Наименьшее и наибольшее значения функции двух переменных

Наименьшее и наибольшее
значения функции
двух переменных
Функция, ограниченная и дифференцируемая
в замкнутой области, достигает в этой области
своего наибольшего и наименьшего значений
или во внутренних точках этой области,
которые являются стационарными точками
функции, или на её границе.
Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее
значения функции, необходимо:
1) Найти стационарные точки функции
Для этого решаем систему уравнений
 z x  0
 
 z y  0
2) Найти значения функции в стационарных точках,
находящихся в области
3) Найти наибольшее и наименьшее значения
функции на каждой линии, ограничивающей
область
4) Сравнить все полученные значения …
ПРИМЕР 1
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2
2
z  x  xy  2 y  3x  2 y  1
в замкнутом треугольнике, ограниченном осями координат и
прямой x  y  5  0
y
РЕШЕНИЕ
построим область
А
О
x
1) Находим стационарные точки функции
2x  y  3  0
z x  2 x  y  3

 
z y   x  4 y  2
 x  4 y  2  0
В
ПРИМЕР 1
РЕШЕНИЕ
2
2
z  x  xy  2 y  3x  2 y  1
область
2 x  y  3  0


 x  4 y  2  0
 y  2x  3

  x  4  2 x  3  2  0
 y  2x  3


  x  8 x  12  2  0
 y  2x  3
 x  2


 x  2
 y  1
y
А
О
x

 y  2x  3


7 x  14  0
В
ПРИМЕР 1
РЕШЕНИЕ
2
2
z  x  xy  2 y  3x  2 y  1
 x  2
  2;  1

 y  1 стационарная точка
область
y
А
О
x
Значение функции в стационарной точке
В
z ( 2; 1)  ( 2)2  ( 2)( 1)  2( 1) 2  3( 2)  2( 1)  1 
 4  2  2  6  2  1  3
ПРИМЕР 1
РЕШЕНИЕ
2
2
z  x  xy  2 y  3x  2 y  1
область
Исследуем поведение функции на границе
граница состоит из:
отрезка оси Ox
отрезка оси Oy
отрезка прямой AB
на оси Ox
y0
О
x
В
функция принимает вид
z  x 2  3x  1
z    x 2  3 x  1  2 x  3
x  1,5
2x  3  0
А
y
z ( 5;0)  11
z (0;0)  1
5  x  0
5
z ( 1,5;0)  
4
ПРИМЕР 1
РЕШЕНИЕ
2
2
z  x  xy  2 y  3x  2 y  1
область
Исследуем поведение функции на границе
на оси Oy
x0
А
y
О
x
функция принимает вид
2
z  2 y  2 y  1 5  y  0
z    2 y 2  2 y  1  4 y  2
y  0,5
4y  2  0
z (0; 5)  41
z (0;0)  1
z (0; 0,5) 
1
2
В
ПРИМЕР 1
РЕШЕНИЕ
2
2
z  x  xy  2 y  3x  2 y  1
область
Исследуем поведение функции на границе
на прямой AB
А
y  x  5
z  4 x  26 x  41
О
x
функция принимает вид
2
y
В
5  x  0
z    4 x 2  26 x  41  8 x  26 находим соответствующее
8 x  26  0
x
13
4
значение y
7
 13 
y      5  
4
 4
5
 13 7 
1
z  ;   
z (0; 5)  41
z (0; 0,5) 
4
 4 4
2
2
ПРИМЕР 1
РЕШЕНИЕ
2
z  x  xy  2 y  3x  2 y  1
область
Среди найденных значений
z (0; 0,5) 
1
2
z (0; 5)  41
5
 13 7 
z  ;   
4
 4 4
y
z (0;0)  1
z ( 5;0)  11
5
z ( 1,5;0)  
4
z ( 2; 1)  3
выбираем наибольшее и наименьшее
zнаиб  z (0; 5)  41
zнаим  z ( 2; 1)  3
А
О
x
В
ПРИМЕР 2
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2
2
z  x  y  6x  4 y  2
y
в прямоугольнике с вершинами в точках
A(1;  3), B(1; 2), C (4; 2), D(4;  3)
В
C
РЕШЕНИЕ
x
построим область
А
1) Находим стационарные точки функции
z x  2 x  6
2 x  6  0




zy  2 y  4
2 y  4  0
 3;  2  стационарная точка
D
x  3

 y  2
z  3;  2   11
ПРИМЕР 2
РЕШЕНИЕ
2
2
z  x  y  6x  4 y  2
Исследуем поведение функции на границе
A(1;  3), B(1; 2), C (4; 2), D(4;  3)
y
В
1) На отрезке AB
x 1
2
z  y  4 y  3 3  y  2
z    y  4 y  3  2 y  4
2 y  4  0 y  2
2
1;  2 
2) На отрезке CD
z  y2  4 y  6
z    y 2  4 y  6   2 y  4
C
x
z (1; 3)  6
z (1;2)  9
А
D
z (1; 2)  7
x4
3  y  2
2y  4  0
y  2
z (4;2)  6
z (4; 3)  9
z (4; 2)  10
 4;  2 
ПРИМЕР 2
РЕШЕНИЕ
2
2
z  x  y  6x  4 y  2
Исследуем поведение функции на границе
A(1;  3), B(1; 2), C (4; 2), D(4;  3)
3) На отрезке BC
z  x 2  6 x  14
z    x  6 x  14   2 x  6
2x  6  0
x3
2
 3; 2 
4) На отрезке AD
2
z  x  6x 1
z    x 2  6 x  1  2 x  6
y
В
y2
1 x  4
C
x
z (1; 2)  9
z (4;2)  6
А
D
z (3;2)  5
y  3
1 x  4
2x  6  0
x3
 3;  3
z (1; 3)  6
z (4; 3)  9
z (3; 3)  10
ПРИМЕР 2
РЕШЕНИЕ
2
2
z  x  y  6x  4 y  2
A(1;  3), B(1; 2), C (4; 2), D(4;  3)
y
В
выбираем
x
z (1; 2)  9
z (1; 3)  6
z (4;2)  6
z (4; 3)  9
z (3;2)  5
z (3; 3)  10
z (1; 3)  6
z (1;2)  9
z (1; 2)  7
C
z (4; 3)  9
z (4;2)  6
z (4; 2)  10
z  3;  2   11
А
D
Пример 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z  xy
в круге x 2  y 2  4
y
Построим область D на плоскости Oxy – круг
Найдем точки, где функция принимает наибольшее
и наименьшее значения. Эти точки могут находиться,
как внутри области, так и на её границе.
2
x
Необходимое условие экстремума:
 zx  0   y  0
Точка (0, 0) находится внутри круга z (0;0)  0
 z  0
x  0

 y
Кроме того, наибольшее и наименьшее значения функции могут лежать на
границе. Их надо найти, все сравнить и выбрать наибольшее и наименьшее
Уравнение границы: x 2  y 2  4  y   4  x 2 где x∈[– 2;2]
Функция z на границе: z   x  4  x 2
2
z  4  x 
x2
4x
2

4  x 2  x2
4 x
2

2( 2  x 2 )
4  x2
0 
x 2
x 2

y 2
y 2

z( 2)  2
z ( 2 )  2
z на концах отрезка x: z (2)  0
Таким образом, zнаибольшее= 2 в точке M1( 2 ; 2 ) zнаименьшее= –2 в точке M2( 2; 2)