Элементы теории вероятностей и методы -
advertisement
Е. Ю. РУППЕЛЬ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 2 набл е j 1 n j np j 2 np j Министерство образования Российской Федерации Сибирская государственная автомобильно–дорожная академия (СибАДИ) Е. Ю. РУППЕЛЬ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Омск Издательство СибАДИ 2003 УДК 519.2 ББК 22.171 Р 86 Рецензенты: Г.И.Сечкин, канд. физ.-мат. наук, доц., зав.каф. "Математический анализ" ОмГПУ; кафедра «Высшая математика» ОмГУПС Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия для студентов 2-го курса инженернотехнических специальностей. Руппель Е. Ю. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ: Учебное пособие. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2003. –141с. ISBN 5-93204-127-7 Учебное пособие предназначено для студентов инженернотехнических специальностей по дисциплине «Математика», охватывает такие разделы курса высшей математики, как теория вероятностей и математическая статистика. Содержание пособия соответствует государственному образовательному стандарту для студентов машиностроительных и приборостроительных специальностей. Пособие составлено таким образом, что наряду с теоретической частью содержит подробный разбор типовых задач, решение которых позволит читателю глубже понять и закрепить изученный материал. Каждый раздел книги содержит индивидуальные задания для самостоятельного решения. Данное учебное пособие будет полезно также аспирантам при проведении конкретных экспериментов и обработке данных в своей научной и экспериментальной деятельности. Ил. 13. Библиогр.: 5 назв. Е. Ю. Руппель, 2003 ISBN 5-93204-127-7 Издательство СибАДИ, 2003 Учебное издание РУППЕЛЬ ЕЛЕНА ЮРЬЕВНА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ Учебное пособие Главный редактор М.А. Тихонова Компьютерная верстка и графика А.А. Руппель * * * Подписано в печать 01.08.03 Формат 60х90 1/16.Бумага писчая Оперативный способ печати Усл.п.л. 8,75, уч.-изд.л. 8,5 Тираж 200 экз. Заказ 83 Цена договорная * * * Издательство СибАДИ 644099, г. Омск, ул. П. Некрасова, 10 ____________________________________________________ Отпечатано в ПЦ издательства СибАДИ 644099, г. Омск, ул.П. Некрасова,10 Оглавление Введение……………………………………………………………………………......... Глава 1. Элементы теории вероятностей §1. Основные правила комбинаторики………………………………………...... 1. Правило сложения ………………………………………………………... 2. Правило умножения………………………………………………………. 3. Размещения……………………………………………………………....... 4. Перестановки……………………………………………………………… 5. Сочетания………………………………………………………………….. Задачи для самостоятельного решения……………………………………... §2. Классическое определение вероятности……………………………………. Задачи для самостоятельного решения……………………………………... §3. Операции над событиями…………………………………………………….. Задачи для самостоятельного решения……………………………………... §4. Формула полной вероятности. Формула Байеса………………………......... Задачи для самостоятельного решения……………………………………... §5. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли). Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа 1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)……… 2. Локальная теорема Муавра – Лапласа………………………………........ 3. Интегральная теорема Муавра – Лапласа……………………………….. 4. Теорема Пуассона…………………………………………………………. Задачи для самостоятельного решения……………………………………... §6. Случайные величины. Законы распределения случайных величин. Числовые характеристики………………………………………………………... Задачи для самостоятельного решения……………………………………... §7. Важнейшие примеры распределений……………………………………….. 1. Биноминальное распределение…………………………………………… 2. Нормальный закон распределения……………………………………….. 3. Распределение Пуассона………………………………………………….. 4. Равномерное распределение вероятностей…………………………........ 5. Геометрическое распределение…………………………………………... Задачи для самостоятельного решения……………………………………... §8. Системы случайных величин………………………………………………… Задачи для самостоятельного решения……………………………………... Глава 2. Элементы теории инженерного эксперимента §1. Случайные ошибки. Законы распределения случайных ошибок………….. Задачи для самостоятельного решения……………………………………... §2. Терминология: два вида ошибок статистического вывода, статистический критерий проверки нулевой гипотезы………………………... §3. Проверка значимости с помощью χ2-критерия……………………………... §4. Критерии для отбрасывания резко выделяющихся результатов испытаний…………………………………………………………………………. §5. Проверка нормальности выборочного распределения……………………... Задачи для самостоятельного решения……………………………………... §6. Критерий равенства двух средних значений………………………………... §7. Критерий равенства двух дисперсий………………………………………... Задачи для самостоятельного решения……………………………………... Приложения……………………………………………………………………………… Библиографический список…………………………………………………......... 4 6 6 6 6 7 7 10 11 14 16 20 22 26 29 30 30 31 34 36 46 51 51 52 57 58 60 62 64 70 75 85 90 93 95 100 104 115 121 123 131 140 В современной физике в отличие от ньютоновского подхода при использовании неточных данных ученые стремятся с самого начала учитывать истинную точность наблюдений, не стараясь ни на одном этапе вычислений получить большую точность, чем та, которая на самом деле является реальной. Норберт Винер. «Я математик» ВВЕДЕНИЕ В настоящее время всевозрастающее значение приобретает использование математических методов анализа закономерностей в разнообразных исследованиях, связанных с управлением производством и технологическими процессами. А это выдвигает серьезные требования к совершенствованию математической подготовки инженеров. Среди математических дисциплин, которые изучают студенты, инженерных специальностей (высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика, математическое программирование и др.), теория вероятностей и математическая статистика занимает особое положение. Во - первых, она является теоретической базой статистических дисциплин, во - вторых, методы теории вероятностей и математической статистики непосредственно используются при изучении массовых совокупностей наблюдаемых явлений, обработке результатов наблюдений и выявлении так называемых «статистических закономерностей». Наконец, теория вероятностей имеет важное методологическое значение в познавательном процессе, в построении умозаключений на основании результатов опыта или наблюдения над частью объектов и их воссоединением (синтезом) для получения целостного представления об общей закономерности, т. е. служит логикой индуктивно-дедуктивного умозаключения. Современное производство является сложным и многообразным объектом, между элементами которого существуют многосторонние связи и взаимосвязи. На их изменения оказывает влияние множество факторов, по разному действующих в различные моменты времени, а в результате эти изменения носят случайный характер. При этом, как правило, отсутствует возможность постановки «чистого» эксперимента, позволяющего выделить главные, решающие факторы и исключить действия многих второстепенных. Поэтому особенно важным становится определение общих закономерностей на базе наблюдения за частью случайных явлений, отделением основных связей от случайных воздействий. Анализ традиционных методик экспериментальных исследований показал, что с применением математических методов на всех этапах экспериментального исследования - при осмысливании информации до опыта, при планировании эксперимента и обработке его результатов - можно существенно повысить достоверность и эффективность эксперимента. Поэтому основной задачей данного учебного пособия является первое знакомство студентов инженерных специальностей с некоторыми идеями и методами теории эксперимента с целью их использования при выполнении любых исследований. В свою очередь, изучение методов обработки наблюдений и проведение эксперимента требуют знакомства с теорией вероятности. Чему и посвящена первая глава настоящего пособия. В учебном пособии приведен подробный разбор типовых задач, решение которых позволит студенту глубже понять теоретико-вероятностные построения, научиться применять их при проведении конкретных экспериментов и опытов в своей инженерной и экспериментальной деятельности. Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ §1. Основные правила комбинаторики 1. Правило сложения Пример 1. Пусть из пункта А в пункт В можно добраться самолётом, поездом и автобусом, причём между этими пунктами существует два авиамаршрута: 1 железнодорожный и 3 автобусных. Следовательно, общее число маршрутов между пунктами А и В равно: 2 1 3 6 . Обобщая этот пример, можно сформулировать правило сложения. Если выбор каждого из объектов а i (i 1, 2, ..., к ) можно выполнить ni способами, то выбор “или а1 , или а 2 ,…, или а к ” можно произвести к n n i способами. l 1 2. Правило умножения Пример 2. Сколькими различными способами можно распределить 4 шара по двум лункам, в которые помещается ровно 1 шар? Очевидно, первую лунку можно заполнить 4 способами, т. к. при выборе первой лунки имеется 4 шара. Вторую лунку можно заполнить двумя шарами, т. к. после заполнения первой лунки осталось 3 шара. Заметим, что с каждым из 4-х способов заполнения первой лунки может совпасть любой из трёх способов заполнения второй. Поэтому общее число способов распределения двух лунок равно: 4 3 12 . Запишем теперь правило умножения в общем виде. Если выбор каждого из к объектов аi (i 1, 2, ..., к ) можно осуществить ni к способами, то выбор “и а1 , и а 2 ,…, и а к ” можно произвести N П ni способами. l 1 3. Размещения Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Размещением из n элементов по к (0 к n) элементов называется упорядоченное подмножество, содержащее к различных элементов данного множества. Все эти подмножества отличаются друг от друга или составом элементов, или порядком их распределения. Но к число элементов во всех этих подмножествах равно к . Для определения числа Аn размещений из n элементов по к учтём, что первый элемент подмножества может быть взят n различными способами, второй - (n 1) способом,…, к -й элемент (n (к 1)) способами. Отсюда, используя правило умножения, получим: Аnк n (n 1) ... (n (к 1)) n (n 1) ... (n (к 1)) n к...1 n! (n к ) (n (к 1)) ... 1 (n к )! Здесь n! 1 2 3...(n 1) n и ( n к )! 1 2 3 ... ( n к ) . Условимся считать 0! 1 , поэтому А00 0! 1. 0! Пример 3. В соревнованиях принимают участие 16 команд. Сколькими способами могут распределиться три первых места, т. е. необходимо найти число всех подмножеств, состоящих из трёх элементов, отличающихся составом (номерами команд) или порядком их размещения (подмножества №1, №2, №3 и №2, №1, №3 являются разными). Таким образом, имеем дело с размещением. Тогда искомое число равно: 16! 16! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (16 3)! 13! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16. 3 А16 4. Перестановки Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов. Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов. Число всех возможных перестановок из n элементов обозначают Рn Аnn n! n! n! , т. е. Pn n!. (n n)! 0! Пример 4. Сколькими способами можно расставить 6 различных книг на одной полке? Искомое число равно: Р6 6! 1 2 3 4 5 6 720. Действительно, первую книгу можно выбрать 6 способами, вторую – 5 способами и т. д., последнюю – 1 способом. По правилу умножения общее число способов равно: 6 5 4 3 2 1 720 . 5. Сочетания Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Сочетанием из n элементов по к ( 0 к n) элементов называется любое подмножество, которое содержит к различных элементов данного множества. Таким образом, различными подмножествами считаются только те, которые отличаются составом элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга лишь порядком следования элементов, не считаются различными. к Число всех возможных сочетаний из n элементов по к обозначается С n . Так как число перестановок из к равно к!, то число размещений из n к элементов по к – Аn будет в к! раз больше, чем число сочетаний из n элементов по к к к к – С n , т. е. Аn к!С n . Отсюда Сnк Аnк n! . к! (n к )!к! Пример 5. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырёх для работы на определённом участке. Сколькими способами это можно сделать? Так как порядок выбранных четырёх человек не имеет значения, то это можно 4 сделать С25 способами: 4 С25 25! 25! 21!22 23 24 25 22 23 24 25 12650. (25 4)!4! 21!4! 21!4! 1 2 3 4 Задача 1. Сколько различных трёхзначных чисел может быть составлено из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии: а) в каждом числе нет одинаковых цифр; б) числа могут содержать одинаковые цифры? Решение. 3 а) Искомое число чисел равно: А5 5 4 3 60 . Действительно, все трёхзначные числа представляют собой подмножества из трёх элементов, отличающихся и составом, и порядком следования элементов. б) Если числа могут содержать одинаковые цифры, то для цифры, стоящей на первом месте в числе, существует 5 возможностей; на втором месте – тоже 5, на третьем – также 5. По правилу умножения число всех трёхзначных чисел равно: 53 125 . Задача 2. Группа учащихся изучает 8 различных учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий в субботу, если в этот день недели должно быть 3 разных дисциплины (порядок дисциплин роли не играет)? Решение. Число способов равно: Р83 8! 8! 1 2 3 4 5 6 7 8 6 7 8 56 . (8 3)!3! 5!3! 1 2 3 4 5 1 2 3 1 2 3 Действительно, в данном случае мы имеем дело с подмножествами из трёх элементов, которые отличаются лишь составом. Задача 3. Сколькими способами можно упорядочить множество чисел 1, 2, ..., 9 так, чтобы числа 1, 2, 3 стояли рядом в порядке возрастания? Решение. Числа 1, 2, 3 можно полагать склеенными в порядке возрастания и рассматривать как один элемент. Тогда число элементов множества равно (9 2) , т. е. 7, и они могут быть переставлены друг с другом 7! раз, т. е. число способов равно 7!. Задача 4. Каким числом различных способов могут быть выбраны к деталей из партии в n деталей при выборочном контроле качества продукции? Решение. В этой задаче все подмножества, содержащие к элементов, к отличаются лишь составом элементов. Значит, число различных способов равно Сn . Задача 5. Карточка ”Спортлото” содержит 49 чисел. Играющий зачёркивает 6 произвольных чисел по своему усмотрению. После тиража объявляется 6 “счастливых” чисел. В случае совпадения, по крайней мере 3, зачёркнутых “счастливых” чисел владелец карточки получает выигрыш тем больший, чем больше чисел угадано. Максимальный выигрыш достигается, если угаданы все 6 чисел. Необходимо определить: а) Сколькими способами можно зачеркнуть 6 чисел на карточке “Спортлото” так, чтобы угадать 4 “счастливых” числа? б) Сколькими способами можно зачеркнуть 6 чисел на карточке “Спортлото” так, чтобы был обеспечен выигрыш? Решение. Различные комбинации зачёркнутых чисел отличаются только составом, т. е. являются сочетаниями: а) Общее число различных способов выбора 6 чисел из 49 равно: 6 С49 49! 13983816 1,4 10 7 . 6!43! б) Выигрыш достигается, если угадано или 3, или 4, или 5, или 6 “счастливых” чисел, т. е. выигрыш может быть достигнут четырьмя вариантами. По правилу сложения число способов в каждом из этих вариантов необходимо сложить. Рассмотрим первый вариант. Выигрыш 3 “счастливых” из 6: 3 “счастливых” числа из 6 3 можно выиграть С6 способами, 3 “несчастливых” числа из (49 – 6) можно зачеркнуть 3 С43 способами. Последовательный набор 3 из 6 “счастливых” чисел и 3 из 43 “несчастливых” на основании правила умножения может быть выполнен 3 4 2 С63 С43 способами. Аналогично: 4 “счастливых” – С6 С43 , 5 “счастливых” – 0 С65 С143 , 6 “счастливых” – С66 С43 способами. Используя правило сложения, получим, что число способов, которыми можно зачеркнуть 6 чисел так, чтобы обеспечить выигрыш, равно: 3 2 0 С63 С43 С64 С43 С65 С143 С66 С43 246820 13545 258 1 260624. Задачи для самостоятельного решения 1.1. На станке должны быть последовательно обработаны 5 различных деталей. Сколько вариантов должен проанализировать технолог для выбора наилучшей очерёдности их обработки? 1.2. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, не повторяя цифр в числе? 1.3. В урне 10 белых шаров и 5 чёрных. Сколькими способами из урны можно вынимать наугад 3 шара, чтобы: а) все три шара оказались белыми; б) все три шара оказались чёрными; в) два шара оказались белыми, а один – чёрным; г) один шар оказался белым, а два – чёрными? 1.4. Сколько существует различных способов распределения восьми приборов между тремя лабораториями, если: а) все приборы различны; б) все приборы идентичны? 1.5. Текст кодируется цифрами от 0 до 9. Сколько различных сообщений можно передать комбинацией из 7 цифр? 1.6. Сколько существует пятизначных чисел, состоящих из цифр 1, 2, 3, 4, 5? 1.7. Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, у которых каждая следующая цифра: а) больше предыдущей; б) меньше предыдущей? 1.8. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, если каждую из них можно использовать не более одного раза? 1.9. Из слова “кот” перестановками букв можно получить такие слова: кот, ток, кто, тко, окт, отк. Их называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова “логарифм”? 1.10. Сколько существует различных трёхцветных флагов с тремя вертикальными полосами одинаковой ширины, если можно использовать материю семи цветов? 1.11. Сколько пятизначных чисел, не кратных 5, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, используя каждую такую цифру в любом из чисел по одному разу? 1.12. Сколькими способами можно рассадить учащихся в классе, если мест 34, а присутствует 30 человек? 1.13. Сколькими способами можно расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга? 1.14. Каждая сторона квадрата разбита на n частей. Сколько можно получить треугольников, вершинами которых являются точки деления (вершины квадрата считаются точками деления)? 1.15. Номер автомашины состоит из трёх букв русского алфавита (33 буквы) и четырёх цифр. Сколько существует различных номеров автомашин? 1.16. Сколькими способами можно разложить 7 монет различного достоинства по трём карманам? 1.17. У одного человека 6 книг по математике, а у другого - 10. Сколькими способами можно обменять 3 книги одного из них на 3 книги другого? 1.18. Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на 5? 1.19. Сколько можно составить пятизначных чисел, в десятичной записи которых хотя бы один раз встречается цифра 5? 1.20. Сколько можно указать пятизначных чисел, делящихся на 5, в десятичной записи которых нет одинаковых цифр? 1.21. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 8, если каждую из них можно использовать любое число раз? 1.22. Сколькими способами из чисел 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13 можно составить несократимую дробь? 1.23. Имеются пять отрезков, длины которых равны соответственно 1, 3, 5, 7 и 9 единицам. Сколькими способами из них можно построить треугольник? §2. Классическое определение вероятности Событием (или случайным событием) называется всякий факт, который в результате опыта (эксперимента) может произойти или не произойти. Обозначаются события А, В, С, …. Достоверным называется событие, которое в результате опыта непременно должно произойти, а невозможным – событие, которое в результате опыта не может произойти. Пример 1. Если в урне находятся только цветные шары и из урны извлечён шар, то событие “извлечён цветной шар” является достоверным. Пример 2. Если в ящике имеются только стандартные детали и из ящика наудачу извлечена деталь, то невозможным будет событие «извлечена нестандартная деталь». Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае события называются совместными. Пример 3. В ящике имеются стандартные и нестандартные детали. Наудачу берут одну деталь. Событие А – “появилась стандартная деталь” и событие В – “появилась нестандартная деталь” являются несовместными событиями. Пример 4. Брошена игральная кость. Событие А – “появление двух очков” и событие В – “появление чётного числа очков” совместны, так как появление одного из них не исключает появления другого. События А1 , А2 , ..., Аn называются попарно несовместными, если любые два из этих событий несовместны. Пример 5. Произведено два выстрела по мишени, события А1 - “два попадания”, А2 - “только одно попадание”, А3 - “ни одного попадания” попарно несовместные. Полной группой событий называется множество событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. Элементарными событиями будем называть события i , которые: 1) составляют полную группу событий; 2) несовместны; 3) по известному элементарному событию можно судить, произошло или не произошло событие А, возможное в данном эксперименте. Множество элементарных событий, поставленных в соответствие эксперименту, называется пространством элементарных событий, обозначается 1 , 2 ,.... Пример 6. При однократном бросании игральной кости элементарными событиями являются события: 1 1 – “появление одного очка”, 2 2, 3 3, 4 4, 5 5 , 6 6 . Событие А 1, 3, 5 – появление “нечётного числа очков” является подмножеством пространства элементарных событий, т.е. некоторым событием. Элементарные события, принадлежащие событию А, называются благоприятствующими наступлению события А. В примере 6 это элементарные события 1 , 3 , 5 . События А1 , А2 ,... называются равновозможными, если условия испытания обеспечивают одинаковую возможность осуществления каждого из них. Пример 7. Появление того или иного числа очков при бросании игральной кости есть события равновозможные, т. к. игральная кость изготовлена из однородного материала и имеет строго симметричную форму. Таким образом, каждое событие А определяется как подмножество пространства элементарных событий . Очевидно, невозможному событию А не благоприятствует ни одно элементарное событие из , т. е. оно совпадает с пустым множеством ; достоверному событию благоприятствуют все события пространства . Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных равновозможных событий, благоприятствующих наступлению события А, к числу элементарных равновозможных событий: Р ( А) m . n Рассмотрим некоторую область. Если вероятность попадания случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой области (длине, площади, объёму) и не зависит от её расположения и формы, то может быть использовано геометрическое определение вероятности: пусть геометрическая мера всей области S D , а геометрическая мера части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию, есть S d , то вероятность события равна: P S d / S D . Задача 1. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб. Решение. Пространство элементарных событий представляет собой множество: 1 – герб на первой монете, герб на второй монете; 2 – герб на первой монете, цифра на второй монете; 3 – цифра на первой монете, герб на второй монете; 4 – цифра на первой монете, цифра на второй монете. Событие А (выпадение хотя бы одного герба) = 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 4 . Следовательно, Р( А) 3 / 4 0,75 . Задача 2. В урне 3 белых и 9 чёрных шаров, из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар оказался чёрным (событие А)? Решение. Число случаев, благоприятствующих событию А, равно 9. Число всех равновозможных случаев равно 12 (9+3). Следовательно, Р ( А) 9 / 12 0,75 . Задача 3. В урне 4 белых и 7 чёрных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые (событие А)? 2 Решение. Найдём число элементарных событий: n С11 11 10 55 . 1 2 Число случаев, благоприятствующих событию А, можно определить по формуле 4! 2 3 4 6, 2!2! 22 m т. к. белых шаров 4, а выбираем из них 2. Тогда Р 6 / 55 0,109 . n m С42 Задача 4. Десять различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что три определённые книги окажутся поставленными рядом. Решение. Представим себе, что три определённые книги связаны вместе. Тогда число возможных способов расположения связки на полке равно числу перестановок из 8 элементов (связка плюс оставшиеся 7 книг), т. е. Р8 8!. Внутри связки три книги можно распределить Р3 3! раз. При этом каждая комбинация внутри связки может сочетаться с каждой из Р8 комбинаций. Поэтому число m Р8 Р3 . Число равновозможных исходов, поставленных в соответствие опыту, n Р10 10!. Таким образом, исходная благоприятствующих случаев равно вероятность Р Р8 Р3 8!3! 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 1 0,067 . Р10 10! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 Задачи для самостоятельного решения 2.1. В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей ровно три - стандартные. 2.2. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: А – "сумма выпавших очков равна 8"; В – "произведение выпавших очков равно 8"; С – "сумма выпавших очков больше, чем произведение". 2.3. Восемь различных книг расставлены наугад на одной полке. Найти вероятность того, что две определённые книги окажутся поставленными рядом. 2.4. Оля и Коля договорились встретить Новый год в компании из 10 человек. Оба хотели сидеть за праздничным столом рядом. Найти вероятность исполнения их желания, если среди друзей принято распределять места по жеребьёвке. 2.5. В урне 6 белых и 6 чёрных шаров. Из урны вынимают два шара. Найти вероятность того, что шары разного цвета. 2.6. На шести карточках написаны буквы к, а, р, е, т, а. После тщательного перемещения берут наудачу по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово "ракета"? 2.7. В конверте среди 100 фотокарточек находится разыскиваемая карточка. Из конверта наудачу извлекают 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная карточка. 2.8. В группе студентов 17 юношей и 8 девушек. Какова вероятность того, что студент, фамилия которого в списке группы окажется на первом месте, окажется девушкой? 2.9. В партии готовой продукции из 20 лампочек имеется 5 лампочек повышенного качества. В выборку отбирается 7 лампочек. Какова вероятность того, что в этой выборке окажется 3 лампочки повышенного качества? 2.10. Найти вероятность того, что среди пяти случайно взятых цифр нет совпадающих. 2.11. Буквы а, а, в, к, к, о, х написаны на отдельных карточках. Какова вероятность того, что, извлекая эти карточки по одной наудачу (без возвращения обратно), получим в порядке их выхода слово "Каховка"? 2.12. Телефонный номер состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны. 2.13. Найти вероятность того, что при шести бросаниях игральной кости появятся все грани. 2.14. Четырёхтомное сочинение стоит на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что номера томов образуют монотонную последовательность? 2.15. Из 15 билетов выигрышными являются 4. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 6 билетов будет 2 выигрыша? 2.16. Из последовательности целых чисел 1, ..., 10 наудачу выбирают 2 числа. Какова вероятность, что одно из них меньше 6, а другое больше 6? 2.17. В урне находится 16 шаров, помеченных номерами 1, 2, 3, ..., 16. Наудачу извлечены 5 шаров (без возвращения). Найти вероятность того, что среди извлечённых шаров окажутся шары с номерами 1 и 2. 2.18. Из тридцати карточек с буквами русского алфавита наугад выбираются 4 карточки. Какова вероятность, что эти четыре карточки в порядке выхода составят слово "небо"? 2.19. Вычислить вероятность того, что дни рождения всех 20 человек различны, предполагая, что в году 365 дней и что все дни рождения одинаково вероятны для каждого человека. 2.20. Трое пассажиров входят в лифт пятиэтажного дома. Какова вероятность того, что двое из них выйдут на одном этаже? Вероятность выхода пассажиров на каждом этаже считается одинаковой. 2.21. На складе имеется 15 кинескопов, причём 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 5 кинескопов окажется 3 кинескопа Львовского завода. 2.22. Телефонный номер состоит из 5 цифр. Найти вероятность того, что цифры одинаковы. 2.23. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 125 кубиков одинакового размера. Все кубики перемешаны. Определить вероятность того, что кубик, извлечённый наудачу, будет иметь три окрашенные грани. §3. Операции над событиями Рассмотрим события: А – “появление трёх очков при бросании игральной кости”, А 3, В – “появление нечётного числа очков при бросании игральной кости”, В 1, 3, 5 Очевидно, что если произошло событие А, то непременно произошло и событие В. В этом случае говорят “А влечёт за собой В” и записывается А В Суммой или объединением двух событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В. Символически это записывают так: С А В или С А В Сумма событий В А интерпретируется как объединение (сумма) множеств (подмножеств), множества элементарных событий (рис. 1.1). Пример 1. Найти сумму А+В событий А – “появление одного очка при бросании игральной кости” и В – “появление двух очков при бросании Рис. 1.1 игральной кости”. Суммой А В является событие – “появление не больше двух очков при бросании игральной кости”. Таким образом, суммой или объединением нескольких событий А1 , А2 ,..., Аn называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А1 , А2 ,..., Аn . Символически: n С Ai , или l 1 А А·В n Ai . l 1 Произведением или пересечением двух событий А и В называется событие С состоящее в одновременном наступлении А и В. Символически произведение записывается так: C А В или С А В . Интерпретация произведений событий дана на рис. 1.2. Произведением или пересечением нескольких событий А1 , А2 ,..., Аn называется событие С, В Рис. 1.2 состоящее в одновременном наступлении всех событий А1 , А2 ,..., Аn . Символически: n n С П l 1 Аi или C Ai . l 1 Пример 2. Найти произведение событий А – “студенту попался экзаменационный билет с чётным номером” и В – “ студенту попался экзаменационный билет с номером, кратным 5”. Решение. Произведением АВ является событие – “студенту попался экзаменационный билет с номером, кратным 5”. Противоположными событиями называются два случайных события, если одно из них происходит в том и только в том случае, когда не происходит другое. Событие, противоположное событию А, обозначается через А (читается “не А”). Вероятность противоположного события вычисляется по формуле Р ( А) 1 Р( А) . (1.1) Пример 3. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу в мишень. а) Какое событие противоположно событию А – “хотя бы один стрелок попал в цель”? б) Какое событие противоположно событию С – “каждый из стрелков попал в цель”? Решение. а) А – “каждый из стрелков промахнулся”. Справедливость ответа вытекает из того, что событие А означает поражение мишени, а событие А – не поражение мишени. б) С – “хотя бы один из стрелков промахнулся”. На основании этого примера приведём формулы, справедливые в алгебре событий: А1 А2 ... Аn = А1 А2 ... Аn ; А1 А2 ... Аn А1 А2 ... Аn , если Ai обозначает “i-й стрелок попал в цель”, а Ai – “ i-й стрелок промахнулся”. Несовместными событиями называются два события А и В, если не существует элементарного события, благоприятствующего одновременно обоим событиям. Например, при бросании игральной кости событие А – “выпадает количество очков, равное 1 или 2” и событие В – “выпадает количество очков, равное 4 или 5” несовместны. Условной вероятностью события А относительно события В называется вероятность события А, вычисленная в предположении, что имело место событие В. Эта вероятность обозначается: Р ( А / В ) или Р А (В ) Например, в урне 4 белых и 3 чёрных шара. Из урны последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется чёрным при условии, что первый был чёрным. Обозначим события: В – “первый шар чёрный”; А – “второй – чёрный”. Если произошло событие В, то в урне осталось 6 шаров, из которых два чёрных. Поэтому искомая условная вероятность Р ( А / В ) 2 / 6 1 . 3 Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого относительно первого: Р ( А В) Р( А) Р ( В / А) Р( В) Р( А / В) . (1.2) Для нескольких событий Р ( А1 А2 ... Аn ) Р( А1 ) Р ( А2 / А1 ) ... Р ( Аn / А1 ... Аn 1 ) . (1.3) События А или В называются независимыми, если Р ( А В) Р( А) Р ( В ) . В этом случае Р ( А) Р( А / В ), Р ( В ) Р ( В / А). (1.4) Верно и обратное утверждение. События А1 , А2 , ..., Аn называются независимыми в совокупности, если n n Р ( П Ai ) П Р( Аi ) . l 1 (1.5) l 1 Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: Р ( А В ) Р( А) Р( В) . (1.6) Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей: n n Р ( Ai ) P ( Ai ) . l 1 (1.7) l 1 Если события А и В совместны, вероятность их суммы вычисляется по формуле Р ( А В ) Р( А) Р( В) Р( А В) . (1.8) Для нескольких совместных событий вероятность их суммы определяется по формуле n Р ( Ai ) P ( Ai ) P ( Ai A j ) l 1 i j i P( Ai A j Ak ) ... i jk (1.9) (1) n1 P( A1 A2 ... An ) , где суммы распространяются на все возможные комбинации различных индексов i, j , k , ..., взятых по одному, по два, по три и т. д. Задача 1. На заводе в цехе деталь определённого сорта изготовляют на двух станках. Вероятность изготовления детали на первом станке равна 0,6. Вероятность изготовления годной детали на первом станке равна 0,8. Найти вероятность того, что годную деталь изготовили на первом станке. Решение. Обозначим события: А – “деталь изготовлена на первом станке”, В – “деталь годная”. Имеем: Р ( А) 0,6 , Р ( В / А) 0,8 . По формуле (1.2) находим: Р ( А В) Р( А) Р( В / А) 0,6 0,8 0,48 . Задача 2. В ящике находится 7 деталей первого сорта, 5 – второго сорта и 3 – третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают три детали. Найти вероятность того, что первая, наугад вынутая деталь окажется первого сорта (событие А1 ), вторая деталь – второго сорта (событие А2 ) и третья деталь – третьего сорта (событие А3 ). Решение. Р ( А3 / А1 А2 ) Очевидно, что Р ( А1 ) 7 , 15 Р ( А2 / А1 ) 5 , 14 3 , т. к. событие А2 / А1 означает, что второй раз вынули деталь 13 второго сорта при условии, что первый раз была вынута деталь первого сорта. Значит, при повторном вытягивании в ящике осталось 14 деталей, из них второго сорта – 5. Аналогично находим Р ( А3 / А1 А2 ) по формуле (1.3) Р ( А1 А2 А3 ) Р( А1 ) Р( А2 / А1 ) Р( А3 / А1 А2 ) 7 5 3 1 . 15 14 13 26 Задача 3. В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных. Из ящика наугад берут одну за другой две детали. “Появление стандартной детали при первом испытании” – событие А, “появление стандартной детали при втором испытании” – событие В. Проверить, зависимы или независимы события А и В. Решение. Р ( А) 90 0,9 . Вероятность события В зависит от результата 100 первого испытания: если в первом испытании событие А произошло, то Р ( В / А) 90 1 89 ; 100 1 99 если же событие А не произошло, то Р ( В / А) 90 10 . 100 1 11 События А и В зависимы, т. к. Р ( А) 0,9 89 Р( В / А). 99 Задача 4. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков. Решение. Обозначим события: А – “выпадает 6 очков при бросании первой игральной кости”, В – “выпадает 6 очков при бросании второй игральной кости”. Поскольку события А и В совместны, то Р ( А В ) Р( А) Р( В) Р( А В) . 1 1 Р ( А В ) Р( А) Р ( В ) , т. к. события независимы. Р ( А) ; Р ( В ) , поэтому 6 6 1 1 1 1 11 Р( А В) . 6 6 6 6 36 Задачи для самостоятельного решения 3.1. Какова вероятность того, что выбранное наудачу изделие окажется первосортным, если известно, что 3% всей продукции составляют нестандартные изделия, 75% стандартных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта? 3.2. Бросается игральная кость. Событие А состоит в появлении цифры 6, событие В – в появлении цифры, кратной трём. Выяснить, зависимы или независимы события А и В. 3.3. Вероятность одного попадания в мишень при одном залпе из двух орудий равна 0,36. Найти вероятность поражения при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8. 3.4. На 20-ти одинаковых жетонах написаны 20 двухзначных чисел от 11 до 30. Жетоны помещают в конверт и тщательно перемешивают. Какова вероятность вынуть жетон с номером, кратным 4 или 7? 3.5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха? 3.6. Три стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель первого, второго и третьего стрелков соответственно равна 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что все три стрелка попадут в цель. 3.7. Из трёх станков, обслуживаемых одним рабочим, вероятность остановки в течение рабочей смены для первого станка равна 0,1, для второго – 0,15, для третьего – 0,2. Найти вероятность бесперебойной работы всех трех станков в течение одной смены. 3.8. В ящике имеется 20 изделий первого сорта и 5 – второго сорта. Из ящика наудачу берут одно за другим два изделия. Найти вероятность того, что оба изделия окажутся высшего сорта. 3.9. В каждой из трёх партий, содержащих по 20 изделий, имеется соответственно одно, два и четыре бракованных изделия. Из каждой партии наудачу извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что все три изделия окажутся бракованными. 3.10. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трёх орудий соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий. 3.11. Предприятие изготовляет 98% изделий стандартных, причём 90% из них – первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется первого сорта. 3.12. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,9, а вторым стрелком – 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним выстрелом. 3.13. Мастерская получает изделия от заводов А, В, С. Вероятность поступления изделий от завода А равна 0,35, от завода В – 0,4. Найти вероятность того, что очередная партия изделий поступит от завода С. 3.14. В урне находятся 3 чёрных и 2 белых шара. Из урны извлекают последовательно (без возвращения!) два шара. Событие А состоит в том, что первым будет взят белый шар, а событие В – в том, что вторым окажется чёрный. Найти вероятность произведения (т.е. совместного наступления) событий А и В. 3.15. Какова вероятность выпадения двух гербов при двухкратном бросании монеты? 3.16. Пусть при бросании игральной кости событие А означает, что выпадет чётное число очков, а событие В – что количество очков не превзойдёт четырёх. Что означают события А, В, А В , А В ? 3.17. Некто написал 3 письма, запечатал их в конверты, а затем наудачу на каждом из них написал различные адреса. Определить вероятность того, что хотя бы на одном из конвертов написан правильный адрес. 3.18. Какова вероятность извлечения из колоды в 52 карты фигуры любой масти или карты пиковой пасти? 3.19. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырёх независимых выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность четырёх попаданий при четырёх выстрелах. 3.20. Испытуемому предлагаются два теста. Вероятности решения тестов соответственно равны 0,75 и 0,8. Определить вероятность того, что хотя бы один тест будет решён. 3.21. В ящике 6 белых и 8 чёрных шаров, из которого вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые. 3.22. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, а вторым – 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в цель. 3.23. В партии из 30 пар обуви имеется 10 пар женской и 12 пар детской обуви. Найти вероятность того, что взятая наудачу пара обуви окажется не детской. §4. Формула полной вероятности. Формула Байеса событие А может произойти только с одним из событий Н 1 , Н 2 , ..., Н n , образующих полную систему попарно несовместных событий (рис.1.3). Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности: Пусть n Р ( А) P ( H i ) P( A l 1 Н1 Н2 Н3 Hi ). (1.10) Действительно, так как событие А может произойти только с одним из событий Н 1 , Н 2 , ..., Н n , образующих полную систему, то А АН 1 АН 2 ... АН n . Из рис.1.3 видно, что АН 1 , АН 2 , ..., АН n попарно несовместны. Поэтому А Р ( А) Р( АН1 ) Р( АН 2 ) ... Р ( АН n ). Нn Применив правило умножения вероятностей к каждому слагаемому равенства Р ( АН i ) Р( Н i ) P( A Рис. 1.3 Hi ), получим формулу (1.10). В тесной связи с формулой полной вероятности находится так называемая формула Байеса: Р( где P( Н i Нi P( H i ) P( A ) А P( H ) P( A H1 Hi ) ) ... P( H n ) P( A , Hn (1.11) ) ) - вероятность гипотезы Н i после того, как имело место событие А. А Формула Байеса позволяет переоценить вероятность гипотез, принятых до испытания, по результатам уже произведённого испытания. Задача 1. Слепой старец вышел из пункта А в пункт В. Считая, что в каждом из пунктов А, В, С, Д, Е дорога выбирается А наудачу, найти вероятность того, что он дойдёт до пункта В. Решение. Пусть А – событие, 1 2 3 заключающееся в том, что старец дойдёт до С D пункта В. В качестве гипотез примем события: E Н 1 - “старец пошёл по дороге 1”; B Рис. 1.4 Н 2 - “старец пошёл по дороге 2”; Н 3 - “старец пошёл по дороге 3”. Так как в пункте А дорога выбирается наудачу, то Р ( Н 1 ) Р ( Н 2 ) Р( Н 3 ) . Далее, Р ( А Н1 ) - вероятность того, что старец дойдёт до В, если он пошёл по 1 , так как из пункта С в пункт В ведут три дороги. Аналогично 3 рассуждая, получим Р ( А ) 1, Р ( А ) 1 . Н2 Н3 2 дороге 1, равна По формуле (1.10) имеем Р ( А) Р ( Н 1 ) Р( А Н1 ) Р( Н 2 ) Р( А Н2 ) Р( Н 3 ) Р( А Н3 ) 1 1 1 1 1 1 0,611. 3 3 2 3 2 Задача 2. По цели произведено три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле p1 0,5 , при втором – p 2 0,6 , при третьем – p3 0,8 . При одном попадании вероятность поражения цели равна 0,4, при двух – 0,7, при трёх – 1,0. Найти вероятность поражения цели при трёх выстрелах. Решение. Обозначим события: А – “поражение цели при трёх выстрелах”; Н 1 – “одно попадание”; Н 2 – “два попадания”; Н 3 – “три попадания”; Н 4 – “ни одного попадания”. Из условия задачи имеем Р( А ) 0,4 , Р ( А ) 0,7 , Р ( А ) 1 , Р ( А ) 0. Н1 Н2 Н3 Н4 Если р1 , р 2 , р 3 соответственно вероятности попадания при первом, втором, третьем выстрелах, то 1– p1 , 1– p 2 , 1– p3 соответственно вероятности при тех же выстрелах. Следовательно, Р ( Н 1 ) p1 (1 p2 )(1 p3 ) p2 (1 p1 )(1 p3 ) p3 (1 p1 )(1 p2 ) 0,5 0,4 0,2 0,5 0,6 0,2 0,5 0,6 0,8 0,26, так как попадание могло произойти либо при первом выстреле, либо при втором, либо при третьем. Аналогично: Р ( Н 2 ) p1 p2 (1 p3 ) p1 p3 (1 p 2 ) p2 p3 (1 p1 ) 0,5 0,6 0,2 0,5 0,4 0,8 0,5 0,6 0,8 0,46; Р ( Н 3 ) p1 p 2 p3 0,5 0,6 0,8 0,24 , т.к. имели место три выстрела и все три попадания. Р ( Н 4 ) (1 p1 ) (1 p 2 ) (1 p3 ) 0,5 0,4 0,2 0,04 , т.к. имели место три выстрела и все три промаха. Очевидно, что Р ( Н 1 ) Р( Н 2 ) Р( Н 3 ) Р ( Н 4 ) 0,26 0,46 0,24 0,04 . Подставим полученные значения в формулу (1.10): Р ( А) 0,26 0,4 0,46 0,7 0,24 1 0,04 0 0,666 . Задача 3 (поучительная). Студент идёт на экзамен, зная 10 билетов из 25. В каком случае вероятность вытащить “счастливый” билет больше, если он берёт билет первым или вторым? Решение. Если студент идёт первым, то вероятность вытащить “счастливый” билет, очевидно, равна 10 25 0,4 . Предположим теперь, что он берёт билет вторым. Введём гипотезы: Н 1 – вошедший первым вытащил “счастливый” (для второго) билет; Н 2 – вошедший первым вытащил “несчастливый” (для второго) билет. Тогда Р ( Н1 ) 10 0,4 ; Р ( Н 2 ) 15 0,6; Р ( Н 1 ) Р( Н 2 ) 0,4 0,6 1. 25 25 Обозначим через А событие “студент, зашедший вторым, вытащил “счастливый” для него билет”. Тогда Р( А Н1 ) 10 1 9 0,375 . 25 1 24 Так как после того, как первый взял “счастливый” билет, из 24 оставшихся билетов “счастливых” осталось только 9. Аналогично Р( А Н2 ) 10 24 0,417 . По формуле (1.10) Р ( А) Р( Н 1 ) Р( А ) Р ( Н 2 ) Р ( А ) 0,4 0,375 0,6 0,417 0,4 . Н1 Н2 Таким образом, вероятность вытащить «счастливый» билет не зависит от того, идёт ли студент на экзамен первым или вторым. Задача 4. Из 16 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел, но в мишень не попал. К какой же группе вероятнее всего принадлежит стрелок? Решение. Здесь на результаты влияют два фактора: с одной стороны, вероятность попадания, с другой – количество стрелков в группе. Например, наибольшие шансы не попасть у стрелков третьей группы, но зато их только четверо. Пусть событие А – “промах наудачу выбранного стрелка” Н 1 “наудачу выбранный стрелок из первой группы”; Н 2 “наудачу выбранный стрелок из второй группы”; Н 3 “наудачу выбранный стрелок из третьей группы”. Тогда: Р ( Н1 ) 5 0,3125, Р ( Н 2 ) 7 0,4375, Р ( Н ) 7 0,25; 16 16 4 Р( А Р( Н1 Н1 А ) 0,2 0,3125 0,3 0,4375 0,5 0,25 0,31875; ) 0,2 0,3125 0,1961; 0,31875 0,5 0,25 Н Р( 3 ) 0,3922. А 0,31875 Вероятнее всего, стрелок принадлежит ко второй группе. Задача 5. Имеется две партии деталей, причём известно, что в одной партии все детали удовлетворяют техническим условиям, а в другой партии 1 деталей 4 недоброкачественных. Деталь, взятая из наудачу выбранной партии, оказалась доброкачественной. Определить вероятность того, что вторая деталь из этой же партии окажется недоброкачественной, если первая деталь после проверки возвращена в партию. Решение. Пусть событие А – “первая деталь доброкачественная”. Гипотезы: Н 1 – “взята партия, содержащая недоброкачественные детали”; Н 2 – “взята партия доброкачественных деталей”. По условию задачи: Р ( Н 1 ) Р( Н 2 ) 1 , Р ( А ) 3 , Р ( А ) 1; 2 Н1 4 Н2 1 3 1 7 Р ( А) 1 0,875 . 2 4 2 8 После первого испытания недоброкачественные детали, равна: вероятность того, что партия содержит 1 3 Н1 Н 2 4 0,4286; 1 Р( ) А Р( А) 0,875 1 Р( Н 2 ) Р( А ) 1 Н2 Н 2 2 Р( ) 0,5714. А Р( А) 0,875 Р( Н 1 ) Р( А ) Пусть событие В состоит в том, что при втором испытании деталь оказалась недоброкачественной. Вероятность данного события также находится по формуле полной вероятности. Если P1 и P2 – вероятности гипотез Н 1 и Н 2 после испытания, то согласно предыдущим вычислениям P1 0,4286, P2 0,5714. Кроме того, Р ( В ) 1 , Р( В ) 0 . Н1 4 Н2 Поэтому искомая вероятность 1 Р ( В ) 0,4286 0,5714 0 0,107. 4 Задачи для самостоятельного решения 4.1. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором – 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлечённая деталь из наудачу взятого ящика стандартная. 4.2. Имеется три одинаковые по виду урны. В первой урне 15 белых шаров, во второй – 10 белых и 5 чёрных, а в третьей –15 чёрных шаров. Из выбранной наугад урны вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первой урны. 4.3. В цехе на станках а, в, с изготовляют соответственно 25, 35 и 40% всех деталей. В их продукции брак составляет соответственно 15, 18 и 6%. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь дефектна. 4.4. Имеются две одинаковые урны. В первой урне находится 3 белых и 5 чёрных шаров, во второй – 3 белых и 7 чёрных шаров. Из одной наугад выбранной урны извлекают один шар. Определить вероятность того, что шар чёрный. 4.5. Станок одну треть своего времени обрабатывает деталь А и две трети – деталь В. При обработке детали А он простаивает 10% времени, а детали В – 15%. Какова вероятность застать станок простаивающим? 4.6. После предварительного контроля деталь проходит одну из трёх операций обработки с вероятностью 0,25; 0,35; 0,4. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02, на второй – 0,04 и на третьей – 0,05. Найти вероятность получения необработанной детали после обработки. 4.7. В ящике содержится 12 деталей завода 1; 20 деталей завода 2; 18 деталей завода 3. Вероятность того, что деталь завода 1 отличного качества равна 0,9; для деталей заводов 2 и 3 эти вероятности равны 0,6 и 0,9 соответственно. Найти вероятность того, что извлечённая наудачу деталь окажется отличного качества. 4.8. Узоры подвески поступают на общий конвейер с двух участков. Вероятность брака с первого участка 0,05, со второго – 0,1. Второй участок имеет производительность в 2,5 раза больше, чем первый. Рабочий взял с конвейера подвеску, и она оказалась годной. Какова вероятность того, что этот узел изготовлен на первом участке? 4.9. Имеются две одинаковые урны. В первой урне находится 3 белых и 5 чёрных шаров, во второй – 3 белых и 7 чёрных шаров. Из одной наугад выбранной урны извлекают один шар. Он оказывается чёрным. Какова вероятность того, что он извлечён из первой урны? 4.10. В ящике имелось 10 деталей первого сорта и 15 деталей второго сорта. Из ящика утеряны две детали, сорт которых неизвестен. Для определения сорта потерянных деталей из ящика наудачу извлекли две детали, которые оказались второго сорта. Определить вероятность того, что были утеряны детали второго сорта. 4.11. Радиолампа может принадлежать к одной из трёх партий с вероятностями p1, p2, р3, где p1 = р3 = 0,25, p2= 0,5. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов. 4.12. Стрельба производится по трем мишеням типа А, трём – типа В и двум – типа С. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4, типа В – 0,1, типа С – 0,15. Найти вероятность поражения мишени при одном выстреле, если неизвестно, в мишень какого типа будут стрелять. 4.13. Стрелок А поражает мишень при некоторых условиях стрельбы с вероятностью p1= 0,6, стрелок В – с вероятностью р2 = 0,5, и стрелок С – с вероятностью р3 = 0,4. Стрелки дали залп по мишени, и две пули попали в цель. Что вероятнее: попал С в мишень или нет. 4.14. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар. 4.15. При разрыве снаряда образуется 10% крупных осколков, 60% – средних и 30% – мелких. Вероятность пробивания брони крупным осколком равна 0,7; средним – 0,2 и мелким – 0,05. Известно, что в броню попал один осколок. Определить вероятность того, что броня пробита. 4.16. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалифицированную норму равна: для лыжника 0,9; велосипедиста 0,8 и для бегуна 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, названный наудачу, выполнит норму. 4.17. Два стрелка поочерёдно стреляют в мишень. Вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,4 и 0,5; а вероятности попадания при последующих выстрелах для каждого увеличиваются на 0,05. Какова вероятность, что первым произвёл выстрел первый стрелок, если при пятом выстреле произошло попадание в мишень? 4.18. На трёх автоматических линиях изготовляют одинаковые детали. Первая линия даёт 70%, вторая – 20% и третья –10% всей продукции. Вероятности получения бракованной продукции на каждой линии соответственно равны – 0,02; 0,01; 0,05. Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что деталь была изготовлена на первой линии. 4.19. Две из трёх независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа первой, второй и третьей ламп соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3. 4.20. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров. Во втором ящике 10 белых и 10 черных шаров. В третьем ящике 20 чёрных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика. 4.21. Третья часть одной из трёх партий деталей является второсортной, остальные детали – первого сорта. Определить вероятность того, что деталь была взята из партии, имеющей второсортные детали, если она оказалась первого сорта. 4.22. У рыбака есть три излюбленных места рыбалки, которые он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность клёва на первом месте равна 1/3, на втором – 1/2, на третьем – 1/4. Рыбак забросил удочку в наугад выбранном месте, и рыба клюнула. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте. 4.23. На конвейер детали поступают с трёх автоматов. Производительность первого автомата втрое больше производительности второго. Вероятность изготовления годной детали первым автоматом равна 0,9 , вторым – 0,7. С конвейера взята одна деталь. Найти вероятность того, что она годная. 4.24. Детали для сборки изготовляют на двух станках, из которых первый производит деталей в три раза больше второго, при этом брак составляет в выпуске первого станка 2,5%, а в выпуске второго – 1,5%. Взятая наудачу сборщиком деталь оказалась годной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке. 4.25. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров. Во втором ящике 10 белых и 10 чёрных шаров. В третьем ящике 20 чёрных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика. §5. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли) Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа 1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли) Испытания называются независимыми относительно события А, если вероятность появления события А в каждом из этих испытаний не зависит от результата, полученного в других испытаниях. Пусть эксперимент состоит в проведении n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (назовем его “успехом”, тогда А соответственно “неуспех”). Вероятность неуспеха равна q 1 p . В качестве элементарных событий рассмотрим всевозможные произведения А А А... А (в первом – успех, во втором – неуспех и т.д.). Например, если производится 3 испытания и в них два успеха, то элементарные события: А А А , АА А, А АА . Вероятности всех этих событий равны: р 2 q 32 p 2 q , а их число 3. Тогда вероятность события В (произошло 2 успеха в трёх 2 испытаниях) равна 3 p q . Рассмотрим общий случай в рамках схемы Бернулли – нахождение вероятности того, что в n испытаниях произойдёт ровно к успехов ( к n) . Обозначим эту вероятность Pn (к ) . Событию В (произошло к успехов в n испытаниях) благоприятствуют те элементарные события, в которые входит к к n к множителей А и n к множителей А ; вероятности событий равны р q , а их число, как нетрудно видеть, равно числу способов, сколькими можно выбрать к к элементов из n без учёта порядка, т. е. С n . Согласно определению вероятности Pn (к ) P( B) p к q n к р к q n к ... р к q nк С nк p к q n к , где q 1 p . Формулу (1.12) называют формулой Бернулли. (1.12) 2. Локальная теорема Муавра – Лапласа Пусть в схеме Бернулли р 0;1 , тогда где х к np 1 ; ( x) npq 2 npq Pn (к ) 1 при n , ( x) x2 2 . Следовательно, при больших 1 ( x) . npq Pn (к ) Для значений функции n (1.13) (х) составлена таблица (прил. 1). 3. Интегральная теорема Муавра – Лапласа Пусть в схеме Бернулли Рn (к1 ; к 2 ) Рn (к1 к к 2 ) . Тогда при больших n к Рn (к1 ; к 2 ) - число успехов в n испытаниях и 2 х2 х 2 dx , 1 2 х1 к np к np где х1 1 , х2 2 . npq Если npq обозначить Ф( х) 1 2 х х2 2 dx, то получим формулу для 0 вычислений: Рn (к1 ; к 2 ) 1 2 2 х2 х 2 dx 0 1 2 2 х1 х 2 dx 0 Ф( х 2 ) Ф( х1 ) . (1.14) Для значений функции Ф(х) , соответствующих значениям аргумента х 0;5 , имеется таблица (прил. 2). Для отрицательных х значения Ф(х) можно получить, воспользовавшись нечётностью (Ф( х) Ф ( х )) этой функции, а при х 5 можно считать Ф( х) 0,5 , т. к. Ф(5) 499997 , Ф( х) 0,5 и Ф(х) – х функция возрастающая. 4. Теорема Пуассона Если n достаточно велико, а р - мало, то к Рn (к ) , где np к! (1.15) В заключение соберём все результаты относительно Pn (к ) в следующую схему (рис. 1.5). Сnк p к q n к , q 1 p Pn (к ) 1 к np ( x) , х npq npq к , np к! Рис. 1.5 Задача 1. В урне 20 шаров: 15 белых и 5 чёрных. Вынули подряд 5 шаров, причём каждый вынутый шар возвращали в урну, и перед извлечением следующего шары в урне тщательно перемешивались. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет два белых. Решение. Вероятность появления белого шара в каждом испытании р 15 20 , а вероятность непоявления белого шара q 1 p 1 . По формуле 4 Бернулли (1.12) находим: 2 P5 (2) C 52 p 2 q 5 2 3 5! 5! 3 2 1 2 3 4 5 3 2 45 3 1 4 4 . 2!(5 2)! 4 4 2!3! 4 1 2 1 23 4 512 Задача 2. Найти вероятность того, что из 100 независимых выстрелов будет 75 попаданий, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Решение. Очевидно, мы находимся в рамках схемы Бернулли: n 100 , к 75, р 0,8 , q 0,2 . n - достаточно велико, воспользуемся формулой (1.13): к np 75 100 0.8 1,25 . 4 npq По таблице (см. прил. 1) находим: (1,25) 0,1826. Тогда 1 Р100 (75) 0,1826 0,0456. 4 npq 100 0.8 0.2 4, x Задача 3. Вероятность появления события при одном опыте равна 0,3. С какой вероятностью можно утверждать, что частота этого события при 100 опытах будет лежать в пределах от 0,2 до 0,4? Решение. Для того, чтобы частота лежала в пределах от 0,2 до 0,4 в серии из 100 опытов, число появлений события m должно быть не менее 20 и не более 40 (20 m 40) . Воспользуемся интегральной теоремой Муавра–Лапласа, формулой (1.14). 40 n p Ф 20 n p , Р (20 m 40) Ф n pq n pq где n 100 , p 0,3 , q 0,7 . Следовательно, 40 n p 40 30 Ф Ф 100 0,3 0,7 Ф (2,18) 0,4854 , n p q где значение Ф(2,18) найдено по таблице приложения 2. Ф( 20 n p 20 30 ) Ф( ) Ф(2,18) Ф(2,18) 0,4854 . n pq 100 0,3 0,7 Следовательно, P (20 m 40) 0,4854 0,4854 0,97 . Задача 4. Аппаратура содержит 2000 элементов, вероятность отказа каждой из них р = 0,0005. Какова вероятность отказа 3-х элементов, если отказы происходят независимо друг от друга? Решение. р – мало. Воспользуемся теоремой Пуассона: 3 1 1 2000 0,0005 1 ; Р 2000 (3) 0,06 . 3! 23 Задача 5. Испытанию подвергается партия транзисторов. Вероятность безотказной работы каждого транзистора равна 0,92. Определить, какое число транзисторов следует испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было зафиксировать хотя бы один отказ. Решение. Обозначим количество испытуемых транзисторов через n . Тогда n вероятность их безотказной работы равна 0,92 . События: “все транзисторы работают безотказно” и “хотя бы один транзистор не работает” – образуют полную группу n событий. Значит, вероятность события “хотя бы один отказ” равна 1 0,92 . По условию задачи эта величина больше 0,95, т.е.: 1 0,92 n 0,95; 0,92 n 0,5; 0,92 n 0,5. ln 0,92 n ln 0,5; n ln 0,92 ln 0,5; ln 0,5 n 35,9. ln 0,92 Следовательно, n 36 . И, в заключение, рассмотрим задачу, иллюстрирующую все три формулы. Задача 6. Работница обслуживает 800 веретен. Вероятность обрыва пряжи на каждом из них за промежуток времени t равна 0,005. Найти наиболее вероятное число обрывов и его вероятность. Решение. Наиболее вероятное число обрывов будет λ=пр=4. Точное значение вероятности четырех обрывов равно (см. (1.12)) 4 Р800 4 С800 0,0054 (0,995) 796 0,1945 . Пользуясь формулой Пуассона с λ = пр = 4, получаем (см. (1.15)) 4 4 4 256 Р 800 (4) е 0,0183 0,1954 . 4! 24 Вычисление по точной формуле дает 0,1945, так что ошибка при пользовании формулой Пуассона составляет 0,0009. Локальная предельная теорема Муавра–Лапласа дает для данного случая (см. (1.13)) х2 1 Р800 4 е 2 0,2000 , 2 800 0,005 0,995 к np 4 800 0,005 ибо здесь х 0 , е0=1, так что ошибка составляет уже npq 800 0,005 0,995 0,0055, т. е. в шесть раз больше, чем при использовании формулы Пуассона, т. к. пр=4<10. Задачи для самостоятельного решения 5.1. Большая партия изделий содержит 1% брака. Каков должен быть объем случайной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бракованное изделие была 0,95? 5.2. Вероятность любому абоненту позвонить на коммутатор в течение 1 часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение 1 часа позвонят 4 абонента? 5.3. По мишени в тире при одинаковых условиях произведено 200 независимых выстрелов, которые дали 116 попаданий. Определить, какое значение вероятности попадания при каждом выстреле более вероятно: 1/2 или 1/3 , если до опыта обе гипотезы равновероятны и единственно возможны. 5.4. Линия связи, имеющая 130 каналов, связывает пункт А с пунктом В, где имеются 1000 абонентов, каждый из которых пользуется телефоном в среднем 6 минут в час. Найти вероятность безотказного обслуживания абонента. 5.5. В магазине 1000 книг. Вероятность продажи каждой из них в течение дня равна 0,8. Какое максимальное число книг будет продано в течение дня с вероятностью 0,999? 5.6. Принимая одинаково вероятным рождение мальчика и девочки, найти вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей: а) два мальчика; б) мальчиков больше, чем девочек. 5.7. Среди вырабатываемых деталей бывает в среднем 4% брака. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание 50 деталей будет 40% бракованных? 5.8. Бомбардировщик делает четыре захода на цель и каждый раз сбрасывает по одной бомбе. Вероятность попадания бомбы в цель равна 0,4. Попавшая бомба поражает цель с вероятностью 0,7. Найти вероятность поражения цели. 5.9. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия. 5.10. Вероятность производства бракованных изделий равна 0,008. Найти вероятность брака 8 изделий в партии, содержащей 100 изделий. 5.11. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков. 5.12. В ящике содержится 80 стандартных и 20 нестандартных деталей. Найти вероятность того, что из пяти взятых наудачу деталей не менее четырёх окажутся нестандартными. 5.13. Для нормальной работы станции медицинской помощи требуется не менее 8 автомашин, а их имеется десять. Найти вероятность нормальной работы станции, если вероятность ежедневной неисправности каждой автомашины равна 0,1. 5.14. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 1/5. Найти вероятность того, что из десяти выстрелов не будет ни одного попадания. 5.15. Вычислить вероятность того, что при 100-кратном бросании монеты герб выпадет: а) ровно 50 раз; б) ровно 60 раз. 5.16. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна 0,002. Проверяется книга, содержащая 500 страниц. Найти вероятность того, что с опечатками окажутся от трёх до пяти страниц. 5.17. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе руды равна 0,7. Отобрано 400 таких проб руды. Определить вероятность того, что число проб с промышленным содержанием металла среди них окажется не менее 275. 5.18. Вероятность повреждения аппаратуры при транспортировке равна 0,002. Какова вероятность того, что при перевозке 3000 изделий будут повреждены не более трёх? 5.19. Вероятность того, что наудачу взятое изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 100 проверенных изделий окажется стандартных не менее 84. 5.20. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,25. Найти вероятность того, что событие наступит 50 раз в 243 испытаниях. 5.21. В среднем левши составляют 1%. Какова вероятность того, что среди 200 студентов найдётся 4 левши? 5.22. Из таблицы случайных чисел наудачу выписано 200 двузначных чисел (от 00 до 99). Определить вероятность того, что среди них 33 встретится: а) три раза; б) четыре раза. 5.23. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (нечётный исход партии исключён): три партии из четырёх или пять из восьми? 5.24. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у обоих будет равное количество попаданий. 5.25. Испытанию подвергается партия транзисторов. Вероятность безотказной работы каждого транзистора равна 0,92. Определить, какое число транзисторов следует испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было зафиксировать хотя бы один отказ. §6. Случайные величины. Законы распределения случайных величин. Числовые характеристики Пример 1. Бросают две правильные однородные монеты. Сколько из них выпадет гербом кверху? При подбрасывании двух монет пространство элементарных событий имеет вид ЦЦ , ЦГ , ГЦ , ГГ , где Ц – цифра; Г – герб. Первый символ показывает, как выпала первая монета, а второй – вторая монета. Так как монеты правильные и однородные, то можно считать, что все элементарные события пространства равновероятны, и тогда вероятность р каждого из них равна 1/4. Обозначим через X число монет, выпавших гербом кверху, и составим таблицу . ЦЦ ЦГ ГЦ ГГ Х Р 0 1 4 1 1 4 1 1 4 2 1 4 Так как элементарным событиям ЦТ и ГЦ соответствует одно и то же значение величины X равное 1, то можно таблицу переписать в виде Х р 0 1 4 1 2 1 2 1 4 4 Итак, каждое значение величины Х – есть число, определяемое исходом опыта и зависящее от случая. Величина X называется случайной величиной, если в результате опыта принимает с определённой вероятностью то или иное значение, зависящее от исхода опыта. Случайная величина называется непрерывной, если её возможные значения непрерывно заполняют какой-либо интервал или интервалы. Например, расстояние между центром мишени и точкой попадания; множество значений 0, , где – максимальное отклонение точки попадания от центра мишени есть непрерывная случайная величина. Случайная величина называется дискретной, если её возможные значения можно пронумеровать. Случайная величина в примере 1 является дискретной. Случайная величина X может быть задана: 1) рядом распределения ( дискретная случайная величина); 2) функцией распределения (дискретная и непрерывная случайные величины); 3) плотностью распределения (непрерывная случайная величина) . Рядом распределения дискретной случайной величины называется совокупность всех возможных значений хi и соответствующих им вероятностей n Pi P ( x x i ) . Вероятности Pi удовлетворяют условию Pi 1 , число возможных l 1 значений n может быть конечным или бесконечным. Бессодержательно говорить о вероятности появления данного конкретного значения непрерывной случайной величины. Имеет смысл рассматривать и изучать вероятности P ( x ) того, что значение непрерывной случайной величины X попадает в заданный интервал α,β . Введём функцию распределения F (x) случайной величины: F ( x) P( x X ) или F ( x) P ( x X ) . (1.16) Укажем некоторые свойства функции распределения: 1) 0 F ( x) 1; 2) если x1 x 2 , то F ( x1 ) F ( x 2 ); 3) lim F ( x) 1, lim F ( x) 0; x x 4) P( x ) F( ) F( ) . Случайная величина X называется непрерывной, если её функция распределения F (x) непрерывно дифференцируема, за исключением, может быть, конечного числа точек. Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция f ( x) F ( x) . Плотность распределения и функция распределения связаны соотношением x F ( x) f ( x)dx. (1.17) Плотность распределения обладает свойствами: 1) f ( x ) 0; 2) n f ( x)dx 1 (аналогично для дискретной случайной величины P 1 ); i l 1 3) P ( x ) f ( x)dx (аналогично для дискретной случайной величины P ( x x i ) Pi ). Геометрически свойство 3 означает, что вероятность P ( a x в ) равна площади, заключённой между прямыми x , x , y 0 и кривой y f (x) ( рис. 1.6). Математическим ожиданием, или средним значением случайной величины X, называется число M ( Х ) xi Pi , P(α х β) l 1 если X – дискретная принимающая значения вероятностями: f(х) х 0 α β Рис. 1.6 (1.18) величина, xi с Pi (i 1, n) . M (Х ) xf ( x)dx , (1.19) если X – непрерывная величина. Предполагается, что ряд (1.18) и несобственный интеграл (1.19) абсолютно сходятся; если это не так, то говорят, что математическое ожидание не существует. Математическое ожидание является числом, характеризующим определённое свойство случайной величины, а именно - устойчивость среднего арифметического полученных в результате испытаний значений. Другими словами, математическое ожидание – это самое наивероятнейшее значение, которое может принять случайная величина. Нам остается только рассмотреть некоторые свойства математического ожидания. Теорема 1. Математическое ожидание постоянной величины есть сама эта величина: М(С)=С. Доказательство. Постоянную величину С можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую лишь одно значение с вероятностью единица. Поэтому М(С) =С–1=С. Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. Доказательство. Рассмотрим доказательство отдельно для дискретных и непрерывных случайных величин. Для дискретной случайной величины, пользуясь (1.18), имеем M (СХ ) Сxi Pi С xi Pi СM ( Х ) . l 1 l 1 Для непрерывных случайных величин нужно воспользоваться формулой (1.19), которая дает M (СХ ) Сxf ( x)dx С xf ( x)dx СM ( Х ) . Теорема 3. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий. М(Х+ Y+...+Z) = M(X)+ M(Y) +... +M(Z). (1.20) Теорема 4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. М(Х·Y) = М(Х)·M(Y). (1.21) Не будем приводить здесь доказательств теорем 3 и 4. Итак, мы познакомились с одной из основных числовых характеристик случайной величины – математическим ожиданием, которое характеризует среднее значение случайной величины. Однако знания только среднего значения случайной величины недостаточно для того, чтобы представить себе расположение значений случайной величины относительно ее среднего значения. Например, для случайной величины, принимающей значения + 1 и – 1 с вероятностью 0,5 каждое, как и для другой случайной величины, принимающей значения +100 и – 100 с теми же вероятностями, математическое ожидание одинаково и равно нулю. Между тем разброс этих величин относительно их общего математического ожидания совершенно различен. Чтобы охарактеризовать отклонение случайной величины от ее среднего значения, т. е. охарактеризовать разброс значений этой величины, вводят другую ее числовую характеристику – дисперсию, или рассеяние. Для характеристики разброса не удается использовать разность между случайной величиной и ее средним значением, хотя на первый взгляд это и кажется наиболее естественным. Дело в том, что сама эта разность есть также случайная величина. Если же взять ее математическое ожидание, то в силу свойств математического ожидания для любой случайной величины Х имеем М [X — М (X)] = М (X) – М [М (X)] = 0, так что такая характеристика оказывается бесполезной. Чтобы этого избежать, рассматривают не сами отклонения от среднего, а их квадраты, которые все неотрицательны, и в качестве характеристики рассеяния принимают среднее значение квадрата отклонения. Таким образом, другой характеристикой случайной величины является дисперсия – среднее значение квадрата отклонения значений от её математического ожидания. Дисперсией D ( Х ) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания. D( Х ) M ( x M ( Х )) 2 . (1.22) Обозначив для краткости M ( X ) x , можем вместо (1.22) написать D ( X ) M ( X x) 2 . Если случайная величина Х дискретна и принимает значения х1, х2,..., хi... с вероятностями р1, p2,.... рi,..., то случайная величина Х х 2 принимает значения xi х 2 с вероятностью р (i = 1,2,...). Поэтому для дискретной случайной величины i формула для вычисления дисперсии имеет вид n D ( Х ) ( xi х ) 2 р i . (1.23) l 1 Аналогично для непрерывной случайной величины получаем D( Х ) ( x х) 2 f ( x)dx . (1.24) Часто вместо обозначения D(X) применяется также обозначение σ2(Х). Величину D(x ) называют средним квадратическим отклонением или стандартом. Пример 2. Число очков, выбиваемых при одном выстреле каждым из двух стрелков, подчиняется законам распределения, приведенным в таблицах. хi pi Стрелок 1 1 2 0,3 0,2 3 0,5 хi pi Стрелок 2 1 2 0,1 0,6 3 0,3 Найдем математическое ожидание числа очков при отдельном выстреле для каждого стрелка. Для первого стрелка имеем М (X1) = 1 · 0,3 + 2 · 0,2 + 3 · 0,5 = 2,2. Для второго стрелка М (X2) = 1 · 0,1 + 2 · 0,6 + 3 · 0,3 = 2,2. Таким образом, математическое ожидание числа очков для обоих стрелков одинаково. Определим теперь дисперсию случайных величин X1 и Х2. Для первого стрелка D (X1) = (1 – 2,2)2 · 0,3 + (2 – 2,2)2 · 0,2 + (3–2,2)2 · 0,5 = 0,76. Для второго стрелка D (X2) = (1 – 2,2)2 · 0,1 + (2 – 2,2)2 · 0,6 +(3–2,2)3 · 0,3 =0,36. Следовательно, при одинаковом среднем для числа очков, выбиваемых обоими стрелками, рассеяние результатов у первого превышает рассеяние у второго. Таким образом, у второго стрелка большая кучность, т. е. результаты его стрельбы более устойчивы. Вообще, можно заметить, что чем меньше дисперсия, тем лучше значения случайной величины характеризуются ее математическим ожиданием. Пользуясь свойствами математического ожидания, можно получить другое выражение для вычисления дисперсии, более удобное, чем (1.22). Для этого преобразуем выражение (1.22) следующим образом: D (X) = М [X — М (Х)]2 = М [Х2 — 2 ХМ (Х) + (М (Х)2]. В силу теоремы 3 последнее выражение можно представить в виде суммы математических ожиданий. Заметим еще, что М(Х) есть постоянная величина и ее математическое ожидание, по теореме 1, равно ей самой. Поэтому мы получаем D (X) = М (Х2) – 2 М (X) М (X) + (М (Х))2, или, окончательно, D(X)=M(X2)–(M(X))2. (1.25) Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания. Рассмотрим теперь некоторые свойства дисперсии. Теорема 5. Дисперсия постоянной величины равна нулю. D(C)= 0. Действительно, D(C)=M(C—M(C))= M(C—C)= 0. Этого следовало ожидать, ибо математическое ожидание постоянной равно ей самой и никакого рассеяния значений в этом случае не может быть. Теорема 6. Постоянный множитель можно выносить из-под знака дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX)=C2D(X). (1.26) Доказательство. Из формулы (1.25) следует: D (СХ) = М (С2Х2) – (М (СХ))2 = С2 [М (X2) — (М (X))2]. Таким образом, D(CX)=C2D(X), что и утверждалось. Теорема 7. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(X+Y)=D(X)+D(Y). (1.27) Доказательство. Пользуясь формулой (1.25), напишем D(X+ Y) = M(X+ Y)2 – (М(Х+Y))2. Раскрыв скобки в правой части и пользуясь теоремами 3 и 4 о математическом ожидании, получаем D(Y+Y) = М (X2 + 2XY+ Y2) – [М(X) + М(Y)]2 = =M(X2)+2M(X)M(Y)+M(Y2)–(M(X))2–2M(X)M(Y)–(.M(Y))2 откуда D(X+Y)=M(X2)–(M(X))2+M(Y)2–(M(Y))2 = D(X)+D(Y). Заметим, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий, как для независимых, так и для зависимых случайных величин. Для дисперсии суммы необходимо предположить независимость слагаемых, ибо при доказательстве приходится пользоваться как теоремой о математическом ожидании суммы, так и теоремой о математическом ожидании произведения. Теорема 8. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(X–Y)=D(X)+D(Y). (1.28) Задача 1. Случайная величина Х - абсцисса наудачу выбранной на отрезке 0;1 точки. Построить функцию распределения случайной величины. Решение. Равенство X x , если 0 x 1 означает, что точка попала в интервал 0; x ; вероятность попасть в этот интервал равна его длине, т.е. x . Следовательно, F ( x) P( X x) P(0 X x) x , если 0 x 1 . Если x 0 , то X x всегда и равенство X x невозможно, т.к. 0 X 1 . Если x 1 , то X x всегда, т.к. 0 X 1 . Поэтому F ( x) 0 , если x 0 , и F ( x) 1 , если x 1 . Таким образом (рис. 1.7), 0, F ( x ) x, 1, F(x) 1 x 0 1 если x 1; Рис. 1.7 если 0 x 1; если х 1. Нетрудно убедиться, что эта функция удовлетворяет свойствам 1-3. Задача 2. Пусть X – число гербов в двух независимых бросаниях монеты. Х может принимать значения 0, 1, 2, причём Px 0 Px 2 1 1 , Px 1 4 2 (см. пример 1). Поэтому если x 0 , то F ( x) P( X x) 0 , т.к. X принимает только положительные значения: 0, 1, 2. Если 0 x 1 , то F ( x) P(0 X x) Px 0 т.к. на этом интервале X больше только одного значения случайной величины X 0 . Если 1 x 2 , то 1 , 4 F(x) F ( x) P( X x) P( x 0) ( x 1) 1 Px 0 Px 1 . Т.к. если x 1; 2, то x 3/4 принадлежит интервалу больше двух значений 1/4 x 0 1 2 Рис. 1.8 1 1 3 4 2 4 случайной величины: x 0 и x 1 . Если x 2 , то PX x 1, т. к. если x 2 , то x больше всех возможных значений случайной величины: x 0, x 1, x 2. Таким образом, функция распределения случайной величины Х имеет вид 0, если x 0; 1 , если 0 x 1; 4 F ( x) 3 , если 1 x 2; 4 1, если x 2. График этой функции приведён на рис. 1.8. Задача 3. Производятся последовательные испытания пяти приборов на надёжность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надёжным. Построить ряд распределения случайного числа испытанных приборов, найти математическое ожидание и дисперсию, если вероятность выдержать испытания для каждого из них равна 0,9. Решение. X – случайное число испытанных приборов, оно может принимать следующие значения: x1 1, x2 2, x3 3, x4 4, x5 5 . Вероятности Pi P ( X xi ) того, что число испытанных приборов, соответствующих данному частному значению xi , будут равны: P1 P( x 1) 0,1; P2 P( x 2) 0,9 0,1; P3 P( x 3) 0,9 2 0,1; P4 P( x 4) 0,9 3 0,1; P5 P( x 5) 0,9 4 0,1 0,9 5 0,6591, т.к. либо пятый прибор не исправен, либо все пять приборов исправны. Таким образом, ряд распределения будет иметь вид Х 1 2 3 4 5 р 0,1 0,09 0,081 0,0729 0,6591 5 Нетрудно убедиться, что рi 1 . l 1 Для нахождения математического ожидания М(Х) и дисперсии D(X) воспользуемся формулами (1.18) и (1.25). Таким образом, n M ( Х ) pi xi 1 0,1 2 0,09 3 0,081 4 0,0729 5 0,6521 4,0951; l 1 D( Х ) М ( Х 2 ) ( М ( Х )) 2 1 0,1 2 2 0,09 32 0,081 4 2 0,0729 5 2 0,6521 (4,0951) 2 1,9881 . Задача 4. Плотность вероятности случайных амплитуд боковой качки корабля имеет вид (закон Релея) f ( x) x2 x a 2 е 2 a ( x 0) . 2 Определить: а) функцию распределения; б) математическое ожидание. Решение. x а) F ( x ) f ( x)dx . Так как x 0 , то x F ( x) 0 x a x2 2 x x 2 е 2 a d ( 2 е 2 a dx 2 0 x x2 2 2a 2 ) 1 е 2a . 2 Таким образом, x 0; 0, F ( x) x2 1 е 2 a 2 , x 0 . б) М х хf ( x)dx 0 x a 2 x2 2 е 2 a dx a 2 . 2 При вычислении воспользовались формулой интегрирования по частям: b udv b u v a a b vdu , a где u x, du dx, dv x a2 x2 x2 2 2 е 2 a dx, v е 2 a . Задача 5. Случайная величина Х имеет плотность 2 A cos x , при х ; 2 f ( x) 0, при х . 2 Найти: а) коэффициент А; б) М (Х ) и D ( Х ) . Решение. а) Так как все значения случайной величины Х принадлежат отрезку 2 , 2 , то 2 f ( x)dx 1 , 2 то есть 2 A cos 2 xdx 1, A 2 2 1 cos 2 x 1 sin 2 x 2 2 dx A( x ) A 1 А , 2 2 2 2 2 2 то есть: 2 2 cos x , при x ; 2 f ( x) 0, при х . 2 б) М х 2 2 x cos 2 xdx 0, т. к. подынтегральная функция нечётная, а её 2 первообразная будет чётной функцией, и на симметричном интервале интеграл будет равен нулю. 2 2 D ( Х ) M ( Х ) ( M ( Х )) 2 2 2 2 1 2 x cos xdx . 12 2 2 При вычислении воспользовались формулами: в в 1 cos 2 x в cos x , udv u v vdu. 2 а а а 2 Задачи для самостоятельного решения 6.1. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Найти систематическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа стандартных деталей. 6.2. Точка брошена наудачу внутрь круга радиусом R. Вероятность попадания точки в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади области. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию расстояния точки до центра круга. 6.3. Случайная величина X имеет следующее распределение: Х р -2 0,1 -1 0,2 0 0,2 1 0,4 2 0,1 Найти выражение и построить график функции распределения случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение, не превосходящее по абсолютной величине 1. Найти математическое ожидание и дисперсию. 6.4. Непрерывная случайная величина X имеет плотность распределения: 0 , при x ; 2 f ( x ) A cos x, при x ; 2 2 0 , при x . 2 Требуется: а) найти коэффициент А; б) построить график плотности распределения f (x) ; в) найти P ( x ); 4 4 г) найти функцию распределения F (x) ; д) найти математическое ожидание и дисперсию. 6.5. Производится три выстрела с вероятностями попадания в цель, равными: р1 0,4; р 2 0,3; р3 0,6. Найти автоматическое ожидание общего числа попаданий. 6.6. Случайная величина Х подчинена закону Лапласа f ( x ) a x ( 0) . Требуется: а) найти коэффициент a; б) построить графики плотности распределения и функции распределения; в) найти M (Х ) и D ( Х ) . 6.7. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания в неё первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить закон распределения числа попаданий при двух выстрелах, найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий в мишень. Построить график функции распределения. 6.8. Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид: при x 1; 0, F ( x) а в arcsin x, при 1 x 1; 1, при x 1. Определить постоянные а и в . Найти M (Х ) и D ( Х ) . 6.9. Случайная величина X задана функцией распределения: 0, при x 0; F ( x) x 2 , при 0 x 1; 1, при x 1. Построить график функции распределения. Найти вероятность того, что в результате четырёх независимых испытаний случайная величина Х ровно три раза примет значения, принадлежащие интервалу 0,25;0,75 . 6.10. Случайная величина Х имеет распределение: Х -1 -0,5 0,1 0 р 0,005 0,012 0,074 0,102 0,1 0,148 0,2 0,231 0,5 1 0,171 0,16 1,0 1,5 0,081 0,081 2,0 0,016 Найти: 1 ); 2 б) P ( x 0) ; в) Р (1 х 2) . а) Р ( х 6.11. Непрерывная случайная величина имеет плотность распределения: 0, если x 0; f ( x) С х, если 0 x 5; 0, если x 5. Требуется: а) найти коэффициент С; б) построить график плотности распределения f (x ) ; в) найти функцию распределения F (x) ; г) найти M (Х ) и D ( Х ) ; д) найти Р (1 х 2) . 6.12. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид 3 если x ; 0, 2 2 F ( x) cos x, если x 2 ; 3 если x 2 . 1, Найти вероятность того, что в результате пяти независимых испытаний случайная величина Х ровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу 0; . Построить график функции распределения. Найти M (Х ) и D( Х ) . 6.13. Случайная величина X имеет плотность распределения: 0, если x 1; f ( x) C , если 1 x 3; 0, если x 3. Требуется: а) найти коэффициент С; б) найти M (Х ) и D ( Х ) ; в) построить график плотности распределения; г) найти P (1,5 х 2) . 6.14. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид 0, если x 0; 2 х F ( x) , если 0 х 2; 4 1, если x 2. Найти M (Х ) и D ( Х ) P (1 х 1,5) . Построить график плотности распределения. 6.15. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из неё пять раз подряд извлекают шар, причём каждый раз вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х – число извлечённых белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить M (Х ) и D ( Х ) . 6.16. Пусть дана функция: при x 0; 0, f ( x ) (4 x x 2 ), при 0 x 2; 0, при x 2. При каком значении функция f (x) может быть принята за плотность вероятности случайной величины Х? Определить M Х и D Х соответствующей случайной величины Х. 6.17. В урне имеются четыре шара с номерами от 1 до 4. Вынули два шара. Случайная величина X – сумма номеров шаров. Построить ряд распределения случайной величины Х. Найти M (Х ) и D ( Х ) . 6.18. Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределений случайной величины. Найти M (Х ) и D ( Х ) . 6.19. Дан ряд распределения случайной величины X: Х р 10 0,2 20 0,3 30 0,35 40 0,1 50 0,05 Найти функцию распределения вероятности этой случайной величины. 6.20. Случайная величина X задана функцией распределения: при х 2; 0, F ( x) ( x 2) 2 , при 2 х 3; 1, при x 3. Вычислить вероятность попадания случайной величины Х в интервалы 2,5;3,5, 1;2,5 . Найти плотность распределения случайной величины. Найти M (Х ) и D X . 6.21. Даны вероятности значений случайной величины Х; значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2 – вероятность 0,4; значение 8 – вероятность 0,1; значение 4 – вероятность 0,2. Построить ряд распределения случайной величины X. Найти M (Х ) и D( Х ) . 6.22. В урне 30 шаров, из них 5 белых. Вынули один шар. Случайная величина X – число вынутых белых шаров. Построить ряд распределения случайной величины Х. Построить функцию распределения F (x) . 6.23. Вероятность того, что станок, работавший в момент t 0 , не остановится до t момента t 0 t , дается формулой P (t ) . Найти математическое ожидание и дисперсию рабочего периода станка (между двумя последовательными остановками). 6.24. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Производится три выстрела. Построить ряд распределений случайной величины Х – числа попаданий при трёх выстрелах. Найти математическое ожидание и дисперсию. 6.25. Дана функция плотности распределения случайной величины X: при x 0; 0, f ( x ) a sin x, при 0 x ; 0, при x . Определить a, F (x) , M (Х ) и D ( Х ) . §7. Важнейшие примеры распределений В настоящем параграфе приводятся наиболее часто встречающиеся типы распределений непрерывных и дискретных случайных величин и примеры их применения. 1. Биноминальное распределение Рассмотрим серию из п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А равна р. Случайная величина Х означает число наступлений событий. Она дискретна, и ее возможными значениями являются неотрицательные целые числа 0, 1, 2, ... , п. Закон распределения случайной величины Х задается уже известной нам формулой (см. § 5 ) Pn (к ) С nк p к q nк , (1.29) определяющей вероятность равенства Х= к. Как было указано в § 5, это выражение представляет собой член разложения бинома (р +q)n. Поэтому говорят, что случайная величина Х подчиняется биноминальному закону распределения. Примеры приложений биноминального распределения уже встречались нам в предыдущих параграфах. Чтобы вычислить дисперсию случайной величины, распределенной по биноминальному закону, воспользуемся теоремой о дисперсии суммы случайных величин. Пусть случайная величина Х означает количество наступлений события А в серии из п испытаний, причем в каждом испытании вероятность наступления события равна р. Положим X=X1+ X2+…+ Xn, где Xi – случайная величина, принимающая только два значения: 1, если в i-м испытании событие А произошло, и 0, если оно не произошло. Закон распределения каждой из величин Xi одинаков и задается таблицей xi pi 0 q =1-p 1 р Математическое ожидание Xi равно M(Xi)=0·q+1·p=p. Отсюда, пользуясь теоремой о математическом ожидании суммы, сразу видим, что М(Х)= пр. (1.30) Дисперсия Xi равна (см. формулу (1.23) §6) D (Xi) = (0 – р)2·q + (1 – p)2·p =p·q (p +q) = pq. Отсюда по теореме о дисперсии суммы D(X)=npq. (1.31) Задача 1. Стрелок делает по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий и вычислить математическое ожидание и дисперсию указанной случайной величины. Решение. Случайная величина Х – число попаданий в мишень при 3-х выстрелах распределена по биноминальному закону, её возможные значения 0, 1, 2, 3. P ( x 0) C30 p 0 q 3 0,7 3 0,343; 3! 0,3 0,7 2 0,441; 1!2! 3! P ( x 2) C32 p 2 q1 0,32 0,7 0,189; 2!1! 3 3 0 P ( x 3) C3 p q 0,33 0,027. P ( x 1) C31 p1q 2 Ряд распределения случайной величины Х: Х р 0 0,343 1 0,441 2 0,189 3 0,027 2. Нормальный закон распределения Среди законов распределения, которым подчиняются встречающиеся на практике случайные величины, чаще всего приходится иметь дело с нормальным законом распределения. В частности, нормальный закон распределения имеет фундаментальное значение при обработке результатов испытаний или эксперимента. Функция нормального распределения F ( х) 1 2 2 х х a 2 е 2 dx, (1.32) 0 где а и σ2 – параметры распределения, представляющие собой соответственно математическое ожидание и дисперсию случайной величины х. Графики функции нормального распределения для различных значений дисперсий и математического ожидания показаны на рис. 1.9. Нормальная плотность вероятности x 1 e 2 x a 2 2 2 . (1.33) На рис. 1.10 приведены графики нормальной плотности вероятностей для различных значений дисперсии и математического ожидания. График нормальной плотности вероятности имеет максимальную ординату при х=а. Через эту же ординату проходит ось симметрии кривой. F(x) 1,0 1 2 31 2 43 54 65 6 0,75 0,5 0,25 0 а а4 а5 а6 х Рис. 1.9 Графики функции нормального распределения: 1, 2, 3–а1=а2=а3=а; σ1< σ2< σ3; 2, 4, 5, 6 – а2< а4< а5< а6; σ2= σ4= σ5= σ6 f(х) 1 2 4 5 3 а а4 а5 Рис. 1.10 Графики нормальной плотности вероятности: 1, 2, 3–а1=а2=а3=а; σ1< σ2< σ3; 2, 4, 5, 6 – а2< а4< а5< а6; σ2= σ4= σ5= σ6 Поэтому у случайных величин, подчиняющихся нормальному закону распределения, значения математического ожидания, медианы и моды совпадают между собой. Если в выражениях (1.32) и (1.33) перейти к новой переменной, называемой нормированной, случайной величиной, xa , z (1.34) то получим 1 F ( z ) F ( х) 2 xa z2 е 2 dz (1.35) и 2 1 z2 z e . 2 (1.36) Выражение (1.35) представляет собой функцию нормального закона распределения нормированной случайной величины (1.34) и называется нормированной функцией нормального распределения. Функция (1.36) является плотностью вероятности нормированного нормального распределения. Значения этой функции для различных z приведены в таблице прил.1. С нормальной плотностью вероятности (1.33) функция (1.36) имеет следующую связь: x 1 z . (1.37) Выражения (1.35) и (1.36) показывают, что если случайная величина х распределена нормально со средним, равным а, и дисперсией, равной σ2, то нормированная случайная величина z (1.34) также имеет нормальное распределение со средним, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Вероятность нахождения в интервале (–∞, х1) случайной величины X, следующей нормальному закону распределения, на основании (1.16) и (1.32), определится как Р Х х1 2 z1 z е 2 dz , 1 2 (1.38) или, что легко доказать, Р Х х1 0,5 1 2 2 z1 z е 2 dz . (1.39) 0 Интеграл с переменным верхним пределом вида Ф z 1 2 z 0 z2 е 2 dz (1.40) носит название функции Лапласа. Геометрически функция Лапласа представляет собой площадь под кривой φ(z) в промежутке от 0 до z (рис. 1.11). Значения этой функции приведены в таблице прил. 2. f (z ) 0,4─ 0,3─ 0,2─ Ф(z) 0,1─ -3 -2 -1 0 1 2 3 z Pис. 1.11 Геометрическое представление функции Лапласа Следует иметь в виду, что Ф(–z) = – Ф(z), Ф(–∞) = –1/2, Ф(0)=0, Ф(∞) = 1/2. (1.41) С учетом (1.37) вероятность нахождения в интервале (–∞; x1) случайной величины Х определится из выражения Р(Х<х1)=0,5+Ф(z1). (1.42) Для интервала (x1; х2) соответствующую вероятность можно подсчитать на основании (1.32) и (1.37) как Р(х1<Х х2)=Ф(z2) – Ф(z1), (1.43) где z1 x1 a x a и z2 2 . (1.44) Пользуясь указанными соотношениями и таблицей прил. 2, легко можно определить, что вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал а ± σ составляет – P ≈ 0,68, в интервал а±2σ – ≈ 0,95 и в интервал а+3σ – P ≈ 0,997. Нетрудно показать, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по нормальному закону, равны а и σ2 соответственно, т. е. М(Х) = а, D(X) = σ2. Задача 2. Образцы из прессованного дюралюминиевого профиля испытывают на разрыв с целью определения предела прочности σв. Определить вероятность попадания значения предела прочности испытываемого образца в интервал (43 кгс/мм2; 47 кгс/мм2), если для случайной величины Х=σв, a=45,3кгc/мм2 и σ =1,13 кгс/мм2. Решение. Пользуясь формулами (1.44), находим z1 43 45,3 47 45,3 2,03 и z 2 1,50 . 1,13 1,13 По таблице прил. 2 для вычисленных значений z1и z2 определяем: Ф(z1)=Ф(–2,03) = –Ф (2,03) = –0,4788 и Ф(z2) = Ф(1,50) = 0,4332. На основании формулы (1.43) находим Р(43 кгc/мм2<σв 47 кгс/мм2) =Ф(1,50) –Ф(–2,03) = 0,4332+0,4788=0,912. Приведенные расчеты показывают, что если испытаниям на разрыв подвергнуть большое число образцов, то около 90% из них будут иметь значения предела прочности, лежащие в указанных интервалах. Задача 3. Длина изготавливаемой автоматом детали представляет собой случайную величину, распределённую по нормальному закону с параметрами M ( Х ) 1,5 см; σ = 0,2 см. Найти вероятность брака, если допускаемые размеры детали должны быть 15 0,3 см. Какую точность длины можно гарантировать вероятностью 0,97? Решение. Остальные часто встречающиеся законы распределений случайных величин сведем в таблицу. 0,3 а) Р ( х М ( Х ) 0,3) 2Ф( ), т.к. параметр a M ( Х ) , 0,3 для нормального закона распределения. 0.3 P ( x 15 0,3) 2Ф ( ) 2 0,4332 0,8664 (см. прил.1). 0.2 Вероятность брака P 1 0,8664 0,1336 . б) P ( x M ( Х ) ) 2Ф ( ) 0,97; Ф( ) 0,485 , 2,17 (см. прил.2), т.к. 2,17 2,17 0,2 0,434( см) . Следовательно, 15 0,434(см) . с вероятностью 0,97 можно гарантировать размеры 3. Распределение Пуассона Как и закон Гаусса, распределение Пуассона может быть получено как асимптотическое для биноминального. Рассмотрим случай, когда вероятность р положительного исхода каждого испытания в серии из п испытаний равна λ/n, где λ – некоторая постоянная величина, и укажем в этом случае новую приближенную формулу для Pn (к ) . Пусть в серии из n испытаний вероятность появления события А в каждом испытании равна λ/n. Тогда вероятность появления события А в этой серии к раз при большом n выражается приближенной формулой (см. §5) Рn (к ) к . к! (1.45) Пусть теперь Х – дискретная случайная величина, которая может принимать целые неотрицательные значения. Если вероятность равенства Х=к определяется формулой (1.45), то мы говорим, что величина Х распределена по закону Пуассона. Запишем закон распределения в виде таблицы хi 0 1 2 … к … pi е-λ е 1 2 е 2! … к е к! … Легко проверить, что рк к 0 к к! е е 1 . к 0 Для математического ожидания имеем 2 к М(Х)=0· е +1· е +2· е +…+к· е +…= 1 2! к! 2 к 1 -λ =λ е (1+ + +…+ +…). 1 2! (к 1)! -λ Но, как известно, ряд в скобках представляет собой разложение функции еλ в ряд Маклорена. Поэтому математическое ожидание равно e-λ·λ·eλ или М(Х)= λ. (1.46) Мы выяснили, таким образом, вероятностный смысл параметра λ, входящего в закон распределения Пуассона: параметр λ равен математическому ожиданию случайной величины. Нетрудно показать, что дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна математическому ожиданию D(X)=λ, (1.47) т. е. в этом случае дисперсия равна математическому ожиданию. К случайным величинам, подчиненным закону Пуассона, приводит большое число задач, относящихся к вопросам массового обслуживания. В качестве примера укажем работу телефонной станции. Можно доказать, что при выполнении некоторых условий вероятность к вызовов за промежуток времени t определяется формулой Рк at к at t е . к! (1.48) Если положить at=λ, то из формулы (1.48) следует, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Задача 4. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 минут поступит 2 вызова. Решение. По условию, а = 2, t = 5, к = 2. Воспользуемся формулой (1.48). 2 52 2 5 Р2 5 е 0,000225 . 2! Это событие практически невозможно. 4. Равномерное распределение вероятностей Пусть плотность вероятности равна нулю всюду, кроме интервала (а, b), на котором она постоянна. Если обозначить эту постоянную через А, то в силу свойств плотности распределения получим b А dx 1 , a откуда А = 1/(b–a) . Поэтому плотность распределения (дифференциальный закон) равномерного распределения задается формулой при - x a; 0 1 f ( x) при a x b; b a при b x 0 (1.49) (рис. 1.12). В точках х=а и х=b функция f(x) разрывна. Для нахождения функции распределения (интегрального закона распределения), воспользовавшись формулой (1.17), получим при - x a; 0 x а F ( x) при a x b; b a при b x 1 (1.50) (рис. 1.13). Эта функция непрерывна всюду. f(х) F(х) 1 ba 1 a b x a Рис. 1.12 b x Рис. 1.13 Пользуясь формулой (1.19) для математического ожидания, получим b x ab dx , b a 2 a M ( x) (1.51) так что математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на интервале (а, b), находится в центре этого интервала. Для вычисления дисперсии 2 найдем M ( X ) , пользуясь формулой (1.19): x2 b 3 a 3 а 2 ab b 2 M (Х ) dx . b a 3 b a 3 a 2 b (1.52) Поэтому дисперсия равномерно распределенной случайной величины по формуле (1.25) равна а 2 ab b 2 (a b) 2 b a 2 D( X ) . 3 2 12 (1.53) Таким образом, для случайной величины, равномерно распределенной на интервале (а, b), среднее квадратическое отклонение равно 0,288675 … длины интервала. Задача 5. Точка бросается наугад (без прицеливания) на отрезок [0,1]. Случайная величина Х–абсцисса точки попадания (считается, что бросаемая точка обязательно попадает на отрезок [0, 1]). Найти функцию плотности распределения и функцию распределения. Вычислить математическое ожидание и дисперсию указанной случайной величины. Найти вероятность того, что точка попадет в интервал [0; 0,5]. Решение. В этом случае мы имеем дело с непрерывной случайной величиной, все значения которой принадлежат отрезку [0, 1]. Поэтому в выражении для плотности распределения и функции распределения а = 0, а b = 1, т. е. при - x 0; 0 при 0 x 1; F ( x) х при 0 x 1; 1 при 1 x . при 1 x . Согласно формулам (1.51) и (1,53) M ( X ) 1 2 , D(X) = 1/12, P (0 х 0,5) F (0,5) F (0) 0,5 0 0,5 . 0 f ( x ) 1 0 при - x 0; Задача 6. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А. Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину X, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения f (х)-=1/(b–а), где (b–а)– длина интервала, в котором заключены возможные значения X; вне этого интервала f (х) = 0 (см. (1.50)). В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения X, равна 0,1, поэтому при - x 0; 0 F ( x) х / 0,1 10 х при 0 x 0,1; 1 при 1 x . Легко сообразить, что ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02, 0,08). По формуле Р (а < x < b) = F(a)–F(b) получим Р (0,02 < x <0,08) = F(0,08)–F(0,02) = 10·0,08 – 10·0,02 = 0,6. 5. Геометрическое распределение Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых появляется событие А с вероятностью, равной р (0 < р < 1), и, следовательно, не появляется с вероятностью q= 1– р. Как только событие А появилось, испытания прекращаются. Следовательно, если событие А появилось в к-м испытании, то в предшествующих к–1 испытаниях оно не появлялось. Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испытаний, которые произошли до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа: х1= 1, х2=2, .... Пусть в первых к–1 испытаниях событие А не наступило, а в к-м испытании появилось. Вероятность этого сложного события, по теореме умножения вероятностей независимых событий, P(X=к)=q к-1p. (1.54) Полагая к=l, 2, ... в формуле (1.54), получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0<q<1): p, qp, q2p,…, qк-1р,… . (1.55) Поэтому распределение (1.55) называют геометрическим. Запишем закон распределения в виде таблицы хi pi 1 p 2 qp 3 q2 p к qк-1р … … … … Легко проверить, что р рк 1 q к 0 р 1. р Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей геометрическое распределение, равны: М(Х)=1/p, а D(X)=q/p2. (1.56) Задача 7. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле. Решение. По условию, р = 0,6; q = 0,4; к = 3. Искомая вероятность по формуле (1.54) Р(к=3)= 0,42·0,6 = 0,096. Задача 8. Снайпер стреляет по замаскированному противнику до первого попадания. Вероятность промаха при отдельном выстреле равна р . Найти математическое ожидание числа промахов. Решение. Возможные значения случайной величины X – числа промахов: 0, 1, 2, ..., к, ... P ( x к ) p к (1 p) . Ряд распределения случайной величины X: Х р 0 1 р 1 р(1 р ) 2 2 р (1 р) … … к к р (1 р ) … … Полученное распределение является геометрическим (см. (1.56)) М (Х ) 1 . р Задачи для самостоятельного решения 7.1. Случайная величина X имеет биноминальный закон распределения с числовыми характеристиками М ( Х ) 6, D ( Х ) 24 . Определить вероятность попадания случайной величины X на отрезок 3,5;5,5 . 7.2. Известно, что в партии деталей имеется 10% бракованных. Найти закон распределения случайной величины X – числа годных деталей из пяти, выбранных наудачу. Определить числовые характеристики M (Х ) и D ( Х ) . 7.3. Число атак истребителя, которым может подвергнуться бомбардировщик на территории противника, есть случайная величина, распределённая по закону Пуассона с математическим ожиданием а 3 . Каждая атака с вероятностью 0,4 заканчивается поражением бомбардировщика. Определить вероятность поражения бомбардировщика. 7.4. Монету бросают до первого появления герба. Найти среднее число бросаний. 7.5. Цена деления шкалы амперметра равна 0,2 ампера. Показания амперметра определяют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка, превышающая 0,03 ампера. 7.6. Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска задаётся t формулой P (t ) 1 е ( 0) . Определить математическое ожидание случайной величины Т– времени поиска затонувшего судна. 7.7. Нагрузка на стержень подчиняется нормальному закону распределения с числовыми характеристиками: M ( Х ) 5 Н, 0,05 Н . Усилие, разрушающее стержень, составляет 5,08 Н . Найти вероятность разрушения стержня. 7.8. Станок-автомат изготавливает валики, контролируя их диаметр X. Считая, что X распределено нормально, М ( Х ) 10мм, 0,1мм . Найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготавливаемых валиков. 7.9. Вероятность взятой детали в пределах допуска из большой партии деталей равна: р 0,85 . Найти математическое ожидание и дисперсию числа деталей в пределах допуска из 8 деталей, взятых наудачу. 7.10. Поезд данного маршрута городского трамвая ждут с интервалом 5 минут. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее чем через минуту после ухода предыдущего поезда, но не позднее чем за две минуты до отхода следующего поезда? 7.11. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием М ( Х ) 40 и дисперсией D ( Х ) 200 . Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал 30;80 . 7.12. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределённой по нормальному закону. Если стандартная длина равна 40 см и среднее квадратическое отклонение равно 0,4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8? 7.13. Число частиц, излученных радиоактивным элементом в течение произвольного промежутка времени, имеет распределение Пуассона с параметром а 1,5 ч с . Найти вероятность того, что число частиц, излученных за две секунды, будет заключено в отрезке 2;4 . 7.14. Дистанция X между двумя соседними самолётами в строю имеет показательное распределение с М ( Х ) 100 м. Опасность столкновения самолётов может возникнуть при уменьшении дистанции до 20 м. Найти вероятность того, что возникнет опасность столкновения самолётов в воздухе. 7.15. Все значения равномерно распределённой случайной величины лежат на отрезке 2;8 . Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток 3;5 . 7.16. Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее четырёх опечаток? 7.17. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит 2 вызова? 7.18. Среди семян ржи имеется 0,4% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков? 7.19. Для какого значения К функция при x 0; 0 f ( x ) к при x 0 ке является функцией плотности распределения? 7.20. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону: при x 0; 0 f ( x) 4к при x 0. 4е Найти вероятность того, что в результате испытаний Х попадёт в интервал (0,2; 0,5). 7.21. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием М(Х) = 40 и дисперсией D(Х) = 200. Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (30; 80). 7.22. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределённая по нормальному закону с математическим ожиданием а = 65 т и средним квадратичным отклонением σ =0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется. 7.23. Диаметр детали, изготовленной на станке, случайная величина, распределённая по нормальному закону с математическим ожиданием а = 25 см и средним квадратичным отклонением σ = 0,4 см. Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см. 7.24. Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, подчинённая нормальному закону с математическим ожиданием 5 см и средним квадратичным отклонением 0,9 см. Установить, в каких границах следует ожидать размер диаметра детали, чтобы вероятность не выйти за эти границы была равна 0,95. 7.25. Вероятность безотказной работы телевизора распределена по показательному закону: f (t ) 0,002e телевизор проработал 1000 часов. 0,002t (t 0) . Найти вероятность того, что §8. Системы случайных величин Функцией системы двух случайных величин (x,y) называется функция F ( x, y ) P ( X x , Y y ) . Плотностью распределения системы непрерывных случайных величин называется функция, определенная следующим образом: 2 F ( x, y ) f ( x, y ) . xy Плотность распределения случайных величин (x,y) неотрицательна и обладает свойством f ( x, y)dxdy 1 . Функция распределения F(x,y) выражается через плотность распределения формулой y x F ( x, y ) f ( x, y )dxdy . Вероятность попадания случайной величины (x,y) в область D вычисляется по формуле P (( x, y ) D) f ( x, y )dxdy . D Плотности распределения вероятностей случайных величин, входящих в систему, равны: f1 ( x ) f ( x, y )dy, f 2 ( y) f ( x, y)dx . Случайные величины x, y называются независимыми, если f ( x, y ) f 1 ( x ) f 2 ( y ) . Система двух дискретных случайных величин может быть задана таблицей, в которой приведены пары значений случайных величин и соответствующие им вероятности. x x1 x2 x3 x4 … … … xn y1 P11 P21 P31 P41 … … … Pn1 y2 P12 P22 P32 P42 … … … Pn 2 y3 … ym P13 … P1m P23 … P2m P33 … P3m P43 … P4 m … … … … … … … … … Pn3 … Pnm y Pij – вероятность события, заключающегося в одновременном выполнении равенств X xi , Y yi . Здесь n m При этом Pij 1. i 1 j 1 Законы распределения случайных величин, входящих в систему, определяются следующим образом: m Pi P( X xi ) Pij ; j 1 n q j P(Y y j ) Pij . i 1 Дискретные случайные величины называются независимыми, если Pij P ( X xi ) P (Y y i ) . Многие важные характеристики пары случайных величин ( x, y ) достаточно просто выражаются через начальные ks и центральные ks моменты системы случайных величин, которые находятся по формулам: ks M Х k Y k , ks M X М ( Х ) Y М (Y ) . k s Для дискретных случайных величин: n m ks ( xi m x ) k ( y j m j ) s рij , i 1 j 1 n m ks xik y sj рij . i 1 j 1 Для непрерывных случайных величин: ks x k y s f ( x , y ) dxdy ; ks (x mx ) k ( y m y ) s f ( x , y ) dxdy . M X Y M Y m ; M ( X m ) (Y m ) D X ; M ( X m ) (Y m ) D Y . 10 M Х 1Y 0 M X m x ; 01 20 02 0 1 y 2 x 0 y 0 x 2 y Точка (m x , m y ) называется центром рассеивания системы случайных величин ( x, y ) . Так, например, степень линейной зависимости случайных величин характеризует корреляционный момент: M 11 K xy M ( x m x )( y m y ) Так как k xy имеет размерность xy, то при изменении единицы масштаба его значение будет подвергаться изменению. Чтобы избежать этого, введем коэффициент корреляции xy K xy xy (1 xy 1) Если случайные величины, входящие в систему, независимы, то xy 0 . В общем случае из равенства xy 0 не следует независимость случайных величин X, Y. 1, a 0; 1, a 0 . Если Y a X b , то xy Задача 1. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике 1 с №1, 2 шара с №2, 3 шара с №3; во втором ящике 2 шара с №1, 3 шара с №2 и 1 шар с №3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин ( X , Y ) . Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции. Решение. Y X 1 2 3 рi 1 2 3 qj 1 18 1 12 1 30 1 6 1 1 1 1 9 6 1 18 1 3 1 6 4 1 12 1 2 1 1 3 2 6 – Вероятности Рij вычисляются следующим образом: р11 P( X 1, Y 1) 1 1 1 , 6 3 18 т. к. шаров в первом ящике всего 6, а с номером 1 ровно один шар. Во втором ящике 2 шара с номером один, а всего 6 шаров. Эти события происходят одновременно, следовательно, их вероятности перемножают. Аналогично 1 1 1 р22 Р( Х 2, Y 2) . 3 2 6 По таблице распределения вероятностей системы случайных величин ( X , Y ) можно составить законы распределения случайных величин, входящих в систему. Распределение случайной величины для Х получаем, складывая числа в вертикальных столбцах, а для Y – в горизонтальных строках. 1 1 1 1 2 3 2 ; 6 3 2 3 1 1 1 5 M Y 1 2 3 1 ; 3 2 6 6 2 D X M ( X m x ) M X M Х 1 4 1 m 2 2 x; 1 5 (2 ) 2 ; 6 3 2 3 9 1 1 1 5 17 D (Y ) 1 4 9 (1 ) 2 ; 3 2 6 6 36 n m 1 1 1 M XY xi y j pij 1 1 2 1 3 1 18 9 6 i 1 j 1 D X 1 1 9 1 1 1 1 1 1 1 77 2 2 3 2 1 3 2 3 3 3 ; 12 6 4 36 18 12 18 5 1 5 77 77 K xy M ( XY ) m x m y 4 2 1 0; 18 3 6 18 18 K xy xy 0. xy 1 2 Такой результат имеет место, так как Х и Y независимы по условию. Задача 2. Система случайных величин ( X , Y ) подчинена распределения с плотностью закону a ( x y ) в области D; f ( x, y ) вне этой области . 0 Область D – квадрат, ограниченный прямыми x 0, x 3, y 0, y 3. Требуется: 1) определить коэффициент а; 2) вычислить вероятность попадания случайной точки ( X , Y ) в квадрат Q, ограниченный прямыми x 1, x 2, y 1, y 2 ; 3) найти математические ожидания m x и m y ; 4) найти средние квадратические отклонения x , y . Решение. 1) Коэффициент а находим из уравнения 33 a ( x y )dxdy 1 , 00 откуда 3 y2 3 9 a ( x, y )dxdy a xy 0 dx a (3 x )dx 2 2 00 0 0 33 3 3 9 27 27 1 3 a x 2 x a( ) 27 a,27 a 1, a . 2 0 2 2 27 2 2 1 22 1 2 y2 2) P( x, y ) Q ( x y)dxdy 27 xy 2 dx 27 0 0 0 1 2 1 2 1 1 2 3 1 x2 3 (2 x 2 x 2 )dx 27 ( x 2 dx) 27 2 2 x 27 1 1 1 1 1 3 1 (2 3 ) . 27 2 2 9 3) найдём математические ожидания m x и m y : 3 1 33 1 3 2 xy 2 m x x( x y )dxdy x y dx 27 0 0 27 0 2 0 3 1 3 2 9 1 9 1 81 7 (3 x x)dx x 2 x 2 (27 ) . 27 0 2 27 4 0 27 4 4 7 Следовательно, и m y . 4 4) Находим средние квадратические отклонения x и y : 2x 1 33 7 ( x m x ) f ( x, y )dxdy ( x ) 2 ( x y )dxdy 27 0 0 4 D 2 1 33 7 2 7 7 1 33 7 ( x ) ( x y )dxdy ( x )3 dydx 27 0 0 4 4 4 27 0 0 4 3 1 33 7 2 7 1 3 7 ( x ) ( y )dydx ( x ) 2 y dx 27 0 0 4 4 27 0 4 0 7 3 (x )4 3 1 7 7 1 4 3 ( x ) 2 ( y ) 2 dx 0 27 2 0 4 4 0 9 4 3 1 1 7 361 49 11 (x )3 ( ) . 27 2 3 4 16 16 0 16 Итак, x y 11 . 4 Задача 3. Дана плотность распределения вероятностей системы случайных величин ( X , Y ) : f ( x, y ) 0,5 sin( x y ), (0 x ,0 y ). 2 2 Определить функцию совместного распределения системы ( X , Y ) . Решение. Определим функцию F ( x, y ) , рассматривая области D1 , D2 , D3 , D4 , D5 , D6 , D7 . D1 , D2 , D3 : F ( x, y ) 0 . x D4 : F ( x, y ) y xy f ( x, y)dxdy 0,5 sin( x y)dxdy 00 0,5 (sin x sin y sin( x y )). x D5 : F ( x, y ) 2 y y f ( x, y )dxdy dx 0,5 sin( x y )dy 0 0 2 x 0,5 (1 sin y cos y ). x D6 : F ( x, y ) y f ( x, y )dxdy dy 0,5 sin( x y )dx 0 0 0,5 (1 sin x cos x ). D7 : F ( x, y ) 1, т. к. какую бы точку (х, у) этой области ни взяли, возможные значения случайных величин (Х, Y) будут меньше F ( x, y ) P ( X x,Y y ) 1. Таким образом: 0, 0,5 (sin x sin y sin( x y )), F ( x, y ) 0,5 (1 sin y cos y ), 0,5 (1 sin x cos x), 1, ( x, y ) D1 , D2 , D3 ; ( x, y ) D4 ; ( x, y ) D5 ; ( x, y ) D6 ; ( x, y ) D7 . Задачи для самостоятельного решения 8. 1. Совместное распределение случайных величин Х, Y задано таблицей Y Х -1 1 -1 0 1 1 12 5 8 24 1 6 1 7 24 1 8 Найти ряды распределения для Х и Y. Будут ли независимы Х и Y? 8.2. Система случайных величин (Х, Y) подчинена закону распределения с плотностью: a sin( x y ) в области D; f ( x, y ) вне этой области. 0 Область D определяется неравенствами: 0 x Найти: 1) коэффициент а ; 2) математические ожидания m x и m y ; 3) средние квадратические отклонения x , , 0 y . 2 2 y. 8.3. Дана таблица, определяющая закон распределения двух случайных величин (Х, Y): х у 10 20 30 20 40 60 3 2 4 2 0 2 5 Найти: 1) коэффициент ; 2) математические ожидания m x и m y ; 3) дисперсии D ( X ), D (Y ) . 8.4. Дана плотность распределения вероятностей системы случайных величин, задаваемая функцией f ( x, y ) 0,5 sin( x y ), (0 x ;0 y ) . 2 2 Определить функцию совместного распределения системы (Х, Y), математические ожидания, дисперсии и коэффициент корреляции. 8.5. Независимые случайные величины Х, Y подчинены следующим законам распределения: 1 x2 e ; 0 при y 0; f 2 ( y ) 1 при 0 y 1; 0 при y 1. f1 ( x) Написать выражение для функции распределения системы двух случайных величин (Х, Y). 8.6. Дана функция распределения случайных величин (Х, Y): при x 0, y 0; 0 F ( x, y ) x e y e x y при x 0, y 0. 1 e Определить, зависимы ли случайные величины Х и Y. Вычислить числовые характеристики M ( Х ), M (Y ), D ( X ), D (Y ) . 8.7. Совместное распределение случайных величин Х, Y задано таблицей Y -1 0 1 X 7 1 1 -1 8 12 24 5 1 1 1 24 6 8 Найти ряды распределения для Х и Y. 8.8. По цели производится два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна р1 , при втором – р 2 . Построить таблицу распределения системы двух случайных величин (Х,Y), где Х – число попаданий при первом выстреле, Y – число попаданий при втором выстреле. 8.9. Найти функцию распределения системы (Х, Y) из условия задачи 8.8. 8.10. Независимые случайные величины Х и Y подчинены законам распределения: 1 x2 e ; 0 при y 0; f 2 ( y ) 1 при 0 y 1; 0 при y 1. f1 ( x) Написать выражение для функции распределения системы двух случайных величин. 8.11. Дана функция распределения системы двух случайных величин (Х, Y): при x 0, y 0; 0 F ( x, y ) x e y e x y при x 0, y 0. 1 e Найти плотность распределения вероятностей системы (Х, Y). Вычислить числовые характеристики M ( Х ), M (Y ) . 8.12. Определить, зависимы ли случайные величины, из условия задачи 8.11. Найти для них числовые характеристики D ( X ), D (Y ) . 8.13. Система случайных величин (Х, Y) имеет плотность f ( x, y ) A x 2 (16 x 2 )(25 y 2 ) . величину А. Найти функцию распределения F ( X , Y ), M ( X ), M (Y ) . Определить вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в область, заданную неравенствами 0 x 4, 0 y 5 . 8.14. Система двух случайных величин (Х, Y) подчинена закону равномерной плотности внутри прямоугольника: Определить a x a , в y в, (в a ) . Найти плотность распределения вероятности и вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в квадрат со стороной a , если центр этого квадрата совпадает 2 с началом координат. 8.15. Плотность распределения вероятностей системы двух независимых случайных величин (Х, Y) задана выражением f ( x, y ) Ce ( x 4) 2 ( y 6) 2 50 . Найти неизвестный параметр С и определить корреляционный момент. 8.16. Случайные величины Х и Y независимы, и их плотности распределения вероятностей соответственно равны: 0 при x 2; f1 ( x) 1 4 при x 2. при y 0; 0 f 2 ( y) y при y 0. e Определить функцию распределения системы случайных величин Х, Y. Найти числовые характеристики системы случайных величин (Х, Y). 8.17. Закон распределения системы двух случайных величин (Х,Y) задан таблицей распределения. х у -1 0 1 0 1 0,10 0,15 0,20 0,15 0,25 0,15 Найти следующие характеристики системы (Х, Y): M ( Х ), M (Y ), D ( X ), D (Y ) , Rxy . 8.18. Функция совместного распределения случайных величин Х и Y задана выражением при x 0, или y 0; 0 F ( x, y ) x 2 y (1 e )(1 e ) при x 0, y 0. Определить, зависимы ли случайные величины Х и Y. Найти плотность распределения вероятностей системы (Х, Y). 8.19. Определить математические ожидания и дисперсии системы двух случайных величин (Х, Y), если плотность распределения вероятностей системы имеет следующий вид: f ( x, y ) 2 ( x 2 y 2 1) 3 . 8.20. Случайная точка (Х, Y) имеет равномерное распределение внутри прямоугольника, ограниченного прямыми: x 0, x 4, y 0, y 6. Найти функцию распределения F ( x, y ) системы случайных величин (Х,Y). 8.21. Система двух случайных величин (Х,Y) имеет плотность распределения вероятностей f ( x, y ) 1 e x2 y2 . Найти следующие числовые характеристики системы: M ( Х ), M (Y ), D ( X ), D (Y ) , К xy . 8.22. Система случайных величин (Х,Y) подчинена закону распределения с плотностью a ( x y ) в области D; f ( x, y ) вне этой области. 0 Область D – квадрат, ограниченный прямыми: x 0, x 5, y 0, y 5. Требуется: 1) определить коэффициент а ; 2) вычислить вероятность попадания случайной точки (Х,Y) в квадрат Q, ограниченный прямыми: x 1, x 3, y 1, y 3. 8.23. Используя условия задачи 8.22, найти: 1) математические ожидания m x , m y ; 2) средние квадратические отклонения x , y . 8.24. Система случайных величин (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью a sin( x y ) в области D; f ( x, y ) вне этой области. 0 Область D определяется неравенствами: 0 x , 0 y . 2 2 Найти: 1) коэффициент а ; 2) математические ожидания m x , m y . 8.25. Используя условия задачи 8.24, найти: 1) средние квадратические отклонения; 2) коэффициент корреляции R xy . Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА §1. Случайные ошибки. Законы распределения случайных ошибок Ошибки измерений делятся на две категории. К систематическим ошибкам относятся ошибки, искажающие результат в определенную сторону и имеющие закономерный характер, то есть среднее значение последовательных отсчетов отклоняется от известного значения и продолжает отклоняться независимо от числа последовательных отсчетов. Сюда относятся инструментальные ошибки, происходящие от несовершенства инструмента, ошибки, вызванные методикой постановки эксперимента, и некоторые другие. Поскольку влияние таких ошибок на результаты наблюдений может быть более или менее точно заранее установлено, а значит, и устранено, мы будем считать имеющиеся в нашем распоряжении результаты опыта свободными от систематических ошибок. В дальнейшем остановимся на рассмотрении случайных ошибок, которые имеют место, когда при последовательных измерениях постоянной величины получаются различные числовые значения. Предполагается, что случайные ошибки ε подчинены следующим условиям: 1) Равные по абсолютной величине ошибки равновероятны. 2) Малые по абсолютной величине ошибки более вероятны, нежели большие. 3) Вероятность появления ошибок, превосходящих по абсолютной величине некоторое определенное число, практически равна нулю. Это число обычно называют пределом возможных ошибок и обозначают через ε. Пусть F ( ) – интегральный закон распределения ошибок, т. е. вероятность того, что ошибка α не превосходит величины ε. F ( ) P ( ) . (2.1) Естественно считать, что ошибки представляют собой непрерывную случайную величину. Тогда вероятность того, что ошибка примет значение, заключенное между ε и ε+ Δε, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем Δε, выразится формулой P ( ) f ( ) , (2.2) где f ( ) F ( ) –дифференциальный закон (плотность) распределения ошибок. Исходя из сделанных выше предположений, мы можем установить соответствующие свойства функции f ( ) . 1°. Функция f ( ) – четная, т. е. f ( ) f ( ) . Четность следует из того, что равные отклонения в обе стороны одинаково вероятны и поэтому плотности распределения вероятности в точках ε и -ε равны между собой. 2°. Функция f ( ) при возрастании ІεІ убывает, так как малые по абсолютной величине ошибки более вероятны, чем большие. 3°. Функция f ( ) 0 при Е . Таким образом, вероятность того, что ошибка ε заключена в некоторых заранее указанных пределах a b , как установлено выше (см. § 6 гл. 1), выражается интегралом b P (a b) f ( )d . (2.3) a Согласно основному свойству функции f () , f ( )d 1 . В силу того, что f ( ) 0 вне участка (–Е, Е), последнее равенство можно переписать в виде Е f ( )d 1 . (2.4) Е Пусть истинное значение измеряемой величины (нам неизвестное) равно А. Измеренное значение х этой же величины есть величина случайная, закон распределения которой тесно связан с законом распределения ошибок. Действительно, так как А–х=ε, то вероятность получения в результате измерения ошибки ε и значения х одна и та же. Если обозначить плотность вероятности величины х через f1 ( х) , то в силу четности функции f ( ) получим f1 ( х) f ( х А) . Заметим, что значение случайной величины, при котором ее дифференциальный закон распределения достигает максимума, называется модой случайной величины. Для f (x) это х = 0, для f 1 ( х) – х=А. Допустим, что одним и тем же инструментом с одинаковой тщательностью произведено несколько измерений одной и той же физической величины (например, длины стержня при определенной температуре). Результатом этих измерений является некоторый ряд чисел, располагая которым мы хотим определить наиболее вероятное значение измеряемой величины, т. е. то ее значение, при котором дифференциальный закон распределения достигает своего максимума. Вообще говоря, случайные ошибки измерений могут иметь различные законы распределения. Однако в большинстве случаев принимается, что случайная ошибка распределена по нормальному закону, который был рассмотрен нами в § 7 предыдущей главы. Если кроме сделанных выше предположений принять постулат Гаусса, который состоит в том, что наиболее вероятным значением искомой величины является среднее арифметическое наблюденных значений, то можно сформулировать теорему. Теорема. Если случайные ошибки удовлетворяют постулату Гаусса, то законом распределения случайных ошибок является нормальный закон f ( x) h h2 x 2 . e (2.5) Величина h, входящая в выражение (2.5), называется мерой точности. Сравнивая (2.5) с плотностью вероятности нормального распределения, которое было приведено в предыдущей главе (см. §7 гл. 1), ( x) 1 σ 2 x a 2 2 2 e , (2.6) замечаем, что выражение (2.5) для плотности распределения ошибок является частным случаем нормального распределения (2.6) с математическим ожиданием a=0 и дисперсией σ 1 h 2 . В дальнейшем для единообразия обозначений дифференциальный закон распределения ошибок будем обозначать функцией (x) . Таким образом, если принять постулат Гаусса, то случайные ошибки будут распределены по нормальному закону. Функция (2.6) и ее кривая непрерывны, т. е. они описывают совокупность, содержащую бесконечное множество измерений. Эта неограниченно большая воображаемая совокупность результатов измерений называется генеральной совокупностью. Ограниченная совокупность числа измерений (результатов испытаний), являющаяся частью генеральной совокупности, предназначенная для испытаний, называется выборкой. В некоторых типах наблюдений (при малом числе измерений) постулат не выполняется, и в этом случае приходится рассматривать другие законы распределения ошибок. Тем не менее в подавляющем большинстве случаев принимается, что случайные ошибки распределены именно по нормальному закону. Тогда P ( ) h e h2 x2 dx , или в силу четности функции, стоящей под интегралом, P ( ) 2h h e 2 2 x dx . 0 Положив в интеграле hx t , представим вероятность P ( ) P в виде P h 2 e t 2 dt . (2.7) 0 Функцию Ф ( x) 2 х 2 t e dt 0 назовем интегралом ошибок или функцией ошибок. Из (2.7) и (2.8) следует, что Р Ф (h ) , Ф ( х) 2Ф ( х 2 ) , где (2.8) 2 1 Ф( x) 2 х t e 2 dt (2.9) 0 рассмотренная нами ранее в §7 гл.1 функция Лапласа. Окончательно имеем Р 2Ф(h 2 ) , (2.10) или же, учитывая связь меры точности с дисперсией, Р 2Ф . Аналогично можно получить (2.11) Ра , b Ф hb 2 Ф ha 2 . (2.12) Пример 1. Предполагается, что показания тахометра отклоняются относительно 1000 об/мин по нормальному закону с h = 0,04 (об/мин)–1. При этой скорости вращения берется выборка, содержащая 20 отсчетов. Какое число отсчетов будет находиться в интервале от 990 до 1010 об/мин? Решение. В данном случае α= ±10 об/мин, тогда hα 2 = 10·0,04 2 = 0,566. Из формулы (2.10) и прил.1 находим, что вероятность нахождения отсчета в этом интервале составляет 0,4314. Таким образом, можно ожидать, что из 20 последовательных отсчетов 20·0,4314, или 8,628 отсчета, будут находиться в интервале от 990 до 1010 об/мин, т. е. практически 8–9 отсчетов. Так как выборка, содержащая 20 отсчетов, невелика, то в действительности при каком - либо испытании в данном интервале могут оказаться 6–7 или 10–11 отсчетов. Точность данной измерительной системы удобно выражать некоторым одним числом или показателем точности. Рассмотрим два таких показателя, каждый из которых указывает, с какой точностью прибор может измерять требуемую величину. Этими показателями являются: 2 1. Средняя квадратическая ошибка (или дисперсия σ ), которая определяется как квадратный корень из математического ожидания квадрата ошибки ε2. Поскольку, как было показано в §6 гл.1, σ 2 М 2 М 2 , а М 0 , то σ 2 М 2 . Поэтому среднюю квадратическую ошибку обозначим через среднее квадратическое отклонение равенством σ, σ которое связано с мерой точности 1 h 2 (2.13) или hσ 0,707. Вероятность того, что отклонения будут находиться в пределах hσ , определяется из прил.1 и составляет 68,2%. 2. Вероятная ошибка Q. Эта величина определяется как такое отклонение, при котором в интервале ± Q находится ровно половина всей совокупности, т. е. РQ 0,5 . (2.14) Пользуясь формулой (2.9) и предполагая, что случайная ошибка распределена по нормальному закону, получаем РQ 2Ф hQ 2 0,5 . (2.15) Из таблицы значений функции Ф (прил. 2) находим, что hQ 2 0,6745 или Q 0,4769 / h . (2.16) Пример 2. В примере 1 был рассмотрен тахометр, имеющий h = =0,04 (об/мин)–1. Найдите два показателя точности данного прибора и число оборотов в минуту, заключенных в интервалах ±σ и ± Q. Решение. Из формул (2.13) и (2.16) видно, что 0,707 0,4769 =17,7 об/мин, Q =11,9 об/мин. 0,04 0,04 Таким образом, 68,2% всех отсчетов при калиброванном значении 1000 об/мин находится в интервале от 982,3 (1000-17,7) до 1017,7 (1000+17,7) об/мин, а половина всех отсчетов заключена между 988,1 и 1011,9 об/мин. В заключение отметим роль величины h как характеристики точности произведенных измерений. Уже из связи величины h с дисперсией видно, что при больших h вероятность малых ошибок весьма велика, а вероятность больших ошибок весьма мала. Чем меньше h, тем больше дисперсия, т. е. тем больше рассеяние ошибок. Особенно ясно выступает роль величины h как меры точности при рассмотрении выражений для вероятной и средней квадратической ошибок. Формулы (2.13), (2.14) показывают, что эти ошибки обратно пропорциональны мере точности h, которая дает возможность оценить надежность произведенных измерений. Поэтому, естественно, возникает задача – определить меру точности по результатам измерений. При этом мы будем предполагать, что все измерения произведены с одинаковой тщательностью, т. е. являются равноточными, и что случайные ошибки распределены по закону Гаусса. Тогда, как было сказано выше, наиболее вероятным значением х измеряемой величины является среднее арифметическое наблюденных значений. Пусть результатами измерений некоторой величины А являются числа x1 , x 2 , , x n .Тогда наивероятнейшее значение величины х равно n xi x i 1 . n (2.17) Действительно вероятность появления х1, находящейся в малом интервале х , равна Р1 2 2 h хe h ( А x1 ) . Аналогичные выражения могут быть получены для вероятностей появления измерений x1 , x 2 , , x n . Вероятность появления всей этой выборки, состоящей из п измерений, равна произведению вероятностей появления отдельных измерений (см. §3 гл. 1). Суммарная вероятность появления последовательности, состоящей из n измерений, равна n 2 2 2 h 2 Рсум (2.18) х n e h ( А x1 ) ( А x2 ) ( А xn ) . Допустим, что измерения x1 , x 2 , , x n в совокупности отклоняются от истинного отсчета х таким образом, что суммарная вероятность появления этих отклонений максимальна. Прямое следствие этого допущения применительно к формуле (2.17) выражается следующим образом: A x1 2 A x 2 2 A x n 2 min , т.е. сумма квадратов отклонений от наилучшего или точного измерения должна быть минимальной. Дифференцируя Рсум в формуле (2.18) по А, получаем d Рсум dA e h 2 n h n 2 х 2h A x1 A x2 A xn ( А x ) 1 2 ( А x 2 ) 2 ( А x n ) 2 . Эта производная равна нулю только в одном случае, а именно когда А х1 х 2 х n , n т. е. мы доказали справедливость формулы (2.17). Однако не следует думать, что средне х , полученное для п измерений, будет в точности равно математическому ожиданию М (х ) , получаемому при бесконечном множестве измерений. Дифференцируя Рсум в формуле (2.18) по h, получаем d Рсум dh n 1 n h 2 ( А x1 ) 2 ( А x 2 ) 2 ( А x n ) 2 х e n h n 1 2h n 1 A x1 A x2 A xn . Эта производная равна нулю, когда n 2 x x i h 1/ i n 1 2 . (2.19) Зная меру точности, пользуясь формулой (2.13), найдем среднюю квадратическую ошибку (среднее квадратическое отклонение) s. Здесь вместо σ записано s , так как рассматривается конечная выборка отклонений, а не вся бесконечная генеральная совокупность, как приводилось выше. На практике проводится конечное число измерений или испытаний. Найденные таким образом числовые характеристики в большей или меньшей степени будут отличаться от так называемых генеральных характеристик, свойственных данному объекту, которые могут быть определены по результатам испытаний бесконечно большого числа измерений или испытаний. Отмеченная разница в выборочных и генеральных характеристиках результатов испытаний зависит от объема выборки. С увеличением числа испытаний в связи с проявлением закона больших чисел выборочные характеристики сходятся по вероятности к генеральным характеристикам, т.е. вероятность события, заключающегося в том, что разница между указанными характеристиками не будет превышать сколь угодно малую величину, при увеличении объема выборки неограниченно приближается к единице. На практике обычно имеют дело только с выборочными характеристиками, на основании которых судят об уровне генеральных характеристик. Выше было получено выборочное среднее х (см. (2.17)). А из формул (2.13) и (2.19) выборочное среднее квадратическое отклонение n x xi s 2 i n 1 . (2.20) Пример 3. Оптический пирометр установлен на светящуюся нить накала, и различными операторами было произведено несколько измерений температуры. Получены следующие результаты: Температура, °С 925 950 975 1000 1025 1050 Число измерений 1 9 6 18 10 2 Требуется найти среднюю квадратическую и вероятную ошибки предположении, что эта выборка взята из нормально распределенной совокупности. в Решение. Найдем сначала выборочное среднее значение х . Проще находить среднее для 1000 – х, а не для х: 1000–хi Число измерений n n·(1000–хi) хi2 n· хi2 75 1 75 5625 5625 50 9 450 2500 22500 25 6 150 625 3750 0 18 0 0 0 -25 10 -250 625 6250 -50 2 -100 2500 5000 46 325 – 43125 n i 1 Сумма членов третьего столбца равна +325, откуда после деления на 46 (число измерений) получаем +7,1; следовательно, х = 992,9°С. Отсчеты округлены с точностью до 25°С, поэтому для дальнейших вычислений целесообразно принять х = 1000 °С. Теперь найдем s. Имеем 43125 31 С . 46 1 Вероятная ошибка Q вычисляется по формуле hQ 2 0,6745 , где s h 1 / 2 s , откуда Q s 0,6745 . (2.21) Подставив в формулу (2.21) значение s, получим Q 21 С . Правильно будет указать, что температура составляет 993 ± 21°С. Это означает, что в данном интервале значений находится половина всех измерений. В примере 3 мы использовали (n – 1), так как истинное или наилучшее значение не было в точности известно до получения данных и его нужно было найти путем усреднения результатов. Если бы источник, на который направлен пирометр, был откалиброван на 1000°С, то в формуле (2.20) для среднего квадратического отклонения вместо (п – 1) нужно было бы взять п. Для выборки, содержащей 46 элементов, такая замена несущественна. Если имеется набор случайных данных, для которых требуется найти выборочное среднее квадратическое отклонение без предварительного вычисления выборочного среднего значения, то можно использовать выражение n хi n i 1 хi2 n s 2 i 1 n 1 2 . (2.22) Формула (2.22) удобна при рассмотрении задач статистического анализа. Пример 4. Один и тот же угол был измерен 10 раз. Получены следующие результаты: № наблюдения Угол l № наблюдения Угол l 1 2 3 4 5 85°42'12" 85°42'00" 85°41'58" 85°42'04" 85°42'06" 6 7 8 9 10 85°42'09" 85°42'03" 85°42'08" 85°41'54" 85°41'56" Требуется найти выборочное среднее квадратическое отклонение s. Решение. В качестве условного нуля принято значение lо = 85°42'00", тогда l 01 12, l 02 0, l 03 2 и т. д. По формуле (2.22) имеем 12 2 0 2 2 2 4 2 6 2 9 2 32 8 2 6 2 4 2 s 10 1 2 12 0 2 4 6 9 3 8 6 4 2 10 10 1 35,111. Откуда выборочное среднее квадратическое отклонение s = 5,93". Найдем выборочное среднее квадратическое отклонение для выборочного среднего значения х , полученного для n равноточных измерений с одинаковой мерой точности, или, что то же самое, с одинаковым средним квадратическим отклонением s. Действительно, дисперсия среднего арифметического п одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в п раз меньше дисперсии D каждой из величин: D x D n. Это следует из свойств дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий слагаемых), имеем: x x2 xn D x D 1 n D x1 D x 2 D x n nD D 2 ; 2 n n n sx Dx D n D ns n. (2.23) Средняя квадратическая погрешность (среднее квадратическое отклонение) среднего значения равна средней квадратической погрешности отдельного результата, деленной на корень квадратный из числа измерений. Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа наблюдений (измерений). Из него следует, что, желая повысить точность измерений в 2 раза, мы должны сделать вместо одного четыре измерения; чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число измерений в 9 раз, и, наконец, увеличение числа наблюдений в 100 раз приведет к десятикратному увеличению точности измерений. Разумеется, это рассуждение относится лишь к измерениям, при которых точность результата полностью определяется случайной ошибкой. В этих условиях, выбрав n достаточно большим, мы можем существенно уменьшить ошибку результата. В примере 4 мы получили выборочную среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения, равную s = 5,93". Пользуясь (2.23), можно определить среднюю квадратическую ошибку арифметической средней, которая равна s x s n 5,93" 10 1,9" . Очевидно, важнее знать, насколько может уклониться от истинного значения а арифметическая средняя х наших измерений. Зададимся уровнем статистической значимости α или вероятностью γ = 1–α, которая носит название доверительной вероятности или надежности. И определим по ней интервал, называемый доверительным, за пределы которого не выходят результаты наших измерений в Р= γ·100 процентах случаев. Для этого воспользуемся формулой (2.10), заменив σ на s x , получим P x а или P x а 2Ф n s 2Фt , k , где t , k n s . Найдя из последнего равенства P x t , k s t , k s n а x t , k s n , можем написать n 2Фt 1 . (2.24) Выражение (2.24) означает, что с вероятностью, равной γ, результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала x t , k s n а x t , k s n. (2.25) Число t , k называется критерием Стьюдента для уровня значимости α и числа степеней свободы k = n – 1, определяется по таблице (прил. 3). При определении доверительных интервалов задаются надежностями, равными 0,9; 0,95; 0,99. Возвращаясь к примеру 4, найдем интервал, в котором заключен измеренный угол с надежностью, равной 0,95. По таблице прил. 3 для k=10–1 и α=1–0,95 находим t ,k =1,96. Таким образом, на основании формулы (2.25) t , k s n 1,96 5,93" 10 2,04" . Следовательно, измеренный угол заключен в пределах от 85°42'03"-- 2,04" до 85°42'03"+ 2,04" . Задачи для самостоятельного решения 1.1. Производится замер толщины слоя воды с помощью водомерной рейки. Полученные отсчеты имеют нормальное распределение с h = 10 м-1. Если выполняется большое число замеров, то за пределами какого интервала значений будет находиться четвертая часть всех результатов, когда точная глубина составляет 1,5 м? 1.2. Высотомер, установленный на автоматическом парашюте, имеет h = 0,00134 м-1. При раскрытии парашюта на расстоянии до Земли менее 100 м аппаратура выйдет из строя. Каков процент случаев поломки груза при нескольких сбрасываниях груза с высотомером, установленным на раскрытие парашюта на высоте 1000 м? 1.3. С помощью омметра многократно измеряется сопротивление стандартного резистора с номиналом 10 000 Ом. Половина всех измерений лежит в интервале от 9850 до 10150 Ом. Оцените h для этого прибора. Какова относительная ошибка этого интервала, если она определяется как вероятная ошибка, деленная на истинный отсчет? 1.4. В задачах 1.1, 1.2 и 1.3 найдите показатели точности σ и Q. 1.5. С помощью секстанта получены следующие двенадцать отсчетов: 22°30', 22°40', 22°40', 22°10', 22°30', 22°20', 22°0', 22°30', 23°0', 22°20', 22°40', 22°30'. Точный отсчет составляет 22°30'. 1) Постройте гистограмму этого распределения. 2) Если будет получено соответствие нормальному распределению, то найдите среднее квадратическое отклонение для этого прибора. 1.6. При измерении твердости образца по Роквеллу были получены следующие результаты: 97,0; 98,7; 99,9; 99,5; 97,1; 99,5; 92,0; 100,6; 99,7; 98,0; 98,5; 99,5; 99,7; 99,5; 99,0; 98,5; 99,5; 98,8; 98,5; 99,1; 96,6; 97,2; 101,7; 97,2; 98,2; 97,5; 97,7; 99,0; 99,0; 97,5. Для этой группы данных найдите выборочное среднее, вероятную ошибку и выборочное среднее квадратическое отклонение. 1.7. При измерении твердости образца по Роквеллу были получены следующие результаты: 85,6; 87,1; 87,9; 86,9; 85,6; 85,2; 85,5; 85,7; 84,7; 86,4; 80,0; 85,0; 82,0; 86,0; 86,0; 87,3; 84,5; 87,0; 87,3; 85,4; 91,0; 90,0; 90,8; 89,2; 91,0; 90,4; 84,1; 81,7; 87,4; 84,0; 85,2. Для этой группы данных найдите выборочное среднее, вероятную ошибку и выборочное среднее квадратическое отклонение. 1.8. Предполагая, что среднее число твердости для образца из примера 1.7 является точным значением, выберите из этих данных в случайном порядке 1, 4, 9, 16 и 25 отсчетов. Покажите, справедлива ли в этом случае теорема, согласно которой точность среднего значения возрастает пропорционально квадратному корню из числа отсчетов. 1.9. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти выборочную среднюю длину стержня, среднее квадратическое отклонение ошибок и вероятную ошибку прибора. 1.10. Прибор для сортировки электронно-лучевых трубок проверяется путем многократного пропускания через нeгo одной и той же трубки. Получены следующие результаты: Отсчет, см Число отсчетов Отсчет, см Число отсчетов 28,8 31,3 33,8 36,3 38,8 41,3 2 6 22 38 57 44 43,8 46,3 48,8 51,3 53,8 19 10 0 0 2 Тщательное измерение, выполненное вручную, показало, что точный размер составляет 38,8 мм. Предполагая, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, оцените вероятную ошибку данной выборки, выборочную среднюю результатов измерений, выборочное среднее квадратическое отклонение ошибок. 1.11. С помощью электромагнитного расходомера получено большое число отсчетов, при этом известно, что расход постоянен и составляет 23 кг/с. Половина полученных отсчетов лежит в интервале от 21,8 до 24,2 кг. Найдите h для данного прибора. Если расходомер показывает 20 кг/с (при фактическом расходе 23 кг/с), то прозвучит сигнал тревоги. Если расход проверяется автоматически четыре раза в сутки, то сколько раз прозвучит сигнал тревоги за 30 дней? 1.12. На контрольных испытаниях 16 осветительных ламп были определены оценки среднего значения и среднего квадратического отклонения их срока службы, которые оказались равными х = 3000 ч и s=20 ч. Считая, что срок службы каждой лампы является нормальной случайной величиной, определить: а) доверительный интервал для среднего значения и среднего квадратического отклонения срока службы осветительных ламп при доверительной вероятности 0,9; б) с какой вероятностью можно утверждать, что абсолютное значение ошибки определения х не превзойдет 10 ч? 1.13. Согласно оценке, вероятная ошибка в определении точки приводнения при возвращении капсулы космического аппарата «Меркурий» составила 66 км. Капсула, в которой находился космонавт Гленн, отклонилась от намеченной точки падения на 83 км. Допуская существование нормального распределения, определите вероятность того, что по крайней мере в одном из трех последующих орбитальных полетов точка приводнения отклонится на расстояние, превышающее отклонение капсул космонавтом Гленном. 1.14. В таблице № п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 кгс/мм2 47,2 44,5 44,6 45,8 46,2 44,7 45,1 44,8 43,6 45,6 № п/п 12 13 14 15 16 17 18 19 20 44,5 45,3 46,8 44,3 47,7 45,8 46,2 45,2 44,7 11 кгс/мм2 43,4 с приведены значения предела прочности образцов из дюралюминиевого прессованного профиля. Требуется вычислить значения выборочного среднего х, дисперсии s2 и среднего квадратического отклонения s. 1.15. По результатам испытаний на разрыв 20 образцов, приведенных в примере 1.14, определить 90%-ные доверительные интервалы для среднего значения и среднего квадратического отклонения предела прочности дюралюминия, если выборочные характеристики составляют х =45,3 кгс/мм2 и s=1,13 кгс/мм2. 1.16. Проверяется партия небольших внешне одинаковых электрических предохранителей для определения тока, при котором происходит их перегорание. Получены следующие результаты: Ток, вызывающий перегорание предохранителя, мА Число предохранителей 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 3 4 9 10 13 10 8 8 2 2 Это фактические данные для предохранителей, рассчитанных на ток 1/16 А, которые получены при резком изменении нагрузки. Вычислите выборочное среднее значение тока, вызывающего перегорание предохранителя, и выборочное среднее квадратическое отклонение на основе нормального распределения. 1.17. Произведено 5 независимых равноточных измерений для определения заряда электрона. Опыты дали следующие результаты (в абсолютных электростатических единицах): 4,781·10-10; 4,792·10-10; 4,795·10-10; 4,779·10-10 ; 4,769·1010 . Определить выборочную среднюю заряда электронов и найти доверительные границы при доверительной вероятности 99%, считая, что ошибки распределены по нормальному закону и измерения не имеют систематических ошибок. 1.18. Получено следующее гипотетическое распределение ошибок при 50 замерах длины: х, см -1,4 -1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 Число значений х 3 5 5 4 3 2 2 х, см 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 Число значений х 2 2 2 3 4 5 5 3 Предполагая, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, оцените вероятную ошибку данной выборки, выборочную среднюю результатов измерений, среднее квадратическое отклонение ошибок. 1.19. Распределение ошибок счетчика Гейгера таково, что 25% его показаний ниже точного значения ровно на одно деление шкалы, т.е. для них х = -1,0; для 50% показаний х = 0 (точные отсчеты), а 25% показаний имеют х = +1,0 (на одно деление шкалы выше). Постройте график этого распределения. Найдите среднее квадратическое отклонение. Какова вероятность получения трех последовательных показаний, которые либо точны, либо меньше точного отсчета? 1.20. Средняя квадратическая ошибка высотомера σ = 15 м. Сколько надо иметь таких приборов на самолете, чтобы с надежностью 0,99 ошибка средней высоты х была больше 30 м, если ошибки высотомеров нормальны, а систематические ошибки отсутствуют? 1.21. Для определения точности измерительного прибора, систематическая ошибка которого практически равна нулю, было произведено пять независимых измерений: 2781 м, 2836 м, 2807 м, 2763 м, 2858 м. Определить выборочную среднюю и среднее квадратическое отклонение ошибок измерительного прибора. 1.22. Определение скорости снаряда было проведено на 5 испытаниях, в результате которых вычислена оценка 870,3 м/с . Найти 95%-ный доверительный интервал, если известно, что рассеивание скорости подчинено нормальному закону со средним квадратическим отклонением συ=2,1 м/с. 1.23. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки распределены нормально со средним квадратическим отклонением σh=20 м. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину с ошибкой не более 15 м при доверительной вероятности 90%? 1.24. Постоянная величина измерена 25 раз с помощью прибора, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки измерения распределены по нормальному закону со средним квадратическим отклонением а =10 м. Определить границы доверительного интервала для значения измеряемой величины при доверительной вероятности 0,99, если х =100 м. 1.25. По 15 независимым равноточным измерениям были рассчитаны оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения максимальной скорости самолета 424,7м/с и συ = 8,7 м/с. Определить: а) доверительные границы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности 0,9; б) вероятности, с которыми можно утверждать, что абсолютное значение ошибки в определении и συ не превзойдет 2 м/с. (Считать выборку нормальной.) §2. Терминология: два вида ошибок статистического вывода, статистический критерий проверки нулевой гипотезы После накопления достаточного количества данных, их упорядочения и отсеивания ошибочных результатов можно приступить к их анализу. В технике такой анализ может проводиться в форме обработки данных, построения графиков и исследования численными или аналитическими методами. Необходимо статистическое исследование получаемых результатов, которое дополняет необходимый объем данных и помогает контролировать эксперимент. В данном параграфе будут рассмотрены методы, позволяющие ответить на следующие простые и важные вопросы. Если имеется две или большее число групп данных, то принадлежат ли они одной и той же совокупности? Если наблюдается ряд событий, то являются ли они результатом действия большого числа случайных факторов или же они подчиняются определенной схеме? В §1 были рассмотрены такие важные понятия и термины, как генеральная совокупность и выборка, нормальный закон, среднее квадратическое отклонение, среднее значение и т. д. Большинство этих терминов является статистическими понятиями. Теперь используем понятия математической статистики не для обнаружения и описания случайных ошибок в измерительных приборах, а как средство анализа всего эксперимента. Введем некоторые дополнительные термины. Наиболее важным является такое понятие, как значимость эксперимента или результатов эксперимента. Можно утверждать, что эксперимент, в котором 20 образцов стали марки А разрушились при давлении 4200 ± 350 кг/см2, а 20 образцов стали марки В разрушились при давлении 5600 ± 350 кг/см2, является высокозначимым, поскольку он доказывает, что сталь марки В имеет более высокую прочность. Хотя в данном случае необходимо провести проверку значимости, которая позволила бы представить этот высокозначимый результат в виде некоторого числа. Если бы у 20 образцов стали марки В прочность оказалась равной 4430 ± 350 кг/см2, то появилось бы сомнение в том, является ли сталь марки В более прочной, и статистический метод проверки был бы более необходим. Для этого рассмотрим понятия нулевой (основной) гипотезы, под которой понимают выдвинутую гипотезу Н0, и конкурирующей (альтернативной) гипотезы Н1. Гипотеза Н0 является основной в том смысле, что нам было бы желательно убедиться в ее справедливости. При выполнении статистических проверок рассматривается возможность появления двух типов ошибок статистического вывода. Ошибка первого рода имеет место, когда мы придаем наблюдаемым различиям определенное значение, а в действительности различие незначительно. Так, можно утверждать, что сталь марки В (с прочностью 4430 ±350 кг/см2) прочнее стали марки А (принята альтернативная гипотеза Н1), и приступить к закупкам и использованию только стали марки В. Последующие исследования (на более крупных выборках) могут показать, что между этими марками стали, по существу, нет различия (гипотеза Н0), так что, выбрав на основе первоначальной выборки из 20 образцов сталь марки В, т. е. отвергнув правильную гипотезу Н0, мы допустили ошибку первого рода. Таким образом, ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза, т. е. принята гипотеза Н1. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают через α. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значимости, равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста имеется риск допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу). Величина 1 – α равна вероятности принять верную гипотезу и называется уровнем доверия γ. Ошибки второго рода имеют место, когда игнорируется реальное различие, которое в действительности существует. Таким образом, ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через β. Например, можно решить, что различие между марками стали А и В (гипотеза Н0) не является значимым, и применять обе марки, не проводя между ними различий. Последующие испытания могут показать, что сталь марки В прочнее, чем сталь марки А, и что нами допущена ошибка второго рода. Эти ошибки играют особенно важную роль при решении инженерных задач, т.к. большинство экспериментов приводят, в конечном счете, к тому или иному действию и нет какого-либо определенного правила, устанавливающего нежелательность ошибок первого рода по сравнению с ошибками второго рода. Если испытывается устройство раскрытия парашюта, то естественно избегать возможности появления ошибки второго рода (которая состоит в том, что не будет выбрано действительно наилучшее устройство), в то время как ошибка первого рода (выбор наиболее дорогого устройства, которое кажется надежнее других) не является столь серьезной. И, наоборот, при выборе реле для установки на детскую игрушку ошибка второго рода, состоящая в том, что не будет выбрано самое лучшее реле, не столь серьезна, как ошибка первого рода (выбор реле определенной конструкции, которое в действительности не лучше других, но дороже). Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Эту величину обозначают через t, если она распределена по закону Стьюдента, или через χ2 – по закону «хи квадрат» и т. д. Поскольку в этом параграфе вид распределения во внимание приниматься не будет, обозначим эту величину в целях общности через К. Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы. Для проверки гипотезы по имеющимся данным, получаемым в результате опыта или эксперимента, вычисляют частные значения входящих в критерий величин и, таким образом, получают частное (наблюдаемое) значение критерия. Наблюдаемым значением Кнабл называют значение критерия, вычисленное по выборкам или в результате эксперимента. После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое – при которых она принимается. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают. Поскольку критерий К – одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами, и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют. Критическими точками (границами) kкp называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области. Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К > kкp, где kкp – положительное. Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К < kкp, где kкp – отрицательное число. Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю критическую область. Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами К < k1, К > k2, где k2 > k1. В частности, если критические точки симметричны, то K k кр . Для отыскания критической области задаются уровнем значимости α и ищут критические точки, исходя из следующих соотношений: а) для правосторонней критической области Р(К > kкр) = α (kкр > 0); б) для левосторонней критической области Р(К < kкр) = α (kкр <0); в) для двусторонней симметричной области Р(К > kкр) = (α/2) (kкр > 0), Р(К < – kкр) = (α/2). §3. Проверка значимости с помощью χ2-критерия Во многих случаях данные, получаемые в эксперименте, представляют собой число объектов. Например, определенное число деталей может быть принято или забраковано при приемке, пройти испытания на долговечность или выйти из строя до их завершения, продано или возвращено обратно. Может рассматриваться число деталей, изготовленных за данную смену или определенным рабочим, либо на данном станке или сборочной линии, либо с помощью некоторого производственного метода и т. д. Многие испытания такого рода можно проверять на значимость с помощью χ2– критерия. 2 О М 2 М , (2.23) где О обозначает наблюдаемое число событий (например, отказов, реализованных товаров, забракованных изделий, изготовленных предметов, зарегистрированных частиц, правильных ответов и т. д.), а М – математическое ожидание числа этих событий. Когда мы говорим о математическом ожидании, то вводим нулевую гипотезу Н0, которая может быть истинной или ложной. Допустим, например, что необходимо узнать, на каком токарном станке – новом или старом – мы получим больше хороших деталей. Для этого на каждом станке изготавливается одинаковое число деталей, и проверяемая нулевая гипотеза гласит: «Оба станка выпускают одинаковое число хороших деталей» при конкурирующей гипотезе Н1: «Новый станок выпускает больше хороших деталей». Каждую из этих гипотез можно проверить, вычислив соответствующее значение χ2. Однако, прежде чем показать, как это делается, необходимо рассмотреть еще один новый термин. При любом – табличном или графическом – представлении распределения χ2 необходимо знать число степеней свободы, связанных с экспериментом. Число степеней свободы – это число независимых групп наблюдений, охватываемых гипотезой. Допустим, что отдел закупок приобрел маломощные двигатели – половину в фирме А и половину в фирме В. Через некоторый промежуток времени вышли из строя а двигателей фирмы А и b двигателей фирмы В. Общее число неисправных двигателей постоянно и равно (a + b). Допустим теперь, что требуется проверить нулевую гипотезу, согласно которой число отказавших двигателей обеих фирм одинаково при конкурирующей гипотезе – двигатели фирмы А лучше. Тогда ожидаемое число отказавших двигателей обеих фирм можно принять равным a b / 2 . Таким образом, H0: М = a b / 2 ; H1: М > a b / 2 . Поскольку мы можем выбрать только одно число, то имеем только одну степень свободы и выражение для χ2набл принимает следующий вид: 2 набл a a b / 22 b a b / 22 . a b / 2 a b / 2 (2.24) Обычно в случае одной степени свободы перед возведением в квадрат из каждого члена (О – М) вычитают 0,5. В противном случае получается несколько большее значение χ2набл, но для большинства инженерных вычислений получаемая ошибка невелика. После того как мы рассмотрели две важные величины – число степеней свободы и значение χ2набл, мы должны с помощью соответствующей таблицы найти вероятность того, что значение χ2 не меньше найденного. Ограничимся случаем конкурирующей гипотезы Н1: выбранный признак для разных исследуемых объектов имеет существенное различие. В этом случае строят двухстороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости 2 : Р 2; k 2. 2 Р 2 лев. кр 2; k 2 , по Р 2 2 прав. кр Критические точки – левую и правую границы критической области – находят таблице (прил. 4). Левая критическая точка определяется из условия или 2; k 1 2 . Таким образом, левая критическая точка находится 2 2 2 Р 2 лев. кр 2; k Р лев. кр 2; k 1 2 2 лев. кр по таблице «правых» критических точек, исходя из требования равенства вероятности попадания критерия в интервал 1 2 . Если 2 2 2 1 2; k набл 2; k лев.кр прав.кр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если 2 2 2 2 1 2; k или набл 2; k – нулевую набл лев.кр прав.кр гипотезу отвергают. Допустим, что в примере, где рассматриваются маломощные двигатели, был зарегистрирован выход из строя пяти двигателей фирмы А и девяти двигателей фирмы В. В этом случае формула (2.24) принимает вид 2 5 7 2 7 9 7 2 7 1,14 . С помощью таблицы (см. прил. 4) по уровню значимости 0,2 и числу степеней свободы k=1 находим правую критическую точку χ2прав.кр(0,1;1) = 2,7 и левую – χ2лев.кр(1-0,1;1) = 0,016. Так как χ2лев.кр<χ2набл<χ2прав.кр , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве числа отказавших двигателей обеих фирм. Допустим, что некоторое время спустя отношение числа отказов двигателя А к числу отказов двигателя В сохраняется неизменным, и мы наблюдаем 15 отказов двигателя А и 27 отказов двигателя В. В этом случае значение χ2набл = 3,43. Тогда неравенство χ2лев.кр <χ2набл < χ2прав.кр выполняется при уровне значимости α = 0,1. Хотя это и не означает, что наша гипотеза достоверно отвергается, все же следует проявить осмотрительность, так как увеличивается вероятность совершить ошибку второго рода. Появление при последующей эксплуатации отказов, имеющих такую же интенсивность, увеличивает уверенность, что сформулированная гипотеза ложна, и позволяет убедиться в том, что двигатели фирмы А лучше. Таким образом, критерий χ2 весьма чувствителен к объему выборки, и часто для получения действительно значимого результата необходимо иметь большой объем данных. §4. Критерии для отбрасывания резко выделяющихся результатов испытаний Редкий эксперимент обходится без того, чтобы не появилось хотя бы одно резко выделяющееся значение или отклоняющаяся точка, которая сразу же подозревается как ошибочная. Мнения относительно исключения таких ошибочных наблюдений могут быть различными. В частности, если отбрасывать все точки, которые кажутся нам слишком сильно выпадающими из других измерений, то легко получить завышенную и совершенно фиктивную точность измерений или результатов эксперимента. В подобных случаях сомнительные результаты исключают путем применения специальных критериев. Нулевой, или исходной, гипотезой при использовании критериев является предположение о том, что наибольшее значение хmax(или xmin) принадлежит той же генеральной совокупности, как и все остальные п – 1 наблюдений. При больших объемах выборки, когда существует уверенность в надежности оценки среднего квадратичного отклонения, а также в некоторых случаях при малых объемах, когда величина среднего квадратичного отклонения известна по результатам более ранних испытаний, для решения вопроса о принятии или исключении сомнительных результатов эксперимента целесообразно использование критерия Ирвина. Для этого вычисляют значение набл x n x n 1 , s (2.25) если резко выделяющимся результатом является последний член вариационного ряда, или набл x 2 x1 , s (2.26) если сомнение вызывает первый член вариационного ряда. Вычисленное значение λ сопоставляют с критическим значением λр, найденным теоретически для заданного уровня доверительной вероятности Р = 1– α и объема выборки п (наиболее употребительные значения λр приведены в табл.1). Таблица 1 Критические значения λр n 2 3 10 20 30 50 100 400 1000 α=0,05 2,8 2,2 1,5 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 α=0,01 3,7 2,9 2,0 1,8 1,7 1,6 1,5 1,3 1,2 Значение уровня значимости α обычно принимается равным 0,05 или 0,01, реже принимается α = 0,1 и α = 0,001. Если р , то выброс измеряемой величины или результата эксперимента следует считать случайным. В этом случае нулевая гипотеза подтверждается. Если р , то отмеченный выброс х1 или хn не случаен, не характерен для рассматриваемой совокупности данных, а определяется грубыми ошибками в эксперименте или в измерениях. Так как нулевая гипотеза в этом случае отклоняется, сомнительные значения х1 или хп исключают из рассмотрения, а найденные ранее числовые характеристики распределения (§1) подвергают корректировке с учетом отброшенных результатов. Пример 1. В табл. 2 приведен вариационный ряд значений логарифма долговечности образцов диаметром 8 мм из алюминиевого сплава АВ, испытанных на консольный изгиб с вращением при напряжении σmax=15 кгс/мм2. Таблица 2 i x i lg N i i x i lg N i i x i lg N i i x i lg N i 1 5,8669 26 6,3310 51 6,5224 76 6,7275 2 5,9164 27 6,3688 52 6,5431 77 6,7275 3 6,0216 28 6,3746 53 6,5464 78 6,7392 4 6,0386 29 6,3811 54 6,5578 79 6,7432 5 6,0426 30 6,3829 55 6,5603 80 6,7538 6 6,0445 31 6,3829 56 6,5607 81 6,7809 7 6,0645 32 6,3918 57 6.5654 82 6,7975 8 6,0799 33 6,3967 58 6.5655 83 6,7975 9 6,0821 34 6,4076 59 6,5793 84 6,7988 10 6,1062 35 6,4089 60 6,5823 85 6,8038 11 6,1082 36 6,4094 61 6,5916 86 6,8142 12 6,1183 37 6,4216 62 6,5957 87 6,8169 13 6,1186 38 6,4328 63 6,6096 88 6,8649 14 6,1238 39 6,4342 64 6,6471 89 6,8717 15 6,1605 40 6,4620 65 6,6474 90 6,8977 16 6,1685 41 6,4630 66 6,6739 91 6,9051 17 6,1746 42 6,4646 67 6,6739 92 6,9109 18 6,1801 43 6,4704 68 6,6780 93 6,9189 19 6,1892 44 6,4713 69 6,6896 94 6,9299 20 6,1951 45 6,4842 70 6,6916 95 6,9545 21 6,2071 46 6,4975 71 6,7000 96 7,0824 22 6,2100 47 6,4984 72 6,7086 97 7,1682 23 24 6,2297 48 6,5179 73 6,7132 98 7,2603 6,2608 49 6,5201 74 6,7178 99 7,2775 25 6,3115 50 6,5214 75 6,7197 100 7,4586 Требуется с помощью критерия Ирвина проверить нулевую гипотезу, заключающуюся в том, что значения долговечности первого и последнего образцов вариационного ряда принадлежат той же генеральной совокупности, как и все остальные. Решение. По данным табл. 2 найдено s = 0,315. Просматривая табл.2, находим, что максимальное значение определяется результатами испытаний двух последних образцов вариационного ряда. В этом случае на основании (2.25) 7,4586 7,2775 0,58 , 0,315 что значительно ниже критического значения для п = 100 и Р = 1–α=0,95 (см. табл. 1). Проведенные расчеты подтверждают нулевую гипотезу, и результат испытания последнего образца не следует считать ошибочным. Нулевая гипотеза еще в большей степени проходит для первых двух образцов. Здесь λ ≈ 2. В тех случаях, когда при проверке гипотезы располагают n измерениями (для n < 25), целесообразно использование критерия Груббса. Для этого в зависимости от того, какое из всех измерений является более сомнительным, определяют значение макс xк х , s (2.27) сопоставляют с критическим значением, найденным для заданного уровня значимости α и объема выборки по табл. 3. Нулевую гипотезу принимают, если макс ; n , и отвергают, если макс ; n . Таблица 3 n α 0,1 0,05 0,025 0,01 1 2 3 4 5 3 1,41 1,4 1,41 1,41 4 1,65 1,69 1,71 1,72 5 1,79 1,87 1,92 1,96 6 1,89 2,00 2,07 2,13 7 1,97 2,09 2,18 2,27 8 2,04 2,17 2,27 2,37 9 2,10 2,24 2,35 2,46 10 2,15 2,29 2,41 2,54 11 2,19 2,34 2,47 2,61 12 2,23 2,39 2,52 2,66 13 2,26 2,43 2,56 2,71 14 2,30 2,46 2,60 2,76 15 2,33 2,49 2,64 2,80 16 2,35 2,52 2,67 2,84 17 2,38 2,55 2,70 2,87 Окончание табл 3 1 2 3 4 5 18 2,40 2,58 2,73 2,90 19 2,43 2,60 2,75 2,93 20 2,45 2,62 2,78 2,96 21 2,47 2,64 2,80 2,98 22 2,49 2,66 2,82 3,01 23 2,50 2,68 2,84 3,03 24 2,52 2,70 2,86 3,05 25 2,54 2,72 2,88 3,07 Пример 2. Проверить с помощью критерия Груббса принадлежность результатов ряда измерений некоторой длины, помещенных в табл. 4, одной и той же генеральной совокупности. Таблица 4 Номер измерения Длина l Номер измерения Длина l 1 258,5 9 256,0 2 3 4 5 6 7 8 255,4 256,6 256,7 257,0 256,5 256,7 255,3 10 11 12 13 14 15 – 266,0 256,3 256,5 256,0 256,3 256,9 – Решение. По данным табл. 4 находим выборочное среднее х 257,11 и выборочное среднее квадратическое отклонение s = 2,6. Проверим принадлежность результата 10 –го измерения той же генеральной совокупности, как и все остальные. На основании (2.27) макс x10 х 266,0 257,11 3,42 . s 2,6 Наибольшее значение макс для n =15, приведенное в табл. 3, равно 2,80, чему соответствует α = 0,01. Так как макс 3,42 2,8 0,01 ; 15 , то результат данного измерения не считаем принадлежащим той же генеральной совокупности, как и все остальные. В оставшемся ряду представляется также подозрительным результат 258,5. Для него макс x1 х 258,5 257,11 0,535 , s 2,6 что заметно меньше табличных (критических) значений для n =15 и всех рассматриваемых уровней значимости. Т. е. результат данного измерения считаем принадлежащим той же генеральной совокупности, как и все остальные. §5. Проверка нормальности выборочного распределения Для больших выборок гипотезу о нормальном распределении характеристик целесообразно проверять с помощью критерия соответствия χ2 (критерий Пирсона). В этом случае размах варьирования R x max x min (2.28) разбивают на интервалы и для каждого интервала определяют число наблюдений nj. Интервалы, содержащие число наблюдений менее 5, объединяются с соседними. С помощью функции Лапласа (2.9), пользуясь выборочными значениями математического ожидания и дисперсии, определяют оценку вероятности попадания величины характеристики в интервале pj по формуле x j 1 x xj x pj ф ф s s (2.29) В качестве критерия проверки нулевой гипотезы (генеральная совокупность распределена нормально) примем случайную величину е 2 j 1 n j n j n j 2 , (2.30) где n j np j – теоретические частоты. Эту величину сопоставляют с критическим значением 2 кр , найденным для уровня значимости α и числа степеней свободы k=e – 2– 1 по таблице прил. 4 (здесь е является числом интервалов после их объединения; число 2 соответствует числу параметров нормального распределения, которые оценены по данным выборки). Поскольку односторонний критерий более «жестко» отвергает нулевую гипотезу, чем двусторонний, построим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости α: Р 2 2кр ; k . Таким неравенством образом, 2 2 кр , правосторонняя критическая область определяется область принятия нулевой гипотезы – неравенством 2 2 кр . Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через 2 набл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Н0: генеральная совокупность распределена нормально, надо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия: 2 набл е n j np j 2 j 1 np j и по таблице критических точек распределения χ2, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k=е-3 найти критическую точку 2кр ; k (см. прил. 4). 2 2 набл кр ,то нулевая гипотеза, предполагающая нормальное Если распределение данных, получаемых в эксперименте, подтверждается. 2 2 случае набл кр гипотеза о нормальности распределения бракуется. В Пример 1. Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении логарифма числа циклов до разрушения при усталостных испытаниях по данным табл. 2. Решение. Для этого предварительно по табл. 2 определяют размах варьирования логарифма долговечности образцов: R=7,4586 – 5,8669 = 1,5917. Размах разбивают на равные интервалы. Ориентировочную длину интервала определяют как x R 1,5917 0,133 . 12 12 За длину интервала принимают Δх = 0,15. Границы интервалов, а также число наблюдений приведены в табл. 5, составленной на основании табл. 2. В этой же таблице даны вычисления, необходимые для определения выборочного среднего и выборочного среднего квадратического отклонения. Последовательность вычислений ясна из табл. 5. Таблица 5 i Границы интервалов Середина интервала хi Число наблюдений ni nixi nix2i 1 5,825÷5,97 5,90 2 11,80 69,6200 2 5,975÷6,12 6,05 12 72,60 439,2300 3 6,125÷6,27 6,20 10 62,00 384,4000 4 6,275÷6,42 6,35 13 82,55 524,1925 5 6,425÷6,57 6,50 21 136,50 887,2500 6 6,575÷6,72 6,65 17 113,05 751,7825 7 6,725÷6,87 6,80 14 95,20 647,3600 8 6,875÷7,02 6,95 6 41,70 289,8150 9 7,025÷7,17 7,10 2 14,20 100,8200 10 7,175÷7,32 7,25 2 14,50 105,1250 11 7,325÷7,47 7,40 1 7,40 54,7600 100 651,50 Сумма 4254,3550 Пользуясь итогами 3 и 4 столбцов, по формуле (2.17) вычисляют выборочное среднее значение логарифма числа циклов до разрушения образцов: х 651,5 6,515 . 100 Выборочную дисперсию находят на основании итогов 4, 5 и 6 столбцов по формуле (2.22). s2 1 1 651,5 2 0,09922 . 4254,355 99 100 Далее находят выборочное среднее квадратическое отклонение s 0,09922 0,315 . После того, как найдены выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение, приступаем к проверке нормальности выборочного распределения. Таблица 6 i Границы Числ интервалов о набл юден ий в Координаты границ интервалов в долях s относительн Значение функции Лапласа на границах интервала Оценка вероят ности попада ния в npi n j np j np j интер вале о х, Ф хi интерв ал рi 0,1075 10,75 –0,984 –1,71÷1,24 0,5 0,4564 0,4564 0,392 –1,24-÷0,76 –0,3925÷–0,276 0,1161 11,61 0,223 –0,76÷–0,29 –0,2764÷0,1141 0,1623 16,23 0,643 –0,29÷0,19 –0,1141÷0,0753 0,1894 18,94 0,224 0,19÷0,67 0,0753÷0,2486 0,1733 17,33 0,006 0,67÷1,14 0,2486÷0,3729 0,1243 12,43 0,198 1,14÷1,61 0,3729÷0,4463 0,0734 7,34 0,244 1,61÷2,09 0,4463 0,4817 0,4817 0,4949 0,0537 0,4949 0,5 5,37 0,025 100 χ2=2,547 x x zi i s 1 5,825÷5,97 2 5,975÷6,12 3 6,125÷6,27 4 6,275÷6,42 5 6,425÷6,57 6 6,575÷6,72 7 6,725÷6,87 8 6,875÷7,02 9 7,025÷7,17 10 7,175÷7,32 11 7,325÷7,47 Сумма 2 14 12 10 13 21 17 14 6 2 25 1 –∞ ÷ -1,71 2,09÷2,57 2,57÷∞ n=100 – – 1,000 Все результаты вычислений приведены в табл. 6, первые три столбца которой заимствованы из табл. 5. В связи с малым числом наблюдений объединяются интервалы 1-й со 2-м и 9-й с 10-м и 11-м. В четвертом столбце границы интервалов выражаются через нормированную случайную величину zi xi x , s где х и s–выборочное среднее значение и среднее квадратическое отклонение логарифма числа циклов до разрушения образцов. Значения этих статистик были найдены выше. С помощью таблицы прил. 2 находят значения функции Лапласа (2.9) для границ интервалов и заносят их в пятый столбец. В шестой столбец заносят оценку вероятностей попадания значений механической характеристики в интервалы, которая представляет собой разность значений функции Лапласа на правой и левой границах интервала. Если интервалы объединяются, то вычисляют разность значений функции на границах объединенного интервала. Например, p1 P x 6,125 Ф 1,24 Ф 0,3925 0,5 0,1075 . Сумма чисел рi в столбце 6 всегда будет равна единице. В столбец 7 заносят оценки математических ожиданий числа наблюдений по интервалам, которые определяют умножением оценки вероятности pi на общее число образцов в выборке n =100. Итог столбца 7 должен равняться итогу столбца 3. Сумма столбца 8 дает значение критерия χ2. В данном случае χ2набл = = 2,547. По таблице прил. 4 для k=6 – 3=3 находим, что вычисленное по данным выборки χ2набл=2,547 меньше критического значения χ2, соответствующего уровню значимости α =0,7. Отсюда следует, что гипотеза o нормальном распределении логарифма долговечности при усталостных испытаниях не противоречит опытным данным. Задачи для самостоятельного решения 2.1. Произведен выбор 200 деталей из текущей продукции прецизионного токарного автомата. Проверяемый размер деталей измерен с точностью до 1 мк. В табл. 7 приведены отклонения хi от номинального размера, разбитые на разряды, численности разрядов ni. Таблица 7 № разряда i Границы интервала xi ÷ xi+1 ni № разряда i Границы интервала xi ÷ xi+1 ni 1 -20 ÷ -15 7 6 5 ÷ 10 41 2 -15 ÷ -10 11 7 10 ÷ 15 26 3 -10 ÷ -5 15 8 15 ÷ 20 17 4 -5 ÷ 0 24 9 20 ÷ 25 7 5 0÷ 49 10 25 ÷ 30 3 5 Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении отклонений хi от номинального размера. 2.2. Имеется 60 деталей, обработанных на одном станке. Данные об измерениях характерного размера х приведены в табл. 8. Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении размера х детали. Таблица 8 № детали Размер х, № детали Размер х, № детали Размер х, см см см 1 72,58 21 72,50 41 72,30 2 72,35 22 72,69 42 72,28 3 72,33 23 72,54 43 72,51 4 72,54 24 72,48 44 73,37 5 72,24 25 72,36 45 72,14 6 72,42 26 72,50 46 72,42 7 72,58 27 72,43 47 72,39 8 72,47 28 72,46 48 72,28 9 72,54 29 72,56 49 72,20 10 72,24 30 72,48 50 72,4$ 11 72,38 31 72,43 51 72,66 12 72,70 32 72,56 52 72,64 13 72,47 33 72,34 53 72,73 14 72,49 34 72,38 54 72,43 15 72,28 35 72,56 55 72,28 16 72,47 36 72,32 56 72,64 17 71,95 37 72,41 57 72,72 18 72,18 38 72,14 58 72,34 19 72,66 39 72,89 59 72,60 20 72,35 40 72,81 60 72,46 2.3. В табл. 9 приведены отклонения диаметров валиков, обработанных на станке, от заданного размера. Таблица 9 Границы интервала, мк Численность разряда ni 0÷5 5 ÷ 10 10 ÷ 15 15 ÷ 20 20 ÷ 25 15 75 100 50 10 Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении полученных отклонений. 2.4. Образовано 250 чисел х, каждое из которых представляет собой сумму цифр пяти случайных однозначных чисел. Полученные суммы разбиты на 15 интервалов в соответствии с табл. 10. Таблица 10 Границы интервала 0÷3 ni 0 Границы интервала 15 ÷ 18 3÷6 1 6÷9 ni ni 28 Границы интервала 30 ÷ 33 27 18÷ 21 39 33 ÷ 36 8 1 21 ÷ 24 41 36 ÷ 39 1 9 ÷ 12 10 24 ÷ 27 45 39 ÷ 42 1 12 ÷ 15 18 27 ÷ 30 30 42 ÷ 45 0 Суммы, кратные трем, условно отнесены к обоим граничащим интервалам, к каждому из которых отнесена половина числа этих сумм. Установить, используя критерий χ2, согласуется ли приведенное статистическое распределение с законом нормального распределения, за параметры которого приняты оценки математического ожидания и дисперсии, определенные по наблюденным данным, при уровне значимости α =0,05. 2.5. Результаты наблюдения за среднесуточной температурой воздуха в течение 320 суток приведены в табл. 11. Таблица 11 xi°С ni xi°С ni -40 ÷ 30 5 10 ÷ 20 81 -30 ÷ 20 11 20 ÷ 30 36 -20 ÷ -10 25 30 ÷ 40 20 -10 ÷ 0 42 40 ÷ 50 8 88 50 ÷ 60 4 0 ÷ 10 Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении данных наблюдений при уровне значимости α =0,05. 2.6. Имеется 60 деталей, обработанных на одном станке. Данные об измерениях характерного размера х приведены в табл. 12. Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении размера х детали. Таблица 12 № детали Размер х, № детали Размер х, № детали Размер х, см см см 1 72,50 21 72,35 41 72,31 2 72,35 22 72,16 42 72,46 3 72,69 23 72,51 43 72,36 4 72,60 24 72,50 44 72,39 5 72,54 25 72,50 45 72,30 6 72,42 26 72,48 46 72,30 7 72,68 27 72,53 47 72,38 8 72,54 28 72,25 48 72,55 9 72,55 29 72,48 49 72,36 10 72,33 30 72,36 50 72,24 11 72,56 31 72,53 51 72,23 12 72,86 32 72,23 52 72,16 13 72,36 33 72,55 53 72,17 14 72,15 34 72,51 54 72,37 15 72,48 35 72,25 55 72,38 16 72,46 36 72,11 56 72,46 17 72,36 37 72,44 57 72,12 18 72,38 38 72,51 58 72,28 19 72,40 39 72,55 59 72,23 20 72,38 40 72,24 60 72,38 2.7. Проверяется партия небольших внешне одинаковых электрических предохранителей для определения тока, при котором происходит их перегорание. Полученные результаты представлены в табл. 13. Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении тока, вызывающего перегорание предохранителей. Таблица 13 Ток, вызывающий перегорание предохранителя, мА Число предохранителей 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 3 4 9 10 13 10 8 8 2 2 2.8. По данным каталога Воронцова-Вельяминова, распределение расстояний до планетарных туманностей представлено в табл. 14, где хi – расстояние (в килопарсеках) до туманности, a ni – число случаев (численность разряда). Таблица 14 xi ni xi ni xi ni xi ni 0 ÷ 0,5 9 3,0 ÷ 3,5 12 6,0 ÷ 6,5 3 9,0 ÷ 9,5 2 0,5 ÷ 1,0 11 3,5 ÷ 4,0 7 6,5 ÷ 7,0 2 9.5 ÷ 10,0 0 1,0 ÷ 1,5 8 4,0 ÷ 4,5 10 7,0 ÷ 7,5 1 10,0 ÷ 10,5 0 1,5 ÷ 2,0 12 4,5 ÷ 5,0 8 7,5 ÷ 8,0 0 2,0 ÷ 2,5 13 5,0 ÷ 5,5 5 8,0 ÷ 8,5 0 2,5 ÷ 3,0 16 5,5 ÷ 6,0 0 8,5 ÷ 9,0 0 21 n ni 119 i 1 Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении данных наблюдений при уровне значимости α = 0,05. 2.9. В табл. 15 приведены результаты измерения некоторой величины X. Таблица 15 Границы интервала xi ni Границы интервала xi ni Границы интервала xi ni 75 ÷ 77 2 85 ÷ 87 32 95 ÷ 97 8 77 ÷ 79 4 87 ÷ 89 24 97 ÷ 99 3 79 ÷ 81 12 89 ÷ 91 23 81 ÷ 83 24 91 ÷ 93 22 83 ÷ 85 25 93 ÷ 95 20 13 n ni 119 i 1 Проверить, используя критерий χ2, согласие опытных данных с законом нормального распределения, параметры которого следует определить на основании результатов измерений. Принять уровень значимости α =0,05. 2.10. Прибор для сортировки электронно-лучевых трубок проверяется путем многократного пропускания через нero одной и той же трубки, полученные результаты приведены в табл. 16. Таблица 16 Отсчет, см Число отсчетов Отсчет, см Число отсчетов 28,8 31,3 33,8 36,3 38,8 41,3 2 6 22 38 57 44 43,8 46,3 48,8 51,3 53,8 – 19 10 0 0 2 – Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении полученных отсчетов при уровне значимости α = 0,05. 2.11. В табл. 17 даны результаты 228 измерений чувствительности Х телевизора (в микровольтах). Таблица 17 xk nk xk nk xk nk 200 1 450 33 700 13 250 2 500 34 750 8 300 11 550 31 800 3 350 20 600 25 – – 400 28 650 19 – – Проверить, используя критерий χ2, согласование результатов измерения с законом нормального распределения. Принять уровень значимости α =0,05. 2.12. В табл. 18 приведена сгруппированная выборка значений случайной величины Х объема п = 300. Таблица 18 Границы интервала 50 ÷ 60 ni 1 Границы n i интервала 100 ÷ 110 56 Границы интервала 150 ÷ 160 16 60 ÷ 70 2 110 ÷ 120 61 160 ÷ 170 4 70 ÷ 80 9 120 ÷ 130 49 170 ÷ 180 2 80 ÷ 90 23 130 ÷ 140 25 – – 90 ÷ 100 33 140 ÷ 150 19 – – ni Проверить, используя критерий χ2 при уровне значимости α = 0,05, согласие опытных данных с законом нормального распределения. 2.13. Измерения скорости света с, произведенные Майкельсоном, Пизом и Пирсоном, дали результаты, приведенные в табл. 19. Для сокращения записи в таблице приведены значения (ci - 299000), км/с. Таблица 19 Границы интервала ni Границы интервала ni Границы интервала ni Границы интервала ni 735 ÷ 740 3 755 ÷ 760 17 775 ÷ 780 40 795 ÷ 800 5 740 ÷ 745 7 760 ÷ 765 23 780 ÷ 785 17 800 ÷ 805 2 745 ÷ 750 4 765 ÷ 770 29 785 ÷ 790 16 805 ÷ 810 3 750 ÷ 755 8 770 ÷ 775 45 790 ÷ 795 10 810 ÷ 815 4 Проверить, используя критерий χ2, согласие опытных данных с законом нормального распределения при уровне значимости α = 0,05. 2.14. В табл. 20 приведены наблюденные на опыте сроки устранения отказов электронной аппаратуры в часах с точностью до 1 минуты. Проверить, используя критерий χ2, согласие наблюденных данных с законом логарифмически нормального распределения, при котором x=lgy подчиняется закону нормального распределения, приняв за уровень значимости α = 0,05. Таблица 20 Номер интервала i Границы интервала yi ÷ yi+1 Численн Номер Границы Численн ость интервала интервала ость разряда i yi ÷ yi+1 разряда ni ni 2 8 1,8 ÷ 3,2 10 1 1/60 ÷ 3/60 2 3/60 ÷ 6/60 5 9 3,2 ÷ 5,6 7 3 6/60 ÷ 10/60 7 10 5,6 ÷ 10 4 4 10/60 ÷ 18/60 11 11 10 ÷ 18 2 5 18/60 ÷ 35/60 15 12 18 ÷ 30 1 6 35/60 ÷ ,6 21 13 более 30 0 7 1,04 ÷ 1,8 15 2.15. Произведен выбор 300 деталей из текущей продукции прецизионного токарного автомата. Проверяемый размер деталей измерен с точностью до 1 мк. В табл. 21 приведены отклонения хi от номинального размера, разбитые на разряды, численности разрядов ni. Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении размера х детали. Таблица 21 № разряда i Границы интервала xi ÷ xi+1 ni № разряда i Границы интервала xi ÷ xi+1 ni 1 -20 ÷ -10 20 5 20 ÷ 30 40 2 -10 ÷ 0 47 6 30 ÷ 40 16 3 0 ÷ 10 80 7 40 ÷ 50 8 4 10 ÷ 20 89 – 7 n ni 300 i 1 2.16. Взяли 120 деталей, обработанных на одном станке, и рассмотрели у них отклонения характерного размера от заданного. Проверяемый размер деталей измерен с точностью до 1 мк. В табл. 22 приведены отклонения хi от номинального размера, разбитые на разряды, численности разрядов ni. Таблица 22 № разряда i Границы интервала xi ÷ xi+1 ni № разряда i Границы интервала xi ÷ xi+1 1 -20 ÷ -15 8 5 0÷ 5 35 2 -15 ÷ -10 16 6 5 ÷ 10 6 3 -10 ÷ -5 7 7 10 ÷ 15 5 4 -5 ÷ 0 15 8 15 ÷ 20 8 ni Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении размера х детали. 2.17. При изготовлении труднообрабатываемых деталей применяются четыре метода: A, B, C, D. Получены следующие данные о числе забракованных деталей (табл.23). Таблица 23 Методы A B C D Общее число изготовленных деталей Число забракованных деталей 8 10 9 13 5 8 9 10 Проверьте справедливость гипотезы о том, что методы не различаются по норме бракованных деталей, с помощью χ2 - критерия. 2.18. Имеется 50 деталей, обработанных на одном станке. Данные об измерениях характерного размера х приведены в табл. 24. Таблица 24 № детали Размер х, № детали Размер х, № детали Размер х, см см см 1 72,140 18 72,203 35 72,231 2 72,152 19 72,207 36 72,244 3 72,163 20 72,212 37 72,247 4 72,173 21 72,173 38 72,250 5 72,169 22 72,216 39 72,240 6 72,178 23 72,231 40 72,264 7 72,212 24 72,236 41 72,231 8 72,216 25 72,212 42 72,236 9 72,189 26 72,240 43 72,271 10 72,192 27 72,252 44 72,240 11 72,198 28 72,255 45 72,264 12 72,199 29 72,236 46 72,274 13 72,203 30 72,260 47 72,278 14 72,195 31 72,264 48 72,293 15 72,220 32 72,293 49 72,302 16 72,223 33 72,278 50 72,330 17 72,226 34 72,286 Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении размера х детали. 2.19. В течение трех смен A, B и C выпускается одинаковая продукция. Получены результаты, приведенные в табл. 25. Таблица 25 Смена A B C Число принятых изделий 6 6 9 Используя критерий χ2 , проверьте гипотезу о том, что между этими сменами нет различия. 2.20. Из партии резисторов взяли 50 образцов и произвели замер их сопротивлений. Данные об их отклонениях от номинального значения сопротивления 1 кОм приведены в табл. 26. Таблица 26 № Отклонен № Отклонен № Отклонен резистора ие хi, резистор ие хi, резистора ие хi, а Ом Ом Ом 1 0.5 18 0.5 35 -1,5 2 -14,1 19 -5,5 36 8,5 3 1.0 20 2,0 37 12 4 -3,0 21 4,0 38 13 5 1.5 22 -1,0 39 12 6 2,0 23 5,0 40 -17,0 7 -8,0 24 6,0 41 14 8 2,5 25 -10,5 42 17,0 9 5,0 26 7,0 43 19,0 10 4,5 27 7,5 44 -4,0 11 3,5 28 0,0 45 21 12 -11,5 29 8,5 46 18,0 13 4,0 30 9,5 47 23,5 14 6,5 31 -20,0 48 19,5 15 7,0 32 10,5 49 -9,0 16 -6,5 33 10,0 50 14,5 17 7,5 34 11 – – Оценить с помощью критерия χ2 гипотезу о нормальном распределении отклонений хi от номинального сопротивления при уровне значимости α = 0,05. 2.21. Производились измерения определенного числа частиц космического излучения с помощью счетчика космического излучения и записывающего устройства. Результаты представлены в табл. 27. Таблица 27 Число отметок п на бумажной ленте за интервал постоянной длины 0 Число интервалов, имеющих п отметок 2 33 182 333 318 194 1 2 3 4 5 6 7 8 70 17 4 С помощью критерия χ2 проверить соответствие нормальному распределению числа частиц космического излучения. 2.22. Имеется 50 пружин, изготовленных в одинаковых условиях. Данные об измерениях жесткости пружин х приведены в табл. 28. Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении жесткости пружин. Таблица 28 № Жесткос № Жесткост № Жесткост пружины ть х, пружины ь х, пружины ь х, кН/м кН/м кН/м 1 32,140 18 32,203 35 32,231 2 32,152 19 32,207 36 32,244 3 32,163 20 32,212 37 32,247 4 32,173 21 32,173 38 32,250 5 32,169 22 32,216 39 32,240 6 32,178 23 32,231 40 32,264 7 32,212 24 32,236 41 32,231 8 32,216 25 32,212 42 32,236 9 32,189 26 32,240 43 32,271 10 32,192 27 32,252 44 32,240 11 32,198 28 32,255 45 32,264 12 32,199 29 32,236 46 32,274 13 32,203 30 32,260 47 32,278 14 32,195 31 32,264 48 32,293 15 32,220 32 32,293 49 32,302 16 32,223 33 32,278 50 32,330 17 32,226 34 32,286 – – 2.23. Получено следующее распределение 100 рабочих цеха по выработке в отчетном году (в процентах к предыдущему году). Таблица 29 Выработка в отчетном году (в % к предыдущему) Количество рабочих 94-104 6 104-114 114-124 124-134 134-144 20 45 24 5 ∑ 100 На уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины х – выработки рабочих – с помощью критерия χ2 Пирсона. 2.24. Проверяется партия внешне одинаковых электропневмоклапанов для определения тока, при котором происходит их срабатывание. Полученные результаты представлены в табл. 30. Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении тока срабатывания электропневмоклапана. Таблица 30 Ток срабатывания электропневмокла пана, мА 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 Число электропневмокла панов 3 5 10 11 14 11 9 8 2 2 2.25. Произведен выбор 100 проволок, и проведены испытания их на прочность. Результаты испытаний приведены в табл. 31 Таблица 31 Разрывное усилие, Н/мм2 38 ÷ 40 Количество проволок ni 0 Разрывное усилие, Н/мм2 48 ÷ 50 Количество проволок ni 26 40 ÷ 42 1 50 ÷ 52 18 42 ÷ 44 5 52 ÷ 54 2 44 ÷ 46 16 54 ÷ 56 3 46 ÷ 48 28 56 ÷ 58 1 Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении разрывного усилия проверенных проволок. §6. Критерий равенства двух средних значений Критерий χ2 применяется в том случае, когда рассматриваются целые числа. Критерий t Стьюдента позволяет использовать проценты, дробные числа и т. п. Этот критерий применяется для проверки гипотез различного рода, но мы рассмотрим гипотезу, которая находит наиболее широкое применение в инженерной практике: «Средние двух выборок относятся к одной и той же совокупности». Можно привести следующие примеры применения этой гипотезы: «10 резисторов из коробки А имеют среднее сопротивление, равное 12,4 кОм, а 10 резисторов из коробки В имеют среднее сопротивление 11,9 кОм. В обеих коробках находятся резисторы с одинаковым номинальным сопротивлением». «Измерение расхода горючего на трассе протяженностью 100 км, производимое через каждый километр пути, показало, что автомобиль А потребляет в среднем 0,122 л/км, а автомобиль В – 0,128 л/км. Имеется ли различие в расходе горючего между автомобилями А и В?» Когда проверяется различие между двумя средними, в предположении, что неизвестные генеральные дисперсии равны между собой, формула для критерия t имеет вид x1 x 2 t набл s сум Величина sсум определяется из выражения 1 1 n1 n 2 . (2.31) 2 s сум n1 1 s12 n 2 1 s 22 n1 n 2 2 . (2.32) Таким образом, для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н0: a1= a2 о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями при конкурирующей гипотезе Н1: a1≠ a2, надо вычислить наблюдаемое значение критерия по формуле (2.31) и по таблице критических точек распределения Стьюдента (см. прил. 3), по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = п1 +n2 – 2 найти критическую точку tдвуст. кр(α; k). Величину доверительной вероятности Р=1 – α выбирают в пределах 0,90–0,99. Если |tнабл| < tдвуст. кр(α; k) – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |tнабл| > tдвуст. кр(α; k) – нулевую гипотезу отвергают. Пример 1. Из партии бетона, замешанной 25 мая, взяты восемь проб и подвергнуты испытаниям на сжатие. Получены следующие данные о прочности на сжатие: 305,6; 270,8; 298,0; 218,6; 273,3; 270,8; 229,4 и 265,8 кг/см2. Из партии бетона, замешанной 4 июня, взято 17 проб, и после испытаний получены следующие результаты: 298,0; 263,4; 288,2; 300,7; 327,9; 303,1; 278,2; 296,0; 316,3; 290,7; 318,0; 270,8; 305,6; 320,5; 293,2; 285,5; 316,3 кг/см2. Насколько известно, состав бетона и методика испытаний не менялись. Определите, относятся ли эти две группы данных к одной и той же совокупности, т. е. на уровне значимости, например, α = 0,05 проверить гипотезу о равенстве их средних. Решение. В этом случае применим критерий t. Для упрощения расчетов составим расчетную табл. 32. 2132,3 5072,4 = 266,7 кг/см2, а для второй х 2 = 8 17 Для первой выборки х 1 298,1 кг/см2. Используя таблицу результатов, по формуле (2.31) вычислим сводную дисперсию для обеих выборок. 2 sсум 2 6275,79 5218,52 45,97 . 8 17 2 2 При вычислении s1 и s1 воспользовались тем фактом, что s12 8 x i x1 2 8 1 , а i 1 Откуда s s 22 17 2 x j x2 17 1 . j 1 45,97 7,1 кг/см2. Таблица 32 xi, кг/см2 xi x1 xj, кг/см2 x j x2 2 305,6 1513,21 298,0 0,16 270,8 16,81 263,4 1225,00 298,0 979,69 288,2 104,04 270,8 2313,61 300,7 5,29 2 229,4 43,56 327,9 870,25 265,8 16,81 303,1 20,25 229,4 1391,29 278,2 408,04 265,8 0,81 296,0 5,76 – – 316,3 320,41 – – 290,7 52,29 – – 318,0 384,16 – – 270,8 761,76 – – 305,6 51,84 – – 320,5 488,41 – – 293,2 27,04 – – 285,5 166,41 – – 316,3 320,41 8 8 17 17 xi 2132,3 2 xi x1 =6275,79 x j 5072,4 xi i 1 i 1 j 1 j 1 x1 2 =5218,52 Это среднее квадратическое отклонение для двух выборок, рассматриваемых совместно. Заметим, что для майского замеса характерен значительно больший разброс данных, чем для июньского. Находим t по формуле (2.32): t набл 298,4 266,7 7,1 1 8 1 17 31,7 10,5 . 3,03 Число степеней свободы равно (n1 + n2 - 2) = (8+17-2) = 23. Теперь с помощью таблицы прил. 3 находим, что tдвуст. кр(0,05;23) = 2,07. Так как |tнабл| > tдвуст. кр, нулевую гипотезу о равенстве двух средних отвергаем. Другими словами , справедливость гипотезы, согласно которой обе партии бетона и методика исследований одинаковы, весьма сомнительна. Пример 2. Рассмотрим эксперимент для оценки четырёх различных приборов для измерения скоростей вращения вала двигателя: стробоскопического тахометра, небольшого визуального устройства «Визутак», механического счетчика оборотов и ручного тахометра. Испытания проводятся следующим образом. Устанавливается определенная скорость вращения вала, и на экране осциллографа получают определенную картину фигур Лиссажу. После этого с четырех различных приборов снимаются данные о скорости вращения в об/мин. Если картина на экране осциллографа медленно перемещается, то генератор сигналов перестраивается и для каждого из четырех приборов проводится вторая серия измерений. При каждой заданной скорости вращения снимается пять отсчетов в произвольном порядке чередования скоростей. Лучший план эксперимента состоит в том, что при определенной скорости вращения снимают показания для всего комплекта приборов, затем берут другую скорость, а потом снова возвращаются к первоначальной скорости. В результате описанного выше эксперимента получены данные о скорости вращения вала, которые представлены в табл. 33. Таблица 33 Группа 1 Измерительные приборы 1 Тахоме «Визутак тр, », об/мин об/мин 2 3 Стробоскопиче Счетчик, Осциллог ский тахометр, об/мин раф, об/мин об/мин 4 5 6 1080 1073 1079 1079 1078 1094 1080 1078 1075 1075 1070 1069 1070 1070 1070 1094 1088 1083 1088 1082 1092 1089 1092 1086 1086 Среднее значение 1078 1080 1070 1087 1089 Отклонение среднего от истинного значения 11 9 19 2 – Размах 7 19 1 14 6 Скорость вращения вала двигателя Окончание таблицы 33 Группа 2 1 2 3 4 5 6 909 909 909 910 909 910 900 908 898 902 905 902 901 902 901 916 910 914 916 908 902 914 914 916 916 Среднее значение 909 904 902 913 912 Отклонение среднего от истинного значения 3 8 10 -1 – Размах 1 12 4 8 14 840 840 840 840 856 848 849 844 855 855 855 855 Скорость вращения вала двигателя Группа 3 Скорость вращения вала двигателя 848 847 848 852 810 820 820 820 844 817 841 850 855 849 817 840 850 855 Отклонение среднего от истинного значения 6 38 15 5 – Размах 4 10 1 12 0 Среднее значение Группа 4 Скорость вращения вала двигателя 729 728 728 729 729 735 735 725 720 724 728 727 725 725 724 736 730 728 728 726 734 734 734 734 734 Среднее значение 729 728 726 730 734 Отклонение среднего от истинного значения 5 6 8 4 – Размах 1 15 4 8 0 Таблица 34 Тахометр «Визутак» Стробоскопичес кий тахометр Счетчик Осциллограф xi x1 xi x1 2 xi x 2 xi x2 2 xi x3 xi x3 2 xi x4 xi x4 2 xi x5 xi x5 2 2 7 -1 -1 0 4 49 1 1 0 5 2 х1 xi =55 i 1 14 0 -2 -5 -5 196 0 4 25 25 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 7 1 -4 1 -5 49 1 16 1 25 5 2 х 2 xi =250 i 1 5 2 х 3 xi =1 i 1 5 2 х 4 xi =92 i 1 3 0 3 -3 -3 9 0 9 9 9 5 2 х 5 xi =36 i 1 Проведем анализ полученных статистических данных с целью проверки соответствия показаний осциллографа и остальных четырех приборов. В этом случае применим критерий Стьюдента t. Для первой группы данных результаты вычислений сведем в табл. 34. С помощью этих данных вычислим критерий χ2 для каждого из приборов и сравним полученные данные с показаниями осциллографа. Рассматривая вначале показания тахометра, проверим следующую нулевую гипотезу: «Показания тахометра и осциллографа имеют одно и то же выборочное среднее» при конкурирующей гипотезе: «Показания тахометра и осциллографа имеют различные выборочные средние». Используя таблицу результатов, по формуле (2.32) вычислим сводную дисперсию для обеих выборок: n1 1 s12 n2 1 s 22 2 sсум n1 n2 2 2 55 36 11,56. 8 2 При вычислении s1 и s5 воспользовались тем фактом, что 5 s12 xi x1 2 5 2 5 1, а s52 x j x5 5 1 . i 1 j 1 Откуда S сум 3,4 . По формуле (2.32) вычислим критерий t: t набл 1089 1078 11 5,1 . 3,4 1 5 1 5 3,4 0,4 Число степеней свободы равно (n1 + n2 - 2) = (5 + 5 -2) = 8. Теперь с помощью таблицы прил. 3 находим, что если гипотеза справедлива, то вероятность появления этого или большего значения t составляет около 0,001 (tдвуст. кр(0,001;8) = 5,4). Для уровня значимости α = 0,05 – tдвуст. кр(0,05;8) = 2,31. Так как |tнабл| > tдвуст. кр, нулевую гипотезу о равенстве двух средних отвергаем. Таким образом, следует отклонить данную гипотезу и считать средние значения показаний тахометра и осциллографа различными, хотя разница между ними составляет всего 11 об/мин. Другими словами, если каждое показание будет сниматься 100 или даже 1000 раз, все равно следует ожидать различия в средних. Такие же вычисления можно выполнить для каждого из остальных приборов и для остальных трех групп данных. Полученные вероятности сведены в табл. 35. Каждое значение Р связано с проверкой гипотезы, согласно которой данный прибор при данной скорости вращения дает показания, имеющие то же самое среднее, что и показания осциллографа (для тахометра Р = 0,001). Таблица 35 Группа 1 2 3 4 Тахометр Р 0,001 >0,1 <0,001 <<0,001 «Визутак» Р 0,03 0,009 <<0,001 0,19 Стробоскопичес кий тахометр Р <0,001 0,005 <<0,001 <<0,001 Счетчик Р >>0,1 >>0,1 0,015 0,08 Из этой таблицы следует, что если не предполагается провести калибровку или ремонт приборов, то лучше всего использовать счетчик оборотов (можно предположить, что при этом случайная ошибка будет максимальной, так как для получения каждого отсчета необходимо измерять две величины). В трех из четырех случаев данный прибор удовлетворяет принятой «гипотезе соответствия» при уровне значимости, превышающем 5%. В то же время наименьшую случайную ошибку имеют данные, снимаемые со стробоскопического тахометра, но вследствие наличия систематической ошибки наблюдается несоответствие эталонным данным. Если же систематическую ошибку удастся исключить путем ремонта или калибровки прибора, то, возможно, для измерения скорости вращения предпочтительнее использовать стробоскопический тахометр. Этот простой эксперимент служит лишь для иллюстрации применения методов статистических проверок при проведении инженерных экспериментов. §7. Критерий равенства двух дисперсий Критерий t позволяет сравнивать два средних значения. В некоторых случаях бывает более важно сравнить изменчивость, или «размах», двух или большего числа выборок данных. Например, можно вычислить дисперсию (т. е. квадрат среднего квадратического отклонения) для двух выборок проб бетона, рассмотренных в примере 1 §4, не обращаясь к формуле (2.20). Для майского замеса получаем 6275,79/7 = 896,54, а для июньского 5218,52/16 =326,16. Существует ли между этими дисперсиями значимое различие? Ответ на этот вопрос может дать применение так называемого критерия F (обозначенного так по первой букве фамилии английского математика Фишера). Критерий F – это отношение двух дисперсий, вычисленных или полученных различными способами. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н0: 12 22 о равенстве генеральных дисперсий нормально распределенных совокупностей при конкурирующей гипотезе Н1: 12 22 , надо вычислить 2 2 отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т. е. Fнабл s1 s 2 , и по табл. 5 критических точек распределения Фишера – Снедекора по уровню значимости α/2 (вдвое меньшему заданного) и числам степеней свободы k1=n1-1и k2=n2-1 (k1 – число степеней свободы большей дисперсии) найти критическую точку Fкр ( 2; k1 ; k 2 ) . Если Fнабл < Fкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Fнабл > Fкр – нулевую гипотезу отвергают. В рассматриваемом выше примере отношение дисперсии для первой партии к дисперсии для второй партии составляет Fнабл =896,54/326,16 =2,75. Для майской выборки число степеней свободы k1=8 – 1 = 7, а для июньской k2 = 17 – 1 = 16. Заметим, что табл. 5 составлена при допущении, что k1 относится к выборке данных, имеющей большую дисперсию. Из табл. 5 для k1 = 7 и k2 =16 находим, что Fкр(0,1/2;7;16) = 2,6. Так как Fнабл = 2,75 > 2,6 = Fкр, отвергаем гипотезу о том, что эти две дисперсии соответствуют одной и той же совокупности. Отсюда делаем вывод, что прочность бетона не только колеблется в течение суток, но и средние суточные значения также изменяются. Пример. В результате испытаний 30 образцов из утяженного конца прессованного профиля и 20 образцов из выходного конца найдены средние значения и дисперсии предела прочности алюминиевого сплава, которые составили: х 1 40,1 кг/мм2; s1= 0,82 и х 2 40,9 = кг/мм2, s2=0,71 соответственно для утяженного и выходного концов. Требуется оценить на уровне значимости α = 0,1 расхождения в выборочных дисперсиях. Решение. В условиях рассматриваемого примера Fнабл = 0,82/0,71 = 1,15. По табл. 5 для k1 = n1–1=29 и k2 = n2 – 1=19 находим Fкр(0,1/2;29;19) = 2,07. Так как Fнабл = 1,15 < 2,07 = Fкр, то отсутствует значимое различие в дисперсиях предела прочности указанных групп образцов, т. е. можно принять, что зоны профиля равноценны в смысле однородности материала 2 1 22 . Задачи для самостоятельного решения 3.1. Измерения скорости света с, произведенные Майкельсоном, Пизом и Пирсоном, дали результаты, приведенные в табл. 36. Для сокращения записи в таблице приведены значения (ci - 299000), км/с. Получены следующие оценки математического ожидания с и среднего квадратического отклонения , вычисленные по опытным данным: с =299733,85 км/с, =14,7 км/с. Проверить, используя критерий χ2, согласие опытных данных с полученным законом распределения при уровне значимости α = 0,05. Таблица 36 Границы интервала ni Границы интервала ni Границы интервала ni Границы интервала ni 735 ÷ 740 3 755 ÷ 760 17 775 ÷ 780 40 795 ÷ 800 5 740 ÷ 745 7 760 ÷ 765 23 780 ÷ 785 17 800 ÷ 805 2 745 ÷ 750 4 765 ÷ 770 29 785 ÷ 790 16 805 ÷ 810 3 750 ÷ 755 8 770 ÷ 775 45 790 ÷ 795 10 810 ÷ 815 4 3.2. Произведено измерение изделий в двух партиях по 100 деталей в каждой. Числа nij деталей с нормальными, заниженными и завышенными размерами приведены в табл.37. Таблица 37 Размер деталей j № партий изделий i Результаты измерений j 1 2 ni0 3 (заниженный (нормальный (завышенны размер) размер) й размер) 1 25 50 25 100 2 52 41 7 100 n0j 77 91 32 200 Проверить с помощью критерия χ2, являются ли независимыми номер партии изделий и характер размеров проверяемых деталей при уровне значимости α = 0,05. 3.3. Два физика провели подсчет числа δ–электронов на каждом участке длиной 100 мкм одной и той же фотопластинки. Получены следующие результаты (табл. 38). Таблица 38 A 10 23 9 46 7 11 10 15 7 8 12 36 28 B 8 21 8 43 7 11 10 12 6 8 11 35 29 A-B 2 2 1 3 0 0 0 3 1 0 1 1 1 Аналогичные данные (17 результатов) получены для второй пластинки. Абсолютные разности A – В равны: 0, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 0, 3, 1, 1, 0, 1, 6, 2, 0, 2. Используя критерий t, сравните эти две группы отклонений и определите, принадлежат ли они одной и той же бесконечной совокупности. 3.4. Из продукции двух станков извлечены две выборки по 50 изделий; результаты измерения одного из размеров изделия (в мм) приведены в табл. 39. Таблица 39 № п/п 1 Ст.1 Ст.2 № п/п Ст.1 51,58 51,50 18 Ст.2 51,18 51,39 № п/п Ст.1 35 Ст.2 51,56 51,55 2 35 35 19 66 46 36 56 10 3 33 69 20 35 42 37 42 44 4 54 60 21 50 39 38 29 19 5 24 54 22 50 16 39 31 24 6 42 42 23 54 51 40 30 31 7 47 54 24 48 50 41 12 51 8 54 55 25 36 50 42 28 46 9 24 33 26 50 48 43 51 39 10 36 56 27 42 53 44 39 39 11 58 68 28 56 25 45 15 30 12 70 39 29 56 48 46 42 30 13 47 42 30 48 36 47 36 42 14 50 15 31 42 53 48 28 55 15 26 48 32 56 23 49 30 44 16 47 46 33 34 55 50 48 24 17 05 42 34 36 51 При уровне значимости α = 0,20 проверить гипотезу о том, что обе выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, т. е. распределение размера изделия одинаково для обоих станков. 3.5. Скорость вращения вала, полученная абсолютным методом (электронный осциллограф и генератор сигналов прокалиброваны на линейную частоту), составляет 1010 об/мин. Стробоскопический представленные в табл. 40. и ручной тахометры дают результаты, Таблица 40 Стробоскопический тахометр 1000 980 995 1020 1005 Ручной тахометр 990 1020 1000 1010 1040 Проверьте справедливость следующих гипотез: «Обе группы отсчетов принадлежат одной и той же совокупности»; «Отклонения отсчетов обеих групп от истинного значения принадлежат одной и той же совокупности». Для проверки второй гипотезы необходимо вычислить средние отклонения с учетом знака. 3.6. Радиолампы одного и того же типа с металлическим и стеклянным корпусами проверяются на долговечность в предельных условиях. Полученные результаты (в часах) представлены в табл. 41. Используя критерий t, проверьте соответствующую гипотезу. Таблица 41 Лампы с металлическим корпусом 53 40 92 67 89 Лампы со стеклянным корпусом 45 40 47 – – 3.7. Два прибора А и В используются для измерения теплопроводности данного образца. Результаты измерений представлены в табл. 42. Таблица 42 А, ккал/м·ч °С 14,23 14,12 14,32 14,15 14,26 14,33 – В, ккал/м·ч °С 13,88 13,71 13,72 13,41 13,23 13,39 13,72 Проверьте справедливость следующей гипотезы: «Обе группы измерений принадлежат одной и той же совокупности». 3.8. Двумя методами проведены измерения одной и той же физической величины. Получены следующие результаты: а) в первом случае х1 = 9,6; х2=10,0; х3 = 9,8; х4=10,2; х5=10,6; б) во втором случае у1 = 10,4; у2 = 9,7; у3 = 10,0; у4 = 10,3. Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений, если принять уровень значимости α=0,1? Предполагается, что результаты измерений распределены нормально и выборки независимы. 3.9. Для сравнения точности двух станков - автоматов взяты две пробы (выборки), объемы которых п1 = 10 и n2 = 8. Результаты измерения контролируемого размера отобранных изделий представлены в табл. 43. Таблица 43 Первый станок xi 1.08 1,10 1,12 1,14 1,15 1,25 1,36 1.38 1,40 1,42 Второй станок yj 1.11 1,12. 1,18 1,22 1,33 1,35 1,36 1,38 – – Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью Н 0 : D( X ) D(Y ) , если принять уровень значимости α =0,1 и в качестве конкурирующей гипотезы Н 1 : D ( X ) D (Y ) ? 3.10. Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии 2 контролируемого размера изделий, которая не должна превышать 0 0,1 . Взята проба из 25 случайно отобранных изделий. Результаты измерений представлены в табл. 44 Требуется при уровне значимости 0,05 проверить, обеспечивает ли станок требуемую точность. Таблица 44 Контролируемый размер изделий пробы хi 3,0 3,5 3,8 4,4 4,5 2 6 9 7 1 Частота пi 3.11. В результате длительного хронометража времени сборки 2 различными сборщиками установлено, что дисперсия этого времени 0 узла 2 мин2. Результаты 20 наблюдений за работой новичка представлены в табл. 45. Таблица 45 Время сборки одного узла в минутах хi Частота пi 56 1 58 60 62 64 4 10 3 2 Можно ли при ypовне значимости 0,05 считать, что новичок работает ритмично (в том смысле, что дисперсия затрачиваемого им времени существенно не отличается от дисперсии времени остальных сборщиков)? 3.12. Партия изделий принимается, если дисперсия контролируемого размера значимо не превышает 0,2. Исправленная выборочная дисперсия, найденная по 2 выборке объема п = 121, оказалась равной s Х 0,3 . Можно ли принять партию при уровне значимости 0,01? 3.13. Химическая лаборатория произвела в одном и том же порядке анализ 8 проб двумя методами. Полученные результаты приведены в табл. 46 (в первой строке указано содержание некоторого вещества в процентах в каждой пробе, определенное первым методом; во второй строке – вторым методом). Таблица 46 xi 15 20 16 22 24 14 18 20 yi 15 22 14 25 29 16 20 24 При уровне значимости α = 0,20 проверить гипотезу о том, что обе выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, т. е. содержание некоторого вещества одинаково для обоих методов. 3.14. Две лаборатории одним и тем же методом, в одном и том же порядке определяли содержание углерода в 13 пробах нелегированной стали. Полученные результаты анализов приведены в табл. 47 (в первой строке указано содержание углерода в процентах в каждой пробе, полученное первой лабораторией; во второй строке–второй лабораторией). Таблица 47 xi 0,18 0,12 0,12 0,08 0,08 0,12 0,19 yi 0,16 0,09 0,08 0,05 0,13 0,10 0,14 xi 0,32 0,27 0,22 0,34 0,14 0,46 – yi 0,30 0,31 0,24 0,28 0,11 0,42 – Проверить гипотезу о том, что обе выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, т. е. содержание углерода одинаково для обеих лабораторий, при уровне значимости α = 0,20. 3.15. В табл. 48 приведены данные об объемах работ, выполняемых на стройке за смену двумя бригадами в течение четырех дней. Таблица 48 Объём выполненной работы 1-й день 2 -й день 3-й день 4-й день Бригада 1 150 149 152 145 Бригада 2 148 149 146 147 При уровне значимости α = 0,20 проверить гипотезу о том, что обе выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, т. е. объём выполняемых работ одинаков для обеих бригад. 3.16. Имеются две партии сырья для промышленности. Из каждой партии отобрано по пять образцов, и проведены испытания на определение величины разрывной нагрузки. Результаты испытаний приведены в табл. 49. Таблица 49 Партия Разрывная нагрузка, кг/см 1-я 200 140 170 145 165 2-я 150 170 150 170 180 Выяснить на уровне значимости α = 0,05, существенно ли влияние различных партий сырья на величину разрывной нагрузки. 3.17. Учет времени сборки узла машины бригадой из 10 слесарей показал, что среднее время (в минутах) сборки узла равно х = 76, a исправленная выборочная дисперсия, найденная по выборке объема п = 10, оказалась равной s2 =15. Предполагая распределение времени сборки нормальным, проверить на уровне значимости α = 0,01 гипотезу о том, что 75 минут являются нормативом (математическим ожиданием) трудоемкости. 3.18. Номинальная точность прибора равна σ0 = 2 мкм. Из 10 замеров детали была получена выборочная дисперсия показаний прибора, равная s2=0,9. На уровне доверия γ = 0,9 проверить гипотезу «Отклонения показаний прибора и его точность принадлежат одной и той же совокупности» 3.19. По техническим условиям средняя прочность троса составляет 2000 кг. В результате испытаний 20 кусков троса было установлено, что средняя прочность на разрыв равна 1955 кг при средней ошибке 25 кг. Удовлетворяет ли образец троса техническим условиям? 3.20. Для проверки новой технологии были выбраны две группы рабочих, численностью n1 = 40 человек и n2 =50 человек. В первой группе, при применении старой технологии, средняя выработка составила х1 = 85 (изделий), во второй, где 2 2 применялась новая технология, х 2 = 95. Дисперсии по группам 1 = 100, 2 = 75 были известны заранее. Выяснить на уровне значимости α = 0,05 влияние новой технологии на производительность. 3.21. Средний годовой оборот 5 компаний в регионе А составил 4900 усл. ед., средний оборот 10 компаний в регионе В составил 5000 усл. ед. Выборочная дисперсия оборота компаний в регионе А оказалась равной 1000, а в регионе В –4000. Считая дисперсии среднегодовых оборотов одинаковыми, проверить на уровне значимости α = 0,05 гипотезу о равенстве средних значений в регионах А и В. 3.22. При проверке размеров подшипников из двух партий по 10 штук в каждой, поставленных разными заводами, были обнаружены отклонения от номинала, характеризуемые выборочными дисперсиями s12 =9, s22= 8,5. Можно ли считать при уровне доверия γ = 0,95 одинаковой точность изготовления подшипников разными заводами? 3.23 При обследовании диаметров карданных валов автомобиля, выпускаемых заводом, были зафиксированы отклонения от номинала Δd (мкм), приведенные в табл. 50. Таблица 50 0,000 -0,001 0,003 -0,012 0,044 -0,156 0.534 0,802 0,873 -0,838 0,170 -0,476 0,322 -0,648 0,991 -0.107 -0,726 -0,393 -0,827 0,419 0,071 0,659 0,309 0,927 -0,778 -0,327 0,961 -0,826 0,308 -0,414 -0,707 -0,515 0,729 0,742 0,884 0.632 -0,835 0,318 -0,394 0,502 0,471 0,600 0,846 -0,678 0,454 0.623 0,648 0,306 0,007 -0,822 Построить вариационный ряд выборки и с помощью критерия Ирвина проверить нулевую гипотезу, заключающуюся в том, что значения первого и последнего отклонений диаметра вариационного ряда принадлежат той же генеральной совокупности, что и все остальные. 3.24 Наблюдения за межремонтными интервалами Т (в месяцах) работы зерноуборочного комплекса дали результаты, приведенные в табл. 51. Таблица 51 0,000 0,000 0,002 0,006 0,023 0,084 0,382 0,810 0,003 0,864 1,033 0,912 0,093 0,323 0,194 0,522 2,336 0,057 0,648 0,250 0,877 0,271 0,037 0,537 0,183 1,306' 0,752 0,198 1,623 0,875 0,184 0,276 0,613 0,362 0,654 0,676 1,079 0,500 0,900 0,191 0,250 0,348 0,318 0,182 0,458 0,936 0,567 0,303 0,487 0,522 Построить вариационный ряд выборки и с помощью критерия Ирвина проверить нулевую гипотезу, заключающуюся в том, что значения первого и последнего межремонтных интервалов вариационного ряда принадлежат той же генеральной совокупности, что и все остальные. 3.25 Для определения надежности металлорежущих станков на заводе фиксировались значения наработки на отказ (время τ непрерывной работы до первого отказа). Полученные данные для τ (в месяцах) приведены в табл. 52. Таблица 52 0,031 0,244 0,098 0,195 0,759 0,231 0,415 0,442 0,260 0,106 0,062 4,078 0,902 0,407 0,736 0,577 0,079 1,312 1,574 0,058 3,206 0,197 2,698 4,249 0,252 0,602 0,243 0,106 0,340 1,073 0,095 0,522 0,321 0,045 0,221 0,338 0,172 0,330 0,509 0,484 0,662 0,052 0,442 0,013 0,079 0,079 0,577 0,618 0,090 0,777 Построить вариационный ряд выборки и с помощью критерия Ирвина проверить нулевую гипотезу, заключающуюся в том, что первое и последнее значения наработки на отказ вариационного ряда принадлежат той же генеральной совокупности, что и все остальные. ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1 1 Таблица значений функции ( х) х 0 1 2 3 0,0 0,3989 3989 3989 0.1 3970 3965 0,2 е х2 2 5 6 7 8 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973 3961 3956 3961 394S 3939 3932 3925 3918 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0,4 3683 3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3004 3011 2989 2966 2943 2920 0.8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2166 2444 1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1.3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1.6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1.7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1.8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 2,0 0.0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2,1 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 0440 0431 4 2 9 Окончание приложения 1 х 0 2.2 0355 0347 2,3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2.4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0043 3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034 3.1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3.4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009 3.5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001 Приложение 2 2 Таблица значений функции Ф( х) 1 2 х z е 2 dz 0 х Ф(х) х Ф (х) х Ф (х) х Ф (х) 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0.12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,05% 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,1406 0.1443 0,1480 0,1517 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0.2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0.78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0.3315 0,3340 0,3365 0,3389 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708. 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 0,3849 0,3869 0,3883 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4162 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 Окончание приложения 2 х Ф(х) х Ф (х) х Ф (х) х Ф (х) 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 1,74 1,75 1,76 1,77 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,02 2,04 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4633 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 0,4772 0,4783 0,4793 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2,32 2,34 2,38 2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 0,4803 0,4812 0.4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 0,4913 0,4918 0,4922 0,4927 0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 2,80 2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,50 5,00 0,4959 0,4961 0,4963 0,4965 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973 0,4974 0,4976 0,4977 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4986 0,49865 0,49931 0,49966 0,499841 0,499928 0,499968 0,499997 0,499997 Приложение 3 Критические точки распределения Стьюдента Число степеней свободы Уровень значимости α (двусторонняя критическая область) 0,10 0,05 0,02 0.01 0,002 0.001 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞ 6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,73 1,73 1,73 1,72 1,72 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,70 1,70 1,70 1,68 1,67 1,66 1,64 12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,09 2,08 2,07 2,07 2,06 2,06 2,06 2,05 2,05 2,05 2,04 2,02 2,00 1,98 1,96 31,82 6,97 4,54 3,75 3,37 3.14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,72 2,68 2,65 2,62 2,60 2,58 2,57 2,55 2,54 2,53 2,52 2,51 2,50 2,49 2,49 2,48 2,47 2,46 2,46 2,46 2,42 2,39 2,36 2,33 63,7 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,05 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86 2,85 2,83 2,82 2,81 2,80 2,79 2,78 2,77 2,76 2,76 2,75 2,70 2,66 2,62 2,58 318,3 22,33 10,22 7,17 5,89 5.21 4,79 4,50 4,30 4,14 4,03 3,93 3,85 3,79 3,73 3,69 3,65 3,61 3,58 3,55 3,53 3,51 3,49 3,47 3,45 3,44 3,42 3,40 3,40 3,39 3,31 3,23 3,17 3,09 637,0 31,6 12,9 8,61 6,86 5,96 5,40 5,04 4.78 4,59 4,44 4,32 4,22 4,14 4,07 4,01 3,96 3,92 3,88 3,85 3,82 3,79 3,77 3,74 3,72 3,71 3,69 3,66 3,66 3,65 3,55 3,46 3,37 3,29 0,06 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005 Уровень значимости α (односторонняя критическая область) Приложение 4 Критические значения критерия χ2 Уровень значимости α k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0,99 0,00016 0,020 0,115 0,30 0,55 0,87 1,24 1,65 2,09 2,56 3,1 3,6 4,1 4,7 5,2 5,8 6,4 7,0 7,6 8,3 8,9 9,5 10,2 10 9 11,5 12,2 12,9 13,6 14,3 15,0 0,98 0,0006 0,40 0,185 0,43 0,75 1,13 1,56 2,03 2,53 3,06 3,6 4,2 4,8 5,4 6,0 6,6 7,3 7,9 8,6 9,2 9,9 10,6 11,3 22,0 12,7 13,4 14,1 14,8 15,6 16,3 0,95 0,0039 0,103 0,352 0,71 1,14 1,63 2,17 2,73 3,32 3,94 4,6 5,2 5,9 6,6 8,3 8,0 8,7 9,4 10,1 10,9 11,6 12,3 13,1 13,8 14,6 15,4 16,2 16,9 17,7 18,5 0,90 0,016 0,211 0,584 0,06 1,61 2,20 2,83 3,49 4,17 4,86 5,6 6,3 7,0 7,8 8,5 9,3 10,1 10,9 11,7 12,4 13,2 14,0 14,8 15,7 16,5 17,3 18,1 18,9 19,8 20,6 0,80 0,064 0,446 1,005 1,65 2,34 3,0 3,82 4,59 5,38 6,18 7,0 7,8 8,6 9,5 10,3 11,2 12,0 12,9 13,7 14,6 15,4 16,3 17,2 18,1 18,9 19,8 20,7 21,6 22,5 23,4 0,70 0,148 0,713 1,424 2,19 3,00 3,83 4,67 5,53 6,39 7,27 8,1 9,0 9,9 10,8 11,7 12,6 13,5 14,4 15,4 16,3 17,2 18,1 19,0 19,9 20,9 21,8 22,7 23,6 24,6 25,5 0,50 0,455 1,386 2,366 3,36 4,35 5,35 6,35 7,34 8,34 9,34 10,3 11,3 12,3 13,3 14,3 15,3 16,3 17,3 18,3 19,3 20,3 21,3 22,3 23,3 24,3 25,3 26,3 27,3 28,3 29,3 0,30 1,07 2,41 3,66 4,9 6,1 7,2 8,4 9,5 10,7 11,8 12,9 14,0 15,1 16,2 17,3 18,4 19,5 20,6 21,7 22,8 23,9 24,9 26,0 27,1 28,1 29,3 30,3 31,4 32,5 33,5 Окончание приложения 4 Уровень значимости α. k 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,005 0,002 0,001 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1,64 3,22 4,64 6,0 7,3 8,6 9,8 11,0 12,2 13,4 14,6 15,8 17,0 18,9 19,3 20,5 21,6 22,8 23,9 25 26,2 27,3 28,4 29,6 30,7 31,8 32,9 34 35,1 36,3 2,7 4,6 6,3 7,8 9,2 10,6 12,0 13,4 14,7 16,0 17,3 18,5 19,8 21,1 22,3 23,5 24,8 26,0 27,2 28,4 29,6 30,8 32 33,2 34,4 35,6 36,7 37,9 39,1 40,3 3,8 6,0 7,8 9,5 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3 19,7 21,0 22,4 23,7 25,0 26,5 27,6 28,9 30,1 31,4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 38,9 40,1 41,3 42,6 43,8 5,4 7,8 9,8 11,7 13,4 15,0 16,6 18,2 19,7 21,2 22,6 24,1 25,5 26,9 28,3 29,6 31 32,3 33,7 35 36,3 37,7 39 40,3 41,6 42,9 44,2 46,4 45,7 48 6,6 9,2 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2 24,7 26,2 27,7 29,1 30,6 32 33,4 34,8 36,2 37,6 38,9 40,3 41,6 43,0 44,3 45,6 47,0 48,3 49,6 50,9 7,9 11,6 12,8 14,9 16,3 18,6 20,3 21,9 23,6 25,2 26,8 28,3 29,8 31 32,5 34 35,5 37 38,5 40 41,5 42,5 44 45,5 47 48 49,5 51 52,5 54 9,5 12,4 14,8 16,9 18,9 20,7 22,6 24,3 26,1 27,7 29,4 31 32,5 34 35,5 37 38,5 40 41,5 43 44,5 46 47,5 48,5 50 51,5 53 54,5 56 57,5 10,83 13,8 16,3 18,5 20,5 22,5 24,3 26,1 27,9 29,6 31,3 32,9 34,5 36,1 37,7 39,2 40,8 42,3 43,8 45,3 46,8 48,3 49,7 51,2 52,6 54,1 55,5 56,9 58,3 59,7 Приложение 5 Критические точки распределения F Фишера–Снедекора (k1 – число степеней свободы большей дисперсии, k2 - число степеней свободы меньшей дисперсии) Уровень значимости α=0,01 k2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 k1 1 4052 98,49 34,12 21.26 16,26 13,74 12,25 11,26 10,56 10,04 9,86 9,33 9,07 8,86 8,68 8,53 8,40 2 4999 99.01 30,81 18.00 13.27 10,92 9,55 8,65 8,02 7,56 7,20 6,93 6,70 6,51 6.36 6,23 6,11 3 5403 99,17 29,46 16,69 12,06 9,78 8,45 7,59 6,99 6,55 6,22 5,95 5,74 5,56 5,42 5,29 5,18 4 5625 99,25 28,71 15,98 11,39 9,15 7,85 7,01 6,42 5,99 5,67 5,41 5,20 5,03 4.89 4,77 4,67 5 5764 99,30 28,24 15,52 10,97 8,75 7,46 6,63 6,06 5,64 5,32 5,06 4,86 4,69 4,56 4,44 4,34 6 5889 99,33 27,91 15.21 10,67 8,47 7,19 6,37 5,80 5,39 5,07 4,82 4,62 4,46 4,32 4,20 4,10 Уровень значимости α=0,01 k2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 k1 7 5928 99,34 27,67 14,98 10,45 8,26 7,00 6,19 5,62 5,21 4,88 4,65 4,44 4,28 4,14 4,03 3,93 8 5981 99,36 27,49 14,80 10,27 8,10 6,84 6,03 5,47 5,06 4,74 4,50 4,30 4,14 4,00 3,89 3,79 9 6022 99,38 27,34 14,66 10,15 7,98 6,71 5,91 5,35 4,95 4,63 4,39 4,19 4,03 3,89 3,78 3,68 10 6056 99,40 27,23 14,54 10,05 7,87 6,62 5,82 5,26 4,85 4,54 4,30 4,10 3,94 3,80 3,69 3,59 11 6082 99,41 27,13 14,45 9,96 7,79 6,54 5,74 5,18 4,78 4,46 4,22 4,02 3,86 3,73 3,61 3,52 12 6106 99,42 27,05 14,37 9,89 7,72 6,47 5,67 5,11 4,71 4,40 4,16 3,96 3,80 3,67 3,55 3,45 Окончание приложения 5 Уровень значимости α=0,05 k2 k1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 161 18,51 10,13 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 4,84 4,75 4,67 4,60 4,54 4,49 4,45 200 19,00 9,55 6,94 5,79 5,14 4,74 4,4S 4,26 4,10 3,98 3,88 3,80 3,74 3,68 3,63 3,59 216 19,16 9,28 6,59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 3,59 3,49 3,41 3,34 3,29 3,24 3,20 225 19,25 9,12 6,39 5,19 4,53 4,12 3,84 3,63 3,48 3,36 3,26 3,18 3,11 3,06 3,01 2,96 230 19,30 9,01 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 3,20 3,11 3,02 2,96 2,90 2,85 2,81 234 19,33 8,94 6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 3,09 3,00 2,92 2,85 2,79 2,74 2,70 11 243 19,40 8,76 5,93 4,70 4,03 3,60 3,31 3,10 2,94 2,82 2,72 2,63 2,56 2,51 2,45 2,41 12 244 19,41 8,74 5,91 4,68 4,00 3,57 3,28 3,07 2,91 2,79 2,69 2,60 2,53 2,48 2,42 2,38 Уровень значимости α=0,05 k2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 k1 7 237 19,36 8,88 6,09 4,88 4,21 3,79 3,50 3,29 3,14 3,01 2,92 2,84 2,77 2,70 2,66 2,62 8 239 19,37 8,84 6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 2,95 2,85 2,77 2,70 2,64 2,59 2,55 9 241 19,38 8.81 6,00 4,78 4,10 3,68 3,39 3,18 3,02 2,90 2.80 2,72 2,65 2,59 2,54 2,50 10 242 19,39 8,78 5,96 4,74 4,06 3,63 3,34 3,13 2,97 2,86 2,76 2,67 2,60 2,55 2,49 2,45 Библиографический список 1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М., 1999. 2. Калинина В.Н. Математическая статистика / В.Н. Калинина, В.Ф. Панкин. – М., 1998. 3. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика/ В.А. Колемаев, В.Н. Калинина. – М., 1999. 4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М., 2001. 5. Лихолетов И.И. Руководство к решению задач по высшей математике и математической статистике / И.И. Лихолетов, И.П. Мацкевич. – Минск, 1976. 6. Мацкевич И.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика / И.П. Лихолетов, Г.П. Свирид. – Минск, 1993.
