1 Маркин Д.Н. Цилиндрические волны Важным видом

-1-
Маркин Д.Н.
Цилиндрические волны
Важным видом математической идеализации звуковых волн являются
цилиндрические волны. Поверхность одинаковых фаз1 является в этом случае цилиндрической. Очевидно, что для описания данного типа волн удобно
использовать цилиндрическую систему координат, и волновое уравнение
должно быть определено в цилиндрических координатах.
Цилиндрическая система координат получается добавлением к полярной
системе третьей координаты. В цилиндрической системе положение точки в
пространстве определяется следующими тремя координатами: координатой
z, определяющей высоту точки над плоскостью XOY, азимутальным углом ψ,
образуемым плоскостью XOZ и плоскостью, проходящей через данную точку
и ось OZ2, и расстоянием r от данной точки до оси OZ.
Преобразование декартовых координат в цилиндрические определяется
следующими соотношениями:
а цилиндрических координат в декартовые –
Процесс распространения звуковых волн в пространстве описывается
волновым уравнением, и для описания цилиндрических волн необходимо
вывести волновое уравнение в цилиндрической системе координат, для этого
необходимо определить оператор Лапласа в этой системе. Оператор Лапласа
в декартовой системе координат определяется как
В общем случае будем считать, что потенциал колебательной скорости в цилиндрической системе является функцией четырёх переменных – φ(r,ψ,z,t),
Фронт волны.
Угол отсчитывается между положительным направлением оси OX и проекцией радиус-вектора
данной точки на плоскость XOY.
1
2
-2-
поэтому необходимо перейти ко вторым производным по соответствующим
координатам цилиндрической системы. Без вывода примем, что в цилиндрической системе координат оператор Лапласа определяется следующим образом [2, с. 325]:
Оператор Лапласа является дифференциальным оператором, его значение в некоторой точке определяет плотность (или концентрацию) источников3 потенциального векторного поля в данной точке.
1. Цилиндрические волны с осевой симметрией
Наиболее простым является случай цилиндрических волн с осевой симметрией4. В этом случае характеристики волнового поля зависят только от
двух независимых переменных – расстояния r от оси симметрии5 и времени t, – то есть φ=f(r,t).
В рассматриваемом случае оператор Лапласа в цилиндрической системе
координат будет определяться только одной пространственной координатой
–
, при этом
,и
. Определим первые и вто-
рые производные от потенциала скорости по каждой из декартовых координат x и y, рассматривая его как сложную функцию φ(r(x,y),t):
и вторые производные
Если точнее, то отрицательную плотность, или концентрацию стоков.
Иногда такие волны называются цилиндрически симметричными [1, с. 75] или радиальносимметричными [3, с. 146; 4, с. 154-158].
5
Оси цилиндра.
3
4
-3-
Складывая два последних соотношения, получаем для оператора Лапласа в данном случае
учитывая, что
, окончательно получаем
Используя выражение (5) для оператора Лапласа, получаем волновое
уравнения, описывающее цилиндрические волны с осевой симметрией,
Это уравнение по виду полностью идентично уравнению колебаний
круглой мембраны6 для случая центрально-симметричных поперечных волн,
когда отсутствует зависимость от полярного угла.
Даже в этом сравнительно простом случае в цилиндрической системе
координат решение волнового уравнения в общем виде представляется непростой задачей. Поэтому сначала решим это уравнение в упрощенном виде.
Для упрощения поиска решения уравнения (6) часто прибегают к одному искусственному приёму, чтобы им воспользоваться, прежде всего, определим
Что вполне очевидно, поскольку, как было сказано выше, цилиндрическая система координат
получается добавлением к полярной системе третьей координаты – z, а в случае цилиндрических
волн с осевой симметрией зависимость от z и ψ отсутствует, остаётся только зависимость от расстояния, как и в случае центрально симметричных поперечных волн круглой мембраны.
6
-4-
производную
:
Очевидно, что последнее слагаемое в правой части этого выражения является второго порядка малости по r7, то есть, на большом расстоянии оно
будет малым в сравнении с двумя другими слагаемыми, поэтому на больших
расстояниях (в дальней зоне) этим слагаемым можно пренебречь, и для дальней зоны можно написать следующее приблизительное равенство
или
Правая часть полученного соотношения полностью совпадает с правой
частью уравнения (6), поэтому можно написать следующее уравнение
или
так как r не зависит от времени,
можно внести под знак производной по
времени, и окончательно для дальнего поля цилиндрических волн с осевой
симметрией получим одномерное волновое уравнение
7
Так как в знаменателе дроби стоит r2.
-5-
Решение этого уравнения не представляет никаких трудностей, общее
решение его по методу Даламбера можно записать в следующем виде8:
или, разделив на
левую и правую стороны,
Это решение описывает звуковое поле в дальней зоне цилиндрических
волн в виде двух бегущих волн, первое слагаемое представляет собой бегущую волну, расходящуюся от источника, а второе – волну, сходящуюся к
центру. Функции
и
являются произвольными дважды дифференцируе-
мыми9 по r и t, они отвечают начальному возмущению на поверхности источника.
Поскольку речь идёт о приближенном решении уравнения (6) для дальнего поля, поэтому сходящаяся волна не имеет физического смысла для данного случая10, и можно рассматривать решение для дальнего поля только в
виде расходящейся цилиндрической волны
Определим для этого случая значения давления и колебательной скорости:
С таким же успехом в качестве аргументов решения могут быть взяты
и
.
Причём обе вторые производные должны быть ограниченными функциями.
10
Но вообще решение в виде сходящейся к центру волны имеет важное значение для понимания
происходящих процессов, поэтому дальше будет дан комментарий относительно этого решения.
8
9
-6-
Первым слагаемым в значении колебательной скорости можно пренебречь, так как нами рассматривается только дальнее поле цилиндрических
волн, где первое слагаемое много меньше второго11, поэтому можно записать
приближенное равенство
Таким образом, получается, что в дальнем поле цилиндрических волн
потенциал колебательной скорости, колебательная скорость частиц среды и
звуковое давление убывают обратно пропорционально квадратному корню из
расстояния до оси симметрии. При этом интенсивность цилиндрической волны в дальней зоне убывает обратно пропорционально первой степени расстояния12, так как она пропорциональна квадрату давления. Давление и колебательная скорость в дальнем поле цилиндрических волн являются синфазными, поскольку обе пропорциональны производной от функции
, такой же
результат можно получить для дальнего поля сферических волн с центральной симметрией, что соответствует плоской волне.
Определим величину волнового сопротивления дальнего поля цилиндрических волн с осевой симметрией
Из полученного результата видно, что для дальнего поля цилиндрических волн акустическое сопротивление совпадает с волновым сопротивлением плоских волн.
Прежде, чем перейти к решению уравнения (6) в общем виде, следует
11
Первое слагаемое пропорционально
, а второе –
.
Что понятно, так как площадь поверхности цилиндра зависит от первой степени расстояния, и
энергия волны распределяется по площади, увеличивающейся с первой степенью расстояния
12
-7-
сделать несколько общих замечаний. Из курса дифференциальных уравнений
должно быть известно, что для решения волнового уравнения может быть
применено два общих метода – метод Д’Аламбера [5, с. 517], и метод Фурье13
[5, с. 529], – то есть, один и тот же физический процесс может описываться
разными математическими формами – в виде бегущих или в виде стоячих
волн14, – при этом бегущие волны можно рассматривать как биения между
стоячими волнами (или как псевдостоячие волны), а стоячие волны – как результат наложения (интерференции) двух распространяющихся навстречу
друг другу бегущих волн. В конечном счёте вопрос о выборе того или иного
описания процесса определяется такими моментами, как простота и наглядность получаемых результатов, конкретными условиями задачи, а также, что
является зачастую определяющим фактором, простота решения уравнений,
описывающих физический процесс. Если размеры системы, в которой
наблюдается явление, являются малыми в сравнении с характерными размерами волнового процесса15, то в результате отражения волн от границ системы возникает суперпозиция разнонаправленных волн или, как результат, некоторый стационарный колебательный процесс, для описания которого целесообразнее применять модель в виде стоячих волн. Если же размеры системы
настолько велики, что бегущая волна успевает практически затухать, не доходя до границы системы, то такой процесс целесообразнее описывать в виде
бегущих волн. Более подробно об этом можно почитать, например в [12, с.
414-417].
Уравнение (6) не решается методом Д’Аламбера в виде подобном
. Искать решение волнового уравнения (6) можно методом Фурье
(или методом разделения переменных), согласно которому частное решение
этого уравнения можно представить в виде произведения двух функций,
Метод Д’Аламбера иногда называют методом бегущих волн, а метод Фурье – методом стоячих
волн, хотя это не вполне корректно, так как, например, решая уравнение методом Фурье, можно
получить результат, описывающий процесс как в виде стоячих волн, так и в виде бегущих волн.
14
Подчеркнём лишний раз, что стоячие и бегущие волны это только способ математического описания реального физического процесса.
15
Для синусоидальных волн характерными размерами являются длины волн.
13
-8-
каждая из которых зависит только от одной переменной, одна только от t,
другая только от r:
Продифференцировав это решение дважды по времени t и расстоянию r,
имеем:
Подставив полученные соотношения в (6), получаем:
Разделим переменные в полученном уравнении, поделив его на произведение
,
Видно, что в левой части этого уравнения стоят функции, зависящие
только от времени t, а в правой его части стоят функции, зависящие только от
расстояния. Так как переменные r и t являются независимыми, равенство (9)
справедливо только тогда, когда выражения, стоящие по обе стороны знака
равенства, тождественно равны одному и тому же постоянному числу. Для
удобства16 обозначим эту постоянную через –k2. Приравняв левую и правую
стороны равенства (9) этому числу, получим два дифференциальных уравнения:
Постоянная имеет квадратичный вид для большей простоты решения уравнений (10) и (11), и
берётся отрицательной по знаку, чтобы решение уравнения могло носить колебательный характер.
16
-9-
Уравнения (10) и (11) позволяют определить функции
и
. Ре-
шим по отдельности эти уравнения.
Сначала решим уравнение (10). Обозначим произведение
как
,и
перепишем уравнение (10)
Из теории дифференциальных уравнений известно, что дифференциальное уравнение вида (12) имеет следующее общее решение [5, с. 85]
где
и
– произвольные постоянные, в общем случае определяемые из
начальных условий задачи, ω носит смысл частоты, а
– волнового числа.
Используя формулы Эйлера можно перейти к другой форме записи общего
решения этого уравнения
где
и
так же произвольные постоянные, кото-
рые определяются из начальных условий задачи17.
Не нарушая существенно общности с физической точки зрения можно
представлять решение уравнения (12) в одной из следующих форм
то есть, беря только одно из частных решений уравнения.
В качестве начальных условий принято задавать пространственные распределения искомой
функции (в данном случае – потенциала скорости) и её временнóй производной в некоторый
начальный момент времени.
17
- 10 -
Уравнение (11) представляет собой частный случай дифференциального
уравнения Бесселя [5, с. 131-136], а именно, уравнение Бесселя нулевого порядка, чтобы убедиться в этом, перепишем его в другом виде
Уравнение Бесселя в общем случае имеет вид [8, с. 589]
Видно, что при n=0 уравнения (15) и (16) имеют подобны. Уравнению
Бесселя уделяется внимание в значительном количестве литературных источников, например [6, 178-247; 8, с. 589-620; 9-11], так как оно имеет широкое практическое приложение, поскольку широкий круг физических задач
приводит к уравнениям данного вида. Уравнение Бесселя не решается в виде
элементарных функций, его можно решить либо разложением в бесконечный
степенной ряд, либо методами интегральных преобразований18, оба метода
приводят к разным определениям цилиндрических функций19 либо в виде
бесконечных степенных рядов20, либо в виде различных интегральных форм.
Величина n является индексом уравнения Бесселя, она определяет порядок
функций Бесселя, представляющих решение уравнения.
Общее решение уравнения (15) выглядит [8, с. 605-606] либо
или
Например, операторным методом при помощи преобразования Лапласа по временнóй переменной [8].
19
Которые так же принято именовать функциями Бесселя.
20
Наподобие определения тригонометрических функций в виде степенных рядов. Нужно сказать,
что по существу своему функции Бесселя ничем не отличаются, например, от таких широко применяемых и хорошо известных тригонометрических функций, как sin и cos, поэтому их вовсе не
следует пугаться, нужно лишь понять их значение, и научиться их применять там, где это требуется.
18
- 11 -
где
и
,
– произвольные постоянные, величина которых определя-
ется из начальных условий задачи,
нулевого порядка,
ка,
и
– функция Бесселя первого рода
– функция Бесселя второго рода21 нулевого поряд– функции Бесселя третьего рода22 нулевого порядка.
Функции Ханкеля первого и второго рода являются комплексно сопряжёнными, они связаны с функциями Бесселя первого и второго рода следующими соотношениями:
Функции
,
рыв) в точке, где аргумент
и
(или
имеют особенность (терпят раз), эти функции устремляются к
плюс или минус бесконечности.
Если предположить, что источник цилиндрических волн, например, в
виде «линии», состоящей из бесконечного числа точечных источников, совпадает с осью Z, то вдоль этой оси во всех точках с
общее решение
уравнения (15), и, как следствие, волнового уравнения (6), может иметь особенность23 (особое значение), поэтому оно должно включать в себя функцию
Неймана (решение (18)), или функции Ханкеля (решение (19)). Если предположить, что значение потенциала должно быть конечной величиной во всех
точках пространства, например, когда в качестве источника рассматривается
пульсирующий цилиндр – цилиндр переменного радиуса, – то решение уравнения Бесселя не должно содержать особых точек (разрывов), то есть должно
содержать только функцию Бесселя первого рода
Функции Бесселя второго рода принято называть функциями Неймана, ещё их иногда называют
функциями Вебера [6, с. 178; 8, с. 603].
22
Функции Бесселя третьего рода принято называть функциями Ханкеля (или Ганкеля) первого и
второго рода.
23
Поскольку на поверхности источника излучения потенциал не обязан быть конечной величиной
(в отличие от других точек пространства без источников, где потенциал должен принимать только
конечные значения), и решение волнового уравнения может иметь на поверхности источника особенность (точку разрыва).
21
- 12 -
В ближней зоне источника цилиндрических волн поле имеет сложную
форму, оно по существу ещё не сформировано (преобладают эффекты ближнего поля), звуковое поле цилиндрических волн формируется только в дальней зоне, где
, поэтому далее будем рассматривать только дальнее поле,
так как только в этой области пространства можно говорить о сформированном цилиндрическом поле.
В дальней зоне24, где аргумент в решении уравнения (15) принимает
большое значение
и
, функции Бесселя нулевого порядка
можно асимптотически представить в виде [6, с. 223; 7, с. 785]
Поскольку индекс цилиндрического уравнения равен нулю и порядок
функций Бесселя в решении этого уравнения равен нулю, на всех расстояниДля волн разных частот «дальняя зона» имеет разную величину, поскольку отношение разных
длин волн к одному и тому же расстоянию различно, то есть, для одних волн дальняя зона начинается, например, с расстояния одного метра, а для других – с расстояния десяти метров.
24
- 13 -
ях, кроме
во, что
и некоторой малой окрестности этой точки, будет справедли, то есть приведённые выше приближённые соотношения бу-
дут достаточно точно описывать функции Бесселя начиная уже со сравнительно небольших расстояний (примерно, начиная с расстояния, равного
длине волны
, при этом
Функции
и
, так как
).
имеют колебательный характер, они прини-
мают нулевое значение примерно через равные промежутки изменения аргумента, это означает, что их частота примерно постоянна (чем больше аргумент, тем вернее это утверждение). Когда аргумент
значение (можно сказать, когда
функция
), функция
принимает нулевое
равняется единице, а
стремится к минус бесконечности. Амплитуда этих функций
убывает со скоростью пропорциональной
(пространственный или геомет-
рический фактор затухания волны), это тем вернее, чем больше значение аргумента.
Комбинируя различные решения уравнений (10) и (11), то есть, используя функции
и
в разной форме, можно различным образом описы-
вать поле цилиндрических волн. Так, беря решение уравнения (11) например,
в виде (21), а решение уравнения (10) в виде (14.с), и учитывая асимптотическое представление функции Бесселя первого рода, получим описание дальнего поля цилиндрических звуковых волн
то есть в виде стоячих волн. Аналогичный результат можно получить, используя общее решение уравнения (11) в виде (18), и любое из решений
уравнения (10). Для описания цилиндрического звукового поля в виде бегущих волн решение уравнения (11) должно браться в форме (17), то есть, с использованием функций Ханкеля, проверим это, возьмём решение уравнения
(10) в виде (14.а), а уравнения (11) – в виде
, и учитывая асимпто-
- 14 -
тическое представление (25), получим
Не ограничивая общности (поскольку речь идёт о распространении волн
в неограниченной среде) можно приравнять одну из произвольных постоянных
или
к единице, так как достаточно одной константы, чтобы полу-
чить значение амплитуды, которое будет учтено во второй постоянной, для
определённости примем
, напомним, что величина данных постоянных
определяется из начальных условий задачи.
Видно, что полученная формула описывает поле расходящихся от источника бегущих волн. Аналогичный результат можно получить, используя
функцию Ханкеля первого рода и формулу (14.b). Беря общие решения уравнений (10) и (11) в виде (13) и (17) соответственно, получим описание цилиндрического звукового поля в виде суперпозиции двух бегущих волн, одна
из которых расходится от источника, другая – сходится к оси источника.
Для простоты будем рассматривать только дальнее поле расходящейся
цилиндрической волны и описывать её в виде
Определим для данного случая давление, колебательную скорость и
волновое сопротивление. Используем соотношения между давлением и потенциалом скорости:
Видно, что амплитуда звукового давления в дальнем поле цилиндрических волн убывает обратно пропорционально квадратному корню из расстоя-
- 15 -
ния.
Определим величину колебательной скорости
Для дальнего поля, о котором идёт речь, первым слагаемым можно пренебречь25, поскольку оно является второго порядка малости относительно
второго слагаемого, так как в его знаменателе стоит
, а у второго –
,
поэтому для дальнего поля получаем
Видно, что в дальнем поле цилиндрических волн амплитуда колебательной скорости убывает обратно пропорционально квадратному корню из расстояния, кроме того видно, что в дальнем поле давление и колебательная
скорость находятся в одной фазе.
Определим величину волнового сопротивления дальнего поля цилиндрических волн
То есть, волновое сопротивление в дальнем поле цилиндрических волн
совпадает с волновым сопротивлением плоских волн.
В ближнем поле источника цилиндрических волн в значении колебательной скорости будет
преобладать первое слагаемое полученного соотношения, из чего следует, что в ближнем поле цилиндрических волн колебательная скорость отстаёт по фазе от давления на некоторый угол.
25
- 16 -
Все полученные здесь результаты полностью подтверждают сделанные
ранее выводы, при рассмотрении приближённого волнового уравнения для
дальнего поля цилиндрических волн с осевой симметрией, эти выводы справедливы для расстояний, начиная примерно с
.
Приведём для общности приближённое значение волнового сопротивления для ближнего поля
осесимметричных цилиндрических волн
[13, с. 132]
Из приведённой формулы видно, что в ближнем поле, когда
, ре-
активная составляющая волнового сопротивления среды для цилиндрических
волн носит инерционный характер, поскольку
ний
для этой области значе-
является отрицательной величиной.
Можно показать, что интенсивность цилиндрических волн, обладающих
осевой симметрией, на любом расстоянии от источника излучения изменяется обратно пропорционально расстоянию r, что довольно очевидно, так как
площадь поверхности фронта цилиндрической волны пропорциональна первой степени расстояния от оси, и энергия с увеличением расстояния распределяется по поверхности, площадь которой увеличивается пропорционально
расстоянию (более подробно см., например [13, с. 132-133]).
- 17 -
Литература
1. Thomas D. Rossing( ed.) Springer Handbook of Acoustics. – New York, Springer. 2007. – 1182 p.
2. Морз Ф. Колебания и звук. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. – 496 с.
3. Тюрин А.М. Теоретическая акустика. – Л.: ВМОЛУА, 1971. – 443 с.
4. Скучик. Е. Основы акустики. В 2- томах. Том 1. – М.: ИЛ, 1958. – 617 с.
5. Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 2. Изд. двадцать первое, стереотипное. – М.: Наука, 1974. – 656 с.
6. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. – М.: Наука, 1968. – 344 с.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и
инженеров). Определения, теоремы, формулы. 6-е изд., стереотипное. – СПб.:
Издательство «Лань», 2003. – 832 с.
8. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. Издание второе, переработанное. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1958. –
678 с.
9. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Часть 1. – М.:ИЛ, 1949. – 685 с.
10. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, в 2 томах. – М.:
ИЛ, 1945.
11. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. – М.: Наука, 1971.
– 288 с.
12.
Скучик. Е. Основы акустики. В 2-х томах. Том 1. – М.: Мир, 1976. –
520 с.
13.
Тюлин В.Н. Введение в теорию излучения и рассеяния звука. – М.:
Наука, 1976. – 256 с.