Теория переноса тепла и влаги в капиллярно

Журнал технической физики, 1998, том 68, № 2
01;12
Теория переноса тепла и влаги в капиллярно-пористом теле
© О.Л. Решетин, С.Ю. Орлов
Агрофизический научно-исследовательский институт Российской академии сельскохозяйственных наук,
195220 Санкт-Петербург, Россия
(Поступило в Редакцию 11 февраля 1997 г.)
На основе полного рассмотрения физических процессов, протекающих в капиллярно-пористом теле,
получены новые дифференциальные уравнения, описывающие динамику формирования температурного
и влажностного полей в капиллярно-пористой среде. В основу вывода уравнений положены известные
диффузионные законы и функциональные связи между температурой, влагосодержанием и паросодержанием,
являющиеся физическими характеристиками рассматриваемого тела. Полученные уравнения содержат физические величины и зависимости, которые возможно измерить экспериментальным путем, характеризующие
конкретное капиллярно-пористое тело.
Теория переноса энергии и массы вещества в
капиллярно-пористом теле имеет большое значение в
энергетике, в технологических процессах пищевой, строительной, химической и легкой промышленности, а также в агрофизике. В настоящее время для теоретического
описания процессов тепловлагопереноса в капиллярнопористых средах используется система дифференциальных уравнений, полученная академиком А.В. Лыковым [1,2].
Для математического описания процессов тепловлагопереноса в капиллярно-пористом теле А.В. Лыков предложил следующую упрощенную физическую модель.
Масса вещества, находящаяся в порах, с большой точностью равна массе жидкой фазы (масса газообразной фазы
пренебрежимо мала), при этом существен перенос только той части пара, которая участвует непосредственно
в фазовом переходе. Таким образом, при рассмотрении
процессов массообмена можно положить закон переноса
только одной фазы, например жидкой, а все влияние
переноса пара и фазовых переходов учитывать только
одним параметром — критерием фазового превращения
ε = dWΦ /dw. Критерий фазового превращения ε
определяется как отношение изменения влагосодержания посредством испарения и конденсации к изменению
влагосодержания за счет переноса жидкости. В результате такого подхода были получены следующие уравнения,
описывающие рассматриваемые процессы в капиллярнопористом теле1 :
CΣ
превращения ε является ”фиктивным” физическим параметром.
Уравнения (1) были использованы в многочисленных
теоретических работах по исследованию процессов тепловлагопереноса в капиллярно-пористых средах. Однако большое количество попыток корректно измерить
полный набор коэффициентов, входящих в приведенные
уравнения, для конкретного капиллярно-пористого тела
давали весьма противоречивые результаты, что в первую
очередь связано с принципиальной невозможностью измерить параметр ε. Поэтому настоящая работа посвящена строгому выводу дифференциальных уравнений, описывающих процессы переноса в капиллярно пористом
теле, свободных от указанного недостатка.
Капиллярно-пористое тело содержит две взаимодействующие фазы: влажный воздух и жидкость. Скелет
пористого тела является жестким твердым телом, не
набухающим и не поглощающим воду, а также не растворяющимся в воде и не вступающим с ней в химические
взаимодействия. Запишем уравнение сохранения энергии
и массы в следующем виде:
∂
H = −∇ · q,
∂t
(1a)
∂
(Wv + Wl ) = −∇(Jv + Jl ),
(2)
∂t
где H — энтальпия системы, приходящаяся на единицу
объема капиллярно-пористого тела (плотность энтальпии); q — вектор теплового потока; Wv , Wl — массы пара (паросодержание) и жидкости (влагосодержание) соответственно, приходящиеся на единицу объема
капиллярно-пористого тела; Jv , Jl — векторы потоков пара и жидкости соответственно; ∇ — дифференциальный
набла-оператор; t — время.
Плотность энтальпии для рассматриваемой системы
есть
H = Hs + hvWv + hl Wl ,
(3)
∂
∂
T −εr
Wl = ∇(λ∇T )−(Cl Dl ∇Wl +Cl DT l ∇T )∇T,
∂t
∂t
∂
Wl = ∇(Dl ∇Wl ) + ∇(DT l ∇T ).
(1)
∂t
Указанный подход позволяет существенно упростить
систему дифференциальных уравнений, описывающую
процессы тепловлагопереноса в капиллярно-пористых
средах, но создает определенные трудности при их
практическом применении, так как критерий фазового
(1 − ε)
где Hs — энтальпия твердой фазы на единицу объема
пористого тела; hv , hl — энтальпии пара и жидкости на
единицу массы соответственно (удельные энтальпии).
1
Все обозначения физических величин в работе [1] приведены к
обозначениям, используемым в настоящей работе.
140
Теория переноса тепла и влаги в капиллярно-пористом теле
Продифференцируем (3) по времени и учтем, что
производная от удельной энтальпии по температуре при
постоянном давлении есть теплоемкость. Тогда получим
следующее выражение:
∂
∂
∂
∂
(4)
H = CΣ T + hv
Wv + hl Wl ,
∂t
∂t
∂t
∂t
где CΣ = Cs + WvCv + Wl Cl ; T — температура системы в
данной точке; Cs — теплоемкость единицы объема сухого
пористого тела; Cv , Cl — удельные теплоемкости пара и
жидкости.
В правой части выражения (4) первый член описывает
изменение энтальпии за счет изменения температуры, а
два других слагаемых учитывают изменение энтальпии
за счет изменения количества вещества.
Тепло в рассматриваемой системе распространяется
путем теплопроводности, а также с переносом пара и
жидкости, поэтому тепловой поток есть
q = −λ∇T + hv Jv + hl Jl ,
(5)
где λ — эффективный коэффициент теплопроводности
системы.
Дивергенцию вектора потока тепла можно записать
так:
∇q = − λ∆T + hv ∇Jv + hl ∇Jl
+ (−∇λ + Cv Jv + Cl Jl )∇T,
(6)
где ∆ = ∇ — оператор Лапласа.
Используя уравнение (2), можно показать, что
2
hv
∂
∂
Wv + hl Wl + hv ∇Jv + hl ∇Jl
∂t
∂t
∂
= −r
W + ∇Jl ,
∂t
∂λ
∂λ
∇Wl +
∇T.
∂Wl
∂T
Журнал технической физики, 1998, том 68, № 2
Как показано в работах [1,2], основные законы переноса пара и жидкости можно представить в следующем
виде:
Jl = −Dl ∇Wl − DT l ∇T,
(13)
Jv = −Dv ∇Wv − DT v ∇T,
(14)
где Dl , Dv , DT l , DT v — коэффициенты, характеризующие конкретное капиллярно-пористое тело. Данные
коэффициенты можно выразить через экспериментально
определяемые физические величины.
Подставим (9), (13), (14) в (8) и проделаем элементарные преобразования. Тогда уравнение энергии в
окончательном виде можно записать так:
∂
∂
T − r Wl = λ∆T + (k∇Wl + m∇T )∇T
∂t
∂t
− r∇(Dl ∇Wl ) − r∇(DT l ∇T ),
(15)
∂λ
∂λ
где k = ∂W
+ Cv Dv + Cl Dl , m = ∂T
+ Cv DT v + Cl DT l .
l
После подстановки уравнения (12)–(14) в уравнение
(2) мы получим окончательное выражение для уравнения
переноса массы
R
∂
∂
T + Q Wl = ∇((Dl + Dv )∇Wl )
∂t
∂t
+ ∇((DT v + DT l )∇T ),
(8)
(9)
В общем случае парциальное давление пара pv и
его плотность ρv в капиллярно-пористых телах зависит
от температуры и влагосодержания pv = pv (T, Wl ),
ρv = ρv (T, Wl ).
Тогда производная по времени плотности пара будет
выражаться так:
∂ρv
∂ρv ∂T
∂ρv ∂Wl
=
+
.
∂t
∂T ∂t
∂Wl ∂t
где ρl — плотность жидкой фазы.
Продифференцируем (11) по времени и учтем (10),
тогда
∂ρv
∂
Wl ∂
Wv =
П−
T
∂t
∂T
ρl ∂t
∂ρv
Wl
ρv ∂
П−
−
Wl .
+
(12)
∂Wl
ρl
ρl ∂t
(7)
Теплопроводность рассматриваемой системы зависит от
влагосодержания и температуры, что дает основание
представить ∇λ в следующем виде:
∇λ =
Пористость (П) капиллярно-пористого тела есть отношение свободного объема, содержащего воду и влажный
воздух, к полному объему пористого тела, вычисленного
для элементарного объема. Тогда можно записать
Wl
,
(11)
Wv = ρv П −
ρl
CΣ
где r = hv − hl — теплота фазового перехода.
После подстановки (4) и (6) в (1) и учета (7) уравнение энергии имеет вид
∂
∂
CΣ T − r
W + ∇Jl
∂t
∂t
= λ∆T + (∇λ − Cv Jv − Cl Jl )∇T.
141
(10)
где
R=
∂ρv
∂T
Wl
П−
,
ρl
Q=1+
∂ρv
∂Wl
(16)
Wl
ρv
П−
− .
ρl
ρl
Уравнения (15), (16) являются системой уравнений
описывающих процессы тепловлагопереноса в капиллярно-пористых телах.
Изложенная теория позволяет установить необходимый набор конкретных физических величин рассматриваемой системы доступных экспериментальным наблюдениям (CΣ , λ, Dl , DT l , Dv , DT v , П, pv (T, Wl )) и дает возможность исследовать процессы переноса в капиллярнопористых средах теоретическим путем в разнообразных
ситуациях.
142
О.Л. Решетин, С.Ю. Орлов
Идея данной работы родилась в Агрофизическом институте в совместных беседах одного из авторов данной
работы с А.Ф. Чудновским и Б.М. Могилевским. Авторы
выражают им свою глубокую признательность.
Список литературы
[1] Лыков А.В. Тепло- и массообмен в процессах сушки. М.;
Л.: ГЭИ, 1956.
[2] Лыков А.В. Явления переноса в капиллярно-пористых
телах. М.: ГИТТЛ, 1954.
Журнал технической физики, 1998, том 68, № 2