Свойства сходящихся последовательностей 1) Две последовательности, отличающиеся на конечное число членов, ведут себя одинаково относительно сходимости. 2) Последовательность может иметь не более одного предела. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть {xn } a и {xn } b . Покажем, что a b . Возьмем любое число 0 . Так как {xn } a , то существует номер | xn a | , n N1 . 2 Так как {xn } b , то существует номер N 2 такой, что N1 такой, что | xn b | (1) , n N 2 . (2) 2 Пусть N max{ N1, N 2 } . Тогда для любого n N выполняются одновременно оба неравенства (1) и (2). Следовательно, a b a xn xn b ( xn b) ( xn a) xn b xn a 2 2 . a b , 0 . Итак, Единственное неотрицательное число, которое меньше любого положительного числа, – это ноль. Следовательно, a b 0, ⇒ a b 0, ⇒ a b . ∎1 3) Если последовательность {xn } сходится к a , то последовательность {| xn |} сходится к | a | . Для доказательства достаточно заметить, что справедливо неравенство xn a xn a . 4) Сходящаяся последовательность ограничена. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть {xn } a . Возьмем 1 . Тогда существует номер N такой, | xn a | , n N . что 1 Знак ∎ означает окончание доказательства. 1 Следовательно, xn xn a a ( xn a) a xn a a 1 a , n N . M max x1 , x2 , , xN , 1 a . Пусть ∎ xn M , n N . Тогда ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой, разностью, произведением, частным двух последовательностей {xn } и { yn } называются соответственно послеx довательности {xn yn } , {xn yn } , {xn yn } , n (в последнем слу yn чае, все члены последовательности { yn } должны быть отличны от нуля). Произведением последовательности {xn } на число C называется последовательность {C xn } . Последовательность {C xn } можно рассматривать также как произведением последовательностей {xn } и {C} . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность, сходящуюся к нулю, называют бесконечно малой. 5) Число a является пределом последовательности {xn } тогда и только тогда, когда xn a n , где { n } – бесконечно малая последовательность. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1) ⇒ (Необходимость). Пусть lim xn a . Тогда для любого 0 существует номер N n xn a , n N . такой, что (3) Обозначим n xn a . Тогда xn a n , причем, в силу неравенства (3), { n } 0 . 2) ⇐ (Достаточность). Пусть для любого n имеет место равенство xn a n и { n } 0 . n xn a . Тогда Так как { n } – бесконечно малая последовательность, то для любого 0 существует номер N такой, что n 0 , n N . n 0 n xn a . Но xn a , n N ; Следовательно, ⇒ lim xn a . n 2 ∎ 6) Пусть последовательность {xn } – ограниченная, а последовательность { n } – бесконечно малая. Тогда их произведение {xn n } является бесконечно малой последовательностью. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО По условию {xn } – ограниченная. Следовательно, существует число xn M , n ℕ. M 0 такое, что Возьмем любое число 0 . Так как { n } – бесконечно малая, то существует номер N такой, что n n 0 Рассмотрим xn n . Имеем: M xn n xn n M , n N . , n N . M Таким образом, получили, что для любого 0 существует номер N такой, что xn n xn n 0 , n N . lim xn n 0 . Значит n ∎ СЛЕДСТВИЕ свойства 6. Если { n } – бесконечно малая последовательность и {xn } – сходящаяся последовательность, то их произведение { n xn } является бесконечно малой последовательностью. Действительно, так как {xn } – сходящаяся, то она ограничена (смотри свойство 4). Следовательно, по свойству 6, { n xn } является бесконечно малой последовательностью. 7) Пусть {xn } , { yn } – сходящиеся последовательности и lim xn a , lim yn b . n n Тогда их сумма, разность, произведение и частное также являются сходящимися последовательностями, причем а) lim xn yn a b ; n б) lim xn yn a b ; n x a в) lim n (при условии, что b 0 ). n yn b 3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (для 7(а) и 7(б) ) а) Возьмем любое число 0 . Так как номер N1 такой, что | xn a | lim xn a , то существует n , n N1 . 2 Так как lim yn b , то существует номер N 2 такой, что (4) n | yn b | , n N 2 . (5) 2 Пусть N max{ N1, N 2 } . Тогда для любого n N выполняются одновременно оба неравенства (4) и (5). Следовательно, для любого n N ( xn yn ) (a b) ( xn a) ( yn b) xn a yn b ⇒ lim xn yn a b . n ∎ 2 2 . б) Докажем сначала вспомогательное утверждение. Если { n } и { n } – бесконечно малые последовательности, то их произведение { n n } – тоже является бесконечно малой последовательностью. Возьмем любое число 0 . Так как { n } – бесконечно малая, то существует номер N1 такой, что n 0 n , n N1 . Так как { n } – бесконечно малая, то существует номер N 2 что (6) такой, n 0 n , n N 2 . (7) Пусть N max{ N1, N 2 } . Тогда для любого n N выполняются одновременно оба неравенства (6) и (7). Следовательно, для любого n N n n 0 n n n n , n N . ⇒ lim n n 0 . n Теперь рассмотрим две произвольные сходящиеся последовательности {xn } и { yn } . Если lim xn a , lim yn b , то n n xn a n , yn b n , где { n } , { n } – бесконечно малые последовательности (свойство 5). xn yn (a n ) (b n ) ab a n b n n n . Тогда Но {a n } , {b n } , { n n } – бесконечно малые. Следовательно, их сумма {a n b n n n } { n } тоже является бесконечно малой (свойство 7(а)). Таким образом, получили 4 xn yn ab n , где { n } – бесконечно малая последовательность. Согласно свойству 5, это значит, что lim xn yn a b . n ∎ СЛЕДСТВИЕ свойства 7. Пусть {xn } – сходящаяся последоваlim xn a . тельность и n Тогда для любого C ℝ последовательность {C xn } тоже сходится, причем lim C xn C a . n Так как последовательность {C} очевидно является сходящейся, то это утверждение является следствием пункта б) свойства 7. 8) Пусть a lim xn и xn 0 ( xn 0 ), n N . Тогда a 0 . n ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Предположим противное. Пусть a 0 . Возьмем такое, что 0 Для выбранного существует номер N такой, что xn a , n N ; ⇒ a xn a , n N . |a| . 2 (8) |a| , то из неравенства (8) получаем: 2 |a| a xn a a 0 , n N . 2 2 Но этот результат противоречит условию. Следовательно, предположение было неверным и a 0 . Так как 0 9) Пусть последовательности {xn } и { yn } сходятся и для любого n ℕ имеет место неравенство xn yn ( xn yn ). lim xn lim yn . Тогда n n ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Рассмотрим последовательность {xn yn } . Ее члены по условию будут неотрицательны (положительны). Тогда по свойству 8 lim xn yn 0 , n ⇒ lim xn lim yn 0 , n n 5 ⇒ ∎ lim xn lim yn . n n 10) Пусть последовательности {xn } и { yn } сходятся и имеют равные пределы. Если для любого n ℕ имеет место неравенство xn zn yn , то последовательность {zn } тоже сходится и lim xn lim zn lim yn . n n n ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть lim xn lim yn a . Докажем, что lim zn a . n n n Возьмем любое число 0 . Так как lim xn a , то существует ноn мер N1 такой, что | xn a | , n N1 . Так как lim yn a , то существует номер N 2 такой, что (9) n | yn a | , n N 2 . (10) Пусть N max{ N1, N 2 } . Тогда для любого n N выполняются одновременно оба неравенства (9) и (10). Следовательно, для любого n N | xn a | ⇒ xn (a ; a ) и Но если | yn a | ⇒ yn (a ; a ) . xn , yn (a ; a ) , то zn (a ; a ) xn zn yn , n ℕ). Следовательно, | zn a | , n N , ⇒ lim zn a . n 6 ∎ (т.к. по условию Свойства бесконечно больших последовательностей 1 1) Если {xn } – бесконечно большая, то последовательность xn – бесконечно малая. Если последовательность { n } – бесконечно ма1 лая, то последовательность – бесконечно большая. n ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 2) Если последовательности {xn } и { yn } – бесконечно большие одного знака, то их сумма {xn yn } – бесконечно большая того же знака. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 3) Если последовательности {xn } – бесконечно большая, а последовательность { yn } – ограниченна, то их сумма {xn yn } – бесконечно большая последовательность. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 4) Если последовательности {xn } и { yn } – бесконечно большие, то их произведение {xn yn } – бесконечно большая последовательность. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 5) Если последовательность {xn } – бесконечно большая, а последовательность { yn } – сходящаяся, причем lim yn a 0 , то их проn изведение {xn yn } – бесконечно большая последовательность. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность {xn } называют отделимой от нуля, если существуют число K 0 и номер N такие, что xn K , n N . 7 6) Если последовательность {xn } – ограниченная и отделимая от нуля, а { yn } – бесконечно большая, то их произведение {xn yn } – бесконечно большая последовательность. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 7) Если последовательность {xn } – бесконечно большая и для любого n ℕ имеет место неравенство xn yn ( xn yn ), то последовательность { yn } тоже является бесконечно большой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 8