Глава III. Квадратные уравнения Квадратное уравнение — уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a не равно 0. Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами a, b, c может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта D = b2 - 4ac: 1. при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле: 2. при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2: 3. при D < 0 вещественных корней нет. Мнемонические правила Другие записи решений Вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение: где k = b / 2. Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном b, то есть для уравнений вида ax2 + 2kx + c = 0. Приведённое квадратное уравнение Квадратное уравнение вида x2 + px + q = 0, в котором старший коэффициент a равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до Теорема Виета: Сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q: x1 + x2 = -p x1 . x2 = q В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0): x1 + x2 = -b/a x1 . x2 = c/a Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители. П р и м е р 1 : Решить уравнение 2x2 - 5x = 0. Имеем x(2x - 5) = 0. Значит либо x = 0, либо 2x - 5 = 0, то есть x = 2,5. Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2 . 5 П р и м е р 2 : Решить уравнение 3x2 - 27 = 0. Имеем 3x2 = 27. Следовательно корни данного уравнения - 3 и - 3 . Биквадратным называется уравнение вида ax4 + bx2 + c = 0, где a =0 Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x2 = y, придем к квадратному уравнению ay2 + by + c = 0. П р и м е р 3 : Решить уравнение x4 + 4x2 - 21 = 0. Пусть x2 = y, получим квадратное уравнение y2+ 4y - 21 = 0, откуда находим y1 =-7, y2 = 3. Теперь задача сводится к решению уравнений x2 = -7, x2 = 3. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим x1=− 3 и x2= 3 которые являются корнями заданного биквадратного уравнения Итак, коротко о квадратном уравнении: Примерная контрольная работа. 1. Решите уравнения: а) ; б) ; в) г) 2. Длина прямоугольника на 5 см больше ширины, а его площадь равна 36 см2. Найдите стороны прямоугольника. 3. Определите значения y, при которых верно равенство: 4. Один из корней данного уравнения равен 4. Найдите второй корень и число a: 5. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны -5 и 8 Понятие дробного рационального выражения Дробное выражение - это математическое выражение, которое помимо действий сложения, вычитания и умножения, выполненных с числами и буквенными переменными, а также деления на число не равное нулю, содержит также деление на выражения с буквенными переменными. Рациональные выражения - это все целые и дробные выражения. Рациональные уравнения - это уравнения, у которых левая и правые части являются рациональными выражениями. Если в рациональном уравнении левая и правая части будут являться целыми выражениями, то такое рациональное уравнение называется целым. Если в рациональном уравнении левая или правая части будут являться дробными выражениями, то такое рациональное уравнение называется дробным. Примеры дробных рациональных выражений 1. x-3/x = -6*x+19 2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2) 3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)) Схема решения дробного рационального уравнения 1. Найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение. 2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. 3. Решить полученное целое уравнение. 4. Произвести проверку корней, и исключить те из них, которые обращают в нуль общий знаменатель. Так как мы решаем дробные рациональные уравнения, то в знаменателях дробей будут переменные. Значит, будут они и в общем знаменателе. А во втором пункте алгоритма мы умножаем на общий знаменатель, то могут появится посторонние корни. При которых общий знаменатель будет равен нулю, а значит и умножение на него будет бессмысленным. Поэтому в конце обязательно делать проверку полученных корней. Рассмотрим пример: Решить дробное рациональное уравнение: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)). Будем придерживаться общей схемы: найдем сначала общий знаменатель всех дробей. Получим x*(x-5). Умножим каждую дробь на общий знаменатель и запишем полученное целое уравнение. (x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3); 1/x * (x*(x-5)) = (x-5); (x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5); x*(x+3) + (x-5) = (x+5); Упростим полученное уравнение. Получим: x^2+3*x + x-5 – x - 5 =0; x^2+3*x-10=0; Получили простое приведенное квадратное уравнение. Решаем его любым из известных способов, получаем корни x=-2 и x=5. Теперь производим проверку полученных решений: Подставляем числа -2 и 5 в общий знаменатель. При х=-2 общий знаменатель x*(x-5) не обращается в нуль, -2*(-2-5)=14. Значит число -2 будет являться корнем исходного дробного рационального уравнения. При х=5 общий знаменатель x*(x-5) становится равным нулю. Следовательно, это число не является корнем исходного дробного рационального уравнения, так как там будет деление на нуль. Ответ: х=-2.