Уравнения математической физики ПМ

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет прикладной математики и кибернетики
Программа дисциплины
Уравнения математической физики
для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
Автор программы:
Новикова Е.М., к.ф.-м.н., доцент, emnovikova@hse.ru
Одобрена на заседании кафедры прикладной математики «30» июня 2014 г.
Зав. кафедрой
Карасев М. В.
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Уравнения математической физики»
для направления подготовки бакалавра 231300.62 Прикладная математика
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 231300.62 «Прикладная математика», изучающих
дисциплину «Уравнения математической физики».
Программа разработана в соответствии с:
 ФГОС 231300 Прикладная математика 62 бакалавр.
 Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 231300.62 «Прикладная математика», утвержденным в 2014 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Уравнения математической физики» являются:
 изучение математических основ моделирования физических процессов;
 обучение основным методам аналитического решения линейных дифференциальных уравнений с частными производными.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать
- основные типы уравнений математической физики и методы их вывода из физических
моделей;
- методы точного решения базовых уравнений математической физики;
- понятие фундаментального решения (функции Грина);
- основные типы специальных функций.
 Уметь решать уравнения с частными производными:
- первого порядка,
- диффузии (теплопроводности),
- волновое,
- Лапласа.
Иметь навыки решения уравнений с частными производными:
- первого порядка,
- диффузии (теплопроводности),
- волнового,
- Лапласа.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:





А) общекультурные (ОК):
владеть культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации (ОК1);
уметь логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь (ОК-2);
готовностью к кооперации с коллегами (ОК-6);
способностью оформлять, представлять и докладывать результаты выполненной работы (ОК14);
уметь создавать и редактировать тексты профессионального назначения (ОК-15);
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Уравнения математической физики»
для направления подготовки бакалавра 231300.62 Прикладная математика
 способностью использовать для решения коммуникативных задач современные технические
средства и информационные технологии (ОК-16).





4
Б) профессиональные (ПК):
готовность к самостоятельной работе (ПК-1);
способность использовать современные прикладные программные средства и осваивать современные технологии программирования (ПК-2);
знать основные положения, законы и методы естественных наук (ПК-11);
готовность применять математический аппарат для решения поставленных задач (ПК-12);
способность самостоятельно изучать новые разделы фундаментальных наук (ПК-14).
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к базовой части математического и естественнонаучного
цикла дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Математический анализ.
 Линейная алгебра и геометрия.
 Физика.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
- знание основ физики, математического анализа и теории обыкновенных дифференциальных уравнений,
- умение дифференцировать и интегрировать функции нескольких переменных, решать
простейшие дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, разлагать
функции в ряды Фурье,
- быть способным применять упомянутые знания и умения для анализа конкретных
функций в простейших физических задачах.
5
Тематический план учебной дисциплины
Всего
часов
№
Название раздела
1
Уравнения с частными производными первого
порядка
Обобщенные функции
Уравнение теплопроводности
Асимптотические методы
Волновое уравнение
Уравнение Лапласа
Итого
2
3
4
5
6
6
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
72
18
18
36
32
48
24
64
48
288
8
12
6
16
12
72
8
12
6
16
12
72
16
24
12
32
24
144
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля Форма контроля
Текущий
Проверка выполнения заданий для самостоятельной
подготовки к семинарам
Самостоятельная
работа
3 курс
1, 2, 3, 4 модули
Постоянно в течение
года
Параметры
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Уравнения математической физики»
для направления подготовки бакалавра 231300.62 Прикладная математика
Текущий
1-ая контрольная работа
В конце 1-го модуля
Письменная работа
Текущий
1-ое домашнее задание
В начале 2-го модуля
Письменная работа
Текущий
2-ая контрольная работа
В конце 2-го модуля
Письменная работа
Текущий
2-ое домашнее задание
В начале 3-го модуля
Письменная работа
Текущий
3-е домашнее задание
В конце 3-го модуля
Письменная работа
Текущий
3-я контрольная работа
В 4-м модуле
Письменная работа
Итоговый
Курсовая работа
В 3-ем модуле
Письменная работа
Итоговый
Экзамен
В конце 4-го модуля
В устной форме
6.1
Критерии оценки знаний, навыков
Порядок формирования оценок по дисциплине
Выполнение студентами текущих заданий для самостоятельной подготовки к семинарам учитывается в рабочей ведомости и составляет оценку О[текущий сам.].
Накопленная оценка О[накопленная] за текущий контроль учитывает
результаты выполнения студентом
- трех контрольных работ О[i-ая контрольная] (i=1, 2, 3),
- трех домашних заданий О[i-ое домашнее задание] (i=1, 2, 3),
- текущих заданий для самостоятельной подготовки О[текущий сам.]
следующим образом:
О[накопленная]=О[текущий сам.] + ∑(0,2 О[i-ая контрольная]+0,1 О[i-ое домашнее задание]).
Итоговая оценка по курсу выставляется по следующей формуле:
Оитоговая = 0,5 О[экзамен] + 0,5·О[накопленная].
где О[экзамен] – оценка за работу непосредственно на экзамене.
Таблица соответствия оценок по десятибалльной и пятибалльной системе
По десятибалльной шкале
1 – неудовлетворительно
2 – очень плохо
3 – плохо
4 – удовлетворительно
5 – весьма удовлетворительно
6 – хорошо
7 – очень хорошо
8 – почти отлично
9 – отлично
10 – блестяще
7
По пятибалльной системе
неудовлетворительно – 2
удовлетворительно – 3
хорошо – 4
отлично – 5
Содержание дисциплины
Раздел 1. Уравнения с частными производными первого порядка
Классификация уравнений с частными производными первого порядка. Решение линейных
и квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка. Задача Коши для
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Уравнения математической физики»
для направления подготовки бакалавра 231300.62 Прикладная математика
линейного и квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка. Метод
характеристик. Геометрический смысл решения. Интегрирование уравнения неразрывности. Нелинейные уравнения с частными производными первого порядка. Уравнение Гамильтона-Якоби. Система Гамильтона. Задача Коши для нестационарного уравнения Гамильтона-Якоби. Геометрическая интерпретация решения. Лагранжевы поверхности. Задача Коши для стационарного уравнения Гамильтона-Якоби.
Литература по разделу: 1), 2), 3) из основного списка литературы; 5), 9), 10) из дополнительного
списка литературы раздела 10.
Раздел 2. Обобщенные функции
Основные определения и примеры. Операции с обобщенными функциями. Производная
кусочно-гладкой функции. Обобщенные решения дифференциальных уравнений. Свертка
обобщенных функций. Преобразование Фурье обобщенных функций. Фундаментальные
решения дифференциальных операторов.
Литература по разделу: 2) из основного списка литературы; 3), 6), 7), 9) из дополнительного списка литературы раздела 10.
Раздел 3. Уравнение теплопроводности
Физическая модель, вывод уравнения теплопроводности (диффузии), а также задачи
Коши и краевых задач для уравнения теплопроводности. Фундаментальное решение.
Формула Пуассона. Краевые задачи. Принцип максимума и его следствия. Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности на отрезке с краевыми условиями
первого и второго рода. Решение уравнения теплопроводности в цилиндре методом разделения переменных. Функции Бесселя. Решение уравнения Теплопроводности в шаре
методом разделения переменных.
Литература по разделу: 1), 2), 3) из основного списка литературы; 3), 6), 7), 9) из дополнительного
списка литературы раздела 10.
Раздел 4. Асимптотические методы
Метод ВКБ для уравнения Шредингера, метод стационарной фазы, асимптотика решения в окрестности фокальной точки.
Литература по разделу: 1), 2), 3) из основного списка литературы; 5), 9) из дополнительного списка литературы раздела раздела 10.
Раздел 5. Волновое уравнение
Вывод волнового уравнения из уравнения колебаний решетки; из уравнения попе
речных колебаний. Одномерное уравнение; формула Даламбера на оси. Решение
волнового уравнения на полуоси с краевыми условиями I, II и III рода. Формулы
Дюамеля. Метод разделения переменных для волнового уравнения на отрезке. Решения волнового уравнения в прямоугольнике, в круге и в цилиндре методом разделе
ния переменных. Фундаментальное решение в трехмерном и в двумерном пространствах. Решение задачи Коши для волнового уравнения в трехмерном и двумерном
пространствах; метод спуска.
Литература по разделу: 1), 2), 3) из основного списка литературы; 1), 2), 5), 9) из дополнительного
списка литературы раздела 10.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Уравнения математической физики»
для направления подготовки бакалавра 231300.62 Прикладная математика
Раздел 6. Уравнение Лапласа
Задачи, приводящие к уравнению Лапласа. Уравнение Лапласа в криволинейной системе
координат. Третья (основная) формула Грина, бесконечная дифференцируемость гармонической функции. Фундаментальное решения оператора Лапласа. Уравнение Пуассона
в трехмерном и двумерном пространствах. Решение краевых задач для уравнения
Лапласа с помощью функции Грина. Задача Дирихле для полупространства и круга.
Уравнение Гельмгольца.
Литература по разделу: 1), 2), 3) из основного списка литературы; 1), 3), 4), 9) из дополнительного
списка литературы раздела 10.
Образовательные технологии
8
Чтение лекций, проведение практических занятий, обсуждение и защита курсовых работ,
проведение контрольных и домашних работ, проведение экзамена.
8.1.
Курсовая работа по дисциплине
Курсовая работа по дисциплине является учебным материалом и может содержать компиляции из учебников и других источников при условии выполнения основного задания курсовой
работы. Отчет по курсовой работе может представляться как в электронной, так и в письменной
форме по согласованию с преподавателем.
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9
9.1
Тематика заданий текущего контроля
Контрольная работа № 1.
Решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения с частными произ
водными первого порядка.
Домашнее задание № 1.
Решить задачу Коши для уравнения Гамильтона-Якоби.
Контрольная работа № 2.
Построить фундаментальное решение дифференциального оператора.
Домашнее задание № 2.
Решить смешанную задачу для одномерного уравнения теплопроводности.
Домашнее задание № 3.
Вычислить главный член асимптотики интеграла.
Вычислить главный член асимптотики решения задачи Коши для волнового уравнения.
Контрольная работа № 3.
Решить двумерную задачу Дирихле для уравнения Лапласа методом разделения переменных.
9.2.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
1. Линейные уравнения с частными производными первого порядка, характеристики, связь с первыми интегралами автономных систем ОДУ.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Уравнения математической физики»
для направления подготовки бакалавра 231300.62 Прикладная математика
2. Теорема об общем решении линейного однородного уравнения с частными производными
первого порядка, задача Коши и ее решение.
3. Решение задачи Коши для уравнения неразрывности.
4. Квазилинейные уравнения первого порядка, характеристики, интегральные поверхности и
связь между ними.
5. Алгоритм решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка.
6. Нетационарное уравнение Гамильтона-Якоби, алгоритм решения задачи Коши.
7. Стационарное уравнение Гамильтона-Якоби, алгоритм решения задачи Коши.
8. Обобщенные функции. Основные определения и примеры.
9. Операции с обобщенными функциями. Производная кусочно-гладкой функции.
10. Теорема о решениях уравнения du/dx=0, существование первообразной обобщенной функции.
11. Свертка обобщенных функций.
12. Преобразование Фурье обобщенных функций.
13. Вывод уравнения теплопроводности. Начальные и граничные условия.
14. Метод Фурье (метод разделения переменных) для однородного одномерного уравнения теплопроводности.
15. Исследование сходимости ряда в методе Фурье для уравнения теплопроводности.
16. Принцип максимального значения для уравнения теплопроводности. Теорема единственности
решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.
17. Решение смешанной задачи для неоднородного уравнения теплопроводности методом Фурье.
Принцип Дюамеля.
18. Общая схема метода Фурье. Свойства собственных значений и собственных функций. Первая
и вторая формулы Грина.
19. Решение задачи на собственные значения для прямоугольника и круга. Функции Бесселя и их
свойства.
20. Вывод формулы Пуассона для решения задачи Коши на бесконечной прямой для уравнения
теплопроводности.
21. Доказательство теоремы существования
22. Теорема единственности решения задачи Коши на бесконечной прямой для уравнения теплопроводности.
22. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с кусочно-непрерывной начальной
функцией.
23. Краевые задачи на полуограниченной прямой для уравнения теплопроводности, метод отражений. Формула Дюамеля решения задачи Коши на полуограниченной прямой для уравнения
теплопроводности.
24. Метод ВКБ. Уравнение Гамильтона-Якоби и уравнение переноса.
25. Метод стационарной фазы.
26. Метод ВКБ и p-представление. Асимптотика в окрестности фокальной точки.
27. Вывод уравнения малых поперечных колебаний струны.
28. Бегущие волны, общий вид решения уравнения колебаний струны.
29. Формула Даламбера.
30. Сферические волны, лбщий вид решения трёхмерного волнового уравнения в случае центральной симметрии.
31. Формула Кирхгофа решения трёхмерного волнового уравнения.
32. Метод спуска для двумерного волнового уравнения.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Уравнения математической физики»
для направления подготовки бакалавра 231300.62 Прикладная математика
33. Качественное исследование распространения волн в пространствах 3-х и 2-х измерений,
принцип Гюйгенса.
34. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа.
35. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат.
36. Третья (основная) формула Грина, бесконечная дифференцируемость гармонической функции.
37. Фундаментальное решения оператора Лапласа.
38. Необходимое условие разрешимости задачи Неймана для уравнения Лапласа. Теорема о
среднем значении.
39. Принцип максимума для гармонической функции, единственность решения задачи Дирихле.
40. Функция Грина задачи Дирихле, формула для решения задачи Дирихле с помощью функции
Грина.
41. Построение функции Грина для шара.
42. Формула Пуассона решения задачи Дирихле для шара.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. «Уравнения математической физики», Москва, Наука, 2004.
10.2 Основная литература
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. «Уравнения математической физики», Москва, Наука, 2004.
2. Владимиров B.C. «Уравнения математической физики», Москва, Наука, 2003.
3. В.С. Владимиров, В.В. Жаринов, Уравнения математической физики, ФИЗМАТЛИТ, 2003.
10.3 Дополнительная литература
1. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике, Наука,
М., 1972.
2. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В., Лекции по математической физике, МГУ,
1993.
3. Шубин М.А., Лекции об уравнениях математической физии, МЦНМО, М., 2001.
4. Арнольд В.И., Лекции по уравнениям с частными производными, Независимый ун-т, М., 1995.
5. Багров В.В, Белов В.В, Задорожный В.Н, Трифонов А.Ю., Методы математической
физики, изд-во STT, 2000.
6. Демидов А.С., Обобщенные функции в математической физике. Основные идеи и понятия,
МГУ, 1993.
7. Бабич В.М., Изотова О.В., О решениях в обобщенных функциях задач математической физики,
С.-ПГУ, 1998.
8. Комеч А.И., Практическое решение уравнений математической физики, МГУ, 1993.
9. Белов В.В., Воробьев Е.М., Сборник задач по дополнительным главам математической физики,
«Высшая школа», М., 1978.
10. Петровский И.Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, «Либроком», 2009.
11 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Не требуется.