i ≤ n - alenn.ru

10 класс, Каталан + кое-что еще
1. Множество состоит из n+1 элементов, расположенных в заданном порядке. Разбиваем
множество на две непустых части (важно их расположение, например, левая и правая).
Каждую из частей снова разбиваем на две части и так далее. Сколько существует способов
провести такой процесс?
2. Давайте вспомним, что такое правильная скобочная последовательность (или спросите).
Найдите число правильных скобочных последовательностей длины 2n.
Даже если вы не можете решить эти задачи, докажите, что в них получаются одинаковые
ответы.
3. Обозначим
через
Tn
количество
разных
процессов
разбиения.
Выразите Tn через Tn–1, Tn–
2,... T1, T0, КАК НИБУДЬ!
Числа Tn называются числами Каталана.
4. Докажите, что число путей из точки (0, 0) в точку (n, n) по линиям клетчатой бумаги, идущих
вверх и вправо и не поднимающихся выше прямой y = x, равно Tn.
5. Докажите, что число способов расставить 2n человек разного роста в две шеренги так, чтобы
в каждой шеренге люди стояли по убыванию роста и каждый человек первой шеренги был
бы выше стоящего за ним человека второй шеренги, равно Tn.
6. В окружность вписан правильный 2nугольник. Докажите, что количество
способов
попарно
соединить
вершины этого многоугольника так,
чтобы проведенные отрезки не
пересекались, равно Tn.
7. Докажите, что количество плоских корневых деревьев (деревьев с выделенной вершиной),
содержащих n+1 вершину, равно Tn.
8. Докажите, что число бинарных деревьев с n+1 листьями равно Tn. Бинарным называется
дерево с выделенной вершиной (корнем)
степени 2, все остальные вершины
которого имеют степень 1 или 3.
9. Докажите, что число способов
разбить выпуклый (n + 2)-угольник на
треугольники непересекающимися
диагоналями равно Tn.
Указание: попробуйте поместить в
один из треугольников корень дерева, а все остальные треугольники сопоставить какимто другим вершинам.
10. Докажите, что число параллеломино (т.е. пар путей, начинающихся в точке (0,0),
заканчивающихся в одной и той же точке, идущих только вверх и вправо и не
пересекающихся в других точках) периметра 2n+2 равно Tn.
11. а) Посчитайте двумя способами мощность множества пар «триангуляция – диагональ
триангуляции»:
б) Воспользуйтесь рекуррентным соотношением, полученным в задаче 3, и получите
тождество (n–1)Tn = (n+2)(Tn+1 – 2Tn )/2.
в) Найдите отношение Tn+1 и Tn, а следом и явную формулу12. Найдите суммы а) 1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1. б) Sn,k = [1·2·...·k]·[n(n – 1)...(n – k + 1)] +
[2·3·...·(k + 1)]·[(n – 1)(n – 2)...(n – k)] + ... + [(n – k + 1)(n – k + 2)...·n]·[k(k – 1)...·1].
13.
Функции
a,
b
и
c
заданы
рядами
Докажите, что a3 + b3 + c3 –
3abc = (1 + x3)n.
14. Переменные x и y связаны равенством x = y + y2/2!+y3/3!+…+yn/n!+… Разложите y по
степеням x.
15. Найдите общую формулу для коэффициентов ряда (1 – 4x)+...
16. а) Докажите, что
берется по всем целым i, 0 ≤ i ≤ n/2).
= 1 + 2x + 6x2 + 20x3 +...+ anxn
(сумма
б)Докажите, что если p и q – различные числа и p + q = 1, то
17. Требуется сделать набор гирек, каждая из которых весит целое число граммов, с
помощью которых можно взвесить любой целый вес от 1 грамма до 55 граммов
включительно даже в том случае, если некоторые гирьки потеряны (гирьки кладутся на одну
чашку весов, измеряемый вес - на другую). Рассмотрите два варианта задачи: а) необходимо
подобрать 10 гирек, из которых может быть потеряна любая одна; б) необходимо подобрать
12 гирек, из которых могут быть потеряны любые две.
18. Имеется набор гирь, веса которых в граммах: 1, 2, 4,... , 512 (последовательные степени
двойки) – по одной гире каждого веса. Груз разрешается взвешивать с помощью этого
набора, кладя гири на обе чашки весов. а) Докажите, что никакой груз нельзя взвесить этими
гирями более чем 89 способами. б) Приведите пример груза, который можно взвесить ровно
89 способами.