обобщенный метод оценки риска

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ОЦЕНКИ РИСКА
Проф.Др. Вилаят Валиев
Директор НИИ Экономических Реформ при Министерство Экономики и
Промышленности Азербайджанской Республики
Prof. Dr. Vilayat M. Valiyev
Director of Institute for Scientific Research on Economic Reforms of
Ministry of Economy and Industry of the Republic of Azerbaijan
waliyev@gmail.com; v.valiyev@ier.az
www.ier.az
Абстракт. В работе предложен обобщенный метод оценки риска, дающий возможность инвестору объективно и адекватно построить свое отношение к риску с использованием функции уровня антипатии к риску, которые зависят от текущего доступного капитала и
желания получения прибыли компаний или индивидуума. Полученные результаты позволяют
в условиях неопределенности и риска распределить риск между привлекательными проектами и дают возможность каждому потенциальному инвестору идентифицировать уровень антипатии к риску, а также поддержать последовательную политику риска в экономических
оценках и создать портфель инвестиционных проектов, что в итоге способствует принятию
правильного инвестиционного решения.
Ключевые слово: оценки риска, управления риска, измерения риска.
Введение
Риск присутствует во всех областях деятельности предприятий и является неотъемлемой составляющей их деятельности. Оценка и управление риском в формировании стратегии
инвестирования и при принятии стратегического решения существенно для финансового
успеха предприятия. При принятии стратегических решений, независимо от того, осознаем
мы или игнорируем фактор риска, предприятие существует и думает о будущем, и в связи с
этим, оно должно принимать риск и классифицированно изучать элементы риска и факторы
неопределенности, которые, в конечном счете, важны для устойчивого выживания предприятия.
Однако для различного характера и вида деятельности предприятий роль и вид риска неодинаковы. Так, например, для предприятий, занимающихся разведкой и разработкой углеводородных ресурсов, успех на сегодняшних конкурентных и неопределенных нефтяных рынках
намного зависит от анализа, оценки проектных рисков и управления ими.
1. Исследование основные характеристики рисков
У экономистов и математиков есть существенная вариация в интерпретации, неоднозначном толковании понятия риска и неопределенности.
С экономической точки зрения в работе Мегилла (Megill R.E., 1979) [16] понятия риска
и неопределенности рассматриваются как отдельные и различные факторы. Под риском понимают возможность потерь, т.е. возможность получения недопустимого финансового результата, например, отрицательного значения чистой текущей стоимости (NPV). Однако
сужение понятия риска только возможным ущербом ограничило бы его правильное использование управлениями инвестиционных проектов.
С математической точки зрения под риском понимается возможность отклонения от
ожидаемых параметров. Так, при возможности получения не ущерба, а дополнительной прибыли экономист, скорее всего, будет говорить об отсутствии риска. В этом случае математик
будет считать, что риск присутствует, поскольку возможные результаты могут быть различны. Например, в работе Ньюндорп (Newendorp P.D., 1975) [17] понятием риска и неопределенности пользуются взаимозаменяемо. В работе Бочкаи Т. и др.(1979) [1] под ситуацией неопределенности рассматриваются такие случаи риска, когда наступления неизвестных событий весьма вероятны и могут быть оценены. В то же время ситуации, когда вероятность
наступления неизвестных событий заранее установить невозможно или нельзя устранить
традиционными способами, называются неопределенностью.
В основном, в литературе встречается три различных определения понятия риска и неопределенности:
 риск и неопределенность – синонимы;
 неопределенность касается условия (состояния), когда вероятность случая неизвестна и
риск существует, когда вероятности определены;
 неопределенность существует, когда результат деятельности неизвестен, но мы не заботимся о получении или потери чего-то, так как не имеем что-то под угрозой; при этом
риск касается случая, когда мы стоим перед ситуацией, чтобы получить или потерять
что-то.
Обобщая вышеизложенные существующие подходы к понятиям риска и неопределенности, приходим к выводу, что при принятии решения, в зависимости от полноты информации,
результат каждого из альтернативных вариантов выбора точно известен, и тогда речь не может идти о риске. Именно это обстоятельство нивелирует понятие «риск» с понятием «неопределенность». Действительно, если нет неопределенности, то речь не может идти о риске
и риск существует только тогда, когда есть неопределенность. Риск включает объем инвестиций, потенциальную прибыль или убыток и вероятность результата. Неопределенность по
своей природе включает все геотехнические прогнозы месторождений нефти и газа, шансы
открытия, стоимость поиска-разведки и разработки и т.д.
Исходя из вышеизложенного, существующие различные определения риска, в зависимости от различных метрик и подходов к ним, можно сгруппировать и обобщить, с целью достижения конечной цели инвестора - получения ожидаемого дохода следующим образом:
1. Определение риска как несоответствие ожиданию в условиях полной неопределенности.
Пусть на финансовом рынке возможны возникновения ситуаций C j , j  1,..., m и в каждой
ситуации инвестор имеет возможность принимать решения Pi , i  1,..., n . Принятие i - го решения в ситуации C j - связано с доходом d ij , i  1,..., n, j  1,..., m . Тогда инвестор, принимая
решение Pi , в ситуации C j , рискует недополучить доход:
rij  max d ij  d ij , i  1,..., n; j  1,..., m ,
j
(1)
который можно принять как измерение риска решения Pi в ситуации C j . Матрица
R  rij
i 1,..., n
j 1,..., m
называется матрицей рисков в условиях полной неопределенности, на основе
которой осуществляется принятие решения по минимизации риска.
2. Показатель риск - R определяется как отношение суммы возможных (ожидаемых) потерь – L инвестора к общей сумме его денежных ресурсов – К, т.е.:
R
L
,
K
3. Определение риска как линейного отклонения доходности от ожидаемого.
(2)
В случае, когда доходность является случайной величиной d , ожидаемая доходность
определяется как математическое ожидание M (d ) , а риск можно определить как среднее
уклонение значения d от M (d ) , т.е.:
R  M  d  M (d ) .
(3)
Очевидно, что для детерминированных доходностей этот риск равен нулю.
4. Определение риска как среднеквадратичное уклонение доходности от ожидаемой.
Наиболее распространенным измерителем риска в условиях неопределенности является
дисперсия случайной доходности или среднеквадратичное уклонение этой случайной величины:
R  D(d )  M  d  M (d )  или R   (d )  D(d ) .
2
(4)
Хотя дисперсия не дает полную картину о линейных уклонениях, тем не менее, значение
дисперсии позволяет установить связь между линейным и квадратичным отклонениями с
помощью хорошо известного неравенства Чебышева:
P d  M (d )    
D(d )
2
.
(5)
Отсюда видно, что незначительному риску по среднеквадратичному отклонению соответствует малый риск и риск по линейным уклонениям.
5. Определение риска как вероятность неполучения ожидаемого дохода.
Если инвестор желает получить некоторый доход d от предстоящей финансовой операции и существует отличная от нуля вероятность неполучения этого дохода или получения
дохода d  d , то она может трактоваться как риск данной операции, т.е.:
или R  P(d  d ) .
(6)
Отметим, что наряду с вышеприведенными определениями риска могут быть рассмотрены и другие измерения риска, с использованием характера финансовой операции инвестора.
При рассмотрении риска основной задачей является наиболее точная оценка неопределенности, либо ее уменьшение там, где это возможно, а также управление риском, т.е. принятие рисковых решений при определенным образом оцененной неопределенности.
Диверсификация риска имеет огромное значение и при этом используются её различные
виды. Компания рассматривает инвестирование не отдельно взятого проекта, а множество
привлекательных проектов, так называемых портфель привлекательных проектов. А ограниченность финансовых ресурсов и наличие высокого уровня риска, сопровождающие эти проекты, не позволяют компаниям инвестировать все проекты из этого портфеля. При этом особое значение имеет уменьшение риска путем распределения его между проектами до приемлемых уровней, обеспечивающие максимальные доходности компаний при освоении всех
рассматриваемых проектов.
Первый метод диверсификации риска впервые был предложен американским ученым
Г.Марковитцем для портфеля ценных бумаг [13, 14].
Используя полученные результаты Г.Марковитца в работах [13, 14], была разработана
экономико-математическая модель [4], позволяющая решать задачи получения максимальной доходности от группы проектов, удовлетворяя условию предельного заданного уровня
риска. Рассматривая портфель, состоящего из n инвестиционных проектов в процессе освоения углеводородных ресурсов A  ai : i  1,2,..., n, задача диверсификации математически
формулируется следующим образом:
Требуется составить инвестиционный портфель, в котором суммарная доходность от
осуществления проектов ai : i  1,2,..., n была бы максимальной:
R  P(d  d )
n
R   g i  xi  max ,
i 1
(7)
где, соответственно, x i - доля участия, а g i - ожидаемая доходность по рассматриваемым
проектам ai , при следующих ограничениях:
 Риски распределяются между проектами таким образом, что суммарный риск от участия в каждом проекте не должен превышать приемлемый заданный уровень риска  0 ,
т.е. суммарный риск, определенный как дисперсия всего портфеля, должен удовлетворять условию [4]:
n
n
 2 x1 g1  ...  x n g n    x k x s covg k , g s    0 .
(8)
k 1 s 1
Здесь covg i , g j  - коэффициент ковариации между d i и d j .
 Естественно, долю участия для каждого рассматриваемого проекта удовлетворяет следующие условия:
n

i 1
xi  1,
xi  0, i  1,2,..., n .
(9)
 Отдельный выбранный проект из портфеля должен удовлетворять общим требованиям
каждого критерия: чистой приведенной стоимости (NPV), внутренней нормы рентабельности (IRR), индекса прибыльности (PI), пе окупаемости (PР) и др.
 Суммарный объем требуемых инвестиций, имеющихся у предприятия, ограничен.
Предлагаемая модель позволяет в условиях риска и неопределенности выбрать оптимальную группу проектов из множества привлекательных проектов и определить оптимальную долю участия в каждом из них, тем самым, определив наиболее оптимальную структуру
инвестиционного портфеля.
Решение вышесформулированных оптимизационных задач диверсификации является
мощнейшим инструментом распределения риска между проектами, входящими в оптимальный портфель. Другими словами, предложенный метод дает возможность для каждой компании - партнера, входящего в один консорциум или какой – либо альянс, определить долю
участия для каждого проекта и тем самым определить собственный оптимальный инвестиционный портфель.
Одной из важных задач при принятии долгосрочных рисковых решений, в условиях
ограниченного капитала с учетом фактора времени, является, по мере возможности, такой
осмотрительный подход к программе риска ориентированных компаний, в котором вероятность полной неудачи таких программ уменьшилась бы до управляемого уровня.
Мартин, Кокс и МакМинн (Martin I., Cox S. and MacMinn R., 1988) [15] указывают на
важность вопроса комбинирования значений времени дисконтирования риска в одно значение. По их мнению, этот тип комбинированного анализа может серьезно склонить администрацию против принятия решения о долгосрочных проектах, в которых рискованность потоков наличности не увеличивается непрерывно по времени. Также Робичек и Майерс
(Robichek A.A.and Myers S.G., 1966) [18] а также Ходдер и Риггс (Hodder I.E., and Riggs H.E.,
1985) [11] используют тот же самый аргумент, предполагая, что этот метод по своей природе
склонен против долгосрочных инвестиций.
В исследованиях Герца (Hertz D.B., 1968) [9], Герца и Томаса (Hertz D.B. and Thomas
H., 1983) [10] о риске предлагается использование риско - основанных профилей, вовлекающих совокупные распределения вероятности различных критериев прибыли, вычисленные
для различных альтернатив под всеми вероятными диапазонами переменных. Когда эти профили доступны для анализа, наряду с сформулированной рисковой политикой, фирма обладает важным компонентом для последовательной (согласованной) политики принятия решения.
В работе Арпс и Арпс (Arps J.J. and Arps J.L.,1974) [5] предложен подход осмотрительного овладения риском , который объединен в двух концепциях:
 успешные рискованные дела должны предприниматься только таким образом, чтобы
рискованные деньги в каждом предприятии были меньше той величины, которая может
создавать ситуацию «без прибыли и без убытков» в длительном периоде. Другими словами, мы должны платить за проект меньше, чем его математическое ожидание;
 количество рисковых денег для любого проекта не должно превосходить количества, которое увеличило бы риск "разорение игрока" выше приемлемых пределов. "Разорение
игрока" определяется как ситуация, в которой участник рискованных дел с ограниченными средствами собирается прорваться через продолжительную цепочку неудач, что истощает его средства.
В этой работе представлены значения различных вероятностей, играющие огромное
значение в проведении осмотрительных рисковых решений в зависимости от величины доступных рисковых капиталов – К, стоимости риска - C, результата успеха - R и вероятности
успеха - р:
 Минимальная приемлемая вероятность успеха - p m , характеризующая ситуацию «без
прибыли и убытка», определяется следующим образом:
1
 ln( 1  R / K  C / K ) 
(10)
p m  1 
 .
ln( 1  C / K )


 Уровень продолжительной цепочки неудач или уровень шанса инвестора прорваться
через разорение азартного игрока -  , которое определяется с помощью вероятности
неудачи данного рискованного дела – (1  p ) и числа попыток, в котором инвестор, до
исчерпывания своего капитала, может неудачно повторять рискованное дело - C / X выражается следующим образом:
C
  (1  p) K .
(11)
 Величина минимальной приемлемой вероятности удачи - p s определяется в зависимости от уровня продолжительной цепочки неудач -  следующим образом:
ps  1   C / K .
(12)
Подход, предложенный в [5], является передовым и практически широко применяемым. Однако этот метод только указывает предел, за которым инвестиции опасны, а не указывает уровень инвестиции, который оптимален в отношении капитала и риска.
2. Исследование отношения инвестора к риску
Концепция математического ожидания. Самым распространенным критерием выбора при принятии решения в условиях риска и неопределенности является концепция математического ожидания, которая предложена впервые французскими математиками Ферма и
Паскалем (1654). Эта концепция предлагает эффективный путь для оценки рисковых дел и, в
основном, для принятия долговременных решений. Основная процедура заключается в
умножении вероятности каждого возможного результата, его экономического последствия и
суммировании всех произведений.
Концепция полезности и предпочтения. Концепция математического ожидания, ориентированная только на абсолютную величину ожидаемых денежных поступлений, не учитывает ограничения капитала, т.е. степени риска капиталовложений, которые существенно
влияют при принятии рисковых решений.
Действительно, если рассмотреть риск, вычисленный как в (2), то очевидно, что чем
больше величина M, тем меньше опасение инвестора от риска (разумеется, при одной и той
же ожидаемой потери – L), а это означает, что предприятие, имеющее большой капитал, в
меньшей степени чувствительно к риску. Такое предприятие смелее может принимать решения, особенно в рискованных ситуациях. Некоторые предприятия из-за боязни потерь, связанных с риском, выбирают такие решения, при которых учитываются только надежные варианты, хотя при этом они отказываются от более динамичного развития, выбирая более
медленный и более надежный путь. Некоторые консервативные предприятия не готовы рис-
ковать с малыми убытками, считая, что лучше выиграть меньше, и при этом риск будет небольшим.
Вышеуказанное суждение иллюстрирует тонкий, изменчивый признак чувствительности к риску, называемый уровнем антипатии к риску (УАР). Это есть пропорция, в которой
математическое ожидание риска проекта дисконтируется инвестором. Д.Бернулли впервые
изложил ее еще в 1738 г. в статье, посланной в Российскую Академию наук в СанктПетербург. В этой статье Д. Бернулли впервые ввел понятия полезности денег и предложил
количественную оценку этой полезности.
При этом он исходил из предположения, что полезность U (x) некоторого количества
капитала x изменяется обратно пропорционально количеству капитала x , т.е. если x изменится на достаточно малую величину dx , то изменение полезности dU ( x)  U ( x  dx)  U ( x)
удовлетворяет условию:
dx
dU ( x)  k 
,
(13)
x
где коэффициент k - характеризует изменение полезности при изменении единичного капитала. Тогда изменение капитала инвестора от величины x1 до величины x 2 можно определить, интегрируя обе части (13):
x
U ( x2 )  U ( x1 )  k ln 2 .
(14)
x1
Отсюда видно, что изменение полезности является логарифмической и поэтому функцию: U ( x)  ln x, x  0 , или же, в общей форме
U ( x)  log a x, a  0, a  1, x  0 ,
(15)
называют функцией полезности Д. Бернулли.
Дальнейшие исследования, связанные с понятием полезности, привели к тому, что были
построены различные функции полезности и установлены общие условия, которым должны
удовлетворять эти функции. В связи с чрезвычайной важностью теории полезности с принятием решений в условиях неопределенности и для более систематического изложения концепций данной главы полезно напоминание основных принципов этой теории [24].
Роль функции полезности в экономическом процессе и вообще в принятии решении, в
частности, отражена следующим принципом, установленным Дж. Фон Нейманом и изложенном в [20]:
 При определенных естественных условиях экономическое поведение индивидуума
направлено на максимизацию ожидаемого значения функции полезности данного индивидуума.
 Теорией полезности установлено, что каждый индивидуум (в дальнейшем инвестор) в
зависимости от влияния различных факторов (экономические условия, характер инвестора и т.п.) может построить свою, причем не одну, функцию полезности. При этом
каждая функция полезности U (x) должна удовлетворять следующим условиям:
 U (x) - непрерывная на интервале 0,   ;
 U (x) - монотонно возрастающая. Это означает, что увеличение полученного дохода
x сопровождается увеличением полезности обладания этим доходом;
 Если U (x) - дифференцируема, то U ' ( x) имеет постоянный знак: U ( x)  0 на всем
рассматриваемом интервале;
 При выполнении условия (с) если, существует U (x ) , то она также имеет постоянный
знак: либо U ( x)  0 , либо U ( x)  0 , либо U (x)  0 на рассматриваемом интервале
0,  .
Перечисленные условия показывают, что функция полезности U (x) должна быть выбрана
таким образом, чтобы:

При предпочтительности альтернативы (проекта) P1 по отношению к альтернативе
(проекту) P2 должна быть и U ( P1 )  U ( P2 )
 U (x) должна быть или выпуклой, или вогнутой на 0,   .
На рис. 1 показаны графики трех возможных функций полезности, отражающие три
возможные возрастания U (x) .
U(x)
U2(x)
Удовольствие
U3(x)
U1(x)
Прибыль
x
Досада
Убыток
Рис. 1.
Пусть доход x от принятого инвестором решения является случайной величиной, принимающей значения xi , i  1, n c соответствующими вероятностями Pi . Тогда величина
n
U ( x)   PiU ( xi )
(16)
i 1
есть среднеожидаемая полезность случайного дохода x , а величина
n
S ( x )   Pi xi
(17)
i 1
является среднеожидаемым доходом от принятия решения. В этом случае выпуклость функции U (x) означает, что:
 n
 n
U   Pi xi    PiU ( xi ) ,
 i 1
 i 1
(18)
а из вогнутости U (x) следует, что:
 n
 n
U   Pi xi    PiU ( xi ) ,
(19)
 i 1
 i 1
неравенства (18) и (19) выражают, соответственно, те положения, при которых:
 если инвестор выбирает выпуклую функцию полезности, то для него полезность
среднеожидаемого значения случайных доходов xi не меньше, чем среднеожидаемая
полезность от этих доходов;
 если инвестор выбирает вогнутую функцию полезности U (x) , то для него полезность
среднеожидаемого значения доходов x не больше, чем среднеожидаемая полезность от
этих доходов;
 если инвестор выбирает функцию полезности U ( x)  x , которая является и выпуклой, и
вогнутой одновременно, то названные выше полезности равны между собой.
Аналогичные высказывания верны и в случае непрерывной случайной величины x с заданной функцией распределения F (x ) или заданной непрерывной функцией плотности распределения f (x ) :
 в случае выпуклости U (x) :


 

 
U   xdF ( x)    U ( x)dF ( x) или U   xf ( x)dx (  U ( x) f ( x)dx ;
0
 0
0
 0
в случае вогнутости U (x) :
(20)

 

 
U   xdF ( x)    U ( x)dF ( x) или U   xf ( x)dx    U ( x) f ( x)dx ;
(21)
0
 0
0
 0
 в случае, когда U ( x)  x неравенства (20) - (21) превращаются в равенства.
Заметим, что условия выпуклости и вогнутости в этих рассуждениях могут быть заменены на условия U ( x)  0 и U ( x)  0 соответственно.
U(x)
U2(x)
O1
C1
D1
B5
U3(x)
U1(x)
B4
A1
B3
B2
B1
O
B
A
x-∆x
x
C
x+∆x
D
a
x
Рис. 2
Геометрический смысл неравенства (16) - (21) может быть истолкован следующим образом: пусть для некоторого дохода имеются две возможности: с равными вероятностями получить доход x и терпеть убыток x . На рис. 2 доход x  x обозначен на оси ox точкой С, а
доход x  x точкой А. Из графиков трех разных функций (выпуклой, вогнутой и прямой)
имеем:
 для выпуклой функции U1 ( x) :
1
1
1

BB5  U1  ( x  x)  ( x  x)   U1 ( x)  U1 ( x  x)  U1 ( x  x)   BB4 ;
2
2
2

 для вогнутой функции U 2 ( x) :
1
1
1

BB1  U 2  ( x  x)  ( x  x)   U 2 ( x)  U 2 ( x  x)  U 2 ( x  x)   BB2 ;
2
2
2

 для функции U 3 ( x)  x :
1
1
 1
BB3  U 3  ( x  x)  ( x  x)   U 3 ( x  x)  U 3 ( x  x)   BB3 .
2
2
 2
Таким образом, инвестор, имея функции полезности различной природы (выпуклой, вогнутой), будет иметь разные результаты относительно получения дохода. Природа же выбранной функции полезности как раз и определяет отношение инвестора к полученному доходу и к возможной потере, и следовательно к риску.
Отношение инвестора к риску. Как было отмечено выше, рациональное поведение
инвестора связано с максимизацией его дохода и разные инвесторы в силу экономических
условий и собственных наклонностей по-разному стремятся к увеличению своего дохода.
Это отчасти происходит из-за того, что всякое стремление к увеличению дохода в той или
иной степени связано с различными категориями риска. Другими словами, разные инвесторы
при принятии решений так или иначе учитывают фактор риска или, как говорят, по-разному
относятся к риску. Точно так же, как и количественное измерение, отношение инвестора к
риску оценивается по-разному. Приведем некоторые из них. При этом под отношением к
риску будем понимать УАР инвестора.
Геометрический метод. Вновь рассмотрим графики трех видов функции полезности на
рис. 2. Предположим, что мы рассматриваем функцию полезности на конечном отрезке [0,a].
Геометрический способ измерения инвестора заключается в вычислении отношения площади фигуры, образованной кривой полезности, осью ox и отрезком DD1 к площади прямоугольника DD1O1O :
a
YAP (U ) 
 U ( x)dx
0
a  001
.
При этом инвестор называется:

осторожным (не любящим риск, пессимистом), если YAP (U ) 
1
.
2
Отсюда U1 ( x) - соответствует осторожному инвестору, так как:
a
 U ( x)dx
1
YAP (U 1 ) 

0
a  001

1
;
2
(22)
1
.
2
Отсюда U 2 ( x) - соответствует не осторожному инвестору, так как:
не осторожным (любящим риск, оптимистом), если YAP (U ) 
a
YAP(U 2 ) 
U
2
( x)dx
0
a  001

1
;
2
(23)
1
.
2
Отсюда U 3 ( x) - соответствует безразличному к риску инвестору, так как:

безразличным к риску, если YAP (U ) 
a
U
3
( x)dx
1
.
(24)
a  001
2
Каждый из этих инвесторов приобретение и потерю одного и того же дохода x воспринимает по-разному, как показано на рис .3:
YAP (U 3 ) 
0

U(x)
U2(x
U3(x
)
A6
B6
B5
)
U1(x
)
B4
A5
B3
A4
B2
A3
A2
B1
A1
x-∆x
x
x+∆x
Рис. 3
Для неосторожного (любящего риск) инвестора, полезность приобретения дохода x
(отрезок B1 B2 ) больше, чем потеря дохода x (отрезок A1 A2 ).
Для осторожного инвестора, наоборот, полезность (удовольствие) приобретения дохода
x (отрезок B5 B6 ) меньше, чем его потеря (отрезок A5 A6 ).
Для безразличного инвестора оба отрезка A3 A4 и B3 B4 равны между собой.
Метод, основанный на невязках выпуклости (вогнутости) функции полезности.
Рассмотрим снова неравенства (16)-(21). Назовем разности:
 n
 n
 1 (U )  U   Pi xi    PiU ( xi ) ,
(25)
 i 1
 i 1

 
 2 (U )  U   xdF ( x)    U ( x)dF ( x) ,
(26)
0
 0
x
 
 3 (U )  U   xf ( x)dx    U ( x) f ( x)dx
(27)
0
 0
невязками выпуклости (вогнутости) функции полезности U (x) . Величины  i (U ), i  1,3
определяют «отклонение» функции U (x) oт прямого безразличия U ( x)  x вследствии выпуклости (вогнутости), т.е. чем «ближе» функция полезности к прямому безразличию, тем
инвестор меньше склонен к безразличию в выборе (тем меньше склонен к риску). Поэтому
эти величины  i (U ), i  1,3 могут быть взяты как степени (уровни) отношения инвестора к
риску, т.е. YAP .
Таким образом:
 Для осторожного инвестора  i (U1 )  0, i  1,3 ;

Для неосторожного инвестора  i (U 2 )  0, i  1,3 ;

Для безразличного к риску инвестора  i (U 3 )  0, i  1,3 .
И, следовательно, YAP для них положителен, отрицателен и равен нулю соответствен-
но.
На рис. 2 в точке x :
 YAP(U1 )  B4 B5 ;

YAP(U 2 )  B1B2 ;
YAP(U 3 )  0 .
Из рис. 2 видно, что длина отрезков B4 B5 и B1B2 чем больше, тем и больше кривизна
графика функции U (x) в точке x . То же самое можно сказать о других точках области определения функции U (x) . Это означает, что поведение инвестора будет (во всей области определения его функции полезности) таким же, как и в точке x . Поскольку кривизна кривой
U (x) определяется ее второй производной U " ( x) , то следующий метод определения YAP
инвестора базируется на первой и второй производных.
Метод, использующий производные функции полезности. Предположим, что для
фиксированной вероятности p инвестор, принимая некоторое решение, получит доход  , а
с вероятностью 1  p доход y , имея некоторый капитал x . Обозначим множество решений,
результатом которых является только что описанная ситуация через V (x ) и рассмотрим
множество точек ( , y ) , являющихся результатом V (x ) . Граница этого множества состоит из
«пограничных» точек ( , y ) , таких как:
pU ( x  x)  (1  p)U ( x  y )  U ( x) .
(28)
Эта граница определяет некоторую функцию y ( ) . Найдем скорость изменения этой
функции в точке 0  (0,0) (рис. 4).

y

0
Рис. 4
Для этого воспользуемся равенством (28). Возьмем производную U (x) из этого равенства:
U ' ( x)  0  pU ' ( x   )
y 0
 (1  p)U ' ( x  y)
 0
y 0
 0
y'
,
 0
отсюда получаем:
pU ' ( x)  (1  p)U ' ( x)  y ' (0)  0 ,
(29)
и окончательно
p
.
1 p
Вторую производную функции y также можно найти с помощью (28):
y ' (0)  
p  U " ( x)  0 (1  p)U " ( x)
y (0)
'
 0
2
(30)
 (1  p)U ' ( x) y 0  y ' (0)  0 .
y 0
 0
Подставляя значение y ' (0) из (30) в последнее равенство получаем:
y" (0) 
p
(1  p) 2
 U " ( x) 
 .
  
 U ' ( x) 
(31)
Из (30) и (31) следует, что:
y" (0)
1  U " ( x) 

.

(32)
y ' (0) 1  p  U ' ( x) 
Поскольку y" (0) является показателем кривизны кривой y ( ) в точке 0, а y ' (0) есть
скорость изменения функции y ( ) в точке 0, то как следует из (32) их отношение прямо
пропорционально отношению 
U " ( x)
.
U ' ( x)
Величина
U " ( x)
(33)
U ' ( x)
характеризует отношение инвестора к риску и называется коэффициентом Эрроу-Пратта (Arrow-Pratt) неприятия риска.
Из (33) следует, что:
 Если U (x) - выпуклая, то AP  0 и следовательно YAP  0 ;
 Если U (x) - вогнутая, то AP  0 и значит YAP  0 ;
 Если U ( x)  x , то AP  0 и следовательно YAP  0 .
Полученный результат адекватно согласуется с вышеприведенным утверждением и показывает, что коэффицент AP это и есть YAP .
AP  
3. Принятие рисковых решений с учетом отношения инвестора к риску
Отметим, что через УАР предприятие наглядно показывает отношение к риску или к
финансовой потере. Здесь имеются некоторые обратные отношения между размерами допустимого капитала и УАР. Это показывает, что имеется существенное различие УАР между
независимыми производителями и большими нефтяными предприятиями. Исходя из этого,
мы можем полагать, что малые предприятия с более высокими УАР будут стремиться иметь
меньшие доли участия при реализации проекта.
Упрощенное резюме теории полезности определено Тверским и Кахнеманом (Tversky,
A. and Kahneman, D., 1981,1982) [19] следующим образом:
 удовольствие (полезность), связанное с получением $ 1000, вообще меньше, чем неудовольствие потери того же самого количества;
 люди чувствуют больше удовольствия при получении прибыли в $10 от имеющихся у
них $20, чем, если они получат ту же прибыль в $10 от имеющихся у них $1500.
В работе Коззалино (Cozzolino I.M., 1977) [8] показано, что теоретически анализируя
прошлые решения, можно придти к выводу, что кривая полезности (рис. 1) может быть построена для индивидуума, групп или полной компании и после того использоваться для дисконтирования будущих инвестиционных решений, так чтобы они согласовались с предыдущим поведением. Эта функция полезности для одного предприятия является единственной,
которая отражает рисковые позиции предыдущих решений и зависит от следующих факторов: общего экономического климата, бюджета, философии управления и благосостояния
компании.
В любом процессе принятия решения об инвестировании в условиях риска может быть
максимизация прибыли. При данном уровне риска или множестве рисковых предпочтений
предприятие стремится максимизировать прибыль среди ее инвестиционных альтернатив,
изменения УАР среди индивидуальных проектов. При этих условиях в процессе оценки риска и неопределенности имеются некоторые серьезные недостатки. Коззолино (Cozzolino I.M.,
1980) [7] выделил среди этих недостатков следующие:
 нет различия между дисконтированием риска и значением времени;
 неадекватное понимание риска к оценке проектов, имеющих разную продолжительность;
 использование произвольных методологий для определения нормы дисконта исправленного риска.
Коззолино [7] предлагает концепцию профилей, основанную на риске, как альтернативу к выработке инвестиционных решений внутри нефтегазовой фирмы. Он предполагает, что
риск является не только функцией распределения вероятности результатов, но и величины
денег, подвергнутых шансу потери. Инвестиционные решения, основанные исключительно
на распределении вероятности результатов, соответствуют правилу математического ожидания, которое предполагает, что предприятие, имеющее неограниченный капитал, конечно
недействительное предположение.
Коззолино (Cozzolino I.M., 1979) [6] предлагает новый метод для управления риском в
нефтегазовой отрасли, основанный на теории предпочтения риска. Он предполагает, что
ценность проекта для предприятий, чей УАР - r, это величина рисковой поправки (RAV) и
которая выражена следующим уравнением:
1
RAV   ln  pe  r ( R C )  (1  p )e  rC  ,
(34)
r
где r - УАР предприятия; р - вероятность, связанная с результатом; R - настоящая ценность
результата успеха; С - настоящая ценность результата сухой скважины.
Это уравнение комбинирует обе величины–математического ожидания и УАР. Функцию УАР r нелегко определить и, конечно, она должна изменяться в соответствии с философией компании, экономическим климатом и другими факторами. Для r Коззолино [6] предлагает использовать, как первое приближение, обратную величину годового бюджета; RAVколичество, которое является равным ожидаемой ценности, меньше дисконта риска. (Знакомые с теорией полезности чувствуют, что величина рисковой поправки (RAV) и концепция
эквивалента уверенности - те же самые). Дисконт пропорционален УАР предприятия и рисковым характеристикам проекта. В основе в этой модели лежит теория полезности Фон Неймана и Моргенштерна [20]. В модели УАР является постоянной величиной, при этом соответствующий экспонента является самой простой нелинейной функцией полезности.
В практике анализ поведения деятельности некоторых нефтяных компаний, работающих в новых нефтеносных регионах, где геологический риск достаточно большой, УАР
обычно не является постоянной. Другими словами, нефтяная компания, наряду с зависимостью от объема капитала, имеет дополнительное желание к риску, т.е. дополнительное получение прибыли.
В связи с этим в работе предполагается, что параметр УАР есть переменная, являющаяся функцией доступного рискового капитала и прибыли (или убытка): r  r (r0 , x) , где r0 фактор, учитывающий влияние допустимого капитала, определяется как обратная величина
текущего объема допустимого капитала (годового бюджета) и характеризует УАР [2,3]; х –
фактор, учитывающий возможность прибыли (убытка). Он может характеризовать философию управления предприятием, веру в ценообразование, везение предприятия и др.
Принимаемые рисковые решения по-разному оценивают различные размеры будущей
прибыли х, которые являются случайной переменной. Как показано в §2, чувствительность
предприятия относительно получения прибыли или убытков экономически выражается с помощью функции полезности U(х).
Отметим, что функция полезности U(х), определенная в [a, b], является непрерывной,
неубывающей монотонной и в соответствии с (33) характеризуется тем, что увеличение прибыли сопровождается увеличением полезности ( U ( x)  0 ), а второй производной функции
полезности определяется отношением к риску.
Для нефтегазовых предприятий наиболее интересна и характерна функция полезности,
характеризующаяся неприятием риска. Поскольку функция полезности, характеризующаяся
неприятием риска, обычно является асимптотической функцией, имеющей верхний предел,
при котором увеличение величины прибыли не сопровождает соответствующее большое
увеличение полезности. Функция УАР r  r (r0 , x) обычно известна как абсолютная функция
для ситуации по отношению к неприятию риска, знак функции r  r (r0 , x) будет характеризовать отношение так же, как и вторая производная, поскольку знак первой производной всегда положителен. Мера отношения к риску r  r (r0 , x) , выраженная функцией полезности
U(x), является соотношением (33):
U " ( x)
.
(35)
U ' ( x)
Принимаем, что функция полезности должна определяться исходя из заданного вида
функции УАР для каждого предприятия с учетом характера и условий инвестиционного проекта и определяется следующим дифференциальным уравнением:
(36)
U ( x)  r (r0 , x)U ( x)  0 ,
при следующих граничных условиях:
U (a )   , U (b)   ,
(37)
где ,  - заданное число и определяет, соответственно, минимальное и максимальное значения функции полезности.
Принятие решения при освоении углеводородных ресурсов в условиях неопределенности и риска включает в себя следующие показатели, которые являются основными параметрами предложенной модели:
 К - величину доступного рискового капитала;
 C-стоимость риска, при котором оператор терпит убыток, если дело проваливается;
 R –настоящую стоимость результата успеха, если рассмотренное дело, как ожидалось,
успешно решилось;
 вероятностью успеха - р.
При рисковых ситуациях отношение принимаемого решения к риску проанализируем
на примере с неопределенным исходом. Вследствии принятого решения должен быть получен результат - прибыль (убыток), величина которого характеризуется случайной переменной  с некоторым распределением, при этом возможны два исхода [1]:
1. Ожидаемый результат был успешным, тогда вероятность исхода: P(  R)  p , соответствующая полезность - U ( R  C ) .
2. Ожидаемый результат был неудачным, тогда вероятность исхода: P(  C )  1  p , соответствующая полезность будет U (C ) .
Под эквивалентной надежности риска W, характеризующимся случайной переменной ,
будем подразумевать сумму, которая определяется по следующей формуле:
U (W )  p  U ( R  C )  (1  p)  U (C ) .
(38)
Здесь под W - подразумевается сумма, которую принимающий решение согласен получить вместо выигрыша R, возможно, с вероятностью р. Другими словами, отношение (38)
выражает следующее: для принимающего решение равнозначны обе ситуации, записанные в
правой и левой частях формулы, т.е. получить, несомненно, сумму размером W или получить
сумму размером R возможно, с вероятностью р.
На основе вышепредложенного метода рассмотрим несколько примеров:
 r ( x)  0 , тогда из соотношения (36):
U ( x)  a  x , здесь a  const .
(39)
Из соотношения (38) получим:
W  p  ( R  C )  (1  p)  (C ) .
(40)
В этом случае величина W равна математическому ожиданию W  EV ;
 r ( x)  r0 при U (0)  0, U ()  K , здесь К=const – объем доступного капитала, характе1
ризующийся асимптотикой функции полезности, K  .
r0
Из соотношений (36) и (37) получаем:
1
U ( x)  (1  e ro x ) .
(41)
r0
Из соотношения (38) получаем:
r (r0 , x)  


1
ln pe ro ( R C )  (1  p)e ro c .
(42)
ro
В этом случае получается формула, предложенная в 1977 г. Козоллино (Gozzolino) для
определения величины рисковой поправки (RAV) с использованием функции антипатии ro,
т.е. W  RAV ;
 r ( x)  r0 x при U (0)  0, U ()  K , здесь К=const, условия здесь те же, что и в вышеприведенном примере.
Из соотношений (36) и(37) получаем:
W
x2

(43)
 1 p[( R  C ) ro ]  (1  p)(C ro ) ,
(44)
x

ro
2
1
2
U ( x) 
e
dx или U ( x) 
 x ro ,

ro o
ro 2
где (x) - известная функция Лапласа.
Из соотношения (37) получаем:
 W ro  p ( R  C ) ro  (1  p)  C ro или


W

1
ro





 1 - обратная функция Ф.
С целью иллюстрации предложенного метода приводим пример из [148] и [156], при
значении параметров: R=10 млн. долл.; C=0.3 млн. долл.; p=0.2 .
На рис. 5 показано влияние уровня доступного капитала на величину рисковой поправки RAW и эквивалент надежности риска W для сравнения. Так, для предприятия с годовым
бюджетом 200 млн. долл. RAV= 95%, а W= 93% от математических ожиданий. При уменьшении бюджета предприятий до 50; 10; 2 млн. долл. RAV и W падают, соответственно, до
88, 60, 8% и 72, 32 8% от математических ожиданий, а потом приходят к отрицательным значениям.
2
1
2
3
1,5
.
л 1
л
о
д
.
н
л
м
W
,
V 0,5
A
R
,
V
E
Рис .6 иллюстрирует сокращение доли участия и дает возможность участвовать предприятию с малым бюджетом. Условия задачи те же самые, что и на рис. 5. Предприятие с годовым бюджетом 0.5 млн. долл. имеет отрицательные RAV и W и доли участия, соответственно, равны 18 и 5% от математического ожидания. Однако в 10%-ной доле участия RAV
и W равны, соответственно, 37 и 32% от математического ожидания, а при 1% -ной доле участия RAV и W, соответственно, 88 и 72% от математического ожидания, которое относительно столь же привлекательно для малых предприятий, как 100% доли участия для предприятия с годовым бюджетом 50 млн.долл.
Отметим, что предлагаемый метод является обобщающим и удобным при определении
предпочтения риска или УАР предприятии. Этот метод дает возможность предпрятиям построить свое отношение к риску в виде функции УАР и включает в себя существующие и
широкоприменяемые методы, основанные на ожидаемых результатах и RAV анализе, которые, как выше отмечалось, получаются в частном случае при определенных значениях УАР.
1
1
0,8
2
0,6
V
E
/
W
, 0,4
V
E
/
V
A
R
0,2
Привлечение анализа решений и предпочтения риска или теории полезности может
обеспечивать предприятию способность согласованно управлять сложным процессом составления бюджета предприятия и инвестиционными проблемами. Идентифицируя УАР
предприятий, будущие решения могут быть сделаны относительно этого УАР, чтобы поддерживать последовательную политику риска в экономических оценках. После установления
УАР предприятий можно строить портфель из проектов, который совпадает непосредственно
с предпочтением риска предприятий и ограничениями капитала.
Выводы
В работе, предложен обобщенный метод оценки и управления риска в процессе освоения УВР, дающий возможность инвестору объективно и адекватно построить свое отношение к риску с использованием функции уровня антипатии к риску, которые зависят от текущего доступного капитала и желания получения прибыли (убыток) компаний или индивидуума. Полученные результаты позволяют в условиях неопределенности и риска распределить
риск между привлекательными проектами и дают возможность каждому потенциальному
инвестору идентифицировать уровень антипатии к риску, а также поддержать последовательную политику риска в экономических оценках и создать портфель инвестиционных проектов, что в итоге способствует принятию правильного инвестиционного решения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бочкаи Т. и др. Хозяйственный риск и методы его измерения. (Пер. с венгр.) М.: Экономика, 1979.
2. Валиев В.М. Метод управления риском в нефтегазовых предприятиях. Обозрения прикладной и промышленной математики. Серия «Вероятность и статистика». Из–во «ТВП»,
том 6, выпуск 1. Шестая Всероссийская школа–коллоквиум по стохастическим методом.,
15–21 августа, 1999, Самара, с. 129.
3. Валиев В.М. Метод управления риском в процессе освоения углеводородных ресурсов. Нефт, Газ и Бизнес, Москва, выпуск 3–4, 1999, стр. 31–35.
4. Наджафзаде А.Н., Валиев В.М. Экономико–математическая модель оптимального распределения инвестиций во множестве проектах освоения углеводородных ресурсов. В сб.: 2–
я Международная научно–практическая конференция молодых ученых, Алматы, 2002, с.263–
267.
5. Arps, J.J.. and Arps, J.L. 1974. Prudent risk–taking; Journal of Petroleum Technology, v.26,
р. 711–715.
6. Cozzolino, I.M. 1979. A New Method For Risk Analysis. Sloan Management Review,
Spring 1979, рр. 53–66.
7. Cozzolino, I.M. 1980. Controlling Risk in Capital Budgeting; A Practil Use of Utility Theory
for Measurementand Control of Petroleum Exploration Risk.The Engineering Economist,25:161–186.
8. Cozzolino, I.M. 1977. Management of oil and gas exploration risk; West Berlin, New Jersey,
Cozzolino Associates.
9. Hertz, D.B. and Thomas, H. 1983. Risk Analysis and its Applications. Wiley Puplishing
Company, Chichester, England.
10. Hertz, D.B. 1968. Investment Policies That Payoff. Harvard Business Review, 46; 96–108.
11. Hodder, I.E. and Riggs, H.E. 1985. Pitfalls in Evaluating Risky Projects. Harvard Business
Review, Jan.–Feb.; 128–135.
12. Kahneman, D. and Tversky A., 1982. The psychology of references; Scientific American,
v.246 (January), pp. 160–173.
13. Markowitz, H.M. 1991. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments, Yale
University Press.
14. Markowitz, H.M. 1952. Portfolio Selection, The Journal of Finance, Vol. VII; No 1, Mar.
15. Martin, I. Cox, S. and Mac Minn, R. 1988. The Theory of Finance; Evidence and Applications. Dryden Press, Inc. Hillsdale, Illinois.
16. Megill, R.E. 1979. An Introduction to Exploration Economics, 2nd edition; Tulsa, Penn Well
Books, 180 p.
17. Newendorp, P.D. 1975. Decision Analysis Petroleum Exploration. Penn Well, Nulsa, OK
74101 .
18. Robichek, A.A. and Myers, S.G. 1966. Conceptual Problems in the Use of Risk–Adjusted
Discount Rcetes, loumal of finance, December; 727–730.
19. Tversky, A. and Kahneman, D. 1981. The framing of decisions and the psychology of
choice; Science, v. 211, p. 1124–1131.
20. Van Neumann, J. and Morgenstern, 0. 1953. Theory of Games and Economic Behaviour.
Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 3rd Edition.