Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Вещественный, комплексный и функциональный анализ
I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
1) Действительные числа и их свойства. Аксиома непрерывности. Сложение, умножение и сравнение действительных чисел.
2) Натуральные, целые числа
3) Рациональные и иррациональные числа. Изображение действительных чисел на
прямой.
4) Числовые множества, промежутки. Ограниченные и неограниченные множества.
Неограниченность сверху множества натуральных чисел. Верхняя и нижняя грани числового множества. Теорема существования верхней и нижней граней. Свойства верхних и
нижних граней числовых множеств. Представление действительных чисел бесконечными
десятичными дробями.
II. ФУНКЦИИ.
5) Общее определение функции. Числовые функции действительного аргумента.
Способы задания и график функции. Арифметические операции над функциями. Композиция функций. Обратная функция. Ограниченность, монотонность периодичность функции.
6) Последовательность – как функция натурального аргумента. Определение степени
с действительным показателем. Степенная функция и её свойства.
7) Показательная и логарифмическая функция и их свойства.
8) Тригонометрические и обратные тригонометрические функции, их свойства.
III. ПРЕДЕЛ.
9) Определение предела последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности. Арифметические свойства
предела последовательности.
10) Теоремы о предельном переходе в неравенствах и о пределе промежуточной последовательности. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной и
ограниченной последовательности. Число Непера.
11) Подпоследовательности. Теорема о пределе подпоследовательности сходящейся
последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
12) Определение предела функции в точке. Предел функции по Гейне. Бесконечно
малые и бесконечно большие функции; их свойства и сравнение. Арифметические свойства предела функции, предел композиции.
13) Предельный переход в неравенствах. Предел отношения синуса к аргументу,
стремящемуся к нулю. Односторонние пределы функции. Асимптоты графика функции.
IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.
14) Определение непрерывности функции в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций: непрерывность линейной комбинации, произведения, частного и композиции. Непрерывность обратной функции. Непрерывность основных элементарных функций.
15) Односторонняя неперерывность. Точки разрыва и их классификация. Точки разрыва монотонной функции. Равномерная непрерывность функции на множестве. Свойства
функций, непрерывных на отрезке.
V. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНАЯ.
16) Определения дифференцируемости функции, производной функции в точке и их
связь. Непрерывность дифференцируемой функции. Производные основных элементарных функций. Геометрический и физический смыслы дифференцируемости и производной функции в точке.
17) Уравнение касательной к графику дифференцируемой функции. Правила дифференцирования: дифференцирование линейной комбинации, произведения, частного, композиции и обратной функции.
1
18) Дифференциал, его геометрический и физический смыслы. Инвариантность
формы дифференциала относительно замены переменной.
19) Производные и дифференциалы высших порядков. Параметрически заданные
функции и их дифференцирование.
VI. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ.
20) Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
21) Правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей.
22) Формула Тейлора. Приближенное вычисление значений функций с помощью
формулы Тейлора.
23) Экстремум функции. Исследование функции на возрастание, убывание и экстремум с помощью производной.
24) Выпуклые функции и точки перегиба. Критерий выпуклости дифференцируемой
функции. Необходимое и достаточное условия точки перегиба. Нахождение наименьшего
и наибольшего значений функций.
25) Параметрически заданные кривые. Нахождение касательных к параметрически
заданным кривым на плоскости. Кривые, заданные уравнением в полярных координатах.
VII. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
26) Определения первообразной функции и неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов основных элементарных функций. Свойства неопределенного
интеграла. Интегрирование по частям и заменой переменной в неопределенном интеграле.
27) Интегрирование рациональных функций. Интегрирование простейших иррациональных функций.
28) Подстановки Эйлера. Интегрирование тригонометрических функций.
VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.
29) Интегральные суммы Римана и определенный интеграл. Простейшие свойства
определенного интеграла. Ограниченность интегрируемой функции. Верхние и нижние
суммы Дарбу. Критерий интегрируемости. Аддитивность определенного интеграла.
30) Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции и ограниченной
функции, имеющей конечное множество точек разрыва.
31) Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
32) Понятие квадрируемой фигуры на плоскости и её площади. Свойства квадрируемых фигур. Критерий квадрируемости. Вычисление площади плоской фигуры с помощью
определенного интеграла. Нахождение площади криволинейной трапеции и криволинейного сектора, заданного уравнением в полярных координатах.
33) Понятие спрямляемой кривой на плоскости и ее длины. Вычисление длины гладкой кривой с помощью определенного интеграла. Понятие кубируемого тела в пространстве и его объёма. Вычисление объёма и поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла. Приложения определенного интеграла в естествознании.
34) Расширение понятия определенного интеграла на случай некомпактных промежутков и неограниченных функций. Несобственные интегралы их сходимость и свойства.
Необходимое и достаточное условие сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы.
IX. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.
35) Понятие числового ряда и его суммы. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Простейшие свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Гармонический
ряд. Ряд, порождённый геометрической прогрессией.
36) Положительные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда. Сравнение положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости.
2
37) Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютно
сходящиеся ряды и их свойства. Теорема о перестановке членов абсолютно сходящегося
ряда. Условно сходящиеся ряды. Теорема Римана.
X. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.
38) Область сходимости функциональной последовательности и функционального
ряда. Поточечная и равномерная сходимости. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Критерий равномерной сходимости. Достаточный
признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
39) Непрерывность предельной функции равномерно сходящейся последовательности и суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.
XI. СТЕПЕННЫЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ.
40) Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Промежуток и радиус сходимости
степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора функции. Разложение в ряд
Тейлора основных элементарных функций.
41) Определения тригонометрического ряда и ряда Фурье функции. Формулы для
коэффициентов ряда Фурье. Разложение в ряд Фурье кусочно-гладкой функции. Равномерная сходимость ряда Фурье. Неравенство Бесселя.
XII. ПРОСТРАНСТВО Rn.
42) Евклидово векторное пространство Rn.Расстояние между точками. Неравенство
Коши-Буняковского. Окрестности точек. Внутренние, предельные, граничные и точки
прикосновения множества из Rn. Открытые и замкнутые множества. Ограниченные множества. Связные множества.
43) Предела последовательности точек в пространстве Rn. Связь предела последовательности в Rn с пределами её координатных последовательностей. Ограниченность сходящейся последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Компактные множества.
Критерий компактности.
XIII. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
44) Функция нескольких переменных, её график и поверхноти уровня. Определение
предела и непрерывности отображения функции нескольких переменных. Основные свойства предела и непрерывных функций нескольких переменных. Равномерная непрерывность функции нескольких переменных. Свойства непрерывных функций на компактных
множествах.
XIV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
45) Определения дифференцируемости и частных производных функции нескольких
переменных. Дифференциал и его геометрический смысл. Касательная плоскость к графику дифференцируемой функции двух переменных. Непрерывность дифференцируемой
функции. Существование частных производных у дифференцируемой функции. Достаточное условие дифференцируемости. Свойства дифференцируемых функций.
46) Дифференцирование композиции. Производные по направлениям. Градиент
функции и его геометрический смысл. Частные производные высших порядков и условия
их независимости от порядка дифференцирования. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
47) Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Нахождение наибольших
и наименьших значений функции нескольких переменных. Неявно заданные функции и их
дифференцирование.
XV. КРАТНЫЕ ИНТЕГРААЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ.
48) Двойной интеграл и его основные свойства. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена
3
переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам в двойном интеграле.
49) Тройной интеграл и его основные свойства. Сведение тройного интеграла к повторному. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
50) Приложение двойного и тройного интеграла к вычислению объёма пространственного тела. Площадь поверхности и её вычисление с помощью двойного интеграла.
Приложения кратных интегралов в физике.
XVI. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
51) Задача о работе плоского силового поля. Определение криволинейного интеграла
и его свойства. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от
формы пути интегрирования. Восстановление функции нескольких переменных по её
дифференциалу. Приложения криволинейных интегралов.
XVII. МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА.
52) Сравнение бесконечных множеств. Равномощные и неравномощные множества.
Понятие мощности множества. Счётные множества и их свойства. Счётность множеств
рациональных и алгебраических чисел. Несчётность множества точек промежутков числовой прямой и множеств действительных, иррациональных и трансцендентных чисел.
Множества мощности континуум. Мощность множества подмножеств.
53) Существование множеств сколь угодно большой мощности. Континуальность
множества подмножеств счётного множества. Сравнение мощностей. Теорема КантораБернштейна. Континуальность множества всех непрерывных функций и гиперконтинуальность множества всех функций, заданных на промежутке.
XVIII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.
54) Понятие метрического пространства. Окрестности точек в метрическом пространстве. Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве. Компакты, их
замкнутость и ограниченность. Полные метрические пространства.
XIX. МНОЖЕСТВА НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ.
55) Замкнутые и открытые множества на прямой, их свойства. Совершенные множества. Строение открытых и замкнутых множеств. Канторово совершенное множество.
Точки конденсации. Мощность замкнутых и совершенных множеств.
XX. МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА.
56) Мера открытых и замкнутых множеств на прямой. Множества, измеримые по
Лебегу. Теоремы об измеримых множествах. Функции, измеримые по Лебегу, их основные свойства. Последовательности измеримых функций. Теорема Егорова. Теорема Лузина.
57) Интеграл Лебега от ограниченной функции и его основные свойства. Предельный переход под знаком интеграла Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Критерий интегрируемости по Риману ограниченной функции.
XXI. ПЛОСКОСТЬ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
58) Поле С комплексных чисел. Окрестности. Расширенная комплексная плоскость.
Сфера Римана. Стереографическая проекция.
59) Отображение из С в С; его действительная и мнимая части, предел, непрерывность и равномерная непрерывность. Дифференцируемость и производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Гармонические
функции и их связь с аналитическими функциями.
60) Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие конформного
отображения. Области однолистности аналитической функции.
61) Линейная и дробно-линейная функции. Степенная функция и радикал. Понятие
римановой поверхности. Степень с произвольным комплексным показателем. Показательная и логарифмическая функции. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
4
XXII. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
62) Интеграл от функции комплексного переменного по кусочно-гладкой кривой и
его основные свойства. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Теорема Мореры.
Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Теорема Лиувилля. Алгебраическая замкнутость поля С. Принцип максимума модуля.
XXIII. РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ.
63) Равномерная сходимость ряда аналитических функций. Степенные ряды. Круг
сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Ряд Тейлора. Разложение аналитической функции в степенной ряд.
64) Нули аналитической функции; их изолированность. Теорема единственности.
Понятие аналитического продолжения.
65) Обобщённые степенные ряды, их область сходимости. Разложение функции в
ряд Лорана. Изолированные особые точки функции; их классификация и характеристические свойства. Теорема Сохоцкого.
XXIV. ВЫЧЕТЫ.
66) Вычет аналитической функции. Вычисление вычетов. Теоремы о вычетах. Применение теории вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов.
Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше.
5