Три задачи на свойство биссектрисы треугольника

ТРИ ЗАДАЧИ НА СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
журнал Математика в школе №5/2011, раздел Методический семинар
К.С. Комарова, МОУ СОШ № 15 (Комсомольск-на-Амуре) e-mail:
vnl_1955@mail.ru
В заметке приводится способ решения планиметрических задач,
встречающихся в вариантах ЕГЭ, с применением свойства биссектрисы угла
треугольника, зачастую более рациональный, чем предлагают в своих
публикациях разные авторы.
Ключевые слова: свойство биссектрисы треугольника, задачи ЕГЭ,
рациональное решение, пропорциональные отрезки.
«Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки,
пропорциональные прилежащим сторонам треугольника». В учебнике
«Геометрия 7-9» авторов Л.С. Атанасяна и др. это свойство сформулировано
в виде задачи на доказательство. Считаю полезным запомнить его как
теорему. На протяжении нескольких лет среди заданий ЕГЭ не раз
предлагались планиметрические задачи, которые в случае применения этого
свойства решались бы проще. Приведем несколько примеров таких задач.
Задача 1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС
проведены высоты ВТ и AF. Они пересекаются в точке К. Известно, что АВ =
15, АК= 5. Найдите площадь треугольника АВК (рис. 1).
Рис. 1
Решение. Так как высота ВТ, проведенная к основанию равнобедренного
треугольника ABC, является биссектрисой угла В, то отрезок ВК биссектриса угла В треугольника ABF. По свойству биссектрисы
треугольника
АК AB

, откуда
KF BF
KF 5 1

 .
BF 15 3
Пусть KF= х, тогда BF = Зх, AF = = 5 + х. Рассмотрим треугольник ABF.
По теореме Пифагора АВ2 = BF2 + AF2, где AF = AK + KF.
Имеем: 225 = (3х)2 + (5 + х)2, х2 + х - 20 = 0, х = 4. Следовательно, BF =
3х = 3 • 4 = 12.
Наконец,
1
2
SABК= АK • BF =
1
•5 • 12 = 30.
2
Ответ: SABК = 30.
Задача 2. Площадь равнобедренного треугольника ABC равна 90, а
боковая сторона равна 10 3 . К основанию АВ и стороне ВС проведены
высоты СР и АН соответственно, пересекающиеся в точке К. Найдите
площадь треугольника СКН (рис. 2).
Решение. SABC =
1
АС • ВС • sin  C,
2
откуда
sin  C =
2 S ABC
,
AC  BC
sin  C =
2  90
3
=
2
5
( 10 3 )
3
5
Рассмотрим треугольник АСН. В нем AH = AC • sin  C, АН = 10 3 • =
6 3 . По теореме Пифагора СН2 = АС2 - АН2, откуда СН = 8 3 .
Рис. 2
Так как высота СР, проведенная к основанию равнобедренного
треугольника ABC, является биссектрисой угла С, то отрезок СК биссектриса угла С треугольника АСН. По свойству биссектрисы
треугольника
АК СК 10 3 5



КН СН 8 3 4
Пусть АК = 5х и КН = 4х. Тогда
9х=6 3 , х=
2 3
2 3 8 3
, КН =4•
=
.
3
3
3
Таким образом,
1
2
SCKH= СН•СК=
8 3
1
•8 3 •
2
3
Ответ: SCKH = 32.
Задача 3. Дан ромб ABCD с острым углом В. Площадь ромба равна
12 2 , а синус угла В равен
2 2
.
3
Высота СН пересекает диагональ BD в
точке К. Найдите длину отрезка СК (рис. 3).
Рис. 3
Решение. Так как диагональ ромба является биссектрисой его угла, то
BD - биссектриса угла В, а значит, ВК — биссектриса угла В треугольника
НВС. Далее находим сторону и высоту ромба:
ВС = 3 2 ,
СН = 4 и применяем свойство биссектрисы угла
треугольника. Так как
НК НВ
1

 cos B  и НК+КС = 4,
КС ВС
3
то СК =3.
Ответ: СК = 3. Замечу, что учащиеся часто находят площадь
треугольника либо как разность площадей двух прямоугольных
треугольников, либо по формуле Герона. Рациональнее находить, как
показано в решении задач 1 и 2, основание и проведенную к нему высоту.