Часть 5. Числовые ряды. Составитель Макарчук Н.И.

Учебное пособие
Составила.Макарчук Н.И.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Основные понятия. Сходимость ряда
Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность
чисел u1, u2,…,un … , соединенных знаком сложения

u1+u2+…+un+…=  un
(*)
n 1
Чисела u1, u2,…,un …называются членами ряда, а un- общий член ряда (или n
-й член ряда).
Ряд ( *) называется заданным, если задан его общий член ряда un=f(n),
(n=1,2,…), т.е. задана функция f(n) натурального аргумента.
Например, ряд с общим членом un=
( 1) n 1
10n  1
имеет вид:
1 1
1
1
1
( 1) n 1
     ... 
+…
11 21 31 41 51
10n  1
Труднее (сложнее) по нескольким первым членам ряда написать общий член.
Эта задача может иметь бесконечно много решений, но иногда удается найти
самое естественное решение.
Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда:
S1=u1,
S2  u1  u2 ,
…….
S n  u1  u2  ...  un ,
S n 1  u1  u2  ...  un  un 1 , ...
n
S1 , S2 ,..., Sn называются частичными суммами ( S n   ui ).
i 1
Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный
Sn  S .
предел последовательности его частичных сумм, т.е. nlim

Число S называется суммой ряда.
Если конечного предела последовательности частных сумм не существует, то
ряд называется расходящимся.
Классический пример. Исследовать сходимость геометрического ряда, т.е.
ряда составленного из членов геометрической прогрессии
1
a  aq  aq 2  ...  aq n 1  ... 


aq n 1 .
n 1
Необходимо установить, при каких значениях знаменателя прогрессии q ряд
сходится и при каких значениях знаменателя прогрессии – расходится.
Из школьного курса алгебры известно, что Sn 
a(q n  1)
, где S n - n-ая
q 1
частичная сумма ряда, q – знаменатель прогрессии, q  1 .
Возможны случаи:
qn  0 .
1). Если q  1 , то nlim

 aq n
a
a
a 
 =
lim S n  lim 
, т.е. ряд сходится и его сумма равна S 
.

n 
n  q  1
1 q
q 1 1  q

2). Если
q  1 , то lim qn   , следовательно, lim Sn   , и ряд расходится.
n 
n 
3). Если q=1, то ряд имеет вид a+a+a+…+a+…, и его частичная сумма
S n  na , lim na   , т.е. ряд расходится.
n
4). Если q  1 , то при четном n частная сумма Sn  0 , при n нечетном Sn  a .
S n не существует, и ряд расходится.
Следовательно, nlim

Итак, геометрический ряд сходится к сумме S 
a
при q  1 и
1 q
расходится при q  1 .
В этом примере мы установили сходимость ряда, пользуясь непосредственно
определением сходимости и известной формулой для n-ой частичной суммы.
Sn .
Но очень часто трудно найти компактную формулу для S n , значит для nlim

В дальнейшем мы будем выяснять сходимость ряда, используя
признаки сходимости. Но прежде выясним, для чего нужно и важно знать
сходится ли ряд, даже если мы не умеем находить его сумму.
Рассмотрим сходящийся ряд S  u1+u2+…+un+…. Разность между
суммой ряда и его частичной суммой называется n- ым остатком ряда.
Остаток ряда в свою очередь есть сумма бесконечного ряда, обозначим её rn .
Имеем rn = S  Sn  un 1  un  2  ... . Исходный ряд (по условию) сходится, т.е.
lim S n  S . Следовательно, rn  S  Sn   как угодно мала, если n достаточно
n
велико. Т.о. мы всегда имеем возможность приближенно подсчитать сумму
исходного ряда, взяв достаточно большое число n первых членов.
Однако большую трудность представляет выяснение величины возникающей
ошибки. Иногда можно оценить величину ошибки.
Напомним, что расходящийся ряд суммы не имеет.
2
Свойства сходящихся рядов.
1 0 . Если ряд u1+u2+…+un+… сходится и имеет сумму S , то ряд
 u1+  u2+…+  un+… (где   число) также сходится и имеет сумму S .
S n  S , lim S n  S (см. свойства пределов числовой
Доказательство: nlim

n 
последовательности).
20. Если ряды u1+u2+…+un+… и v1+v2+…+vn+… сходятся и их суммы
соответственно равны S1 и S 2 , то ряд (u  v1 )  (u2 v 2 )  ...  (un  vn )  ...
сходится и его сумма равна S1  S 2 .
Доказательство:


n 1
( un  vn ) =


n 1

un +

n 1
vn = S1  S 2 .
30. Если ряд сходится, то сходится ряд, полученный из данного путем
отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.
Доказательство: Пусть дан сходящийся ряд u1+u2+…+un+… . Выбросим из
него конечное число членов (например, u2 , u8 , u11, u15 , на их место поставим
нули). Тогда при n>15 частичные суммы обоих рядов отличаются на
постоянное слагаемое u2  u8  u11  u15  c . И если существует предел частной
S n  S , то существует частная сумма второго ряда
суммы одного ряда nlim

lim Sn' , т.к.
n 
'
S n  S n  c . Тогда lim Sn' = lim ( Sn  c) = lim S n  c = S  с .
n 
n
n
Следствие. Если сходится ряд, то сходится и любой его остаток, и
наоборот.
Это означает, что ряд un 1  un  2  ...  un  m  ... 

u
m 1
mn
сходится.
Ряд un 1  un  2  ...  un  m  ... называется n – ым остатком исходного ряда
u1+u2+…+un+ un 1  ... .Если обозначить остаток через rn =
ряда


n 1

u
m 1
mn
, то сумму
un можно представить как S  S n  r n .
40. Из свойства 30 вытекает необходимый признак сходимости ряда.
Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена un при n  
равен нулю, т.е. nlim
un = 0.

Доказательство. Sn  u1  u2  ...  un  Sn 1  un , или un  Sn  Sn 1 , т.к. ряд
S n = lim S n 1 = S , поэтому lim un = lim S n - lim S n 1 = S  S  0 .
сходится, то nlim

n
n
n
n
3
Замечание. Теорема выражает необходимый, но не достаточный признак
сходимости ряда: т.е. если nlim
un = 0 , то из этого не следует обязательная

сходимость ряда. Ниже будет приведен пример ряда (гармонического ряда),
у которого предел общего члена un при n   равен нулю, т.е. nlim
un = 0 ,

а ряд расходится.
Следствие из свойства 40 – достаточный признак расходимости ряда:
Если предел общего члена ряда u1+u2+…+un+… при n   не равен нулю,
т.е. nlim
un  0 , то ряд расходится.

Доказательство. Предположим противное, т.е. ряд


n 1
un сходится. Тогда по
теореме свойства 40 nlim
un = 0, что противоречит условию. Следовательно,

исходный ряд


n 1
un расходится.
Рассмотрим гармонический ряд


n 1
1
1 1
1
= 1+   ...   ... .
n
2 3
n
1
 0.
Для этого ряда nlim
u
n = lim

n n
Покажем, что ряд расходится.
1 1
2 3
1 1
1
Sт  1    ...  .
2 3
n
1
n
Рассмотрим частичную сумму S2n  1    ...  
и частичную сумму
1
1
 ... 
n 1
2n
1
1
 ... 
, заменим в выражении каждое слагаемое наименьшим
n 1
2n
1
1
1
1
1
1
1
1
n
1

,

,... ) , получим S 2 n  S n >

 ... 

 .
, (т.к.
2n
n  1 2n n  2 2n
2n 2n
2n 2n 2
S2n  Sn =
S 2 n = lim S n = S, S  S  0 . Но у нас
Предположим, что ряд сходится, тогда nlim

n
1
2
получилось, что nlim
( S2 n  Sn ) = 0  . Пришли к противоречию, наше

предположение неверно, следовательно, гармонический ряд расходится.
Достаточные признаки сходимости.
Будем рассматривать ряды с положительными членами

u
n 1
n
.
10. Признак сравнения.
Пусть даны два ряда с положительными членами:

 un (1) и
n 1

v
n 1
n
(2),
4
причем un  vn . Тогда: 1. если сходится ряд (2)

v
n 1
n
, то сходится ряд (1)

u
n 1
n
;
2. если расходится ряд (1), то расходится ряд (2).
Доказательство. 1. Пусть частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно
равны s n и S n . По условию ряд (2) сходится, т.е. существует предел nlim
Sn = S

и s n  S n , т.к. члены ряда положительны. Рассмотрим последовательность
частичных сумм ряда (1). Эта последовательность будет возрастающей, т.к.
un  0 , s1  s2  ...  sn  ... , и ограниченной в силу условия un  vn , т.е. s n  S n  S .
Следовательно, последовательность частичных сумм (1) ряда sn  имеет
предел, т.е. ряд (1)

u
n 1
n
сходится.
2. Для доказательства второго положения применим метод от противного:
предположим, что ряд(2) сходится. Тогда согласно первой части свойства 10
ряд (1) должен сходиться, но это противоречит условию. Следовательно,
наше предположение не верно, и ряд (2) расходится.
Замечание. Т.к. сходимость ряда не изменится при отбрасывании конечного
числа членов ряда, то условие un  vn необязательно должно выполняться с
первых членов рядов и только для членов с одинаковыми номерами n .
Достаточно, чтобы оно выполнялось, начиная с некоторого номера n  k , или
чтобы имело место неравенство un  vm  n , где m некоторое целое число.
20. Предельный признак сравнения.
Если для двух рядов

 un (1) и
n 1

v
n 1
n
(2) с положительными членами
существует конечный предел отношения их общих членов nlim

un
 k  0 , то
vn
ряды одновременно сходятся и расходятся.
Доказательство. Т.к.
un
 k , то по определению предела числовой
vn
последовательности для любого   0 существует такой номер N, что для
всех n > N выполняется неравенство
получим (k   ) vn  un  (k   ) vn . Ряд
un
 k   или un  kvn   vn , откуда
vn

 (k   ) vn = (k   )
n 1

v
n 1
n
. Тогда если
5
сходится ряд

v
n 1
n
, то сходится ряд
n 1
u
n
n 1

u
n 1
ряд
n
, в силу признака сравнения 10

будет сходится и ряд
Если сходится ряд

 (k   ) v
n
.
, то будет сходиться ряд


= (k   )  vn и
 (k   ) v
n
n 1
n 1

v
n 1
n
.
Утверждение о расходимости рядов доказывается аналогично.
Пусть расходится ряд

u
n 1
. Тогда расходится ряд
n

v
v
n 1
n
n
= (k   )  vn ,


 (k   ) v
n 1
следовательно, расходится ряд
n 1
.
. Тогда расходится ряд
n
= (k   )  vn ,

n 1
Пусть расходится ряд
n
n 1
следовательно, расходится ряд


 (k   ) v
n 1

u
n 1
n
.
30. Интегральный признак сходимости.
Пусть дан ряд

u
n 1
n
, члены которого положительны и не возрастают, т.е.
u1  u2  ...  un  ... , функция f (x) определенная при x  1 , непрерывная,
невозрастающая и f (1)  u1 , f (2)  u2 ,..., f (n)  un ,.../
Тогда для сходимости ряда

u
n 1
несобственный интеграл
n
необходимо и достаточно, чтобы сходился

 f ( x)dx .
1
(Признак принимается без доказательства).
Пример 1.
Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда


n 1
Пусть f ( x) 
1
.
n
1
. Функция f (x) при x  0 , а значит и при x  1 , положительна
x
и невозрастающая, точнее убывающая. Поэтому сходимость ряда
равносильна сходимости несобственного интеграла

1
 x dx . Имеем
1

1
несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом   dx = blim

x
1
b
1
 x dx .
1
6
Если   1, то

1
1 x dx = blim

b
1
x
dx = lim [ ln x | 1b ] = lim ln b  ln 1   , данный ряд
b
1
b
расходится
Если   1, то

1
1
 x dx = 1  
1
lim [ x1 |1b ] =
b


1
lim b1  1 =
b
1   
, если   1 , ряд расходится и
1
=
, если   1 , ряд сходится.
 1
=
Пример 2. Исследовать сходимость ряда 1 
1
1
1

 ... 
 ...
2
23 33
n  3 n 1
Решение. Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом
1
1 1
1
1
 2  ...  n 1  ... (при q = < 1). Этот ряд сходится, т.к. q < 1.
3 3
3
3
Начиная со второго члена, все члены данного ряда меньше членов
1
1
1
1
1
1
 ,
 2 , ...,
 n 1 ... ).
2
n 1
23 3 33
3
n3
3

1
На основании признака сравнения 10 ряд 
сходится.
n 1
n 1 n 3
сходящегося геометрического ряда (
Пример 3. Исследовать сходимость ряда


n 1
2n 2  5
(1).
n3
Решение. Сравним данный ряд (1) с расходящимся гармоническим рядом


n 1
1
(2) . Для исследования сходимости ряда(1) воспользуемся предельным
n
признаком сравнения 20. Т.к. nlim

un
2n 2  5 n
2n 2  5
lim

= nlim
(
)
=
=2  0 .

n
1
vn
n3
n2
Но ряд (2) – расходящийся гармонический ряд, поэтому данный ряд (1) тоже
расходится.
Нестандартность применения признаков сравнения заключается в подборе
соответствующего «эталонного» ряда, и иногда требуется преобразование
рядов (отбрасывание или приписывание конечного числа членов, умножение
на числа и т.п.)
Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:
1.
Геометрический ряд


aq n 1 .
n 1
Сходится при q  1 и расходится при q  1 .
2.
Гармонический ряд


n 1
1
. Расходящийся ряд.
n
7
3.
Обобщенный гармонический ряд


n 1
1
.
n
Ряд сходится, если   1 .
Ряд расходится, если   1 .
Пример 4.
Найти сумму ряда

1
1
1
1
 n(n  1) = 1  2  2  3  ...  n(n  1)  ... .
n 1
Частичная сумма ряда
1   1
1 
1
n
 1 1 1
1
S n  1        ...   


.

  1
n 1 n 1
 2  2 3
 n n  1  n 1 n  2 
n
lim S n 
 1 , т.е. сумма ряда S  1 .
n
n 1
Этот ряд можно использовать для доказательства сходимости обобщенного
гармонического ряда

1
n
n 1
2
(при   2) , т.к.
1
1
 2.
т(т  1) n
40. Признак Даламбера.
Пусть для ряда

u
n 1
n
с положительными членами существует предел
отношения (n+1)-го к n-му члену nlim

un 1
k.
un
Тогда, если k  1 , то ряд сходится;
если k  1 , то ряд расходится;
если k  1 , то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.
Доказательство. Из определения предела последовательности следует, что
для любого   0 существует такой номер N, что для всех n>N выполняется
неравенство
u
un 1
 k   или k    n 1  k   .
un
un
1. Рассмотрим эти неравенства при k  1 . Выберем  настолько малым,
что число q  k    1 , т.е.
un 1
 q или u n1  q u n . Последнее
un
неравенство будет выполняться для всех n>N , т.е. для n  N  1, N  2,... :
u N  3  qu N  2  q 2u N 1
uN  2  quN 1 ,
……………………………
u N  m  qu N  M 1  q m 1u N 1 .
Получим, что члены ряда uN  2  uN  3  ...  uN  m  ... будут меньше членов
геометрического ряда qu N 1  q u N 1  ...  q m 1u N !  ... , сходящегося при q  1 .
8
На основании ранее рассмотренного признака о сравнении рядов этот ряд
сходится, а значит, сходится и ряд

u
n 1
n
, который отличается от
полученного на первые N  1 членов.
2. Пусть k  1 . Возьмем настолько малым  , что k    1 .Тогда из условия
1 k  
un 1
u
следует, что n 1  1 или uN 1  uN , а это означает, что
un
un
члены ряда возрастают, начиная с номера N  1 , поэтому предел общего
члена не равен нулю, т.е. не выполняется необходимый признак
сходимости. Ряд расходится.
un 1
  , то ряд расходится.
un
u n 1
 1 , то рекомендуется рассмотреть другие
Замечание 2. Если nlim
 u
n
Замечание 1. Если nlim

признаки сходимости.
50. Радикальный признак Коши.
Пусть для ряда

u
n 1
lim
n
n
n
с положительными членами существует предел
un  q .
Тогда если 0  q  1 , то ряд сходится;
если q  1 , то ряд расходится.
При q  1 сказать о поведении ряда ничего нельзя.
Доказательство. Если 0  q  1 , то un  q n  1 общий член нашего ряда будет
меньше общего члена бесконечного геометрического ряда, который сходится
при q  1 . Следовательно, наш ряд при q  1 сходится.
Если q  1 , то n un = q  1 равносильно un  q n или un  1 для всех n. Из
свойств сходимости ряда общий член должен стремиться к нулю при n   .
Следовательно, ряд расходится.
60. Признак Раабе.
Пусть для ряда

u
n 1
n
с положительными членами существует предел
 u

lim n  n  1  k .
 un 1 
Тогда, если k  1 , то ряд расходится;
если k  1 , то ряд сходится;
если k  1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
n
9
Пример 5.
Исследовать сходимость ряда

3n n!
.

n
n 1 n
Члены этого ряда положительны, тогда воспользуемся признаком Даламбера:
n


 1 
u n 1
3n 1 (n  1)!n n
3n n
 n 

 =
lim
 lim
= nlim
=3 nlim

 =3 nlim
n u
n   ( n  1) n 1 3n n!
  ( n  1) n

 
1
n

1



n
1 
n

3
1
1
=3 nlim
=3
= >1, т.е. ряд расходится.
n
n

e
 1
 1
lim 1  
1  
n
 n
 n
Пример 6.
Исследовать сходимость ряда

n
2
n 1
n
.
Члены этого ряда положительны, тогда воспользуемся признаком Даламбера:
lim
n
n 1 1
u n 1
(n  1)2 n
lim
 lim
=
= <1.
n

1
n
n   2n
2
un
2 n
Ряд сходится.
Пример 7.
Исследовать сходимость ряда


 sin 2n .
n 1
Члены этого ряда положительны, т.к. 0<
0  sin

2
n


2
n
( т.к. sin x  x при 0  x 

2

2
n


2
при любом n и
). Тогда воспользуемся признаком
1
2
сравнения со сходящимся геометрическим рядом при q =  1 .
Ряд сходится.
Пример 8.
Исследовать сходимость ряда

1
 (ln n)
n 1
n
.
Члены этого ряда положительны, тогда воспользуемся радикальным
признаком Коши:
lim
n
n
un  lim
n
1
= 0<1,
ln n
ряд сходится.
10
Пример 9.

n !e n
.

n p
n 1 n
Исследовать сходимость ряда
Члены этого ряда положительны, воспользуемся признаком Рабе.
 u

 u



Пусть р=0. Тогда nlim
n  n  1  lim n  (1  ) n  1  0  1, ряд расходится.

n
n
e

 un 1 
1
1


Пусть р=1. Тогда nlim
n  n  1  lim n (1  )  1  1 , поведение ряда

n


n


 un 1 
неизвестно.
1
Рассмотрим признак Даламбера при р=1: nlim

 n 
=e nlim



n2
 n 1
 n 1 1
 e lim 

n
 n 1 
n 1
u n 1
en n 1
 lim

n   ( n  1) n 1
un
1 

 e lim 1 

n
 n 1
n 1

е
 1 . В этом случае
е
ничего нельзя сказать о сходимости ряда.
 1  1 n  1 2 
 un

Пусть р=2.По признаку Раабе nlim
n 
 1  lim n  1   1    1 

n
 e  n   n 
 un 1 

 1  2 
 2 1

1    1 = lim n 1   2  1  2  1 , ряд сходится.
= nlim
n



n


 n n

 n 

Пример 10.
Исследовать сходимость ряда:
1
1
1

 ... 
 ...
2 1
3 2
n(n  1)
Члены этого ряда положительны, тогда воспользуемся признаком сравнения
Т.к.
1
1
 ,
2 1 2

1
, мысленно отбросив первый член, равный 1.
n
n 1
1
1
1
1
 ,...,
 ,... ,
3 2 3
n(n  1) n
с гармоническим рядом

то из расходимости гармонического ряда следует расходимость данного ряда.
Знакочередующиеся ряды
Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены
попеременно то положительные, то отрицательные:
u1  u2  u3  ...(1) n 1 un  ... или в общем случае
 (u1  u2  u3  ...(1) n 1 un  ... ),
где un  0 .
(*)
11
Теорема ( признак Лейбница).
Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной
величине u1  u2  u3  ...  un  ... и предел его общего члена при n   равен
нулю, т.е. nlim
un = 0, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого

члена: S  u1 .
Доказательство. Рассмотрим последовательность частичных сумм четного
числа членов n  2m : S2m  (u1  u2 )  (u3  u4 )  ...  (u2m 1  u2m ) .
Эта последовательность возрастающая, т.к. с ростом n  2m увеличивается
число положительных слагаемых, и ограничена, т.к. S2m  u1 :
S2m  u1  (u2  u3 )  ...  (u2 m  2  u2m 1 )  u2 m  u1 .
На основании теоремы из теории пределов (если монотонно возрастающая
последовательность ограничена, то она имеет предел) последовательность
частичных сумм имеет предел nlim
S 2m =S, т.е. ряд сходится, что требовалось

доказать.
Заметим, что перейдя пределу в неравенстве S 2 m  u1 , получим S  u1 .
Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного
числа членов n  2m  1: S2m 1  S2m  u2m 1 . nlim
S 2m 1  lim S2 m  lim u2 m 1 =S+0=S.

n
n
Т.к. знаки у членов ряда чередуются, то S1  S 2 , S 2  S3 , ..., и
S2 m  S  S2 m 1 , т.е. частичные суммы, приближаясь к своему пределу, будут по
очереди то больше, то меньше суммы ряда.
Если перед всем рядом (*) поставить знак «-», то получим
S2 m  S  S2 m 1 , т.е. S  u1 .
Рассмотрим ряд с произвольным распределением знаков их членов.
Теорема. (Достаточный признак сходимости).
Если ряд , составленный из абсолютных величин членов данного ряда,
сходится, то сходится и данный ряд, т.е. сходимость ряда

u
n 1
сходимость
n
влечет

u
n 1
n
.
Доказательство. Рассмотрим частичные суммы ряда: Sn  u1  u2  ...  un ,
S n - сумма положительных членов ряда среди первых n членов ряда,
S n - сумма абсолютных величин всех отрицательных членов ряда среди
первых n членов ряда.
Тогда Sn  S n - S n и  n  S n + S n , где  n  u1  u2  ...  un .
Т.к. по условию ряд из абсолютных величин членов данного ряда сходится,
 n , а S n и S n - положительные и возрастающие
то  n имеет предел  = nlim

12
функции от n , причем S n   n <  и S n   n <  , то они имеют пределы,
поэтому Sn  S n - S n имеет предел при n   , что требовалось доказать.
Определение. Ряд, абсолютные величины членов которого образуют
сходящийся ряд, называют абсолютно сходящимся рядом.
Определение. Если ряд сходится , а ряд , составленный из абсолютных
величин его членов, расходится, то ряд называют условно сходящимся.
Достаточный признак сходимости ряда не является необходимым признаком.
(1)n 1
Примером может служить ряд 
, условно сходящийся ряд (по теореме
n
n 1

Лейбница), тогда, как ряд, составленный из абсолютных величин его гармонический ряд

1
n
, расходится.
n 1
Теорема Лейбница позволяет в случае, когда она применима, установить не
только сходимость ряда, но и оценить ошибку, допускаемую при
отбрасывании всех членов ряда, начиная с некоторого номера. Обозначим
через rn  (un 1 u n  2 un  3  ...) остаток знакочередующегося ряда, после
отбрасывания n членов ряда. Остаток представляет собой ряд,
удовлетворяющий теореме Лейбница, поэтому его сумма по абсолютной
величине rn  un 1 /
1
2
1
3
1
4
Например, по теореме Лейбница. ряд 1     ... 
(1) n 1
 ... 
n
(1)n 1

n
n 1

сходится (условно), его сумма равна ln 2 . Предельная абсолютная ошибка
1
1 1 1
(1) n
приближенного равенства ln 2  1     ... 
равна . Это указывает
n
2 3 4
n 1
на плохую сходимость ряда.
Разграничение на абсолютную и условную сходимость рядов является весьма
существенным.
Оказывается, что свойства конечных сумм переносится только на абсолютно
сходящиеся ряды; условно сходящиеся ряды этим свойством не обладают.
Замечание 1. Абсолютно сходящиеся ряды обладают, как и обычные суммы
конечного числа слагаемых, переместительным свойством: при любой
перемене мест членов абсолютно сходящегося ряда он остается абсолютно
сходящимся и с той же суммой.
Это свойство отсутствует у условно сходящегося ряда: переставляя
члены такого ряда, можно добиться, что сумма ряда изменится.
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
Например. Условно сходящийся ряд S= 1         ... .
13
1 1 1 1
1
1
1 1
1
Переставим члены ряда S= 1          ... =     ... =

1
2
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
2
4
3
1
8
6 8
2
4
6
8
1
2
= ( 1         ... )  S= S , т.е. уменьшили сумму вдвое.
Замечание 2. Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать.
Имеет место теорема, которую приведем без доказательств.
Теорема .

Если ряды (1) S1 =  u n и (2) S2 
n 1

v
n
n 1
абсолютно сходятся, то их
произведение есть тоже абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна
произведению сумм сомножителей S= S1 + S 2 .
Задания для самостоятельной работы.
1. Исследовать сходимость рядов:
1
1
1


 . .
1 4 2  5 3  6
1
1
1
Выяснить вопрос о сходимости ряда и найти сумму ряда


 . .
2 3 3 4 4  5
Выяснить вопрос о сходимости ряда и найти сумму ряда


n 1
n 1


n3
n1

3n

n
n 1 n  2
n 1

n 1 ( n  2) n



1

n 2 ln n


n 1

ln n

n  2 ln n  2

1
n(n  1)
3n n!

n
n 1 n
n

100 n

n 1 n!
1

2
n 1 n ln n

nn

n
n 1 n!3
nn
.

n
n 1 3 n!


(1) n1

n 1
n 1 2

n 1
n3
.

n
n 1 2
10

n
n 1 n  3

n100

n
n 1 2

n2
.

n 1 n !


n2
.

n
n1 3

1

2
n  2 n(ln n)

1
.

n  2 ln( n  1)
n
.
en

3n

n
n 1 n


n2
n 1

n 1

n!

n
n 1 8
n 1
n

nn

n
n 1 n!2


x
(1  cos )

n
n 1
1
 n!
n 1

1
n
1
n
n2
n
n(n2  1)
n 1

1
.

n
n  2 ln (n  1)
1

3
2 n1
1

n 1  n
n

3

10n  11

n  2 100 n  3

1



n!
n
n 1
n

2n n!

n
n 1 n
(2n  1)!!
2n!!
n 1

1+ 
14
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость рядов
( 1) n1

n
n 1 n  5
( 1) n1

n3
n 1
( 1) n1

3n
n 1
(1) n

n2 ln n
( 1) n ln n

n
n 2
( 1) n1

n 1 10n  1
( 1) n1

n
n 1
( 1) n1

3n
n 1
(1)n

n 1 n ln n
(1) n

n 1 n  ln n










( 1) n1

n
n 1 n  5


 (1) n1
n 1

 (1)n 1
n 1
n
n 1
( 1) n1

n3
n 1

1
n
2n  1
2n


n 1

 (1)
n 1

(1) n 1
2n  1
n 1
( 1) n1 n10

en
n 1

1
 (1) n1
(1) n 1

2
n 1 ( 2n  1)

n2
2n
(1)n 1

np
n 1

15