Контроль успеваемости [DOC, 5.83 МБ]

1. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации.
1.1 ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ(1
семестр)»
Вычислите пределы, если они существуют
x 2 - 6x - 27
;
1) lim 3
x ® - 3 x + 4x 2 + x - 6
2) lim
x® + ¥
( 3x
2
+ 3x - 1 -
)
3x 2 - 7x + 2 ;
1
3) lim (1 - 2x )x
x® 0
æ æ1 ö
ö
÷×ln x 2 + x - 2 ln x ÷
÷
5) lim çççcos çç ÷
÷
÷
x® + ¥ ç
÷
÷
è çèx ø
ø
æ
ö
æ1 ö
÷÷
÷
x 2 çççln (1 + 5x ) - x sin çç ÷
÷
çèx ÷
÷
÷
çè
øø
6) lim
x® 0
sin (2x 3 )
(
1
7) lim (sin x )t g2 (x - 0.5p )
x®
p
2
)
ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ».(1 семестр)
1. Вычислите производные функций
a ) f (x ) =
1
e 2x + 9
; b) f (x ) =
1
, x > 0;
arct g x
(
x2
)
c) f (x ) = x + 1
2
.
Найдите односторонние производные
3.
1
f ¢(x + 0) и f ¢(x - 0) функции x 2e x .
4. Вычислите f (49) (x ), если f (x ) = (x - 1)ln x .
(
)
5. Вычислите d 2 cos x .
(
)
6. Функция y (x ) задана параметрически уравнениями x (t ) = ln t + 1 + t 2 , y (t ) =
Найдите значение производной
dy
в точке x = ln 1 +
dx
(
)
(
2 . Совет: x = ln 1 +
1
.
1+ t2
)
2 , если
t = 1.
ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЫ»(1 семестр)
Вычислите
15
xdx
xdx
1) ò x ×(2x + 1) dx ; 2) ò arct g xdx ; 3) ò 2
;
; 4) ò 2
x +x- 2
x - x+2
p
4
5)
ò
0
cos xdx
; 6)
sin x + cos x
1
2
òx
1
4
dx
2
x +1
;
7)
d
dx
3
ò sin (x )dx .
2
2
ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ»(1 семестр)
1. Пусть последовательность {x n } сходится, а последовательность {y n } расходится. Что можно
сказать о сходимости последовательности {x n + yn } ? Ответ обоснуйте.
2. Известно, что lim x n = a . Докажите, что lim (x n + 1 - x n ) = 0 .
n® ¥
n® ¥
3. Докажите, что последовательност an =
n является бесконечно большо.
3n
æ 2ö
÷ .
4. Вычислите lim çç1 + ÷
n® ¥ ç
÷
n÷
è
ø
5. Найдите все предельные точки последовательности x n =
lim x n ,
n® ¥
n- 1
2p n
cos
, а также
n+1
3
lim x n .
n® ¥
ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ»(1 семестр)
1. Изобразите эскиз графика функции loga x при a > 1 и a < 1 .
2. Изобразите эскиз графика функции sin (arcsin x )
3. Изобразите эскиз графика функции, заданной уравнением y = 2x - 1 +
1
.
x+1
4. Координаты материальной точки изменяются по закону x = 2t 2 + t + 1; y = 2t 2 - t , t Î éêë- 2;2ùúû
Изобразите эскиз траектории движения материальной точки на плоскости OXY.
2
1.2 ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «ФУНКЦИИ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ»
7x 6  x 2y 2
1. Вычислите lim
.
x  2x 6  y 4
y 
5x  x 2y 2
2. Дополните функцию u 
по непрерывности при x  0 .
x
3. Вычислите частные производные функции u 

3
 
xy 2  x 3 а) в точке M 0 0; 0 , б) в точке

M 106 ;106 .


4. Запишите уравнение касательной плоскости к поверхности u  ln xy в точке M 1,1, 0 .
 
5. Запишите формулу Тейлора порядка 2 с центром разложения в точке M 0 1,1 и остаточным
 
членом в форме Пеано для функции u x , y  arct g
6. Для функции e
xy


y
.
x
sin x  y найдите fxy .
ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ ».
x
1. Исследуйте на локальный экстремум функцию u  2 x  2   6yz  3 ln y
z
3
2
2
2. Известно, что уравнение xz  y 2z  x 2z  1  0 определяет единственную дважды


непрерывно диффернцируемую функцию z  f x , y  в окрестности точки M 0 1;1; 1 .
Вычислите
2z
x y
1;1
 ln zy  x
3. Покажите, что система уравнений 
однозначно определяет неявные функции x(z) и
x  y  z


y(z) в окрестности точки M 0 0;1;1 (проверьте выполнение условий теоремы). Найдите
x  z  , y  z  , x  z  , y  z  в этой точке.
4. Исследуйте на локальный экстремум функцию y  f  x  , заданную неявно уравнением
2x 3  3x 2y  y 2  y  0 .
5. Исследуйте на экстремум функцию u  y 2  10y  z 2 , при условии x 2  4xy  3y 2  16  0 .
Используйте метод Лагранжа.
x2
2x
z x  0 перейдите к новым переменным z u, v  при
6. В уравнении yz yy  2xz xy  z xx 
y
y
помощи замены v  xy, u  y .
ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ»
1. Перейдите от двойного интеграла  f x , y  dxdy к повторному двумя способами, если G –
G
треугольник, ограниченный прямыми y  2x , y  6  x y  3 
интеграл для функции f (x , y ) = x .
3
x
. Вычислите указанный
2
2. Укажите замену переменных u, v   x , y  , при которой область D на плоскости (x,y),
ограниченная кривыми xy  16, xy  4, x 2  y, x 2  9y , переходит в прямоугольник на
плоскости (u,v). Найдите площадь области D.
3. С помощью тройного интеграла вычислите объём фигуры, ограниченной поверхностями
y2
x2 
 z 2  0,
z  2, x  0, y  0 .
4
4. Вычислите длину дуги параболы y = x 2 + 1 при 0 £ x £ 1 .
5. Вычислите х- координату центра тяжести кривой L, заданной как пересечение поверхностей
9x 2 + 5y 2 + z 2 = 101 и z = x - 10 .
6. С помощью I формулы Грина вычислите интеграл  e xy y sin ydx   cos y  x sin y  dy  , где С –
C
x  0 . Дуга пробегается по часовой стрелке. Совет: проверьте
P Q
выполнение равенства
.

y
x
ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ»
6. Вычислите поверхностный интеграл I рода   z  x  ds , где
дуга окружности
x2+y2=1,
S
S:{ z  2x  1 , x  0, 0  y  2, z  0 }.
7. Вычислите площадь части конической поверхности x 2  y 2  z  1 , z  1 , заключенной
внутри цилиндра x 2  y 2  y .
2
8. Вычислите
 x  z  dydz , где Ф – внешняя сторона боковой поверхности пирамиды, в

основании которой лежит квадрат 0x 1, 0y1, а вершина находится в точке (0,0,1).
9. Вычислите поверхностный интеграл II рода  x  y  z  dydz , где S – часть внешней
S
поверхности единичной сферы x  y  z  1 , z 
2
2
2
1
.
2
1.3Образец домашнего задания (4 семинар, 1 семестр)
Повторить основные понятия и теоремы по §1 главы 3 пособия «Математический анализ в вопросах
и задачах» и по лекционному материалу, ответить на контрольные вопросы. Задачи №№2, 4, 7,811,13-14.
1.4Вопросы к 1 коллоквиуму по математическому анализу (1 семестр)
«Предел последовательности и предел функции»
1. Определения.
1.1. Последовательности
1.1.1. Сформулируйте определение бесконечно малой последовательности.
1.1.2. Сформулируйте определение ограниченной последовательности.
1.1.3. Сформулируйте определение последовательности ограниченной сверху.
1.1.4. Сформулируйте определение последовательности ограниченной снизу.
1.1.5. Сформулируйте определение неограниченной последовательности.
1.1.6. Сформулируйте определение бесконечно большой последовательности.
1.1.7. Сформулируйте определение сходящейся последовательности.
1.1.8. Сформулируйте определение монотонной последовательности.
1.1.9. Сформулируйте определение предельной точки последовательности.
1.1.10. Сформулируйте определение подпоследовательности.
1.1.11. Сформулируйте определение верхнего и нижнего пределов последовательности.
1.1.12. Сформулируйте определение фундаментальной последовательности.
1.2. Функции
1.2.1. Сформулируйте определение предела функции.
4
1.2.2.
1.2.3.
1.2.4.
1.2.5.
1.2.6.
1.2.7.
1.2.8.
1.2.9.
Сформулируйте определение монотонной функции.
Сформулируйте определение непрерывности функции.
Сформулируйте определение обратной функции.
Сформулируйте определение сложной функции.
Сформулируйте определение предела функции по Коши в точке.
Сформулируйте определение предела функции по Коши при x   .
Сформулируйте определение правого предела функции в точке по Коши.
Сформулируйте определение предела функции по Гейне.
2. Теоремы.
2.1. Последовательности
2.1.1. Сформулируйте и докажите теорему о пределе суммы двух бесконечно малых
последовательностей.
2.1.2. Сформулируйте и докажите теорему о пределе разности двух бесконечно малых
последовательностей.
2.1.3. Сформулируйте и докажите теорему об ограниченности бесконечно малой
последовательности.
2.1.4. Сформулируйте и докажите теорему о произведении ограниченной
последовательности на бесконечно малую последовательность.
2.1.5. Сформулируйте и докажите теорему о пределе последовательности {1/xn}, если
последовательность {xn} является бесконечно большой.
2.1.6. Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся
последовательности.
2.1.7. Сформулируйте и докажите теорему об ограниченности сходящейся
последовательности.
2.1.8. Сформулируйте и докажите теорему о пределе суммы сходящихся
последовательностей.
2.1.9. Сформулируйте и докажите теорему о пределе разности сходящихся
последовательностей.
2.1.10. Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения сходящихся
последовательностей.
2.1.11. Сформулируйте и докажите теорему о пределе частного сходящихся
последовательностей.
2.1.12. Сформулируйте и докажите теорему о предельном переходе в неравенствах.
2.1.13. Сформулируйте и докажите теорему о пределе монотонной последовательности.
2.1.14. Сформулируйте и докажите теорему о монотонности последовательностей
{xn}=(1+1/n)n и {xn}=(1+1/n)n+1.
2.1.15. Сформулируйте и докажите теорему о существовании предела у монотонной
последовательности.
2.1.16. Сформулируйте и докажите теорему о существовании предела последовательности
{xn}= (1+1/n)n..
2.1.17. Сформулируйте и докажите теорему о существовании предельной точки у
ограниченной последовательности.
2.1.18. Сформулируйте и докажите теорему Больцано-Вейерштрасса.
2.1.19. Сформулируйте и докажите теорему о связи существования предела
последовательности с равенством верхнего и нижнего пределов этой
последовательности.
2.1.20. Сформулируйте критерий Коши для последовательностей.
2.2. Функции
2.2.1. Сформулируйте и докажите теорему о пределе суммы двух функций.
2.2.2. Сформулируйте и докажите теорему о пределе разности двух функций.
2.2.3. Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения двух функций.
2.2.4. Сформулируйте и докажите теорему о пределе отношения двух функций.
2.2.5. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности суммы двух функций.
2.2.6. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности разности двух функций.
2.2.7. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности произведения двух функций.
2.2.8. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности отношения двух функций.
5
2.2.9. Сформулируйте теорему об обратной функции. Примеры.
2.3. Первый замечательный предел.
2.4. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности сложной функции.
2.5. Сформулируйте и докажите теорему о существовании предела по Гейне как следствие
существования предела по Коши.
2.6. Сформулируйте и докажите критерий Коши существования предела функции.
3. Пример билета.
Билет 1.
1. Сформулируйте определение бесконечно малой последовательности.
2. Докажите теорему о пределе суммы двух бесконечно малых последовательностей.
3. Сформулируйте определение бесконечно большой функции по Коши: f ( x)   при x  a  0 .
4. Найдите lim
x 0
ln  x 2  e x 
ln  x 4  e 2 x 
1.5Вопросы к 1 коллоквиуму по математическому анализу (2 семестр)
«Функции, предел, непрерывность»
4. Определения.
4.1. Сформулируйте определение ограниченной сверху функции u(M), заданной на множестве
D точек пространства R m .
4.2. Сформулируйте определение неограниченной сверху функции u(M), заданной на
множестве D точек пространства R m .
4.3. Сформулируйте определение ограниченной снизу функции u(M), заданной на множестве D
точек пространства R m .
4.4. Сформулируйте определение неограниченной снизу функции u(M), заданной на множестве
D точек пространства R m .
4.5. Сформулируйте определение точной верхней грани функции m переменных на множестве
D точек пространства R m .
4.6. Сформулируйте определение точной нижней грани функции m переменных на множестве
D точек пространства R m .
4.7. Сформулируйте определение “по Коши” предела функции u (M ) в точке M 0  R m .
4.8. Сформулируйте определение “по Гейне” предела функции u (M ) в точке M 0  R m .
4.9. Сформулируйте определение “по Гейне” предела функции u (M ) при M   .
4.10. Сформулируйте определение “по Коши” предела функции u (M ) при M   .
4.11. Сформулируйте определение непрерывной функции u (x , y ) по переменной x в точке
M 0 (x 0 , y 0 ) .
4.12. Сформулируйте определение непрерывной функции u (x , y ) по совокупности переменных
в точке M 0 (x 0, y 0 ) .
5. Теоремы.
5.1. Докажите теорему о непрерывности суммы двух непрерывных функций нескольких
переменных.
5.2. Докажите теорему о непрерывности произведения двух непрерывных функций нескольких
переменных.
5.3. Докажите теорему о непрерывности частного двух непрерывных функций нескольких
переменных.
5.4. Докажите теорему о непрерывности сложной функции нескольких переменных.
6
5.5. Докажите теорему о прохождении непрерывной функции нескольких переменных через
любое промежуточное значение.
5.6. Докажите первую теорему Вейерштрасса для функции нескольких переменных.
5.7. Докажите вторую теорему Вейерштрасса для функции нескольких переменных.
5.8. Докажите теорему Кантора для функции нескольких переменных.
6. Пример билета.
Билет 1.
1. Сформулируйте определение неограниченной сверху функции u(M), заданной на множестве D
точек пространства R m .
2. Докажите теорему о непрерывности произведения двух непрерывных функций нескольких
переменных.
3. Сформулируйте определение “по Коши” предела функции u (M ) при M   .
4. Найдите lim xy ln  x 2  y 2  ;
x 0
y 0
1.6ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ( I
СЕМЕСТР).
Предел последовательности
n
1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что: а) lim
n® ¥
3
n
б) lim (0.8) = 0 ; в) lim
n® ¥
n® ¥
(- 1)
= 0;
n
n 2 sin n 2
ln n
= 0 ; г) lim
= 0.
n® + ¥
n+1
n
2. Докажите, что:
3n
1
n
= 0.
= 0 ; в) lim n 5 = 1 ; г) lim n n = 1 ; д) lim n
а) lim n = 0 ; б) lim
n® ¥
n® ¥ n !
n® ¥ 2
n® ¥
n® + ¥
n!
3. Докажите, что последовательности являются бесконечно большими:
( )
æ 1ö
1
2
÷
ç
а) a n = n ; б) an = (- 1) ×n ; в) an = n sin ; г) an = çç1 + ÷
.
÷
n ø÷
n
è
nö
æ
4. Докажите, что последовательность x n = çç1 + (- 1) ÷
n неограниченная.
÷
è
ø
nö
æ
5. Докажите, что последовательность x n = çç1 + (- 1) ÷
n не является бесконечно большой.
÷
è
ø
n2
n
6. Докажите сходимость последовательности x n и найдите ее предел, если она определяется
рекуррентным соотношением:
ö
1æ
a÷
÷
x n + 1 = çççx n +
, n ³ 1, a > 0 .
а) x 1
произвольное
положительное
число,
÷
÷
2 çè
xn ø
3
б) x 1 = , x n + 1 = 3x n - 2 .
2
7. Найдите все предельные точки последовательностей x n , а также lim x n , lim x n :
n® ¥
n
а) x n =
n
(- 1)
1 + (- 1)
+
;
n
2
б) x n =
n- 1
2p n
cos
;
n+1
3
8. Исследуйте сходимость последовательности x n =
7
в) x n = cosn
n® ¥
2p n
.
3
na - 1
в зависимости от параметра α.
2n 2 + n + 1
9. Найдите: а) lim
n® ¥
n2 + n n
n2 - n
3n
n
; б) lim
n® ¥
æ 2ö
(- 2) + 3n
; в) lim çç1 + ÷
;
n+1
n+1
n® ¥ è
ø
n÷
(- 2) + 3
2
1
.
2n
Предел и непрерывность функции.
n
an x + an - 1x n - 1 + ... + a 0
10. Пусть R (x ) =
, an ¹ 0, bn ¹ 0 , m  0 , n  0 . Докажите, что:
bm x m + bm - 1x m - 1 + ... + b0
г) lim (3 + n )n ; д) lim 3n sin
n® ¥
n® ¥
а) lim R (x ) = ¥ при n > m ; б) lim R (x ) =
x® ¥
x® ¥
11. Найдите: а) lim
x® 4
an
bn
при n = m ; в) lim R (x ) = 0 при n < m .
x® ¥
4
4
x- 1
1 + 2x - 3
1- x - 3
x - 2
lim
lim
; б) lim
;
в)
;
г)
.
3
3
x
®
8
x
®
16
x
®
1
x - 2
2+ x
x - 4
x- 1
40
10
(x - 3) (5x + 1)
x2 - 4
12. Найдите: а) lim
; б) lim
; в) lim
25
x® ¥
x ® ¥ (x - 2)(x + 1)
x® + ¥
2
(3x - 2)
г) lim
5
x + 3x
; д) lim
3
x® ¥
2x + 1
x +
x® + ¥
4
(x
4
+ 2x 2 + 3x -
x+
x+ x
;
x+1
)
x 4 - 3x 2 + 5x .
x
1
; б) lim ; в) lim x sgn(x - 1) ; г) lim cos x ;
x® 0 x
x® 0 x
x® 1
x® ¥
13. Докажите, что не существует: а) lim
д) lim sin
x® 0
sin x
1
; е) lim
.
x® 0
x
x
ìï 0, x - иррац.
14. Докажите, что функция Дирихле D (x ) = ïí
не имеет предела ни в одной точке.
ïï 1, x - рац.
î
sin 5x
sin x
1
15. Найдите: а) lim
; б) lim
; в) lim x sin .
x® 0
x® ¥
x® ¥
x
x
x
x
ln(1 + x )
a - 1
= 1; б) lim
= ln a, a > 0 .
16. Докажите, что: а) lim
x® 0
x
®
0
x
x
17. Укажите все значения   0 , для которых верно равенство f (x ) = o x b при x ® + 0 :
( )
а)
f (x ) = x 2 + x 3 ;
б)
f (x ) = sin x - x ;
в)
f (x ) = cos x - 1 ;
г) f (x ) =
1+ x - 1;
x
; е) f (x ) = ln (1 + x ) - x ; ж) f (x ) = 1 + x - 1 - x .
2
18. Пользуясь свойствами символа "o - малое" , укажите все значения   0 , для которых верно
bö
æ
равенство f (x ) = o çç(x - a ) ÷
÷:
è
ø
д) f (x ) =
1+ x - 1-
(
)
1)) при
а) f (x ) = o - 5x + x 2 + o(- 5x + x 2 ) при x ® + 0 ;
(
б) f (x ) = (x - 1)o (x - 1)2 + o(x -
x ® 1+ 0;
1
o(5x + x 2 ) при x ® + 0 ;
3x
1
г) f (x ) = 2 o 2x 4 + o (x 4 + 2x 2 ) при x ® + 0 ;
x
3ö
5ö
æ
æ
o çç2 (x + 2) ÷
o çç4 (x + 2) ÷
÷
÷
è
ø
è
ø
д) f (x ) =
при x ® - 2 + 0 .
+
2
4
(x + 2)
(x + 2)
в) f (x ) =
(
)
æ1 ö
÷
19. Укажите все значения k  0 , при которых верно равенство f (x ) = o ççç k ÷
при x ® + ¥ :
÷
÷
èx ø
8
3
2
1
; б) f (x ) =
; в) f (x ) = x + 1 - x - 1 ;
2
x
x ln x
x
æ1
ö
ö
æ 1ö
ç + oæ
÷÷
çç 1 ÷
÷
÷
f
(
x
)
=
x
×
o
ç
г) f (x ) = ln çç1 + ÷
;
д)
;
÷
÷
÷
ççx 2
çèx 3 ø
çè
÷ø
÷
÷
xø
è
а) f (x ) =
ж) f (x ) =
20.
3
æ2 ö
÷; и) f (x ) = e 1/
x 3 + x - x ; з) f (x ) = ln cos çç ÷
çèx ÷
÷
ø
x
f (x ) =
е)
x2 + x - x ;
- 1.
( )
Напишите формулу Тейлора с центром разложения x 0 = 0 и остаточным членом o x n для
указанных функций и указанных n : а) sin 2 (5x + x 2 ) , n  4 ; б) cos(4x 2 + x ) , n  4 ;
(
)
в) ln(1 - x 2 + x ) , n  2 ; г) ln(cos 2x ) , n  2 ; д) ln e x + x , n  2 ; е) sin
2
(
)
cos x - 1 , n  2 .
sin(x - p / 3)
px
cos x - cos 3x
; б) lim
; в) lim(1 - x )tg
;
2
x ® p / 3 1 - 2 cos x
x® 1
x® 0
2
x
m
1 + ax - n 1 + bx
, m , n Î N ; д) lim 1 + x + x 2 - 1 - x + x 2 ;
22.
Найдите: г) lim
x® 0
x® 0
x
3
cos x - cos x
е) lim
; ж) lim 3 x 3 + 3x 2 - x 2 - 2x .
2
x® 0
x® + ¥
sin x
ln cos x
x
23.
Найдите: а) lim x ln x ; б) lim
; в) lim
.
x® 0
x ® + 0 ln x
x® + 0
x2
21.
Найдите: а) lim
(
(
)
)
1
tgx
24.
Найдите: а) lim (sin x )
25.
Найдите: а) lim
26.
Найдите: а) lim n
x® p/ 2
x® 0
æsin x ÷
öx 2
÷
; б) lim (cos x )x 2 ; в) lim ççç
.
÷
x® 0 è x
x® 0
÷
ø
1
ln ch 2x
; б) lim cos p x 2 + x ; в) lim(1 - x ) logx 2 .
x® ¥
x® 1
ln cos 3x
(
n® + ¥
2
( an
n+1
)
x
ln (x 2 + e x )
æ 1
1ö
a , a > 0 ; б) lim ççsin + cos ÷
.
÷ ; в) xlim
® + ¥ ln x 4 + e 2x
x® ¥ è
x
xø
(
)
)
27. Найдите точки разрыва функций и укажите их тип: а) f (x ) = e
1
x
в) f (x ) = (1 + x ) ; г) f (x ) = x sin
-
1
x
; б) f (x ) =
x 2 - 8x + 12
;
x 2 - 5x + 6
1
x 2 - 3x + 2
; д) f (x ) =
; е) f (x ) = x ln x .
x
ln x
Дифференцирование
28. Пользуясь определением производной, найдите производную функции f  x  в точке x0 :
а) f (x ) =
x , x 0 = 4 ; б) f (x ) = x x , x 0 = 0 ; в) f (x ) = x 2 ln x , x  0 , f  0  0 , x 0 = 0 .
29. Найдите левую и правую производные функций:
 x 2  x  1 при x  0,
а) y = x в точке x  0 ; б) f  x   
в точке x  0 ;
x
при x  0
 e
1

 x 1  x  x при x  0,
x
в) f (x ) = x - 1 e в точке x  1 ; г) f  x   
в точке x  0 ;
при x  0
0


2
 sin  x 

, x  0,
д) f  x    x
в точке x  0 .

x0
 0,
30. Найдите производную и дифференциал функции f  x  :
а)
f  x  x  x  x
; б) f  x   sin 2  cos x   cos 2  sin x  ; в) f  x   e x cos 2 x ;
2
9
г)
f  x   xsin x ;
д)


f  x   ee  x e
x
x
е) f  x   ln 3  ln 2  ln x   ;
;
ж) f  x   arctg x  1  x 2 ;


з) f  x   arcsin x  1 ln 1  x ; и) f  x   ln e x  1  e 2 x ; к) f  x   sin x cos x .
2
1 x
2
1 x
31. Найдите производную функции f  x  в точке x0 . Найдите значение дифференциала
функции f  x  в точке x0 для указанного значения dx :
1
3
1
; б) f  x   arcsin x , x0  , dx  .
2
4
4
32. Найдите первую и вторую производные функции f  x  в точке x0 . Найдите значения
а) f  x   arctg x , x0  1, dx 
первого и второго дифференциалов функции f  x  в точке x0 для указанного значения dx :
1
1
1
; б) f  x   arcsin x, x0  , dx  ;
2
2
2
1
в) f  x   ln 1  x  , x0  0, dx  ; г) f  x   x , x0  16, dx  9 ;
2
а) f  x   arctg x, x0  1, dx 
д) f  x   tg x, x0  0, dx 

; е) f  x   cos x, x0 

, dx  

.
4
2
2
ïì f (x ), x £ x 0,
33. Пусть F (x ) = ïí
причем функция f (x ) имеет левую производную в точке x 0 .
ïï px + q, x > x 0 ,
ïî
При каком выборе коэффициентов p и q функция F (x ) будет: а) непрерывной в точке x 0 ?
б) дифференцируемой в точке x 0 ?
ìï px 2 + q, x £ 2,
ïï
34. Пусть F (x ) = í 4
При каком выборе коэффициентов p и q функция F (x )
ïï , x > 2.
ïïî x
будет: а) непрерывной; б) дифференцируемой на промежутке (- ¥ , + ¥ )?
35. Заменяя функцию (подберите ее самостоятельно) многочленом Тейлора Pn  x, x0  , найдите
приближенное значение числа
A
без калькулятора: а) A =
3
1, 01 , n  2 ;
1
5
11
, n  2 ; в) A = e , n  2 .
10
36. Напишите уравнение касательной к графику функции y  f  x  , заданной параметрически
б) A = arct g
p
p
; б) t = .
4
2
37. Напишите уравнение касательной к графику функции y  f  x  , заданной параметрически
уравнениями x = a cos t , y = b sin t , 0  t   , при: а) t =
уравнениями x = t - sin t , y = 1 - cos t ,   t   , при: а) t =
p
p
; б) t = .
4
2
38. Найдите дифференциал n-го порядка функции f  x  : а) f (x ) = ln(1 + x ) ; б) f (x ) =
x- 1
;
x+1
в) f (x ) = x n - 1 + x n + x n + 1 ; г) f (x ) = e 3x + 2 .
39. Найдите дифференциал n –го порядка функции f  x  для указанного n :
а) f (x ) = x 2 sin 2x , n = 20 ; б) f (x ) = xe 5x , n = 11 ; в) f (x ) = x 2 ln (1 + x ), n = 12 .
40. Найдите точку c в формуле конечных приращений Лагранжа f (b)  f (a )  f '(c )(b  a ) для
ìï 1
ïï (3 - x 2 ), 0 £ x £ 1,
2
функции f (x ) = ïí
на сегменте [0;2].
ïï 1
1£ x £ ¥
ïï ,
îx
10
41. Используя правило Лопиталя, найдите: а) lim
x® a
ax - xa
x x - aa
ch x - cos x
; б) lim
; в) lim
;
x® a x - a
x® 0
x- a
x2
ln (sin a x )
æ pö
, a > 0, b > 0 .
г) lim ççx - ÷
ct g 2x ; д) lim
÷
x ® + 0 ln (sin b x )
x® p 2è
2ø
42. Напишите формулу Тейлора с многочленом Тейлора порядка n и остаточным членом в
форме Пеано с центром разложения в точке x 0 для функций:
3
а) f (x ) = (2 + x ) , x 0 = 1, n = 3 ;
в) f (x ) =
б)
1 - x , x 0 = 0, 36; n = 2 ;
f (x ) =
г)
x , x 0 = 1, n = 3 ;
f (x ) = e x , x 0 = 2, n = 3 ;
1
, x 0 = 1, n = 4 .
1+ x
43. Разложите по формуле Маклорена до члена указанного порядка n включительно следующие
2
функции: а) f (x ) = sin (sin x ), n = 3 ; б) f (x ) = ln cos x, n = 4 ; в) f (x ) = e 2x - x , n = 3 ;
д) f (x ) = ln x , x 0 = 1, n = 4 ; е) f (x ) =
sin x
, n = 4 ; д) 4 + x , n = 2 .
x
44. Найдите значение многочлена Тейлора Pn  x, x0  функции f  x  для указанных значений x0 ,
г) f (x ) = ln
x и n:
а) f (x ) =
3
x , x 0 = 8, x = 9, n = 2 ;
1
, n = 3;
10
в) f (x ) = e x , x 0 = 0, x = 1, n = 4 ;
б) f (x ) = ln (1 + x ), x 0 = 0, x =
г) f (x ) = sin x , x 0 = 0, x = 2, n = 5 .
45. Напишите выражение остаточного члена Rn1  x, x0  в форме Лагранжа формулы Тейлора
для функции f  x  для указанных значений x0 , x и n :
а) f (x ) = e x , x 0 = 0, x = 1, n = 3 ;
б) f (x ) = sin x , x 0 = 0, x = 2, n = 5 ;
в) f (x ) = ln (1 + x ), x 0 = 0, x =
cos x - e
46. Найдите: а) lim
x® 0
x4
д) lim x
x® + ¥
32
(
x + 1+
1
, n = 3.
10
- x2 2
; б) lim
x® 2
2x - x 2
x- 2
; в) lim
x® e
ex - x e
2
(x - e )
; г) lim
x® 0
sin 2x - 2 tg x
;
ln (1 + x 3 )
ex + e- x - 2
æ1
1 ÷
ö
; ж) lim çç ;
÷
2
x® 0
x ® 0 èx
2x
sin x ø
x - 1 - 2 x ); е) lim
æ1
ö
1 ÷
÷
з) lim çç 2 .
x® 0 ç
÷
x sin x ÷
èx
ø
Исследование поведения функций и построение графиков
47. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (x ) , точки локального экстремума,
промежутки сохранения направления выпуклости, точки перегиба. Нарисуйте эскиз графика
ln x
функции: а) f (x ) = x 3 - 6x 2 + 9 ; б) f (x ) = x ln x ; в) f (x ) = x 2 ln x ; г) f (x ) =
;
x
3
x
д) f (x ) = xe - x ; е) f (x ) =
; ж) f (x ) = x 2 (5 - x ) .
2
1- x
48. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (x ) , точки локального экстремума.
Найдите наклонные асимптоты графика функции. Нарисуйте эскиз графика функции:
x+1
x+1
а) f (x ) = x arct g x ; б) f (x ) = x ln
; в) f (x ) = x 2 ln
; г) f (x ) = x 2 + x ;
x
x
11
д) f (x ) =
1
sin x
1
; e) f (x ) = x 2 sin ; ж) f (x ) = x cos
; з) f (x ) =
x
x
x
5
3
x 2 (5 - x ) ;
5
и) f (x ) =
3
(x - 3)
49. Найдите: а)
д)
3
ò sin xdx ; е)
x2
ò (x
ò
.
+ 1)x 2dx ; б)
ò
Интегрирование.
dx
x 2dx
; в) ò
; г)
2 - 5x
1 + x2
ex
dx ; ж)
1 + ex
ò
1+ x
dx ; з)
1- x
3
1
50. Найдите: а)
3
ò x (1 -
7
ò cos
4
в)
ò
xdx ; е)
0
1
sin(ln x )
dx ; ж)
x
3/ 2
+ x2)
3 + 8x 2
p
2
dx
ò 3+ x
2
ò cos
; г)
òe
1
dx
; з)
- 1
ò (1 -
x
ò (x + 1) cos 2xdx ; б) ò xe dx ; в) ò x e
д) ò e cos xdx ; е) ò cos ln x dx ; ж) ò x sin ln x dx .
51. Найдите: а)
5 x
- x
x
3
x sin 2 xdx ;
1
dx
0
3
0
12
2
;
.
0
0
e
dx
2
1
5
ò x (3 - x ) dx ;
10
x ) dx ; б)
0
p
д)
ò (a
dx
ò
2 3/ 2
)
ò
; и)
1 - x 2dx .
- 1
dx ; г)
ò arct g
xdx ;
x
p 6
52. Найдите: а)
ò
p
e sin x dx ; б)
x
0
òe
d 2
53. Найдите: а) ò
x ln x dx ; б)
dx
1
)
1
2
- 1
- 1
- 2
56. Найдите: а)
x2 + 1
ò (x + 1)2(x - 1)dx ; б)
dx
ò x 2 + x + 1 ; б)
0
г)
ò
òx
dx
x 2 + 4x + 3
б)
p/ 4
ò sin
ò
2
0
dx
5
xdx , б)
0
60. Найдите: а)
2  x при x  0
.
при x  0
ò sin
0
dx
; б)
2
x - x+1
; д)
ò
ò
dx
(x
2
2
ò
4
x 2dx
ò x2 + x - 2 .
.
2
)
+1
+ x+1
1
; в)
ò 2 sin x -
xdx
ò x 2 + x + 1 ; г)
0
dx
.
cos x + 5
dx
;
x + cos4 x
x 2dx
2
x +x+1
dx
3
(x - 1)dx
ò x 2 + x - 2 ; в)
(2x + 1)dx
1
ò (2 + cos x )sin x ;
p/ 2
59. Найдите: а)
0

ò x dx ; б) ò sign xdx ; в) ò f (x )dx , если f  x   2  x
1
1
)
1 + x 2 dx .
ö
d æ
ççsin x ÷
÷
ò dx çè x ÷÷ødx .
p
xdx
ò (x + 1)(x + 2)(x + 3) ; б)
58. Найдите: а)
ò ln (x +
2p
55. Найдите: а)
57. Найдите: а)
г)
1
e
54. Найдите: а)
ò ln xdx ;
cos 3xdx ; в)
0
(
2
e
2x
4
.
(x + 1) (x - 1)
12
; в)
ò
dx
- x2 - x
;
1
òx
- 1
dx
.
- 8
3
b
61. Найдите:
d
д)
dx
x3
ò
x
2
d
а)
sin x 2dx ;
ò
db a
tdt
1+ t2
d
б)
dt
0
òe
- x2
t
dx ;
d
в)
dx
x2
ò
0
1 + t dt ;
2
d
г)
dx
x3
ò
x2
dt
1+ t2
;
.
1.7ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (II
СЕМЕСТР).
1. Функции, предел, непрерывность.
1.1. Найдите предел функции u (x , y ) при M (x , y )   или докажите, что предел не
существует:
x2  y2
x3  y3
x2  y2
1
;
;
; u x , y   xy sin 2
;
u x , y   4
u
x
,
y

u
x
,
y





4
4
4
2
2
x y
x y
x  xy  y
x  y2
1
u x , y   x 2  y 2  sin 2
x  y2
1.2. Найдите пределы, или докажите, что они не существуют:
x
y
y
1 

 1 
2
2
2
x 2  x 3y 4
x
lim
1

x
y


;
;
;
;
;
lim
1

lim
xy
sin
lim
1

xy
lim xy ln  x  y 

 x 0 

 x 2  y 2  x 0
x 0
x 0
x 0
xy




y 3
y 0
y 2
y 0
y 2
lim
x 0
y 0
1 

.
exp   2
2 
4x y  x
 x y 
1
2
2
4
1.3. Исследуйте функцию на непрерывность по каждой из переменных и по совокупности
переменных в заданной точке.
x 2  y 2
2
2
 x 2  y 2 , x  y  0,
1.3.1. u  x , y   
в точке (0,0);
2
2
 0,
x y  0

x 3  y 3
2
2
 x 2  y 2 , x  y  0,
1.3.2. u  x , y   
в точке (0,0);
2
2
 0,
x y  0

 x 2y
2
2
 x 4  y 2 , x  y  0,
1.3.3. u  x , y   
в точке (0,0);
2
2
 0,
x y  0

2
2
e x y  1
, x 2  y 2  0,
 2
2
1.3.4. u  x , y    x  y
в точке (0,0);
2
2

0,
x y  0

 sin  xy 
, xy  0,

1.3.5. u  x , y    xy
в точках (0,0) и (0,1);
 1,
xy  0

 sin  xy 
, x  0,

1.3.6. u  x , y    x
в точках (0,0), (1,0), (0,1);
 1,
x 0

 sin  xy 
2
2
 x 2  y 2 , x  y  0,
1.3.7. u  x , y   
в точке (0,0).
2
2
 1,
x y  0

13
xy ln( xy ), xy  0,
1.3.8. u  x , y   
в точке (0,0).
0,
xy  0

x ln( xy ), xy  0,
1.3.9. u  x , y   
в точке (0,0).
0,
xy  0

2. Дифференцируемые функции.
2.1. Для функции z  u (x , y ) найдите частные производные первого порядка, градиент,
первый и второй дифференциалы в точке M x , y  , запишите уравнение касательной
плоскости к поверхности z  u (x , y ) в точке (x 0 , y 0 , u (x 0 , y 0 )) , найдите вектор нормали к этой
плоскости. Вычислите все указанные величины в точке M 0 (x 0, y 0 ) . Вычислите производную
по направлению заданного вектора L в точке M 0 x 0 , y 0  .
2.1.1. u x , y   2x  3y, M 0  (3;2) , L  (3; 2) ;
2.1.2. u  x , y   8x 2  2y 2  x 4  y 4 , M 0  (2;1) , L  ( 1; 1) ;
2.1.3. u x , y   xy (3  x  y ) , M 0  (1;1) , L  ( 1; 1) ;
2.1.4. u  x , y   x 2y 3 (6  2x  3y ) , M 0  (1;1) , L  ( 1; 1) ;
2.1.5. u  x , y   x 3  y 3  3xy M 0  (1;1) , L  ( 1; 1) ;
y
2.1.6. u  x , y   arct g , M 0   3,1 , L 1  1;  3  , L 2   3;1 ;
x
y
2.1.7. u  x , y   x  y x , M 0  (e;e ) , L  (1; 1) ;
2.1.8. u  x , y   x y  y x , M 0  (1;1) , L  (1; 1) ;

с осью Ox .
6
2.2. Имеет ли функция u  x , y  частные производные первого порядка в точке (0,0)? Если
имеет, найдите их и исследуйте эти частные производные на непрерывность в точке(0,0).
u x , y   3 xy x  y  ; u x , y   3 x 2y ; u x , y   3 xy ; u x , y   3 x 3  y 3 ;
2.1.9. u x , y   x 3  x 2y  y 3  1,
L образует угол
u x , y   3 xy x 2  y 2  ; u x , y   3 x 4  y 4 ; u x , y   3 x 5  y 5 ; u x , y   3 yx 4  xy 4 .
2.3. Является ли функция u  x , y  дифференцируемой в точке(0,0)?
u x , y   3 xy ; u x , y   3 x 2y ; u  x , y   xy  3 xy ; u x , y   3 x 3  y 3 ; u x , y   3 x 4  y 4 ;
u x , y   3 xy x 2  y 2  ; u x , y   3 xy x  y  ;
u x, y   xy ln x 2  y 2  , если x 2  y 2  0 ,
 1 
u  x , y   xy sin  2
, если x 2  y 2  0 , u  0, 0   0 ;
2 
x

y


 1 
u  x , y   xy  3 x 3  y 3 sin  2
, если x 2  y 2  0 , u  0, 0   0 .
2 
x

y


u  0, 0   0 ;
2.4. Приведите пример функции двух переменных, непрерывной в точке M 0 (x , y ) , но не
дифференцируемой в этой точке.
2.5. Приведите пример функции двух переменных, у которой существуют первые
производные в точке (0; 0), но функция не является дифференцируемой в этой точке.
2.6. Для функции f (x , y , z ) найдите частные производные первого порядка, градиент,
первый и второй дифференциалы. Вычислите все указанные величины в точке M 0 (x 0, y 0, z 0 ) .
Найдите производную по направлению заданного вектора L в точке M 0 x 0, y 0, z 0  .
2.6.1. u x , y , z   x 3  x  y  xyz , M 0  (1;1;1) ,
14
L  1,1,1 ;
2.6.2. u x , y , z   ln(xyz ),
x  0, y  0, z  0,
M 0  (1;1;1) , L  1,1,1 ;
2.6.3. u x , y, z   xyz (4  x  y  z ) , M 0  (1;1;1) , L  1,1,1 ;
2.6.4. u  x , y , z   x 3y 4z 5(13  3x  4y  5z ) , M 0  (1;1;1) , L  1,1,1 .
2.6.5. u  x , y , z   x 3  x  y  xyz , M 0  (1;1;1) , L  1,1,1 .
2
2
2
 3u
 3u
2.7. Для функции u x , y, z   e x y z найдите
.
,
x 2 y
x y z
2.8. Вычислите указанные дифференциалы в точке M 0  x , y 
2
æ
ö
2.8.1. d 5 çç(x + y ) e x - y ÷
÷, M 0 (1;1) ;
è
ø
2.8.2. d 100 ((x + y )e x - y ), M 0 (1;1) ;
2.8.3. d 100 ((x + y )e x + y ) , M 0 (1;1) ;
2.8.4. d 20 (x 2 sin y ) , M 0 (1; p ).
2.9. Найдите дифференциалы первого и второго порядка сложной функции u, если f —
дважды дифференцируемая функция, x и y — независимые переменные:
2.9.1. u  f ( ,  ),
  x 2  y 2,   x 2  y 2 ;
2.9.2. u  f (, ,  ),
  xy,   x  y,   x  y .
2.10. Предполагая, что функции  и  дифференцируемы достаточное число раз,
проверить следующее равенство:
2
2
1 z 1 z
z
2.10.1.

 2 , если z  y(x  y ) ;
x x y y y
y
z
z
y
 xy  z , если z  xy  x    ;
x
y
x 
 2z  2z
2.10.3. a 2

 0 , если z   (x  ay )   (x  ay ) .
x 2 y 2
2.10.2. x
2.11. Запишите формулу Тейлора порядка n с центром разложения в точке M0 и с
остаточным членом в форме Пеано для функций:
y
2.11.1. u  x , y   arct g , M 0  2, 3  , n  2 ;
x
y
2.11.2. u  x , M 0 e, e  , n  2 ;
2.11.3. u  e x sin y, M 0  0, 0  , n  3 ;
2.11.4. u  ln(1  x  y ), M 0  0, 0  , n  3 ;
2.11.5. u x , y , z   x 3  x  y  xyz , M 0 x 0, y 0  , n  3 .
2.12.
3. Локальный экстремум.
3.1.
Найдите все точки локального экстремума функций:
8 8
x 2 y
;
 ; u x , y    5  2x  y e
x y
u  x , y , z   x 2  y 2  z 2 ; u x , y , z   xy  xz  yz ; u x , y , z   xyz (4  x  y  z ) ;
u  x , y   x 2  xy  y 2 ; u  x , y   x 3  y 3  3xy ; u x , y   xy 
u  x , y , z   x 2  y 2  z 2  2xy  2xz  2yz ;
y2 z2 2
u x , y, z   x 

 .
4x
y
z
3.2.
3.3.

Исследуйте на экстремум функцию u  x cos y  z cos x в точке M  ;0;1  .
2
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в заданной области:
1
u  xy  x 2y  y 2x , 0  x  1, 0  y  2 .
2
15

4. Неявные функции.
4.1. Пусть функции y  u x  , z  v x  заданы системой уравнений
f x , y, z   0, g x , y, z   0 . Вычислите первый дифференциал функции u (x ) .
4.2. Пусть функции x  f u, v  , y  g u, v  заданы неявно системой уравнений
F  x , y   u,
x
Найдите
.


v
G
x
,
y

v
.



4.3. Пусть функции y  f x  , z  g x  заданы неявно системой уравнений
F  x , y , z   0,
dz
. Найдите
.

dx
G
x
,
y
,
z

0.



4.4. Найдите первую и вторую производные, найдите все точки возможного экстремума,
проверьте выполнение достаточных условий экстремума для дифференцируемой неявной
функции y  f (x ) , определяемой уравнением F x , y   0 .
4.4.1. F  x , y   x 3  y 3  3xy  0 ;
4.4.2. F  x , y   8x 2y  x 4  y 4  0, x  0, y  0 ;
4.4.3. F  x , y   y 2  ay  sin x  0, 0  x  2 .
4.5. Найдите частные производные первого порядка и первый дифференциал
дифференцируемой функции z  z (x , y ), заданной неявно уравнением
4.5.1. xyz  x 2  y 2  z 2 ;
4.5.2. z cos x  y cos z  x cos y  3 ;
4.5.3. x 2  zx  z 2  y  0 .
4.6. Пусть в окрестности точки (x 0 , y 0 , z 0 ) данное уравнение имеет единственное решение
вида z  z (x , y ) . Найдите указанные частные производные функции z  z (x , y ) в точке
(x 0 , y 0 ) .
z
z
 2z
z
,
4.6.1. arct g  z  x  y ; ,
;
x
x
y
x 2
z
z
 2z
,
4.6.2. ln(xy  yz )  z 2  x 2  y 2  2 , ,
.
x
y
x y
4.7. Известно, что в окрестности точки (1; 0;1) уравнение 2e x + y - z = x 2 + z 2 определяет
единственнуюдважды непрерывно дифференцируемую неявную функцию z = z (x , y ) .
Найдите частную производную
¶ 2z
¶ x¶ y
.
(1;0)
4.8. Известно, что в окрестности точки (1;1;1) уравнение arct g z  x  y  z  3 

4
определяет единственную дважды непрерывно дифференцируемую неявную функцию
z = z (x , y ) . Найдите d 2z .
(1;1)
4.9. Определите, для каких точек M  x , y , z  система уравнений
ìï sin x + cos y = sin z
ï
однозначно определяет дифференцируемые неявные функции
í
ïï cos x + sin y = cos z
î
x (z ), y (z ). Найдите x ¢(z ), y ¢(z ).
16
ìï x 3 + y 3 + xy = z
4.10. Известно, что система уравнений ïí
однозначно определяет
ïï xy + yz + xz = 1
ïî
дифференцируемые неявные функции x (z ), y (z ) в окрестности точки M 0 (0;1;1) . Найдите
x ¢(1), y ¢(1), x ¢¢(1), y ¢¢(1) в окрестности этой точки.
4.11. Найдите первый и второй дифференциалы функций u(x,y) и v(x,y), заданных неявно
 xu  yv  1,
системой уравнений 
x  y  u  v  0.
ìï uv + xy = 2
4.12. Известно, что система уравнений ïí 2
однозначно определяет
ïï ux + vy 2 = 2
ïî
дифференцируемые неявные функции u (x , y ), v (x , y ) в окрестности некоторой точки M 0 .
Найдите du (x , y ), dv (x , y )в этой окрестности.
u 2  v 2  x
4.13. Определите, для каких точек M  x , y , z  система уравнений 
однозначно
 uv  y
определяет дифференцируемые неявные функции u x , y  , v x , y  . Найдите u x , v x .
4.14. Предполагая, что   дифференцируемая функция, проверьте выполнение равенства:
y
xzz x  yzz y  xy , если z 2  xy     .
x 
4.15. Преобразуйте дифференциальное уравнение, введя указанные новые переменные:
4.15.1. x 2y '' xy ' 4y  0 , y  y (t ) , если x  e t .
4.15.2. y  (x  xy )y '  0 , если y  tx , y  y (t ) .
2
2
4.15.3. x 3y '' xyy ' y 2  0 , u  u (t ) , если x  e t , y  u  e t .
x y
4.15.4. y ' 
,   ( ) , если x   cos , y   sin  .
x y
4.15.5. yz x  xz y  0, z  z (u, v ) , если u  x , v  x 2  y 2 .
4.15.6. z x  z y  4x , если
u  x , v  x  y,
w  x y z;
4.15.7. (x  z )z x  (y  z )z y  x  y  z , z  z (u , v ) , если u  x  z , v  y  z .
4.15.8. xz x + yz y + yz = 0 , если x  uy, w  ze y .
4.15.9. u xy  u x  uy  u если новая функция v  v(x , y ), u  ve
x y
.
4.15.10.
2z xx  z xy  z yy  z x  z y  0, z  z (u , v ) , если u  x  2y  2, v  x  y  1 .
4.15.11.
yz yy  2z y 
4.15.12.
z xx  2z xy
2
, w  w(u, v ) , если yu  x, v  x, w  xz  y .
x
 z yy  z yy  0 , w  w(u, v ) , если u  x  y, v  x  y, w  xy  z .
5. Условный экстремум.
5.1. Используя метод Лагранжа, найдите все точки экстремума функции u при заданных
условиях связи.
5.1.1. u  x , y   x 2  y 2 при условии x  y  2 ;
5.1.2. u  x , y   x  y при условии x 2  y 2  2 ;
5.1.3. u  x , y   x  y при условии xy  1 в области x > 0 , y > 0 ;
 
5.1.4. u x , y  xy при условии x  y  2 в области x > 0 , y > 0 ;
5.1.5. u x , y   xy при условии x 3  y 3  2xy  0 ;
17
 
5.1.7. u  x , y   2x  y при условии x y  1  0 в области x > 0 , y > 0 ;
5.1.8. u  x , y   xy при условии x  3y  4  0 в области x > 0 , y > 0 ;
5.1.6. u x , y  x 2y при условии 2x  y  3  0 в области x > 0 , y > 0 ;
2
3
5.1.9. u x , y, z   x  y  z при условии xyz  1 ;
 
5.1.11. u  x , y   2x  3y при условии x y  1  0 в области x > 0 , y > 0 ;
5.1.12. u x , y   x y при условии 2x  3y  5  0 в области x > 0 , y > 0 ;
5.1.13. u x , y, z   xyz при условии x  y  z  3 в области x > 0 , y > 0 , z > 0 ;
5.1.10. u x , y  x  3y при условии xy 3  1 в области x > 0 , y > 0 ;
2 3
2 3
5.1.14. u x , y, z   xyz при условиях x 2  y 2  z 2  1, x  y  z  0 ;
5.1.15. u  x , y , z   x 2y 3z 4 при условии 2x  3y  4z  9 ;
6. Кратные интегралы.
6. Вопросы и задачи.
6.1. Измените порядок интегрирования в повторных интегралах. Вычислите повторный
интеграл.
1
1
 dy  xydx ;
0
1
 dx
0
y
1
2- x
ò dx ò ydy ,
0
x
4
0
3- y
1
0.5y
ò dy
ò
ò (y + 1)dy ò dx
(x + 1)dx ,
0.5y - 2
0
0

 dx
0
sin x

1
2ydy ;
 dx
0
0
x
 2ydy ;
x2
/2

cos ydy .
arcsin x
6.2. Сведите двойной интеграл  f (x , y )dxdy к повторному двумя способами:
6.2.1. D  (x , y ) : x  y  1 ;

D

6.2.2. D  (x , y ) : y 2  x  2, y  x .
6.3. Вычислите
6.3.1.  x 2  y 2  dxdy, D  x 2  y 2  6 ;
D
6.3.2.   x 2  y 2  dxdy , D  1  x 2  y 2  4
D
6  arct g yx  4 
x  0.
6.4. Найдите замену переменных u, v   x , y  , при которой область D на плоскости (x,y),
ограниченная линиями xy  1, xy  2, x 2y 3  3, x 2y 3  4 , x  0, y  0 , переходит в
прямоугольник на плоскости (u,v). Вычислите площадь области D.
6.5. Найдите замену переменных u, v   x , y  , при которой область D на плоскости (x,y),
ограниченная линиями xe y  1, xe y  2, x  e y , x  2e y , переходит в прямоугольник на
плоскости (u , v ) . Вычислите площадь области D, используя замену переменных в двойном
интеграле.
6.6. Найдите замену переменных u, v   x , y  , при которой область D на плоскости (x,y),
ограниченная линиями x 2y  1, x 2y  8, x  y, x  27y , x  0, y  0 , переходит в
прямоугольник на плоскости (u,v). Вычислите площадь области D.
6.7. Вычислите массу m   dxdy , статические моменты M x   ydxdy , M y 
G
G
моменты инерции I x 
 y dxdy , I
2
G
y

 x dxdy
2
G
  1 , ограниченной линиями
6.7.1. 0  x  2, 0  y  x ;
6.7.2. 0  x  4, 0  y  x (4  x );
18
 xdxdy
G
однородной пластинки с плотностью
и
6.7.3. 0  x   , 0  y  sin x ;
6.7.4. 103  x  1, 0  y  x 1 .
6.8. Вычислите координаты центра масс и моменты инерции плоской фигуры относительно
осей координат, если фигура ограничена линиями x  1, x  2, y  0, y  x ;
поверхностная плотность   1 .
6.9. Вычислите координаты центра масс плоской фигуры, ограниченной кривыми
y  cos x , y  sin x  / 4  x  5 / 4  ; поверхностная плотность   1 .
6.10. Вычислите момент инерции относительно оси Oy плоской фигуры, ограниченной
линиями x  0, x  1, y  0, y  arcsin x ; поверхностная плотность   x   1 .
6.11. Сведите тройной интеграл
 f x , y, z  dxdydz к повторному, если G
- область,
G
ограниченная поверхностями x  0, y  0, z  0, x  y  z  2 .
6.12. Вычислите тройной интеграл
 (x
2
 y 2 )dxdydz , где область G ограничена
G
поверхностями x  y  2z , z  2.
2
2
6.13. Вычислите моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного
тела (плотность   1 ), ограниченного поверхностями
x2 y2 z2


 1, z  0, z  0  .
a 2 b2 c 2
6.14. Вычислите координаты центра масс и момент инерции относительно начала координат
тела с плотностью   x , y , z   x 2  y 2  z 2 , ограниченного поверхностями
x 2  y 2  z 2  4, x 2  y 2  z 2 z  0  .
6.15. Пусть G – тело, ограниченное поверхностями x 2  y 2  z 2  4, z  1 z  1 . Найдите
силу притяжения этим телом материальной точки массы m0 , находящейся в начале
координат.
7. Криволинейные интегралы.
7.1. Вычислите криволинейные интегралы первого рода
t2
7.1.1.  1ds , где L – кривая x  t , y  , 0  t  1;
2
L
7.1.2.  yds , где L – кривая y  e x , 0  x  2;
L
7.1.3.  xydl, где L – часть ломаной линии x  y  1, x  y  1, 1  x  1, 0  y  1 .
L

7.1.4.  x 2ydl, где L  (x , y ) : x  4 cos t , y  sin 2t , 0  t 
L

2
.
2
x x , 0  x  3.
3
2
7.3. Вычислите массу кривой y  x x , 0  x  3 с линейной плотностью
3
(x )  2 1  x .
7.2.
Вычислите длину кривой y 
7.4.
Вычислите x -координату центра масс кривой x  cos t , y  sin t , 0  t 

2
, если
линейная плотность постоянна.
7.5. Вычислите момент инерции относительно оси Ox кривой x  cos t , y  sin t ,
0  t   , если линейная плотность   1 .
7.6. Вычислите момент инерции относительно оси Ox кривой x  cos t , y  sin t ,
0  t   ; линейная плотность  (t )  sin t .
19
7.7. Найдите координаты силы притяжения материальной точки массы m однородной
полуокружностью массой M и радиусом R; точка помещена в центре соответствующей
окружности.
7.8. Вычислите x- координату центра тяжести кривой L, заданной как пересечение
поверхности 9x 2 + y 2 = z 2 и плоскости z = 2x + 5 .
7.9. Вычислите z- координату центра относительно осей координат кривой, заданной как
пересечение поверхности x 2 + 9y 2 = z 2 + 4 и плоскости z = 2y - 5 .
7.10. Вычислите криволинейные интегралы второго рода:
7.10.1.  xdx  ydy , где кривая AB задана уравнением y  x 2 , A  0, 0  , B 1,1 .
AB
7.10.2.  (2  y )dx  xdy , где кривая L задана уравнениями
L
x  t  sin t , y  1  cos t , 0  t  2 и пробегается в направлении возрастания параметра t.
7.10.3.
 xdy  2ydx , где кривая L задана
соотношениями
L
y  0, y  1  x 2 ,
y  x,
0y x.
7.10.4.  xydx  x 3y 3dy , где L – замкнутый контур, заданный уравнением x  y  x  y  1 .
L
7.10.5.  ydx  zdy  xdz , где L – кривая x  cos t , y  sin t , z  t , 0  t  2 , пробегаемая
L
в направлении возрастания параметра t.
7.11. С помощью криволинейного интеграла найдите площадь области, ограниченной:
7.11.1. эллипсом x  a sin t , y  b cos t , 0  t  2 , a  0, b  0 ;
7.11.2. параболой (x  y )2  2ax
7.11.3. астроидой x
2
3
y
2
3
a  0  и осью Ox .
2
a 3.
7.12. С помощью формулы Грина вычислите интеграл

C
2xdx  2dy
, где С – дуга
x 2  2y
2
окружности (x - 3) + y 2 = 1 , x ³ 1 . Дуга пробегается против часовой стрелки.
7.13. С помощью формулы Грина вычислите интеграл  e xy  y cos x  sin x  dx  x cos xdy  ,
C
где С – дуга окружности
x2+y2=1,
y  0 . Дуга пробегается против часовой стрелки.
7.14. Вычислите работу силы F  x  y, 2x  y 2  вдоль части параболы x  y 2 , пробегаемой
от точки A(1, 1) до точки B(1, 1).
r
7.15. Вычислите работу поля F = {2 - y, x } вдоль кривой L , заданной уравнениями
x  t  sin t , y  1  cos t , 0  t  2 и пробегаемой в направлении возрастания параметра t.
r
7.16. Вычислите работу поля F = {- y ; x } вдоль замкнутого контура, заданного уравнением
x + y = 1 , пробегаемого против часовой стрелки.
r
7.17. Вычислите работу поля F = e x - y ;1 + e y вдоль замкнутого контура, ограниченного
{
}
отрезками кривых y = x 2, y = x, x ³ 0 , пробегаемого против часовой стрелки.
r
7.18. Вычислите работу поля F = e x ; x + y , вдоль замкнутого контура, заданного
{
}
уравнениями x  a cos t , y  b sin t , 0  t  2 , a  0, b  0 . Обход контура против часовой
стрелки.
r
7.19. Вычислите работу поля F = {y ; z ; x } вдоль кривой L , заданной уравнениями
x  cos t , y  sin t , z  t , 0  t  2 и пробегаемой в направлении возрастания параметра t.
20
7.20. Вычислите работу силы F  y, x , 0 вдоль контура, заданного как пересечение
эллипсоида 3x 2  y 2  z 2  4 и плоскости z  x  2 , пробегаемого против часовой стрелки,
если смотреть из точки (0,0,-3).
8. Поверхностные интегралы.
8.1. Найдите вектор нормали и запишите уравнение касательной плоскости к поверхности S в
заданной точке М:
8.1.1. S : z = x 2 + y 2 ; M (3, 4, 25) .
8.1.2. S : x 2 + y 2 + z 2 + xyz = 2 ; M (1,1, 0) .
8.1.3. S : x = 2uv , y = u + v , z = u 2 + v 2 ,
M (x (u 0, v0 ), y(u 0, v0 ), z (u 0, v 0 )), где u 0 = 1, v 0 = - 1.
8.2. Найдите площадь поверхности с помощью двойного интеграла:
8.2.1. z = 3x + 4y , x 2 + y 2 £ 1 .
x2 + y2 , x2 + y2 £ 1 .
8.2.2. z =
8.2.3. 2z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 £ 1 .
8.2.4. z = xy , x 2 + y 2 £ a 2 .
1
.
2
8.2.6. x = u cos v,y = u sin v,z = v,0 £ u £ a,0 £ v £ 2p.
8.2.5. x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ³ 0 , x 2 + y 2 £
8.3.Вычислите поверхностные интегралы I рода.
8.3.1. òò dS , где поверхность S : x + y + z = 1 , x Î [- 1;1], y Î [- 1;1] .
S
8.3.2.
òò (x + y + z )dS , где поверхность S : x + y + z = 1 , x Î [- 1;1], y Î
òò (x + y + z )dS , где поверхность S : x + y + z = 1 I z ³ 0 .
òò (x + y )ds , где S – граница тела V = {( x, y, z ): x + y £ z £ 1} .
[- 1;1] .
S
8.3.3.
8.3.4.
2
2
2
S
2
2
2
2
S
1
)ds , где S – часть параболоида 2z = 2 - x 2 - y 2, z ³ 0 .
2
S
8.3.6. Найдите координаты центра масс части однородной сферы
x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0 с помощью поверхностного интеграла.
8.3.5.
òò (x
2
+ y2 + z -
8.4. Вычислите x - компоненту силы притяжения материальной точки массы m0, помещённой в
начало координат, частью сферы x 2  y 2  z 2  1 , x  0 , y  0 z  0 . Поверхностная
плотность сферы   1 .
8.5. Вычислите поверхностные интегралы второго рода:
8.5.1.  dxdy , если S – часть конической поверхности z 2  x 2  y 2 , 0  z  1 , нормаль к
S
которой образует острый угол с осью Oz .
8.5.2.  dydz , если S – часть конической поверхности z 2  x 2  y 2 , 0  z  1 , нормаль к
S
которой образует острый угол с осью Oz .
8.5.3.  dxdy , если S – поверхность x  y  z  1 , x  0 , y  0 , z  0 , нормаль образует
S
острый угол с осью Oz .
8.5.4.  dydz , если S – поверхность x 2  y 2  z 2  1 , x  0 , y  0 , z  0 , нормаль образует
S
острый угол с осью Oz .
8.5.5.  dxdz , если S – поверхность x 2  y 2  1  z , x  0 , y  0 , z  0 , нормаль образует
S
острый угол с осью Oz .
21
8.5.6.
òò xdydz + ydzdx + zdxdy , где S
– верхняя сторона плоскости x + y + z = 1 ,
S
x Î [- 1;1], y Î [- 1;1] , то есть нормаль к плоскости составляет острый угол с осью Oz .
8.5.7.
òò (y
2
+ z 2 )dxdy , где S - часть внешней стороны цилиндрической поверхности
S
8.5.8.
z=
a2 - x 2 , 0 £ y £ b .
òò (x
2
+ y 2 + z 2 )dxdy , где S - часть внешней стороны конической поверхности
S
x 2 + y 2 , 0 £ z £ c (внешняя нормаль образует тупой угол с осью Oz ).
z=
8.5.9.
òò x dydz + y dzdx + z dxdy , где S
2
2
2
- часть внутренней стороны гиперболоида
S
2
x + y 2 - z 2 = 1, 0 £ z £ 3 .
8.5.10.
òò x dydz + y dzdx + z dxdy , где S
2
S
2
2
– внешняя сторона сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 .
62.
1.8
Вопросы и задачи к экзамену по математическому
анализу(I семестр).
Тема 1. Числовые множества и последовательности
1. Определения.
Сформулируйте определение:
1.1. ограниченного множества вещественных чисел;
1.2. ограниченного сверху множества вещественных чисел;
1.3. ограниченного снизу множества вещественных чисел;
1.4. неограниченного множества вещественных чисел;
1.5. неограниченного сверху множества вещественных чисел;
1.6. неограниченного снизу множества вещественных чисел;
1.7. окрестности данной точки;
1.8.  - окрестности данной точки;
1.9. проколотой окрестности данной точки;
1.10. предельной точки числового множества;
1.11. верхней грани числового множества;
1.12. нижней грани числового множества;
1.13. точной верхней грани числового множества;
1.14. точной нижней грани числового множества;
1.15. числовой последовательности
1.16. ограниченной последовательности;
1.17. неограниченной последовательности;
1.18. монотонной последовательности;
1.19. предела последовательности;
1.20. бесконечно малой последовательности;
1.21. бесконечно большой последовательности;
1.22. фундаментальной последовательности;
1.23. подпоследовательности данной последовательности;
1.24. предельной точки последовательности (два определения);
1.25. верхнего предела последовательности;
1.26. нижнего предела последовательности.
2. Основные теоремы (без доказательства)
Сформулируйте
2.1. теорему о пределе суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей;
2.2. теорему о «двух милиционерах»;
22
2.3. теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности;
2.4. теорему о вложенных отрезках;
2.5. теорему Больцано-Вейерштрасса;
2.6. критерий Коши сходимости последовательности.
3. Теоремы с доказательством.
3.1. Докажите, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.
3.2. Докажите, что сходящаяся последовательность ограничена.
3.3. Сформулируйте и докажите теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного двух
последовательностей.
3.4. Докажите теорему о «двух милиционерах».
3.5. Пусть lim an = a . Докажите, что любая подпоследовательность {an k } сходится к a.
n® ¥
3.6. Докажите, что неубывающая ограниченная сверху последовательность имеет предел.
3.7. Докажите, что невозрастающая ограниченная снизу последовательность имеет предел.
3.8. Докажите теорему о вложенных отрезках.
3.9. Докажите теорему Больцано-Вейерштрасса.
3.10. Докажите, что фундаментальная последовательность является ограниченной.
3.11. Докажите, что сходящаяся последовательность является фундаментальной.
3.12. Докажите, что фундаментальная последовательность является сходящейся.
4. Вопросы и задачи.
4.1. Приведите примеры ограниченного и неограниченного множеств вещественных чисел.
4.2. Докажите неравенство Бернулли: (1 + x )n ³ 1 + nx при x ³ - 1 и n Î ¥ .
4.3. Сформулируйте отрицание к определению ограниченной последовательности.
4.4. Сформулируйте отрицание к определению "Число b называется пределом последовательности".
4.5. Сформулируйте отрицание к определению бесконечно малой последовательности.
4.6. Сформулируйте отрицание к определению бесконечно большой последовательности.
4.7. Сформулируйте отрицание к определению фундаментальной последовательности.
n
4.8. Докажите, что последовательность x n = (1 + 1/ n ) – возрастающая.
n+1
4.9. Докажите, что последовательность x n = (1 + 1/ n )
– убывающая.
n
4.10. Докажите, что последовательность x n = (1 + 1/ n ) сходится.
4.11. Пусть {an }
-
бесконечно
малая
последовательность,
an ¹ 0 " n Î ¥ .
Докажите,
что
{ } - бесконечно большая.
последовательность 1 an
{ }
4.12. Пусть {an } - бесконечно большая последовательность. Докажите, что последовательность 1 an
определена, начиная с некоторого номера n , и является бесконечно малой.
1
1
= .
4.13. Пусть lim an = a, a ¹ 0 . Докажите, что lim
n® ¥ a
n® ¥
a
n
4.14. Пусть последовательность x n  сходится, а последовательность y n  расходится. Что можно
сказать о сходимости последовательности x n  y n  ? Ответ обоснуйте.
4.15. Пусть последовательность x n  расходится и последовательность y n  расходится. Что можно
сказать о сходимости последовательности x n  y n  ? Ответ обоснуйте.
4.16. Пусть последовательность x n  сходится, а последовательность y n  - расходится. Что можно
сказать о сходимости последовательности x n  y n  ? Ответ обоснуйте.
4.17. Пусть последовательность x n  расходится и последовательность y n  расходится. Что можно
сказать о сходимости последовательности x n  y n  ? Ответ обоснуйте.
4.18. Пусть последовательность x n  сходится, а последовательность y n  расходится. Что можно


сказать о сходимости последовательности x n yn ? Ответ обоснуйте.
23
4.19. Пусть последовательность x n  расходится и последовательность y n  расходится. Что можно


сказать о сходимости последовательности x n yn ? Ответ обоснуйте.
4.20. Докажите, что если lim x n = a , то lim x n = a .
n® ¥
n® ¥
4.21. Известно, что lim x n = a . Докажите, что lim (x n + 1 - x n ) = 0 .
n® ¥
n® ¥
n
4.22. Известно, что lim x n = a . Докажите, что lim (x n + 1 - x n ) = 0 .
n® ¥
n® ¥
4.23. Известно, что lim x n = a . Докажите, что lim x n2 = a 2 .
n® ¥
n® ¥
4.24. Пусть, начиная с некоторого номера, x n ³ y n и lim yn = + ¥ . Докажите, что lim x n = + ¥ .
n® ¥
n® ¥
4.25. Пользуясь определением предела последовательности, докажите что:
n
а) lim
n® ¥
3
(- 1)
n 2 sin n 2
= 0 ; б) lim (0.8)n = 0 ; в) lim
= 0.
n® ¥
n® ¥
n
n+1
na - 1
4.26. Исследуйте вопрос о сходимости последовательности x n =
2n 2 + n + 1
параметра α.
в зависимости от
3n
n
æ 2÷
ö
(- 2) + 3n
n2 + n - n2 - n
4.27. Найдите: а) lim
; б) lim
; в) lim çç1 + ÷ .
n+1
n® ¥ è
n ® ¥ (- 2)
n® ¥
nø
+ 3n + 1
n
4.28. Докажите, что последовательности являются бесконечно большими:
а) a n = n ; б) an = (- 1)n ×n
4.29. Докажите, что последовательность
{(1 + (-
n
1) )n } неограниченная, однако не является
бесконечно большой.
4.30. Сформулируйте отрицание к определению "Число b называется предельной точкой
последовательности", используя понятие подпоследовательности.
4.31. Сформулируйте отрицание к определению "Число b называется предельной точкой
последовательности", используя понятие окрестности.
4.32. Приведите пример последовательности, у которой есть одна предельная точка, но
последовательность не является сходящейся.
4.33. Приведите пример последовательности, у которой ровно две предельные точки.
4.34. Докажите, что монотонная неограниченная последовательность не имеет предельной точки.
4.35. Найдите все предельные точки данной последовательности {x n }, а также lim x n , lim x n :
n® ¥
n
а) x n = (- 1) ;
n
n
(- 1)
1 + (- 1)
+
б) x n =
;
n
2
n- 1
2p n
cos
в) x n =
;
n+1
3
n® ¥
2p n
г) x n = cosn
;
3
д) x n = sin (pn / 2 + 1/ n ).
5. Задачи повышенной трудности.
5.1. Докажите, что из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно
большую подпоследовательность.
5.2. Докажите сходимость последовательности {x n } и вычислите ее предел, если
ö
1æ
a÷
÷
а) x 1
произвольное
положительное
число,
x n + 1 = ççx n +
" n ³ 1, a > 0 .
÷
÷
2 çè
xn ø
3
, x n + 1 = 3x n - 2 .
2
5.3. Найдите все предельные точки последовательности 1;1/ 2;1;1/ 2;1/ 3;1;1/ 2;1/ 3;1/ 4... (обоснуйте
ответ).
ln n
5.4. Не пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что последовательность x n = a при a > 1
n
является бесконечно малой.
б) x 1 =
24
5.5. Не пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что последовательность x n =
na
при любом a и
bn
b > 1 является бесконечно малой.
bn
= 0.
5.6. Докажите, что " b lim
n® ¥ n !
n!
5.7. Докажите, что lim n = 0 .
n® ¥ n
5.8. Докажите, что последовательность x n =
bn
при любом  и при b > 1 является бесконечно
na
большой.
ln n
= 0.
n® ¥
n
5.10. Докажите, что последовательность x n = n n - 1 является бесконечно малой.
a + a2 + ... + an
5.11. Пусть lim an = a , bn = 1
. Докажите, что lim bn = a .
n® ¥
n® ¥
n
5.12. Пусть lim an = a , bn = n a1 ×a2 ×... ×an . Докажите, что lim bn = a .
n® ¥
n® ¥
n
5.13. Вычислите lim n
.
n® ¥
n!
1
= 0.
5.14. Докажите, что lim n
n® ¥
n!
5.15. Приведите пример последовательности с бесконечным числом предельных точек.
5.9. Докажите, что lim
Тема 2. Предел и непрерывность функции.
1. Определения.
Сформулируйте определение:
1.1. ограниченной на множестве X функции;
1.2. ограниченной сверху на множестве X функции;
1.3. ограниченной снизу на множестве X функции;
1.4.
неограниченной на множестве X функции;
1.5. неограниченной сверху на множестве X функции;
1.6. неограниченной снизу на множестве X функции;
1.7. верхней грани функции на множестве X;
1.8. нижней грани функции на множестве X;
1.9. точной верхней грани функции на множестве X;
1.10. точной нижней грани функции на множестве X;
1.11. монотонной на промежутке функции;
1.12. предела функции f (x ) в точке x = a “по Коши”;
1.13. предела функции f (x ) при x ® a + 0 “по Коши”;
1.14. предела функции f (x ) при x ® a - 0 “по Коши”;
1.15. предела функции f (x ) при x ® + ¥ “по Коши”;
1.16. предела функции f (x ) при x ® - ¥ “по Коши”;
1.17. предела функции f (x ) в точке x = a “по Гейне”;
1.18. предела функции f (x ) при x ® + ¥ “по Гейне”;
1.19. предела функции f (x ) при x ® - ¥ “по Гейне”;
1.20.
f (x ) ® + ¥ при x ® a "по Коши";
1.21. f (x ) ® + ¥ при x ® a - 0 "по Коши";
1.22. f (x ) ® + ¥ при x ® + ¥ "по Коши";
1.23. f (x ) ® + ¥ при x ® - ¥ ;"по Коши";
1.24. f (x ) ® - ¥ при x ® - ¥ "по Коши";
25
1.25. f (x ) ® - ¥ при x ® a "по Коши";
1.26. f (x ) ® - ¥ при x ® a + 0 "по Коши";
1.27. f (x ) ® - ¥ при x ® + ¥ "по Коши";
1.28. "Функция f (x ) называется бесконечно малой при x ® a "по Коши";
1.29. "Функция f (x ) называется бесконечно малой при x ® + ¥ "по Коши";
1.30. f (x ) ® + ¥ при x ® a "по Гейне";
1.31. f (x ) ® + ¥ при x ® + ¥ "по Гейне";
1.32.
1.33.
1.34.
1.35.
1.36.
1.37.
1.38.
1.39.
f (x ) ® + ¥ при x ® - ¥ "по Гейне";
функции, непрерывной в точке;
непрерывной на промежутке функции;
точки разрыва функции f (x );
точки устранимого разрыва функции f (x );
точки разрыва первого рода функции f (x );
точки разрыва второго рода функции f (x );
обратной функции.
2. Основные теоремы (без доказательства).
2.1. Сформулируйте критерий Коши существования предела функции при x ® a .
2.2. Сформулируйте критерий Коши существования предела функции при x ® + ¥ .
Сформулируйте теорему:
2.3. о пределах суммы, разности, произведения и частного двух функций;
2.4. о связи предела функции в данной точке с односторонними пределами в этой точке;
2.5. о первом замечательном пределе;
2.6. о втором замечательном пределе;
2.7. о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух непрерывных функций;
2.8. Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции;
2.9. Сформулируйте теорему о существовании, монотонности и непрерывности обратной функции.
3. Теоремы с доказательством.
3.1. Докажите, что сумма двух бесконечно малых функций в точке a является бесконечно малой
функцией в точке a .
3.2. Докажите, что произведение бесконечно малой в точке a функции на ограниченную функцию
является бесконечно малой функцией в точке a .
Докажите теорему
3.3. о пределах суммы, разности, произведения и частного двух функций;
3.4. о связи предела функции в данной точке с односторонними пределами в этой точке;
3.5. о пределе монотонной ограниченной функции.
3.6. Докажите эквивалентность определений по Гейне и по Коши предела функции f  x  при x  a .
3.7. Сформулируйте критерий Коши существования lim f (x ). Докажите необходимость.
x® a
3.8. Сформулируйте критерий Коши существования lim f (x ). Докажите достаточность.
x® a
Докажите теорему:
3.9. о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух непрерывных функций;
3.10. о непрерывности сложной функции;
3.11. о прохождении непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение;
3.12. о существовании, монотонности и непрерывности обратной функции;
3.13. о первом замечательном пределе;
3.14. о втором замечательном пределе.
4. Вопросы и задачи.
4.1. Сформулируйте определение “по Коши” того, что функция f (x ) не имеет предела в точке x = a .
Сформулируйте "по Коши" отрицание к утверждению
26
4.2. " f (x ) ® b при x ® a ".
4.3. " f (x ) ® b при x ® ¥ ";
4.4. " f (x ) ® b при x ® - ¥ ";
4.5. " f (x ) ® + ¥ при x ® a ";
4.6. " f (x ) ® - ¥ при x ® + ¥ ";
4.7. " f (x ) ® - ¥ при x ® a - 0 ";
4.8. " f (x ) ® + ¥ при x ® a + 0 ".
4.9. Докажите, что сумма бесконечно малой в точке a функции и ограниченной в окрестности точки
a функции является ограниченной функцией в некоторой окрестности точки a .
4.10. Пусть функция f (x ) имеет предел в точке a , а g (x ) не имеет предела в этой точке. Что можно
сказать о существовании пределов суммы f (x ) + g (x ) и разности f (x ) - g (x ) в точке a ? Ответ
обоснуйте.
4.11. Дайте определение функции, не являющейся непрерывной в точке a . Приведите пример
разрывной функции.
4.12. Пусть функции f (x ) и g (x ) разрывны в точке a . Что можно сказать о непрерывности суммы
f (x ) + g (x ) в этой точке? Ответ обоснуйте.
4.13. Пусть функции f (x ) и g (x ) разрывны в точке a . Что можно сказать о непрерывности
произведения f (x ) ×g (x ) в этой точке? Ответ обоснуйте.
4.14. Пусть существует предел f (x ) в точке a и не существует предел g (x ) в точке a . Что можно
сказать о пределе отношения f (x ) g (x ) в этой точке? Ответ обоснуйте.
4.15. Докажите, что если f (x )непрерывна в точке a , то и f (x ) – непрерывная функция в точке a .
4.16. Можно ли утверждать, что квадрат разрывной в некоторой точке функции есть функция,
разрывная в этой точке? Ответ обоснуйте.
4.17. Пусть функция f (x ) непрерывна в точке a , g (x ) – разрывна в точке a . Что можно сказать о
непрерывности суммы f (x ) + g (x ) и разности f (x ) - g (x ) в этой точке? Ответ обоснуйте.
4.18. Пусть функция f (x )непрерывна в точке a , g (x )– разрывна в точке a . Что можно сказать о
непрерывности произведения f (x ) ×g (x ) в точке a ? Ответ обоснуйте.
a x n + a1x n - 1 + ... + an
4.19. Пусть
Докажите,
что
R (x ) = 0 m
, a 0 ¹ 0, b0 ¹ 0 .
b0x + b1x m - 1 + ... + bm
ìï ¥ ,
n > m,
ïï
ï
lim R (x ) = í a 0 b0 , n = m ,
x® ¥
ïï
ïï 0,
n < m.
ïî
4.20. Докажите, что lim cos x не существует.
x® ¥
4.21. Существует ли lim x sgn(x - 1) ?. Обоснуйте ответ.
x® 1
sin 5x
sin x
; б) lim
.
x® 0
x® ¥
x
x
ln(1 + x )
ax - 1
= 1; б) lim
= ln a, если a > 0 .
4.23. Докажите, что: а) lim
x® 0
x® 0
x
x
4.24. Пусть a (x ) и b (x ) – бесконечно малые при x ® a функции. Докажите справедливость
следующих равенств при x ® a :
o (b n )
o (b ) + o (b ) = o (b );
= o (b n - 1 ), " n Î ¥ ;
b
o (b ) - o (b ) = o (b ) ;
o (o (b )) = o (b );
o (c b ) = o (b ), " c ¹ 0, c = const ;
4.22. Вычислите: а) lim
o (b + o (b )) = o (b );
co (b ) = o (b ), " c ¹ 0, c = const . ;
a b = o (a ), a b = o (b );
n
(o (b )) = o (b n ), " n Î ¥ ;
b n o (b ) = o (b n + 1 ),
если a : b , то a - b = o (a )
и a - b = o (b ).
"n Î ¥ ;
27
4.25. Пользуясь свойствами символа "o - малое" , запишите для функции a (x ) равенство вида
a (x ) = o(1) или a (x ) = o ((x - a )k ) при x ® a ( k -натуральное число):
4.25.1.
a (x ) = o(- 5x + x 2 - x 3 + o(- 5x + x 2 - x 3 )), x ® 0 ;
4.25.2.
a (x ) = (x - 1) ×o((x - 1)2 + o(x - 1)), x ® 1 ;
1
×o(5x + x 2 ), x ® 0 .
3x
1
4.25.4.
a (x ) = 2 ×o (2x 4 + o (x 4 + 2x 2 )), x ® 0 ;
x
3
o (2 (x + 2) ) o (4 (x + 2)5 )
4.25.5.
a (x ) =
+
, x ® - 2.
2
4
(x + 2)
(x + 2)
4.26. Пользуясь свойствами символа "o - малое" , запишите для функции a (x ) равенство вида
æ1 ö
a (x ) = o(1) или a (x ) = o çç k ÷
при x ® ¥ ( k -натуральное число):
èx ÷
ø
æ1
ö
1
æ1 ö
÷÷
a (x ) = o çç 2 + o çç ÷
4.26.1.
÷;
çè2x
èx ø÷
ø
x
2
1
a (x ) = 3 - 2 ;
4.26.2.
x
x
æ1
ö
æ1 ÷
ö÷
a (x ) = x 2 ×o çç 3 + o çç 3 ÷
4.26.3.
;
÷
÷
çèx
èx øø
æ æ1 ö
ö
æ1 ö÷
a (x ) = x çço çç 2 ÷
- o çç 2 ÷
4.26.4.
;
÷
÷
÷
èx ø÷
èç èx ø
ø
æ1
æ1 ÷
öö
÷
a (x ) = 5x ×o çç 2 + o çç ÷
4.26.5.
÷.
çèx
èx ø÷
ø
4.27. Напишите асимптотическое разложение функции при x ® 0 c остаточным членом o(x a ) , где
a ³ 0:
а) sin 2 (5 x + x ) ; б) cos(4x 2 + x ) ; в) ln(1 - x 2 + x ) ; г) ln(cos 2x ) ;д) ln (e x + x ); е) cos sin x , x > 0 .
4.25.3.
a (x ) =
4.28. Напишите асимптотическое разложение функции при x ® ¥ c остаточным членом o(1/ x a ) , где
a ³ 0:
æ2 ö
а) x 2 + x - x ; б) 3 x 3 + x - x ; в) ln cos çç ÷
; г) e 1/ x - 1, x > 0 .
èx ÷
ø
4.29. Вычислите пределы
x2 - 4
lim 1 + x + x 2 - 1 - x + x 2 ;
;
lim
x® ¥
x ® 2 (x - 2)(x + 1)
cos x - 3 cos x
2
lim
;
x - 4
x® 0
sin 2 x
;
lim
x ® ¥ (x - 2)(x + 1)
1- x
æ1 + x ö÷ 1- x
lim ççç
при x ® + 0, x ® 1, x ® + ¥ ;
1- x - 3
÷
è2 + x ÷
ø
lim
;
x® - 8
2+ 3x
tgx
lim (sin x ) ;
40
10
x® p / 2
(x - 3) (5x + 1)
lim
ln ch 2x
x® ¥
(3x - 2)25
lim
;
x ® 0 ln cos 3x
x+ x+ x
;
lim
lim cos p n 2 + n ;
x® + ¥
n® ¥
x+1
sin(x - p / 3)
lim 3 x 3 + 3x 2 - x 2 - 2x ;
lim
;
x® + ¥
x ® p / 3 1 - 2 cos x
lim(1 - x ) logx 2 ;
px
x® 1
lim(1 - x ) t g
;
x® 1
2
lim n 2 (n a - n + 1 a ), a > 0 ;
n® ¥
m
x
1 + ax - n 1 + bx
æ 1
1ö
lim
, m, n Î N
÷
lim çsin + cos ÷ ;
x® 0
x
x® ¥ ç
è x
xø
(
)
(
(
28
)
)
lim
x® 0
lim
1 - cos x
x ® 0 1 - cos x
lim (x - ln (ch x ))
ln (x 2 + e x )
lim
ln (x 4 + e 2x )
ln (x 2 + e x )
x® + ¥
x® + ¥
ln (x 4 + e 2x )
.
lim
x® - ¥
(
x2 + x - x
n
)
lim t g ( + )
lim
n® ¥
ln (t g ( p4 + x ))
p
4
1
n
a x + h + a x - h - 2a x
,a > 0
h® 0
h2
lim
x® 0
sin bx
lim (sin x + 1 - sin x )
1
æ1 + x 2x ÷
öx 2
lim ççç
÷
x ® 0 è1 + x 3x ÷
ø
ln(1 + x +
lim
x ® + ¥ ln(1 + 3 x +
x® ¥
n
æ(a - 1) + n b ö
÷
÷
lim ççç
÷
n® ¥ è
÷
a
ø
x
a
a - x
lim
(a > 0)
x® a x - a
n
æn a + n b ÷
ö
ç
÷
lim ç
(a > 0, b > 0)
÷
n® ¥ ç
÷
2
è
ø
e a x - e bx
lim
x ® 0 sin a x - sin b x
sin 2 (p ×2x )
lim
x ® 1 ln (cos (p ×2x ))
3
4
x)
x)
1
x
æa x + bx + c x ö
÷
lim ççç
, a > 0, b > 0, c > 0
÷
÷
x® 0 è
ø
3
lim n ( n x - 1), x > 0
n® ¥
2
p n
ch
n
lim
2
n® ¥
p n
cos
n
lim x (ln(x + 1) - ln x )
( )
( )
ln (1 + 3x )
lim
x ® - ¥ ln (1 + 2x )
x® ¥
æ 2p n ÷
ö
lim sin n ççç
÷
÷
è3n + 1ø
x
æax + b ö
÷
lim ççç
÷ , a, c > 0
÷
x ® + ¥ ècx + d ø
lim
n® ¥
x® 0
1 - cos x ×cos 2x ×cos 3x
1 - cos x
4.30. Найдите все точки разрыва функции f  x  и определите их тип: f (x ) = e
x2 - 1
1
f (x ) = x sin ; f (x ) =
.
ln x
x
-
1
x
1
; f (x ) = (1 + x ) x ;
5. Задачи повышенной трудности.
5.1. Докажите, что если lim f (x ) = b "по Гейне", то lim f (x ) = b "по Коши".
x® + ¥
x® + ¥
5.2. Докажите, что если lim f (x ) = b "по Коши", то lim f (x ) = b "по Гейне".
x® + ¥
x® + ¥
+ ¥ при x ® a "по Гейне", то f (x ) ® + ¥ при x ® a "по Коши".
5.3. Докажите, что если f
5.4. Докажите, что если lim f (x ) = b "по Гейне", то lim f (x ) = b "по Коши".
(x ) ®
x ® a+ 0
x ® a+ 0
5.5. Пусть функция y = f (x ) возрастает и ограничена на промежутке x Î (a;b). Докажите, что
" c Î (a;b) $ lim f (x ) .
x ® c- 0
5.6. Пусть функция f (x ) возрастает и ограничена на промежутке (a; + ¥ ) . Докажите, что $ lim f (x ).
x® ¥
5.7. Пусть функция f (x ) убывает и ограничена на интервале (a;b) . Докажите, что $ lim f (x ).
x ® b- 0
5.8. Сформулируйте критерий Коши существования lim f (x ) . Докажите необходимость.
x® + ¥
5.9. Сформулируйте критерий Коши существования lim f (x ) . Докажите достаточность.
x® + ¥
ìï 0, x - иррац.
5.10. Докажите, что функция Дирихле D (x ) = ïí
не имеет предела ни в одной точке.
ïï 1, x - рац.
î
5.11. Пусть функция f (x ) определена на [a;b ], f (a ) ×f (b) < 0 и уравнение f (x ) = 0 не имеет корней
на (a, b) . Докажите, что функция f (x ) не является непрерывной на [a;b ]
29
5.12. Пусть функция f (x ) определена на [a;b ] и $ c Î (f (a ); f (b)) такое, что уравнение f (x ) = c не
имеет корней на (a, b) . Докажите, что функция f (x ) не является непрерывной на [a;b ].
5.13. Докажите, что если функция f (x ) непрерывна в точке x = a , и в любой окрестности точки a
найдутся точки x 1 и x 2 такие, что f (x 1 ) ×f (x 2 ) < 0 , то f (a ) = 0 .
5.14. Докажите, что если f (a ) > 0 и " d > 0 $x такое, что 0 < x - a < d и f (x ) < 0 , то функция f (x )
разрывна в точке x = a .
5.15. Приведите пример функций
f (x ) и
g (x ), для которых
$ lim f (x ) и $ lim g (x ) , но
x® a
x® a
$ lim (f (x ) + g (x )).
x® a
5.16. Пусть функция y = f (x ) определена и монотонна на некотором промежутке и пусть для любой
точки c из этого промежутка $ lim f (x ), $ lim f (x ), причем эти пределы равны друг другу. Докажите,
x ® c- 0
x ® c+ 0
что функция f (x ) непрерывна на указанном промежутке.
Тема 3. Производные и дифференциалы функции.
1. Определения.
Сформулируйте определение:
1.1. производной функции f (x ) в данной точке;
1.2. правой производной функции f (x ) в данной точке;
1.3. левой производной функции f (x ) в данной точке;
1.4. производной вектор-функции в данной точке;
1.5. дифференцируемой в данной точке функции;
1.6. функции f (x ) , дифференцируемой на множестве;
1.7. касательной к графику функции y = f (x )в точке (x 0, f (x 0 )) и запишите уравнение касательной;
1.8. дифференциала функции в данной точке;
1.9. n -ной производной функции f (x ) в данной точке;
1.10. n раз дифференцируемой функции f (x ) в данной точке;
1.11. бесконечно дифференцируемой функции f (x ) в данной точке;
1.12. n -ной производной вектор-функции в данной точке;
1.13. n -ного дифференциала функции в данной точке.
2. Основные теоремы и формулы (без доказательства)
Сформулируйте:
2.1. достаточное условие существования касательной к графику функции y = f (x ) в точке (x 0, f (x 0 )) ;
2.2. теорему о производных суммы, разности, произведения и частного двух функций;
2.3. теорему о производной сложной функции;
2.4. теорему о производной обратной функции.
Запишите:
2.5. формулы дифференциалов суммы, разности, произведения и частного двух функций;
2.6. формулу для производной функции, заданной параметрически;
2.7. формулу n -ной производной произведения двух функций.
3. Теоремы с доказательством.
Докажите теорему
3.1. о производных суммы, разности, произведения и частного двух функций;
3.2. о производной сложной функции;
3.3. о производной обратной функции.
3.4. Выведите формулу производной функции, заданной параметрически.
30
4. Вопросы и задачи.
4.1. Докажите, что если f  x 0  , то f x 0  x   f x 0   f  x 0  x  o  x  при x  0 .
4.2. Докажите, что если существует число A такое, что f x 0  x   f x 0   A  x  o  x  при
x  0 , то f  x 0  и f   x 0   A .
4.3. Пользуясь определением производной, выведите формулы производных функций:
а) x n , n Î ¥ ; б) sin x ; в) cos x ; г) loga x ; д) a x .
4.4. Пользуясь теоремой о производных суммы, разности, произведения и частного двух функций
выведите формулы для производных функций:
а) t g x ; б) ct g x ; в) sh x ; г) ch x ; д) t h x ; е) ct h x .
4.5. Пользуясь теоремой о производной сложной функции, выведите формулу для производной
функции x a , a Î ¡ .
4.6. Пользуясь определением производной, найдите производную функции в данной точке:
а) y = x в точке x = 4 ; б) y = x x в точке x = 0 .
4.7. Найдите односторонние производные f ¢(x 0 + 0) и f ¢(x 0 - 0) функции:
а) f (x ) = x , x 0 = 0; x 0 = 1 ;
б) f (x ) = x sgn x , x 0 = 0 ;
в) f (x ) = x 2 sgn x , x 0 = 0 ;
г) f (x ) = x - 1 e x , x 0 = 1 .
4.8. Найдите первые производные и первые дифференциалы функций:
(
а) y = x + x + x ;
б) y = sin 2 (cos x ) + cos2 (sin x )
ж) y = arctg x +
з) y =
x2
в) y = e cos 2x ;
г) y = x sin x ;
x
x
д) y = ee + x e ;
е) y = ln 3 (ln 2 (ln x )) ;
arcsin x
1- x
2
+
(
и) y = ln e x +
)
1 + x2 ;
1 1- x
ln
;
2 1+ x
)
1 + e 2x ;
к) y = sin x cos x .
ìï f (x ), x £ x 0
4.9. Пусть F (x ) = ïí
, где функция f (x ) дифференцируема слева в точке x = x 0 . При
ïï ax + b, x > x 0
î
каком выборе коэффициентов a и b функция F (x ) будет дифференцируемой в точке x 0 ?
 1 , x  2,

4.10. При каких значениях a и b функция f  x    x
является дифференцируемой на всей
a  bx 2 , x  2

числовой прямой?
4.11. Докажите, что если существует дифференциал функции f (x ) в точке x 0 , то
f (x 0 + D x ) - f (x 0 )
= f ¢(x 0 ) + a (D x ) при D x ¹ 0 , где a (D x ) - бесконечно малая функция при
Dx
Dx ® 0 .
4.12. Докажите, что если существует дифференциал функции f (x ) в точке x = x 0 , то существует
f (x 0 + D x ) - f (x 0 )
= A + a (D x ) при D x ¹ 0 , где a (D x ) - бесконечно малая
число А такое, что
Dx
функция при D x ® 0 .
4.13. Найдите дифференциалы n-го порядка функции f (x ) :
в) f (x ) = xe 5x , n = 11 ;
а) f (x ) = ln(x 2 + x ) ;
x- 1
б) f (x ) = x 2 sin 2x , n = 20 ;
г) f (x ) =
, n = 8.
x+1
4.14. Используя теорему о производной обратной функции, выведите формулу для производной
функции f (x ):
а) f (x ) = arcsin x ;
б) f (x ) = arct g x ;
в) f (x )  ln x .
4.15. Найдите производную n-го порядка функции f (x ):
а) f (x ) = x ln x, n = 20 ;
б) f (x ) =
31
x , n = 30 ;
в) f (x ) = xe x , n = 30 ;
ж) f (x ) = x 2 sin x , n = 200 ;
г) f (x ) = 1/ x , n = 40 ;
з) f (x ) = x cos x , n = 60 ;
д) f (x ) = x sin x , n = 12 ;
и) f (x ) = x 2 cos x , n = 71 .
е) f (x ) = x 2e x , n = 100 ;
5. Задачи повышенной трудности.
5.1. Используя теорему о производной сложной функции и тождество f ( f - 1(x )) = x , выведите
формулу производной обратной функции.
1
ìï
ïï x ×(1 + x )x , x ¹ 0,
5.2. Докажите, что функция f (x ) = í
имеет производную в точке x = 0 и
ïï 0,
x= 0
ïî
найдите её значение.
ìï x x + 1, x > 0,
(
)
5.3. Докажите, что функция f x = ïí
имеет правую производную в точке x = 0 и
ïï 0,
x= 0
ïî
найдите её значение.
2
ìï
2 ct g x
, x ¹ 0,
ï x ×(1 - x )
ï
5.4. Докажите, что функция f (x ) = í
имеет производную в точке x = 0 и
ïï 0,
x= 0
ïî
найдите её значение.
ìï x 1- 2x , x > 0,
5.5. Докажите, что функция f (x ) = ïí
имеет правую производную в точке x = 0 и
ïï 0,
x= 0
ïî
найдите её значение.
ìï x 1+ 2x , x > 0,
ï
5.6. Докажите, что функция f (x ) = í
имеет правую производную в точке x = 0 и
ïï 0,
x= 0
ïî
найдите её значение.
ìï 2
1
ïï x sin , x ¹ 0,
x
5.7. Пусть f (x ) = í
. Докажите, что $ f ¢(x ) при x ¹ 0 , $ f ¢(0) , но $ lim f ¢(x ) .
x® 0
ïï 0,
x = 0.
ïî
ìï 2
1
ïï x cos , x ¹ 0,
x
5.8. Пусть f (x ) = í
. Докажите, что $ f ¢(x ) при x ¹ 0 , $ f ¢(0) , но $ lim f ¢(x ) .
x® 0
ïï 0,
x = 0.
ïî
ìï 3
1
ïï x cos 2 , x ¹ 0,
x
5.9. Пусть f (x ) = í
. Докажите, что $ f ¢(x ) при x ¹ 0 , $ f ¢(0) , но $ lim f ¢(x ) .
x® 0
ïï 0,
x = 0.
ïî
ìï 3
1
ïï x sin 2 , x ¹ 0,
x
5.10. Пусть f (x ) = í
. Докажите, что $ f ¢(x ) при x ¹ 0 , $ f ¢(0) , но $ lim f ¢(x ) .
x® 0
ïï 0,
x = 0.
ïî
æ- 1ö
ïìï 2
÷
ï x sin çççe x ÷
÷, x ¹ 0, . Докажите, что " x $ f ¢(x ) , $ lim f ¢(x ) . Найдите f ¢(0) .
÷
è ø
5.11. Пусть f (x ) = ïí
x® 0
ïï
x = 0
ïïî 0,
ìï - 12
ï e x , x ¹ 0,
5.12. Пусть f (x ) = ïí
. Найдите f ¢(0).
ïï 0,
x
=
0.
ïî
32
ìï - 13
ï e x , x ¹ 0,
5.13. Пусть f (x ) = ïí
. Найдите f ¢(0).
ïï 0,
x
=
0
ïî
Тема 4. Неопределенный и определенный интегралы.
1. Определения.
Сформулируйте определение:
1.1. первообразной данной функции;
1.2. неопределенного интеграла данной функции;
1.3. интегральной суммы для данной функции f (x ) на сегменте a, b  ;
1.4. предела интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю;
1.5. определенного интеграла от функции f (x ) по сегменту a, b  ;
1.6. нижней суммы (Дарбу);
1.7. верхней суммы (Дарбу);
1.8. предела верхних (нижних) сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю;
1.9. верхнего (нижнего) интеграла Дарбу.
2. Основные теоремы и формулы (без доказательства)
2.1. Сформулируйте теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла.
2.2. Сформулируйте теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенного
интеграла.
2.3. Перечислите свойства сумм Дарбу.
2.4. Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f (x )
на сегменте [a,b] в терминах нижнего и верхнего интегралов Дарбу.
2.5. Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f (x )
на сегменте [a,b] в терминах нижних и верхних сумм.
2.6. Перечислите известные Вам классы интегрируемых функций.
2.7. Перечислите свойства определенного интеграла.
2.8. Запишите формулу среднего значения для определенного интеграла и сформулируйте
достаточные условия ее применимости.
2.9. Запишите формулу Ньютона – Лейбница и сформулируйте достаточные условия ее
применимости.
2.10. Запишите формулу замены переменной для определенного интеграла и сформулируйте
достаточные условия ее применимости.
2.11. Запишите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла и сформулируйте
достаточные условия ее применимости.
3. Теоремы с доказательством.
3.1. Докажите теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенного
интеграла.
3.2. Докажите теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла.
3.3. Докажите, что для данного разбиения отрезка нижняя (верхняя) сумма является точной нижней
(верхней) гранью множества интегральных сумм.
3.4. Пусть разбиение T ¢ отрезка [a;b ] получено из разбиения T путем добавления к нему новых
точек. Докажите, что нижняя сумма функции f (x ) для разбиения T ¢ не меньше, чем нижняя сумма для
разбиения T. Получите оценку разности нижних сумм этих разбиений.
3.5. Пусть разбиение T ¢ отрезка [a;b ] получено из разбиения T путем добавления к нему новых точек.
Докажите, что верхняя сумма функции f (x ) для разбиения T ¢ не больше, чем верхняя сумма для
разбиения T . Получите оценку разности верхних сумм этих разбиений.
3.6. Докажите, что нижняя сумма функции f (x ) для любого разбиения отрезка [a;b ] не превосходит
верхней суммы той же функции f(x) для любого другого разбиения T’ отрезка [a;b ].
3.7. Докажите, что множество нижних сумм функции f (x ) для всевозможных разбиений отрезка [a;b ]
ограничено сверху.
33
3.8. Докажите, что множество верхних сумм функции f (x ) для всевозможных разбиений отрезка [a;b ]
ограничено снизу.
3.9. Докажите, что нижний интеграл Дарбу не превосходит верхнего интеграла.
3.10.
Докажите лемму Дарбу.
3.11.
Докажите теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f (x ) на
сегменте [a;b ] в терминах нижнего и верхнего интегралов Дарбу.
3.12.
Докажите теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f (x ) на
сегменте [a;b ] в терминах нижних и верхних сумм.
3.13.
Докажите теорему об интегрируемости непрерывной на сегменте функции.
3.14.
Докажите теорему об интегрируемости некоторых разрывных на сегменте функций.
3.15.
Докажите теорему об интегрируемости монотонной на сегменте функции.
3.16.
Докажите теорему об интегрируемости суммы и разности двух интегрируемых функций.
3.17.
Пусть функция f (x ) интегрируема на сегменте [a;b ]. Докажите, что cf (x ) , где c = const . , тоже
b
интегрируема на [a;b ], причем
b
ò cf (x )dx = c ò f (x )dx .
a
a
3.18.
Пусть функция f (x ) интегрируема на сегменте [a;b ]. Докажите, что эта функция интегрируема
на любом сегменте [c, d ], содержащемся в сегменте [a;b ].
3.19.
Пусть функция f (x ) интегрируема на сегментах [a; c ] и [c;b ], a < c < b . Докажите, что эта
b
функция интегрируема на сегменте [a, b ], причем
c
ò f (x )dx =
b
ò f (x )dx +
a
a
ò f (x )dx .
c
3.20.
Пусть f (x ) интегрируема на [a, b ]. Докажите, что f (x ) тоже интегрируема на [a, b ].
3.21.
Пусть f
b
(x )
интегрируема на [a, b ], a  b . Докажите, что
b
ò f (x )dx
a
£
ò
f (x ) dx .
a
3.22.
Докажите теорему о формуле среднего значения для определенного интеграла.
3.23.
Докажите теорему о существовании первообразной непрерывной функции.
3.24.
Докажите теорему о формуле Ньютона – Лейбница.
3.25. Докажите теорему об интегрировании методом замены переменной для определенного
интеграла.
3.26. Докажите теорему об интегрировании по частям для определенного интеграла.
4. Вопросы и задачи.
4.1. Вычислите интегралы:
3
2
ò (x + 1)x dx ;
a+x
dx ;
a- x
dx
ò
dx
;
2 - 5x
x 2dx
ò 1 + x2 ;
dx
ò
ò (a
2
3/ 2
+ x2)
;
ò sin xdx ;
ò (x + 1) cos 2xdx ;
ò xe dx ;
ò x e dx ;
ò arct g xdx ;
ò e cos xdx ;
ò x ln xdx ;
ò x ln xdx ;
ò sin (ln x )dx ;
3
ò
;
3 + 8x 2
ex
ò 1 + e x dx ;
xdx
ò (x + 1)(x + 2)(x + 3) ;
(x - 1)dx
ò x2 + x - 2 ;
x 2dx
ò x2 + x - 2 ;
x2 + 1
ò (x + 1)2(x - 1)dx ;
- x
5 x3
x
34
ò ln ( x - 1 - x )dx ;
ò ln (x + x - 1)dx ;
2
ò 2 sin x -
2
dx
.
cos x + 5
dx
ò (2 + cos x )sin x ;
4.2. Вычислите интегралы:
1
dx
ò 3 + x2 ;
0
2
ò ln (x +
0
e
1
ò
ò x (1 - x ) dx ;
10
0
2
1
p
sin(ln x )
dx ;
x
dx
;
- 1
ò cos
xdx
ò x2 + x + 1 ;
0
ò 2-
òe
1
1
x
0
2p
0
p/ 2
12
ò (x
0
1
2
dx
;
+ x + 1)(x - 1)
ò sin
dx
;
- 8
òe
ò
1 - x 2dx ;
ò cos
2x
x2 - x + 1
;
ò
dx
;
3/ 2
x2)
- 1
òx
e
- 2
ò ln xdx ;
cos 3xdx ;
3
x ×sin 2 xdx ;
dx
- x2 - x
dx
;
2
x + 4x + 3
dx
x2 + 1
p
1
ò
xdx ;
0
dx
12
0
5
0
p
2
0
ò (1 -
xdx ;
0
p 6
3
ò
4
dx
;
sin x
òx
- 1
1
)
1 + x 2 dx ;
;
8
ò sin
;
0
4
dx
;
x + cos 4 x
4.3. Следует ли из интегрируемости суммы двух функций f (x ) + g(x ) (разности двух функций
f (x ) - g(x ) ) интегрируемость f (x ) и g (x )? Ответ обоснуйте.
4.4. Следует ли из интегрируемости произведения двух функций f (x ) ×g(x ) интегрируемость f (x ) и
g (x )? Ответ обоснуйте.
4.5. Пусть f (x ) интегрируема, а g (x ) неинтегрируема. Что можно сказать об интегрируемости
f (x ) + g(x ) , f (x ) - g(x ) , f (x ) ×g(x ) ? Ответы обоснуйте.
4.6. Пусть f (x ) неинтегрируема и g (x ) неинтегрируема. Что можно сказать об интегрируемости
f (x ) + g(x ) , f (x ) - g(x ) , f (x ) ×g(x ) ? Ответы обоснуйте.
4.7. Вычислите производные:
d
dx
x
2
ò sin (t )dt ;
0
d
dx
35
b
ò sin (x )dx ;
2
a
d
dx
d
dx
d
dx
1
ò arcsin
d
dx
tdt ;
x
x2
ò
d
dx
2
1 + t dt ;
0
x3
ò
x
2
dt
1+ t2
;
cos x
ò
2
e - t dt .
arct g x
x2
æ
ö
2t 2
çç
ln
ò çè1 + arct g2 t + sin 4 t ø÷÷÷dt ;
0
5.
Задачи повышенной трудности.
2p
cos (ln x )dx
dx
dx
5.1. Вычислите интегралы: ò
;
;
;
4
4
2
ò
ò
2
4
3
sin
x
+
cos
x
x
(x + 1) (x - 1)
0
5.2. Докажите, что если функция f (x ) интегрируема на сегменте [a, b ], то
интегрируема на этом сегменте.
b
5.3. Приведите пример функции f (x ) , такой, что
2p
dx
ò 1 + 0, 5 cos x .
0
функция
f (x ) также
b
ò
f (x ) dx существует, а
ò f (x )dx
не существует.
a
a
5.4. Докажите интегрируемость произведения интегрируемых функций.
5.5. Известно, что функция f (x ) интегрируема на [a, b ], a  b и f (x ) ³ 0 .
Докажите, что
b
ò f (x )dx ³
0.
a
5.6. Пусть f (x ) и g (x ) интегрируемы на [a, b ], a  b и f (x ) ³ g(x ) " x Î [a, b]. Докажите, что
b
b
ò f (x )dx > ò g(x )dx .
a
a
b
5.7. Известно, что
ò f (x )dx ³
0 и a  b . Следует ли отсюда, что f (x ) ³ 0 ? Ответ обоснуйте.
a
b
5.8. Известно, что
b
ò f (x )dx > ò g(x )dx
a
и a  b . Следует ли отсюда, что f (x ) ³ g(x ) " x Î [a, b]? Ответ
a
обоснуйте.
5.9. Докажите, что если функция f (x ) интегрируема на сегменте [a, b ] и inf f (x ) > 0 , то функция
[a ,b ]
1/ f (x ) также интегрируема на этом сегменте.
Тема 5. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях.
1. Определения.
Сформулируйте определение:
1.1. ограниченной на заданном множестве функции;
1.2. точной верхней (точной нижней) грани функции на заданном множестве;
1.3. равномерно непрерывной на промежутке X функции;
1.4. функции, возрастающей (убывающей) в данной точке.
2.
Основные теоремы (без доказательства)
36
Сформулируйте:
2.1. теорему о локальной ограниченности функции, непрерывной в данной точке;
2.2. теорему об устойчивости знака функции, непрерывной в данной точке;
2.3. первую теорему Вейерштрасса;
2.4. вторую теорему Вейерштрасса;
2.5. теорему Кантора;
2.6. достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в точке;
2.7. теорему Ролля;
2.8. теорему о формуле конечных приращений Лагранжа;
2.9. необходимое и достаточное условие невозрастания (неубывания) дифференцируемой функции на
интервале (a, b) ;
2.10. достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале (a, b) ;
2.11. теорему о формуле Коши;
2.12. теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
2.13. Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
2.14. Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
3.
Теоремы с доказательством.
Докажите теорему:
3.1. о локальной ограниченности функции, имеющей предел в точке;
3.2. об устойчивости знака непрерывной функции;
3.3. о непрерывной функции, принимающей значения разных знаков на концах отрезка;
3.4. первую теорему Вейерштрасса;
3.5. вторую теорему Вейерштрасса;
3.6. Кантора;
3.7. о достаточном условии возрастания (убывания) в точке x 0 функции f (x ), дифференцируемой в
точке x 0 ;
3.8. Ролля;
3.9. о формуле конечных приращений Лагранжа;
3.10. о необходимом и достаточном условии невозрастания (неубывания) дифференцируемой функции
на интервале (a, b) ;
3.11. о достаточном условии возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале (a, b) ;
3.12. о формуле Коши;
3.13. о формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
3.14. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
3.15. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
f (x )
3.16. Докажите теорему о правиле Лопиталя вычисления lim
.
x ® a g (x )
4. Вопросы и задачи.
4.1. Найдите точку c в формуле конечных приращений Лагранжа
ìï 1
ïï (3 - x 2 ), 0 £ x £ 1,
на сегменте [0;2].
f (x ) = ïí 2
ïï 1
1£ x £ 2
ïï ,
îx
4.2. Используя правило Лопиталя, вычислите пределы:
ax - xa
æ pö
а) lim
;
г) lim ççx - ÷
÷ct g 2x ;
x® a x - a
x® p 2è
2ø
x x - aa
ln (sin a x )
б) lim
;
lim
, a > 0, b > 0 .
д)
x® a x - a
x ® + 0 ln (sin b x )
ch x - cos x
в) lim
;
x® 0
x2
37
для
функции
4.3. Запишите разложение функции f  x  по формуле Маклорена с остаточным членом o(x n ) :
1
а) f (x ) = cos x ;
д) f (x ) =
;
x
1- x
б) f (x ) = e ;
е) f (x ) = - ln (1 - x );
в) f (x ) = e - x ;
ж) f (x ) = ln (1 + x );
1
г) f (x ) =
;
з) f (x ) = sin x .
1+ x
4.4. Разложите функцию f  x  по формуле Маклорена до члена порядка x n :
sin x
а) f (x ) = sin (sin x ), n = 3 ;
г) f (x ) = ln
, n = 4;
x
б) f (x ) = ln cos x , n = 4 ;
д) n a n + x , n = 2 .
2x - x 2
в) f (x ) = e
, n = 3;
4.5. Вычислите пределы:
- x2 2
cos x - e
а) lim
;
x® 0
x4
sin 2x - 2 t g x
б) lim
;
x® 0
ln (1 + x 3 )
в) lim x
x® + ¥
32
(
x + 1+
x - 1 - 2 x );
ex + e- x - 2
;
x® 0
2x 2
æ1
1 ÷
ö
д) lim çç .
÷
x ® 0 èx
sin x ø
г) lim
38
5. Задачи повышенной трудности.
5.1. Докажите, что многочлен Тейлора Pn (x ) дифференцируемой п раз в точке x 0 функции
f (x ) и все его производные Pn(k ) (x ) до
п -го порядка включительно в точке x 0 равны
соответственно f (x 0 ) и f (x 0 ), k = 1, 2,...n .
1
5.2. Докажите, что если $f ¢¢(0), то f (x ) = f (0) + f ¢(0) ×x + f ¢¢(0)×x 2 + o (x 2 ) при
2
x ® 0.
5.3. Докажите,
что
если
то
$f ¢¢¢(0) ,
1
1
f (x ) = f (0) + f ¢(0)×x + f ¢¢(0)×x 2 + f ¢¢¢(0)×x 3 + o (x 3 ) при x ® 0 .
2
6
5.4. Пусть Pn (x ) - многочлен Тейлора дифференцируемой п раз в точке x 0 функции f (x ).
(k )
n
Докажите, что f (x 0 + D x ) = Pn (x 0 ) + o ((D x ) ).
5.5. Докажите, что если функции
f (x ) и
g (x ) дифференцируемы в точке x 0 ,
f (x ) f ¢(x 0 )
=
f (x 0 ) = 0, g (x 0 ) = 0, g ¢(x 0 ) ¹ 0 , то $ lim
.
x ® x 0 g (x )
g ¢(x 0 )
5.6. Докажите, что если функции f (x ) и g (x ) дважды дифференцируемы в точке x 0 ,
f (x ) f ¢¢(x 0 )
=
f (x 0 ) = 0, g (x 0 ) = 0, f ¢(x 0 ) = 0, g ¢(x 0 ) = 0, g ¢¢(x 0 ) ¹ 0 , то $ lim
.
x ® x 0 g (x )
g ¢¢(x 0 )
5.7. Объясните, в каком месте нарушится ход доказательства первой теоремы
Вейерштрасса, если в условии теоремы заменить "сегмент" на "интервал".
5.8. Приведите пример функции f (x ), непрерывной и ограниченной на промежутке
[a; + ¥ ) , которая не достигает своей точной верхней грани на этом промежутке.
5.9. Докажите, что функция f (x ) = x равномерно непрерывна на полупрямой (0;+ ¥ ) .
5.10. Докажите, что функция f (x ) = arct g 3 x равномерно непрерывна на полупрямой
(0;+ ¥ ) .
5.11. Докажите, что если функция f (x ) определена и непрерывна на полупрямой [0;+ ¥ ) и
lim f (x ) = 0 , то f (x ) равномерно непрерывна на этой полупрямой.
x® ¥
5.12. Пусть функция f (x ) непрерывна на полупрямой [a; + ¥ ) , $ lim f (x ) = b и f (a ) = b .
x® + ¥
Докажите, что функция достигает своих точных граней на этой полупрямой.
Тема 6. Исследование поведения функций и построение их графиков.
1. Определения.
Сформулируйте определение:
1.1. точки локального максимума (минимума) функции f (x );
1.2. направления выпуклости графика функции y = f (x );
1.3. точки перегиба графика функции y = f (x );
1.4. наклонной асимптоты графика функции y = f (x );
1.5. вертикальной асимптоты графика функции y = f (x ).
2. Основные теоремы (без доказательства)
Сформулируйте теорему:
39
2.1. о необходимом условии локального экстремума дифференцируемой функции в данной
точке;
2.2. о достаточных условиях локального экстремума дифференцируемой функции в
окрестности данной точки;
2.3. о достаточных условиях локального экстремума дважды дифференцируемой функции в
данной точке;
2.4. о необходимых и достаточных условиях существования наклонной асимптоты графика
функции y = f (x ) при x ® + ¥ ;
2.5. о необходимом условии перегиба графика дважды непрерывно дифференцируемой
функции в данной точке;
2.6. о достаточных условиях перегиба графика функции в данной точке, использующих
вторую производную функции;
2.7. о достаточных условиях перегиба графика функции в данной точке, использующих
третью производную функции.
3. Теоремы с доказательством.
Докажите теорему:
3.1. о необходимом условии локального экстремума дифференцируемой функции в данной
точке;
3.2. о достаточных условиях локального экстремума дифференцируемой функции в
окрестности данной точки;
3.3. о достаточных условиях локального экстремума дважды дифференцируемой функции в
данной точке.
3.4. Докажите, что если f ¢¢(x ) < 0 на интервале (a;b) , то график функции y = f (x ) на этом
интервале направлен выпуклостью вверх.
3.5. Докажите, что если f ¢¢(x ) > 0 на интервале (a;b) , то график функции y = f (x ) на этом
интервале направлен выпуклостью вниз.
Докажите теорему:
3.6. о необходимом условии перегиба графика дважды непрерывно дифференцируемой
функции в данной точке;
3.7. о достаточных условиях перегиба графика функции в данной точке, использующих
вторую производную функции;
3.8. о достаточных условиях перегиба графика функции в данной точке, использующих
третью производную функции;.
4. Вопросы и задачи.
4.1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции, точки локального экстремума,
промежутки сохранения направления выпуклости, точки перегиба графика функции f  x  , а
также нарисуйте эскиз графика функции f  x  :
а) f (x ) = x 3 - 6x 2 + 9 ;
б) f (x ) = x ln x ;
в) f (x ) = xe - x ;
г) f (x ) = x / (1 - x 2 ) .
4.2. Найдите наклонные асимптоты графика функции f  x  :
40
а) f (x ) = x arct g x ;
x+1
б) f (x ) = x ln
;
x
x+1
в) f (x ) = x 2 ln
;
x
г) f (x ) = x 2 + x ;
sin x
д) f (x ) =
.
x
4.3. Для функции y = f (x ), заданной параметрически уравнениями x = a cos t , y = b sin t ,
0  t   , запишите уравнения касательной и нормали к графику функции в точке,
p
p
соответствующей: а) t = ; б) t = .
4
2
4.4. Для
функции y = f (x ),
заданной
параметрически
уравнениями
x = t - sin t , y = 1 - cos t , 0  t  2 , запишите уравнения касательной и нормали к
p
графику функции при: а) t = ; б) t   .
4
5. Задачи повышенной трудности.
5.1.
Докажите, что если функция f (x ) определена и непрерывна на полупрямой
[0;+ ¥ ) и её график имеет наклонную асимптоту при x   , то f (x ) равномерно
непрерывна на этой полупрямой.
1.9
Вопросы и задачи к экзамену по
математическому анализу(II семестр).
Тема 1. Множества точек пространства R m .
1. Определения.
1.1. Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R m .
1.2. Сформулируйте определение прямоугольной окрестности точки
пространства R m .
1.3. Сформулируйте определение окрестности точки пространства R m .
1.4. Сформулируйте определение внутренней точки множества D точек
пространства R m .
1.5. Сформулируйте определение изолированной точки множества D точек
пространства R m .
1.6. Сформулируйте определение граничной точки множества D точек
пространства R m .
1.7. Сформулируйте определение границы множества.
1.8. Сформулируйте определение открытого множества точек пространства R m .
1.9. Сформулируйте определение замкнутого множества точек пространства
Rm .
1.10. Сформулируйте определение предельной точки множества D точек
пространства R m .
1.11. Сформулируйте определение связного множества точек пространства Rm.
1.12. Сформулируйте определение прямой в пространстве Rm.
1.13. Сформулируйте определение непрерывной кривой в пространстве Rm.
41
2. Вопросы и задачи.
Замечание: Пустое множество считается одновременно открытым и замкнутым.
2.1. Докажите, что объединение любого числа открытых множеств является
открытым множеством.
2.2. Докажите, что любая внутренняя точка множества является его предельной
точкой.
2.3. Докажите, что граничная точка множества является либо предельной
точкой, либо изолированной точкой этого множества.
2.4. Докажите, что граница сферы в пространстве R m совпадает с самой сферой.
2.5. Приведите пример множества точек, которое является одновременно
открытым и замкнутым.
2.6. Приведите пример непустого множества точек на плоскости, которое не
имеет внутренних точек.
2.7. Может ли множество, содержащее хотя бы одну свою граничную точку,
быть открытым?
2.8. Приведите пример непустого множества точек на плоскости, все точки
которого граничные.
2.9. Приведите пример непустого множества точек на плоскости, все точки
которого предельные.
2.10. Приведите пример непустого множества точек на плоскости, которое
совпадает со своей границей.
2.11. Приведите пример непустого множества точек на плоскости, для которого
множество всех предельных точек не совпадает с множеством всех граничных
точек.
2.12. Приведите пример непустого замкнутого множества точек на плоскости,
которое не имеет ни одной предельной точки.
2.13. Докажите, что любая точка множества точек на плоскости, которая не
является внутренней, является его граничной точкой.
2.14. Приведите пример множества, каждая граничная точка которого является
его предельной точкой.
2.15. Приведите пример множества, каждая граничная точка которого является
его изолированной точкой.
2.16. Найдите все граничные точки множества точек на плоскости
x, y  : x 2  y 2  1.
2.17. Найдите все предельные точки множества точек на плоскости
x, y  : x 2  y 2  1.
Задачи повышенной трудности.
3.1. Докажите, что дополнение к открытому множеству является замкнутым
3.2. Докажите, что дополнение к замкнутому множеству является открытым.
3.3. Докажите, что сфера в пространстве R m является замкнутым множеством.
3.4. Докажите, что пересечение конечного числа открытых множеств является
открытым множеством. Верно ли это для любого числа открытых множеств?
3.5. Докажите, что объединение конечного числа замкнутых множеств является
замкнутым множеством. Верно ли это для любого числа замкнутых множеств?
3.6. Докажите, что пересечение любого числа замкнутых множеств является
замкнутым множеством.
3.7. Найдите все граничные точки множества точек на плоскости
 cos  , sin   , n  N .


n
n

3.


42
3.8. Найдите все предельные точки множества точек на плоскости
 cos  , sin   , n  N .


n
n



Тема 2. Последовательности точек пространства R m .
1. Определения.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
2.
2.1.
2.2.
3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
5.
Сформулируйте определение ограниченной последовательности точек
пространства R m .
Сформулируйте определение неограниченной последовательности точек
пространства R m .
Сформулируйте определение предельной точки последовательности точек
пространства R m .
Сформулируйте определение предела последовательности точек
пространства R m .
Сформулируйте определение сходящейся последовательности точек
пространства R m .
Сформулируйте определение фундаментальной последовательности точек
пространства R m .
Основные теоремы (без доказательства).
Сформулируйте критерий Коши сходимости последовательности точек
пространства R m .
Сформулируйте теорему Больцано-Вейерштрасса.
Теоремы с доказательством.
Докажите, что ограниченная последовательность точек M n (x n , y n ) на
плоскости имеет по крайней мере одну предельную точку.
Докажите, что если последовательность точек M n (x n , y n ) на плоскости
является сходящейся, то числовые последовательности x n и y n являются
сходящимися.
Докажите, что если числовые последовательности x n и y n являются
сходящимися, то последовательность точек M n (x n , y n ) на плоскости является
сходящейся.
Докажите теорему о критерии Коши сходимости последовательности точек
пространства R m .
Вопросы и задачи.
Докажите, что сходящаяся последовательность точек пространства R m
является ограниченной.
Докажите, что если числовые последовательности x n и y n являются
сходящимися, то последовательность точек M n (x n , y n ) на плоскости является
ограниченной.
Докажите, что если числовые последовательности x n и y n являются
фундаментальными, то последовательность точек M n (x n , y n ) на плоскости
является фундаментальной.
Докажите, что последовательность точек на плоскости, расположенных на
окружности, имеет по крайней мере одну предельную точку.


Найдите предел последовательности точек M n  cos , sin  на плоскости.

n
n
Задачи повышенной трудности.
43
5.1.
Найдите предел последовательности точек M n x n , y n  на плоскости, если
x 1  8 , x n 1 
1
4
 x n   , y n  x 2n , n  N .
2
xn 
Тема 3. Функции, предел, непрерывность.
2. Определения.
2.1. Сформулируйте определение ограниченной сверху функции u(M), заданной
на множестве D точек пространства R m .
2.2. Сформулируйте определение неограниченной сверху функции u(M),
заданной на множестве D точек пространства R m .
2.3. Сформулируйте определение ограниченной снизу функции u(M), заданной
на множестве D точек пространства R m .
2.4. Сформулируйте определение неограниченной снизу функции u(M),
заданной на множестве D точек пространства R m .
2.5. Сформулируйте определение точной верхней грани функции m переменных
на множестве D точек пространства R m .
2.6. Сформулируйте определение точной нижней грани функции m переменных
на множестве D точек пространства R m .
2.7. Сформулируйте определение “по Коши” предела функции u (M ) в точке
M0 Rm .
2.8. Сформулируйте определение “по Гейне” предела функции u (M ) в точке
M0 Rm .
2.9. Сформулируйте определение “по Гейне” предела функции u (M ) при
M  .
2.10. Сформулируйте определение “по Коши” предела функции u (M ) при
M  .
2.11. Сформулируйте определение непрерывной функции u (x , y ) по переменной
x в точке M 0 (x 0, y 0 ) .
2.12. Сформулируйте определение непрерывной функции u (x , y ) по совокупности
переменных в точке M 0 (x 0, y 0 ) .
3.
Основные теоремы (без доказательства).
3.1. Сформулируйте теорему о критерии Коши существования предела функции
u (M ) в точке M 0  R m .
3.2. Сформулируйте теорему о непрерывности суммы непрерывных функций
нескольких переменных.
3.3. Сформулируйте теорему о непрерывности произведения непрерывных
функций нескольких переменных.
3.4. Сформулируйте теорему о непрерывности частного двух непрерывных
функций нескольких переменных.
3.5. Сформулируйте теорему о прохождении непрерывной функции нескольких
переменных через любое промежуточное значение.
3.6. Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса для функции нескольких
переменных.
3.7. Сформулируйте вторую теорему Вейерштрасса для функции нескольких
переменных.
3.8. Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции нескольких
переменных.
3.9. Сформулируйте теорему Кантора для функции нескольких переменных.
4.
Теоремы с доказательством.
44
4.1. Докажите теорему о непрерывности суммы двух непрерывных функций
нескольких переменных.
4.2. Докажите теорему о непрерывности произведения двух непрерывных
функций нескольких переменных.
4.3. Докажите теорему о непрерывности частного двух непрерывных функций
нескольких переменных.
4.4. Докажите теорему о непрерывности сложной функции нескольких
переменных.
4.5. Докажите теорему о прохождении непрерывной функции нескольких
переменных через любое промежуточное значение.
4.6. Докажите первую теорему Вейерштрасса для функции нескольких
переменных.
4.7. Докажите вторую теорему Вейерштрасса для функции нескольких
переменных.
4.8. Докажите теорему Кантора для функции нескольких переменных.
5.
Вопросы и задачи.
5.1. Сформулируйте определение “по Коши” того, что функция u (M ) не имеет
предела в точке M 0 .
5.2. Сформулируйте определение “по Коши” того, что функция u (M ) не имеет
предела при M   .
5.3. Сформулируйте определение “по Гейне” того, что функция u (M ) не имеет
предела в точке M 0 .
5.4. Сформулируйте определение “по Гейне” того, что функция u (M ) не имеет
предела при M   .
5.5. Сформулируйте “по Гейне” отрицание того, что число b является пределом
функции u (M ) точке M 0 .
5.6. Нарисуйте семейство линий уровня функции
5.6.1. u x , y   xy .
y
5.6.2. u  x , y   .
x
y
5.6.3. u  x , y   2 .
x
5.6.4. u  x , y   x 2  2xy  y 2 .
x2  y2
.
2x
x2  y2
5.6.6. u  x , y  
.
2x  2y
2xy
5.6.7. u x , y   2
.
x  y2
5.7. Приведите пример ограниченной сверху и неограниченной снизу функции,
определённой на множестве (x , y ) : x 2  y 2  1 .
5.8. Приведите пример неограниченной сверху и ограниченной снизу функции,
определённой на множестве (x , y ) : x 2  y 2  1 .
5.9. Приведите пример неограниченной снизу и неограниченной сверху
функции, определённой на множестве (x , y ) : x 2  y 2  1 .
5.10. Приведите пример функции двух переменных, которая является равномерно
непрерывной на заданном множестве.
5.6.5. u x , y  
45
5.11. Приведите пример непрерывной функции, которая не является равномерно
непрерывной на заданном множестве.
5.12. Приведите пример функции двух переменных, которая непрерывна на
заданном ограниченном, но незамкнутом множестве, и является неограниченной
на этом множестве.
5.13. Приведите пример функции двух переменных, которая непрерывна и
ограничена на заданном ограниченном множестве, но не достигает на этом
множестве своей точной верхней грани.
5.14. Найдите предел функции u (x , y ) при M (x , y )   или докажите, что предел
не существует:
x2  y2
x3  y3
x2  y2
1
; u x , y   4
; u x , y   2
; u x , y   xy sin 2
;
u x , y   4
4
4
2
x y
x y
x  xy  y
x  y2
1
u x , y   x 2  y 2  sin 2
x  y2
5.15. Найдите пределы, или докажите, что они не существуют:
x
y
1 

 1 
2
2
x
; lim xy sin  2
;
1
lim xy ln  x  y  ; lim 1  xy  ; lim

2 
x 0 
x 0
x 0
x 0
xy 
x y 
y 0
y 2 
y 0
y 2
y
lim 1  x 2y  x 2 x 3y 4 ; lim
x 0
x 0
y 3
y 0
1 

.
exp   2
2 
4x y  x
 x y 
1
2
2
4
5.16. Исследуйте функцию на непрерывность по каждой из переменных и по
совокупности переменных в заданной точке.
x 2  y 2
2
2
 x 2  y 2 , x  y  0,
5.16.1. u  x , y   
в точке (0,0);
2
2
 0,
x y  0

x 3  y 3
2
2
 x 2  y 2 , x  y  0,
5.16.2. u  x , y   
в точке (0,0);
2
2
 0,
x y  0

 x 2y
2
2
 x 4  y 2 , x  y  0,
5.16.3. u  x , y   
в точке (0,0);
2
2
 0,
x y  0

2
2
e x y  1
, x 2  y 2  0,
 2
2
x

y
5.16.4. u  x , y   
в точке (0,0);
2
2

0,
x y  0

 sin  xy 
, xy  0,

5.16.5. u  x , y    xy
в точках (0,0) и (0,1);
 1,
xy  0

 sin  xy 
, x  0,

5.16.6. u  x , y    x
в точках (0,0), (1,0), (0,1);
 1,
x 0

 sin  xy 
2
2
 x 2  y 2 , x  y  0,
5.16.7. u  x , y   
в точке (0,0).
2
2
 1,
x y  0

46
xy ln( xy ), xy  0,
5.16.8. u  x , y   
в точке (0,0).
0,
xy  0

x ln( xy ), xy  0,
5.16.9. u  x , y   
в точке (0,0).
0,
xy  0

Тема 4. Дифференцируемые функции.
1.
Определения.
1.1. Сформулируйте определение дифференцируемой функции f (x 1,..., x m ) в
точке M (x 1, x 2,..., x m ) .
1.2. Сформулируйте определение частной производной функции f (x 1,..., x m ) по
переменной x k в точке M (x 1, x 2,..., x m ) .
1.3. Сформулируйте определение первого дифференциала функции нескольких
переменных.
1.4. Сформулируйте определение касательной плоскости к графику функции
z  f x , y  в точке M 0 x 0, y 0, f x 0, y 0  .


1.5. Сформулируйте определение n раз дифференцируемой функции нескольких
переменных в данной точке.
1.6. Сформулируйте определение второго дифференциала функции u x 1,..., x m  в
данной точке.
1.7. Сформулируйте определение n – ого дифференциала функции u x 1,..., x m  в
данной точке.
1.8. Сформулируйте определение градиента функции f (x , y , z ) в данной точке
M (x 0 , y 0 , z 0 ) .
1.9. Сформулируйте определение производной по направлению
l  (cos  , cos  , cos  ) для функции f (x , y , z ) в точке M (x 0 , y 0 , z 0 ) .
2.
Основные теоремы и формулы (без доказательства).
2.1. Сформулируйте теорему о необходимых условиях дифференцируемости
функции u (x , y ) в точке.
2.2. Сформулируйте теорему о достаточных условиях дифференцируемости
функции f (x 1,..., x m ) в точке M 0(x 1, x 2,..., x m ) .
2.3. Сформулируйте теорему о достаточных условиях равенства u xy  uyx в
данной точке.
2.4. Сформулируйте теорему о касательной плоскости к графику функции двух
переменных.
2.5. Сформулируйте теорему о дифференцируемости сложной функции.
2.6. Запишите формулу для частных производных сложной функции.
2.7. Запишите выражение производной функции f (x , y , z ) по заданному
направлению в данной точке через частные производные функции в этой точке.
2.8. Запишите выражение производной функции f (x , y , z ) по заданному
направлению в данной точке через градиент функции в этой точке.
2.9. Запишите формулу Лагранжа конечных приращений для функции нескольких
переменных. При каких условиях эта формула верна?
47
2.10. Запишите выражение для второго дифференциала функции нескольких
независимых переменных.
2.11. Запишите выражение для дифференциала n –го порядка функции
нескольких независимых переменных.
2.12. Запишите выражение для второго дифференциала сложной функции
нескольких переменных.
2.13. Сформулируйте теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа для функции f (x 1,..., x m ) с центром разложения в точке
M 0(x 1, x 2,..., x m ) .
2.14. Сформулируйте теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в форме
Пеано для функции f (x 1,..., x m ) с центром разложения в точке M 0(x 1, x 2,..., x m ) .
3. Теоремы с доказательством.
3.1. Докажите теорему о необходимых условиях дифференцируемости функции
f (x 1,..., x m ) в точке M 0(x 1, x 2,..., x m ) .
3.2. Докажите теорему о достаточных условиях дифференцируемости функции
f (x 1,..., x m ) в точке M 0(x 1, x 2,..., x m ) .
3.3. Докажите теорему о достаточных условиях равенства u xy  uyx в данной
точке.
3.4. Докажите теорему о касательной плоскости к графику функции двух
переменных.
3.5. Докажите теорему о дифференцируемости сложной функции.
3.6. Докажите, что производная дифференцируемой в точке M (x 0 , y 0 , z 0 )
функции f (x , y , z ) по направлению l  (cos  , cos  , cos  ) равна скалярному
произведению вектора l и градиента функции f в точке M .
3.7. Докажите теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа для функции f (x 1,..., x m ) с центром разложения в точке
M 0(x 1, x 2,..., x m ) .
4. Вопросы и задачи.
2.13. Запишите формулы, выражающие свойство инвариантности формы первого
дифференциала.
2.14. Запишите формулы, выражающие свойство неинвариантности формы
дифференциала второго порядка.
2.15. Пусть функция f (x ) дифференцируема в точке x 1 , функция g(x )
дифференцируема в точке x 2 . Докажите, что функция u (x , y )  f (x )  g(y )
дифференцируема в точке M  (x 1, x 2 ) .
2.16. Пусть функция f (x ) дифференцируема в точке x 1 , функция g(x )
дифференцируема в точке x 2 . Докажите, что функция u (x , y )  f (x )  g(y )
дифференцируема в точке M  (x 1, x 2 ) .
2.17. Для функции z  u (x , y ) найдите частные производные первого порядка,
градиент, первый и второй дифференциалы в точке M x , y  , запишите уравнение
касательной плоскости к поверхности z  u (x , y ) в точке (x 0 , y 0 , u (x 0 , y 0 )) ,
найдите вектор нормали к этой плоскости. Вычислите все указанные величины в
точке M 0 (x 0, y 0 ) . Вычислите производную по направлению заданного вектора L
в точке M 0 x 0 , y 0  .
2.17.1. u x , y   2x  3y, M 0  (3;2) , L  (3; 2) ;
2.17.2. u  x , y   8x 2  2y 2  x 4  y 4 , M 0  (2;1) , L  ( 1; 1) ;
48
2.17.3. u x , y   xy (3  x  y ) , M 0  (1;1) , L  ( 1; 1) ;
2.17.4. u  x , y   x 2y 3 (6  2x  3y ) , M 0  (1;1) , L  ( 1; 1) ;
2.17.5. u  x , y   x 3  y 3  3xy M 0  (1;1) , L  ( 1; 1) ;
y
2.17.6. u  x , y   arct g , M 0   3,1 , L 1  1;  3  , L 2   3;1 ;
x
y
2.17.7. u  x , y   x  y x , M 0  (e;e ) , L  (1; 1) ;
2.17.8. u  x , y   x y  y x , M 0  (1;1) , L  (1; 1) ;

с осью Ox .
6
2.18. Имеет ли функция u  x , y  частные производные первого порядка в точке
(0,0)? Если имеет, найдите их и исследуйте эти частные производные на
непрерывность в точке(0,0).
2.17.9. u x , y   x 3  x 2y  y 3  1,
u x , y   3 xy x  y  ;
u x , y   3 x 2y ;
L образует угол
u x , y   3 xy ;
u x , y   3 x 3  y 3 ;
u x , y   3 xy x 2  y 2  ; u x , y   3 x 4  y 4 ; u x , y   3 x 5  y 5 ; u x , y   3 yx 4  xy 4 .
2.19. Является ли функция u  x , y  дифференцируемой в точке(0,0)?
u x , y   3 xy ; u x , y   3 x 2y ; u  x , y   xy  3 xy ; u x , y   3 x 3  y 3 ;
u x , y   3 x 4  y 4 ;
u x , y   3 xy x 2  y 2  ; u x , y   3 xy x  y  ;
u x, y   xy ln x 2  y 2  , если x 2  y 2  0 ,
 1 
u  x , y   xy sin  2
, если x 2  y 2  0 , u  0, 0   0 ;
2 
x y 
 1 
u  x , y   xy  3 x 3  y 3 sin  2
, если x 2  y 2  0 , u  0, 0   0 .
2 
x

y


u  0, 0   0 ;
2.20. Приведите пример функции двух переменных, непрерывной в точке
M 0 (x , y ) , но не дифференцируемой в этой точке.
2.21. Приведите пример функции двух переменных, у которой существуют
первые производные в точке (0; 0), но функция не является дифференцируемой в
этой точке.
2.22. Для функции f (x , y , z ) найдите частные производные первого порядка,
градиент, первый и второй дифференциалы. Вычислите все указанные величины
в точке M 0 (x 0, y 0, z 0 ) . Найдите производную по направлению заданного вектора
L в точке M 0 x 0, y 0, z 0  .
2.22.1. u x , y , z   x 3  x  y  xyz , M 0  (1;1;1) ,
2.22.2. u x , y , z   ln(xyz ),
x  0, y  0, z  0,
L  1,1,1 ;
M 0  (1;1;1) , L  1,1,1 ;
2.22.3. u x , y, z   xyz (4  x  y  z ) , M 0  (1;1;1) , L  1,1,1 ;
2.22.4. u  x , y , z   x 3y 4z 5(13  3x  4y  5z ) , M 0  (1;1;1) , L  1,1,1 .
2.22.5. u  x , y , z   x 3  x  y  xyz , M 0  (1;1;1) , L  1,1,1 .
2
2
2
 3u
 3u
,
2.23. Для функции u x , y, z   e x y z найдите
.
x 2 y
x y z
2.24. Вычислите указанные дифференциалы в точке M 0  x , y 
49
2
æ
ö
2.24.1. d 5 çç(x + y ) e x - y ÷
÷, M 0 (1;1) ;
è
ø
2.24.2. d 100 ((x + y )e x - y ), M 0 (1;1) ;
2.24.3. d 100 ((x + y )e x + y ) , M 0 (1;1) ;
2.24.4. d 20 (x 2 sin y ) , M 0 (1; p ).
2.25. Найдите дифференциалы первого и второго порядка сложной функции u,
если f — дважды дифференцируемая функция, x и y — независимые
переменные:
2.25.1. u  f ( ,  ),
  x 2  y 2,   x 2  y 2 ;
2.25.2. u  f (, ,  ),
  xy,   x  y,   x  y .
2.26. Предполагая, что функции  и  дифференцируемы достаточное число
раз, проверить следующее равенство:
2
2
1 z 1 z
z
2.26.1.

 2 , если z  y(x  y ) ;
x x y y y
y
z
z
y
 xy  z , если z  xy  x    ;
x
y
x 
2
2
z z
2.26.3. a 2

 0 , если z   (x  ay )   (x  ay ) .
x 2 y 2
2.26.2. x
2.27. Запишите формулу Тейлора порядка n с центром разложения в точке M0 и с
остаточным членом в форме Пеано для функций:
y
2.27.1. u  x , y   arct g , M 0  2, 3  , n  2 ;
x
y
2.27.2. u  x , M 0 e, e  , n  2 ;
2.27.3. u  e x sin y, M 0  0, 0  , n  3 ;
2.27.4. u  ln(1  x  y ), M 0  0, 0  , n  3 ;
2.27.5. u x , y , z   x 3  x  y  xyz , M 0 x 0, y 0  , n  3 .
3.
Задачи повышенной трудности.
3.1. Докажите, что если функция u  x , y  имеет частные производные первого
порядка в любой точке круга единичного радиуса и u x x , y   1 , u y  x , y   1 , то
для любых двух точек M и N этого круга справедливо неравенство
u(M )  u(N )  3 .
3.2. Приведите пример функции u (x , y ) , у которой существуют смешанные
частные производные u xy и u yx в точке M 0 (0; 0), причем имеет место равенство
u xy (0; 0) = u yx (0; 0) , но функция u (x , y ) не является дважды дифференцируемой в
этой точке.
3.3. Приведите пример функции u (x , y ) двух переменных, у которой
существуют непрерывные смешанные частные производные u xy и u yx в точке
M 0 (1;2) , но функция u (x , y ) не является дважды дифференцируемой в этой
точке.
3.4. Пусть u  f (x , y ) , d 2u в точке M 0 x 0 , y 0  существует и является
положительно определённой квадратичной формой. Докажите, что при этом
50
условии в некоторой окрестности точки N 0 x 0, y 0, f x 0, y 0   касательная
плоскость к графику функции u  f (x , y ) в точке N 0 имеет единственную общую
точку с графиком.
3.5. Пусть функция u  x , y  дважды дифференцируема в точке M 0 x 0, y 0  и в
некоторой окрестности точки N0(x0,y0,u(x0,y0)) касательная плоскость к графику
функции в этой точке имеет единственную общую точку с графиком. Докажите,
что второй дифференциал в указанной точке является либо знакоопределённой,
либо квазизнакоопределенной квадратичной формой.
3.6. Известно, что касательная плоскость к графику в точке N0(x0,y0,u(x0,y0))
дважды дифференцируемой функции z  u x , y  имеет в любой окрестности
точки N0 не менее двух общих точек с графиком. Может ли при этом условии
второй дифференциал d 2u в точке M0(x0,y0) являться знакоопределенной
квадратичной формой?
3.7. Докажите, что отличный от нуля градиент дифференцируемой функции
z  u x , y  в точке M 0 x 0, y 0  направлен перпендикулярно касательной к линии
уровня функции u  x , y  в точке M 0 .
3.8. Пусть функция u(x,y) дифференцируема два раза в точке M 0  x 0 , y 0  и
R 3(x , y )  u (x , y )  P2(x , y ) – остаточный член формулы Тейлора, где P2 x , y  –
многочлен Тейлора второго порядка. Докажите, что функция R 3  x , y  и все её
частные производные первого и второго порядка обращаются в нуль в точке M 0 .
3.9. Пусть функция u  x , y  такова, что в точке M0(x0,y0)
u M 0   0, du M 0  0, d 2u M  0 . Докажите, что u x , y   o   2  при   0 ,
0
где  
x  x 0 
2
 y  y 0  .
2
Тема 5. Локальный экстремум.
Определения.
Сформулируйте определение локального экстремума функции нескольких
переменных.
5.
Основные теоремы (без доказательства).
Сформулируйте необходимые условия локального экстремума в точке
M 0 x 0 , y 0  функции u  x , y  , дифференцируемой в этой точке.
Сформулируйте достаточные условия локального экстремума в точке
M 0 x 0 , y 0  дважды дифференцируемой в этой точке функции u  x , y  .
6.
Теоремы с доказательством.
Докажите теорему о необходимых условиях локального экстремума функции
нескольких переменных.
Докажите теорему о достаточных условиях локального экстремума функции
нескольких переменных.
7.
Вопросы и задачи.
Пусть функции u  x , y  и v  x , y  имеют локальный минимум в точке
M 0 x 0 , y 0  . Докажите, что функция u  x , y   v(x , y ) также имеет локальный
минимум в указанной точке.
Приведите пример функций u  x , y  и v  x , y  , которые имеют локальный
минимум в точке M 0 x 0 , y 0  , а функция u x , y   v(x , y ) имеет локальный
максимум в указанной точке.
4.
4.1.
5.1.
5.2.
6.1.
6.2.
7.1.
7.2.
51
Приведите пример функций u  x , y  и v  x , y  , которые имеют локальный
минимум в точке M 0 x 0 , y 0  , а функция u x , y   v(x , y ) не имеет локального
экстремума в указанной точке.
7.4.
Пусть функция u (x , y )  f (x )  g(y ) имеет локальный экстремум в точке
M (x 1, x 2 ) , функция f (x ) дифференцируема в точке x 1 , f (x 1 )  0 , функция g(x )
дифференцируема в точке x 2 , g(x 2 )  0 . Докажите, что f ' (x 1 )  0 , g ' (x 2 )  0 .
7.5.
Пусть функция f (x ) имеет локальный минимум в точке x 1 , f (x 1 )  0 , функция
g(x ) имеет локальный минимум в точке x 2 , g(x 2 )  0 . Докажите, что функция
u (x , y )  f (x )  g(y ) имеет локальный минимум в точке M (x 1, x 2 ) .
7.3.
7.6.
Приведите пример функции, u = f (x , y ), имеющей в точке M 0 (1;1) локальный
экстремум, у которой не существует
7.7.
¶u
¶y
.
M0
Приведите пример функции, u = f (x , y ), для которой du
(0;0)
= 0 , но не
имеющей в точке M 0 (0; 0) локального экстремума.
7.8.
Найдите все точки локального экстремума функций:
u  x , y   x 2  xy  y 2 ; u  x , y   x 3  y 3  3xy ; u x , y   xy 
u x , y    5  2x  y e x
2
y
8 8
 ;
x y
; u  x , y , z   x 2  y 2  z 2 ; u x , y , z   xy  xz  yz ;
u x , y , z   xyz (4  x  y  z ) ; u  x , y , z   x 2  y 2  z 2  2xy  2xz  2yz ;
y2 z2 2
u x , y, z   x 

 .
4x
y
z
7.9.
Исследуйте на экстремум функцию u  x cos y  z cos x в

точке M  ; 0;1  .
2

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в заданной области:
1
u  xy  x 2y  y 2x , 0  x  1, 0  y  2 .
2
8.
Задачи повышенной трудности.
8.1.
Докажите, что если d 2u  M 0  - знакопеременная квадратичная форма, то
функция u не имеет локального экстремума в точке M0.
8.2.
Докажите, что если в точке M 0 x 0 , y 0  функция u (x , y ) трижды
7.10.
дифференцируема, du M 0  0, d 2u M  0, d 3u
0
 0, то функция u не имеет
M0
локального экстремума в точке M 0 .
8.3.
Пусть функция f (x ) дважды дифференцируема в точке x 1 , f ' (x 1 )  0 , функция
g(x ) дважды дифференцируема в точке x 2 , g ' (x 2 )  0 , f (x 1 )g(x 2 ) f '' (x 1 )g '' (x 2 )  0 .
Докажите, что функция u (x , y )  f (x )  g(y ) имеет локальный экстремум в точке
M ( x 1, x 2 ) .
8.4.
Пусть функция f (x ) имеет локальный минимум в точке x 1 , f (x 1 )  0 , функция
g(x ) имеет локальный максимум в точке x 2 , g(x 2 )  0 . Докажите, что функция
u (x , y )  f (x )  g(y ) не имеет локального экстремума в точке M (x 1, x 2 ) .
52
8.5.
Пусть функция u  x , y  имеет локальный минимум в точке M 0 x 0 , y 0  , а
функции x   t , s  и y   t , s  имеют отличный от нуля первый дифференциал
в точке K 0 s 0, t 0  , причем x 0   t 0, s 0  и y 0   t 0, s 0  . Докажите, что сложная
функция u (t , s ), (t , s )  имеет локальный минимум в точке K 0 .
8.6.
Пусть непрерывные функции x   t , s  и y   t , s  имеют локальный
максимум в точке K 0 s 0, t 0  , а дифференцируемая в точке M 0 x 0 , y 0  функция
u
u
u  x , y  такова, что
(M 0 )  0 и
(M 0 )  0 , причем x 0   t 0, s 0  и
x
y
y 0   t 0, s 0  . Докажите, что сложная функция u (t , s ), (t , s )  имеет локальный
максимум в точке K 0 .
Тема 6. Неявные функции.
5.
Определения.
5.1. Сформулируйте определение зависимости функций f1 x 2,..., x n  ,…,
fk x 2,..., x n  .
5.2. Сформулируйте определение независимости функций f1 x 2,..., x n  ,…,
fk x 2,..., x n  .
6.
7.
Основные теоремы (без доказательства).
6.1. Сформулируйте теорему о существовании и непрерывности функции
y  f  x  , заданной неявно уравнением F x , y   0 .
6.2. Сформулируйте теорему о дифференцируемости функции y  f  x  ,
заданной неявно уравнением F x , y   0 .
6.3. Сформулируйте теорему о существовании и непрерывности функции
z  f x , y  , заданной неявно уравнением F x , y, z   0 .
6.4. Сформулируйте теорему о дифференцируемости функции z  f x , y  ,
заданной неявно уравнением F x , y, z   0 .
6.5. Сформулируйте теорему о существовании и дифференцируемости
функций y  f (x ) , z  g(x ) , заданных неявно системой уравнений
F  x , y , z   0,

G  x , y, z   0.
6.6. Сформулируйте теорему о достаточных условиях независимости функций.
6.7. Сформулируйте теорему о зависимости и независимости функций.
Теоремы с доказательством.
7.1. Докажите теорему о существовании и непрерывности функции y  f  x  ,
заданной неявно уравнением F x , y   0 .
7.2. Докажите теорему о дифференцируемости функции y  f  x  , заданной
неявно уравнением F x , y   0 .
7.3. Докажите теорему о существовании и непрерывности функции z  f x , y  ,
заданной неявно уравнением F x , y, z   0 .
7.4. Докажите теорему о существовании и дифференцируемости функций
F  x , y , z   0,
y  f (x ) , z  g(x ) , заданных неявно системой уравнений 
G  x , y, z   0.
53
7.5. Докажите теорему о достаточных условиях независимости функций.
8.
Вопросы и задачи.
8.1. Докажите, что уравнение x 2  xy  y 2  3 окрестности точки (1;1)
однозначно определяет функцию y  y (x ) .
8.2. Докажите, что уравнение xy  ln xy   1 в окрестности точки
(2; 0.5) однозначно определяет функцию y  y (x ) .
8.3. Пусть функции y  u x  , z  v x  заданы системой уравнений
f x , y, z   0, g x , y, z   0 . Вычислите первый дифференциал функции u (x ) .
8.4. Пусть функции x  f u, v  , y  g u, v  заданы неявно системой
F  x , y   u,
x
уравнений 
Найдите
.
G
x
,
y

v
.

v



8.5. Пусть функции y  f x  , z  g x  заданы неявно системой уравнений
F  x , y , z   0,
dz
. Найдите
.

G
x
,
y
,
z

0.
dx



8.6. Докажите, что дифференцируемая функция z x , y  , определяемая


уравнением F z 2  y 2, x 2  (y  z )2  0 , где F – дифференцируемая функция,
z
z
 xz
 xy .
x
y
8.7. Проверьте, что дифференцируемая функция z (x,y), определяемая
z
уравнением F  x 2  y 2,   0 , где F – дифференцируемая функция, является

x
является решением уравнения (z  y )2
решением уравнения xy
z
z
 x2
 yz .
x
y
8.8. Докажите, что в некоторой окрестности точки M 0 существует
единственная дифференцируемая функция y  f (x ) , определяемая уравнением
F x , y   0 . Найдите её первый дифференциал dy .
8.8.1. F  x , y   y  y  sin x , M 0 (p ;1);
2
8.8.2. F  x , y   x y  xy  2 , M 0 (1;1) ;
8.9. Докажите, что в некоторой окрестности точки M 0 существует
единственная дифференцируемая функция z  z (x , y ), определяемая
уравнением F x , y, z   0 . Найдите её первый дифференциал dz .
2
3
8.9.1. F  x , y , z   x 2  y 2  z 2  xyz  2 , M 0 (1;1;1).
8.9.2. F x , y, z   z 3x  x 2  yz  3 , M 0 (1;1;1).
8.9.3. F x , y, z   y 2  z 3  x 2yz  3 , M 0 (1;1;1).
8.9.4. F x , y, z   y 2  xz 3  yz , M 0 (0;1; - 1).
8.10. Найдите первую и вторую производные, найдите все точки возможного
экстремума, проверьте выполнение достаточных условий экстремума для
54
дифференцируемой неявной функции y  f (x ) , определяемой уравнением
F x , y   0 .
8.10.1. F  x , y   x 3  y 3  3xy  0 ;
8.10.2. F  x , y   8x 2y  x 4  y 4  0, x  0, y  0 ;
8.10.3. F  x , y   y 2  ay  sin x  0, 0  x  2 .
8.11. Найдите частные производные первого порядка и первый дифференциал
дифференцируемой функции z  z (x , y ), заданной неявно уравнением
8.11.1. xyz  x 2  y 2  z 2 ;
8.11.2. z cos x  y cos z  x cos y  3 ;
8.11.3. x 2  zx  z 2  y  0 .
8.12. Пусть в окрестности точки (x 0 , y 0 , z 0 ) данное уравнение имеет
единственное решение вида z  z (x , y ) . Найдите указанные частные
производные функции z  z ( x , y ) в точке (x 0 , y 0 ) .
z
z
 2z
z
8.12.1. arct g  z  x  y ; ,
;
,
x
x
y
x 2
z
z
 2z
8.12.2. ln(xy  yz )  z 2  x 2  y 2  2 , ,
.
,
x
y
x y
8.13. Известно, что в окрестности точки (1; 0;1) уравнение 2e x + y - z = x 2 + z 2
определяет единственнуюдважды непрерывно дифференцируемую неявную
функцию z = z (x , y ) . Найдите частную производную
¶ 2z
¶ x¶ y
.
(1;0)
8.14. Известно, что в окрестности точки (1;1;1) уравнение
arct g z  x  y  z  3 

определяет единственную дважды непрерывно
4
дифференцируемую неявную функцию z = z (x , y ) . Найдите d 2z .
(1;1)
8.15. Определите, для каких точек M  x , y , z  система уравнений
ìï sin x + cos y = sin z
ï
однозначно определяет дифференцируемые неявные
í
ïï cos x + sin y = cos z
î
функции x (z ), y (z ). Найдите x ¢(z ), y ¢(z ).
ìï x 3 + y 3 + xy = z
8.16. Известно, что система уравнений ïí
однозначно определяет
ïï xy + yz + xz = 1
ïî
дифференцируемые неявные функции x (z ), y (z ) в окрестности точки
M 0 (0;1;1) . Найдите x ¢(1), y ¢(1), x ¢¢(1), y ¢¢(1) в окрестности этой точки.
8.17. Найдите первый и второй дифференциалы функций u(x,y) и v(x,y), заданных
 xu  yv  1,
неявно системой уравнений 
x  y  u  v  0.
55
ìï uv + xy = 2
8.18. Известно, что система уравнений ïí 2
однозначно определяет
ïï ux + vy 2 = 2
ïî
дифференцируемые неявные функции u (x , y ), v (x , y ) в окрестности некоторой
точки M 0 . Найдите du (x , y ), dv (x , y )в этой окрестности.
8.19. Определите, для каких точек M  x , y , z  система уравнений
u 2  v 2  x
 uv  y однозначно определяет дифференцируемые неявные функции

u x , y  , v x , y  . Найдите u x , v x .
8.20. Предполагая, что   дифференцируемая функция, проверьте выполнение
равенства: xzz x  yzz y  xy , если z  xy   
y
.
x 
2
8.21. Преобразуйте дифференциальное уравнение, введя указанные новые
переменные:
8.21.1. x 2y '' xy ' 4y  0 , y  y (t ) , если x  e t .
8.21.2. y  (x  xy )y '  0 , если y  tx , y  y (t ) .
2
2
8.21.3. x 3y '' xyy ' y 2  0 , u  u (t ) , если x  e t , y  u  e t .
x y
8.21.4. y ' 
,   ( ) , если x   cos , y   sin  .
x y
8.21.5. yz x  xz y  0, z  z (u, v ) , если u  x , v  x 2  y 2 .
8.21.6. z x  z y  4x , если
u  x , v  x  y,
w  x y z;
8.21.7. (x  z )z x  (y  z )z y  x  y  z , z  z (u , v ) , если u  x  z , v  y  z .
8.21.8. xz x + yz y + yz = 0 , если x  uy, w  ze y .
8.21.9. u xy  u x  uy  u если новая функция v  v(x , y ), u  ve
8.21.10.
x y
.
2z xx  z xy  z yy  z x  z y  0, z  z (u , v ) , если
u  x  2y  2, v  x  y  1 .
2
, w  w(u, v ) , если yu  x, v  x, w  xz  y .
x
 z yy  z yy  0 , w  w(u, v ) , если
8.21.11.
yz yy  2z y 
8.21.12.
z xx  2z xy
u  x  y, v  x  y, w  xy  z .
9.
Задачи повышенной трудности.
9.1. Найдите du и dv , если функции u  f (x , y ) , v  g(x , y ) , заданы неявно
F  x , y , u, v   0,
системой уравнений 
Сформулируйте достаточные условия
G
x
,
y
,
u
,
v

0.



существования и дифференцируемости неявных функций.
56
9.2. Найдите du и dv , если функции u  f (x , y ) , v  g(x , y ) , заданы неявно
x  F u, v  ,
системой уравнений 
Сформулируйте достаточные условия
y  G u, v  .
существования и дифференцируемости неявных функций.
Тема 7. Условный экстремум.
6.
Определения.
6.1. Сформулируйте определение экстремума функции u  x , y  с условием связи
f x , y   0 .
6.2. Сформулируйте определение экстремума функции u  x , y , z  с условием
связи f  x , y, z   0 .
6.3. Сформулируйте определение экстремума функции u  x , y , z  с двумя
условиями связи f x , y, z   0 , g x , y, z   0 .
7.
Основные теоремы (без доказательства).
7.1. Сформулируйте теорему о необходимых условиях экстремума функции
u  x , y  с условием связи f x , y   0 в форме Лагранжа.
7.2. Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума функции
u  x , y  с условием связи f x , y   0 в форме Лагранжа.
7.3. Сформулируйте теорему о необходимых условиях экстремума функции
u  x , y , z  с условием связи f x , y, z   0 в форме Лагранжа.
7.4. Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума функции
u  x , y , z  с условием связи f x , y, z   0 в форме Лагранжа.
7.5. Сформулируйте теорему о необходимых условиях экстремума функции
u  x , y , z  с двумя условиями связи f x , y, z   0 , g x , y, z   0 в форме Лагранжа.
7.6. Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума функции
u  x , y , z  с двумя условиями связи f x , y, z   0 , g x , y, z   0 в форме Лагранжа.
8.
Теоремы с доказательством.
8.1. Докажите теорему о необходимых условиях экстремума функции u  x , y  с
условием связи f x , y   0 в форме Лагранжа.
8.2. Докажите теорему о необходимых условиях экстремума функции u  x , y , z 
с условием связи f x , y, z   0 в форме Лагранжа.
8.3. Докажите теорему о необходимых условиях экстремума функции u  x , y , z 
с двумя условиями связи f x , y, z   0 , g x , y, z   0 в форме Лагранжа.
9.
Вопросы и задачи.
9.1. Используя метод Лагранжа, найдите все точки экстремума функции u при
заданных условиях связи.
9.1.1. u  x , y   x 2  y 2 при условии x  y  2 ;
9.1.2. u  x , y   x  y при условии x 2  y 2  2 ;
9.1.3. u  x , y   x  y при условии xy  1 в области x > 0 , y > 0 ;
 
9.1.4. u x , y  xy при условии x  y  2 в области x > 0 , y > 0 ;
9.1.5. u x , y   xy при условии x 3  y 3  2xy  0 ;
 
9.1.6. u x , y  x 2y при условии 2x  y  3  0 в области x > 0 , y > 0 ;
57
 
9.1.8. u  x , y   xy
9.1.7. u x , y  2x  y при условии x 2y  1  0 в области x > 0 , y > 0 ;
3
при условии x  3y  4  0 в области x > 0 , y > 0 ;
9.1.9. u x , y, z   x  y  z при условии xyz  1 ;
 
9.1.11. u  x , y   2x  3y при условии x y  1  0 в области x > 0 , y > 0 ;
9.1.12. u x , y   x y при условии 2x  3y  5  0 в области x > 0 , y > 0 ;
9.1.13. u x , y, z   xyz при условии x  y  z  3 в области x > 0 , y > 0 , z > 0 ;
9.1.10. u x , y  x  3y при условии xy 3  1 в области x > 0 , y > 0 ;
2 3
2 3
9.1.14. u x , y, z   xyz при условиях x 2  y 2  z 2  1, x  y  z  0 ;
9.1.15. u  x , y , z   x 2y 3z 4 при условии 2x  3y  4z  9 ;
10. Задачи повышенной трудности.
10.1. Пусть в точке N 0 x 0, y 0,   выполнены необходимые (в форме Лагранжа)
условия экстремума функции u  x , y  с условием связи f (x , y )  0 и к тому же
gradu x 0, y 0   0 , gradf x 0, y 0   0 . Докажите, что в точке M 0 x 0 , y 0  градиенты
функций u  x , y  f (x , y ) коллинеарны.
10.2. Пусть в точке N 0 x 0, y 0,   выполнены необходимые (в форме Лагранжа)
условия экстремума функции u  x , y  с условием связи ax  by  c и d 2u M  0 ,
0
M 0 x 0 , y 0  . Докажите, что в точке M 0 x 0 , y 0  имеет место экстремум указанной
функции с указанным условием связи.
10.3. Пусть в точке N 0 x 0, y 0,   выполнены необходимые (в форме Лагранжа)
условия экстремума функции u (x , y )  ax  by с условием связи f x , y   0 ,
причем   0 , и d 2 f
M0
 0 , M 0 x 0 , y 0  . Докажите, что в точке M 0 x 0 , y 0  имеет
место экстремум указанной функции с указанным условием связи.
Тема 8. Кратные интегралы.
7. Определения.
7.1. Дайте определение интегральной суммы для двойного интеграла.
7.2. Для двойного интеграла дайте определение предела интегральных сумм при
стремлении диаметра разбиения к нулю.
8. Основные теоремы (без доказательства).
8.1. Сформулируйте теорему о сведении двойного интеграла к повторному.
8.2. Сформулируйте теорему о формуле замены переменных для двойного
интеграла.
9. Теоремы с доказательством.
9.1. Докажите теорему о сведении двойного интеграла к повторному.
9.2. Докажите теорему о формуле замены переменных в двойном интеграле для
случая линейной замены переменных.
10. Вопросы и задачи.
10.1. Измените порядок интегрирования в повторных интегралах. Вычислите
повторный интеграл.
58
1
 dy  xydx ;
0
1
1
2- x
4
ò dx ò ydy ,
y
0
ò dy
0
x
1
x
1
/2
0
x2
0
arcsin x
 dx  2ydy ;  dx 
ò
3- y
1
0.5y
(x + 1)dx ,
0.5y - 2
ò (y + 1)dy ò dx
0
0

sin x
0
0
 dx

2ydy ;
cos ydy .
10.2. Сведите двойной интеграл  f (x , y )dxdy к повторному двумя способами:
10.2.1. D  (x , y ) : x  y  1 ;
D


10.2.2. D  (x , y ) : y 2  x  2, y  x .
10.3. Вычислите
10.3.1.  x 2  y 2  dxdy, D  x 2  y 2  6 ;
D
 x
10.3.2.
2
 y 2  dxdy , D  1  x 2  y 2  4
D
6  arct g yx  4 
x  0.
10.4. Найдите замену переменных u, v   x , y  , при которой область D на
плоскости (x,y), ограниченная линиями xy  1, xy  2, x 2y 3  3, x 2y 3  4 ,
x  0, y  0 , переходит в прямоугольник на плоскости (u,v). Вычислите площадь
области D.
10.5. Найдите замену переменных u, v   x , y  , при которой область D на
плоскости (x,y), ограниченная линиями xe y  1, xe y  2, x  e y , x  2e y ,
переходит в прямоугольник на плоскости (u , v ) . Вычислите площадь области D,
используя замену переменных в двойном интеграле.
10.6. Найдите замену переменных u, v   x , y  , при которой область D на
плоскости (x,y), ограниченная линиями x 2y  1, x 2y  8, x  y, x  27y ,
x  0, y  0 , переходит в прямоугольник на плоскости (u,v). Вычислите
площадь области D.
10.7. Вычислите массу m 
 dxdy , статические моменты
Mx 
My 
 xdxdy
и моменты инерции I x 
G
 y dxdy , I
2
y

G
 ydxdy ,
G
G
 x dxdy
2
однородной
G
пластинки с плотностью   1 , ограниченной линиями
10.7.1. 0  x  2, 0  y  x ;
10.7.2. 0  x  4, 0  y  x (4  x );
10.7.3. 0  x   , 0  y  sin x ;
10.7.4. 103  x  1, 0  y  x 1 .
10.8. Вычислите координаты центра масс и моменты инерции плоской фигуры
относительно осей координат, если фигура ограничена линиями
x  1, x  2, y  0, y  x ; поверхностная плотность   1 .
10.9. Вычислите координаты центра масс плоской фигуры, ограниченной
кривыми y  cos x , y  sin x  / 4  x  5 / 4  ; поверхностная плотность
  1.
59
10.10. Вычислите момент инерции относительно оси Oy плоской фигуры,
ограниченной линиями x  0, x  1, y  0, y  arcsin x ; поверхностная
плотность   x   1 .
10.11. Сведите тройной интеграл
 f x , y, z  dxdydz к повторному, если G
-
G
область, ограниченная поверхностями x  0, y  0, z  0, x  y  z  2 .
10.12. Вычислите тройной интеграл
 (x
2
 y 2 )dxdydz , где область G ограничена
G
поверхностями x  y  2z , z  2.
2
2
10.13. Вычислите моменты инерции относительно координатных плоскостей
однородного тела (плотность   1 ), ограниченного поверхностями
x2 y2 z2


 1, z  0, z  0  .
a 2 b2 c 2
10.14. Вычислите координаты центра масс и момент инерции относительно
начала координат тела с плотностью   x , y , z   x 2  y 2  z 2 , ограниченного
поверхностями x 2  y 2  z 2  4, x 2  y 2  z 2 z  0  .
10.15. Пусть G – тело, ограниченное поверхностями
x 2  y 2  z 2  4, z  1 z  1 . Найдите силу притяжения этим телом
материальной точки массы m0 , находящейся в начале координат.
Тема 9. Криволинейные интегралы.
8. Определения.
8.1. Сформулируйте определение криволинейного интеграла I рода от функции
f x , y  по заданной кривой.
8.2. Сформулируйте определение криволинейного интеграла II рода P x , y  dx .

AB
8.3. Сформулируйте определение криволинейного интеграла II рода
 Q x , y  dy .
AB
Основные теоремы и формулы (без доказательства).
9.1. Сформулируйте достаточные условия существования криволинейного
интеграла  f x , y  dl по кривой L.
9.
L
9.2. Сформулируйте достаточные условия существования криволинейного
интеграла  P x , y  dx .
AB
9.3. Сформулируйте достаточные условия существования криволинейного
интеграла  Q x , y  dy .
AB
9.4. Запишите формулу Грина и сформулируйте достаточные условия
применимости.
10. Теоремы с доказательством.
10.1. Докажите теорему о вычислении криволинейного интеграла первого рода с
помощью определённого интеграла.
10.2. Докажите теорему о вычислении криволинейного интеграла второго рода с
помощью определённого интеграла.
10.3. Докажите теорему об условиях независимости криволинейного интеграла
второго рода от пути интегрирования.
60
10.4. Докажите теорему о достаточных условиях того, что выражение
P x , y  dx  Q x , y  dy является полным дифференциалом.
10.5. Пусть функции P x , y  и Q x , y  таковы, что криволинейный интеграл
второго рода
 P x , y  dx  Q x , y  dy
не зависит от пути интегрирования.
AB
P Q
.

y
x
10.6. Пусть функции P x , y  и Q x , y  таковы, что выражение
P x , y  dx  Q x , y  dy представляет собой полный дифференциал. Докажите, что
Докажите, что
P Q .

y
x
10.7. Докажите теорему о формуле Грина.
11. Вопросы и задачи.
11.1. Выразите криволинейный интеграл
 f x , y  dl
через определённый
L
интеграл.
11.2. Запишите формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной
уравнением y  f (x ), a  x  b , и сформулируйте достаточные условия ее
применимости.
11.3. Запишите формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной
параметрически, и сформулируйте достаточные условия ее применимости.
11.4. Запишите формулу для вычисления массы кривой L на плоскости с
помощью определенного интеграла, если кривая задана в параметрической
форме: x  x (t ) , y  y (t ) , a  t  b ; линейная плотность равна  (t ) .
11.5. Запишите формулу для вычисления массы кривой L на плоскости с
помощью определенного интеграла, если кривая задана уравнением y  y (x ) ,
a  x  b ; линейная плотность равна  (x ) .
11.6. Запишите формулу для вычисления x – координаты центра масс кривой
L на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая задана
уравнением y  y (x ) , a  x  b . Линейная плотность постоянна.
11.7. Запишите формулу для вычисления y – координаты центра масс кривой L
на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая задана
уравнением y  y (x ) , a  x  b ; линейная плотность постоянна.
11.8. Запишите формулу для вычисления x – координаты центра масс кривой L
на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая задана в
параметрической форме: x  x (t ) , y  y (t ) , a  t  b ; линейная плотность
постоянна.
11.9. Запишите формулу для вычисления y – координаты центра масс кривой L
на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая задана в
параметрической форме: x  x (t ) , y  y (t ) , a  t  b ; линейная плотность
постоянна.
11.10. Запишите формулу для вычисления момента инерции относительно оси
Ox кривой L на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая
задана в параметрической форме: x  x (t ) , y  y (t ) , a  t  b ; линейная
плотность постоянна и равна 1.
11.11. Запишите формулу для вычисления момента инерции относительно оси
Oy кривой L на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая
61
задана в параметрической форме: x  x (t ) , y  y (t ) , a  t  b ; линейная
плотность постоянна и равна 1.
11.12. Запишите формулу для вычисления момента инерции относительно оси
Ox кривой L на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая
задана уравнением y  f (x ) , a  x  b ; линейная плотность постоянна и равна 1.
11.13. Запишите формулу для вычисления момента инерции относительно оси
Oy кривой L на плоскости с помощью определенного интеграла, если кривая
задана уравнением y  f (x ) , a  x  b ; линейная плотность постоянна и равна 1.
11.14. Выразите криволинейный интеграл
 P x , y  dx
через определённый
AB
интеграл.
11.15. Выразите криволинейный интеграл
 Q x , y  dy
через определённый
AB
интеграл.
11.16. Вычислите интеграл I 
 x cos   y cos   dl , где L – замкнутая гладкая
L
кривая, ограничивающая область площади S;  и  - углы между вектором
внешней нормали n к кривой L в точке M x , y  и осями Ox и Oy.
11.17. Докажите, что если L – замкнутый контур и l – постоянный вектор, то
 cos  l, n  ds  0 .
L
11.18. Пусть G – ограниченная область на плоскости с гладкой границей L.
Запишите формулу, выражающую площадь области G через интеграл вида
 f x, y  dx .
L
11.19. Пусть G – ограниченная область на плоскости с гладкой границей L и
площадью S. Запишите формулу для вычисления x – координаты центра масс
области G через интеграл вида  f x , y  dx , если поверхностная плотность равна
L
1.
11.20. Пусть G – ограниченная область на плоскости с гладкой границей L и
площадью S. Запишите формулу для вычисления y – координаты центра масс
области G через интеграл вида
 f x, y  dy , если поверхностная плотность равна
L
1.
11.21. Пусть D – ограниченная область на плоскости с гладкой границей L.
Запишите в виде двойного интеграла по области D формулу для вычисления
работы силы F x , y   P x , y  ;Q x , y   при перемещении материальной точки
по замкнутому контуру L против часовой стрелки, если все функции непрерывно
дифференцируемы в D.
11.22. Вычислите криволинейные интегралы первого рода
t2
11.22.1.
,
где
L
–
кривая
1
ds
x

t
,
y

, 0  t  1;
L
2
11.22.2.
 yds , где L – кривая y  e
x
, 0  x  2;
L
11.22.3.
 xydl, где L – часть ломаной линии
L
x  y  1, x  y  1, 1  x  1, 0  y  1 .
62
11.22.4.
 x ydl, где L 
2
L
(x, y) : x  4 cos t, y  sin 2t, 0  t  2  .
2
x x , 0  x  3.
3
2
11.24. Вычислите массу кривой y  x x , 0  x  3 с линейной плотностью
3
(x )  2 1  x .
11.25. Вычислите x -координату центра масс кривой x  cos t , y  sin t ,

0  t  , если линейная плотность постоянна.
2
11.26. Вычислите момент инерции относительно оси Ox кривой x  cos t ,
y  sin t , 0  t   , если линейная плотность   1 .
11.27. Вычислите момент инерции относительно оси Ox кривой x  cos t ,
y  sin t , 0  t   ; линейная плотность  (t )  sin t .
11.28. Найдите координаты силы притяжения материальной точки массы m
однородной полуокружностью массой M и радиусом R; точка помещена в центре
соответствующей окружности.
11.29. Вычислите x- координату центра тяжести кривой L, заданной как
пересечение поверхности 9x 2 + y 2 = z 2 и плоскости z = 2x + 5 .
11.30. Вычислите z- координату центра относительно осей координат кривой,
заданной как пересечение поверхности x 2 + 9y 2 = z 2 + 4 и плоскости
z = 2y - 5 .
11.31. Вычислите криволинейные интегралы второго рода:
11.31.1.
 xdx  ydy , где кривая AB задана уравнением
11.23. Вычислите длину кривой y 
AB
y  x 2 , A  0, 0  , B 1,1 .
11.31.2.
 (2  y )dx  xdy , где кривая L задана уравнениями
L
x  t  sin t , y  1  cos t , 0  t  2 и пробегается в направлении возрастания
параметра t.
11.31.3.
 xdy  2ydx , где кривая L задана
соотношениями
L
y  0, y  1  x 2 ,
11.31.4.
y  x,
0y x.
 xydx  x y dy , где L – замкнутый контур, заданный уравнением
3 3
L
x y  x  y  1.
11.31.5.
 ydx  zdy  xdz , где L – кривая
x  cos t , y  sin t , z  t ,
L
0  t  2 , пробегаемая в направлении возрастания параметра t.
11.32. С помощью криволинейного интеграла найдите площадь области,
ограниченной:
11.32.1.
эллипсом x  a sin t , y  b cos t , 0  t  2 , a  0, b  0 ;
11.32.2.
параболой (x  y )2  2ax
11.32.3.
астроидой x
2
3
y
2
3
a  0  и осью Ox .
2
a 3.
63
11.33.
С помощью формулы Грина вычислите интеграл

C
2xdx  2dy
,
x 2  2y
2
где С – дуга окружности (x - 3) + y 2 = 1 , x ³ 1 . Дуга пробегается против
часовой стрелки.
11.34. С помощью формулы Грина вычислите интеграл
xy
 e y cos x  sin x  dx  x cos xdy  , где С – дуга окружности x2+y2=1, y  0 .
C
Дуга пробегается против часовой стрелки.
11.35. Вычислите работу силы F  x  y, 2x  y 2  вдоль части параболы x  y 2 ,
пробегаемой от точки A(1, 1) до точки B(1, 1).
r
11.36. Вычислите работу поля F = {2 - y, x } вдоль кривой L , заданной
уравнениями x  t  sin t , y  1  cos t , 0  t  2 и пробегаемой в направлении
возрастания параметра t.
r
11.37. Вычислите работу поля F = {- y ; x } вдоль замкнутого контура, заданного
уравнением x + y = 1 , пробегаемого против часовой стрелки.
r
11.38. Вычислите работу поля F = e x - y ;1 + e y вдоль замкнутого контура,
{
}
ограниченного отрезками кривых y = x 2, y = x , x ³ 0 , пробегаемого против
часовой стрелки.
r
11.39. Вычислите работу поля F = e x ; x + y , вдоль замкнутого контура,
{
}
заданного уравнениями x  a cos t , y  b sin t , 0  t  2 , a  0, b  0 . Обход
контура против часовой стрелки.
r
11.40. Вычислите работу поля F = {y ; z ; x } вдоль кривой L , заданной
уравнениями x  cos t , y  sin t , z  t , 0  t  2 и пробегаемой в направлении
возрастания параметра t.
11.41. Вычислите работу силы F  y, x , 0 вдоль контура, заданного как
пересечение эллипсоида 3x 2  y 2  z 2  4 и плоскости z  x  2 , пробегаемого
против часовой стрелки, если смотреть из точки (0,0,-3).
5. Задачи повышенной трудности.
5.1. Пусть число l(t ) равно длине кривой L на плоскости, заданной уравнением
2
x
, 0  x  t . Найдите lim l(t2) .
y 
t  t
2
5.2. Пусть функции u x , y  , v x , y  и их частные производные первого и
второго порядка непрерывны в замкнутой области G, ограниченной гладкой
кривой L. Докажите, что справедлива формула:
u
v
u
v
u
dl


u

v
L
G u v dxdy (вторая формула Грина), где n - производная по
n n
направлению внешней нормали к L, u 
 2u  2u
, а интеграл в левой части

x 2 y 2
есть криволинейный интеграл первого рода.
64
5.3. Докажите, что если функция u x , y  имеет в замкнутой области G
непрерывные производные второго порядка, то справедлива формула
 u 2  u 2 
u
G  x    y   dxdy   G u udxdy  L u n dl , где L – гладкий контур,


u
ограничивающий область G,
- производная по направлению внешней
n
нормали к L.
1
5.4. Применяя формулу Грина, найти lim
 F  n  dl , где S – площадь
d S   0 S 
L
области, ограниченной контуром L, окружающим точку x 0 , y 0  , d S  - диаметр
области S, n – единичный вектор внешней нормали к контуру L и F  x , y  .
Тема 10. Поверхностные интегралы.
1. Определения.
1.1.
Сформулируйте определение площади поверхности.
1.2.
Сформулируйте определение поверхностного интеграла первого рода.
1.3.
Сформулируйте определение поверхностного интеграла второго рода.
2. Основные теоремы и формулы (без доказательства).
2.1.
Запишите формулу площади поверхности, заданной уравнением
z = h (x , y ), (x , y ) Î D , и сформулируйте условия ее применимости.
2.2.
Запишите формулу площади поверхности, заданной параметрически, и
сформулируйте условия ее применимости.
2.3. Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода
òò f (x , y, z )ds при условии, что поверхность S задана в виде
S
z = h (x , y ), (x , y ) Î G , G – область на плоскости (x,y).
2.4.
òò
Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода
f (x , y , z )ds при условии, что поверхность S задана в параметрической форме.
S
Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода
òò f (x , y, z )cos gd s при условии, что поверхность S задана в виде
2.5.
S
z = h (x , y ), (x , y ) Î G , G – область на плоскости (x,y), g - угол между нормалью к
выбранной стороне поверхности и осью Oz .
2.6.
Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода
òò f (x , y , z )cos a d s при условии, что поверхность S задана в параметрической
S
форме, a - угол между нормалью к выбранной стороне поверхности и осью Ox .
2.7.
Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода
òò Pdydz + Qdxdz + R dxdy при условии, что поверхность S задана в
S
параметрической форме.
3. Теоремы с доказательством.
3.1.
Докажите теорему о вычислении площади поверхности, заданной
уравнением z = h (x , y ), (x , y ) Î D .
65
3.2.
Докажите, что если функция f(x,y,z) непрерывна на поверхности S , то
поверхностный интеграл первого рода òò f (x , y , z )ds существует. Требования к
S
поверхности S сформулируйте самостоятельно.
3.3.
Докажите, что если функция P(x,y,z) непрерывна на поверхности S , то
поверхностный интеграл второго рода òò P (x , y , z )cos a d s существует.
S
Требования к поверхности S сформулируйте самостоятельно.
3.4. Докажите теорему об условиях независимости криволинейного интеграла
второго рода от пути интегрирования в пространстве.
8. Вопросы и задачи.
4.1. Найдите вектор нормали и запишите уравнение касательной плоскости к
поверхности S в заданной точке М:
4.1.1. S : z = x 2 + y 2 ; M (3, 4, 25) .
4.1.2. S : x 2 + y 2 + z 2 + xyz = 2 ; M (1,1, 0) .
4.1.3. S : x = 2uv , y = u + v , z = u 2 + v 2 ,
M (x (u 0, v0 ), y(u 0, v0 ), z (u 0, v 0 )), где u 0 = 1, v 0 = - 1.
4.2. Найдите площадь поверхности с помощью двойного интеграла:
4.2.1. z = 3x + 4y , x 2 + y 2 £ 1 .
x2 + y2 , x2 + y2 £ 1 .
4.2.2. z =
4.2.3. 2z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 £ 1 .
4.2.4. z = xy , x 2 + y 2 £ a 2 .
1
.
2
4.2.6. x = u cos v,y = u sin v,z = v,0 £ u £ a,0 £ v £ 2p.
4.2.5. x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ³ 0 , x 2 + y 2 £
4.3. Вычислите поверхностные интегралы I рода.
4.3.1. òò dS , где поверхность S : x + y + z = 1 , x Î [- 1;1], y Î [- 1;1] .
S
4.3.2.
òò (x + y + z )dS , где поверхность S :
S
x + y + z = 1 , x Î [- 1;1],
y Î [- 1;1] .
4.3.3.
4.3.4.
òò (x + y + z )dS , где поверхность S : x + y + z = 1 I
òò (x + y )ds , где S – граница тела V = {( x, y, z ): x + y
2
2
2
S
2
2
2
2
z ³ 0.
£ z £ 1} .
S
1
)ds , где S – часть параболоида 2z = 2 - x 2 - y 2, z ³ 0 .
2
S
4.4.
Найдите координаты центра масс части однородной сферы
2
2
x + y + z 2 = R 2 , x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0 с помощью поверхностного интеграла.
4.3.5.
òò (x
2
+ y2 + z -
4.5. Вычислите x - компоненту силы притяжения материальной точки массы m0,
помещённой в начало координат, частью сферы x 2  y 2  z 2  1 , x  0 ,
y  0 z  0 . Поверхностная плотность сферы   1 .
4.6. Вычислите поверхностные интегралы второго рода:
4.6.1.  dxdy , если S – часть конической поверхности z 2  x 2  y 2 , 0  z  1 ,
S
нормаль к которой образует острый угол с осью Oz .
66
4.6.2.
 dydz , если S – часть конической поверхности
z 2  x2  y 2 , 0  z  1 ,
S
нормаль к которой образует острый угол с осью Oz .
4.6.3.  dxdy , если S – поверхность x  y  z  1 , x  0 , y  0 , z  0 , нормаль
S
образует острый угол с осью Oz .
4.6.4.  dydz , если S – поверхность x 2  y 2  z 2  1 , x  0 , y  0 , z  0 , нормаль
S
образует острый угол с осью Oz .
4.6.5.  dxdz , если S – поверхность x 2  y 2  1  z , x  0 , y  0 , z  0 , нормаль
S
образует острый угол с осью Oz .
4.6.6. òò xdydz + ydzdx + zdxdy , где S – верхняя сторона плоскости
S
x + y + z = 1 , x Î [- 1;1], y Î [- 1;1] , то есть нормаль к плоскости составляет
острый угол с осью Oz .
4.6.7.
òò (y
2
+ z 2 )dxdy , где S - часть внешней стороны цилиндрической
S
поверхности z =
4.6.8.
òò (x
2
a2 - x 2 , 0 £ y £ b .
+ y 2 + z 2 )dxdy , где S - часть внешней стороны конической
S
поверхности z =
x 2 + y 2 , 0 £ z £ c (внешняя нормаль образует тупой угол с
осью Oz ).
4.6.9. òò x 2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy , где S - часть внутренней стороны
S
гиперболоида x 2 + y 2 - z 2 = 1, 0 £ z £ 3 .
4.6.10.
òò x dydz + y dzdx + z dxdy , где S
2
2
2
– внешняя сторона сферы
S
x 2 + y 2 + z 2 = 1.
5. Задачи повышенной трудности.
5.1. Вычислите площадь части конической поверхности x 2  y 2  z  1 , z  1 ,
заключенной внутри цилиндра x 2  y 2  y .
2
Найдите момент инерции относительно оси Oz части сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,
z ³ 0 , y ³ 0 , вырезанной цилиндром x 2 + y 2 = x . Поверхностная плотность
r (x , y , z ) = zy .
5.3. Вычислите x – координату центра масс части гиперболического параболоида
x 2  y 2  2z , вырезанной цилиндром x 2  y 2  x . Поверхностная плотность
1

.
2
x  y2  1
5.2.
5.4.
Вычислите поверхностный интеграл II рода
 xdydz , где S – часть внешней
S
поверхности единичной сферы x 2  y 2  z 2  1 , вырезаемая конической поверхностью
z  x2  y2 .
67
5.5.
Вычислите поверхностный интеграл II рода
 z dxdy , где S – часть внешней
2
S
поверхности сферы x  y  z  4 , z  0 , вырезаемая поверхностью цилиндра
x2  y2  3 .
2
5.6.
2
2
Вычислите поверхностный интеграл II рода
 zdxdz , где S – часть внешней
S
поверхности единичной сферы x  y  z  1 , x  0 , z ³ 0 , вырезаемая цилиндрической
поверхностью x 2  y 2  y .
2
2
2
Тема 11. Кривые на плоскости.
Определения.
2.
3.
4.
1.1.
Сформулируйте определение того, что две кривые касаются
(соприкасаются) в данной точке.
1.2.
Сформулируйте определение порядка касания кривых в
данной точке.
1.3.
Сформулируйте определение огибающей
однопараметрического семейства плоских кривых.
1.4.
Сформулируйте определение кривизны плоской кривой.
Основные теоремы и формулы (без доказательства).
2.1.
Сформулируйте теорему о необходимых и достаточных
условиях для того, чтобы порядок касания двух кривых в данной
точке был равен n.
2.2.
Сформулируйте теорему о необходимых условиях
огибающей однопараметрического семейства кривых.
2.3.
Запишите формулу для вычисления кривизны плоской
кривой, заданной в виде y = f(x).
2.4.
Запишите формулу для вычисления радиуса кривизны в
заданной точке кривой y = f(x).
2.5.
Запишите формулу для вычисления кривизны плоской
кривой, заданной в параметрической форме.
Теоремы с доказательством.
3.1.
Докажите теорему о необходимых и достаточных условиях
для того, чтобы порядок касания двух кривых в данной точке был
равен n.
3.2.
Докажите теорему о необходимых условиях огибающей
однопараметрического семейства кривых.
3.3.
Выведите формулу для вычисления кривизны кривой,
заданной уравнением y  f (x ) .
3.4.
Выведите формулу для вычисления кривизны кривой,
заданной в параметрической форме.
Вопросы и задачи.
4.1.
К
акой порядок касания с осью Ox имеют в начале координат кривые:
x2 

y  1  cos x ; y  e x   1  x   ; y  t g x  sin x .
2

4.2.
П
2
ри каком выборе коэффициентов a, b и с парабола y  ax  bx  c и
кривая y  e x имеют в точке с абсциссой x  x 0 касание второго
порядка?
68
4.3.
Н
айдите огибающие однопараметрических семейств плоских кривых
a
a  const  ; y  Cx  ln C ;
(С – параметр): y  Cx 
C
2C 2 y  Cx   1 ; y 2  2Cx  C 2 .
4.4.
О
2
пределите радиус кривизны параболы y  2px в точке (x 0 , 2px 0 ) .
Задачи повышенной трудности.
5.1.
Выведите формулу для вычисления кривизны плоской
кривой, заданной в неявной форме.
5.2.
Выведите формулу для вычисления радиуса кривизны
плоской кривой, заданной в неявной форме.
5.3.
пределите радиусы кривизны следующих кривых в произвольной
x2 y2
x2 y2
2
2
точке: x  x 0   y  y 0   R 2 ;
;


1

 1.
a 2 b2
a 2 b2
Тема 1. Поверхностные интегралы.
2. Определения.
2.8.Сформулируйте определение поверхностного интеграла первого рода.
2.9. Сформулируйте определение поверхностного интеграла второго рода.
3. Основные теоремы и формулы (без доказательства).
3.1.Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода
òò f (x , y, z )ds при условии, что поверхность S задана в виде
5.
О
S
z = h (x , y ), (x , y ) Î G , G – область на плоскости (x,y).
3.2. Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода
òò f (x , y, z )ds при условии, что поверхность S задана в параметрической форме.
S
3.3. Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода
òò f (x , y, z )cos gd s при условии, что поверхность S задана в виде
S
z = h (x , y ), (x , y ) Î G , G – область на плоскости (x,y), g - угол между нормалью
к выбранной стороне поверхности и осью Oz .
3.4. Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода
òò f (x , y , z )cos a d s при условии, что поверхность S задана в параметрической
S
форме, a - угол между нормалью к выбранной стороне поверхности и осью Ox .
3.5. Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода
òò Pdydz + Qdxdz + R dxdy при условии, что поверхность S задана в
S
параметрической форме.
3.6.Запишите формулу Стокса и сформулируйте достаточные условия её
применимости.
3.7. Запишите формулу Остроградского-Гаусса и сформулируйте достаточные условия
её применимости.
3. Теоремы с доказательством.
3.1.Докажите теорему о формуле Стокса.
3.2. Докажите теорему о формуле Остроградского-Гаусса.
69
3.3.Докажите теорему об условиях независимости криволинейного интеграла второго
рода от пути интегрирования в пространстве.
9. Вопросы и задачи.
4.1 Используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислите интеграл:
4.1.1 òò (x + e y )dydz + (y - e z )dxdz + (z + e x )dxdy , где S – внешняя сторона
S
4.1.2
4.1.3
сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 ;
ææ¶ R ¶ Q ö
ö
æ¶ Q ¶ P ö
æ¶ P ¶ R ö
÷
òò çççèçççè ¶ y - ¶ z ÷ø÷÷cos a + ççè ¶ z - ¶ x ÷÷÷øcos b + èççç ¶ x - ¶ y ÷ø÷÷cos g ø÷÷÷ds , где S –
S
гладкая поверхность, ограничивающая область D, cosα, cosβ, cosγ –
направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S, P(x,y,z),
Q(x,y,z), R(x,y,z) имеют в D непрерывные частные производные второго
порядка.
òò xdydz + ydzdx + zdxdy , где S - внутренняя сторона эллипсоида
S
2
4.1.4
x
y2 z2
+
+
= 1;
a 2 b2 c 2
2
2
2
òò x dydz + y dzdx + z dxdy , где S - внешняя сторона поверхности тела
S
{x
4.1.5
2
}
+ y2 £ z £ H ;
òò x dydz + y dzdx + z dxdy , где S
3
3
3
S
– внешняя сторона поверхности куба
5.2.
x Î [- 1;1], y Î [- 1;1] , z Î [- 1;1] .
Используя формулу Стокса, вычислите интеграл:
5.2.1.
ò (x
2
- yz )dx + (y 2 - xz )dy + (z 2 - xy )dz , где AB есть отрезок винтовой
AB
линии x = a cos j , y = a sin j , z =
h
j от точки A (a, 0, 0) до точки
2p
B (a, 0, h ) .
5.2.2. ∮ y 2dx + xydy + (x 2 + y 2 )dz , где L – замкнутый контур, образованный при
L
пересечении трех плоскостей x = 0 , y = 0 , z = a с эллиптическим
параболоидом x 2 + y 2 = az , причем x ³ 0 , y ³ 0 ( a > 0 ). Обход контура
совершается против часовой стрелки, если смотреть из точки (0, 0, 2a ).
5.2.3. ∮ xdx + xdy + zdz , где L – окружность, образованная при пересечении
L
сферы x 2 + y 2 + z 2 = 8 и плоскости x = z . Обход окружности совершается
против часовой стрелки, если смотреть из точки (0, 0, 5).
5.2.4. ∮ (y - z )dx + (z - x )dy + (x - y )dz , где L – эллипс, образованный при
L
пересечении цилиндрической поверхности x 2 + y 2 = a 2 и плоскости
x
z
+ = 1 ( a > 0 , h > 0 ), пробегаемый против часовой стрелки, если
a h
смотреть из точки (2a, 0, 0).
r
5.3. Найдите поток векторного поля F через поверхность S в направлении внешней
нормали к S:
70
r
5.3.1. F = {- x 3 , - y 3 , - z 3 }, S — поверхность куба
{0 £ x £ a,
}
0 £ y £ a, 0 £ z £ a ;
r
5.3.2. F = {0, y 3 , z }, S — часть параболоида z = x 2 + y 2 , 0 £ z £ 2.
Докажите, что объём V тела, ограниченного гладкой поверхностью S,
1
выражается формулой V = òò (x cos a + y cos b + z cos g )ds , где cosα, cosβ,
3 S
cosγ – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.
5.5. Применяя формулу Остроградского-Гаусса, сведите к тройному интегралу
æ¶ u
ö
¶u
¶u
cos b +
cos g ÷
ds , где S —
поверхностный интеграл òò çç cos a +
÷
÷
¶y
¶z
èç ¶ x
ø
5.4.
S
гладкая поверхность, ограничивающая конечную область D, cosα, cosβ, cosγ –
направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S, u(x,y,z) имеет в D
непрерывные частные производные второго порядка.
5.6. Найдите момент инерции относительно оси Oz части конической поверхности
z = x 2 + y 2 , вырезанной цилиндром x 2 + y 2 = 2x . Поверхностная плотность
r = x.
5.7. Найдите момент инерции относительно оси Oz части сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,
z ³ 0 , y ³ 0 , вырезанной цилиндром x 2 + y 2 = 2x . Поверхностная плотность
r = zy .
5.8. Пользуясь формулой Стокса, найдите циркуляцию векторного поля
r
F = {z 3 , x 3 , y 3 }вдоль контура, образованного при пересечении гиперболоида
2x 2 + z 2 - y 2 = a 2 и плоскости x + y = 0 . Обход контура совершается против
часовой стрелки, если смотреть из точки (0, 2a, 0).
r
5.9. Найдите работу силового поля F = {x + 3y + 2z , 2x + z , x - y }вдоль замкнутого
контура MNPM, где MNP — треугольник с вершинами в точках M (1, 0, 0),
N (0,1, 0), P (0, 0,1). Обход контура совершается против часовой стрелки, если
смотреть из точки (5, 5, 5) .
5. Задачи повышенной трудности.
r
5.1. Докажите, что если S – гладкая поверхность, ограничивающая некоторое тело, l –
r
постоянный вектор, n - вектор нормали к поверхности S, j – угол между
r
r
векторами l и n , то òò cos j dS = 0 .
S
d xd hd z
1
= òò cos a ds , где S –поверхность,
r
2 S
V
r
2
2
2
ограничивающая тело V, r = (x - x ) + (h - y ) + (z - z ) , r — радиус-вектор,
5.2. Докажите формулу
òòò
идущий от точки (x,y,z), лежащей внутри V, к точке (,,),  — угол между
r
r
вектором r и внешней нормалью n к поверхности S .
5.3.Докажите, что если S – гладкая поверхность, ограничивающая тело V, и u(x,y,z)
имеет в D непрерывные частные производные второго порядка, то
71
¶u
¶u
òò ¶ n ds = òòò D udxdydz , где ¶ n
S
- производная по направлению внешней
V
¶2
¶2
¶2
+
+
– оператор Лапласа.
¶x2 ¶y2 ¶z2
5.4. Докажите, что если S – гладкая поверхность, ограничивающая тело V и u(x,y,z)
имеет в D непрерывные частные производные второго порядка, .то
ææ¶ u ö2 æ¶ u ö2 æ¶ u ö2 ÷
ö
¶u
¶u
ççç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ÷dxdydz +
u
ds
=
òò ¶ n
òòò ççèçè¶ x ø÷÷ ççè¶ y ø÷÷ èç ¶ z ø÷÷ ÷÷÷ø
òòò u D udxdydz , где ¶ n -
нормали к поверхности S, D =
S
V
V
производная по направлению внешней нормали к поверхности S, D − оператор
Лапласа.
72
4.
2.
3.
4.
Тема 2. Скалярные и векторные поля.
Определения.
4.1. Сформулируйте определение градиента скалярного поля в декартовой системе
координат.
4.2. Сформулируйте определение дивергенции векторного поля в декартовой системе
координат.
4.3. Сформулируйте определение ротора векторного поля в декартовой системе
координат.
4.4. Сформулируйте инвариантное определение дивергенции.
4.5. Сформулируйте инвариантное определение ротора.
4.6.Сформулируйте определение циркуляции векторного поля вдоль кривой.
4.7. Сформулируйте определение потока векторного поля через заданную сторону
поверхности.
4.8.Сформулируйте определение потенциального векторного поля.
4.9.Сформулируйте определение соленоидального векторного поля.
Основные теоремы и формулы (без доказательства).
2.1.Сформулируйте свойства потенциального векторного поля.
2.2. Сформулируйте свойства соленоидального векторного поля.
2.3. Сформулируйте теорему о представлении векторного поля как суммы
потенциального и соленоидального полей.
2.4.Запишите формулу для grad u в криволинейных ортогональных координатах.
r
2.5. Запишите формулу для diva в криволинейных ортогональных координатах.
r
2.6. Запишите формулу для rot a в криволинейных ортогональных координатах.
Теоремы с доказательством.
Вопросы и задачи.
4.1. Найдите угол между:
4.1.1. Градиентами функций u = ln(x 2 + y 2 + z 2 ) и
v = xy + yz + zx - 18x - 6z - y в точке M (3, 5, 4).
y
4.1.2. Градиентами скалярного поля u = 2
в точках
x + y2 + z2
M 1(1, 2, 2) и M 2 (- 3,1, 0).
r
r
r
r
4.2. Вычислите, если r = x 2 + y 2 + z 2 , r = xi + yj + zk ,
r
r r
r
r
r
r
r
b = b1i + b2 j + b3k , c = c1i + c2 j + c3k – постоянные векторы:
æ1 ö
4.2.1. grad çç ÷
÷;
èr ø
r
r
r
r
r
4.2.2. divr , div(rr ) , div(r 2r ) , div(r - 1r ) , div(r - 2r ) ;
r r
4.2.3. grad(c , r ) ;
r r r
r
4.2.4. div(rc ) , div(b (r , c )) ;
r
ær ö÷
r
r
4.2.5. rot r , rot(rr ) , rot çç ÷
;
çèr ø÷
r r
4.2.6. div [c ´ r ];
r r
4.2.7. rot [c ´ r ].
73
4.3. Вычислите grad(uv ) , grad(u 2 ) , grad f (u ) , grad(sin u ) , grad
1
, где u , v –
u
дифференцируемые скалярные поля.
4.4. Применяя оператор Гамильтона, докажите справедливость следующих формул,
r r
если u – дифференцируемое скалярное поле, a и b – дифференцируемые
векторные поля:
r
r
r
4.4.1. div(ua ) = (grad u ×a ) + u div a ;
r
r
r
4.4.2. rot (ua ) = [grad u ×a ] + u rot a ;
r
r
r r
r r
4.4.3. div[a , b ] = b rot a - a rot b .
4.5. Используя оператор Гамильтона Ñ , докажите справедливость следующих
r r
формул, если u и v – дважды дифференцируемые скалярные поля, a и b дважды дифференцируемые векторные поля, D - оператор Лапласа:
4.5.1. div(u grad v) = (grad u ×grad v) + u D v ;
r
r
r
4.5.2. rot (rot a ) = grad div a - D a ;
r
r r
r r
r r
r
r
r
4.5.3. rot éêa ´ b ù
=
b
,
Ñ
a
a
,
Ñ
b
+
a
div
b
- b div a ;
(
)
ú
ë
û
r
r
r
r
r r
r
r
r
éb ´ rot ar ù.
4.5.4. grad a , b = (a , Ñ )b + b , Ñ a + éêa ´ rot b ù
+
ú ëê
ú
ë
û
û
4.6. Вычислите rot grad u , где u – дважды дифференцируемое скалярное поле.
r
r
4.7. Вычислите div rot a , где a – дважды дифференцируемое векторное поле.
r
4.8. Вычислите дивергенцию электрического поля E точечного заряда e,
помещенного в точку (x 0, y 0, z 0 ).
r
y
z
4.9. Вычислите ротор векторного поля a = xi + 2
j- 2
k в точках, где
2
y +z
y + z2
y 2 + z 2 ¹ 0 , и циркуляцию этого поля вдоль окружности L : {y 2 + z 2 = 1 ,
( )
( )
( )
x = x 0 }.
r
r
r
r
4.10. Найдите поток векторного поля r = xi + yj + zk : а) через внешнюю сторону
боковой поверхности конуса x 2 + y 2 £ z 2 ( 0 £ z £ h ); б) через внутреннюю
сторону основания этого конуса.
r
4.11. Найдите поток векторного поля a = yzi + xzj + xyk в направлении внешней
нормали к поверхности: а) через боковую поверхность цилиндра x 2 + y 2 £ a 2
( 0 £ z £ h ); б) через полную поверхность этого цилиндра.
r
4.12. Найдите поток векторного поля a = x 2i + y 2 j + z 3 k через сферу x 2 + y 2 + z 2 = x
в направлении внешней нормали к поверхности.
r
4.13. Проверьте, что векторное поле a является потенциальным и найдите его
скалярный потенциал:
r
4.13.1. a = 2xyzi + x 2zj + x 2y k ;
r
x
y
i+ 2
j ( x 2 + y 2 ¹ 0 );
4.13.2. a = 2
2
x +y
x + y2
r
4.13.3. a = yz (2x + y + z )i + xz (x + 2y + z ) j + xy (x + y + 2z )k .
74
r
4.14. Убедитесь, что векторное поле a =
2
x
x
3 k является
(y + z ) 2
(y + z ) 2
(y + z ) 2
потенциальным и найдите работу этого поля вдоль пути, соединяющего точки
(
)
(
1
i-
3
j-
)
M 1, 1, 3 и N 2, 4, 5 и расположенного в октанте x > 0, y > 0, z > 0 .
2
2
r
4.15. Покажите, что векторное поле a = ye x i + 2yzj - 2xyze x + z 2 k является
(
)
соленоидальным.
10. Задачи повышенной трудности.
5.1.Вычислите, если
r
r
r
r
r
r
r
r
r = xi + yj + zk , r = x 2 + y 2 + z 2 , a = a1i + a 2 j + a 3k - постоянный вектор:
r r r
5.1.6. div grad (r 4 );
5.1.1. div (r 5 (a , r )r ) ;
r r 5
r r r
5.1.7. div grad (a , r ) ;
5.1.2. rot (r 5 (a , r )r ) ;
r r r
r r 4
5.1.3. rot (r (a , r )r ) ;
5.1.8. grad r ×(a , r ) ;
r r 7
r r
5.1.4. grad r ×(a , r ) ;
5.1.9. div grad (r 2 (a , r )) ;
r r
r r r
5.1.5. grad (r 7 (a , r )) ;
5.1.10. div (r 2 (a , r )×r ) .
r
5.2. Разложите векторное поле a = (x + y )i + (x - y ) j + (z + 1)k на сумму
потенциального и соленоидального полей.
r
x
y
5.3. Проверьте, что векторное поле a = 2
i+ 2
j является
2
x +y
x + y2
соленоидальным, и найдите его векторный потенциал.
(
(
(
)
)
)
Тема 3. Числовые ряды.
1 Определения.
1.1. Сформулируйте определение частичной суммы числового ряда.
1.2.Сформулируйте определение сходящегося числового ряда.
1.3.Сформулируйте определение расходящегося числового ряда.
1.4.Сформулируйте определение абсолютно сходящегося ряда.
1.5.Сформулируйте определение условно сходящегося ряда.
2. Основные теоремы и формулы (без доказательства).
2.1. Сформулируйте критерий Коши сходимости числового ряда.
2.2. Сформулируйте необходимое условие сходимости ряда.
2.3. Сформулируйте необходимое и достаточное условие сходимости ряда с
положительными членами.
2.4. Сформулируйте признак сравнения рядов с положительными членами.
2.5. Сформулируйте признак Даламбера сходимости ряда с положительными членами.
2.6. Сформулируйте признак Коши сходимости ряда с положительными членами.
2.7. Сформулируйте интегральный признак сходимости ряда с положительными
членами.
2.8. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
2.9. Сформулируйте признак Дирихле-Абеля сходимости знакопеременного ряда.
2.10. Сформулируйте теорему о перестановке членов суммы абсолютно сходящегося
ряда.
2.11. Сформулируйте теорему Римана о перестановке членов суммы условно
сходящегося ряда.
75
3. Теоремы с доказательством.
3.1. Докажите теорему о критерии Коши сходимости числового ряда.
3.2. Докажите теорему о необходимом условии сходимости ряда.
3.3. Докажите теорему о необходимом и достаточном условии сходимости ряда с
положительными членами.
3.4. Докажите теорему о признаке сравнения рядов с положительными членами.
3.5. Докажите теорему о признаке Даламбера сходимости ряда с положительными
членами.
3.6. Докажите теорему о признаке Коши сходимости ряда с положительными членами.
3.7. Докажите интегральный признак сходимости ряда с положительными членами.
3.8. Докажите теорему о признаке Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
3.9. Докажите теорему о признаке Дирихле-Абеля сходимости знакопеременного ряда.
3.10. Докажите теорему о связи сходимости и абсолютной сходимости ряда.
3.11. Докажите теорему о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда.
4.
Вопросы и задачи.
4.1. Найдите сумму ряда:
¥
1
а) å
;
n = 1 n (n + 1)
n
¥
¥
(- 1)
б) å x k ; в) å
;
2n
n=1
n=1
¥
1
;
n = 1 (3n - 2)(3n + 1)
¥
1
д) å
.
n = 0 (2n + 3)(2n + 5)
г) å
4.2. Пользуясь критерием Коши, докажите сходимость ряда:


sin( nx)
cos x n
а) 
; б)  2 .
2n
n
n 1
n 1
4.3. Пользуясь критерием Коши, докажите, что ряд расходится:
¥
¥

1
1
1
а) å
; б) å arcsin
; в)  .
n
n
n 1 n
n=1
n=1
4.4. Исследуйте ряды на сходимость:
¥

(n !)2
1 n -n
4.4.9.  n 2 ;
1+
e ;
4.4.1.
n
n 1 2
n=1
2
å (
)
¥
¥
4.4.2.
å
4.4.10.
sin n ;
¥
ån = 1 (n
2
sin
1

2
n + n + 1
å
ån = 1

4.4.6.

n 1
1
(n
1000 n
n!
+ 1)(n + 2)
2
n2

n 
4.4.12.  3 
 ;
n  1
n 1
n
n=1
4.4.5.
n

);
cos (n 2 );
¥
1
;
n
1

4.4.11.
n 2  ;
n

n 1
¥
4.4.4.
n sin
n=1
n=1
4.4.3.
å

;
4.4.13.
2

n 1
n
cos 2
¥
n
;
3
æ1 + cos n ö
÷
ç
4.4.14.
÷
çè2 + cos n ÷
ø
n=1
2 n - ln n
å
;
¥
3n n !
ån = 1 n n ;
¥
2n n !
4.4.8. å
;
n
n=1 n
¥
4.4.7.
4.4.15.
ln n
ån = 1 n
p
¥
4.4.16.
76
å
n= 2 n
p
p > 1;
1
, p £ 1;
ln n
;

4.4.17.

1
 n ln
n2
p
n
;
¥
4.4.18.
4.4.19.


n 1
n 1  n

p
ln
n 1
.
n 1
1
;
å
n = 2 n ln n (ln ln n )
4.5. Исследуйте ряды на сходимость и абсолютную сходимость:
¥

cos n
( 1)n 

4.5.1. å
,
4.5.6.  ln  1  p  ;
n
n 
n=1

n 1
n- 1
¥
(- 1)
n
4.5.2. å
;
 sin
p+ 1
4 ;
n=1 n
4.5.7. 
¥
sin n
n  2 ln n
4.5.3. å
;
¥
p
arct g n
n=1 n
4.5.8. å (- 1)n
;

n
n=1
(1)n1

4.5.4. 
;
nP
4.5.9.  sin( n 2  k 2 ) .
n 1
¥
4.5.5.
å
n= 0
5.
(
n 1
)
cos p n 2 + n ;
Задачи повышенной трудности.
5.1. Исследуйте ряды на сходимость:
¥

1
ln n !
5.1.2.
.
5.1.1. 
;
å

n
n = 2 ln (n !)
n 1
5.2. Исследуйте ряды на сходимость и абсолютную сходимость:


5.2.1.
sin
4
n 1 n  sin
p

¥
n
n
5.2.2.
;
¥
5.3.
5.4.
1)n + 1
p+
n
1
;
n
 1 n 1


n 
n
(- 1) (2n + 1)
.
ån = 0
2n
Пусть bn  0 и bn  0 при n   . Можно ли утверждать, что ряд
Найдите сумму ряда

  1
n 1
5.5.
(-
4
sin n  ln  1 


n 1
5.2.3.
å
n=1
n
bn сходится? Обоснуйте ответ.

bn
 1 . Можно ли утверждать, что ряд
n  a
n 1
n
также сходится? Обоснуйте ответ.
Пусть ряд
 an сходится и lim

b
n 1
Тема 4. Функциональные последовательности и ряды.
2 Определения.
1.1. Сформулируйте два определения равномерной сходимости функциональной
последовательности.
1.2. Сформулируйте определение равномерной сходимости функционального ряда.
1.3.Сформулируйте отрицание к определению равномерной сходимости
функциональной последовательности.
1.4.Сформулируйте отрицание к определению равномерной сходимости
функционального ряда.
1.5. Сформулируйте определение сходимости в среднем функциональной
последовательности.
77
n
1.6. Сформулируйте определение сходимости в среднем функционального ряда.
1.7.Сформулируйте определение равномерно ограниченной функциональной
последовательности.
1.8.Сформулируйте определение равностепенно непрерывной функциональной
последовательности.
3. Основные теоремы и формулы (без доказательства).
3.1. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости функциональной
последовательности.
3.2. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.
3.3. Сформулируйте мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости
функционального ряда.
3.4. Сформулируйте признак Дирихле-Абеля равномерной сходимости функционального
ряда.
3.5. Сформулируйте
теорему
о
непрерывности
предела
функциональной
последовательности.
3.6. Сформулируйте теорему о непрерывности суммы функционального ряда.
3.7. Сформулируйте теорему о переходе к пределу под знаком производной для
функциональной последовательности.
3.8. Сформулируйте теорему о почленном дифференцировании функционального ряда.
3.9. Сформулируйте теорему о переходе к пределу под знаком интеграла для
функциональной последовательности.
3.10. Сформулируйте теорему о почленном интегрировании функционального ряда.
3.11. Сформулируйте теорему Арцела.
3. Теоремы с доказательством.
3.1. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости функциональной
последовательности. Докажите необходимость условия Коши.
3.2. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости функционального
ряда. Докажите необходимость условия Коши.
3.3. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости функциональной
последовательности. Докажите достаточность условия Коши.
3.4. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости функционального
ряда. Докажите достаточность условия Коши.
3.5. Докажите теорему о мажорантном признаке Вейерштрасса равномерной
сходимости функционального ряда.
3.6. Докажите теорему о
признаке Дирихле-Абеля равномерной сходимости
функционального ряда
3.7. Докажите
теорему
о
непрерывности
предела
функциональной
последовательности.
3.8. Докажите теорему о непрерывности суммы функционального ряда.
3.9. Докажите теорему о переходе к пределу под знаком производной для
функциональной последовательности.
3.10. Докажите теорему о почленном дифференцировании функционального ряда.
3.11. Докажите теорему о переходе к пределу под знаком интеграла для равномерно
сходящейся функциональной последовательности.
3.12. Докажите теорему о переходе к пределу под знаком интеграла для
функциональной последовательности, сходящейся в среднем.
3.13. Докажите теорему о почленном интегрировании функционального ряда,
сходящегося в среднем.
4.
Вопросы и задачи.
4.6.Найдите предел и исследуйте на равномерную сходимость функциональную
последовательность на заданном промежутке:
78
4.6.1. fn (x ) =
4.6.2. fn (x ) =
x   0,1 ;
4.6.3. fn (x ) =
x   0,1 ;
4.6.4. fn (x ) =
x n , x Î (0,1);
4.6.9. fn (x ) = arct g (nx ) ,
x Î (- ¥ ; + ¥ );
4.6.10. fn (x ) = e - nx а) x Î (0,1);
б) x Î [1, ¥ );
arcsin (x n ),
arct g (x n ) ,
4.6.11. fn (x ) = x n - x n + 1 , x Î [0;1];
n
1
x , x   0,1 ;
4.6.12. fn (x ) =
,
2 2
1
+
n
x
æ1 ö
4.6.5. fn (x ) = arct g çç n ÷
,
x Î (- ¥ ; + ¥ );
èx ÷
ø
2nx
x   0,1 ;
4.6.13. fn (x ) =
,
2 2
1
+
n
x
1
4.6.6. fn (x ) =
,
а) x Î [1; + ¥ ) ; б) x Î [0;1];
1 + (x - n )2
nx 2
x Î (- ¥ ; + ¥ );
4.6.14. fn (x ) =
,
1
+
nx
- nx 2
4.6.7. fn (x ) = e
,
x Î [0; + ¥ ) ;
x Î (- ¥ ; + ¥ );
nx
4.6.15. fn (x ) =
,
n
(
)
4.6.8. fn x = ln (1 - x ),
1 + n 4x 4
x   0,1 ;
x Î (- ¥ ; + ¥ ).
n
4.1.Докажите, что последовательность fn (x ) = nx (1 - x ) сходится неравномерно на
1
сегменте [0;1], но lim ò fn
n® ¥
0
1
(x )dx
=
ò lim f
n
n® ¥
)¢
(
n® ¥
x=1
4.3.Докажите,
что
.
0
4.2.Докажите, что последовательность fn (x ) =
(;+), но lim fn (x )
(x )dx
1
arct g (x n ) сходится равномерно на
n
æ
ö
.
¹ lim ççfn ¢(x ) ÷
÷
n® ¥ è
x=1ø
последовательность
fn (x ) = x 2 +
1
pö
æ
sin n ççx + ÷
è
ø
n
2÷
сходится
¢
равномерно на (;+), но соотношение lim fn (x ) = lim fn ¢(x ) не имеет места.
(
n® ¥
)
n® ¥
¥
n
.
n
n=1 x
4.5.Определите области сходимости и абсолютной сходимости функционального ряда:
+¥
+ ¥ sin k
(- 1)k
4.5.1. å k = 1 x ;
4.5.2. å
.
x
k
k
k = 1 2k + (- 1)
4.6.Исследуйте ряд на равномерную сходимость.
+¥
+¥
(- 1)k
4.6.1. å e - kx , x Î (0; + ¥ ) ;
4.6.4. å k = 1
,
k + x
k= 1
+¥
x Î [0; + ¥ ) ;
arct g(2kx )
4.6.2. å
,
k k
k= 1
x Î (- ¥ ; + ¥ ) ;
4.4.Определите область сходимости функционального ряда
¥
kx
,
4 2
k= 1 1 + k x
x Î (- ¥ ; + ¥ ) ;
4.6.3.
å
79
å
¥
sin kx
, x Î [e, 2p - e ], где e > 0 , 0     .
k
k= 1
4.7.Определите радиус и интервал сходимости степенного ряда:
4.6.5.
å
n n
2
k
¥
(3 + (- 1) ) n
æ 1÷
ö k
4.7.3. å
x .
4.7.1. å çç1 + ÷ x ;
è
n
kø
n=1
k= 1
+¥
(k !)2 k
4.7.2. å
x ;
k = 1 (2k )!
4.8.Укажите область определения функции f (x ) и исследуйте функцию на
непрерывность:
+¥
+¥
1
sin k
4.8.1. f (x ) = å x ,
4.8.2. f (x ) = å
.
x
k= 1 k
k= 1 k
¥
sin nx
4.9.Докажите, что функция f (x ) = å
непрерывна и имеет непрерывную
n3
n=1
производную на интервале (- ¥ ; ¥ ).
4.10. Найдите сумму степенного ряда и укажите область сходимости:
+¥
+¥
(- 1)k 2k
4.10.1. å x k ;
4.10.4. å
x ;
k= 1
k = 0 (2k )!
+¥
+¥
xk
xk
4.10.2. å
;
4.10.5. å
;
k= 0 k !
k= 1 k
+¥
¥
(- 1)k
2k + 1
4.10.3. å
;
4.10.6. å nx n .
x
k = 0 (2k + 1)!
n=1
4.11. Получите разложение в степенной ряд функции f (x ) = arct g x . Найдите сумму
+¥
¥
n+1
(- 1)
ряда å
. Указание: сначала разложите в степенной ряд производную
n = 1 2n - 1
f (x ) = arct g x , а потом примените почленное интегрирование.
4.12. Докажите, что функциональная последовательность fn (x ) = x n 1 - x сходится в
каждой точке и в среднем на сегменте [0;1] к функции f (x ) = 0 .
4.13. Докажите, что функциональная последовательность fn (x ) = nx n 1 - x сходится
в каждой точке сегмента [0;1] к функции f (x ) = 0 и не сходится в среднем на
сегменте [0;1] к этой функции.
6.
Задачи повышенной трудности.
5.1.Найдите предел и исследуйте на равномерную сходимость функциональную
последовательность fn (x ) = x n на промежутке x Î [0,1].
5.2.При каких значениях параметра α последовательность fn (x ) = n a xe - nx (a) сходится
на сегменте [0;1], (b) сходится равномерно на сегменте [0;1]?
¥
5.3.Докажите, что функциональный ряд
å
x k на промежутке x(1;1) не является
k= 0
равномерно сходящимся.
¥
å
5.4.Докажите, что функциональный ряд
k
(- 1) x k
на промежутке x(1;1) не
k= 0
является равномерно сходящимся.
5.5.Докажите, что функциональный ряд
¥
å
kx k на промежутке x(0;1) не является
k= 1
равномерно сходящимся.
80
¥
5.6.Докажите, что функциональный ряд
å
k
(- 1) kx k на промежутке x(1;1) не
k= 1
является равномерно сходящимся.
5.7.Исследуйте сходимость ряда в граничных точках интервала сходимости:
n
k2
¥
+¥
(3 + (- 1)n ) n
æ 1÷
ö k
5.7.3. å
x .
5.7.1. å çç1 + ÷ x ;
è
n
kø
n=1
k= 1
+¥
(k !)2 k
åk = 1 (2k )! x ;
5.8. Приведите пример функциональной последовательности, которая сходится к
функции f (x ) в каждой точке сегмента [a, b ], но не сходится к f (x ) в среднем на
[a, b ].
5.9. Приведите пример функциональной последовательности, которая сходится в
среднем к некоторой функции на сегменте [a, b ], но не сходится ни в одной точке
этого сегмента.
5.10. Докажите, что если функциональная последовательность {fn¢(x )} равномерно
5.7.2.
ограничена на промежутке X , то функциональная последовательность {fn (x )}
равностепенно непрерывна на промежутке X .
5.11. Приведите пример функциональной последовательности, которая ограничена в
каждой точке x  X , но не является равномерно ограниченной на множестве X .
n
5.12. Докажите, что функциональная последовательность fn (x ) 
сходится
x n
неравномерно на множестве 0,   , но предельная функция непрерывна на этом
множестве.
5.13. Приведите пример функциональной последовательности fn (x ) , которая
сходится неравномерно к функции f (x ) на промежутке X , и при этом
x
lim
n 
x
 f (t )dt   f (t )dt , где x , x   X .
n
x0
0
x0
5.14. Приведите пример функциональной последовательности fn (x ) , такой, что
каждая функция fn (x ) равномерно непрерывна на сегменте a, b  , но
последовательность не является равностепенно непрерывной на этом сегменте.
Тема 5. Несобственные интегралы.
1. Определения.
1.1.Сформулируйте определение несобственного интеграла I рода.
1.2.Сформулируйте определение несобственного интеграла II рода.
2. Основные теоремы и формулы (без доказательства).
2.1.Сформулируйте критерий Коши сходимости несобственного интеграла I рода.
2.2.Сформулируйте критерий Коши сходимости несобственного интеграла II рода.
2.3.Сформулируйте признак сравнения для несобственных интегралов I рода.
2.4.Сформулируйте признак сравнения для несобственных интегралов II рода.
2.5.Сформулируйте признак Дирихле-Абеля для несобственного интеграла I рода.
3. Теоремы с доказательством.
3.1.Докажите теорему о критерии Коши сходимости несобственного интеграла I рода.
3.2.Докажите теорему о критерии Коши сходимости несобственного интеграла II рода.
3.3.Докажите теорему о признаке сравнения для несобственных интегралов I рода.
3.4.Докажите теорему о признаке сравнения для несобственных интегралов II рода.
3.5.Докажите теорему о признаке Дирихле-Абеля для несобственного интеграла I рода.
81
4. Вопросы и задачи.
Исследуйте интегралы на сходимость:
+¥ x2 + 1
ò0 x 4 + 1 dx ;
+¥ x3 + 1
ò0 x 4 + 1 dx ;
+ ¥ ln(1 + x 3 )
ò0 x 3 x dx ;
+ ¥ ln(1 + x 3 )
ò0 x 4 x dx ;
Докажите, что интеграл сходятся:
ò
ò
+¥
0
+¥
+¥
ò ( x + 1 - x - 1)dx ;
ò ( x + 1 - x - 1)dx ;
ò x sin(x )dx .
1
+¥
3
1
+¥
3
3
0
x 2e - xdx ;
x ne - xdx , n Î Z , n > - 1 .
0
Докажите, что интеграл сходится, и вычислите его:
+¥
2
ò
ò x ln xdx ;
ò
ò
xe - x dx ;
0
1
+¥
0
+¥
0
e - x sin xdx ;
e - x cos xdx .
0
Исследуйте интеграл на сходимость и вычислите в случае сходимости.
+¥
+ ¥ sin(ln x )
dx .
ò1 sin(ln x )dx ;
ò1
x2
+ ¥ sin(ln x )
dx ;
ò1
x
Найдите, при каких значениях параметра p сходится интеграл:
+¥
1 dx
dx
;
ò2 x (ln x )p ;
ò0 x p
+ ¥ dx
+¥
arctg(ax ) dx
ò1 x p ;
,a > 0.
p
ò
x
0
Найдите, при каких значениях параметра p интеграл сходится
абсолютно и при каких − условно:
+¥
sin x
ò0 x p dx ;
5. Задачи повышенной трудности.
ò
1
+¥
cos x
dx .
xp
+¥
5.1.Вычислите
2
- x
ò e dx .
0
¥
5.2.Пусть
ò f (x )dx
сходится. Следует ли из этого, что f (x ) ® 0 при x ® + ¥ ?
a
Ответ обоснуйте.
¥
5.3.Пусть
f (x ) - монотонная функция при x Î (a; + ¥ ),
ò f (x )dx
a
æ1 ö
Докажите, что f (x ) = o çç ÷
÷ при x ® + ¥ .
èx ø
82
сходится.
Тема 6. Интегралы, зависящие от параметра.
1. Определения.
1.1. Сформулируйте определение равномерной сходимости несобственного интеграла I
рода, зависящего от параметра.
1.2. Сформулируйте определение равномерной сходимости несобственного интеграла
II рода, зависящего от параметра.
1.3.Сформулируйте
отрицание
к
определению
равномерной
сходимости
несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.
1.4.Сформулируйте
отрицание
к
определению
равномерной
сходимости
несобственного интеграла II рода, зависящего от параметра.
2. Основные теоремы и формулы (без доказательства).
2.1. Сформулируйте теорему о непрерывности собственного интеграла, зависящего от
параметра.
2.2. Сформулируйте теорему об интегрировании по параметру собственного
интеграла, зависящего от параметра.
2.3. Сформулируйте теорему о дифференцировании по параметру собственного
интеграла, зависящего от параметра.
2.4. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости несобственного
интеграла I рода, зависящего от параметра.
2.5. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости несобственного
интеграла II рода, зависящего от параметра.
2.6. Сформулируйте признак Вейерштрасса (мажорантный) равномерной сходимости
несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.
2.7. Сформулируйте
признак
Дирихле-Абеля
равномерной
сходимости
несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.
2.8. Сформулируйте теорему о непрерывности несобственного интеграла I рода,
зависящего от параметра.
2.9.Сформулируйте теорему об интегрировании по параметру несобственного
интеграла I рода, зависящего от параметра.
2.10.
Сформулируйте
теорему
о
дифференцировании
по
параметру
несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.
3. Теоремы с доказательством.
3.1. Докажите теорему о критерии Коши равномерной сходимости несобственного
интеграла I рода, зависящего от параметра.
3.2. Докажите теорему о непрерывности по параметру несобственного интеграла I
рода, зависящего от параметра.
3.3. Докажите теорему об интегрировании по параметру несобственного интеграла I
рода, зависящего от параметра.
3.4.Докажите теорему о дифференцировании по параметру несобственного интеграла I
рода, зависящего от параметра.
4. Вопросы и задачи.
4.1. Запишите формулу для гамма-функции G(p ) в виде несобственного интеграла.
Укажите область сходимости.
4.2. Укажите области равномерной сходимости для гамма-функции G(p ) .
4.3.Докажите, что гамма-функция G(p ) непрерывна при p > 0 .
4.4. Докажите, что гамма-функция G(p ) при p > 0 имеет производную любого
порядка.
4.5. Докажите, что гамма-функция удовлетворяет тождеству G(p + 1) = pG(p ) при
p  0.
83
4.6.Напишите формулу для бета-функции B (p, q ) в виде несобственного интеграла.
Укажите область сходимости.
4.7. Напишите формулу, выражающую бета-функцию через гамма-функцию, и
докажите, что B (p, q ) непрерывна в области p > 0 , q > 0 .
4.8.Исследуйте интеграл на равномерную сходимость в указанном промежутке
изменения параметра p, используя определение равномерной сходимости
несобственного интеграла.
+¥
1
dx
dx
4.8.1. ò p , p Î (1; + ¥ ) . ò p , p Î (0;1) ;
x
x
1
0
+¥
ò pe
4.8.2.
- px
dx , а) p Î [a ;b ] , 0 < a < b , б) p Î [0;b ] , b > 0 ;
0
+¥
òe
4.8.3.
sin xdx , а) p Î (0; + ¥ ) , б) p Î [a ; + ¥ ) , a > 0 ;
- px
0
+¥
òe
4.8.4.
- px
dx а) p Î (0; + ¥ ) ; б) p Î [a ; + ¥ ) , a > 0 .
0
4.9. Исследуйте интеграл на равномерную сходимость в указанном промежутке
изменения параметра p, используя признаки равномерной сходимости интеграла.
+¥
+¥
sin x
cos x - px
e dx ,
4.9.1. ò p dx ,
4.9.3. ò
x
x
1
1
p Î [a ; + ¥ ) , a > 0 ;
p Î [0; + ¥ ) ;
1
xp
ò 1 - x dx ,
0
p Î [0; + ¥ ) :
4.9.2.
4.10. Докажите, что функция f ( p) =
ò
+¥
- ¥
cos( px )
dx непрерывна на промежутке
1 + x2
p Î (- ¥ ; + ¥ ) .
ò
4.11. Для каких значений p сходится интеграл
1
0
2
x p (ln x ) dx ? Вычислите его,
1
дифференцируя по параметру интеграл
ò x dx .
p
Обоснуйте возможность
0
применения этого метода.
4.12. Вычислите:
4.12.1.
4.12.2.
ò
+¥
2
x 2e - x dx , дифференцируя по параметру интеграл
- ¥
1
2p
1
2p
ò
+¥
- ¥
ò
+¥
- ¥
x2
4
2
xe
dx ,
дважды
дифференцируя
по
ò
+¥
- ¥
2
e - px dx ;
параметру
интеграл
2
e - px dx .
+¥
sin x - px
e dx , p > 0 , дифференцируя по параметру.
0
x
4.13.
Укажите область сходимости интеграла и выразите его через интегралы
Эйлера .
4.12.3.
ò
4.13.1.
ò
+¥
2
t p- 1e - t dt ;
4.13.2.
0
ò
+¥
0
84
p
e - x dx ;
4.13.3.
ò
1
0
p
(- ln t ) dt ;
4.13.5.
0
x p- 1
4.13.4. ò
dx ;
0
(1 + x )q
Задачи повышенной трудности.
+¥
5.
ò
x p- 1
dx q  0  ;
1 + xq
+¥
4.13.6.
ò
æ
ö
- 1÷
çç ÷
÷
p çè p ÷
ø
1
(1 - x )
0
¥
ò
dx , p > 0 .
sin x
dx на равномерную
xp
5.1.
С помощью критерия Коши исследуйте интеграл
5.2.
сходимость на промежутке p Î (0; + ¥ ) .
Докажите, что функция f(p) непрерывна на указанном промежутке
1
5.2.1.
f ( p) =
ò
+¥
0
+¥
5.2.2.
f ( p) =
ò
0
5.3.
2
e - ( x - p ) dx , p Î (0; + ¥ ) ;
x
dx , p Î (2; + ¥ ) .
1+ xp
Для каких значений q сходится интеграл
ò
+¥
2
xe - x sin qxdx ? Вычислите его,
0
дифференцируя
по
параметру интеграл
ò
+¥
2
e - x cos qxdx . Обоснуйте
0
возможность применения этого метода.
Тема 7. Кратные несобственные интегралы, зависящие от параметра.
1. Определения.
1.1. Сформулируйте определение равномерной сходимости в точке M o несобственного
интеграла вида
ò ò ò f (M , P )g(P )dV
P
.
G
2.
Основные теоремы и формулы (без доказательства).
2.1.
Сформулируйте теорему о достаточных условиях равномерной сходимости в
точке M o несобственного интеграла
ò ò ò f (M , P )g(P )dV
P
.
G
3.
Теоремы с доказательством.
3.1.
Докажите теорему о достаточных условиях равномерной сходимости в точке
M o несобственного интеграла
ò ò ò f (M , P )g(P )dV
P
.
G
3.2.
Докажите, что если несобственный интеграл u (M ) =
ò ò ò f (M , P )g(P )dV
P
G
сходится равномерно относительно M в точке M 0 , то функция u (M )
непрерывна в точке M 0 .
4. Вопросы и задачи.
4.1.
Напишите выражение для ньютонова потенциала.
4.2.
Напишите формулы для частных производных первого порядка ньютонова
потенциала.
5. Задачи повышенной трудности.
5.1.
Докажите, что ньютонов потенциал является непрерывной функцией.
85
Тема 8. Ряды Фурье.
1. Определения.
1.1.Сформулируйте определение кусочно-непрерывной функции на отрезке [a, b ].
1.2.Сформулируйте определение кусочно-гладкой функции на отрезке [a, b ].
1.3. Что такое тригонометрическая система функций на отрезке [- l, l ]?
1.4. Какой ряд называют рядом Фурье функции f (x ) по тригонометрической системе
функций на отрезке [- l, l ]?
1.5. Сформулируйте определение бесконечномерного евклидова пространства.
1.6.Что такое евклидово пространство кусочно-непрерывных функций Q [a, b]?
1.7. Сформулируйте определение нормированного пространства.
1.8.Сформулируйте определения ортогональной и ортонормированной систем в
бесконечномерном евклидовом пространстве.
1.9. Что такое ряд Фурье элемента f бесконечномерного евклидова пространства по
ортогональной системе {y n }? Напишите выражение для коэффициентов Фурье
элемента f .
1.10. Сформулируйте определение сходимости ряда Фурье элемента f к этому
элементу по норме данного пространства.
1.11. Сформулируйте определение замкнутой системы в бесконечномерном
евклидовом пространстве.
1.12. Сформулируйте определение полной системы в бесконечномерном евклидовом
пространстве.
2. Основные теоремы и формулы (без доказательства).
2.1. Запишите ряд Фурье функции f (x ) по тригонометрической системе функций на
отрезке [- p ; p ] и выражения для коэффициентов этого ряда.
2.2. Запишите ряд Фурье функции f (x ) по тригонометрической системе функций на
отрезке [- l;l ] и выражения для коэффициентов этого ряда.
2.3. Запишите тригонометрический ряд Фурье функции f (x ) в комплексной форме на
отрезке [- l;l ] и выражения для коэффициентов этого ряда.
2.4. Сформулируйте теорему о поточечной сходимости и сумме тригонометрического
ряда Фурье
2.5. Запишите ряд Фурье элемента f бесконечномерного евклидова пространства по
ортогональной системе элементов этого пространства и выражения для
коэффициентов этого ряда.
2.6. Сформулируйте теорему об экстремальном свойстве частичных сумм ряда Фурье
элемента f бесконечномерного евклидова пространства по ортонормированной
системе элементов этого пространства.
2.7. Запишите тождество Бесселя для элемента f бесконечномерного евклидова
пространства.
2.8. Запишите неравенство Бесселя для элемента f бесконечномерного евклидова
пространства.
2.9. Запишите неравенство Бесселя для коэффициентов ряда Фурье функции f (x ) по
тригонометрической системе функций на отрезке [- p ; p ].
2.10. Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии замкнутости
ортонормированной системы в бесконечномерном евклидовом пространстве.
2.11. Сформулируйте теорему о связи замкнутости и полноты ортонормированной
системы в бесконечномерном евклидовом пространстве.
86
2.12. Сформулируйте теорему о равномерной сходимости тригонометрического ряда
Фурье функции f (x ) на отрезке [- p ; p ].
2.13. Сформулируйте теорему об m – кратном почленном дифференцировании
тригонометрического ряда Фурье функции f (x ) на отрезке [- p ; p ].
2.14. Сформулируйте теорему об аппроксимации непрерывной на сегменте [- l;l ]
функции тригонометрическим многочленом.
2.15. Сформулируйте теорему об аппроксимации непрерывной на сегменте [a;b ]
функции алгебраическим многочленом.
2.16. Сформулируйте теорему о замкнутости тригонометрической системы функций.
3. Теоремы с доказательством.
3.1. Докажите теорему об аппроксимации непрерывной на сегменте функции
непрерывной кусочно-гладкой функцией.
3.2. Докажите, что если f (x ) - кусочно-непрерывная на сегменте [a;b ] функция, то
b
ò f (x )cos l xdx ® 0 при l ® ¥ и
a
b
ò f (x )sin l xdx ®
0 при l ® ¥ .
a
3.3. Докажите теорему о поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье.
3.4. Докажите теорему об экстремальном свойстве частичных сумм ряда Фурье
элемента f бесконечномерного евклидова пространства по ортонормированной
системе элементов этого пространства. Обоснуйте тождество Бесселя и
неравенство Бесселя.
3.5. Докажите теорему о необходимом и достаточном условии замкнутости
ортонормированной системы в бесконечномерном евклидовом пространстве.
3.6. Докажите, что если ортонормированная система в бесконечномерном евклидовом
пространстве замкнута, то любой элемент пространства можно разложить в ряд
Фурье по этой системе, сходящийся к данному элементу по норме пространства.
Докажите единственность такого разложения.
3.7. Докажите теорему о связи замкнутости и полноты ортонормированной системы в
бесконечномерном евклидовом пространстве.
3.8. Докажите теорему о равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье
функции f (x ) на отрезке [- p ; p ].
3.9. Докажите теорему об m – кратном почленном дифференцировании
тригонометрического ряда Фурье функции f (x ) на отрезке [- p ; p ].
3.10. Докажите теорему об аппроксимации непрерывной на сегменте [- p ; p ] функции
тригонометрическим многочленом.
3.11. Докажите теорему об аппроксимации непрерывной на сегменте [a;b ] функции
алгебраическим многочленом.
3.12. Докажите теорему о замкнутости тригонометрической системы функций в
пространстве Q [- p; p ].
4. Вопросы и задачи.
4.1. Приведите пример бесконечной ортогональной системы функций на отрезке
[- p ; p ], каждый элемент которой ортогонален всем функциям sin nx , n ³ 1 .
Является ли эта система полной?
4.2. Приведите пример бесконечной системы функций на отрезке [- p ; p ], которая не
является замкнутой в пространстве Q [- p; p ], но если к ней добавить еще одну
функцию, то она станет замкнутой.
4.3. Приведите пример бесконечной системы функций на отрезке [- p ; p ], которая не
является замкнутой в пространстве Q [- p; p ], но является замкнутой в
87
подпространстве пространства Q [- p; p ], состоящем из всех четных кусочнонепрерывных функций.
4.4. Приведите пример бесконечной ортогональной системы функций на отрезке
[- p ; p ], которая не является полной в пространстве Q [- p; p ].
4.5. Приведите пример бесконечной ортогональной системы функций на отрезке
[- p ; p ], которая не является замкнутой в пространстве Q [- p; p ].
4.6. Верно ли, что для любой кусочно-непрерывной на отрезке [- p ; p ] функции f (x ) ,
её ряд Фурье по тригонометрической системе сходится в среднем на указанном
отрезке? Ответ обоснуйте ссылкой на теорему.
4.7. Верно ли, что для любой 2p – периодической непрерывно дифференцируемой на
всей числовой оси функции f (x ) её ряд Фурье по тригонометрической системе
сходится к f (x ) равномерно на всей числовой оси? Ответ обоснуйте ссылкой на
теорему.
4.8. Верно ли, что для любой 2p – периодической дважды непрерывно
дифференцируемой на всей числовой оси функции f (x ) её ряд Фурье по
тригонометрической системе можно дифференцировать почленно и ряд из
производных сходится к f ¢(x ) равномерно на отрезке [- p ; p ]? Ответ обоснуйте
ссылкой на теорему.
4.9. Верно ли, что для любой кусочно-непрерывной на отрезке [- p ; p ] функции f (x ) её
ряд Фурье по тригонометрической системе можно интегрировать почленно и ряд
из интегралов сходится к интегралу от функции f (x ) равномерно на отрезке
[- p ; p ]? Ответ обоснуйте ссылкой на теорему.
4.10. Сформулируйте достаточные условия того, что ряд Фурье функции f (x ) ,
заданной на отрезке [0; p ], по системе функций {sin nx , n ³ 1}, сходится в каждой
точке числовой оси. Чему равна при этом сумма указанного ряда Фурье?
4.11. Сформулируйте достаточные условия того, что ряд Фурье функции f (x ) ,
заданной на отрезке [0; p ], по системе функций {cosnx , n ³ 0}, сходится в
каждой точке числовой оси. Чему равна при этом сумма указанного ряда Фурье?
4.12. Пусть f (x ) – непрерывная кусочно-гладкая функция на отрезке [- p ; p ],
f (- p ) = f (p ) , a n , bn – коэффициенты ряда Фурье функции f (x ) по
тригонометрической системе. При каких p справедливы равенства an = o (n - p ) ,
bn = o (n - p )?
4.13. Найдите разложение в ряд Фурье функции f (x ) = x , x Î (- p; p ] по
тригонометрической системе функций и нарисуйте график его суммы на отрезке
[- 2p ;2p ].
4.14. Найдите разложение в ряд Фурье функции f (x ) = 1 , x Î (0; p ), по системе
{
}
функций sin nx , n ³ 1 и нарисуйте график его суммы на отрезке [- 2p ;2p ].
4.15. Найдите разложение в ряд Фурье функции f (x ) = 1 , x Î (0; p ), по системе
{
}
функций cos nx , n ³ 0 и нарисуйте график его суммы на отрезке [- 2p ;2p ].
4.16. Найдите разложение в
{
ряд Фурье функции f (x ) = x , x Î (0; p ), по системе
}
функций sin nx , n ³ 1 и нарисуйте график его суммы на отрезке [- 2p ;2p ].
88
4.17. Найдите разложение в ряд Фурье функции f (x ) = x , x Î (0; p ), по системе
{
}
функций cos nx , n ³ 0 и нарисуйте график его суммы на отрезке [- 2p ;2p ].
4.18. Пусть S (x ) – сумма тригонометрического ряда Фурье функции
ìï 0, - p £ x < 0
f (x ) = ïí
. Найдите S ( p ) .
ïï x , 0 £ x £ p
î
4.19. Пусть S (x ) – сумма тригонометрического ряда Фурье функции f (x ) = x ,
0 £ x < 2p , продолженной на всю числовую ось с периодом 2p . Найдите S (0) .
4.20. Пусть S (x ) – сумма тригонометрического ряда Фурье функции
ìï 1, 0 £ x < p
, продолженной на всю числовую ось с периодом 2p .
f (x ) = ïí
ïï 2, p £ x < 2p
î
Найдите S (0) .
4.21. Пусть S (x ) – сумма тригонометрического ряда Фурье функции f (x ) = x 2 ,
0 £ x < 2p , продолженной на всю числовую ось с периодом 2p . Найдите S (0) .
4.22. Пусть f (x ) – кусочно-непрерывная на [a;b ] функция, {j k (x )} – ортогональная
система функций в пространстве Q [a;b], fk – коэффициенты Фурье функции f (x )
по
системе
{j k (x )}.
æ
F (C 1,C 2,...,C n ) = ò ççf (x ) çè
b
a
Чему
равно
наименьшее
значение
функции
2
n
å
C kj
k
ö
dx ?
÷
ø
(x )÷
÷
k= 1
4.23. Пусть f (x ) – интегрируемая на отрезке [a;b ] функция, {j k (x )} – ортогональная
система функций на отрезке [a;b ], C k – произвольные числа. При каких значениях
æ
ò çççèf (x ) b
C k функция F (C 1,C 2,...,C n ) =
2
n
å
C kj
k
ö
dx принимает наименьшее
÷
ø
(x )÷
÷
k= 1
a
значение?
¥
a0
+ å (ak cos kx + bk sin kx ), причем ряд сходится равномерно на
2
k= 1
всей числовой оси, C k – произвольные числа. Чему равно наименьшее значение
4.24. Пусть f (x ) =
æ
функции F (C 1,C 2,...,C n ) = ò ççf (x ) çè
p
- p
2
ö
åk = 1 C k sin kx ÷÷÷ø dx ? Выразите ответ только
n
через числовые величины ak , bk .
¥
a
4.25. Пусть f (x ) = 0 + å (ak cos kx + bk sin kx ), причем ряд сходится равномерно на
2
k= 1
всей числовой оси, C k – произвольные числа. Чему равно наименьшее значение
æ
C
функции F (C 0 ,C 1,C 2,..., C n ) = ò ççf (x ) - 0 çè
2
- p
только через известные величины ak , bk .
p
2
ö
åk = 1 C k cos kx ø÷÷÷ dx ? Выразите ответ
n
5. Задачи повышенной трудности.
¥
æ pö
. Нарисуйте
bn sin 2nx , x Î (- ¥ ; + ¥ ), и f (x ) = x , x Î çç0; ÷
è 2÷
ø
n=1
график функции f (x ) на отрезке [- p ; p ]. Является ли указанный ряд Фурье
равномерно сходящимся на отрезке [- p ; p ]? Ответ обоснуйте.
5.1.Пусть f (x ) =
å
89
¥
æ pö
.
f (x ) = x , x Î çç0; ÷
è 2÷
ø
n= 0
Нарисуйте график функции f (x ) на отрезке [- p ; p ]. Является ли указанный ряд
Фурье равномерно сходящимся на отрезке [- p ; p ]? Ответ обоснуйте.
¥
æ pö
5.3.Пусть f (x ) = å bn cos 2nx , x Î (- ¥ ; + ¥ ), и f (x ) = x , x Î çç0; ÷
. Нарисуйте
è 2÷
ø
n= 0
5.2.Пусть
f (x ) =
å
bn sin (2n + 1)x ,
x Î (- ¥ ; + ¥ ),
и
график функции f (x ) на отрезке [- p ; p ]. Является ли указанный ряд Фурье
равномерно сходящимся на отрезке [- p ; p ]? Ответ обоснуйте.
¥
æ pö
5.4.Пусть f (x ) = å bn cos (2n + 1)x , x Î (- ¥ ; + ¥ ), и f (x ) = x , x Î çç0; ÷
.
è 2÷
ø
n= 0
Нарисуйте график функции f (x ) на отрезке [- p ; p ]. Является ли указанный ряд
Фурье равномерно сходящимся на отрезке [- p ; p ]? Ответ обоснуйте.
¥
æ pö
5.5.Пусть f (x ) = å bn sin 2nx , x Î (- ¥ ; + ¥ ), и f (x ) = 1, x Î çç0; ÷
÷. Нарисуйте
è 2ø
n=1
график функции f (x ) на отрезке [- p ; p ]. Является ли указанный ряд Фурье
равномерно сходящимся на отрезке [- p ; p ]? Ответ обоснуйте.
¥
æ pö
5.6.Пусть
f (x ) = 1, x Î çç0; ÷
f (x ) = å bn cos(2n + 1)x , x Î (- ¥ ; + ¥ ), и
÷.
è 2ø
n= 0
Нарисуйте график функции f (x ) на отрезке [- p ; p ]. Является ли указанный ряд
Фурье равномерно сходящимся на отрезке [- p ; p ]? Ответ обоснуйте.
5.7.Пусть f (x ) – кусочно-непрерывная четная функция на промежутке [- p ; p ], C k –
произвольные числа. Чему равно значение lim Z n , если Z n = min F (C 1,C 2,...,C n ),
æ
ò çççèf (x ) p
где F (C 1,C 2,..., C n ) =
- p
5.8.Пусть f (x )
n® ¥
2
ö
C k cos kx ÷
÷ dx ?
÷
ø
k= 1
n
å
– кусочно-непрерывная нечетная функция на отрезке [- p ; p ], C k –
произвольные числа. Чему равно значение lim Z n , если Z n = min F (C 1,C 2,...,C n ),
p
где F (C 1,C 2,...,C n ) =
æ
n® ¥
2
ö
C k sin kx ÷
÷ dx ?
÷
ø
k= 1
n
ò çççèf (x ) - å
- p
5.9.Пусть f (x ) – кусочно-непрерывная на отрезке [- p ; p ] нечетная функция, ak и bk –
коэффициенты тригонометрического
ряда Фурье функции f (x ) , C k –
произвольные
числа.
Чему
равно
наименьшее
значение
функции
2
p
n
æ
ö
F (C 1,C 2,...,C n ) = ò ççf (x ) - å C k sin kx ÷
dx ?
÷
÷
çè
ø
k= 1
- p
5.10. Пусть f (x ) – кусочно-непрерывная на отрезке [- p ; p ] нечетная функция, ak и bk
– коэффициенты тригонометрического ряда Фурье функции f (x ) , C k –
произвольные
числа.
Чему
равно
наименьшее
значение
функции
2
p
n
æ
ö
C
F (C 0 ,C 1,C 2,..., C n ) = ò ççf (x ) - 0 - å C k cos kx ÷
÷
÷ dx ?
2
èç
ø
k= 1
- p
5.11. Пусть f (x ) – кусочно-непрерывная на отрезке [- p ; p ] четная функция, ak и bk –
коэффициенты тригонометрического ряда Фурье функции f (x ) , C k –
90
произвольные
числа.
Чему
равно
наименьшее
значение
функции
2
p
n
æ
ö
F (C 1,C 2,...,C n ) = ò ççf (x ) - å C k sin kx ÷
dx ?
÷
÷
èç
ø
k= 1
- p
5.12. Докажите, что если производная f '(x ) существует в правой полуокрестности
x0 ,
точки
и
существует lim f '(x ) = f '(x 0 + 0) ,
то
существует
x ® x0 + 0
f (x 0 + x ) - f (x 0 + 0)
= f ' (x 0 + 0).
x® + 0
x
5.13. Докажите, что для любой кусочно-непрерывной на отрезке [- p, p ] функции f (x )
коэффициенты тригонометрического ряда Фурье a n и bn удовлетворяют условиям:
 an ® 0, bn ® 0 при n ® ¥ ;
lim
 ряд
¥
å (a
2
n
+ bn 2 ) сходится.
n=1
5.14. Докажите, что для любой кусочно-непрерывной на отрезке [- p, p ] функции f (x )
ее тригонометрического ряд Фурье можно интегрировать почленно.
5.15. Сколько раз можно почленно дифференцировать на отрезке [- p, p ]
тригонометрический ряд Фурье функции
2
 f (x ) = e sin x
 f (x ) = (x 2 - p 2 )
 f (x ) = e cos x
 f (x ) = sin(cos x )
ТЕМА 9. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ.
1. Определения.
2. Основные теоремы и формулы (без доказательства).
2.1. Запишите представление функции f (x ) в виде интеграла Фурье. При каких
условиях оно имеет место?
2.2. Запишите интеграл Фурье функции f (x ) в комплексной форме.
2.3. Запишите формулу преобразования Фурье функции f (x ).
2.4. Запишите формулу синус - преобразования Фурье функции f (x ).
2.5. Запишите формулу косинус - преобразования Фурье функции f (x ).
2.6. Запишите формулу обратного преобразования Фурье функции f (x ).
2.7. Запишите формулу обратного синус - преобразования Фурье функции f (x ).
2.8. Запишите формулу обратного косинус - преобразования Фурье функции f (x ).
3. Теоремы с доказательством.
3.1. Докажите теорему о представлении функции в виде интеграла Фурье.
4. Вопросы и задачи.
Представьте в виде интеграла Фурье следующие функции:
ìï cos x , x £ p ;
ìï sgn x ,
ïï
ï
f
(
x
)
=
í
2
f (x ) = ïí
ïï 0,
p
î
ïï 0,
x
³
;
ïïî
2
Найдите образ Фурье следующих функций:
x2
f (x ) = e - p x , p > 0 ;
f (x ) = e 2 ;
91
x < 1;
x > 1.
f (x ) = e- p x sin b x , p > 0 ;
f (x ) = 1 , x Î [- p; p ] f (x ) = 0 , x Ï [- p; p ].
4.3. Найдите косинус - образ Фурье четной функции f (x ) .
ìï 1, x < p,
4.3.1. f (x ) = ïí
, p > 0 . Чему равно значение интеграла Фурье в точках
ïï 0, x ³ p.
î
p
x = 0, x =
,x = - p?
2
cos qx
4.3.2. f (x ) = e - p x , p > 0 ;
4.3.6. f (x ) = 2
, p > 0,
2
2 - px
p
+
x
4.3.3. f (x ) = x e , p > 0 ;
q > 0;
4.3.4. f (x ) = e - p x cos qx , p > 0 ,
x2
1
2
e 2s , s > 0 .
2ps
q > 0;
4.3.7. f (x ) =
1
4.3.5. f (x ) = 2
, p > 0;
p + x2
4.4. Найдите синус - образ Фурье нечетной функции f (x ) .
ìï 1, 0 < x < p,
4.4.1. f (x ) = ïí
, f (- x ) = - f (x ) , p > 0 . Чему равно значение
ïï 0, x ³ p,
î
p
,x = - p?
интеграла Фурье в точках x = 0, x =
2
4.4.2. f (x ) = sign x ×e - p x , p > 0 ;
4.4.3. f (x ) = xe- p x , p > 0 ;
4.4.4. f (x ) = e - p x sin qx , p > 0 ,
q > 0;
x
4.4.5. f (x ) = 2
, p > 0;
p + x2
4.4.6. f (x ) =
x sin qx
, p > 0,
p2 + x 2
q > 0;
x2
x
2
e 2s , s > 0 . При решении этой задачи можно использовать
4.4.7. f (x ) =
2ps
дифференцирование по параметру образа Фурье четной функции
x2
1
2
f (x ) =
e 2s .
2ps
4.5. Приведите пример отличной от нуля функции, которая совпадает со своим
образом Фурье.
4.6. Восстановите функцию f (x ) по её образу Фурье fˆ (l ) .
p
4.6.1. fˆc (l ) = 2
, p > 0;
l + p2
l
4.6.2. fˆs (l ) = 2
, p > 0;
l + p2
4.6.3. fˆ (l ) = e
-
l
2
2
.
92
ТЕМА 10. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ.
1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
1.1. Какие функции входят в множество основных функций? Что такое носитель
основной функции?
1.2. Сформулируйте определение сходящейся последовательности основных функций.
1.3. Сформулируйте определение пространства D основных функций.
1.4. . Сформулируйте определение функционала и линейного функционала на
пространстве D основных функций.
1.5. Сформулируйте определение непрерывного функционала на пространстве D .
1.6. Сформулируйте определение обобщенной функции.
1.7. Сформулируйте определение суммы двух обобщенных функций и произведения
обобщенной функции на число.
1.8. Сформулируйте определение сходящейся последовательности обобщенных
функций.
1.9. Что такое пространство D ' обобщенных функций?
1.10. Какие обобщенные функции называются регулярными и какие сингулярными?
1.11. Что такое d -функция?
1.12. Сформулируйте определение произведения обобщенной функции и бесконечно
дифференцируемой функции.
1.13. Как определяется линейная замена переменных в обобщенных функциях?
1.14. Сформулируйте определение производной обобщенной функции.
1.15. Сформулируйте определение производной k -го порядка обобщенной функции.
1.16. Что такое носитель обобщенной функции?
2-3. Основные теоремы и формулы.
2-3.1. Докажите, что d -функция является непрерывным линейным функционалом.
2-3.2. Докажите, что d -функция является сингулярной обобщенной функцией.
2-3.3. Докажите, что d -функцию можно представить как предел
последовательности регулярных обобщенных функций.
2-3.4. Напишите формулу, определяющую произведение обобщенной функции и
бесконечно дифференцируемой функции. Обоснуйте эту формулу для
регулярных обобщенных функций.
2-3.5. Напишите формулу, определяющую линейную замену переменных в
обобщенных функциях. Обоснуйте эту формулу для регулярных
обобщенных функций.
2-3.6. Напишите формулу, определяющую производную обобщенной функции.
Обоснуйте эту формулу для регулярных обобщенных функций.
2-3.7. Докажите, что любая обобщенная функция имеет производные всех
порядков.
4-5. Вопросы и задачи.
4-5.1. Приведите пример функции из пространства D .
4-5.2. Приведите пример сходящейся последовательности функций в пространстве
D.
4-5.3. Приведите примеры линейного и нелинейного функционалов.
4-5.4. Пусть fˆe , gˆ e и ĥe - регулярные обобщенные функции., порожденные
локально интегрируемыми функциями
2
1 - x4 e
1
x
1
e
.
fe (x ) =
e , ge (x ) =
sin , he (x ) =
2
2 pe
px
e
p e + x2
93
Докажите , что
 fˆe (x ) ® d(x ) при e ® + 0 в D ' ;
 gˆ e (x ) ® d(x ) при e ® + 0 в D ' ;
 hˆ e (x ) ® d(x ) при e ® + 0 в D ' ,
где d(x ) есть d -функция.
4-5.5. Найдите носитель d -функции.
4-5.6. Приведите пример обобщенной функции, носителем которой является вся
числовая прямая.
4-5.7. Докажите, что
 d(- x ) = d(x ) ;

(d(x - x 0 ), j (x )) = j (x 0 ) .
4-5.8. Пусть qˆ (x ) есть обобщенная функция, порожденная функцией Хевисайда
ïì 0, x < 0
. Докажите, что производная Dqˆ обобщенной функции q̂
q(x ) = ïí
ïï 1, x ³ 0
î
выражается формулой D qˆ = d(x ) , где d(x ) есть d -функция.
4-5.9. Выведите формулу для производной d -функции.
4-5.10. Выведите формулу для производной k -го порядка d -функции.
4-5.11. Пусть s·gn x -регулярная обобщенная функция, порожденная функцией
ìï - 1, x < 0
ïï
ï
· x ) = 2d(x ) .
sgn x = í 0, x = 0 . Докажите, что D (sgn
ïï
ïï 1, x > 0
ïî
·
4-5.12. Пусть sin x и c·os x - регулярные обобщенные функции, порожденные
· x ) = cos
· x,
функциями sin x и cos x . Докажите, что D (sin
· x.
· x ) = - sin
D (cos
4-5.13. Пусть функция f (x ) имеет в точке x 0 разрыв первого рода, а в остальных
точках числовой прямой f (x ) и f '(x ) непрерывны; пусть fˆ и fµ' регулярные обобщенные функции, порожденные функциями f (x ) и f '(x ) .
Докажите, что для производной Dfˆ обобщенной функции fˆ справедливо
' + [f (x 0 + 0) - f (x 0 - 0)]d (x - x 0 ).
равенство Dfˆ = fµ
94