Условие

№1 Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и
определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм ЭйлераВенна. а) (A\C) \ (B\C) = (A\B)\C б) (A B) (C D)=(A C) (B D).
Решение:
 A \ C  \  B \ C    A \ B \ C
 A \ C \ B \ C   A \ C  B \ C   A  C   B  C   A  C  B  C  



 


 A  C  B    A  B   C   A  B  \ C   A \ B  \ C

 A  C  B  C   A   C  B  C  C   A   C  B    






(A B) (C D)=(A C) (B D)
x  A
x  A

y C
 x  (A  
 x , y   A  C
x  B

x, y   (A    C D   




 y  C D 
 x , y   B  D
y C
x  B
 y  D
 y  D
  x , y    A  C   B  D 
Следовало нарисовать еще и правую часть тождества.
№2 Даны два конечных множества: А={a,b,c}, B={1,2,3,4}; бинарные
отношения P1  A B, P2  B2. Изобразить P1, P2 графически. Найти
P=(P2◦P1)–1. Выписать области определения и области значений всех трех
отношений: P1, P2, Р. Построить матрицу [P2], проверить с ее помощью,
является
ли
отношение
P2 рефлексивным,
симметричным,
антисимметричным, транзитивным. P1 = {(a,1),(a,2),(a,4),(b,1),(b,4),(c,3)};
P2 = {(1,1),(2,4),(2,1),(3,3),(4,2),(4,1)}.
Решение:
Графическое представление отношения P1 ( P2 ) изображено на рис. 1 (2).
1
2
1
a
2
1
b
4
4
c
3
Рис.1
4
2
3
3
Рис.2
Суперпозицией бинарных отношений R и S называется множество:
R S   x, y  | z :  xSz  zRy 
. Исходя из этого определения,
P2  P1  a,1, a,4, a,2, b,1, b,2, c,3.
Инверсией бинарного отношения R называется множество:
R1   x, y  |  y, x   R
. Исходя из этого определения,
1
P  P2  P1   1, a , 4, a , 2, a , 1, b , 2, b , 3, c .
Областью определения отношения R называется множество:
Dom R  x | y :  x, y   R
. Областью значений отношения R называется
Im R   y | x :  x, y   R
множество:
. Исходя из этого определения,
DomP1  a, b, c ; Im P1  1, 2,3, 4
DomP2  1, 2,3, 4 ; Im P2  1, 2,3, 4
DomP  1, 2,3, 4 ; Im P  a, b, c
Матрица
1

1
P2   
0

1

 P2  бинарного отношения
0 0 0

0 0 1
0 1 0

1 0 0 
P2 :
Отношение P2 не рефлексивное, так как на главной диагонали матрицы  P2 
есть нулевой элемент.
T
P

P




2
2
Отношение будет симметричным, если
, однако:
P2 T
1

0

0

0

1 0 1 1
 
0 0 1 1

0 1 0  0
 
1 0 0   1
0 0 0

0 0 1
 P2 
0 1 0

1 0 0 
поэтому отношение P2 не симметричное.
Отношение будет антисимметричным, если поэлементное произведение
T
 P2    P2   E , где Е - единичная матрица.
 P2    P2 T
1

1

0

1
0 0 0 1
 
0 0 1 0

0 1 0 0
 
1 0 0 0
1 0 1 1
 
0 0 1 0

0 1 0 0
 
1 0 0 0
0 0 0

0 0 1
0 1 0

1 0 0
Неверно перемножено. Произведение ПОЭЛЕМЕНТНОЕ, логическое.
Условие не выполнено, поэтому отношение P2 не антисимметричное.
Отношение P2 не транзитивное, так как не выполняется соотношение
 P2
P2    P2  :
1 0 0

1 0 0
P2  P2   
0 0 1

1 1 0

P2  P2 4,4   1  0
0 1
 
1 1

0  0
 
0   1
0 0 0 1
 
0 0 1 1

0 1 0  0
 
1 0 0   1
0 0 0

1 0 0
0 1 0

0 0 1 
Остальное верно.
№5 Бригада из десяти взломщиков одновременно выходит на грабеж трех
разных магазинов. Сколькими способами они могут разделиться, если в
каждой группе должно быть не менее двух человек? Сколькими способами
их после задержания могут рассадить по четырем одинаковым камерам (не
менее чем по одному в каждую)?
1) Распределение 10-ти взломщиков для грабежа 3-х разных магазинов – это
задача размещения 10-ти предметов по 3-м различным ящикам так, что в
каждом ящике будет хотя бы два предмета.
Вообще-то гораздо разумнее решать задачу через разбиения.
Разместить m предметов по n ящикам так, чтобы в каждом ящике было не
менее одного предмета, можно N  s  m, n  способами,
n
s  m, n     1
k 1
nk
Cnk k m - число Стирлинга 1-го рода.
Разместить 10 предметов по 3 ящикам так, чтобы в r ящиках было по 1
предмету, а в остальных 3  r ящиках было не менее одного предмета, можно
N r  C 3r C10r r! s 10  r ,3  r  способами, так как r ящиков из 4-х можно выбрать
C 4r способами и выбрать
r предметов из 10-ти можно C10r способами;
разложить r предметов по r ящикам можно r ! способами.
По формуле включений и исключений получаем, что число распределений,
при котором в каждом ящике оказывается не менее двух предметов, равно
1
N 0  N  N 1  N 2  s 10,3  C31C10
 1! s 9,2   C32C102  2! s 8,1
s 10,3   1 C31  110   1 C32  210   1 C33  310  3  3  210  310  55980
2
1
0
s 9,2    1 C21  19   1 C22  2 9  2  2 9  510; s8,1  1
1
0
10 взломщиков могут разделится для грабежа 3-х разных магазинов (в
каждой группе не менее двух человек) числом способов
N 0  55980  3  10  510  3  45  2  1  40950 .
2) Распределение 10-ти взломщиков по 4-м одинаковым камерам (не менее
чем по одному в каждую) – это разбиение множества из 10-ти предметов на
4 блока. Число способов такого распределения – это число Стирлинга 2-го
1 n
nk
k
m
рода: S  m, n     1 Cn k .
n ! k 1
S 10,4  



1 4
 1k C4k k 10  1  11 C41  110   12 C42  210   13 C43  310   14 C44  410 

4! k 1
24
1

 4  6  210  4  310  410   34105
24
Ответы верные, хотя решение сильно не оптимальное.
№10 Взвешенный граф задан матрицей длин дуг. Нарисовать граф. Найти:
а) остовное дерево минимального веса;
б) кратчайшее расстояние от вершины v2 до остальных вершин графа,
используя алгоритм Дейкстры.
Решение:
Нарисуем граф:
а) Найдем остовное дерево минимального веса.
Этап 1:
Этап 2:
Этап 1: включаем в остовное дерево все рёбра с наименьшим весом 1, так как
включение каждого последующего ребра не приводит к образованию цикла.
Этап 2: включаем в остовное дерево все рёбра с весом 2, кроме ребра между
вершинами 2 и 6, так как включение каждого последующего ребра не
приводит к образованию цикла.
Поскольку все вершины соединены, то построение остовного дерева
закончено. вес дерева?