1.2. (2) ЗАДАЧА КИРША: РАСТЯЖЕНИЕ ПЛАСТИНЫ С КРУГЛЫМ ОТВЕРСТИЕМ.

9
Глава 1. Расчет НДС. Линейная задача
1.2. (2) ЗАДАЧА КИРША: РАСТЯЖЕНИЕ ПЛАСТИНЫ С
КРУГЛЫМ ОТВЕРСТИЕМ.
S
S
S
S
m
r
ϑ
q
2a
Рис.2.1
Модель пластины с отверстием показана на рис.2.1. Решение этой задачи о концентрации
напряжений на краю отверстия представляет большой практический интерес. Например,
отверстия в палубах судов, крыльях и фюзеляже самолета. Аналитическое решение задачи
получено в прошлом столетии Киршем (G.Kirsch). В [1] рассмотрены различные варианты
нагружения пластины и конфигурации отверстия, а также их влияние на величину
концентратора и его градиент. Решения многократно подтверждались
экспериментальными методами.
ЗАДАЧА.
Из рис.2.1 видно, что можно создать модель растяжения пластины в виде ее четверти,
задав соответствующие симметрии задачи граничные условия. Модель можно создать как
в прямоугольной, так и в полярной системе координат. При создании модели в виде
четверти квадрата (первый квадрант) в прямоугольной системе координат нижняя граница
области закреплена по координате у и свободна по х, левая – закреплена по х и свободна
по у.
Пусть растягивается тонкая квадратная пластина 200х200 мм с отверстием диаметром
2а = 40 мм в центре (то есть отношение размеров достаточно для сравнения с решением
растяжения бесконечной пластины, находящейся в плоском напряженном состоянии
ПНС). Характеристики материала при задании нагрузок в виде сил и последующем
анализе напряжений не имеют значения: примем Е = 100 МПа, ν = 0.3. По двум краям
пластины приложено равномерное растяжение S = 10 МПа (размерность давления).
Создать модель пластины; в силу симметрии рассматривать только четверть
пластины; построить диаграмму распределения напряжений от отверстия к краю
пластины, сравнить с аналитическим решением. Получить значения коэффициента
концентрации напряжений для различных размеров элементов у края отверстия.
Решить задачу при других видах нагрузки и формах отверстия.
РЕЗУЛЬТАТЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ.
На рис.2.1 показан фрагмент тонкой пластины бесконечной протяженности с отверстием
радиусом r = a. Пластина подвержена одноосному растяжению равномерно
распределенными по границе пластины напряжениями S в направлении оси x. В пластине
г.Санкт-Петербург
СПбГТУ кафедра «Машиноведение и детали машин»
10
Часть 4. Примеры использования пакета STAR
возникает плоское напряженное состояние. В результате решения задачи в полярных
координатах получены [1] значения напряжений σ , σ и τ как функции координат r,
r
ϑ
rϑ
ϑ и нагрузки S (положение начала координат показано на рис.2.1).
В частности
σ
ϑ
2
4
S  a  S  3a 
=  1+ 2  −  1+ 4  cos 2ϑ
r 
2 r  2
Как следует из (2.1) напряжение
σ
ϑ
(2.1)
достигает максимального значения, когда ϑ = π 2
,т.е. на конце m диаметра, перпендикулярного к направлению растяжения. В этом случае
2
4
S  a 3a 
σ ϑ = 2  2 + r 2 + r 4  (график этой функции показан на рисунке с результатами)


достигает максимального значения на краю отверстия при r=a, σ
ϑ max
= 3S. На рис.2.1
показаны также оси прямоугольной системы координат, в которой удобнее строить
конечно-элементную модель. В точке m направления σ и σ x совпадают, поэтому
можно записать
σ
ϑ max
=
σ
ϑ
x
= 3S. Коэффициент концентрации (т.н. теоретический
коэффициент концентрации напряжений), отражающий величину возрастания
напряжений по сравнению с равномерно распределенной нагрузкой, равен 3.0.
В точке q σ ϑ = σ y = -S, то есть в этой точке действует сжимающее напряжение.
Влияние отверстия носит локальный характер: с увеличением отдаления от отверстия
напряжения σ ϑ приближаются к значению S. Этот принцип носит имя Сен-Венана (SaintVenant): система взаимно уравновешенных нагрузок, приложенная к малой части тела,
вызывает напряжения, быстро убывающие по мере удаления от места приложения
нагрузок. Действительно, как видно из рисунка с результатами 2.2, уже при удалении от
края отверстия на величину а концентрация напряжений уменьшается со значения 3.0 до
1.22. Локальный характер оправдывает возможность сравнения решений, полученных для
бесконечной пластины и пластины конечных размеров. Если ширина пластины превышает
четыре диаметра, разница в решениях по наиболее чувствительному параметру σ
не
ϑ max
превысит 6% [1]. По остальным параметрам разница много меньше.
Решение при других видах нагрузки. Считая, что в направлении x действует
растягивающая нагрузка S, а в направлении y сжимающая -S, получаем случай чистого
сдвига. В точке m напряжения σ ϑ составят 4S, в точке q σ ϑ = -4S. Следовательно, при
чистом сдвиге пластинки максимальное окружное напряжение на границе отверстия в 4
раза превышает приложенное напряжение чистого сдвига. В [1] также можно найти
решение для эллиптических и других отверстий.
СРАВНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО И ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЙ.
Точное аналитическое решение (2.1) сравнивается с приближенным решением МКЭ.
Сравнивая численное и аналитическое решения объяснить, что наибольшее отклонение
точке m обусловлено следующими причинами:
- конечностью размеров квадрата;
- ошибкой в ориентации нормали конечного элемента, аппроксимирующего
окружность;
- погрешностями в граничном элементе, связанными с заданием условий
симметрии только по перемещениям без учета их нулевых производных по
нормали.
Руководство пользователя
STAR версия 3.18 1992-2003 г.г.
11
Глава 1. Расчет НДС. Линейная задача
σ , МПа
K
x
32
3,2
30
3
28
2,8
26
2,6
24
2,5
5
7,5
10
a/l
2,4
12,5
Рис. 2.3
Задача решается при нескольких вариантах разбивки модели на элементы. Строится
зависимость ошибки, например, в определении коэффициента концентрации напряжений
К в точке m от отношения а/l , где l – длина стороны элемента на краю отверстия
(элементы имеют подобные формы для каждого варианта). Очевидно, что для задачи с
концентратором напряжений важно оценить не влияние общего числа элементов модели,
а лишь степень дискретизации области в районе концентратора. Пример зависимости
приведен на рис.2.3. Значение а/l = 5 соответствует восьми элементам на четверти дуги
окружности.
ФАЙЛЫ
Файл Kirsch.
ЛИТЕРАТУРА.
1. S.P. Timoshenko, J.N. Goodier, Theory of Elasticity, 3 ed., McGraw-Hill, NY, 1970.
г.Санкт-Петербург
СПбГТУ кафедра «Машиноведение и детали машин»