Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Линейная алгебра»

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
П р а в ит е л ь с т во Р о с с и йс ко й Фе д е р а ци и
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Ф а ку л ь т е т М и р о во й э ко но м и ки и м и р о во й по л ит и к и
Программа дисциплины
Линейная алгебра
для направления 080100.62 Экономика, специализация «Мировая экономика»
подготовки бакалавра
Автор программы: к. пед. н., доцент Салимова Альфия Фаизовна
Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики 28.08.2011г.
Зав. кафедрой
Алескеров Ф.Т.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г.
Председатель
[Введите И.О. Ф.]
Утверждена Ученым Советом факультета экономики «___»_____________20 г.
Ученый секретарь
[Введите И.О. Ф.]
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 080100.62 Экономика, специализация «Мировая экономика» подготовки бакалавров, изучающих дисциплину «Линейная алгебра».
Программа разработана в соответствии с:
 образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет –
Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория «Национальный исследовательский университет»;
 образовательной программой 080100.62, направление «Экономика» подготовки бакалавра;
 рабочим учебным планом университета подготовки бакалавра по направлению
080100.62 Экономика, специализация «Мировая экономика» подготовки бакалавров,
утвержденным в 2012г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Линейная алгебра» являются:
 ознакомление студентов с основами линейной алгебры и аналитической геометрии;
 формирование навыков работы с абстрактными понятиями математики;
 знакомство с прикладными задачами дисциплины.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 знать формулировки основных понятий и теорем линейной алгебры и аналитической геометрии, необходимые для дальнейшего изучения дисциплин, предусмотренных базовым и рабочим учебными планами;
 уметь интерпретировать основные понятия линейной алгебры и аналитической
геометрии на простых модельных примерах, применять методы дисциплины при
решении задач, возникающих в других дисциплинах;
 владеть навыками применения современного инструментария дисциплины при
решении задач, возникающих в других дисциплинах.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Общенаучная
ОНК-1
Общенаучная
ОНК-2
Общенаучная
ОНК-3
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Способность к анализу и синтезу
на основе системного подхода
Способность перейти от проблемной ситуации к проблемам,
задачам и лежащим в их основе
противоречиям
Способность использовать методы критического анализа, разви-
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекцион-
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Общенаучная
ОНК-4
Общенаучная
ОНК-5
Общенаучная
ОНК-6
Общенаучная
ОНК-7
Профессиональные
ПК-1
Профессиональные
ПК-2
Профессиональные
ПК-4
Профессиональные
ПК-8
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
тия научных теорий, опровержения и фальсификации, оценить
качество исследований в некоторой предметной области
Готовность использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной
деятельности, применять методы
математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования
при работе в какой-либо предметной области
Готовность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь
их для решения соответствующий аппарат дисциплины
Способность приобретать новые
знания с использованием научной
методологии и современных образовательных и информационных технологий
Способность порождать новые
идеи (креативность)
Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных
фактов, концепций, принципов
теорий, связанных с прикладной
математикой и информатикой
Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат
Способность критически оценивать собственную квалификацию
и её востребованность, переосмысливать накопленный практический опыт, изменять при
необходимости вид и характер
своей профессиональной деятельности
Способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку математических моделей,
алгоритмических и программных
решений
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
но-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
Место дисциплины в структуре образовательной программы
4
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин ОПД.00 «Общие профессиональные дисциплины направления» и блоку дисциплин СД.00 «Специальные дисциплины» и является базовой. Курс предназначен для студентов по направлению 080100.62 Экономика, специализация «Мировая экономика» подготовки бакалавра, читается в первом и втором модулях первого курса. От слушателей не требуется никаких предварительных знаний сверх программы
средней школы. Программа соответствует требованиям ФГОС. В данном курсе рассматриваются избранные разделы линейной алгебры и аналитической геометрии, образующие элемент базового образования студентов по данной специальности. Сведения, полученные при изучении
данного курса, будут использоваться в теории вероятностей, математической статистике, методах оптимальных решений, теории игр, математической экономике, эконометрике. Они могут
быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих
областей знания, для построения математических моделей таких задач. Программа предусматривает чтение лекций (24 часа) и проведение семинарских занятий (24 часа). Программой
предусмотрена самостоятельная работа студента в объеме 60 часов, включающая в себя изучение теоретического материала, подготовку к семинарским занятиям, подготовку к двум промежуточным контрольным работам и к заключительному зачету по данной дисциплине. В результате изучения курса студенты должны: знать точные формулировки основных понятий, уметь
интерпретировать их на простых модельных примерах; в том числе свободно использовать координатный, векторный, матричный или операторный способ записи математических соотношений; знать общие теоремы о структуре множества решений систем линейных уравнений,
уметь применять специальные способы построения таких решений; знать основные свойства
числовых характеристик матриц: определитель матрицы, ее ранг, размерность пространства
строк и столбцов; иметь представление о линейных преобразованиях, структуре множества их
собственных векторов, их ядре и образе; обладать навыками работы и быть готовыми понимать
разделы учебной и научной литературы, связанные с применением линейных пространств, линейных операторов, линейных, билинейных и квадратичных форм.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 математика в объеме средней школы.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 знаниями основных понятий и теорем математики в объеме средней школы;
 навыками решения типовых задач математики в объеме средней школы.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 теория вероятностей и математическая статистика, эконометрика;
 методы оптимальных решений, теория игр;
 математическая экономика.
Тематический план учебной дисциплины
5
№
1.
Название раздела
Всего
часов
Первый модуль
Алгебра матриц, определитель.
17
Аудиторные часы
Лекции
Семинары
4
4
Практич.
занятия
Самостоятельная
работа
9
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
Линейные пространства.
16
Преобразования матриц, ранг матри17
цы, системы линейных уравнений
Структура множества решений систе11
мы линейных уравнений
Линейные операторы
11
Второй модуль
Элементы аналитической геометрии
17
Евклидовы пространства
7
Самосопряженные операторы
6
Линейные, билинейные и квадратич6
ные формы
Итого
108
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
6
3
4
2
4
11
9
2
3
6
3
3
5
4
1
1
2
4
1
1
2
9
5
4
2
24
24
0
60
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма контроля
Текущий
(неделя)
Контрольные работы
Итоговый
Зачет
1 год
1
2
1
6
2
11
2-й
модуль
Параметры
Письменная работа 80 минут
Письменная зачетная работа 120
минут
Критерии оценки знаний, навыков
Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания
основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, предлагаемые
в типовых вариантах контрольных работ, разобранные на семинарских занятиях. Оценки по
всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.1
7
Содержание дисциплины
Тема I. Алгебра матриц, определитель
Матрицы. Строки, столбцы. Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Умножение строки на столбец. Умножение матриц. Транспонирование матриц. Свойства арифметических операций над матрицами. Связь с транспонированием.
Квадратные матрицы и определители второго и третьего порядков. Определение определителя. Миноры, алгебраические дополнения. Свойства определителей. Вычисление определителей разложением по строке (столбцу). Определитель транспонированной матрицы. Определитель произведения двух матриц. Вычисление определителей методом элементарных преобразований. Определитель nго порядка, его свойства и способы вычисления.
Линейные системы с двумя и тремя неизвестными. Геометрическая интерпретация этих
систем. Правило Крамера. Элементарные преобразования систем. Равносильные системы. Метод Гаусса для случая n уравнений с n неизвестными.
Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы. Способы ее нахождения. Решение матричных уравнений.
Лит-ра: основная: [1], с. 114-146,
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
Тема II. Линейные пространства
Понятие линейного пространства. Вектор как элемент линейного пространства. Геометрические векторы на плоскости и в пространстве как представители соответствующих векторных пространств. Скалярное произведение векторов, длина вектора, величина угла между векторами.
Аксиомы линейного пространства. Простейшие следствия аксиом линейного пространства. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Размерность и базис
линейного пространства. Координаты вектора в базисе. Линейные операции с векторами в координатной форме. Изменение координат векторов при изменении базиса. Матрица перехода от
старого базиса к новому.
Линейное подпространство линейного пространства. Линейная оболочка конечного
набора векторов. Размерность линейной оболочки. Условие принадлежности вектора линейной
оболочке. Условие совпадения двух линейных оболочек.
Лит-ра: основная: [1], с. 158-171.
Тема III. Преобразования матриц, ранг матрицы, системы линейных уравнений
Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Ранг произведения матриц.
Различные формы записи системы линейных уравнений. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования строк (столбцов) матриц.
Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о
совместности системы линейных уравнений.
Метод Гаусса решения систем m линейных уравнений с n неизвестными. Главные и свободные неизвестные.
Лит-ра: основная: [1], с. 146-157; 132-136.
Тема IV. Структура множества решений системы линейных уравнений
Структура общего решения линейной однородной системы. Размерность пространства
решений линейной однородной системы. Фундаментальная система решений. Теорема об общем решении линейной неоднородной системы. Алгоритм нахождения базисов в сумме и пересечении линейных оболочек конечных наборов векторов.
Лит-ра: основная: [1], с. 146-157.
Тема V. Линейные операторы
Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базисов. Ядро и образ линейного оператора. Их размерность. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.
Разложение вектора-столбца в линейную комбинацию собственных векторов матрицы. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Характеристический многочлен
линейного оператора. Свойства собственных векторов, отвечающих различным (одинаковым)
собственным значениям.
Лит-ра: основная: [1], с.172-191.
Тема VI. Элементы аналитической геометрии
Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между
точками. Деление отрезка в данном отношении. Векторы. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Условие коллинеарности двух векторов
на плоскости и компланарности трех векторов в пространстве. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Их вычисление в координатах. Площадь параллелограмма и треугольника. Объем параллелепипеда и тетраэдра.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
Общее уравнение прямой на плоскости. Вычисление угла между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Общее уравнение плоскости в пространстве. Вычисление
угла между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Различные уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Проектирование точек на прямые и плоскости. Симметрия относительно прямой и плоскости.
Лит-ра: основная: [1], с. 9-64.
Тема VII. Евклидовы пространства
Евклидовы пространства. Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского.
Длина вектора и угол между векторами. Матрица Грама. Ортонормированный базис. Процесс
ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональные матрицы. Переход от одного ортонормированного базиса к другому. Ортогональное дополнение линейного подпространства в евклидовом пространстве. Ортогональная проекция вектора на подпространство (задача наилучшего
приближения).
Лит-ра: основная: [1], с. 216-225.
Тема VIII. Самосопряженные операторы
Определение оператора, сопряженного данному линейному оператору. Матрица сопряженного оператора. Самосопряженный оператор. Собственные значения и собственные векторы самосопряженных операторов. Существование ортонормированного базиса из собственных
векторов самосопряженного оператора.
Лит-ра: основная: [1], с. 226-238.
Тема IX. Линейные, билинейные и квадратичные формы
Линейный функционал. Билинейная форма. Симметричная билинейная форма. Квадратичная форма. Матрицы линейного функционала, билинейной и квадратичной форм. Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса. Приведение квадратичной формы
к диагональному виду. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной
формы. Закон инерции для квадратичных форм. Квадратичная форма и присоединенный самосопряженный оператор. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Лит-ра: основная: [1], с. 239-242.
8
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
8.1
Тематика заданий текущего контроля
Контрольная работа №1 предназначена для проверки качества освоения студентами
следующих компонент курса (в соответствии с программой):
Алгебра матриц.
Матрицы. Строки, столбцы. Сложение матриц. Умножение матрицы на число.
Умножение строки на столбец. Умножение матриц. Транспонирование матриц.
Свойства арифметических операций над матрицами. Связь с транспонированием.
Понятие линейного векторного пространства.
Решение матричных уравнений.
Векторы на плоскости и в пространстве. Линейная зависимость векторов.
Скалярное произведение, длина вектора, величина угла между векторами.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
Квадратные матрицы и определители второго и третьего порядков.
Определение определителя. Миноры, алгебраические дополнения. Свойства определителей. Вычисление определителей разложением по строке (столбцу).
Определитель транспонированной матрицы. Определитель произведения двух матриц.
Обратная матрица. Линейные системы с двумя и тремя неизвестными. Геометрическая интерпретация этих систем. Правило Крамера.
Определитель nго порядка, его свойства и способы вычисления.
Преобразования матриц и системы линейных уравнений.
Различные формы записи системы линейных уравнений. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования строк (столбцов) матриц.
Элементарные преобразования строк (столбцов) произведения двух матриц. Строчный и столбцовый ранги матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Главные элементы приведенной матрицы. Главные и свободные неизвестные.
Условие совместности системы линейных уравнений.
Контрольная работа № 1 (типовой вариант)
0 2 3
1. Даны
матрицы
𝐴 = (3 1 −1 0),
В=(1 2 4),
С=(
),
−2 1 2
1 2 −1 1
D=(
). Определите матрицу 2𝐵 𝑇 𝐴 + 𝐶 𝑇 𝐷.
4 −2 0 2
2 𝑥 + 1 −1
2. Решите неравенство |1
2
3 | > 0.
5 𝑥+7 𝑥+3
3. Исследуйте взаимное расположение двух прямых на плоскости при всех значениях параметра m:
3𝑥 + 𝑚𝑦 = 6 и 𝑚𝑥 + 27𝑦 = 2𝑚.
4. Решите систему уравнений, используя правило Крамера:
𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = −5,
{3𝑥 − 4𝑦 + 3𝑧 = 11,
2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = −9.
4 3 0
5. Найдите матрицу, обратную к 𝐴 = (1 1 0). Сделайте проверку!
0 0 1
6. Решите уравнение относительно матрицы Х:
1 3
4 0
𝑋𝐴 − 𝐵 = 2𝐴, где 𝐴 = (
),𝐵 = (
).
3 10
1 −1
7. Найдите все значения x, при каждом из которых векторы a, b, с линейно зависимы: 𝒂 =
𝑥−1
𝑥+1
𝑥2 − 3
( 1 ) ; 𝒃 = ( 3 ) ; 𝒄 = ( 2 ).
4
1
2
8. Представьте вектор 𝒅 = (2 0 4) 𝑇 в виде линейной комбинации векторов 𝒂 =
(1 2 3) 𝑇 ; 𝒃 = (3 −3 −2) 𝑇 ; 𝒄 = (−1 2 −1) 𝑇 .
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 − 4𝑥4 = 1,
9. Дана система линейных неоднородных уравнений {3𝑥1 + 7𝑥2 − 2𝑥3 − 𝑥4 = 4,
2𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 = 3.
а) найдите фундаментальную систему решений, укажите размерность пространства решений и
запишите общее решение соответствующей системы линейных однородных уравнений;
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
б) убедитесь в совместности данной неоднородной системы, используя теорему КронекераКапелли;
б) найдите общее решение данной системы линейных неоднородных уравнений и проанализируйте его структуру, представьте общее решение в виде суммы частного решения неоднорордной системы и общего решения соответствующей однородной системы.
10. Найдите размерность и базис линейной оболочки векторов
𝒂𝟏 = (1; 3; 2); 𝒂𝟐 = (1; 4; 3); 𝒂𝟑 = (4; 1; −3); 𝒂𝟒 = (0; 3; 3); 𝒂𝟓 = (0; 0; −2) в пространстве R3. Выразите небазисные векторы через базисные.
11. Известны координаты вектора 𝒙 = (7; 2) в старом базисе 𝒆𝟏 , 𝒆𝟐 . Найдите координаты
этого вектора в новом базисе 𝒇𝟏 , 𝒇𝟐 , если 𝒇𝟏 = 4𝒆𝟏 + 5𝒆𝟐 ; 𝒇𝟐 = 𝒆𝟏 − 𝒆𝟐 .
Контрольная работа №2 предназначена для проверки качества освоения студентами
следующих компонент курса (в соответствии с программой):
Линейные зависимости векторов в линейном пространстве.
Линейная зависимость (независимость) конечных наборов векторов.
Элементарные преобразования конечных наборов векторов. Обратимость элементарных
преобразований. Ранг конечного набора векторов.
Линейное подпространство линейного пространства. Линейная оболочка конечного
набора векторов. Размерность линейной оболочки. Условие принадлежности вектора линейной
оболочке. Условие совпадения двух линейных оболочек.
Конечномерное пространство. Базис и координаты векторов. Свойства координат векторов. Изменение координат векторов при изменении базиса. Формулы перехода от старого базиса к новому.
Сумма и пересечение линейных подпространств.
Критерий линейной зависимости конечного набора столбцов. Равенство строчного и
столбцового рангов матриц.
Структура общего решения линейной однородной системы.
Размерность пространства решений линейной однородной системы.
Теорема об общем решении линейной неоднородной системы.
Алгоритм нахождения базисов в сумме и пересечении линейных оболочек конечных
наборов векторов.
Собственные значения и собственные векторы квадратных матриц.
Характеристический многочлен квадратной матрицы.
Использование теоремы о сумме и произведении собственных значений матрицы.
Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным
значениям.
Разложение вектора-столбца в линейную комбинацию собственных векторов матрицы.
Понятие о корневых векторах матрицы.
Ранг матрицы.
Вычисление ранга матрицы. Ранг произведения матриц.
Линейные операторы.
Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора.
Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базисов.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
Ядро и образ линейного оператора. Их размерность.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.
Элементы аналитической геометрии на плоскости.
Общее уравнение прямой на плоскости. Вычисление угла между прямыми.
Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Проектирование точек на прямые.
Симметрия относительно прямой.
Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.
Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении.
Векторы. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение
вектора на число. Условие коллинеарности двух векторов.
Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам.
Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Вычисление в координатах.
Площадь параллелограмма и треугольника. Вычисление в координатах.
Контрольная работа № 2 (типовой вариант)
1. Докажите линейность оператора 𝐴: 𝑅 3 → 𝑅 3 , если 𝐴𝑥 = (4𝑥1 −2𝑥2 ; 3𝑥3 ; 𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 ).
Составьте его матрицу в данном базисе. Имеет ли оператор 𝐴𝑥 обратный? Если да, то укажите
его матрицу и запишите координаты 𝐴−1 𝑥.
2. Составьте матрицу линейного оператора проецирования геометрических векторов из 𝑅 3
на плоскость 𝑥 + 𝑦 = 0 в базисе 𝒊, 𝒋, 𝒌 и найдите базисы образа и ядра этого оператора.
3. Линейный оператор 𝐴: 𝑅 5 → 𝑅 3 в некотором базисе задан матрицей
0 1 −2 0 2
𝐴 = (3 −2 7 9 5).
1 3 −5 3 9
Найдите образ, ядро, ранг и дефект оператора.
4. Найдите матрицу линейного отображения, переводящего векторы 𝒂𝟏 = (−2; 1; −1),
𝒂𝟐 = (1; −1; 3), 𝒂𝟑 = (1; 2; −1) в векторы 𝒃𝟏 = (3; 4), 𝒃𝟐 = (−2; 1, 𝒃𝟑 = (1; 5).
5. Найдите матрицу перехода от базиса 𝒆𝟏 ; 𝒆𝟐 ; 𝒆𝟑 к базису 𝒇𝟏 ; 𝒇𝟐 ; 𝒇𝟑 в пространстве 𝑅 3 и
определите координаты вектора 𝒙 = 𝒇𝟏 + 𝒇𝟐 − 4𝒇𝟑 в базисе 𝒆𝟏 ; 𝒆𝟐 ; 𝒆𝟑 , если 𝒆𝟏 = (1; 1; 2);
𝒆𝟐 = (3; 2; 1); 𝒆𝟑 = (0; 0; 1), 𝒇𝟏 = (−1; 2; 0); 𝒇𝟐 = (2; 1; 2); 𝒇𝟑 = (0; 2; 1).
6. В некотором базисе 𝒆𝟏 ; 𝒆𝟐 ; 𝒆𝟑 задана матрица линейного оператора 𝐴𝑒 =
1
0 −2
( 3 −1 2 ). Найдите матрицу этого оператора 𝐴𝑓 в базисе
−3 1
4
𝒇𝟏 = 𝒆𝟏 ; 𝒇𝟐 = 𝒆𝟏 + 2𝒆𝟐 ; 𝒇𝟑 = 𝒆𝟏 +2𝒆𝟐 + 3𝒆𝟑 .
7. Найдите базис из собственных векторов линейного оператора 𝐴: 𝑅 3 → 𝑅 3 , заданного в
некотором базисе матрицей А, запишите матрицу этого оператора в найденном базисе, если
7 2 −2
𝐴 = (4 5 −2).
0 0 3
8. В евклидовом пространстве 𝑅 4 задано подпространство Н как линейная оболочка векторов 𝒂𝟏 = (1; 2; 1; −3), 𝒂𝟐 = (−1; 2; 3; 4). Найдите базис орногонального дополнения 𝐻 ⊥ . Для
вектора 𝒙 = (2; 1; 1; 0) найдите его ортогональную проекцию на подпространство Н и ортогональную составляющую относительно Н.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
9. В евклидовом пространстве 𝑅 3 даны векторы 𝒂𝟏 = (1; −1; 2), 𝒂𝟐 = (1; 1; 1), 𝒂𝟑 =
(1; 0; 1). Найдите матрицу Грама этой системы векторов и с ее помощью докажите, что векторы 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 образуют базис в 𝑅 3 . Вычислите скалярное произведение векторов 𝒙 = 2𝒂𝟏 −
𝒂𝟐 + 4𝒂𝟑 , 𝒚 = 𝒂𝟏 − 𝒂𝟐 + 2𝒂𝟑 двумя способами: через их координаты в стандартном базисе и в
базисе 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 с помощью матрицы Грама.
3 2 1
10. Матрица Грама в базисе 𝒆𝟏 , 𝒆𝟐 , 𝒆𝟑 имеет вид (2 2 1). Найдите длины векторов 𝒙 =
1 1 1
𝒆𝟏 + 𝒆𝟐 − 𝟐𝒆𝟑 , 𝒚 = 𝟐𝒆𝟏 + 𝒆𝟑 и угол между ними. Найдите площадь треугольника, построенного на векторах 𝒆𝟏 , 𝒆𝟐 и объем пирамиды с треугольным основанием, построенной на векторах
𝒆 𝟏 , 𝒆𝟐 , 𝒆𝟑 .
11. Найдите вектор, параллельный линии пересечения двух плоскостей, первая из которых
проходит через точки 𝐴(1; 2; 3), 𝐵(0; −1; 4), 𝐶(2; 1; 0), а вторая является координатной плоскостью 𝑂𝑥𝑧.
Плоскость содержит ось 𝑂𝑦 и точку 𝐶(1; 3; 2). Прямая проходит через точки 𝐴(0; 1; −2) и 𝐵(0; 0; 2). Найдите координаты точки пересечения прямой и плоскости. Чему
равен угол между прямой и плоскостью?
12.
Подготовка к зачету предназначена для освоения студентами следующих компонент
курса (в соответствии с программой):
Евклидовы пространства.
Скалярное произведение.
Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность векторов.
Независимость попарно ортогональных ненулевых векторов.
Ортогональное дополнение линейного подпространства в евклидовом пространстве.
Ортогональная проекция вектора на подпространство (задача наилучшего приближения).
Процесс ортогонализации конечного набора векторов.
Матрица Грама. Ее преобразование при изменении базиса.
Сопряженные линейные операторы.
Определение оператора, сопряженного данному линейному оператору.
Матрица сопряженного оператора. Самосопряженный оператор.
Собственные значения и собственные векторы самосопряженных операторов.
Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного
оператора.
Вычисление степеней матриц.
Элементы аналитической геометрии в пространстве.
Прямоугольная система координат в пространстве.
Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении.
Векторы. Условие компланарности трех векторов.
Разложение вектора пространства по трем некомпланарным векторам.
Скалярное произведение векторов. Вычисление в координатах.
Векторное произведение векторов. Вычисление в координатах.
Смешанное произведение векторов. Вычисление в координатах.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
Площадь параллелограмма и треугольника. Вычисление в координатах и с использованием матрицы Грама. Объем параллелепипеда. Вычисление в координатах. Использование матрицы Грама.
Общее уравнение прямой в пространстве. Вычисление угла между прямыми.
Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой.
Общее уравнение плоскости в пространстве. Вычисление угла между плоскостями.
Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Расстояние от точки до плоскости.
Взаимное расположение прямых и плоскостей.
Проектирование точек на прямые и плоскости.
Симметрия относительно прямой и плоскости.
Преобразование координат точки при замене системы координат.
Типовые задания для подготовки по указанным темам
1. Решите уравнение относительно матрицы Х:
1 4
5
4
−2 −1
2 3
𝐴 ∙ 𝑋 ∙ 𝐵 − 4𝐷 = 𝐶 𝑇 , где 𝐴 = (
),𝐵 = (
),𝐶 = (
),𝐷(
).
−1 3
1 −2
1 −2
−4 −3
2. Исследуйте систему линейных неоднородных уравнений на совместность, найдите общее
решение данной системы и представьте его в виде суммы частного решения неоднорордной системы и общего решения соответствующей однородной системы:
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 − 2𝑥4 = 1,
{ −2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 = 3,
5𝑥1 + 9𝑥2 − 10𝑥3 − 9𝑥4 = 0.
3. Составьте матрицу линейного оператора отражения геометрических векторов из 𝑅 3 относительно плоскости 𝑥 + 𝑦 = 0 в базисе 𝒊, 𝒋, 𝒌 и найдите базисы образа и ядра этого оператора.
4. Найдите проекцию точки 𝑀(2; 3; 1) на плоскость 𝑂(0; 0; 0), 𝐴(1; 1; 1), 𝐵(2; 0; 3). Чему
равен угол между прямой 𝐴𝑀 и плоскостью 𝑂𝐴𝐵?
5. Найдите координаты точки 𝑃1 , симметричной точке 𝑃(5; 2; −1) относительно плоскости
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 + 23 = 0. Составьте канонические уравнения прямой 𝑃𝑃1 и укажите точку
пересечения этой прямой с данной плоскостью.
6. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в
3 4
некотором базисе матрицей (
). Если возможно, укажите базис, в котором матрица
5 2
оператора является диагональной. Составьте эту матрицу.
7. Постройте ортонормированный базис из собственных векторов оператора, заданного в
0 1
1
ортонормированном базисе своей матрицей (1 0 −1). Запишите матрицу этого опе1 −1 0
ратора в найденном базисе.
8. В евклидовом пространстве 𝑅 4 задано подпространство Н как линейная оболочка векторов 𝒂𝟏 = (1; −1; 1; 1), 𝒂𝟐 = (1; 4; −1; 0). Найдите базис орногонального дополнения
𝐻⊥.
9. Найдите размерность и базис линейной оболочки векторов 𝒂𝟏 = (1; −1; 2; 1); 𝒂𝟐 =
(1; 2; 1; −1); 𝒂𝟑 = (0; 3; −1; −2); 𝒂𝟒 = (3; 3; 4; −1); 𝒂𝟓 = (1; −4; 3; 3) в пространстве R4. Выразите небазисные векторы через базисные.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
10. Найдите матрицу перехода от базиса 𝒆𝟏 ; 𝒆𝟐 ; 𝒆𝟑 к базису 𝒇𝟏 ; 𝒇𝟐 ; 𝒇𝟑 в пространстве 𝑅 3 и
определите координаты вектора 𝒙 = 𝒆𝟏 + 𝒆𝟐 − 4𝒆𝟑 в базисе 𝒇𝟏 ; 𝒇𝟐 ; 𝒇𝟑 , если 𝒆𝟏 =
(1; 1; 2); 𝒆𝟐 = (3; 2; 1); 𝒆𝟑 = (0; 0; 1), 𝒇𝟏 = (−1; 2; 0); 𝒇𝟐 = (2; 1; 2); 𝒇𝟑 = (0; 2; 1).
11. Найдите величину угла между векторами 𝒂 = 𝟑𝒆𝟏 − 6 𝒆𝟐 + 𝒆𝟑 , 𝒃 = −𝒆𝟏 + 4𝒆𝟐 −𝟑𝒆𝟑 , а
также длины векторов 𝒂 и 𝒃, если матрица Грама в базисе 𝒆𝟏 , 𝒆𝟐 , 𝒆𝟑 имеет вид
11 10 −1
( 10 14 2 ). Вычислите объем пирамиды, построенной на базисных векторах.
−1 2
3
12. Приведите квадратичную форму 𝑄(𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) к каноническому виду любым удобным
способом, если 𝑄(𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = 2𝑥12 − 2𝑥1 𝑥2 − 2𝑥2 𝑥3 + 𝑥22 + 𝑥32 .
13. Используя критерий Сильвестра, исследуйте квадратичную форму 𝑄(𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) =
−𝑥12 − 3𝑥22 + 𝜆𝑥32 − 2𝑥1 𝑥2 + 2𝑥2 𝑥3 + 2𝑥1 𝑥3
на положительную или отрицательную определенность в зависимости от параметра λ.
14. Изобразите линию 𝑥 2 − 𝑦 2 − 4𝑥 − 6𝑦 − 6 = 0.
8.2
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Свойства арифметических операций над матрицами. Связь с транспонированием.
Определение определителя. Миноры, алгебраические дополнения.
Свойства определителей.
Вычисление определителей разложением по строке (столбцу).
Определитель произведения двух матриц.
Свойства алгебраических дополнений к элементам квадратной матрицы.
Обратная матрица невырожденной квадратной матрицы.
Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений, транспонирования и деления на определитель исходной матрицы.
Матричная запись решения линейной системы с невырожденной матрицей.
Правило Крамера.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Главные элементы расширенной матрицы.
Главные и свободные неизвестные. Ранг матрицы.
Теорема Кронекера-Капелли о существовании решения системы линейных уравнений.
Аксиомы линейного пространства. Линейная зависимость (независимость) конечных
наборов векторов.
Конечномерное линейное пространство.
Базис и координаты векторов. Свойства координат векторов.
Изменение координат векторов при изменении базиса. Формулы перехода от старого базиса к новому.
Определение линейного оператора.
Процедура построения матрицы линейного оператора в заданных базисах.
Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базисов.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.
Характеристический многочлен линейного оператора.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
Скалярное произведение векторов евклидова пространства.
Неравенство Коши-Буняковского. Длина вектора и угол между векторами.
Процесс ортогонализации конечного набора векторов.
Матрица Грама. Ее преобразование при изменении базиса.
Положительность определителя матрицы Грама заданного базиса.
Ортогональные матрицы.
Определение оператора, сопряженного данному линейному оператору.
Матрица сопряженного оператора.
Самосопряженный оператор.
Собственные значения и собственные векторы самосопряженных операторов.
Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного
оператора.
Квадратичная форма.
Преобразование матрицы квадратичной формы при изменении базиса.
8.3
Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
Зачетная контрольная работа по линейной алгебре
ВАРИАНТ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
1. Решите уравнение относительно матрицы Х:
14 9
5 6
3
5
),𝐵 = (
),𝐶 = (
).
16 10
−1 −2
7 8
2. Исследуйте систему линейных неоднородных уравнений на совместность, найдите общее решение данной системы и представьте его в виде суммы частного решения неоднорордной системы и общего решения соответствующей однородной системы:
𝑥1 + 2𝑥2 − 2𝑥3 − 3𝑥4 = 4,
{ 3𝑥1 + 8𝑥2 − 4𝑥4 = 14,
𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 = 5.
3. Составьте матрицу линейного оператора проецирования геометрических векторов из 𝑅 3
на плоскость 𝑧 = 0 в базисе 𝒊, 𝒋, 𝒌 и найдите базисы образа и ядра этого оператора.
4. Найдите проекцию точки 𝑀(1; 1; 4) на прямую 𝐴(1; 0; −1), 𝐵(−2; 0; 3). Запишите канонические уравнения прямой 𝐴𝐵.
5. Первая плоскость задана уравнением 4𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 + 1 = 0. Вторая плоскость проходит
через точку 𝑀(0; 1; −3) и ось 𝑂𝑧. Найдите угол между плоскостями.
6. Найдите координаты вектора 𝒙 = 6𝒆𝟏 − 𝒆𝟐 + 3𝒆𝟑 в базисе 𝒇𝟏 = 𝒆𝟏 + 𝒆𝟐 + 2𝒆𝟑 ; 𝒇𝟐 =
2𝒆𝟏 − 𝒆𝟐 ; 𝒇𝟑 = −𝒆𝟏 + 𝒆𝟐 + 𝒆𝟑 .
7. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного
3 −2
в некотором базисе матрицей (
). Если возможно, укажите базис, в котором матрица
−1 2
оператора является диагональной. Составьте эту матрицу.
8. В евклидовом пространстве 𝑅 4 задано подпространство Н как линейная оболочка векторов 𝒂𝟏 = (1; 1; 1; 1), 𝒂𝟐 = (1; 2; 2; −1). Для вектора 𝒙 = (4; − 1; −3; 4) найдите его ортогональную проекцию на подпространство Н и ортогональную составляющую относительно Н.
𝐴𝑇 ∙ 𝑋 ∙ 𝐵 = 𝐶 𝑇 , где 𝐴 = (
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
Постройте ортонормированный базис из собственных векторов оператора, заданного в
2 −1 0
ортонормированном базисе своей матрицей (−1 2 0). Запишите матрицу этого оператора
1 −1 1
в найденном базисе.
10. В евклидовом пространстве 𝑅 3 даны векторы 𝒂𝟏 = (1; 2; 1), 𝒂𝟐 = (0; 2; 0), 𝒂𝟑 =
(3; 1; 1). Найдите матрицу Грама этой системы векторов и с ее помощью докажите, что векторы 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 образуют базис в 𝑅 3 . Вычислите скалярное произведение векторов 𝒙 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 −
2𝒂𝟑 , 𝒚 = 2𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 2𝒂𝟑 двумя способами: через их координаты в стандартном базисе и в базисе 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 с помощью матрицы Грама.
11. Приведите квадратичную форму 𝑓(𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) к каноническому виду любым удобным
способом, если 𝑓(𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = 4𝑥12 + 8𝑥1 𝑥2 + 4𝑥1 𝑥3 + 3𝑥22 − 4𝑥32 .
12. Используя критерий Сильвестра, исследуйте квадратичную форму 𝑓(𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) =
2
2𝑥1 + 𝑚𝑥22 + 2𝑥32 + 2𝑥1 𝑥2 + 4𝑥2 𝑥3 + 6𝑥1 𝑥3 на знакоопределенность в зависимости от параметра
m.
9.
9
Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских занятиях по следующим позициям: правильность решения задач на семинарах, правильность выполнения аудиторных самостоятельных работ, активность работы студента на семинарских занятиях. Оценки за работу
на семинарских занятиях и самостоятельную работу студента (а именно, решение нестандартных задач и выполнение текущих домашних заданий) преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу студента на семинарских занятиях определяется перед итоговым контролем - Оаудиторная.
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов по следующим позициям:
правильность, своевременность и полнота выполнения домашних заданий. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу студента определяется перед итоговым
контролем – Осам. работа.
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему
контролю следующим образом:
Онакопленная_i = 0,8·Отекущая_i + 0,1·Оаудиторная_i + 0,1·Осам. работа_i ,
где Отекущая_i рассматривается как оценка за формы текущего контроля, предусмотренные в
РУП:
Отекущая_i = Ок.р._i.
Способ округления накопленной оценки текущего контроля производится по правилам
арифметики округления.
Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом:
Онакопленная 1 = 0,8·Отек1 + 0,1· Оаудиторная 1 + 0,1·Осам. работа 1 ,
Онакопленная 2 = 0,8·Отек2 + 0,1· Оаудиторная 2 + 0,1·Осам. работа 2 ,
Онакопленная итоговая= (Онакопленная 1 + Онакопленная 2):2.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра
Здесь Онакопленная 1 – накопленная оценка за 1 модуль, Онакопленная 2 – накопленная оценка за 2
модуль перед итоговым зачетом.
Способ округления накопленной итоговой оценки производится по правилам арифметики округления.
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме зачета выставляется по следующей формуле, где Озачет – оценка за работу непосредственно на зачете:
Орезульт = 0,6·Озачет + 0,4·Онакопленная итоговая.
Способ округления накопленной оценки итогового контроля производится по правилам
арифметики округления.
При этом оценка за работу непосредственно на зачете является блокирующей. При неудовлетворительной итоговой оценке она равна результирующей.
Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу:
Оценка по 10-балльной шкале
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Оценка по 5-балльной шкале
незачет
зачет
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл
для компенсации оценки за текущий контроль.
В диплом выставляется результирующая оценка по учебной дисциплине.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
[1] Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М. ФИЗМАТЛИТ, 2008.-312с. А также любое издание, начиная с 2000.
[2] Бурмистрова Е.Б, Лобанов С.Г.Линейная алгебра с элементами аналитической
геометрии. М.: Изд-во ГУ-ВШЭ, 1998.-216с.
10.2 Основная литература
[1] Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М. ФИЗМАТЛИТ, 2008.-312с. А также любое издание, начиная с 2000.
[2] Бурмистрова Е.Б, Лобанов С.Г.Линейная алгебра с элементами аналитической
геометрии. М.: Изд-во ГУ-ВШЭ, 1998.-216с.
10.3 Основной задачник
[1] Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Физматлит, 2001.-394с.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Линейная алгебра»
для направления 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика»» подготовки бакалавра