вынужденные колебания пружинного маятника

-
Лабораторный практикум
по ФИЗИКЕ
Механика
Л.П. Авакянц, П.Ю. Боков, А.В. Червяков, А.М. Салецкий, А.И. Слепков
ЗАДАЧА № 118
ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА
МОСКВА 2012
Рецензент: кандидат физ.-мат. наук, А.В. Клавсюк
Данная работа представляет собой новую версию автоматизированной
задачи № 318 «Свободные и вынужденные колебания пружинного маятника»,
описание которой представлено в учебных изданиях "Общий физический
практикум" под ред. А.Н.Матвеева и Д.Ф.Киселева (Издательство Московского
университета , 1987г.). Задача реализована на основе современной элементной
базы, управление экспериментом осуществляется с помощью персонального
компьютера. Используемые в задаче новые технологии обучения нацелены на
формирование специалиста-физика, глубоко понимающего физические явления
и законы, умеющего работать на современном экспериментальном
оборудовании.
2
Цель работы: Изучение свободных и вынужденных механических колебаний в
системе с одной степенью свободы.
Идея эксперимента
Используется пружинный маятник, смещение которого преобразуется с
помощью пьезоэлектрического датчика в электрический сигнал и запоминается
в памяти персонального компьютера (ПК). Маятник движется в вязкой среде,
совершая затухающие колебании, частоту и коэффициент затухания которых
можно найти, исследуя зависимость смещения маятника от времени.
Тело маятника представляет собой постоянный магнит, расположенный в
переменном магнитном поле катушки с током. В неоднородном магнитном поле
на магнит действует внешняя периодическая сила, в результате чего маятник
совершает вынужденные колебания. Изменяя частоту переменного тока в
катушке, можно исследовать явление резонанса.
Теоретическое введение
У р а в н е н и е к о л е б а н и й. Несмотря на различную физическую
природу колебаний, их можно описать одинаковыми уравнениями. Если
физическая величина x(t) изменяется со временем по гармоническому закону
x(t )  A cos(0t  0 ) ,
колебания называют гармоническими. Здесь A - амплитуда колебаний; 0 
(1)
2
T
круговая частота (T - период); t - время;  0 - начальная фаза. Функция x(t) из (1)
представляет решение дифференциального уравнения
d 2x
 02 x  0 ,
2
dt
(2)
называемого уравнением гармонического осциллятора. Систему, движение
которой описывается дифференциальным уравнением (2), называют
классическим гармоническим осциллятором.
Колебания могут быть собственными и вынужденными. В случае
собственных колебаний система выводится из состояния устойчивого
равновесия под действием внешней силы, т.е. ей сообщается некоторая энергия,
после чего действие этой внешней силы прекращается. Если же на систему
действует периодически меняющаяся внешняя сила, то происходят
вынужденные колебания. Эти колебания происходят на частоте внешней силы.
Рассмотрим колебания классического гармонического осциллятора на
3
примере пружинного маятника.
Рис. 1. Вертикальные колебания пружинного маятника
Собственные
коле б ан ия
пружинного
маятника.
Пружинный маятник состоит из легкой пружины с коэффициентом жесткости k
(рис. 1а), один из концов которой закреплен неподвижно, и грузика массы m,
прикрепленного к свободному концу пружины. Для возбуждения колебаний в
системе немного растянем пружину, и затем отпустим (рис. 1 б, в). Будем
считать, что колебания происходят только вдоль вертикальной оси Х. В этом
случае движение маятника можно описать с помощью координаты центра масс
грузика. На грузик, подвешенный на пружине в поле силы тяжести, действуют
две силы (на данном этапе силами трения пренебрежем): сила тяжести и сила со
стороны деформированной пружины. Начало координат выберем таким
образом, чтобы при x = 0 масса m находилась в равновесии. При этом сила
тяжести mg скомпенсирована силой упругости, обусловленной начальной
деформацией пружины, и в дальнейшем рассмотрении участвовать не будет.
При смещении грузика от положения равновесия на величину x будет
возникать возвращающая сила F(x). Рассмотрим малые колебания пружинного
маятника, при которых возвращающая сила, пропорциональна смещению
F(x)=-kx (закон Гука). Уравнение движения центра масс грузика в этом случае
имеет вид:
m
d 2x
 kx .
dt 2
(3)
Сравнивая (3) с (2), имеем:
0 
k
,
m
T
2
m
.
 2
0
k
(4)
Выражения (4) описывают собственную круговую частоту и период
гармонических колебаний пружинного маятника.
4
В реальных колебательных системах на маятник действуют силы трения и
запасенная в системе энергия, а также амплитуда колебаний, уменьшаются со
временем. Свободные колебания в таких системах называют затухающими.
Рассмотрим движение пружинного маятника в вязкой среде, с
небольшими скоростями, когда сила трения пропорциональна скорости
Fтр  hv , где h — коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и
формы тела, свойств его поверхности и среды, в которой происходит движение.
Тогда уравнение затухающих колебаний можно записать следующим
образом:
d 2 x h dx

 02 x  0 .
2
m dt
dt
(5)
Предположим, что сила трения мала и в колебательной системе
происходит несколько полных колебаний. В этом случае решение уравнения (5)
имеет следующий вид:
(6)
x1 (t )  A1e   t cos(1t  1 ) ,
где A1, 1 - начальные амплитуда и фаза колебаний, 1 - частота затухающих
колебаний,  
1
–- коэффициент затухания,  – время затухания (время, за

которое амплитуда затухающих колебаний уменьшится в e ≈ 2,7 раз).
Действительно, вычисляя производные по времени от (6) и подставляя
результат в (5), получаем:
h
h



cos(1t  1 )  2  12    02   sin(1t  1 ) 21  1   0 .
m
m



(7)
Выражение (7) справедливо в любой момент времени t. Следовательно,
сомножители при тригонометрических функциях в нём должны одновременно
обращаться в нуль. Поэтому (6) для любого момента времени является
решением (5) при одновременном выполнении двух условий:

h
, и 12  02   2 .
2m
(8)
Используя полученный результат, уравнение колебаний часто записывают
в виде:
d 2x
dx
 2  02 x  0 .
2
dt
dt
(9)
Отметим, что частота затухающих колебаний 1 отличается от частоты
собственных колебаний 0 (8).
Смещение маятника от положения равновесия в зависимости от времени
(6), показано на рис. 2. Для малых коэффициентов затухания колебания близки
5
к гармоническим, при больших  затухание происходит за 1-2 периода.
Рис. 2. Зависимость смещения пружинного маятника x1(t) от времени для случая малых
коэффициентов затухания
Затухание колебаний описывают
декремента затухания  , который равен:
  ln
где
An
An 1
с
помощью
логарифмического
An
e  t
2
 ln   ( t T )   T , T 
,
An 1
e
1
(10)
— отношение амплитуд двух последовательных колебаний.
В ы н уж д е нн ые коле б а ни я п руж и н н о го ма я т н и ка .
Рассмотрим теперь колебания пружинного маятника в системе с одной
степенью свободы, которые возникают под действием внешней гармонической
силы Fex (t )  f0 cos(t )  0 . В этом случае уравнение вынужденных колебаний
будет иметь вид:
d 2x
dx
 2  02 x  f cos(t ) ,
2
dt
dt
где f 
(11)
f0
- приведенная амплитуда, - частота вынуждающей силы. Согласно
m
теории дифференциальных уравнений, решение уравнения (11) имеет вид:
x(t )  x1 (t )  x2 (t ) ,
(12)
где x1 (t ) соответствует затухающим собственным колебаниям (6), а x2 (t ) 6
колебаниям на частоте вынуждающей силы.
Рис. 3. Зависимость амплитуды A от времени t при установлении колебаний (   0 )
Слагаемое x1 (t ) играет существенную роль только в начальной стадии
процесса, при так называемом установлении вынужденных колебаний (рис. 3).
С течением времени из-за экспоненциального множителя e t роль слагаемого
x1 (t ) уменьшается и через некоторое время им можно пренебречь, сохраняя в
решении только слагаемое x2 (t ) :
(13)
x2 (t )  A2 ( ) cos(t   ( )) ,
где
A2 ( ) 
f
(02   2 ) 2  4  2 2
(14)
- амплитуда вынужденных колебаний,
tg()  
2
  2
2
0
(15)
 ( ) - сдвиг фазы, т.е. разность фаз смещения грузика и вынуждающей силы.
При малых затуханиях на частотах вынуждающей силы вблизи частоты
собственных колебаний маятника   0 амплитуда колебаний (14) резко
возрастает. Это явление получило название резонанса. Значение резонансной
частоты  рез можно получить из (14), проведя исследование функции на
экстремум:
 рез  02  2 2 .
(16)
Типичные амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики
показаны на рис. 4.
7
Рис. 4. Типичные амплитудно-частотные (а) и фазово-частотные характеристики пружинного
маятника (б)
Наряду с логарифмическим декрементом затухания  используют
величину Q, называемую добротностью системы, которая определяется как
отношение амплитуды смещения при резонансе A2 ( рез ) , к амплитуде смещения
A2 (0)
при
  0.
Учитывая
определения
коэффициента
затухания,
логарифмического декремента затухания, а также соотношение (14), получаем
Q
A2 ( рез )
A2 (0)

0
2 

  0  .
2 2T 
Рис. 5. Резонансная кривая маятника
8
(17)
В случае Q >> 1 добротность можно выразить также через ширину
резонансной кривой  на уровне 1/ 2  0,7 (см. рис. 5):
Q
 рез
2  1

0

.
(18)
Можно показать, что:
Q  2
E
.
E
(19)
где Е – энергия, запасенная в системе, E – энергия, теряемая осциллятором за
период.
Экспериментальная установка
Исследование колебаний маятника проводится на установке, схема
которой приведена на рис. 6. Установка состоит из пружинного маятника,
системы регистрации смещения маятника на основе пьезоэлектрического
датчика, системы возбуждения вынужденных колебаний, а также системы
управления экспериментом. Установка снабжена, также, устройством для
статического измерения коэффициента жесткости пружины.
Исследуемый пружинный маятник состоит из стальной пружины и
грузика, в который вмонтирован постоянный магнит. Движение грузика
происходит в жидкости. Скорость грузика в условиях эксперимента невелика и
возникающая сила вязкого трения может считаться пропорциональной
скорости.
Возбуждение колебаний осуществляется с помощью магнитного поля.
Электрический ток, сила которого меняется по гармоническому закону,
создается системой управления экспериментом по командам пользователя ПК, и
подается на катушку, расположенную под грузиком. В результате этого вокруг
катушки возникает переменное во времени и неоднородное в пространстве
магнитное поле, и на магнит действует периодическая вынуждающая сила.
Система управления экспериментом состоит из персонального
компьютера и блока сопряжения с ПК, в который входят аналого-цифровой
(АЦП) и цифро-аналоговый (ЦАП) преобразователи. Аналоговый сигнал с
пьезоэлектрического датчика с помощью АЦП преобразуется в цифровой код и
передается на ПК.
9
Рис. 6. Блок-схема экспериментальной установки
Управление экспериментальной установкой с помощью ПК
Управление экспериментальной установкой осуществляется с помощью
программы, являющейся многооконным приложением в операционной системе
Windows, что позволяет реализовать многозадачный режим работы и
предоставляет пользователю удобный графический интерфейс. Общий вид
основного окна программы, обеспечивающей управление блоком сопряжения,
сбор, обработку и анализ экспериментальных данных, показан на рис.7.
Основное окно программы представляет собой блокнот с закладками,
страницы которого можно листать. На каждой странице расположены кнопки,
управляющие программой. Назначение кнопок ясно из подсказок, которые
появляются при наведении курсора на соответствующую кнопку. При нажатии
на кнопку HELP можно получить краткую инструкцию о том, что нужно делать
в каждом их упражнений.
В каждом упражнении имеется контрольное задание, без успешного
выполнения которого работа над следующим упражнением невозможна.
10
Рассмотрим работу программы в различных режимах.
В режиме «Эксперимент» осуществляется управление экспериментом.
В данной работе физического практикума предусмотрено 4 упражнения.
Выбор упражнений осуществляется с помощью элементов управления, которые
объединены в группу «Упражнение».
Набор элементов, сгруппированный под заголовком «Генератор», служит
для управления генератором, подающим гармонический сигнал на катушку
электромагнита. Частоту генератора можно изменять в диапазоне 2.00-6.00 Гц с
шагом 0.05 Гц. Кнопка «ON/OFF» служит для включения и выключения
генератора. Кнопка работает как выключатель, т.е. нажатие на нее приводит к
изменению текущего состояния на противоположное.
Кнопка «Пуск» используется для начала измерений при выполнении
упражнений 2 и 3. На экране отображаются результаты измерений - (рис. 7).
При этом горизонтальная ось отградуирована в миллисекундах, вертикальная
ось - в относительных единицах.
Синий график соответствует смещению, красный - возбуждающей силе.
Рис. 7. Вид окна программы в режиме. Эксперимент (упражнение 3)
В правой части статусной строки отображается информация о номере
11
текущего измерения и информация, подсказывающая текущий этап работы
программы: «Идет запись», «Запись окончена», «Пуск, если колебания
установились»... и т.д.
Если результаты измерений устраивают, можно перейти к их обработке,
нажав кнопку «В архив» и переключившись в режим «Обработка». В
противном случае графики следует удалить нажатием кнопки «Удалить» и
провести повторные измерения.
Режим «Обработка». Этот режим (рис. 8) позволяет найти параметры
активного графика. Для выбора активного графика необходимо навести на
линию графика указатель мыши и кликнуть левой кнопкой. Активный график
выделяется серией квадратиков.
Рис. 8. Вид окна программы в режиме Обработка (упражнение 3)
В верхней части закладки «Обработка» находятся следующие элементы
управления:

кнопка «Удалить» - нажатие этой кнопки приводит к удалению из памяти
ПК активной записи;

кнопка «Параметры». При нажатии на эту кнопку программа находит
начальное приближение для параметров активного графика (амплитуда,
12
частота, начальная фаза, коэффициент затухания) и строит теоретический
график с этими параметрами. Это дает возможность визуально оценить
качество начального приближения. Если оно устраивает, можно перенести
результаты обработки в таблицу, нажав кнопку «Занести в таблицу»,
если нет, то можно отменить предварительную обработку, отжав кнопку
«Параметры». Чтобы улучшить качество обработки, надо включить
режим обработки нелинейным методом наименьших квадратов (НМНК),
поставив галочку в элементе НМНК. После чего нажать кнопку
«Параметры»;

кнопка «Занести в таблицу» позволяет перенести результаты обработки
в таблицу, - (рис. 9), в которой хранятся результаты измерений;

кнопка «Показать таблицу» выводит на экран таблицу с результатами
измерений.
Эти результаты используются для построения АЧХ и ФЧХ (рис. 10 и 11).
Для того чтобы удалить строку, надо кликнуть левой кнопкой мыши в колонке
«Select» и нажать кнопку «Delete».
Режим «АЧХ». Строится график амплитудно-частотной характеристики –
зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты. Если число
записей больше пяти, при нажатии на кнопку «ТЕОРИЯ» будет выведен
теоретический график, с собственной частотой и коэффициентом затухания,
полученными во втором упражнении. Для построения правильного графика
необходимо подробно (с шагом 0.05 Гц) исследовать область резонанса.
Режим «ФЧХ». Строится график фазово-частотной характеристики –
зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты. Если число
записей больше пяти, при нажатии на кнопку «ТЕОРИЯ» будет выведен
теоретический график, с собственной частотой и коэффициентом затухания,
полученными во втором упражнении. Для построения правильного графика
необходимо подробно (с шагом 0.05 Гц) исследовать область резонанса.
13
Рис. 9. Таблица результатов измерений
Рис. 10. Вид окна программы в режиме АЧХ
14
Рис. 11. Вид окна программы в режиме ФЧХ
15
Порядок работы
Упражнение 1. Определение коэффициента жесткости пружины и
собственной частоты маятника статическим методом
Закрепите пружину на штативе с линейкой. Определите коэффициент
жесткости пружины, подвешивая к пружине грузы с известными массами.
Выберите на закладке «Эксперимент» режим «Упражнение 1».
В результате открывается окно «Упражнение 1» рис. 12. Выполняя это
упражнение, необходимо заносить в первый столбец (Х) значения масс грузов в
граммах, во второй столбец (Y) удлинение пружины в миллиметрах.
Рис. 12. Вид окна программы при выполнении упражнения 1
Для определения коэффициента жесткости пружины следует обработать
полученные данные методом наименьших квадратов (МНК), нажав кнопку
МНК. Результат обработки виден на графике. Параметры прямой и их
погрешности отображаются в верхней части окна.
Перед обработкой результатов других измерений необходимо нажать
кнопку «Очистить» в правой верхней части окна программы, ввести новые
данные и заново провести их обработку.
Определив коэффициент жесткости пружины для заданной массы
16
грузика, найдите собственную частоту колебаний маятника:
0 
0
1 k
.

2 2  m
(20)
Результаты запишите в тетрадь.
Упражнение 2. Определение частоты свободных колебаний пружинного
маятника и коэффициента затухания
Выберите на закладке «Эксперимент» режим «Упражнение 2».
Подвесьте маятник к пьзодатчику. Возбудите колебания маятника,
установив частоту генератора, близкую к резонансу. Отключите генератор,
нажав кнопку «ON/OFF» (при этом колебания станут затухающими), и сразу же
нажмите кнопку «Пуск» (начало записи) - на экране окна появится зависимость
смещения маятника от времени при затухающих колебаниях (рис. 13).
Рис. 13. Вид окна программы при выполнении упражнения 2
Занесите запись в архив, нажав кнопку «В Архив». Перейдите в режим
«Обработка». Нажмите кнопку «Параметры». Для ответа на контрольный
вопрос найдите период затухающих колебаний и амплитуды двух соседних
17
максимумов, считывая координаты курсора (X,Y) на панели внизу слева. Для
вычисления требуемых параметров используйте формулы (8, 10, 16) описания.
Вычисления и результаты запишите в тетрадь.
Упражнение 3. Изучение вынужденных колебаний пружинного
маятника
Выберите на закладке «Эксперимент» режим «Упражнение 3».
Возбудите колебания маятника, установив частоту генератора, близкую к
резонансу. Нажмите кнопку «Пуск». Занесите запись в архив, нажав кнопку «В
Архив».
Перейдите в режим «Обработка». Выделите запись, которую хотите
обработать (кликните по ней левой кнопкой мыши). Нажмите кнопку
«Параметры». Занесите результаты в таблицу. Выделите второй график, и
повторите действия. Для ответа на контрольный вопрос найдите период
колебаний и задержку по времени максимума смещения (красный график)
относительно ближайшего слева максимума силы (синий график), считывая
координаты курсора на панели внизу слева. Пересчитайте задержку по времени
в задержку по фазе. Для правильного ответа на контрольный вопрос не
забывайте о знаке! После правильного ответа на контрольный вопрос
вычисления будут производиться автоматически.
Изменяя частоту генератора, снимите АЧХ и ФЧХ маятника. При снятии
АЧХ и ФЧХ следует помнить, что в системе возбуждаются собственные и
вынужденные колебания, поэтому при изменении частоты генератора каждый
раз нужно выжидать некоторое время, чтобы собственные колебания маятника
успевали затухнуть. Оценить это время можно по полученному в упр. 2
значению коэффициента затухания.
Значение добротности можно оценить по АЧХ. Измерив ширину
резонансной кривой  на уровне значения амплитуды, равного
1
 0,71 от
2
значения амплитуды при резонансе    рез , получите оценку добротности Q
(справедливую при малом затухании, когда    рез ):
Q
 рез

.
(21)
Отчет по третьему упражнению должен содержать таблицу зависимостей
амплитуды и фазы колебаний от частоты, АЧХ и ФЧХ, а также результаты
расчета Q.
18
Упражнение 4. Исследование влияния массы пружины на период
собственных колебаний маятника
Ранее мы использовали модель пружинного маятника с пружиной, масса
которой пренебрежимо мала. Для того чтобы учесть инерцию пружины, введем
добавку к массе грузика Δm, которую в дальнейшем будем называть
эффективной массой пружины. В этом случае формула (4) для периода
собственных колебаний будет иметь вид: T  2
m
k
(2 )
2
m  m
, откуда получаем
k
T 2  m
(22)
m можно найти,
Из (22) видно, что эффективную массу пружины
построив зависимость T 2 (m) или m(T 2 ) .
Чтобы уменьшить затухание вынем маятник из жидкости. Поднимите
кронштейн, на котором закреплен пьезодатчик и маятник, так, чтобы грузик
оказался на 5 - 10 см выше уровня воды.
Выберите в закладке «Эксперимент» режим «Упражнение 4». Для
возбуждения колебаний маятника растяните пружину на 1 - 2 см, затем
отпустите ее (рис. 1 б, в) и нажмите кнопку «Пуск» (старт записи).
Полученный график (рис. 13) занесите в архив, нажав кнопку «В архив».
Перейдите в режим «Обработка». Нажмите кнопку «Параметры». Результаты
обработки – частоту собственных колебаний и массу грузика занесите в тетрадь
в таблицу:
№
1
2
3
4
m, г
0, Гц
Т0, с
Т20, с2
Проведите эксперимент с несколькими грузиками различной массы.
Вычислите периоды колебаний маятников с грузами разной массы и
квадраты периодов колебаний. С помощью программы «МНК», которая
имеется на рабочем столе ПК, постройте график зависимости квадрата периода
собственных колебаний маятника от массы груза (или массы груза от квадрата
периода колебаний (22)). Оцените по результатам МНК эффективную массу
пружины маятника. Сравните полученное значение с массой пружины (взвесить
пружину можно на электронных весах в лаборатории 4-34 «Механика» общего
физического практикума) и значением, полученном в результате расчета по
модели приложения 1.
19
Основные результаты работы
В результате работы должны быть определены:
1. Собственная частота колебаний пружинного маятника статическим методом.
2. Частота, логарифмический декремент затухания, коэффициент затухания и
добротность затухающих колебаний маятника в жидкости.
3. Амплитудно-частотная и фазово-частотная зависимости при вынужденных
колебаниях маятника.
4. Зависимость квадрата периода собственных колебаний маятника от массы
груза и получено значение эффективной массы пружины.
Контрольные вопросы и задания
1. Что называют классическим гармоническим осциллятором?
2. Покажите, что постоянная сила тяжести не влияет на частоту колебаний
пружинного маятника.
3. Напишите формулу для определения частоты собственных колебаний
пружинного маятника.
4. Напишите формулу для определения частоты затухающих колебаний.
5. Напишите формулу для определения резонансной частоты для смещения
пружинного маятника.
6. На какой частоте происходят вынужденные колебания маятника?
7. Дайте определения коэффициента затухания, логарифмического декремента
затухания, добротности.
Литература
1. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Университетский курс общей
физики. Колебания и волны. М.: Физический ф-т МГУ, 2001. Лекции 1-2.
2. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Механика. Издание второе, М.,
Академия, 471 с. (2006). Лекции 19-20
3. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. 2-е изд. М.: Высшая
школа, 1986. Глава 13.
4. Русаков В.С., Слепков А.И., Никанорова Е.А., Чистякова Н.И.. Механика.
Методика решения задач. Учебное пособие. М.:Физический факультет МГУ,
2010. Глава 8.
5. Митин И.В., Русаков В.С. Анализ и обработка экспериментальных данных.
Учебно-методическое пособие для студентов младших курсов. – М.: МГУ.
2002
20
Приложение 1
Влияние массы пружинки на период колебаний пружинного маятника
В реальном пружинном маятнике масса пружины отлична от нуля. Это
значит, что в случае незатухающих колебаний механическая энергия
пружинного маятника состоит из:
(п1.1)
E  K гр  К пр  П пр ,
где Кгр – кинетическая энергия грузика, Кпр – кинетическая энергия пружинки,
Ппр – потенциальная энергия упругих деформаций пружинки.
Витки пружинки движутся с разными скоростями: в точке подвеса
скорость витков равна нулю, в точке прикрепления грузика – текущей скорости
грузика. В этом случае кинетическая энергия пружинки определяется как
(п1.2)
К пр   dK пр ,
где dКпр – кинетическая энергия слоя пружинки толщиной dx. Если
предположить, что скорость слоев пружинки линейно зависит от их координаты
x, то:
2
dK пр
 x 1
  v  dm ,
 l 2
(п1.3)
где v – скорость грузика, l – длина пружинки, х – координата слоя dm. Для
однородной пружинки массой mпр масса слоя пружинки толщиной dx равна
dm  mпр
dx
. Тогда:
l
2
dx
 x 1
.
dK пр   v  mпр
l
 l 2
(п1.4)
Кинетическая энергия пружинки в этом случае равна:
 mпр  2
v

3 
mпрv l
dx mпрv
 x 1

2
   v  mпр

x dx 

.
l 2
l
2
2l 3 0
2l 3 3
0
l
dK пр
2
2 l
2
3
(п1.5)
Из соотношения (п1.5) видно, что частота колебаний пружинного
маятника при ненулевой массе пружинки определяется как:
0 
0
1

2 2 
k
m
mгр  пр
21
.
3
(п1.6)
Приложение 2
В лабораторной работе используется разработанный в общем физическом
практикуме физического факультета МГУ автоматизированный измерительный
и управляющий комплекс (блок сопряжения). Блок сопряжения реализован на
микропроцессорной элементной базе и является основой автоматизированной
системы сбора экспериментальных данных и управления физическим
экспериментом.
В данной работе блок сопряжения выполняет следующие функции:
- связь с компьютером по последовательному порту RS-232 (передача
команд и данных);
- генерация переменного синусоидального напряжения перестраиваемого
по частоте в пределах 0 – 10 Гц и амплитудой ±10 В с помощью цифроаналогового преобразователя (ЦАП),
- измерение переменного напряжения по двум каналам в пределах 0 – 10 В
с точностью не хуже 0,005 В с помощью многоканального аналогоцифрового преобразователя (АЦП);
- передача полученных экспериментальных данных в память компьютера
для отображения их на экране монитора, накопления и последующей
обработки результатов экспериментов.
Система, содержащая компьютер, блок сопряжения и специализированное
программное обеспечение, заменяет ряд приборов и устройств (генераторы,
вольтметры, амперметры и т.д.) в экспериментальных установках для изучения
различных физических явлений. Такая система позволяет управлять ходом
эксперимента, проводить измерения, накапливать, систематизировать и
обрабатывать экспериментальные данные, представлять результаты в
графическом и числовом форматах.
Подробное
описание
автоматизированного
измерительного
и
управляющего комплекса содержится в статье: Авакянц Л.П., Боков П.Ю.,
Митин И.В., Китов И.А., Салецкий А.М., Червяков А.В. «Автоматизированная
система для общего физического практикума», Физическое образование в
ВУЗах, 13(3) 110 2007.
22