова | Слабая и
сильная турбулентность | Ленгмюровская турбулентность | Солитонная турбулентность |
Универсальные черты турбулентности
6.5. Кинетика квазичастиц (251)
Гамильтоновское описание волн | Основное кинетическое уравнение | Кинетические моменты |
Кинетика фононов | Слабая турбулентность
6.6. Кинетика нелинейных волн (255)
Возникновение стохастичности | Развитие стохастичности | Кинетическое уравнение |
Определение коэффициентов диффузии | Коэффициенты диффузии для типичных нелинейных
волн | Рост энергии волны
6.7. Библиография и комментарии (259)
7. Активные среды (262)
7.1. Типы активных сред (262)
Типы активных элементов | Математические модели активных элементов | Типы волн в активных
средах
7.2. Бистабильная среда (265)
Модель бистабильного элемента | Эволюционное уравнение бистабильной среды | Волна
переключения | Механическая аналогия | Скорость волны переключения | Общие свойства
структур в бистабильных средах | Метастабильность фаз | Критический росток метастабильной
фазы
7.3. Возбудимые среды (270)
Эволюционные уравнения возбудимой среды | Реакция Белоусова-Жаботинского | Ведущие
центры | Горение | Бегущий импульс | Расчет уединенного бегущего импульса | Закон дисперсии
нелинейных периодических волн
7.4. Возбудимая сеть клеточных автоматов (274)
Клеточный автомат | Топология клеточного автомата | Простейшие клеточные автоматы | Сеть
клеточных автоматов | Игра "Воспроизведение" | Игра "Жизнь" | Модель Винера-Розенблюта |
Обобщенная модель Винера-Розенблюта
7.5. Спиральные волны (286)
Расчет спиральной волны в двухмерной возбудимой среде | Трехмерные возбудимые среды
7.6. Осциллирующие среды (288)
Синхронные автоколебания | Осцилляции однородной активной среды | Эволюционное
уравнение фазовой динамики осциллирующих сред | λ-ω модель осциллирующей среды |
Обобщенная модель Гинсбурга-Ландау | Синхронизация и турбулентность | Фазовые волны |
Пейсмекер | Аналогия с уравнением Шредингера | Рождение пейсмекера | Спиральные волны
7.7. Диссипативные структуры (295)
Различие локального и глобального | Двухкомпонентные среды с диффузией | Диссипативные
структуры в бистабильной среде | Диссипативные структуры в возбудимой среде |
Диссипативные структуры в осциллирующей среде | Осциллирующие диссипативные структуры
7.8. Библиография и комментарии (298)
8. Синергетика (300)
8.1. Самоорганизация (301)
Базовая модель | Устойчивость термодинамической ветви | Бифуркация термодинамической
ветви | Фазовый переход второго рода | Фазовые переходы первого рода | Равновесные
структуры | Самоорганизация в неравновесных системах | Термодинамический порог
самоорганизации | Диссипативные структуры | Учет внутренних флуктуации | Синергетический
подход | Самоорганизация — новый тип эволюции | Детерминированность и стохастичность |
Закономерность и случайность | S-теорема | Негэнтропия | Сложное поведение | Компоненты
сложного поведения | Алгоритмическая сложность | Эволюция структуры | Структура и сложность
8.2. Термодинамика (309)
Термодинамическое равновесие | Условие детального равновесия | Неравновесные фазовые
переходы | Начала термодинамики | Второе начало термодинамики | Энтропия | Изолированные
системы | Производство энтропии | Понижение энтропии | Связь с устойчивостью | Критерий
минимума производства энтропии | Понятие структуры в термодинамике | Локальная и
глобальная структура | Диссипативные структуры
8.3. Экология (317)
Эволюционное уравнение популяции | Типы локальной динамики | Волны в логистической
популяции | Волна в популяции типа Олли | Автомодельность | Учет таксиса | Волны в системах
"ресурс-потребитель" | Устойчивость популяционных волн | Нерегулярные волны | Волновые
пакеты | Возникновение диссипативных структур | Влияние формы ареала | Катастрофы | Циклы
и хаос | Стохастические модели | Популяции со случайной структурой | Метод квазипотенциала |
Общественное поведение | Роль случайности в общественной организации | Социальные
системы | Стратификация общества.
8.4. Этногенез (339)
Этнос | Этнос — природный феномен | Структура этнических систем | Уточнение определения
этноса | Суперэтнос | Начала и концы | Влияние флуктуации | Этническое поле | Раскол
этнического поля | Пассионарность | Пассионарные толчки | Признаки пассионарных толчков |
Этногенез | Пассионарное напряжение | Историческое время | Фазы этногенеза | График
этногенеза | Синергетические эффекты этногенеза
8.5. Микроструктура мира (351)
Клеточные автоматы | Клеточно-автоматная модель физической вселенной | "Воображаемая
физика" | "Информационная действительность" | Уровень Зенона и абсолютный эфир | Пикоуровень | Физический вакуум | Смена парадигмы | Типы решений взаимной синхронизации |
Микро-уровень и квантовая механика | Макро-уровень и обычная физика | Исходная дискретная
модель | Непрерывная аппроксимация | Пространство-время в непрерывной модели |
Эволюционное уравнение синхронизации | Решение диффузионного типа | Сингулярный
источник | Биполярный источник | Решение типа спиральной волны | Скорость света | Антимир |
Генерация материи | Величины характеристик цифровой сети
8.6. Библиография и комментарии (364)
9. Синергетический подход (371)
9.1. Методология нелинейного анализа (371)
Роль нелинейной интуиции | От частиц к полям | От поля к частицам | Солитоны и квазичастицы
| Иерархия моделей
9.2. Моделирование (375)
Непрерывное и дискретное | Уровни моделирования | Имитационные "монстры" | Влияние
катастроф и хаоса | Моделирование сложного поведения | Моделирование сложных систем |
Качественное моделирование | Реконструкция сложной динамики
9.3. Эволюционные модели (381)
Детерминированная эволюционная модель | Учет взаимодействия структур | Учет мутаций
9.4. Распознавание образов (384)
Ассоциативная память | Модель Хопфилда | Обучение в модели Хопфилда | Модель Хопфилда
для непрерывных систем | Альтернативный подход
9.5. Обучение (387)
Алгоритм обучения Хебба | Перцептрон
9.6. Оптимизация (390)
Алгоритмы оптимизации | Метод имитации отжига для комбинаторной оптимизации | Метод
имитации отжига для непрерывной оптимизации | Двухуровневая стратегия оптимизации |
Эволюционный метод оптимизации
9.7. Управление (394)
Управление по конечному результату | Управление пучком траекторий | Интервальное
управление | Управление изнутри | Изменчивость цели управления | Согласование нашей цели
управления и цели функционирования системы | Резонансное управление | Иерархичность и
распределенность управления
9.8. Компьютер (396)
Традиционная схема компьютера | Матричный процессор | Вычислительные сети | Аналоговая
обработка информации | Нейрокомпьютер | Молекулярный компьютер | "Зеленая" технология.
9.9. Библиография и комментарии (400)