

Числовая последовательность
2.1.1. В этой Главе элементы числовой последовательности
будем обозначать a n ( a (n)  a n ), а сами последовательности a n .
2.1.2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Числовая
последовательность
a (n)  a n (соответствующая ей функция a (n)  a n натурального
аргумента n) называется бесконечно малой, если для любого
положительного числа  можно указать такой номер
последовательности N ( N  N (  ) ), что для всех следующих
номеров n выполняется неравенство a n   .
Другими словами, все элементы (члены) последовательности
a1 , a2 , , an ,, за исключением конечного числа членов, меньше
по модулю сколь угодно малого положительного числа 
(естественно, за исключением своего числа членов для каждого
числа  ). Напомним, что выражение a n называется общим
элементом (членом) последовательности.
2.1.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число b называется предельным
a n 
значением
(пределом)
последовательности
(соответствующей ей функции a (n)  a n натурального аргумента
n ), если последовательность a n  b (функция a(n)  b )
натурального аргумента является бесконечно малой. Приняты
следующие обозначения
lim an  b или a n  b .
n 


 lim a(n)  b или a n  b  .
 n

Про последовательность a n  (функцию a (n)  a n ), для
которой существует предельное значение b, говорят ещё, что она
имеет пределом число b , или, что она сходится к числу b . Всё
сказанное далее можно легко переформулировать для функции
натурального аргумента.
Иногда удобнее давать другую формулировку. Число b
называется
предельным
значением
(пределом)
1
последовательности a n  , если a n  b   n , где  n  - бесконечно
малая последовательность.
a n  - бесконечно малая
Очевидно,
что
если
последовательность,
то lim an  0 , т.е. бесконечно малые
n 
последовательности являются частным случаем сходящихся
последовательностей,
точнее
сходящихся
к
нулю
последовательностей. С помощью понятия бесконечно малой
последовательности мы как бы сводим рассмотрение предельных
значений к стандартному (нулевому) предельному значению, и
это удобно особенно в теоретических рассуждениях. Естественно
можно сформулировать определение предельного значения
(предела) последовательности без использования понятия
бесконечно малой последовательности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Число
называется
пределом
b
последовательности a n  , если для любого   0 можно указать
такой номер N , что для всех n  N выполняется неравенство
an  b   .
Одним из геометрических эквивалентов того, что число b
называется
предельным
значением
(пределом)
последовательности a n  является то, что для
любой εокрестности точки b на числовой оси найдётся такой номер N,
что все элементы последовательности a n  с номерами n  N
попадут в эту окрестность (см. Рис. 2.1)
Элементы числовой последовательности на числовой оси
Рис. 2.1
Другим геометрическим эквивалентом того, что число b
называется
предельным
значением
(пределом)
последовательности a n  является то, точки графика Г функции
y  a(n) натурального аргумента n с ростом номера n
2
неограниченно приближаются к единственной горизонтальной
прямой y  b (см. Рис. 2.2).
График функции y  a(n) , lim an  b
n 
Рис. 2.2
2.1.4. Важно правильно и конструктивно (т.е. в
утвердительной форме) сформулировать, что означает, что
последовательность
не
является
сходящейся
(такая
последовательность называется расходящейся). Это означает, что
для любого числа b можно указать такое число  0  0 , что для
a n 
бесконечного
числа
членов
последовательности
выполняется неравенство a n  b  0 .
2.1.5. Существуют ли расходящиеся последовательности? Да.
Пример. Пусть a n   1n . Если b  0 , то возьмём  0  1 и для
всех нечётных номеров n имеем b  a n  b  1  b  1  1, если
b  0 , то снова возьмём  0  1 и для всех чётных номеров n
имеем
Итак,
b  a n  b  1  b  1  1  b  1 .


n
последовательность  1 является расходящейся.
2.1.6. ТЕОРЕМА. Если все a n  0 и a n  b , то b  0 .
2.1.7. Доказательство теоремы раздела 2.1.6. Допустим
противное, т.е. b  0 , но если положить  0  b , то для всех
номеров n будет выполнено неравенство a n  b   0 , а это
означает, что b не является предельным значением для
3
последовательности
следовательно, b  0 .
a n .
Пришли
к
противоречию,
УПРАЖНЕНИЯ. Докажите самостоятельно
утверждения:
1.Если все a n  0 и a n  b , то b  0 .
2. Если все a n  0 и a n  b , то b  0 .
3. Если все a n  0 и a n  b , то b  0 .
следующие
4. Теорема раздела 2.1.6 и аналогичные ей утверждения
называются теоремами о сохранении знака неравенства при
предельном переходе. Строгое неравенство при предельном
переходе не обязательно переходит в строгое. Убедитесь в этом,
1
1
рассмотрев следующие примеры: a n   0 , a n  1   0 .
n
n
5. Если все a n  b , то a n  b .
2.2.1.Множество чисел называется ограниченным, если
существует постоянная С такая, что для любого элемента х
данного множества справедливо неравенство x  C .
2.2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется ограниченной в
области определения, если множество её частных значений
ограничено.
2.2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность a n  называется
ограниченной, если существует число С такое, что для любого
элемента a n последовательности справедливо неравенство
an  C .
Последовательность a n  называется ограниченной сверху,
если существует число С такое, что для любого элемента a n
последовательности справедливо неравенство a n  C .
Последовательность a n  называется ограниченной снизу,
если существует число С такое, что для любого элемента a n
последовательности справедливо неравенство a n  C .
4
2.3.1.
ТЕОРЕМА.
Сходящаяся
последовательность
ограничена.
2.3.2. Доказательство теоремы раздела 2.3.1. Пусть a n  b .
Для   1 найдётся номер N  N (1) такой, что при всех номерах
n  N будет справедливо неравенство a n  b  1 , которое
эквивалентно цепочке неравенств  1  a n  b  1 .
Эту цепочку перепишем так b  1  a n  b  1, откуда следует,
что при n  N
an  max  b  1 , b  1   b  1.
Полагая, что C  max  a1 , a 2 ,  , a n , b  1 , получим, что
для всех номеров n выполняется неравенство a n  C , т.е.
последовательность a n  ограничена.
2.3.3. Теорема раздела 2.3.1. утверждает, что из сходимости
последовательности следует её ограниченность. Обратная
теорема неверна. Из ограниченности последовательности не
следует её сходимость, ибо существуют расходящиеся
ограниченные последовательности. Приведём простой пример.
n
Последовательность  1 ограничена, и она расходится (см.
раздел 2.1.5).


2.3.4. ТЕОРЕМА. Если последовательность a n  - ограничена,
а последовательность bn  бесконечно малая, то
последовательность a n  bn - бесконечно малая.
2.3.5. Возьмём произвольное положительное  и поделим на
постоянную С, которая ограничивает последовательность a n  .

Для числа
можно указать номер N такой, что при номерах
С

n  N справедливо неравенство bn  . Имеем при n  N
C
5
a n  bn  a n  bn  C 
бесконечно малая.

  , т.е. последовательность
C
a n  bn -
2.3.6. ТЕОРЕМА. Если a n  и bn  - бесконечно малые
a n  bn  последовательности, то последовательность
бесконечно малая (складываются элементы с одинаковыми
номерами).

можно выбрать такие
2
номера N 1 и N 2 , что для всех номеров n  N 1 справедливо

неравенство a n  , а для всех номеров n  N 2 справедливо
2

неравенство bn  , т.е. для всех номеров n  max N1 , N 2 
2
справедливо неравенство
 
a n  bn  a n  bn     ,
2 2
Откуда следует, что последовательность a n  bn  бесконечно малая.
2.3.7. Пусть   0 . Тогда для числа
2.3.8. ТЕОРЕМА. Если a n  и
a n  bn 
последовательности, то
последовательность.
bn 
-
- бесконечно малые
бесконечно малая
2.3.9. Так как бесконечно малая последовательность
ограничена, то произведение двух бесконечно малых
последовательностей можно считать произведением бесконечно
малой последовательности на ограниченную.
2.3.10. ТЕОРЕМА. Если все a n  0 , a n  b , b  0 , то


последовательность a n 1 ограничена.
6
2.3.11. Пусть для определённости b  0 . Для числа   0.5 b
найдётся номер N  N  N ()  такой, что для номеров n  N
справедливо неравенство a n  b  0.5 b , которое эквивалентно
цепочке b  0.5 b  a n  b  0.5 b , откуда следует, что 0.5 b  an и
2
a n  1  2 . Полагая C  max  a1 , a2 ,  , aN ,  ,
поэтому
b
b

получим, что при всех номерах n справедливо неравенство
a n 1  C .
Случай, когда b  0 разбирается аналогично. Все выкладки
предлагается провести самостоятельно.
2.3.12. Теперь всё подготовлено, чтобы доказать основную
теорему о свойствах пределов: предел суммы, разности,
произведения, частного равен сумме, разности, произведению,
частному пределов.
ТЕОРЕМА (основная). Пусть a n  A , bn  B , тогда
a n  bn   A  B , a n  bn   A  B , a n  bn   A  B и если все
a
A
bn  0 , B  0 , то n  .
bn
B
an  A   n ,
bn  B   n , где
2.3.13. По условию
последовательности  n  и  n  - бесконечно малые, тогда
 A  B   n   n ,
a n  bn 
a n  bn  A  B  A   n  B   n   n   n .
Последовательности
 n  n , A  B  A   n  B   n   n   n  - бесконечно малые,
следовательно lim an  bn   A  B , lim a n  bn   A  B . Так как
n 
n
a n  bn  a n   1  bn ,
1  b  b , то справедливо
и
утверждение теоремы и для разности. Перейдём к частному.
a
A
Покажем, что последовательность  n    n   является
 bn B 
бесконечно
малой.
Действительно,
имеем:
7
 n  A A  n  B  n  A  n  B  n  A
 


 n  B   B
n  B B
bn  B
  B  n  A 1
 n
 .
B
bn
1
Последовательность   ограничена (см. раздел 2.3.9). По bn 
  B   n  A
следовательность  n
 , ибо последовательности  n 
B


a
A
A

и  n   - бесконечно малые. Следовательно lim n  .
n   b
B
B

n
n 
2.13.14. Как показывает следующий пример, обратное
утверждение не обязано быть верным, пределы lim a n и lim bn
n
n
могут не существовать, но предел результата операции

a 
 lim an  bn , lim a n bn , lim n  существует.
n  
n   b
 n 
n 
a n  bn  0 ,
Пример.
bn   1n1 ,
a n   1n ,
an
a n  b n  1 ,
 1 ,
lim an  bn   0 ,
lim an  bn   1 ,
n 
n 
bn
a 
lim  n   1. См раздел 2.1.5, где показано, что
n   b
 n
последовательность
не имеет).
 1 
n
(и, следовательно,
 1  предела
n 1
УПРАЖНЕНИЯ.
Веры ли следующие высказывания?
1. Если a n  сходится, bn  - нет, то не сходится и a n  bn .
2. Если a n  сходится, bn  - нет, то не сходится и a n  bn  .
2.4.1.Теорема
(о
сходимости
ограниченной сверху последовательности).
8
возрастающей
Если последовательность a n  ограничена сверху (т.е.
существует постоянная С такая, что a n  С для всех n) и
возрастает (т.е. для всех номеров n выполняется неравенство
a n  a n 1 ), то она сходится.
2.4.2. Для такой последовательности, начиная с
некоторого номера N 1 перестаёт изменяться целая часть
числа a n , затем, начиная с некоторого номера N 2 ,
стабилизируется первый знак после запятой и т.д., а это и
означает, что последовательность a n  сходится.
2.4.3. Верна и аналогичная
Теорема (о сходимости убывающей ограниченной снизу
последовательности).
Если последовательность a n  ограничена снизу (т.е.
существует постоянная С такая, что a n  С для всех n) и
убывает (т.е. для всех номеров n выполняется неравенство
a n  a n 1 ), то она сходится.
2.4.4.
Теорема.
 1  n 
Последовательности 1   
 n  
и
 1  n 1 
1    сходятся к одному пределу.
 n  
n
n 1
 1
 1
2.4.5. Пусть x n  1   и y n  1   . Очевидно,
 n
 n
n
n 1
 1
 1
что x n  1    y n  1   . Покажем, что x n 1  x n ,
 n
 n
y n  y n 1 . Для этого воспользуемся утверждением:
n
если x  1 , n  1, то 1  x   1  nx ,
что легко доказывается методом математической индукции.
Имеем
9
 1
1  
 n
n
 n  1


n


n  1n
n
n
xn
n  1n n  1n 1
n





n 1
n 1
n 1
n 1
n
x n 1 
n
n

n
1 
 n 1  1
1 



n  1n 1
 n 1
 n 1 

n  1n  1n 1 n  1n 1
n
n 1
n
n 1
n 1 
1 

 1  2 
n  n 
n
n 1



n 1
n 1 n 2 1
n 1  n 2 1



  2 
2 n 1
n
n
 n 
n
 
n 1

n 1 
 1   n 1  n 1
 1  n  1    2   
1  2  
n 
n 
 n 
n 
n 1 n 2  n 1 n3 1 n3 1
1






1

 1.
2
3
3
3
3
n
n
n
n
n
n
1 

1 

 n 1
n
 n 1 1


 n 1 
n
y n 1


n 1
n 1
yn
 1
 n 1
1  


 n
 n 
 n 


 n 1
n
n
 n 


n  n 1 



n
n

1
n

1


 n 1 n 1



 

n

n
n


n
n
n

n 
n2
n  n2 
n  n 2 1 1
 

 

 

 




2
2
n  1  n  1n  1 
n  1  n 1
n  1  n  1 
n
n 
1 
n 
1 
n  n 2  n 1


  2
1  2  
1  n  2  
n 1  n 1
n 1 
n  1  n  1  n  1 


n3  n2  n
n 3  n 2  n 1
1
n3  n 2  n  1

n3  n 2  n 11
 1
n 3  n 2  n 1
1
n3  n 2  n  1

 1.
10
n3  n 2  n 1
n3  n 2  n 1

Итак, 2  x n 1  x n  y n  y n 1  4 , откуда следует, что
последовательности x n и y n имеют предельные значения. В
связи с тем, что
n 1
n
 1
 1  1
 1
y n  1  
 1   1    x n  1  
 n
 n  n
 n
эти предельные значения равны. Общий предел, к которому
стремятся эти последовательности, обозначается латинской
буквой e. Число e удовлетворяет неравенствам 2  e  3 .
Логарифм числа x по основанию e называется натуральным
логарифмом и обозначается ln x .
11