Элементы космологии в курсе общей физики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Ю.А. Сивов, Ю.И. Тюрин
Элементы космологии в курсе общей
физики
Издательство
Томского политехнического университета
2012
С33
УДК 53 (075.8)
ББК 22. 3я73
В33
Сивов Ю.А.
Элементы космологии в курсе общей физики. Учебное
пособие./ Сивов Ю.А., Тюрин Ю.И. – Томск: Изд-во Томского
политехнического университета, 2012. – 74 с.
ISBN 5-98298-823-3
В пособии изложены современные представления о возникновении
и эволюции Вселенной. Наряду с традиционными космологическими
моделями (модель нестационарной Вселенной А. Фридмана,
инфляционная модель Вселенной, теория горячей Вселенной Г. Гамова)
рассмотрены новые феномены астрофизики и космологии: темная
материя и темная энергия. Обращено особое внимание на связь теории
эволюции Вселенной с закономерностями физики элементарных частиц.
Для студентов и преподавателей физики технических университетов.
УДК 53 (075.8)
ББК 22. 3я73
Рекомендовано к печати объединенным методическим семинаром кафедр
теоретической и экспериментальной физики и кафедры общей физики
физико-технического института
Рецензенты
Доктор физико-математических наук, профессор
зав. кафедрой теоретической и экспериментальной физики ФТИ НИ ТПУ
В.Ф. Пичугин
Доктор физико-математических наук,
профессор кафедры общей физики ФТИ НИ ТПУ
Ю.Ю. Крючков
ISBN 5-98298-823-3
© Томский политехнический университет, 2012
© Оформление. Издательство Томского
политехнического университета, 2012
© Кафедра теоретической и экспериментальной
физики, 2012
2
Введение
1
Космология – наука о строении и эволюции Вселенной как
целого. Эта наука сформировалась в XX веке благодаря достижениям
современной внегалактической астрономии и новым фундаментальным
физическим теориям – в первую очередь, теории относительности,
квантовой механике и физике элементарных частиц.
Как ни странно, но такое фундаментальное понятие
как
Вселенная строго не определено. Обычно, как отмечается в [1], под
понятием «Вселенная» подразумевается все сущее, но часто
вкладывают и другое содержание: Вселенная − это область,
наблюдаемая нашими приборами, называемая Метагалактикой. С
позиций наблюдателя на Земле это область пространства, из которой
свет успел бы за время существования Вселенной достичь для
наблюдателя на Земле. По современным оценкам, хотя точное значение
понятно установить невозможно, Метагалактика содержит порядка (3–
4)·109 галактик (число звезд в каждой из них порядка 109 − 1012) [2, 3].
Галактики образуют скопления и сверхскопления, создавая так
называемую крупномасштабную структуру Вселенной. Размер
Метагалактики в поперечнике ≈ 1026 м (или ≈ 26·109 световых лет [3]).
Очевидно, что полная Вселенная имеет размер намного больший, чем
Метагалактика2.
Теоретической основой всех современных космологических
моделей Вселенной является общая теория относительности
(релятивистская теория тяготения) − ОТО, создателем которой (1916)
является А.Эйнштейн (1888−1955). В этой теории понятие
«гравитационное поле» отсутствует. ОТО исходит из того, что
гравитация – это проявление искривления четырехмерного
пространства-времени. Согласно этой теории, тяготеющие массы и все
виды энергии искривляют четырехмерное пространство-время, и
свободные тела движутся в этом искривленном пространстве-времени
по инерции по кратчайшим кривым, называемым геодезическими.
Создателем современной космологической теории эволюции
Вселенной (1922, 1924) является впервые отбросивший многовековую
догму о неизменности Вселенной советский физик и математик А.А.
Фридман (1888 − 1925). Из его теории следует, что Вселенная
нестационарна и может в зависимости от начальных условий как
1
В отличие от космологии астрофизика изучает физические процессы в астрономических объектах
таких как планеты, звезды, галактики, скопления галактик и т.д.
2
В настоящее время термин Метагалактика практически вышел из употребления. Поэтому при
изложении материала для наблюдаемой части Вселенной будем использовать в дальнейшем
преимущественно термин Вселенная.
3
расширяться, так и сжиматься. В 1927 г. к таким же выводам, что и
Фридман, независимо пришел бельгийский астроном и математик
католический священник Жорж Леметр (1894-1966), в связи с чем
космологическую модель нестационарной Вселенной часто называют
моделью Фридмана – Леметра. Астрономические исследования
американского астронома Э. Хаббла (1889–1953) подтвердили теорию
Фридмана и показали (1927), что Вселенная в современную эпоху
расширяется. Физические процессы эволюции расширяющейся
Вселенной отражены в созданной в рамках модели Фридмана теории
горячей Вселенной (1948) Г. А. Гамова (1904 − 1968) и его сотрудников.
Позднее в 80-е гг. модель Фридмана и теория горячей Вселенной,
объединяемые названием теория Большого Взрыва (англ. «Bing Bang»8,
были дополнены инфляционной (лат. inflatio — раздувание) моделью
раздувания ранней Вселенной, предлагающая объяснение причины
расширения (Э. Глиннер, А. Гут, А.А. Линде и др).
Проблема возникновения и эволюции Вселенной в современной
физике и вообще в естествознании занимает центральное место.
Основные направления развития современной фундаментальной физики
— это физика элементарных частиц и космология, которые, так как
теория ранней Вселенной тесно связана с физикой элементарных
частиц, по существу сливаются в единую науку о фундаментальных
свойствах материи. Но, если физика элементарных частиц3
рассматривается во всех известных учебниках по курсу общей физики,
то раздел «Космология» достаточно подробно освещен только в
учебнике, написанном преподавателями каф. общей физики ТПУ [4].
Весьма краткое изложение этого вопроса дано также в учебнике
коллектива преподавателей МФТИ [3]. По нашему же мнению,
основные идеи космологии должны входить в общеобразовательный
минимум каждого изучающего общую физику студента технического
университета.
Пособие следует рассматривать как дополнение к разделу
«Астрофизика», представленного в упомянутом выше учебнике по
курсу «Общая физика» [4]. Оно построено на основе источников,
представленных в списке использованной литературы, а также
информации о новейших данных, заимствованной из Интернета. Задачи,
включенные в пособие, следует рассматривать как необходимую для
изложения часть теоретического материала. Часть задач, включенных в
пособие составлено авторами. При составлении пособия широко
3
К сожалению, большим недостатком почти всех учебников по физике, исключая [5], является
отсутствие даже упоминания о главном достижении физики элементарных частиц XX века
−Стандартной модели (СМ) физики элементарных частиц.
4
использовалась как специализированная, так и популярная литература
по космологии. Значительное число задач, представленное в пособии,
составлено на основе переработки теоретического материала
литературных источников [1−15], в
пособие также включены
отдельные задачи из [3, 6, 9] и одна из задач олимпиады по астрономии
и физике космоса, опубликованная в Интернете.
В 1934 г. английские астрофизики Э. Милн (1896 −1950) и У.
Маккри (1904−1999), исходя из того, что под действием сил тяготения
Вселенная будет расширяться или сжиматься в зависимости от
начальных условий, показали, что основные соотношения и выводы
фридмановской космологии можно получить и в рамках ньютоновской
теории тяготения. Они нашли способ применения закона всемирного
тяготения, естественно, при не очень высоких скоростях расширения,
к бесконечной однородной и изотропной среде, при котором (см. 1. 2)
нестационарность однородных и изотропных моделей Вселенной не
только качественно, но и количественно описывается в рамках
ньютоновской теории тяготения так что ее выводы совпадают с
выводами космологической теории А. Фридмана.
В пособии использовались эти теоретические представления, что
позволило изложить основные идеи космологии в рамках ньютоновской
теории тяготения без привлечения сложного математического аппарата
ОТО. Заметим, что такой подход рассматривается как хорошее
приближение к релятивистской космологии и реализуется и при
составлении специализированных пособий по космологии [6, 7].
Материалы пособия использовались при обучении студентов
элитного технического отделения НИ ТПУ и могут в дальнейшем
применяться при проведении занятий по разделу «Современная
физическая картина мира» для студентов всех специальностей и при
обучении студентов по магистерским программам.
5
1. Космологический постулат. Космологические
модели Эйнштейна и де Ситтера
1.1. Космологический принцип (постулат). Базовой доктриной
современной космологии является космологический принцип
(постулат), cогласно которому Вселенная однородна (вещество во
Вселенной распределено равномерно) и изотропна (свойства
пространства одинаковы по всем направлениям). В то же время
существуют области высокой концентрации вещества: звезды,
галактики, скопления галактик, которые можно рассматривать как
отклонения от однородности Вселенной, то есть возникает
определенное противоречие. Поясните, как в современной космологии
обосновывается однородность и изотропность Вселенной.
Решение. Стандартный подход к разрешению этого противоречия
состоит в следующем. Современным наблюдениям доступен объем
пространства радиусом примерно 13-14 млрд. световых лет. Если
мысленно выделить в этом объеме области с размером в 1 млрд.
световых лет (или более)4 и подсчитать в каждой из них число галактик,
то оно окажется практически одинаковым для всех таких областей. То
же самое будет и при подсчете скоплений и сверхскоплений. Это
значит, что в крупных масштабах в согласии с космологическим
постулатом галактики, их скопления и сверхскопления распределены в
пространстве примерно равномерно. Изотропность пространства с
высокой точностью 10-5 установлена при исследовании реликтового
излучения5. Из изотропности пространства следует, что движение
галактик и их скоплений хаотично и не имеет явно выделенного
направления.
В настоящее время в связи с предполагаемым доминированием
космического (физического) вакуума6 во Вселенной (подробнее, см. 6.2)
4
Объем поперечником в 1 млрд. световых лет, начиная с которого распределение галактик
представляется в среднем равномерным по пространству, называют ячейкой однородности во
Вселенной.
5
Реликтовое излучение − космическое электромагнитное излучение, заполняющее все пространство.
Является одним из главных доказательством теории Большого Взрыва. Подробно рассмотрено в 4.5.
6
Под физическим вакуумом в квантовой физике понимают низшее (основное) энергетическое
состояние квантованных полей, характеризующееся отсутствием каких-либо реальных частиц.
Квантовая теория поля утверждает, что, в соответствии с принципом неопределенности, в
физическом вакууме постоянно рождаются и исчезают виртуальные частицы: происходят так
называемые нулевые колебания полей. В современных теориях поля показано, что физический
вакуум может существовать в нескольких состояниях: либо с равной нулю плотностью энергии
(нулевое состояние), либо с положительной плотностью энергии и отрицательным давлением.
6
принимается и другое обоснование космологического постулата. Дело в
том, что по расчетам и наблюдениям, вакуум, по плотности энергии
превосходит все «обычные» формы энергии вместе взятые [11, 16].
Тогда однородность Вселенной определяется не распределением
галактик, а космическим вакуумом, заполняющим все пространство
Вселенной, плотность которого постоянна во времени и пространстве.
Космологический постулат лежит в основе как первых
космологических моделей космологии, построенных на основе ОТО, к
которым мы относим модели Эйнштейна и де Ситтера, так и
общепризнанной в настоящее время модели Фридмана.
1.2. Стационарная модель Вселенной Эйнштейна. Первая
релятивистская космологическая модель Вселенной, основанная на
ОТО, была предложена Эйнштейном в 1917 г. В те годы общепринятой
была точка зрения, что Вселенная стационарна, то есть неизменна во
времени. Но, если принять, что стационарная Вселенная равномерно
заполнена галактиками, находящимися на неизменных расстояниях, то
под действием гравитационных сил Вселенная должна сжиматься.
Чтобы привести уравнения ОТО к виду, допускающему стационарные
решения, Эйнштейном в соответствующие уравнения ОТО была
введена антигравитационная постоянная (космологический Λ -член),
которая соответствовала космологической силе отталкивания,
уравновешивающей силу тяготения.
В отличие от других известных сил эта сила не порождалась
каким-либо источником, а порождалась самой структурой пространства
- времени. Выражалась эта сила формулой
1
F = ΛRmc 2 ,
(1)
3
где Λ – космологическая постоянная (космологический Λ -член), m −
масса отталкиваемого объекта, R − расстояние от отталкивающего
центра.
Отсюда космическая сила отталкивания, введенная Эйнштейном,
универсальна: она не зависит от отталкивающей массы, а только от
разделяющего тела расстояния.
Как показали дальнейшие астрофизические наблюдения,
статическая модель А. Эйнштейна оказалась некорректной. В 1922-1924
гг. советский математик А.А. Фридман показал, что решения уравнений
ОТО без космологической постоянной описывают нестационарную
Вселенную, которая как целое в зависимости от начальных условий
(конкретнее, от значения плотности Вселенной) в рассматриваемый
7
момент времени может либо бесконечно расширяться из
космологической сингулярности (от лат. singularize − отдельный,
особый)7, либо сжиматься в сингулярную точку. Вскоре после
публикации его результатов Эйнштейн высказал сомнение в их
правильности и даже в 1922 г. выступил в печати с их критикой. Однако
спустя короткое время через год признал правоту Фридмана и
опубликовал новую статью в том же журнале, в которой писал, что
результаты Фридмана правильные. После открытия американским
астрономом Э. Хабблом расширения Вселенной стационарная модель
потеряла смысл и стали принимать Λ = 0. Эйнштейн отказался от
космологической константы и считал (в беседе с Г. Гамовым) введение
космологической константы "самой грубой своей ошибкой в жизни".
Эта точка зрения разделялась в 30-е годы большинством физиков, в том
числе и такими известными как В. Паули и Л. Ландау (последний, как
пишет В. Гинзбург [19], «…слышать о нем не хотел, но добиться от него
причины такой позиции мне не удалось»). Космологическая постоянная
была предана забвению и идея космологической константы возродилась
только в конце XX столетия, когда было установлено, что в
современную эпоху Вселенная расширяется с ускорением (см. 6.2).
Смысл Λ -члена стал иным, но расширение с ускорением обусловлено
антигравитацией и перед космологами возникла проблема найти место в
современной космологии «самой грубой ошибке» Эйнштейна. Здесь
заметим, что Эйнштейн, отказываясь от Λ -члена, все-таки отмечал, что,
в конечном счете, все должен решить эксперимент, понимая под ним
реальные астрономические факты. В 1934 г. он писал «…при
рассмотрении космологической проблемы представляется естественным
отказаться пока от введения космологической постоянной, −до тех пор,
пока для ее введения не возникнут опытные основания» [11]. По
существу, его предвидение подтвердилось. Как пишет А. Чернин [16],
«Сейчас считается общепризнанным, что космологическая постоянная
описывает космический вакуум, т.е. такое состояние космической
энергии, которое обладает постоянной во времени и всюду одинаковой
в пространстве плотностью, и при том в любой системе отсчета. По эти
свойствам вакуум принципиально отличается от всех других форм
космической энергии…». Говорят, что если бы Эйнштейн не ввел
лямбда-члена, он все равно появился бы в наше время. Более подробно
проблема космического вакуума рассмотрена в пособии в разделах 5, 6.
7
Космологическая сингулярность − точка с бесконечно большой массой и температурой и нулевым
объемом. В математике сингулярность (особенность) − точка функции, значение функции в которой
стремится к бесконечности.
8
Показать, что стационарная модель Вселенной Эйнштейна
неустойчива и неосуществима.
Решение.
При
решении
задачи,
так
как
согласно
космологическому постулату Вселенная однородна и изотропна, в
соответствии с теоретическими представлениями Милна и Маккри в
бесконечном однородном пространстве вырезается шар радиусом R и
модель наблюдаемой Вселенной представляют в виде этого шара с
началом отсчета в т. О (рис. 1). Поскольку среда однородна, за центр
шара может быть выбрана любая точка пространства. Расширение Вселенной описывается законом R(t ). При
расчетах учитывается, что по закону
Гаусса для гравитационного поля (см.
приложение) на тело на границе шара
радиусом R, воздействует только масса
M, находящаяся внутри сферической
области. Действие этой массы M
эквивалентно действию равной ей массы,
расположенной в центре шара. Внешняя
же область не создает гравитационного
Рис. 1. Модель Вселенной
поля внутри сферы. Примем, что рассматриваемая галактика массой m находится на краю шара. Если учитывать
космологическую силу отталкивания, то по второму закону Ньютона
ma = Fтяг + Fотт .
(2)
Сила взаимодействия однородного шара радиусом R и массой M и
тела массой m на границе шара определяется формулой8
mMR
Fтяг = −G 3 .
(3)
R
Используя (1) и (3), представим уравнение (2) в скалярном виде
Mm Λmc 2
ma = −G 2 +
R.
(4)
R
3
Тогда полное ускорение галактики
M Λc 2
a = −G 2 +
R.
(5)
R
3
8. Вывод формулы напряженности гравитационного поля однородного шара и соответствующей
силы взаимодействия приведен в приложении.
9
Принципиальный недостаток модели Эйнштейна состоит в том, что
компенсация достигается только при определенном R. Пусть слагаемые
в правой части точно уравновешивают друг друга и a = 0. Но если R
изменится хотя бы на очень малую величину, как одно слагаемое
увеличится, а другое уменьшится и a станет отличным от нуля. Если
Вселенная немного увеличится, то это приведет к отрицательному
гравитационному ускорению, которое вызовет дальнейшее расширение
Вселенной. Если же размеры Вселенной уменьшатся, то возникнет
положительное гравитационное ускорение, которое заставит её
сжиматься дальше. Таким образом, любое небольшое отклонение
растет, в связи с чем статическая модель Эйнштейна не может
реализоваться.
1.3. Космологическая постоянная. Как указывалось выше,
Эйнштейн, рассматривая стационарную модель Вселенной, ввел
посредством космологической постоянной в виде Λ -члена силу
отталкивания, уравновешивающую силу тяготения. Оцените величину
космологической постоянной. Определите отношение ускорения,
сообщаемого
Солнцем
Земле,
к
добавочному
ускорению,
обусловленному этой силой. Принять плотность Вселенной равной
критической9: ρкр ≈ 10-28 кг/м3.
Решение. 1) Как и в предыдущей задаче, вырезая в однородном
пространстве шар радиусом R и массой M, найдем ускорение, которое
сообщается галактике, находящейся на его границе,
M
aтяг = −G 2 .
(1).
R
4
Учитывая, что масса шара M = πR 3ρ , представим уравнение (1) в виде
3
4
aтяг = − πGρR .
(2)
3
Так как тяготение уравновешено космологической силой
отталкивания, ускорение aотт , создаваемое силой гравитационного
отталкивания, должно быть равно aтяг по модулю и противоположно по
знаку
9
В теории Фридмана показано (см. 3.1), что при плотности Вселенной
ρ 0 = ρ кр
Вселенной продолжается вечно с асимптотической скоростью, стремящейся к нулю.
10
расширение
4
aтяг = − aотт ; aотт = aтяг = πGρR .
(3)
3
Как уже отмечено в предыдущей задаче, сила гравитационного
отталкивания
1
F = ΛRmc 2 ,
(4)
3
Следовательно,
Λc 2
(5)
aотт =
R.
3
Решая совместно систему уравнений (3), (5) относительно лямбда-члена
Λ, найдем:
4 π Gρ
Λ = 2 ≈ 10−53 м -2 .
(6)
c
2) Ускорение, сообщаемое Солнцем Земле, по закону всемирного тяготения определяется формулой
M
aтяг = G 2⊗ ,
(7)
R
где M ⊗ − масса Солнца, R − расстояние от Земли до Солнца.
Добавочное космологическое ускорение
Λc 2
aотт =
R.
(8)
3
Поделив левые и правые части уравнений (1) и (8) друг на друга, найдем
искомое отношение
a
3GM ⊗
ξ = тяг =
≈ 1020 .
2 3
aотт Λс R
Видно, что aотт ничтожно мало и никак не сказывается на движении тел
гравитационно-связанной Солнечной системы. Отсюда Солнечная
система, как и все гравитационно-связанные системы, являются
устойчивыми и практически не участвует в космологическом
антитяготении. В пределах Солнечной системы ускорение
пренебрежимо мало и не может быть обнаружено. Оно может быть
установлено только при исследовании движений самых отдаленных
наблюдаемых скоплений галактик.
1.4. Модель де Ситтера. В 1917 г. голландский астроном В. де
Ситтер (1872 −1934) предложил другую модель расширяющейся
Вселенной, представляющую собой решение уравнений тяготения ОТО
для пустого пространства, в котором не существует ни вещества, ни
11
излучения, то есть отсутствуют невакуумные формы материи. В ней
динамика Вселенной описывается космологической постоянной. Эта
гипотеза длительное время считалась нереалистичной, но в связи с
открытием ускоренного расширения Вселенной в 90-е годы, которое по
одной
из
получившей
признание
гипотез,
приписывается
космологической постоянной, общественное мнение изменилось. Ее
большая ценность состоит также в том, что в ней впервые выдвигалась
идея о расширяющейся, а не статичной Вселенной.
Примем, что в пустой Вселенной находятся только две
свободные пробные частицы, находящиеся при t = 0 на расстоянии
R0 друг от друга. Частицы называются пробными, так как
предполагается, что их массы достаточно малы, чтобы не влиять на
их относительное движение, а свободными потому, что на них не
действует никакая другая сила, кроме антигравитации, вызванной
Λ - членом. Во Вселенной это могут быть, например, две
галактики, расположенные достаточно далеко друг от друга.
Найдите закон изменения расстояния между частицамигалактиками.
Принять
за
начальные
условия
dR
R(0) = R0 ; ( )0 = υ0 = 0. Учесть, что R > R0; R2 >> R02 (при больших t).
dt
Решение. Рассматривая ситуацию, как и в 1.2, запишем уравнение
динамики частицы-галактики
Mm Λmc 2
ma = −G 2 +
R. .
(1)
R
3
Поскольку из Вселенной убрано все вещество, то это значит, что масса
шара M в (1) равна нулю. Следовательно, уравнение (1) можно
представить в виде
Λmc 2
ma =
R.
(2)
3
Используя уравнение кинематики, преобразуем уравнение (2):
d 2 R Λc 2
=
R.
(3)
dt 2
3
dR
Для решения уравнения (3) умножим его на производную
dt
2
2
dR d R
Λc
dR
⋅ 2 dt =
R⋅
⋅ dt.
(4)
dt dt
3
dt
12
Проинтегрировав уравнение (4) с учетом начальных условий, получим
после преобразований
dR
Λc 2 2
=
( R − R02 ) .
dt
3
Упростим выражение (5), учитывая, что R2 >> R02 ,
(5)
dR
Λc 2
=
R.
(6)
dt
3
Проинтегрировав полученное уравнение (6) с учетом начальных
условий, найдем:
R = R0 exp( Λ/3 ⋅ ct ).
(7)
Получаем, что расстояние между частицами-галактиками растет по
экспоненте, то есть имеет место чрезвычайно быстрый рост расстояния
R между галактиками (расширения Вселенной) со временем.
В настоящее время моделями де Ситтера принято называть
класс космологических моделей − решения уравнений ОТО с
космологической постоянной, которые описывают вакуумное
состояние (инфляционная модель Вселенной, современное расширение
Вселенной с ускорением − см. раздел 5 и 6.2).
2. Кинематика Вселенной
2.1. Закон Хаббла. Возраст Вселенной. Американский астроном
Э. Хаббл :1889 − 1953;, а до него В. Слайфер (1875 −1969), сравнивая
спектры химических элементов в земной лаборатории со спектрами
галактик, установили, что спектральные линии в спектрах галактик
смещаются в длинноволновую сторону. Этот эффект называют красным
смещением спектральных линий. Следовательно, согласно эффекту
Доплера, все галактики и скопления галактик в соответствии с
космологическим принципом разбегаются друг от друга.
Оцените возраст и размер Метагалактики, принимая значение
постоянной Хаббла H010, равной 2,1·10-18 с-1.
Решение. Из эмпирического соотношения, полученного Э.
Хабблом, следовало, что скорости разлета ближайших галактик,
10
Индекс 0 означает, что значение постоянной Хаббла берется в современную эпоху. Современное
значение постоянной Хаббла H0 = 2,1·10-18с-1 получено в 2000-х гг. при использовании
радиотелескопов и коcмических телескопов WMAP, «Хаббл».
13
определенные по их красному смещению, при не очень больших
скоростях линейно зависят от расстояний галактик друг от друга:
υ = HL,
(1)
где υ − скорость разбегания галактик друг от друга, L − расстояние
между галактиками; H − постоянная Хаббла Bрезультаты Хаббла
представлены на рис. 2).
Примем, что в начальный момент при t = 0, L = 0 .
Если принять υ = const, то
L = υt,
:2;
где t − время движения галактики, отсчитанное от сингулярности.
Подставив (2) в (1), получим
υ = Hυt.
(3)
Из уравнения (3) возраст
Вселенной можно оценить
из соотношения
1
t= .
(4)
H
Отсюда возраст Вселенной,
отсчитанный
от
космологической сингулярности,
зависит
от
величины
Хаббла.
Рис. 2 .Зависимость скорости разбегания постоянной
галактик от расстояния между ними− график Используя современное значение постоянной Хаббла
из оригинальной работы Хаббла − 1929 г.
H 0 , приведенное в условии
задачи, оценим возраст Вселенной, отсчитанный от космологической
сингулярности,
1
5 ⋅ 1017
17
t=
≈ 5 ⋅ 10 c ≈
≈ 1,5 ⋅ 1010 лет ≈15 млрд. лет.
(5)
7
H0
3,15 ⋅ 10
Тогда приближенно радиус Вселенной (так называемый хаббловский
1026
радиус) L = сt ≈ 1026 м ≈
≈ 3 ⋅ 109 пк ≈ 3 ⋅ 109 / 0,3068 ≈ 1010 cв. лет .
16
3 ⋅ 10
Фридмановские решения прекрасно подошли для описания
наблюдений Хаббла и стали общепризнанной моделью эволюции
Вселенной. Тогда-то Эйнштейн назвал космологическую постоянную
свой «самой большой научной ошибкой» Факт, что галактики
разбегаются друг от друга и стало главным экспериментальным
доказательством нестационарности Вселенной. Однако эра торжества
модели А. Фридмана чуть было не закончилась уже в 30-е годы. Было
14
установлено, что наблюдательные данные не согласуются с
предсказаниями модели Фридмана при использовании результатов
Хаббла. По расчетам Хаббла, опубликованным в 1929 г., H ≈ 500 км·с-1
Мпс—1 (2·10-17 с-1). Согласно этим данным получалось, если
воспользоваться его результатами (рис. 2), что время существования
Вселенной равно 2·109 лет, в то время как геологический возраст Земли
2 млрд. лет, а по астрономическим данным время жизни старых звезд ≈
10·109 лет. Возникла нелепая ситуация: звезды существовали дольше,
чем Вселенная. Но точность астрономических наблюдений росла,
значение постоянной Хаббла было уточнено, и это противоречие было
устранено: в 1958 г. его ученик Алан Сэндидж (1926 − 2010) установил,
что великий астроном значительно, примерно в 10 раз, преуменьшал
расстояния до галактик −
предельное
расстояние
оказалось не 2 Мпк, как это
показано на рис. 2, а 20 Мпк.
Соответственно, по оценке
Сэндиджа, постоянная Хаббла
заключена
в
пределах
50÷100 км/(с·Мпк),
что
соответствует
возрасту
Вселенной примерно того же
Рис. 3. Зависимость скорости разбегания галактик от расстояния между ними.− порядка, что 9и возраст старых
звезд ≈ 10·10 лет, и ситуация
Современные данные−1998 г
до определенной степени нормализовалась. Неувязка все-таки
оставалась, так как Вселенная должна быть старше, но космологов это
устраивало. Считалось, что проблема, по выражению В.А. Рыбакова,
как нибудь «устаканится». И проблема решилась, но только в 90-е гг.
XX столетия, когда было открыто антитяготение (см. 6.2), учет которого
определяет возраст Вселенный равным 13,7 млрд. лет. Постоянная
Хаббла определяется с заметной погрешностью, поэтому возраст
Вселенной, оцененный по закону Хаббла, достаточно приближенный и
обычно его принимают заключенным в пределах (10−20)·109 лет.
На рис. 3 представлена для сравнения зависимость скорости
разбегания удаленных скоплений галактик, полученная через 60 лет
после Хаббла. Сравнение результатов наблюдений, представленных на
рис. 2 и 3, наглядно отражает прогресс астрономических измерений:
наблюдениям стали доступны галактики, находящиеся на расстояниях
700 Мпк, больших, чем во времена Хаббла, более чем в 30 раз.
Прогресс, в первую очередь, обусловлен тем, что, если до конца 40-х
15
годов все наблюдения, существенные с космологической точки зрения,
велись в оптическом диапазоне, то в настоящее время среди
наблюдений, имеющих значение, на первый план вышли измерения в
радиодиапазоне.
2.2. Связь закона Хаббла с космологическим принципом
(космологическим постулатом) [3]. Основа современной космологии
− космологический постулат (или космологический принцип) об
однородности и изотропности Вселенной можно сформулировать и так:
Вселенная однородна и изотропна в любой момент времени, прошедший
после Большого Взрыва. Из него вытекает, что каждый наблюдатель в
один и тот же момент времени, независимо от места (отражение
однородности пространства) и направления (отражение изотропности
пространства) наблюдения обнаруживает во Вселенной одну и ту же
картину, то есть во Вселенной не должно быть выделенных
наблюдателей.
Используя преобразования Галилея, покажите, что закон
Хаббла соответствует космологическому постулату.
Решение. Соответствие закона Хаббла космологическому
постулату означает, что в какой бы точке Вселенной не находился
наблюдатель, закон Хаббла для него будет иметь один и тот же вид.
Иначе говоря, нужно показать, что закон Хаббла ковариантен
относительно преобразований Галилея. Свяжем начало отсчета с нашей
галактикой −точкой О (рис. 4). Пусть относительно этой точки точка B,
совмещенная с другой галактикой, движется по радиусу со скоростью
υB . Затем перейдем в систему отсчета, в которой точка B покоится
(точку B примем за начало отсчета). Тогда для произвольно выбранной
другой галактики (точка C) ее радиус-вектор и скорость относительно
точки B в соответствии с преобразованиями Галилея равны:
rC' = rC − rB ;
υC' = υC − υ B .
B18
Закон Хаббла в общем виде имеет вид
υ = Hr .
(2)
16
Используя преобразования
координат и скоростей Галилея и
закон Хаббла, преобразуем второе
уравнение системы (1):
υC' = υC − υ B = H (rC − rB ) = HrC' . (3)
Очевидно, в системе отсчета, связанной с галактикой O, закон
Хаббла имеет вид
υC = HrC .
(4)
Отсюда скорость и расстояние до
произвольно выбранной галактики
C с точки зрения галактики B
Рис.
4.
К
доказательству связаны таким же соотношением,
что и с точки зрения нашей
инвариантности закона Хаббла
галактики − законом Хаббла.
Таким образом, независимо от того в какой точке Вселенной
будет находиться наблюдатель, закон Хаббла имеет один и тот же вид,
то есть все точки Вселенной эквивалентны. Это значит, что
наблюдатель, находящийся в любой другой звездной системе, получил
бы такой же как и в нашей галактике результат и, следовательно, каждая
галактика может служить центром расширения, что находится в
соответствии с космологическим постулатом.
2.3 Красное смещение света от удаляющихся галактик.
ɺ,
Спектральная линия, которая в лаборатории имеет длину волны 5000 A
наблюдается в спектре излучения света от удаленной галактики при
ɺ . Какова скорость удаления этой галактики? Каково
длине волны 5200 A
расстояние (в световых годах) до этой галактики? Рассмотреть
нерелятивистский случай.
Решение. Принимаем, что источник и приемник движутся вдоль
соединяющей их прямой. В этом случае наблюдается продольный
эффект Доплера для электромагнитных волн, согласно которому
частота и длина волны регистрируемого излучения зависят от
относительной скорости υ движения источника и приемника. В
нерелятивистском случае эта зависимость выражается формулой
υ
v ≈ v0 (1+ ) ,
(1)
c
17
где v0 − частота линии излучения в случае неподвижных
источника и приемника (излучаемая частота спектральной линии),
v − наблюдаемая частота спектральной линии,
υ − скорость источника электромагнитного излучения
относительно приемника. Примем, что при
υ > 0 источник
приближается, при υ < 0 источник удаляется.
В нашем случае галактики разбегаются друг от друга. Поэтому,
приняв υ < 0, для длины волны ( λ=c/v) из (1), получим
υ
λ = λ 0 / (1 − ) .
(2)
c
Решая уравнение (2) относительно υ, найдем:
λ − λ0
υ=c
≈ 107 м/с.
λ
По закону Хаббла
υ = HL,
(3)
где L − расстояние между источником и приемником.
Используя значение постоянной Хаббла в современную эпоху,
равное H0 = 2,1·10-18 с-1, найдем расстояние от Земли до удаляющейся
галактики:
υ
L=
≈ ·5·1024 м ≈ 5·108 св. лет.
H0
то есть галактика находится в достаточно удаленной от Земли области
Вселенной (радиус наблюдаемой части Вселенной, как ранее показано,
примерно 13 млрд. световых лет).
2.4. Закон Хаббла как следствие однородности Вселенной.
Используя закон Хаббла, показать, что Вселенная однородна, то есть
плотность Вселенной ρ зависит от времени, но не зависит от координат.
Решение. Выразим массу внутри выделенного шара радиусом R
как
4
M = ρ ⋅ πR 3 .
3
(1)
Отсюда
3M
.
(2)
4 πR 3
Учитывая, что при расширении радиус и плотность Вселенной
изменяются, продифференцируем (2) по времени
ρ=
18
dρ
3M
dR
=−
⋅ .
4
dt
(4 π/3)R dt
(3)
По закону Хаббла
υ = HR .
(4)
Представим (4) в виде
dR
= HR .
dt
Используя (1) и (5) преобразуем (3) в виде
dρ
= −3ρH .
dt
(5)
(6)
Уравнение (6) означает, что ни радиус, ни масса шара в конечный
результат не входят. Отсюда, если плотность в однородной среде при
законе расширения (4) не зависела от координат в начальный момент
времени, то она не будет зависеть от координат и в последующие
моменты времени, хотя и меняется с течением времени ρ = ρ (t ) . Таким
образом, однородность пространства, заданная в начальный момент
времени, сохраняется всегда. Другого и быть не могло, так как
расширение по закону прямой пропорциональности возможно только в
однородной среде, а в теории Фридмана Вселенная рассматривается как
однородная.
2.5. Закон Хаббла в специальной теории относительности. Из
c
закона Хаббла следует, что на расстояниях L >
скорость разбегания
H
галактик больше скорости света. Показать, что этот факт не
противоречит специальной теории относительности (СТО).
Решение. Согласно СТО скорость света − предельная скорость
передачи сигналов (информации о событии-причина из одной точки в
другую, в которой происходит событие-следствие), то есть СТО
описывает события, обусловленные причинно-следственной связью.
Максимальная
скорость передачи информации для причинносвязанных событий в СТО – скорость света в вакууме. СТО
«запрещает» передачу информации и энергии со сверхсветовой
скоростью. В космологии расширение Вселенной интерпретируется не
как движение галактик в пространстве, а как расширение самого
пространства, к которому галактики как бы «приклеены». Аналогия:
воздушный шар, покрытый точками − галактиками. Когда шар
раздувается, его резиновая оболочка растягивается, и точки на
19
поверхности не движутся в пространстве по направлению к чемунибудь или от чего-нибудь. Координаты галактик в системе отсчета,
связанной с раздувающимся шариком, не изменяются. Изменяется
только масштаб координатной сетки, в узлах которой расположены
галактики. Это значит, что расстояние между галактиками
увеличивается, но галактики в пространстве не движутся и скорость
разбегания галактик не является скоростью передачи энергии или
информации, для переноса которой нужен сигнал («порция» энергии),
распространяющийся по пространству. Разбегающиеся галактики не
являются источниками таких сигналов. Поэтому скорость разбегания
галактик не является скоростью передачи информации, так что и ее
превышение над световой не противоречит специальной теории
относительности.
3. Динамика Вселенной
3.1. Нестационарная Вселенная. Принимая, как и ранее (рис. 1),
модель Вселенной в виде шара, определите зависимость скорости
расширения Вселенной в зависимости от времени и проанализируйте
его. Принять, что в некоторый момент t0 (современная эпоха) радиус
dR
шара R = R0, ( )t =t0 = H0R0. Значение постоянной Хаббла в
dt
современную эпоху H0 = 2,1·10-18 с-1. При t = 0 R= 0.
Решение. Как и в 1.2, примем, что галактика массой m находится на
границе расширяющегося шара радиусом R. Задача сводится к
нахождению зависимости R(t). Примем, что граница шара расширяется
dR
по закону Хаббла: υ =
= HR .
dt
По закону сохранения механической энергии
1 dR 2
mM 1 dR
mM
m( ) − G
= m ( ) t = t0 − G
.
(1)
2 dt
R
2 dt
R0
Представив массу M Вселенной выражением
4
4
M = ρ 0 ⋅ πR03 = ρ ⋅ πR 3
(2)
3
3
и учитывая, что в современную эпоху по закону Хаббла
dR
( )t =t0 = H 0 R0
(3)
dt
подставив (2) и (3) в (1), после несложных преобразований, получим
20
1 dR 2 4/3(Gπρ0 R03 ) 1 2 2
H2
= H 0 R0 − 4/3(Gπρ 0 R02 ⋅ 02 ) .
( ) −
2 dt
R
2
H0
dR
Решая уравнение (4) относительно υ = ( ), найдем:
dt
υ=(
dR
8πGρ 0 R03
ρ
)=
− H 02 R02 ( 0 − 1) .
dt
3R
ρ кр
Здесь введено обозначение ρ кр =
(4)
(5)
3H 02
− критическая плотность в момент
8πG
t0 :в современную эпоху).
Обычно при анализе процессов расширения Вселенной
ρ
ρ
используют отношение Ω =
Bв современную эпоху Ω0 = 0 8. С
ρ кр
ρ кр
учетом этого обозначения уравнение (5) пронимает вид
dR
8πGρ 0 R03 )
υ=( ) =
− H 02 R02 (Ω0 − 1) .
(6)
dt
R
Из модели Фридмана вытекало, что Вселенная была когда-то
стянута в точку11 и, находясь в сверхплотном состоянии, начала
расширяться и этот процесс продолжается до сих пор. За расширение в
прошлом в уравнении (6) отвечает первое слагаемое, из которого
dR
вытекает, что прошлом скорость была очень большой:
→ +∞ при
dt
R → 0 (к сингулярности). Затем скорость изменяется обратно
пропорционально R, то есть уменьшается под действием сил тяготения.
Вследствие большой скорости самую раннюю фазу расширения
Вселенной сравнивают с взрывом и называют «Большим Взрывом» (Big
Bang8. Это название появилось в связи с работами бельгийского
астронома (бывшего священника) Ж. Леметра (1894 − 1969) –
президента Ватиканской Академии наук с 1960 г. по 1966 г., который
независимо от А. Фридмана (1927), но позднее его, показал, что
Вселенная нестационарна. Свою теорию Леметр назвал «гипотезой
первичного атома». Теория Леметра об эволюции мира, начиная с
«первоначального атома», иронично была названа «Большим взрывом»
американским астрономом Фредом Хойлом (1915 − 2001) в 1949 году.
Но это название, Большой взрыв, исторически закрепилось в
космологии. В связи с этим Леметра называют «отцом Большого
11
Как указывалось в задаче 2, такое состояние называют космологической сингулярностью.
21
Взрыва», а теорию нестационарной Вселенной теорией Фридмана −
Леметра или теорией Большого Взрыва.
Парадокс: по существу идея Большого Взрыва не противоречит
церковной идеологии из сотворения мира «из ничего». Однако она
является в космологии общепризнанной и одним из ее «родителей», как
это не парадоксально, является бывший служитель культа. Церковь
принимает эту гипотезу. Так 22 ноября 1951 года Папа Римский Пий XII
объявил, что теория Большого взрыва не противоречит католическим
представлениям о создании мира. Положительное отношение к этой
теории существует также в других религиях: православии, индуистском
учении и исламе12.
Заметим, что Большой Взрыв не рассматривается как взрыв
сгустка материи, осколки которого разлетаются в беспредельном
изначально существовавшем вакууме, образно говоря, не фейерверк,
взрывающийся в существующем пространстве. Расширение Вселенной,
как уже указывалось выше, интерпретируется не как движение галактик
в пространстве, а как динамическое расширение самого пространства, к
которому галактики как бы «приклеены».
Вернемся к уравнению (6). Предварительно заметим, что в ОТО
показано, что радиус кривизны пространства описывается формулой,
которая применительно к современному этапу имеет вид [5]
ρ кр
c
R=
.
(7)
H ρ0 -ρ кр
Из уравнения (6) вытекает, что в будущем скорость определяется
величиной и знаком второго слагаемого.
При этом возможны следующие три варианта:
• Если ρ 0 < ρ кр (Ω0 < 1) , второе
слагаемое в подкоренном выражении уравнения (7) положительно, расширение продолжается вечно с асимптотической скоростью
dR
υ=( ) = H 0 R0 1 − Ω0 при R →∞. В начале расширения R = 0 и затем
dt
неограниченно нарастает. Имеем модель открытой Вселенной, в
которой полная механическая энергия системы E > 0 (рис.5, кривая1).
12
Понятно, что фридмановская модель не соответствовала взглядам марксистско-ленинской
философии. Как указывается в [16], его работы в СССР рассматривались порой как идеологическое
заблуждение. Более того в 1937 г. спустя 12 лет после его смерти на Фридмана было заведено дело №
355 как на главаря банды ученых-саботажников. Двое из его учеников были расстреляны. Только в
60-70 е гг. усилиями главным образом Я. Б Зельдовича и А.Д, Сахарова его трудам по космологии
было отдано должное и он стал рассматриваться как один из самых выдающихся советских ученых.
22
В
этом
случае
кривизна
пространства
Вселенной
−
положительная, и, как показано в
математике,
геометрия
пространства
неевклидова
и
описывается
геометрией
Лобачевского.
• (Если ρ 0 = ρ кр (Ω0 = 1), второе
слагаемое в уравнении (7)
положительно,
расширение
Рис. 5. Кривые эволюции Вселенной по
продолжается вечно с асимптотиФридману
чески стремящейся к нулю скоростью. Имеем модель открытой
Вселенной, в которой полная механическая энергия системы E = 0 Bрис.
5, кривая II). Согласно (7), в этом случае кривизна пространства
Вселенной нулевая ( R = ∞ ), пространство плоское, геометрия
пространства евклидова. Такое пространство простирается во все
стороны до бесконечности, и объем его бесконечен.
• Если ρ 0 > ρ кр (Ω0 > 1) , второе слагаемое в уравнении (6) отрицательно, расширение тормозится и сменяется сжатием (первое слагаемое в (6)
стремится к нулю при R → +∞). Величина R растет, начиная от 0,
достигает максимума и снова убывает до нуля. Получаем модель
«закрытой» Вселенной, в которой полная механическая энергия E < 0
Bрис. 5, кривая III). В этом случае радиус R – мнимый, кривизна
пространства отрицательна и, как показано в математике, геометрия
пространства неевклидова и описывается, геометрией Римана.
3.2. Критическая плотность. Получите
критической плотности в современную эпоху.
выражение
для
Решение. Как следует из решения предыдущей задачи,
критическая плотность соответствует отношению Ω0 = 1 и полной
механической энергии системы E = 0. Тогда уравнение (1) из
предыдущей задачи примет вид
1 dR 2
mM
m( ) − G
= 0.
(1)
2 dt
R
Из уравнения (1) получим для скорости, соответствующей критической
плотности (аналог второй космической скорости),
23
dR
2GM
=υ=
.
dt
R
(2)
Массу Вселенной определим по формуле
4
M = ρ ⋅ πR 3 .
3
(3)
υ = HR .
(4)
По закону Хаббла
Решая систему уравнений (2) − (4) относительно ρ, получим
3H 2
ρ=
.
8πG
При значении постоянной Хаббла в современную эпоху H0 = 2,1·10-18 с-1
найдем:
ρ кр =
3H 2
кг
≈ 7,9 ⋅ 10−27 3 .
8πG
м
Наблюдательные факты показывают, что на протяжении всей
эволюции геометрия Вселенной − евклидова, то есть реализуется
модель «открытой» Вселенной с плоской геометрией. Обязательное
условие плоской геометрии Вселенной: равенство: ρ ≈ ρ кр (Ω0 ≈ 1) .
Следовательно, плотность, как современной Вселенной, так и в
прошлые времена, должна быть близка к критической.
Найдите закон расширения Вселенной при плоской геометрии
Вселенной.
Решение. Для решения используем ранее полученный закон
изменения скорости границы расширения (5.1, ур.6)
dR
8πGρ 0 R03 )
υ=( ) =
− H 02 R02 (Ω0 − 1) .
dt
R
(1)
Как указано в предыдущей задаче, обязательное условие плоской
геометрии: Вселенной равенство: ρ ≈ ρ кр (Ω0 ≈ 1) . В этом случае
уравнение (1) примет вид
24
dR
8πGρ 0 R03
=
.
dt
R
(2)
RdR = kR03 / 2 dt ,
(3)
Преобразуем уравнение (2):
где k =
8πGρ0
.
3
Проинтегрировав уравнение (3) по R в пределах от 0 до R и по t в
пределах от 0 до t, получим
3
R 3 / 2 = kt ,
2
(3)
а проинтегрировав (2) по R в пределах от 0 до R0 и по t в пределах от 0
до t0, найдем
3
R03 / 2 = kt0 ,
2
(4)
Из уравнений (3) и (4) закон изменения радиуса шара можно
представить в виде
t
R(t ) = R0 ( ) 2 / 3 ~ t 2 / 3 .
t0
(5)
Таким образом, в фридмановской модели расширение Вселенной
при Ω 0 = 1 протекает по степенному закону: R (t ) ~ t 2 / 3 . Такой закон
работает после эпохи рекомбинации, когда Вселенная заполнена
нерелятивистскими частицами.
На более раннем этапе, когда Вселенная заполнена
релятивистскими частицами (более высокой температуре соответствует
более высокая энергия и скорость частиц), в ОТО показано [5, 6], что
этот закон имеет вид
t
R(t ) = Rр ( )1/ 2 ~ t 1/ 2 ,
t0
25
где Rр – радиус Вселенной в эпоху рекомбинации. Отсюда следует, что
после стадии рекомбинации расширение происходит с меньшей
скоростью, чем в ранней Вселенной.
3.3. Вселенная в планковских масштабах. При анализе
эволюции Вселенной осуществляют экстраполяцию в направлении,
обратном течению времени, к началу процесса расширения Вселенной.
Возникает вопрос: как близко можно подойти к сингулярности,
используя ОТО? В общепринятой космологической модели отступают
от физически неосуществимого состояния сингулярности, и биография
Вселенной начинается с так называемого планковского момента
t p = 5, 4 ⋅ 10−44 c (обычно, видимо, для сокращения записи, принимают
момент когда Вселенной было ~10-43 с от роду) − понимаемого в
теоретической физике как момент раздела классического и квантового
пространства-времени. Планк предложил для него «конструкцию» из
скорости света c, постоянной Планка ℏ и гравитационной постоянной
G:
ℏG
tp =
= 5, 4 ⋅ 10−44 c .
5
c
К планковскому моменту времени13 Вселенная в планковских
масштабах представляла собой крохотный раскаленный шарик
диаметром d ≈ 3·10-35 м, температурой T ≈ 1032 K и плотностью
ρ ≈ 5·1096 кг/м3. Такие размеры просто невозможно представить. Для
сравнения размеры ядра атома 10-15 м, а плотность 1017 кг/м3.
Здравому смыслу, как пишет нобелевский лауреат В.Л. Гинзбург
(1916 − 2009) в одной из своих интересных статей, посвященных
проблемам современной физики [17–19], трудно согласиться с мыслью
о том, что вся Вселенная когда то имела размеры, меньшие, чем ядро
атома, тем более вывод о том, что при t = 0 Вселенная, согласно теории
Большого Взрыва, представляла собой точку, а затем каким то
чудесным образом из сингулярного состояния материи произошло
рождение нашей Вселенной. К тому же ОТО, лежащая в основе этой
13
Другие планковские величины, сконструированные из этих фундаментальных констант, –
планковская
длина
или
радиус
искривленности
пространства-времени
lp = (
Gℏ 1/ 2
) ≈ 1, 6 ⋅10−35 м, планковская масса
3
c
(энергия
частицы
суперобъединения)
ρ = с5 G 2 ℏ ≈ 5 ⋅1096 кг м3 .
26
ℏc 1/2
) ≈ 2 ⋅10-8 кг , энергия Планка
G
ℏc 5 1/2
Ep = (
) ≈ 1019 ГэВ,
плотность
G
mp = (
теории, хорошо проверена только в масштабах Солнечной системы, но
никак не всей Вселенной. Отсюда скептическое отношение многих
физиков к такой модели эволюции Вселенной. Однако расширение
Вселенной
считается
в
современной
космологии
надежно
установленным фактом, подтвержденным, как мы уже знаем,
наблюдательными данными, полученными Э.Хабблом, хотя причина
Большого Взрыва, как и физические процессы при расширении
Вселенной, в этой теории не рассматриваются. Фридман как, в первую
очередь, математик и не ставил такой задачи. Так, по свидетельству
известного физика-теоретика В. А. Фока, в отношении Фридмана к
теории относительности преобладал подход математика: «Фридман не
раз говорил, что его дело — указать возможные решения уравнений
Эйнштейна, а там пусть физики делают с этими решениями, что они
хотят». Физическая картина эволюции Вселенной разработана учеником
А. Фридмана Г. Гамовым. К ее анализу перейдем в следующем разделе.
4. Физические процессы в ранней Вселенной. Горячая
Вселенная
4.1. Идея Г. Гамова. Непосредственно модель Фридмана
описывает только механику (кинематику и динамику) расширения
Вселенной, подтвержденную разбеганием галактик, установленным Э.
Хабблом. Физические процессы в расширяющейся Вселенной
описывает теория горячей Вселенной, построенная учеником А.
Фридмана Г.А. (Джорджем) Гамовым (1904— 1968) − русским
физиком-эмигрантом и его сотрудниками: Р. Альфером и Р. Херманом.
Из теории Фридмана следовало, что первичное вещество было очень
плотным. Г. Гамов B1948) добавил к закону расширения Фридмана
предположение, что первичное вещество мира было не только очень
плотным, но и очень горячим. Кстати, заметим, что Гамов отмечал, что
идею начального горячего состояния мира он заимствовал у своего
учителя. Этот факт говорит о том, что вероятнее всего Фридман
задумывался и высказывал верные суждения об этих процессах, но в
соответствии с вышеприведенным свидетельством В. А. Фока не считал
своей задачей как то это фиксировать. По предположению Гамова, до
того как в природе появились звезды, галактики и другие
астрономические объекты, в раннем горячем веществе прошли ядерные
реакции и образовались ядра легких химических элементов −
произошел так называемый первичный нуклеосинтез. Как он пришел к
этому выводу? Он подсчитал, что за время существования Вселенной,
то есть за период порядка 14 млрд. лет, в звездах могло образоваться не
27
более 1 % наблюдаемого гелия. Значит должен быть еще один механизм
образования гелия. Поэтому он и решил, что гелий в основном
образовывался на ранней стадии эволюции Вселенной. Чтобы этот
процесс происходил, нужна высокая температура. Отсюда и
предположение о начальной горячей фазе.
Отмечается [12], что он немного ошибся, полагая, что все ядра, в
том числе и тяжелые, рождаются на стадии Большого Взрыва (позднее
было установлено, что в первые минуты рождаются ядра не тяжелее Li7,
а более тяжелые элементы образуются на стадии вторичного
нуклеосинтеза при термоядерных реакциях в звездах).
Теория горячей Вселенной подтвердила общую концепцию
эволюции Вселенной А. Фридмана. Из теории горячей Вселенной
вытекали
два
предсказания:
существование
фонового
электромагнитного (реликтового) излучения, а также соотношения
между водородом и гелием во Вселенной (см. 5.3, 5.4), которые
подтвердились и являются неопровержимыми доказательствами теории
Большого Взрыва. Вообще под теорией Большого Взрыва будем, как
уже отмечали, понимать космологическую модель расширения
Вселенной Фридмана, объединенную с теорией горячей Вселенной.
Часто эту объединенную теорию, описывающую эволюцию Вселенной,
называют просто теорией горячей Вселенной.
4.2. Процессы рождения и гибели частиц в ранней Вселенной.
В теории горячей Вселенной принимается [5, 6], что на начальном этапе
эволюции как по концентрации, так и по массе и энергии (E = mc2)
доминировало излучение (обосновано в 5.4) и с самого начала до эпохи
рекомбинации, когда излучение оторвалось от вещества, частицы и
излучение находились в состоянии термодинамического равновесия,
что позволяет описать состояние системы термодинамическими
параметрами. Следовательно, можно утверждать, что в ранней
Вселенной энергия равновесного фотона равна средней кинетической
энергии хаотического движения частиц, то есть имеет порядок kT.
Частицы и античастицы возникали при столкновении фотонов, а
фотоны возникали при аннигиляции частиц и античастиц, согласно
реакции:
частица + античастица → γ + γ.
Из соотношения kT = m0c2, где m0 – масса покоя частицы, более
высокой температуре соответствует рождение более тяжелых частиц.
При адиабатическом расширении Вселенной в соответствии с
уравнением адиабаты: TV γ −1 = const температура понижалась и при
столкновениях фотонов рождались в соответствии с законом
28
сохранения энергии сначала более тяжелые, а затем более легкие
частицы.
4.3. Изменение температуры дозвездной материи в процессе
расширения. Принимая, что в ранней Вселенной концентрация и
массовая плотность излучения значительно превышала концентрацию и
массовую плотность вещества (см. 5.4) получить зависимость между
температурой и временем расширения Вселенной. Принять, что на
начальном этапе плотность Вселенной равна критической.
Решение. Как показано в 3.1, 3.2 критическая плотность
описывается формулой
3H 2
ρкр =
,
8πG
(1)
где H − постоянная Хаббла на соответствующем этапе эволюции
1
Вселенной. Учитывая, что t = , преобразуем (1) и после подстановки
H
численного значения гравитационной постоянной, получим
ρ кр =
3
109
≈
.
8πGt 2 t 2
(2)
Энергетическая светимость RT абсолютно черного тела связана с
объемной плотностью uT энергии излучения формулой
c
RT = uT .
4
(3)
Согласно закону Стефана − Больцмана, для излучения абсолютно
черного тела, энергетическая светимость черного тела RT связана с
абсолютной температурой T соотношением
RT = σT 4 ,
где σ =5,67·10-8 Вт·м-2 К-4 − постоянная Стефана − Больцмана.
Тогда объемная плотность излучения определится как
29
(4)
uT =
4σT 4
.
c
(5)
Используя релятивистскую формулу Эйнштейна взаимосвязи
массы и энергии E = mc 2 , из (5) находим, что массовая плотность
излучения ρ γ определяется соотношением
4σ T 4
ργ = 3 .
c
(6)
Поскольку, по условию задачи, принимается, что в ранней Вселенной
критическая плотность определялась плотностью излучения, из
уравнений (2) и (5) следует, что зависимость между температурой и
временем расширения Вселенной имеет вид
3c 3
1010
1/ 4
(7)
)
≈
.
32πGσt 2
t
На основе зависимости (7) можно проследить временную хронологию
изменения состава и состояния вещества и излучения в ранние эпохи
горячей Вселенной. Как показывает наши нижеприведенные расчеты
дают оценочные результаты, не противоречащие литературным данным
[2, 7, 12].
T =(
4.4. Состояние вещества в ранней Вселенной. Хронология
Вселенной. Оцените пороговую температуру14, при которой рождаются
нуклоны и антинуклоны. Определите соответствующий момент
времени. Принять массу покоя нуклона равной массе покоя протона
m p = 1,67 ⋅ 10−27 кг.
Решение. Оценить температуру, при которой при расширении
Вселенной рождаются нуклоны и антинуклоны, можно из соотношения
E p = m p c 2 = ℏω= kT .
Отсюда
m pc2
T=
≈ 1013 K.
k
14
Как этот, так и последующие расчеты этого раздела, как кстати и приводимые в литературе,
представляют весьма грубые оценки и позволяют по существу оценить только порядок величин,
проследить тенденцию процессов в ранней Вселенной и принципиальную возможность применения
использованных закономерностей.
30
По литературным данным [2, 13], интервал температур после Большого
Взрыва, соответствующий эре образования нуклонов, получивший
название адронная эра, 1012 – 1013 K, то есть нуклоны образуются и при
более низких, чем пороговая (1013 K), температурах. Объясняется это
тем, что по формуле ℏω= kT определяется средняя энергия фотонов и
при температуре выше 1012 K еще высока доля γ -квантов, столкновения
которых приводили к образованию нуклонов. Только при понижении
температуры до 1012 K можно принять, что их доля становится
настолько малой, что вероятность рождения нуклонов при
столкновениях фотонов становится маловероятной.
Временной интервал эпохи адронов, найдем, используя формулу
(7), характеризующую эволюцию вещества и времени (5.1).
1020
∆t = 2 ≈ 10−6...10−4 c.
T
Приведем более подробную характеристику адронной эпохи. В
период ей предшествующий кварки существовали в свободном
состоянии, образуя кварк-глюонную плазму (образно выражаясь,
«кварковый суп»). При расширении кварк-глюонная плазма
охлаждалась, и кварки группировались в адроны, включая протоны и
нейтроны. К 10-6 с практически все кварк-антикварковые пары
проаннигилировали, температура понизилась до такой, что рождение
кварков и антикварков прекратилось: кварки попали в «адронный
мешок» − произошел так называемый кварк-адронный переход − и не
могут его покинуть. Итог: на этом этапе кварки «вымерли», появились
адроны.
В период между 10-6 и 10-4 с после Большого Взрыва, что
соответствует интервалу температур от T = 1013 K до T =1012 K
адронная эпоха) [2] при столкновениях фотонов рождались нуклоны
(адроны). При взаимодействии частиц и античастиц они
аннигилировали:
p + pɶ → γ + γ .
n + nɶ → γ + γ .
По мере расширения Вселенной температура падала и рождалось
все меньше и меньше пар тяжелых частиц. Постепенно число
аннигиляций превысило число рождений. К концу адронной эпохи
температура упала до T = 1012 K. Нуклоны (адроны) не могли уже
рождаться при столкновениях фотонов. К моменту t = 10-4 с нуклонантинуклонные пары проаннигилировали, образовав фотоны.
Но, по теории горячей Вселенной, остался небольшой избыток:
1 частица на 109 пар частиц-античастиц, то есть на каждый миллиард
31
пар частиц-античастиц приходилась одна лишняя «тяжелая» частица
(нуклон): миллиард пар проаннигилировал, а одна «тяжелая» частица
осталась, то есть осталась одна миллиардная часть от первоначальных
нуклонов (барионов). Однако превышение на одну миллиардную долю
числа частиц над античастицами и определило нынешнюю барионную
асимметрию Вселенной и отсутствие сколько-нибудь заметного
количества антивещества во Вселенной. Почему вещество оказалось в
избытке перед антивеществом непонятно. Есть два предположения.
Первое: превышение числа частиц над античастицами −
фундаментальная константа природы, аналогичная, например, скажем
постоянной Планка. Другое: изначально Вселенная была строго
симметричной относительно числа барионов и антибарионов, а
превышение числа частиц над античастицами возникло эволюционным
путем. Предложено несколько механизмов возникновения барионной
ассиметрии. Один из них, предложенный в 1967 г. А. Д. Сахаровым
(1921 − 1989), объясняет её возможным нарушением закона сохранения
барионного заряда при высоких энергиях − генерацией барионного
заряда. Следует, однако отметить, что это только предположение, так
как пока ни в одном из экспериментов не наблюдалось несохранения
барионного числа. [12]
Называют такую модель зарядово-несимметричной моделью
Вселенной. Если бы выжили антинуклоны (антибарионы), то законы
природы не изменились бы, только атомы состояли бы из
отрицательных ядер и положительных электронов (позитронов). Если
же числа нуклонов и антинуклонов были бы абсолютно одинаковы, то
вещества не было бы совсем.
Оцените пороговую температуру, при которой еще могут
рождаться электроны и позитроны. Определите соответствующий
момент времени. Энергия покоя электрона mec 2 = 0,5 МэВ.
Решение. Аналогично предыдущей задаче оценить пороговую
температуру, рождения электронов и позитронов, можно из
соотношения
Ee = mec 2 = ℏω= kT .
Отсюда
mec 2
T=
= 3,6 ⋅ 109 K ≈ 109 K.
k
Верхняя временная граница – конец эпохи адронов, равная 10-4 с.
Нижняя граница:
32
1020
≈ 100 c.
T2
Интервал времени после Большого Взрыва от 10-4 с до 100 с
назван лептонной эпохой. В эту эпоху рождались электроны и
нейтрино. Для рождения адронов в лептонную эпоху у фотонов (kT
уменьшается) уже не хватало энергии. При взаимодействии фотонов в
эту эпоху возникали и аннигилировали электрон-позитронные пары,
также электронные нейтрино и антинейтрино:
e+ + e− → γ + γ .
ve + vɶe → γ + γ .
Вселенная в лептонную эпоху состояла преимущественно из
фотонов, лептонов, а также оставшихся от адронной эпохи – протонов и
нейтронов. К концу лептонной эпохи все электрон-позитронные и
нейтрино-антинейтринные пары проаннигилировали (ранее нуклонантинуклонные, за исключением небольшого остатка), образовав, как и
проаннигилировавшие ранее нуклоны и антинуклоны, фотоны. Остаток
электронов был, так как заряд протонов должен был быть по закону
сохранения заряда скомпенсирован: в исходном состоянии Вселенная
нейтральна. Отсюда число оставшихся электронов равно числу
протонов.
К концу лептонной эпохи нейтрино практически прекращают
взаимодействовать с веществом системы и отделяются от вещества. При
дальнейшем расширении Вселенной температура нейтринного газа
понижается и, по оценкам, в современную эпоху равна приблизительно
2 K.
t=
Удельная энергия связи ядра 21 H дейтерия 1,1 МэВ/нуклон, а
гелия 42 He →7,1 МэВ/нуклон. Оцените температуру Вселенной и
момент времени после Большого Взрыва, при которой ядра не
разрушаются фотонами при расширении Вселенной.
Решение. Если образуется система частиц (составная
микрочастица − например, ядро), то она не разрушается при
выполнении условия Eсв > kT ≈ ℏω , где Eсв − удельная энергия связи
системы частиц, ℏω − энергия фотона.
Если же Eсв< kT ≈ ℏω , то фотон разрушает такую систему. При
расширении Вселенной температура Вселенной уменьшалась и
уменьшалась энергия γ-квантов.
33
Очевидно, что для оценки температуры появления устойчивых
ядер следует использовать соотношение
εсв ≥ ( ℏω = kT).
(1)
Отсюда, температура, соответствующая началу образования ядер
дейтерия,
ε
T ≤ св ≤ 1,5 ⋅ 1010 K,
k
ε
и ядер гелия T ≤ св ≤ 6,5 ⋅ 1010 K.
k
1020
t = 2 ≈ 1c.
T
Таким образом, через 1 с T ≈ 1010 K), то есть в конце лептонной
эпохи, возникают условия для образования ядер (процесс образования
ядер в ранней Вселенной называют первичным нуклеосинтезом).
Вселенная достаточно остыла, чтобы столкнувшиеся протон и нейтрон
соединились, образовав ядро дейтерия 21 H. Столкновение ядер дейтерия
приводило к образованию ядер гелия, например, по цепочке:
+
1
1
2
(2)
1 H + 1 H → 1 H + e + ve .
2
1
3
(3)
1 H + 1 H → 2 He + γ.
3
3
4
1
(4)
2 He + 2 He → 2 He + 2 1 H + γ .
5
Этот процесс продолжался (см. ниже) в течение 10 лет, пока не
создались условия для образования атомов. Более тяжелые ядра
образовались позднее в результате ядерных реакций в звездах (этот
процесс
в
отличие
от
первичного
называют
вторичным
нуклеосинтезом).
Свободный нейтрон распадается за t = 15 мин.(900 с) по схеме:
n → p + e− + vɶe .
(5)
с образованием протонов, которые далее не распадались, иначе бы
нарушился закон сохранения барионного заряда.
Поскольку свободные нейтроны, не успевшие вступить в реакцию
ядерного синтеза, распадались с образованием протонов, то возник
излишек протонов по отношению к нейтронам; протонам не хватало
нейтронов для образования ядер гелия: ядро водорода состоит из
протона, а ядро гелия из двух протонов и двух нейтронов.
Излишек протонов остался в виде ядер водорода, с чем и связано
наблюдаемое соотношение по массе между водородом (~30 %) и гелием
(~70 %) во Вселенной, что и является вторым после реликтового
излучения главным подтверждением теории горячей Вселенной.
34
Энергия связи атома водорода 13,6 эВ, а атома гелия 24,6 эВ.
Оцените пороговую температуру Вселенной и момент времени
после Большого Взрыва, при которой атомы не разрушаются
фотонами.
Решение. Используя аналогичные рассуждения, что и при
решении предыдущей задачи, найдем:
Пороговая температура, соответствующая образованию атома
ε
ε
дейтерия: T ≤ св ≤ 105 K и атома гелия: T ≤ св ≤ 2,8 ⋅ 105 K.
k
k
В литературе интенсивное образование атомов дейтерия и гелия
обычно относят к температуре 3000 K [12].
Как и выше, такие отступления от пороговой температуры
объясняется, тем, что температура определяет только среднюю энергию
фотонов и в интервале от 105 K до 3000 K доля высокоэнергетичных
фотонов еще достаточна для разрушения атомов. Только при
понижении температуры до 3000 K их доля становится настолько
малой, что фотоны уже не могут разрушать и интенсивно поглощаться
атомами, так что при дальнейшем расширении число фотонов
практически не менялось (реликтовое излучение). Соответствующая
нижняя граница временного интервала:
1020
t = 2 ≈ 6 ⋅1012 c ≈300000 лет.
T
Стадию образования атомов обычно называют эпохой
рекомбинации.
Принято считать, что при температуре 3000 K излучение
отделяется от вещества, продолжая остывать (реликтовое излучение).
До этого «пробег» фотонов с большой средней энергией из-за
интенсивного взаимодействия с частицами вещества, а затем и атомами,
был настолько мал, что фотоны были «привязаны» к материи и
Вселенная не светилась, то есть была невидимой.
4.5. Реликтовое излучение. Как указывалось выше, при
расширении Вселенной температура понижалась и примерно при
температуре 3000 K (t = 300000 лет) вещество переходит в следующую
стадию – из состояния плазмы в состояние нейтрального газа (эпоху
рекомбинации). Как равновесные (0,3 эВ), так и высокоэнергетичные
фотоны при T < 3000 K уже не могут ионизовать атомы водорода и
гелия, так как их энергия оказывается меньше энергии ионизации этих
атомов.
35
Фотонный газ в конце эпохи рекомбинации перестает находиться
в состоянии термодинамического равновесия с веществом и прекращает
с ним взаимодействовать (переходить в вещество) − происходит
отделение излучения от вещества. Вещество, то есть атомы водорода,
дейтерия и гелия, становится прозрачными для излучения. Вселенная
охладилась настолько, что излучение перестало рождать новые частицы
Общее число частиц и фотонов в дальнейшем не изменялось. По
гипотезе Гамова, выдвинутой в 1948 г., по мере расширения Вселенной
вследствие красного смещения область максимума излучения должна
смещаться в область более длинных волн, а температура понижаться.
Ориентировочно температура в современную эпоху, по оценке Гамова,
должна была быть примерно 3 K.
Оно было открыто только спустя почти 20 лет. Интересна история
его открытия. Обнаружить его было сложно из-за фона звезд и поэтому
его долго не искали. Но в 60-е годы американский радиофизик Дикке
начал целенаправленно готовиться к проверке этой гипотезы. Поэтому,
когда в 1964 г. американские радиоинженеры, не слыхавшие о теории
Гамова, А. Пензиас и Р. Уилсон при испытании рупорной антенны для
наблюдения американского спутника «Эхо» случайно обнаружили
существование микроволнового космического радиошума, не
зависящего от направления антенны, это открытие сразу же попало в
центр внимания американских астрофизиков — космологов Дикке,
Пиблса и др. Последние сразу поняли, что речь идет о предсказанном
группой Гамова первичном остаточном радиоизлучении, и что теория
горячей
Вселенной
получила
решающее
наблюдательное
подтверждение. Последующие наблюдения подтвердили этот вывод:
излучение носит характер некоторого фона, приходит со всех
направлений во Вселенной, так что заполняет все пространство, и в
высшей степени однородно: с точностью до тысячных долей процента
его интенсивность постоянна по всему небу и изотропно c точностью
10-5.
Распределение интенсивности этого излучения, названного
реликтовым, по длинам волн описывается планковской функцией, то
есть оно является тепловым равновесным излучением с λ max ≈ 1,5мм и
подчиняется всем законам излучения абсолютно черного тела.
Используя закон смещения Вина
b
λ max = ,
T
где b – постоянная Вина, равная 2,9·10-3 м·K, легко определить, что
температура излучения на современном этапе равна T =2,725 K − ниже
36
температуры жидкого гелия (энергия фотона 2·10-4 эВ). Поскольку
спектр реликтового излучения совпадает со спектром излучения
абсолютно черного тела, а в течение длительного периода оно ни с чем
не взаимодействовало, то излучение, от которого оно произошло в
ранней Вселенной, могло сформироваться, если оно находилось в
состоянии термодинамического равновесия с веществом. Термин
«реликтовое» был предложен И.С. Шкловским, т.к. это излучение
представляет собой реликт, остаток от ранней стадии эволюции
Вселенной. В англоязычной литературе его обычно называют cosmic
microwave background (CMB) – космический микроволновый фон.
Концентрация реликтовых фотонов. Максимум реликтового
излучения, по современным данным, приходится на температуру 2,725
K. Оцените концентрацию реликтовых фотонов.
Решение. Концентрацию фотонов реликтового излучения во
Вселенной можно определить по формуле
u
nри = ри ,
(1)
ε
где uT−объемная плотность энергии реликтового излучения при
температуре T, ε = ℏ ω − средняя энергия фотона реликтового
излучения.
Спектр реликтового излучения совпадает с спектром теплового
излучения абсолютно черного тела. Объемная плотность u (ω, T )
энергии теплового излучения как функция частоты ω и температуры T
определяется формулой Планка
ℏω3
1
u (ω, T ) = 2 3 ⋅ hω kT
.
(2)
πc e
−1
Средняя циклическая частота ⟨ ω⟩ определяется как средняя
циклическая частота, приходящаяся на один фотон. Поэтому для ее
нахождения необходимо сумму всех значений циклической частоты ω,
приходящихся на интервал значений 0 < ω < ∞, разделить на число
фотонов в интервале значений частоты 0 < ω < ∞, то есть средняя
циклическая частота ⟨ ω⟩ в спектре теплового излучения определяется
как
37
∞
⟨ω⟩ =
∫ ωd ( n(ω) )
0
∞
.
∫ d ( n(ω) )
(3)
0
Обозначим в (2) x = ħω/kT, учтем, что dx = ħdω/kT, и, используя
∞
∞
x3dx
π4
x 2 dx
dx =
dx = 2, 405 , преобразуем
табличные интегралы ∫ x
и
e −1
15 ∫0 e x − 1
0
(3) и получим:
∞
⟨ω⟩ =
x3
∫0 e x − 1 dx
∞
x2
∫0 e x − 1 dx
π4
kT
kT
=
⋅
= 2,69
.
15 ⋅ 2,405 ℏ
ℏ
(4)
Тогда средняя энергия фотона ε =2,69 kT. Объемная плотность
теплового излучения определяется формулой
4σT 4
uT =
.
(5)
c
Отсюда
uT
4σT 4
=
≈ 4,1 ⋅ 108 м-3.
nри =
ε
c ⋅ 2,69kT
4.6. Эволюция плотности излучения. В теории горячей
Вселенной установлено, что в ранней Вселенной доминировало
излучение, то есть Вселенная состояла преимущественно из фотонов.
Учитывая это обстоятельство, получите зависимость объемной
плотности излучения в зависимости от радиуса Вселенной. Оцените
давление реликтового излучения.
Указание: Предварительно получите уравнение состояния
фотонного газа.
Решение.
1) Рассматривая фотонный газ как аналог идеального газа,
запишем уравнение молекулярно-кинетической энергии идеального газа
в форме p = p (u ).
1
1
1
p = mn⟨ υ2 ⟩ = n⟨ mυυ⟩ = n⟨ pυ⟩.
(1)
3
3
3
38
ε
Энергия фотона определяется формулой ε = hv, импульс p = ,
c
где c − скорость света в вакууме.
Воспользовавшись этими соотношениями, уравнение (1) можно
представить в виде
1
1
p = n⟨ ε⟩ = u ,
(2)
3
3
где u − плотность энергии фотонного газа.
2) Запишем первое начало термодинамики для адиабатического
процесса
dQ = 0; dA = − dU .
(3)
Уравнение (3) представим в виде
d (uV ) = − pdV .
(4)
Подставив (2) в (4) и продифференцировав полученное
выражение, получим
4u
dV = −Vdu.
(5)
3
Уравнение (5) представим в виде
4 dV du
−
= .
(6)
3 V
u
Из уравнения (6) после интегрирования и последующего
4
−
4 3
1
потенцирования, учитывая, что V = πR , получим u ~ V 3 ~ 4 .
R
3
Объемная плотность энергии реликтового излучения как
теплового определяется формулой
4σT 4
uT =
.
(7)
c
Подставив (7) в (2), найдем:
4σT 4
p=
≈ 1,3 ⋅ 10−14 Па .
3c
Соотношение между плотностью видимого вещества и
излучения в современную эпоху и в ранней Вселенной. В
современной космологии принято, что надежное определение
усредненной плотности видимого вещества Вселенной выполнено в
60 -е гг. XX столетия на основе астрономических наблюдений
голландским астрономом Я. Оортом (1900−1992). Его результат [4]:
ρвещ = 3·10-31 г/см3 = 3·10-28 кг/м3.
39
заметно меньше критической средней плотности, отвечающей плоской
геометрии Вселенной, при которой расширение происходит
неограниченно долго (E = 0),
3H 2
ρ кр =
≈ 7,9 ⋅ 10−27 кг/м3.
8πG
Оцените отношение концентраций и плотностей энергии
реликтовых фотонов и тяжелых частиц в современную эпоху. Как
изменяется это соотношение в процессе эволюции Вселенной?
Решение. 1) Основная часть вещества во Вселенной − водород.
Поэтому приближенно концентрацию тяжелых частиц оценим, поделив
плотность Оорта на массу ядра атома водорода (протона),
ρ
nвещ =
≈ 0, 2 м -3.
(1)
mp
В предыдущей задаче получено nри ≈ 4,1 ⋅ 108 м-3. следовательно,
искомое отношение:
n
χ = ри ≈ 2·109.
nвещ
Таким образом, число реликтовых фотонов примерно в миллиард
больше, чем число тяжелых частиц.
2) Согласно результатам предыдущей задачи, средняя энергия
фотона реликтового излучения ℏ ω = 2,69kT . Следовательно,
плотность энергии реликтового фона
u ри = ℏ ω nри ≈ 2, 69 kT nри ≈ 2·104 эВ·м-3.
Плотность энергии вещества u
Отсюда
u
u
вещ
вещ
≈ ρ ⋅ c 2 ≈ 1,6·107 эВ.
≈ 103 , то есть по энергии (и, следовательно, по
ри
массе) плотность вещества в современную эпоху примерно в тысячу раз
больше, хотя по концентрации число частиц примерно в миллиард раз
меньше, чем фотонов.
Теперь посмотрим, как изменялись эти величины в процессе
эволюции Вселенной.
После отделения излучения от вещества ни фотоны, ни частицы
не рождались и не исчезали. Поэтому при экстраполяции к эпохе
рекомбинации концентрации фотонов и частиц возрастали по
одинаковому закону
40
1
.
(2)
R3
и их отношение оставалось неизменным: один протон на миллиард
фотонов. Но плотность энергии вещества и излучения при уменьшении
R изменяются по-разному.
Объемная плотность энергии частиц изменяется по закону
1
uвещ = mH c 2 nH ~ 3 .
R
В предыдущей задаче показано, что плотность энергии излучения
1
u~ 4.
R
Отсюда uри убывает при расширении быстрее, чем uвещ .
Современное значение R ≈ 1026 м. Из полученных закономерностей
следует, что плотности энергии вещества и излучения сравнялись при
R0
≈ 1000 , то есть при R = 1023 м. При экстраполяции «назад», если
R
принять, что расширение Вселенной происходило по закону
t
t
R(t ) = R0 ( ) 2 / 3 , равенство плотностей энергии наступает при 0 ≈ 100
t0
t
8
15
или спустя 10 лет (10 с) после расширения от планковского момента.
Легко понять, что при дальнейшей экстраполяции при уменьшении R
плотность энергии излучения начнет превосходить плотность энергии
вещества и приведет к uри >> uвещ 15 в ранней Вселенной.
nвещ = nри ~
Образование галактик. При понижении температуры от 3000 K
(300000 тыс. лет) гравитационное притяжение между молекулами и
атомами начало превосходить их взаимное разбегание за счет теплового
движения. Вследствие флуктуаций, в основном из атомов водорода и
гелия, образуются сгустки газового вещества, которые сжимались под
действием гравитационных сил, формируя облака межзвездного газа,
называемые
протогалактиками,
на
основе
которых
стали
образовываться звезды и звездные скопления – галактики, затем
скопления галактик, образовав в конечном счете современную
крупномасштабную структуру Вселенной (так называют структуру
распределения материи на самых больших наблюдаемых масштабах).
Этот этап (3·106 лет – настоящее время). Изначальные флуктуации
15
Состояние материи, когда излучение играло преобладающую роль, называется радиационнодетерменированной плазмой (РДП).
41
плотности оставили «отпечаток» в реликтовом излучении, которые
сейчас проявляются в виде очень небольшой анизотропии
(неоднородности) в наблюдаемом угловом распределении реликтового
излучения,
которые
детектируется
современными
высокочувствительными космическими телескопами (подробнее в
разделе 3).
4.7. Модель Фридмана и квантовая теория гравитации.
Подводя предварительные итоги, можно заключить, что известные
теоретические представления и наблюдательные факты не противоречат
теории горячей Вселенной, которая хорошо описывает эволюцию
Вселенной на всем ее протяжении, кроме первых мгновений. Во всяком
случае само существование в прошлом плотной горячей фазы, а тем
самым и «Большого взрыва» в физическом понимании этого термина и
последующее расширение Вселенной, считается в космологии
достаточно надежно установленным фактом.
Но теория Большого Взрыва не решает все вопросы. Так в работах
А. Линде [21–22] − автора самой популярной в инфляционной
космологии хаотической модели раздувания Вселенной указывается
более десятка проблемных вопросов. Серьезной космологической
проблемой,
например,
является
проблема
космологической
сингулярности. Английский физик Стивен Хокинг определяет
сингулярность как «место, где разрушается классическая концепция
пространства и времени так же, как и все известные законы физики,
поскольку все они формулируются на основе классического
пространства-времени». В рамках ОТО, согласно расчетам С. Хокинга и
Р. Пенроуза (конец 60-х гг.), освободиться от сингулярности не
представляется возможным, а законы классической физики, естественно
и ОТО, не могут описывать это состояние и дать ответ на вопрос, что же
представлял Большой Взрыв.
Обобщая современные данные, В. Гинзбург отмечает в [19], что
квантово-гравитационные эффекты необходимо учитывать повидимому,
лишь при t ≤ t p . С этим обстоятельством связано, что в современной
космологической модели, основанной на неквантовой ОТО, как
указывалось выше, «возраст Вселенной» и отсчитывается от
планковского момента tp ≈ 10-43 с (соответствующий линейный размер
l p = 1,6 ⋅ 10−35 м , плотность 5 ⋅ 1096 кг/м3 ).
Принято считать, что при такой гигантской плотности гравитация
Ньютона и Эйнштейна теряет смысл и становится сугубо квантовым
явлением. В этом случае пространство и время также перестают быть
42
непрерывными, а становятся «квантованными», дискретными. Для
описания состояния вблизи сингулярности, где искривления
пространства-времени очень велики, требуется квантовая теория
гравитации. В рамках квантовой теории гравитации не было бы
необходимости постулировать новые законы для сингулярностей,
потому что в квантовой теории не должно быть в соответствии с
принципом неопределенности никаких сингулярностей: квантовые
эффекты не допускают «строгих» точек нулевого размера [11].
Очевидно, что только на основе квантовой теории гравитации возможно
построение непротиворечивой модели. Но квантовая теория гравитации
еще не создана. Теоретики пытаются решить эту задачу с начала 1930-х
годов, когда был сделан первый шаг к синтезу двух фундаментальных
теорий физики − квантовой механики и общей теории
относительности16. Создание квантовой теории гравитации и,
естественно, квантовой космологии − одна из основных и проблемных
задач современной физики и естествознания. Это очень сложная задача.
Например, такой признанный авторитет, как один из создателей теории
электрослабого взаимодействия, объединившей электромагнитное и
слабое взаимодействия, нобелевский лауреат С. Вайнберг, полагает, что
только для создания математического аппарата такой теории
понадобится столетие или два.
Подробное изложение содержания и перспектив создания
квантовой теории гравитации и особенностях применения этой
теории в космологии представлено в [4, c. 227 − 235].
5. Инфляционная модель расширения Вселенной
5.1. Проблемы фридмановской космологии. Раздувание
Вселенной. Как уже отмечалось, разночтения определения возраста
Вселенной породило в 30-е годы скептическое отношение к
фридмановской модели. Но после уточнения значения постоянной
Хаббла и снятия этого противоречия, и последующего подтверждения
этой модели теорией горячей Вселенной, произошел очередной поворот
в общественном мнении, когда фридмановская модель, будем говорить
теория Большого Взрыва, была канонизирована и чуть ли не объявлена
истиной в последней инстанции (60-е годы XX века). Но позднее (70-е
годы XX века), после накопления наблюдательных фактов оказалось,
что первые мгновения не объясняются в теории Большого Взрыва.
16
Этот шаг был сделан советским физиком М. Бронштейном (1906−1938) в 30-х годах прошлого
столетия, доказавшим, что должен существовать переносчик гравитационного взаимодействия −
гравитон. К сожалению, он погиб совсем молодым в годы сталинских репрессий.
43
Классический сценарий Большого взрыва не объяснял многие
наблюдательные факты. Теория Фридмана наряду с нерешенной
проблемой сингулярности, о чем говорилось выше, не отвечала на ряд
вопросов (более десятка [21, 22]), из которых самые главные − проблема
причинности (проблема горизонта17) и проблема нулевой кривизны
(проблема евклидовой геометрии Вселенной).
Проблему горизонта можно охарактеризовать на следующем
примере: точки, из которых регистрируется реликтовое излучение,
разнесены во Вселенной на 30 млрд. световых лет. А температура
излучения одинакова, а это значит, что свойства этих областей также
одинаковы. А в фридмановской модели, как мы покажем несколько
ниже, причинная связь между этими точками могла оказаться
невозможной. Возникает вопрос: почему же наша Вселенная так
однородна и изотропна в больших масштабах, несмотря на
невозможность причинных связей между ее удаленными областями?
Причина этого в фридмановской модели непонятна.
Проблема нулевой кривизны или плоскостности заключается в
том, что наблюдательные факты показывают, что геометрия Вселенной
евклидова практически на всем протяжении эволюции Вселенной.
Последнее возможно только, как показано выше, если плотность
ρ
Вселенной близка или равна критической ( Ω =
≈ 1 ) на всех этапах
ρкр
эволюции. Причина этого в фридмановской модели также непонятна.
Чтобы обосновать эти и другие неясные в фридмановской модели
факты была, как иногда пишут, «придумана» инфляционная модель
ускоренного по сравнению с моделью Фридмана расширения
(используется термин – раздувание) на ранней стадии Вселенной,
которая, как считают большинство космологов, разрешает эти
парадоксы. На начальном этапе существовал только физический
вакуум, квантовые флуктуации которого приводили к рождению
образований, названных пузырьками, единственным содержимым
которых было некое гипотетическое квантовое скалярное поле,
называемое инфлантоном. Это состояние называют пространственновременной пеной. Из этого состояния, названного по аналогии с
пузырьками на поверхности кипящей воды, и родилась наша Вселенная.
17
Космологический горизонт − граница наблюдаемой Вселенной. Теоретически, граница
наблюдаемой Вселенной доходит до самой космологической сингулярности, однако на практике
границей наблюдений является реликтовое излучение. В то же время по мере хода времени
наблюдаемая поверхность последнего рассеяния увеличивается в размерах, так что граница
наблюдаемой Вселенной растет.
44
Параметры скалярного поля, например, потенциал, которым его по
аналогии, например с электростатическим, можно функционально
описать, принимая случайные значения, сильно менялись из-за
квантовых флуктуаций. Предполагается, что в результате квантовых
флуктуаций происходил резкий скачок потенциала поля в одном из
пузырьков, действие которого привело к стремительному расширению
пузырька, который и стал зародышем нашей Вселенной. Расширение
происходило не по степенному закону Фридмана на этой стадии
эволюции: R ~ t 1/ 2 с отрицательным ускорением (уравнение
состояния: p= u/3, где u – объемная плотность энергии), а по
экспоненциальному (деситтеровскому): R ~ exp( Ht ) с положительным
ускорением. Такой закон расширения обеспечивался свойствами этого
скалярного поля. Уравнение состояния такого поля необычно18: p = −u ,
где u = const. Как показано в квантовой физике, энергия вакуума
складывается из неуничтожимых нулевых колебаний полей (нулевой
квант ℏω/2 ). Поэтому объемная плотность энергии вакуума или
инфлантонного поля при адиабатическом расширении и оставалась
постоянной. Из уравнения состояния следует, что скалярное поле
характеризуется отрицательным давлением. Обычное положительное
давление направлено наружу, а гравитационный эффект вовнутрь.
Гравитационное же отрицательное давление этого поля действует от
центра к поверхности и поэтому гравитационная сила меняет знак на
противоположный обычному и обеспечивает аналогично Λ -члену
антигравитацию − ускоренное расширение. Ускоренное расширение
происходило в течение очень короткого интервала времени: с
планковского момента 10-43 с примерно по 10-36 с [11] и сопровождалось
уменьшением потенциала. При подходе к минимуму скалярное поле
быстро осциллировало, рождая элементарные частицы. Считают, так
как точно указать, какие были частицы на этой стадии невозможно, что
к концу инфляционной стадии Вселенная наполнилась горячей плазмой,
состоящей из свободных кварков, глюонов, лептонов и γ -квантов.
Полагают, что на этой стадии появились также и еще не открытые, но,
скорее всего, существующие частицы темной материи. Реальных частиц
во Вселенной до этого момента не было. Родившиеся частицы
сталкиваются и взаимодействуют друг с другом, и устанавливается
состояние термодинамического равновесия при высокой температуре,
равной примерно 1029К [16]. Гравитационное отталкивание,
18
Например, уравнение состояния идеального газа: p=nkT = u, то есть давление и объемная
плотность имеют одинаковый знак в соответствии с законом равномерного распределения энергии
по степеням свободы.
45
свойственное вакуумноподобному состоянию, исчезает и сменяется
обычной гравитацией, которая замедляет расширение. Вселенная
начинает расширяться по законам фридмановской модели, а физические
процессы развиваются согласно теории горячей Вселенной. Таким
образом, под действием отрицательного давления в физическом
вакууме инфляция организует взрыв «пустого» пространства и играет
роль Большого Взрыва. Говорят, что инфляционное раздувание задает
начальные условия стандартной космологической модели горячей
Вселенной.
Большой вклад в построение инфляционной космологии внесли
наши соотечественники. Поэтому приведем небольшой исторический
обзор. Впервые идея ускоренного расширения Вселенной на ранней
стадии для коррекции фридмановской теории была выдвинута в
середине 1960-х гг. Э. Б. Глиннером (СССР), ныне проживающим в
США. Он предположил, что все вещество во Вселенной возникло из
флуктуаций космического (физического) вакуума, в связи с чем на
ранней стадии динамика расширения Вселенной целиком определялась
космологической постоянной ( Λ -членом). Изначально выделялись три
варианта. Первый вариант раздувания был рассмотрен А.А.
Старобинским (СССР, р. 1948) в 1979 г., затем последовательно
появились три сценария раздувающейся Вселенной: в 1981 г. сценарий
А. Гута (США, р. 1947), так называемый новый сценарий,
предложенный в 1982 г. А.Д. Линде (СССР − с 1990 г. профессор
Стэнфордского университета в США, р. 1948), А. Альбрехтом (США) и
П.Дж. Стейнхардтом (США), и, наконец модифицированная
получившая наибольшее признание в космологии модель раздувания,
получившая название: сценарий хаотического раздувания (А.Д. Линде,
1986). Инфлантон функционально можно задать очень многими
способами (функциями потенциала) и в настоящее время существует не
менее 30 вариантов инфляционной модели, детали которых отличны
друг от друга и все они являются причиной споров и дискуссий [11]. Но
еще раз повторим, что общим для всех них является наличие процесса
экспоненциального расширения Вселенной, запущенного скалярным
квантовым полем, на самых ранних стадиях эволюции Вселенной.
5.2. Проблема горизонта (причинности). Принимая, что
расширение Вселенной происходит по модели Фридмана, оцените при
экстраполяции «назад» размер Вселенной в планковский момент и
покажите, что имеет место нарушение принципа причинности. Как этот
вопрос решается в инфляционной модели? Принять R0 = 1026 м, t0 = 1017
с.
46
Решение. В модели Фридмана расширение Вселенной от этапа
рекомбинации (t ≈ 3·105 лет = 1013 с) до современной эпохи (R0 =1026 м,
t0 = 1017 c) происходит по закону R (t) ~ t 2 / 3 . Тогда в эпоху
рекомбинации расстояние между двумя точками, находящимися в
современную эпоху на расстоянии R0 =1026 м,
t
R = R0 ( ) 2 / 3 ≈ 1023 м .
t0
По фридмановской модели расширение Вселенной от
планковского момента (tр = 10-43 с) до эпохи рекомбинаций (t ≈ 106
лет = 1013 с) происходит по закону R (t) ~ t 1/ 2 . Тогда соответствующее
расстояние в планковский момент:
t
R p = R ( p )1/ 2 ≈ 10−5 м .
t
Две точки находятся в причинной связи, если какое-то событие,
происходящее в некоторой точке в некоторый момент времени, может
повлиять на отличную от него точку в пространстве и времени, то эти
точки находятся в причинной связи. Размер причинно-связанной
области в планковскую эпоху определяется расстоянием, которое
проходит свет за планковское время,
Lp = ct p = 3 ⋅10−35 м .
Число областей в планковский момент, причинная связь между
которыми отсутствовала и которые не могли обменяться энергией,
импульсом и вообще информацией, найдем, поделив соответствующие
объемы, и получим примерно 1060 ≈ e140 таких областей.
Заметим, что обычно оценку числа таких областей находят более
приближенно, например, в книге Я.Б. Зельдовича и соавторов [12],
предполагается, что расширение до планковского момента происходило
по закону R (t) ~ t 1/ 2 . Тогда соответствующее расстояние между двумя
точками в планковский момент:
t
R p = R0 ( p )1/ 2 ≈ 10−4 м .
t
Тогда, поделив соответствующие объемы, и получим примерно
30
10 ≈ e70 таких областей, что и приводится в [6, 12].
Изучение реликтового излучения показывает, что в момент ≈ 105
лет, когда излучение отделилось от вещества, Вселенная была с
высочайшей степенью точности однородной и изотропной. Поэтому,
чтобы обосновать однородность и изотропность пространства в рамках
фридмановской модели по существу без всяких оснований
постулируется, что в этих областях существовали одинаковые
47
начальные условия. Чтобы выйти из этого тупика, нужно было
придумать какой-то процесс, который бы выровнял изначально
свойства различных областей. Этим процессом в инфляционной модели
является экспоненциальное расширение. В инфляционной модели
принимается, что эволюция отдельных областей происходит
независимо. Некоторые распадаются и гибнут или возвращаются в
исходное состояние, а одна из них стала расширяться и породила нашу
Вселенную. В этой избранной области при расстоянии L p , например,
две свободные частицы могут обмениваться световыми сигналами, и
весь наблюдаемый объём Вселенной оказывается результатом быстрого
расширения
малой
изначально
причинно-связанной
области
доинфляционной эпохи: далекие точки в начале инфляционной эпохи
находились совсем рядом внутри объема с планковским размером 10-35
м, то есть практически совпадали и могли многократно обмениваться
информацией.
В принципе, для решения проблемы горизонта нужно, чтобы
экспоненциальное расширение происходило из одной области и к
началу фридмановской стадии, по нашим расчетам, требуется, чтобы
размер области превосходил планковский размер по меньшей мере в
1060 ≈ e140 раз. В соответствии с деситтеровским законом R ~ exp( Ht )
тогда требуется, чтобы инфляция продолжалась 140H-1-планковских
времен, по общепринятым литературным данным [6, 12, 21], 70H-1планковских времен. За это время размер Вселенной вырастет
соответственно до 10−5 м и 10−4 м что достаточно для решения
проблемы горизонта, обеспечивая необходимые условия для
дальнейшего расширения по фридмановской модели.
5.3. Проблема плоскостности (евклидовости). Инфляционная
модель раздувания Вселенной относится к классу моделей де Ситтера.
Используя деситтеровский закон расширения пустой Вселенной
R = R0 exp( Λ/3 ⋅ ct ) , выразите деситтеровский закон через постоянную
Хаббла и определите критическую плотность Вселенной в конце
инфляционного этапа. Учесть, что плотность космического вакуума в
Λc 2
[5 – 7].
ОТО определяется формулой ρV =
8πG
Решение.
Запишем
деситтеровский
раздувающейся Вселенной
R = R0 exp( Λ/3 ⋅ ct ).
48
закон
расширения
(1)
Продифференцировав выражение (1) по времени, найдем выражение
для скорости расширения
(2)
υ = Λ/3 ⋅ cR0 exp( Λ/3 ⋅ ct ) .
Из (1), выразим R0 = R / exp( Λ/3 ⋅ ct ) и, подставив в (2), получим
υ=
Λ/3 ⋅ cR .
(3)
По закону Хаббла
υ =HR .
(4)
Из уравнений (3) и (4) постоянная Хаббла в эпоху инфляции
H = Λ/3 ⋅ c .
(5)
Учитывая (5), выразим закон расширения через постоянную Хаббла
(6)
R = R0 exp( Ht ).
При таком законе расширения ускорение разбегания частиц друг от
друга
d 2R
(7)
a = 2 = R0 H 2 exp( Ht ) > 0.
dt
Для сравнения по Фридману, как указывалось выше, закон
расширения на этом этапе до стадии рекомбинации (t ≈ 3·105 лет = 1013
с) степенной: R = Bt 1/ 2 , где постоянная B > 0. Отсюда
d 2R
B
= − t −3 / 2 < 0,
(8)
2
dt
4
что естественно, так как расширение по Фридману должно замедляться
действием сил тяготения.
Плотность вакуумноподобного состояния в ОТО, как указано в
условии задачи, определяется формулой:
Λc 2
ρV =
.
(9)
8πG
Из уравнения (5) следует, что
3H
Λ= 2 .
(10)
c
Подставив (10) в (9), выразим плотность вакуума через постоянную
Хаббла
3H 2
ρV =
.
8πG
Это выражение совпадает с выражением для критической плотности в
современную эпоху (см. 3.1). Отсюда можно принять, что плотность
вакуумноподобного состояния совпадает с критической плотностью для
эпохи инфляции.
a=
49
Во всех предлагаемых инфляционных моделях параметры модели
выбираются такими, чтобы инфляция за короткое время раздула
Вселенную до «пузыря» гигантских размеров с очень большим
радиусом кривизны ( r → ∞ ), обеспечивая Ω ≈ 1 и евклидову геометрию
Вселенной. Когда в конце стадии раздувания, согласно инфляционной
модели, вакуумноподобное состояние превращается в обычную
материю, плотность ρV переходит в плотность материи ρ и поэтому не
удивительно, что эта плотность, равная ρV , равна критической и для
начального этапа послеинфляционной эпохи имеем:
ρ
=
ρV
=
ρкр .
Как отмечает А.Д. Линде [21, 22], расчеты показывают, что для
того чтобы современный радиус Вселенной превышал 1026 м, нужно,
чтобы в планковский момент выполнялось соотношение
ρ -ρкр
≤ 10−59 ,
ρ кр
то есть на ранней стадии эволюции плотность должна была совпадать с
критической с фантастической точностью. Отличие на 10-55 ρ кр при
превышении привело бы к коллапсу, а при понижении к исчезающе
малой плотности и невозможности возникновения жизни.
Проблема плоcкостности также, как и проблема горизонта,
решается, если инфляция длится 70H-1- планковских времен [21]. Но в
предлагаемых моделях масштаб раздувания, как правило, значительно
больше.
В зависимости от выбранной модели (формы потенциала
скалярного поля) у разных авторов масштаб раздувания различается на
порядки. В наиболее авторитетной хаотической модели Линде: е Н ∆t ~
10800 ≈ e1840, так что после расширения Вселенная превратилась из
микроскопического объема в объем c радиусом кривизны r → ∞,
многократно превышающий всю наблюдаемую часть Вселенной (1026
м). Вся наблюдаемая часть Вселенной на стадии инфляции находилась
внутри одного пузырька. В этом случае экспоненциальное расширение
распространяет однородность и изотропность изначального пузырька на
всю наблюдаемую часть Вселенной. В упомянутой модели Линде Ht ≈
1840, время инфляционного этапа t = 10-37 c и H = 1040 с-1. Согласно,
например [23], инфляция имела место между 10-43 и 10-36 с при 1042 с-1 >
H > 1036 c1, то есть постоянная Хаббла на этапе инфляции на многие
порядки превосходило ее современное значение, равное, как
указывалось ранее, примерно 2,1·1018 c-1. При указанных значениях
постоянной Хаббла критическая плотность в инфляционную эпоху:
50
1094 кг/м3 > ρV >1083 кг/м3
принимает значение, близкое к планковскому значению плотности,
равному 5·1096 кг/м3.
Такая гигантская плотность не изменялась при увеличении
объема. Не следует забывать, что по формуле Эйнштейна масса и
энергия связаны соотношением E = mc 2 . Поэтому в конце стадии
инфляции при переходе энергии вакуумноподобного состояния в
обычную горячую материю в громадном объеме, превышающем объем
наблюдаемой части Вселенной, и могло родиться гигантское число
барионов, определяемое, по литературным данным, ≈ 1080.
Обоснование наличия большого числа частиц во Вселенной также
было проблемой в стандартной космологической модели: как
отмечается в литературе, если не предполагать стадии инфляции, то в
начальном состоянии Вселенная размером 10-35 м могла содержать
максимум один кварк.
5.4. Проблема возникновения Вселенной «из ничего». На
первый взгляд, в инфляционной модели Вселенная по существу
рождается из вакуума, то есть как бы «из ничего». Можно показать,
принимая за нуль исходную энергию Вселенной, что этот процесс не
противоречит закону сохранения энергии.
Используя связь между объемной плотностью энергии
вакуума и давлением ( P = −u ) показать, что на стадии инфляции
при рождении Вселенной «из ничего» закон сохранения энергии не
нарушался. Принять, что процесс расширения носит равновесный
обратимый характер.
Решение. Будем рассматривать Вселенную как изолированную
систему. При адиабатном расширении энтропия изолированной
системы не изменяется. Следовательно, для элемента объема dS = 0.
dS = −dU = −[d (uV ) +PdV ] = 0 ,
(1 )
то есть изменение энергии в элементе объема компенсируется работой
сил давления. Тогда можно говорить, что при увеличении объема
увеличивалась энергия и на первый взгляд имело место нарушение
закона сохранения энергии и рождение Вселенной «из ничего».
Так как P = −u и u = const то изменение энтропии элемента dV,
dS = dU = Vdu + udV − udV = 0 .
(2 )
Так как dU = 0 , то U =const, и, следовательно, полная энергия
системы при увеличении объема не изменяется. Таким образом,
51
увеличение энергии поля компенсируется работой, обусловленной
отрицательным давлением, и исходное нулевое значение полной
энергии сохраняется – то есть закон сохранения энергии не нарушается.
Приводится и другое объяснение [6]. При сохранении плотности
гипотетического поля энергия растет и, следовательно, по формуле
Эйнштейна E=mc2 растет масса. Энергия вещества положительна. Но
рост положительной энергии, как показывают расчеты, точно
компенсируется
отрицательной
потенциальной
энергией
гравитационного поля, порождаемого этим гипотетическим полем, и
полная энергия системы, равная нулю, остается постоянной.
Следовательно, закон сохранения энергии не нарушается.
5.5. Проблема образования галактик. Об этом процессе уже
говорили в 4.5. Здесь более подробно. Инфляционная модель также
объясняет природу малых возмущений, приводящих впоследствии к
образованию крупномасштабной структуры Вселенной.
Распад вакуумноподобного состояния − это квантовый процесс, и
возникновение неоднородностей плотности объясняется обычными
квантовыми флуктуациями неизбежными для такого рода процессов,
таких например как радиоактивный распад. Вакуумные квантовые
флуктуации, которые обычно проявляются только в микроскопических
масштабах,
в
экспоненциально
расширяющейся
Вселенной
увеличивают свою длину и амплитуду по экспоненциальному закону,
как показано выше, в гигантское число раз и становятся космологически
значимыми. Из этих «затравочных» неоднородностей вследствие
гравитационной
неустойчивости
(действия
сил
притяжения)
образовались газовые туманности, из которых позднее возникли звезды,
галактики, скопления галактик – и образовалась крупномасштабная
структура Вселенной. Поэтому можно говорить, что скопления галактик
и сами галактики являются макроскопическими проявлениями
квантовых флуктуаций
Эти случайные флуктуации должны были привести при
образовании горячей материи к отклонению температуры фотонов от
средней. Возникали случайные флуктуации в разных местах не
одновременно. Поэтому они должны были привести к угловой
неоднородности в реликтовом излучении. Определить эти флуктуации
можно по длине волны реликтовых фотонов. Например, при сгущениях
с повышенной плотностью фотону приходилось выходить из
гравитационной потенциальной ямы и, следовательно, длина волны и
соответствующая температура реликтового излучения должна была
быть меньше средней. Инфляционные модели рассматривают и другие
52
причины вариаций реликтового излучения [10]. Эта разница очень мала
и не превышает 0,01 % и тем не менее современные методы
исследования неоднородностей реликтового излучения позволяют ее
измерить. Наблюдательные данные, полученные в 2000-е гг. (2001 −
2010 ) космическим аппаратом WMAP, совпали с теоретическими
расчетами «следов», которые должны были оставить колебания
физического вакуума, и подтвердили инфляционный сценарий.
5.6. Мета и минивселенные. Сингулярность в инфляционной
космологии. Из инфляционной модели вытекают также еще два очень
важных следствия, коренным образом изменяющих представления о
Вселенной на концептуальном уровне [20].
Изначально в разных точках инфляционного поля плотность
энергии была разной. Это распределение было хаотически однородным.
В области, где плотность была мала, инфляция не начиналась. В тех же
областях, где плотность была велика, порождались «пузырьки», из
которых могут вырасти разные вселенные. Так возникла Большая
Вселенная,
которую
иначе
называют
Метавселенной
или
Мультивселенной. Для областей масштаба Метагалактики предложен
термин «минивселенные». Одна из областей превратилась в
современную наблюдаемую Вселенную. Следовательно, нельзя считать,
что наша Метагалактика и есть вся Вселенная и 1010 лет – это возраст не
всей, а только нашей минивселенной. Подобно тому, как наша
Галактика — одна из миллиардов известных нам сегодня галактик, так и
наша Вселенная — одна из множества совершенно не известных нам
других вселенных. При этом в разных областях начальные условия
распределены хаотично и отличаются друг от друга. Следовательно, в
минивселенных могут работать различные физические законы, то есть
постинфляционные вселенные не копируют друг друга и в них как
вследствие хаотических начальных условий в ранней Вселенной могут
быть отличны свойства элементарных частиц и даже размерности.
Очевидно, квантовые флуктуации вакуума происходят бесконечно.
Тогда Метавселенная как совокупность множества минивселенных,
возникающих из квантовых флуктуаций, бесконечна и не имеет ни
начала и конца во времени. Метавселенная может вообще оказаться
стационарной, хотя эволюция входящих в нее минивселенных
описывается теорией Большого Взрыва.
Еще один важный момент: в рамках инфляционной модели не
обязательно представление, что вся Вселенная возникла много млрд. лет
из сингулярного состояния. Теорема Хокинга − Пенроуза о
неизбежности сингулярности на инфляционную модель не
53
распространяется. Сингулярность же в этой модели заменяется
квантовой флуктуацией вакуума [21, 22]. Но, как отмечается в [17], в
инфляционной модели расширяющейся Вселенной сингулярность всетаки сохраняется − расширение Вселенной рассматривается, начиная с
момента 10-43 с вблизи сингулярности, но все же «отступив» от нее. Сам
А. Линде подчеркивает [21], что проблему сингулярности в
инфляционной космологии решенной пока считать нельзя.
5.7. Как в космологии воспринимается инфляционная модель.
Завершая этот параграф, видно, что, если инфляционная модель верна,
то многие вопросы, не решаемые фридмановской космологией,
решаются. Но возникает много вопросов. Например, непонятно, какие
физические факторы запустили экспоненциальное расширение и из-за
чего оно закончилось. В литературе встречается больше полусотни
объяснений этого процесса, и до консенсуса, судя по всему, еще далеко.
Ряд авторитетных астрофизиков (Дж. Пенроуз, Дж. Стейнхард, Э.
Глиннер, как ни странно, одни из тех, кто дал ход этой модели, к
механизму
инфляционного
расширения
относятся
довольно
скептически и подвергают ее серьезной критике.
Авторы учебника по космологии [6], обращают внимание, что в
модели инфляции производится экстраполяция на много порядков
7
24
величины (в модели Линде даже на порядки порядков, в 1010 −1010
раз ) [22]. Авторы подчеркивают, что в этой области параметров законы
физики могут иметь другой вид и поэтому предполагают, что
существующая инфляционная модель не является окончательной и в
будущем описание процессов в ранней Вселенной может в той или иной
степени измениться. Здесь уместно привести оценку космологов Л.Д.
Ландау, который отмечал, что космологи часто ошибаются, но никогда
не сомневаются.
Интересно мнение нобелевского лауреата по физике В.Л.
Гинзбурга. В одной из своих обзорных статей [19], посвященной
современным проблемам физики, он пишет, что «он должен с
сожалением констатировать, что количественные представления об
инфляции и всю инфляционную модель, я, как следует, не понимаю, тем
более что она подвергается критике». Поэтому в своей обзорной статье
он не стал описывать эту модель, но подчеркнул, что в самом
существовании инфляционного этапа нет оснований сомневаться19, тем
более, что он подтвержден наблюдательными фактами. Существование
19
Авторы всех многочисленных вариантов инфляционной модели принимают, что на начальном
этапе существовало деситтеровское расширение.
54
сверхбыстрого расширения Вселенной на начальной стадии эволюции
Вселенной считается общепринятым. На эту сторону инфляционной
модели у космологов существует единство взглядов.
Другими словами инфляционная теория не является такой же
общепризнанной, как теория Большого взрыва. Как отмечается в [20],
проблема обоснования этой космологической теории и признания в
научном обществе остается пока открытой и вследствие того, что
принятым сейчас идеалам и нормам доказательности знания она не
соответствует (скажем, другие Вселенные принципиально не
наблюдаемы).
В заключение заметим, что, следуя [4], для предсказания того,
каким должно быть начало Вселенной, необходимы законы,
справедливые в начале отсчета времени, а такие законы может дать
только теория, объединяющая квантовую механику и гравитацию.
6. Новые феномены космологии. Судьба Вселенной
6.1. Темная материя. Темная материя относится к пока
непонятным открытым в последние годы феноменам космологии.
Предположения о существовании такого вида материи возникали у
астрономов и в ХIX и в XX веках. Но впервые обоснованный вывод о
существовании темной материи (скрытой массы) сделал по
наблюдениям вращения скоплений галактик швейцарский астроном
Фриц Цвикки в 1933 г. В тот момент идея была встречена скептически,
и только в 1970-х гг. она получает второе рождение и становится
общепринятой.
В упрощенном варианте суть его рассуждений можно
представить следующим образом. Будем рассматривать скорость
вращения отдельных звезд относительно центра спиральной20 галактики
(рис. 6). Ее масса определена традиционным астрономическим
способом, а именно умножением средней массы звезды на число звезд в
галактике.
Если рассматривать центральную область галактики как
сферическую, то по второму закону Ньютона
mM mυ2
G 2 =
,
(1)
R
R
20
Такие галактики состоят из почти сферического утолщения, называемого балджем, окружённого
диском в форме рукавов.
55
где υ−скорость вращения звезды относительно центра галактики.
Отсюда скорость вращения звезды должна зависеть от радиуса
галактики следующим образом:
GM
1
υ(R ) =
~
,
(2)
R
R
где M – тяготеющая масса внутри сферы радиусом R.
Наблюдения обнаружили, что скорость вращения звезды во
внешней части галактики превышает вторую космическую скорость, но
звезда продолжает двигаться по окружности. Отсюда получается, что
звезды движутся с большей скоростью, чем можно было ожидать, если
учитывать только видимое вещество галактики, масса которого найдена
упомянутым выше традиционным способом. Это противоречие может
быть разрешено, если принять, что масса галактики также
увеличивается с увеличением радиуса: M ~ R , то есть масса галактики
должна быть больше, чем дает традиционный астрономический расчет.
Эта дополнительная масса не видима, не
излучает
света,
ни
других
электромагнитных волн, и вообще
практически не взаимодействует с
электромагнитным излучением, а его
присутствие обнаруживается только по
гравитационному
воздействию
на
движение звезды. По предложению
американского космолога М. Тернера,
Рис. 6. Пример спиральной
это вещество, видимо, потому что не
галактики
излучает света, было названо темной
материей. Еще одно важное свидетельство присутствия темной материи
в нашем мире приходит из расчетов, моделирующих процесс
формирования галактик, который начался примерно через 300 тысяч лет
после начала Большого взрыва, когда излучение отделилось от
вещества.
Вследствие
случайных
флуктуаций
возникали
неоднородности (описано ранее в 5.5), которые приводили к очень
небольшой анизотропии − порядка 10-5 углового распределения
реликтового излучения. Поскольку начальные неоднородности
плотности можно установить, наблюдая реликтовое излучение, процесс
образования галактик можно рассчитать и результат сравнить с
наблюдаемым распределением галактик во Вселенной. Этот расчет
согласуется с наблюдениями, только если предположить, что помимо
обычного вещества во Вселенной имеется другой тип вещества —
темная материя. Обычной материи просто недостаточно для
56
образования наблюдаемой крупномасштабной структуры Вселенной.
Так, например, галактики существовали уже спустя миллиард лет и
только барионным веществом их образование объяснить невозможно.
При этом расчеты показывают, что плотность темной материи,
примерно 1,8·10-27 кг/м3 и заметно превосходит плотность обычного
вещества – 3·10-28 кг/м3.
Часто это неустановленное вещество называют также скрытой
массой. Со временем часть скрытой массы удалось обнаружить. В число
таких объектов входят остывшие белые карлики, межгалактический газ,
возможно черные дыры, а также нейтрино. Однако по расчету
теоретиков этих объектов недостаточно и должны существовать еще
какие то неизвестные частицы, образующие темную материю.
В настоящее время принимается гипотеза о небарионном темном
веществе, состоящем из особых пока неизвестных элементарных
частиц, которые взаимодействуют с «обычным» веществом только
гравитационным путем. Какова же природа этих частиц? В зависимости
от скорости частиц различают горячую и холодную тёмную материю.
Горячая тёмная материя состоит из частиц, по-видимому, как раз из
нейтрино, движущихся с околосветовыми скоростями. Но горячей
тёмной материи недостаточно, по современным представлениям, для
формирования галактик. Исследование структуры реликтового
излучения показало, что существовали очень мелкие флуктуации
плотности вещества. Быстро движущаяся горячая тёмная материя не
могла бы сформировать такую тонкую структуру.
Поэтому предполагается существование холодной тёмной
материи, которая должна состоять из массивных медленно движущихся
(и в этом смысле «холодных») частиц или сгустков вещества. Эти
частицы экспериментально не обнаружены. Можно только утверждать,
что холодные частицы темной массы должны быть долгоживущими, не
должны распадаться радиоактивным образом в течение, по меньшей
мере, 14 млрд. лет. Кроме того, многие исследователи считают, что они
оставались холодными даже при Большом взрыве, никак не реагируя на
миллиарды его градусов. Физическая же природа частиц темной массы
непонятна, но предполагается, что их природу можно установить на
основе теории суперсимметрии.
В основе этой теории – теория тождественности фермионов и
бозонов при высоких температурах, то есть когда частицы имеют
сверхвысокие энергии. Такие условия реализовывались в первые доли
секунды после Большого Взрыва. Теория суперсимметрии
предсказывает наряду с протонами, нейтронами, электронами,
фотонами, нейтрино рождение других неизвестных частиц, которые
57
образуют пары с известными частицами: у каждого фермиона есть
парный с
ним бозон
и наоборот.
Чтобы подчеркнуть
суперсимметричность этого сообщества, такие пары назвали
суперпартнерами. В качестве кандидатов на роль холодной тёмной
материи выступают слабо взаимодействующие массивные частицы
WIMP-частицы (Weakly Interactive Massive Particles), такие как аксионы
и суперсимметричные партнёры-фермионы лёгких бозонов — зино,
фотино, гравитино, хигсино, их смешанное состояние − нейтралино,
масса которого примерно в 100 раз больше массы протона и др. В [16]
указывается, что разброс по массе предполагаемых кандидатов на
темную материю различается на 60 порядков. Эти гипотетические
частицы не имеют электрического заряда, так что они не излучают
электромагнитных волн и вообще никак не взаимодействуют со светом
и другими электромагнитными полями и не участвуют в сильных
взаимодействиях. Они могут участвовать только в слабых и
гравитационных взаимодействиях.
Скрытая масса. Солнце обращается вокруг центра Галактики за
220 млн. лет (T = 220·106·365·86400 ≈ 7·1015 с) по орбите радиусом 2
млрд. а. е. (R = 2·109·149,6·109 ≈ 3·1020 м). Подсчет звезд, находящихся к
центру Галактики ближе, чем Солнце, дает оценку их суммарной массы
M = 1011 М ⊗ . Оцените «скрытую» массу внутренних по отношению к
Солнцу областей Галактики.
Решение. Если принять, что Солнце вокруг центра Галактики движется
по окружности, то период обращения
2πR
T=
,
(1)
υ
где υ − линейная скорость движения Солнца.
По закону всемирного тяготения
M ⊗ υ2
M M
=G ⊗2 Г ,
(2)
R
R
где M Г − истинная масса галактики, M ⊗ − масса Солнца.
Из уравнения (2) получим
MГ
.
R
Решая систему уравнений (1), (3) относительно M Г , найдем:
υ= G
58
(3)
4π 2 R 3
4 ⋅ 9,86 ⋅ 27 ⋅ 1060
=
≈ 3,3 ⋅ 1041 кг = 1,5·1011 M ⊗ .
2
−11
30
GT
6,67 ⋅ 10 ⋅ 49 ⋅ 10
Следовательно, «скрытая масса» Галактики равна:
M Г − M ≈ 5·1010 M ⊗ .
Таким образом, в случае Солнечной системы, скрытая масса,
определенная по гравитационной силе, составляет примерно 30 %
вещества.
MГ =
Галактика, центральная часть которой представляет собой
светящийся шар из звезд и газа, погружена в однородное облако
невидимой темной материи. Звезды, расположенные на границе
шара и на вдвое большем удалении, вращаются с одинаковыми
линейными скоростями. Определите отношение плотностей
святящейся ρ с и темной ρ т материи в центральной части,
принимая, что плотность темной материи в шаре и пространстве,
окружающем шар одинакова.
Решение. По закону всемирного тяготения
а) для первой орбиты:
υ2
M
(ρ + ρ )V
= G 21 = G т 2 с 1 ,
(1)
R
R
R
где ρ т − плотность темной материи, ρ с − плотность светящегося
вещества.
б) для второй орбиты:
υ2
M2
=G
.
(2)
2R
(2 R ) 2
4
Объем шара или сферы определяется формулой V = πR 3 . Тогда, если
3
обозначить объем шара V1, то объем удаленной сферы V2 = 8V1.
Следовательно, масса материи, охватываемая второй орбитой,
M 2 = ρ сV1 + ρ т (V1 +V2 ) .
(3)
Учитывая соотношение объемов и уравнение (3), представим (2) в виде
υ2
M1
ρ сV1 + ρ т ⋅ 8V1
(ρ с + 8ρ т )V1
=G
=
G
=
G
.
(4)
2R
(2 R ) 2
(2 R )2
(2 R) 2
Поделив левые и правые части уравнений (1) и (3) друг на друга, после
несложных преобразований, получим
59
4(ρc + ρ т )
= 2.
(5)
ρ c + 8ρ т
Решая уравнение (5) относительно отношения ρ c /ρ т , найдем:
ρ c /ρ т = 6.
Эти задачи приведены как иллюстрация и не отражают реальной
ситуации. В случае скоплений и сверхскоплений галактик, как показано
выше, доля «скрытой массы» (темной материи) почти на порядок
больше видимого вещества.
6.2. Темная энергия. Уже отмечалось (см. 3.1), что наблюдаемая
плоская геометрия Вселенной в рамках фридмановской модели
возможна, если расширение Вселенной происходит при плотности
Вселенной,
равной
критической
в
современную
эпоху:
кг
ρкр = 7,9 ⋅ 10−27 3 . Эта плотность складывается из плотностей всех
м
видов материи, из которых состоит Вселенная. Приведенные выше
оценки плотности обычного вещества и темной материи показывают,
что на долю вещества приходится примерно 27 % материи в целом, из
них только примерно 4 % приходится на обычное атомное вещество, а
на долю темной материи примерно 23 % [16]. Остальную долю −
примерно 70 % относят на долю другого обнаруженного в последнее
время феномена − темную энергию. Это значит, что плотность темной
энергии 5,2·10-27 кг/м3. Что это за новый феномен?
Темная энергия рассматривается как причина всемирного
антитяготения – нового физического явления, открытого двумя
группами американских астрономов: одной под руководством Адама
Раийса и Б. Шмидта, другой −под руководством Б. Перламуттера в
1998-1999 гг. Измерения скоростей разбегания далеких галактик,
находящихся на больших космологических расстояниях (сотни и
тысячи мегапарсек), выполненные этими исследователями, показали,
что реальная скорость далеких сверхновых21 оказалась больше, чем это
следовало из закона Хаббла. Если охарактеризовать результаты этих
измерений, убывание яркости далеких сверхновых происходит быстрее,
чем это следует из стандартной космологической теории: галактики и
звезды кажутся тусклее и, следовательно, расстояния оказываются
больше, чем это следует из закона Хаббла. Эти результаты
21
Сверхновые звёзды — звезды, блеск которых при вспышке увеличивается на десятки звездных
величин течение нескольких суток. В максимуме блеска сверхновая сравнима по яркости со всей
галактикой, в которой она вспыхнула, и даже может превосходить её.
60
объясняются, если принять, что космологическое расширение
происходит с ускорением, то есть скорость разбегания галактик не
уменьшается со временем, как это следует из фридмановской модели, а
возрастает. Причиной ускорения является антитяготение, проявляющее
себя как космическое отталкивание, испытываемое далекими
галактиками, большее, чем гравитационное притяжение галактик друг к
другу. Поэтому общее космологическое расширение и происходит с
ускорением. Неустановленный фактор, способный вызвать такое
поведение, и получил, по аналогии с темной материей, название: темная
энергия. Наличие ускорения расширения подтверждается также темпом
образования скоплений галактик на разных временных этапах
эволюции, который определяется скоростью роста возмущений
плотности, зависящего от соотношения вещества и темной энергии.
Ускорение рассеивает вещество и тормозит образование новых
структур. Следовательно, со временем число скоплений должно
уменьшаться, что и подтверждается наблюдательными данными по
крупномасштабной структуре Вселенной. Подсчет количества крупных
скоплений галактик на разных расстояниях от нас (образовавшихся в
разное время) согласуется с представлениями об расширении Вселенной
с ускорением [24].
Установление физической природы темной энергии − одна из
самых сложных и актуальных задач современной космологии. В
настоящее время темная энергия рассматриваются как среда, которая
проявляет себя благодаря своему свойству создавать антитяготение, то
есть аналогична сплошной среде с положительной плотностью и
отрицательным давлением. Эта среда заполняет все пространство, не
излучает, не поглощает света и не рассеивает свет и естественно
ненаблюдаема. Физическая природа и микроструктура темной энергии
полностью неизвестны [16]. Есть только некоторые предположения.
Рассматриваются два кандидата на эту роль.
Расширение с ускорением противоречили модели Фридмана с
Λ =0. Поэтому первый из кандидатов – физический вакуум, связанный с
космологической константой Эйнштейна и получивший название
вакуума Эйнштейна – Глиннера [16]. Можно предположить, что темная
энергия родилась вместе с частицами при распаде вакуумноподобного
состояния на инфляционном этапе, но плотность энергии на ранней
стадии была на много порядков более высокой, чем в современной
Вселенной. Анализ астрономических наблюдений показал, что
Вселенная после этапа инфляции опять начала расширяться с
ускорением примерно 7 млрд. лет назад [24], но ускоряется гораздо
медленнее, чем на стадии инфляции. Предполагается, что ответственное
61
за отрицательное ускорение поле осталось как реликт «Большого
Взрыва» и заметно не проявляло себя, пока доминировали барионная и
темная материя. К отрицательному давлению в этой модели приводит
неизменность плотности энергии вакуума при адиабатическом
расширении. К настоящему времени (2012) все известные надёжные
наблюдательные данные не противоречат этой гипотезе, так что она
принимается в космологии как стандартная: нынешняя общепринятая
космологическая модель (лямбда-CDM модель)22 включает в себя
космологическую константу как обязательный элемент. Но квантовая
теория поля определяет плотность вакуума как планковскую, то есть
равную 5·1096 кг/м3, что на 123 порядка (5·1096/5·10-27 =123) превышает
плотность реально наблюдаемого вакуума. Этот необъясненный разрыв
в
теоретической
физике
рассматривается
как
«проблема
естественности», которая может быть решена только в квантовой
теории тяготения, которая, как мы в отмечали в 4.7 и 5.7, пока не
создана.
Уравнение состояния вакуума. Антитяготение. Рассматривая
«темную энергию» как гипотетический газ, объемная плотность энергии
которого не изменяется при адиабатическом расширении Вселенной,
покажите, что давление гипотетического газа темной энергии
отрицательно. Покажите, что действие такого газа приводит к
антигравитации.
Расширение
Вселенной
рассматривать
как
адиабатический процесс.
Решение. Энергия гипотетического газа прямо пропорциональна
объему V, предоставленному газу: U = uV , где u > 0 −объемная
плотность энергии. Таким свойством обладает так называемая «темная
энергия» в космологии, обеспечивающая ускоренное расширение
Вселенной. Покажем, что это возможно только, если давление этого
гипотетического газа отрицательно. Согласно вышеприведенной
формуле для энергии гипотетического газа при увеличении объема
изменение его внутренней энергии
dU = udV > 0.
(1)
По первому началу термодинамики при адиабатическом процессе
dU = −dA ,
(2)
22
ΛCDM (читается «Лямбда-СиДиЭм») — сокращение от Lambda-Cold Dark Matter, современная
стандартная космологическая модель, в которой пространственно-плоская Вселенная заполнена,
помимо обычной барионной материи, тёмной энергией (описываемой космологической постоянной
Λ в уравнениях Эйнштейна) и холодной тёмной материей (англ. Cold Dark Matter).
62
то есть при расширении газа при адиабатическом процессе работа
отрицательна: dA < 0.
Элементарная работа определяется формулой
dA = pdV .
(3)
Отсюда, при dV > 0 (увеличении объема) внутренняя энергия
системы возрастает на udV и, следовательно, система выполняет
отрицательную работу. Поэтому
udV =−pdV.
(4)
и
P = −u .
(5)
Следовательно, давление вакуума равно объемной плотности
энергии вакуума, взятой со знаком «минус», то есть отрицательно.
Согласно ОТО, тяготение создается не только плотностью среды,
но и ее давлением в комбинации u + 3p. Коэффициент 1 перед
плотностью и коэффициент 3 перед давлением возникают из-за того,
что время одномерно, а пространство трехмерно.
Соответствующее уравнение в ОТО имеет вид [5 – 7]
4
a = − πG (u +3P ) R .
(6)
3
Давление вакуума отрицательно и по абсолютной величине совпадает с
его плотностью энергии. Отсюда эффективная гравитационная
плотность вакуума, как это следует из (5), при положительной
плотности отрицательна: uG = uV + 3 pV = −2uV . Тогда уравнение (6)
может быть представлено в виде
4
a = − πG (u − 2uV ) R .
(7)
3
Отсюда отрицательное давление порождает не тяготение, а
антигравитацию и может при 2uV > u вызвать ускорение расширения
Вселенной. Получается, что среда с отрицательным давлением как бы
гравитационно отталкивается сама от себя и, как следствие, ускоренно
расширяется.
Очень небольшое значение плотности вакуума не вписывается в
современную физику элементарных частиц и заставляет физиков искать
другое решение. Другой кандидат на роль темной энергии − новое и
пока не обнаруженное в лабораторных условиях медленно меняющееся
однородно распределенное скалярное поле, пронизывающее всю
Вселенную: для него употребляют термин «квинтэссенция», −
динамическое поле, энергетическая плотность которого может меняться
в пространстве и времени. В переводе с греческого оно означает «пятый
элемент» − в дополнение к четырем элементам или стихиям, из
63
которых, по представлениям древнегреческих философов, состоял мир:
земля, огонь, воздух и вода. Уравнение состояния такого поля
описывается уравнением p = qρ, где q лежит в интервале −1 < q < − 1/3.
Эффективная гравитационная плотность такого поля отрицательна и
поэтому это поле, не являясь вакуумом, создает антигравитацию. [16].
Предлагаются модели такого типа и с другим значением q.
Последние наблюдательные факты ограничивают круг возможных
вариантов. Полученный результат
p / ρ = – 0,97 ± 0,09
отдает
преимущество модели с космологической постоянной. Но пока полной
ясности нет.
Дальнейшая эволюция Вселенной зависит от природы темной
энергии. Если это космический вакуум, то очевидно, что средняя
плотность вещества и вакуума в дальнейшем будет только убывать. Это
значит, что тяготение никогда не будет доминировать, что реализуется
при любой геометрии Вселенной. Поэтому вариант смены расширения
сжатием при положительной кривизне пространства, по Фридману,
отпадает. Отсюда также следует, что поскольку вакуум доминирует, то
главное, что определяет однородность Вселенной, не распределение
галактик, а космический вакуум, который заполняет все пространство
Вселенной. Но если темная энергия − это скалярное поле, то после того
как оно достигнет равновесия, расширение Вселенной станет
замедляться, а возможно и сменится сжатием. Какая из этих двух
гипотез подтвердится, а может быть появится другая, пока космология
не отвечает.
Примечание. Таким образом, новые феномены радикально
изменили представления об энергомассовом составе Вселенной. Если
еще недавно считалось, что основная масса нашей Вселенной состоит из
видимой Bизлучающей или отражающей электромагнитные волны)
барионной материи (в нее молчаливо включаются и электроны), то
современные оценки, в которых современная космология не
сомневается, как видно из сравнения объемных плотностей энергии,
показывают, что 67 % всей энергии мира приходится на вакуум,
примерно 30 % на темную материю. Только примерно 3 % на обычное
вещество, а еще в 100 раз меньше на излучение [16]. Эти данные
получены при обработке измерений флуктуаций реликтового излучения
космического аппарата WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe).
Полученные
результаты
согласуются
с
теоретическими
представлениями и признаются всеми ведущими космологами. Таким
образом, ≈ 97 % массы Метагалактики находится в невидимом
64
состоянии, природа которого неизвестна − названо космологами
парадоксом массы.
6.3. Тепловая смерть и судьба Вселенной. Гипотеза тепловой
смерти Вселенной была выдвинута Р. Клаузисом на основе закона
возрастания энтропии для замкнутой системы, согласно которому
энтропия замкнутой системы либо возрастает, либо остается
постоянной. По Клаузису, энтропия Вселенной как изолированной
системы стремится к максимуму. После его достижения установится
равновесное состояние, в котором никакие процессы не будут
возможны. Наступит «тепловая смерть» Вселенной. Как решает этот
вопрос современная космология?
Решение. В космологических системах главную роль играют
силы тяготения. В ОТО показано, что с учётом тяготения однородное
изотермическое распределение вещества вовсе не является наиболее
вероятным и не соответствует максимуму энтропии. Наблюдения
показывают, что Вселенная резко нестационарна. Процессы
образования планет, звезд, галактик и скоплений галактик из
однородного вещества под действием сил тяготения идут в
соответствии с законом возрастания энтропии с возрастанием энтропии,
но с учетом тяготения не приведут к однородному изотермическому
состоянию Вселенной. Непрерывно расширяющаяся Вселенная никогда
не достигнет истинного термодинамического равновесия, так как
никогда не приобретет постоянную температуру, то есть классическая
тепловая смерть Вселенной никогда не наступит. Но Вселенную ждет
состояние, мало отличающееся от «тепловой смерти», называемое
космологической тепловой смертью. Если Вселенная будет вечно
расширяться, то в далеком будущем, как предсказывает современная
физика [7], через 1032 лет все вещество полностью распадется, звезды и
планеты превратятся в фотоны и нейтрино. Кроме них останутся еще
черные дыры, но через 1096 лет они в результате «испарения»
превратятся в излучение. В результате, через 10100 лет во Вселенной не
останется ничего кроме электрон-позитронной плазмы ничтожной
плотности и излучения. Здесь речь идет о Метагалактике. Если же
плотность материи больше критического значения и справедлива
модель квинтэссенции, то согласно фридмановской модели расширение
Вселенной сменится сжатием и через десятки миллиардов лет
Вселенная вновь придет к сингулярному состоянию материи.
В хаотической инфляционной модели А.Д, Линде с
«самопроизвольно» раздувающейся Вселенной имеет место процесс
65
бесконечной самоорганизации. Минивселенные возникают и исчезают,
но единого конца этих процессов нет. Метавселенная же не имеет ни
начала, ни конца во времени и никогда не исчезнет.
Приложение
Закон (теорема) Гаусса для вектора гравитационного поля E в
интегральной форме
Предварительно введем понятие телесного угла.
Телесный угол – часть пространства, ограниченная конической
поверхностью. Мера телесного угла – отношение площади S сферы,
вырезаемой на поверхности сферы конической поверхностью, к
квадрату радиуса R сферы.
S
[стерадиан ].
Ω= 2
R
1 стерадиан – телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий
на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной,
по длине равной радиусу этой сферы.
Закон
Гаусса.
Пусть
гравитационное поле создается
гравитационной
массой
(гравитационным зарядом) m,
совмещенной с началом отсчета O,
как показано на рис. 7. Здесь dSn –
проекция
площадки
dS
на
плоскость
перпендикулярную
радиус-вектору r , n –единичный
вектор положительной нормали к
площадке dS.
Поток dN напряженности
гравитационного
поля,
создаваемого этой массой через
бесконечно малую площадку dS,
радиус-вектор которой r ,
Рис. 7
dN = E ⋅ dS .
(1)
Напряженность гравитационного
определяется формулой
поля,
E = −G
66
mr
,
r3
создаваемого
массой
m
(2)
а вектор элементарной площадки
dS = dS ⋅ n .
Подставим (2) и (3) в (1)
mr
mrdS
mdS
dN = −G 3 ⋅ dS = −G 3 ⋅ cos(∠r , dS ) = −G 2 n .
r
r
r
(3)
(4)
(5)
dS ⋅ cos(∠r , dS ) = dS cos α = dS n
Поток dN напряженности гравитационного поля через площадку
dS и dSn один и тот же, что естественно. Вследствие малости угла d Ω ,
можно считать, что площадка dSn совпадает с элементом шаровой
поверхности радиусом r с центром в точке О.
Тогда по определению телесного угла
dS
(6)
dΩ = 2n . dSn = r 2 ⋅ d Ω .
r
mdSn
mr 2 d Ω
dN = −G 2 = −G
= − ⋅ mGd Ω .
(7)
r
r2
Для конической поверхности:
Ω
N = ∫ dN = −G ∫ md Ω = − mGΩ . (8)
0
Для замкнутой поверхности:
N=
4π
∫ dN = −G ∫ m ⋅ d Ω = −4πGm. (9)
0
S
Рис. 8
Если масса m охвачена сферической поверхностью, то
N = −4πGm .
Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы,
так как каждая линия вектора E , пронизывающая сферу, пройдет и
сквозь эту поверхность (рис. 8).
Если произвольная поверхность окружает n
точечных
гравитационных зарядов, то согласно принципу суперпозиции:
E = E1 + E2 + ... + En ,
N=
∫ EdS = −4πG ∑ m .
i
S
N = −4πGm. .
67
Если
поверхность
охватывает
каким-то образом распределенную
массу с объемной плотностью ρ
(ρ = dm/dV), то суммарная масса,
заключенная
в
объеме
V,
охватываемым поверхностью S,
∑ mi = ∫ ρdV ⇒ N = −4π G ∫ ρdV
i
V
V
Если поверхность не охватывает
какую-либо массу (рис. 9), то число
силовых линий гравитационного
поля, входящих объем, ограничен-
Рис. 9
ный поверхностью S, равно числу выходящих силовых линий, и
суммарный поток N гравитационного поля через замкнутую
поверхность в этом случае равен нулю: N = 0.
Теорема Гаусса: поток вектора напряженности гравитационного
поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен взятой со
знаком «минус» алгебраической сумме масс, охватываемых этой
поверхностью, умноженной на − 4πG.
∫ EdS = −4πG ∑ mi = −4πG ∫ ρdV
V
Гравитационное поле однородного шара
Очевидно,
гравитационное
поле
однородного
шара
центральносимметрично. Это значит, что направление вектора E в
любой точке проходит через центр шара, а модуль вектора E должен
зависеть только от расстояния от центра шара. Возьмем в качестве
замкнутой поверхности концентрическую сферу радиусом r.
a) Пусть радиус сферы r > R. Тогда поток вектора E через эту
поверхность,
2
(1)
∫ EdS = E ⋅ 4πr = −4πGM ,
S
где G − гравитационная постоянная, M − масса шара.
Отсюда
M
E = −G 2 .
(2)
r
Следовательно, при r > R поле описывается той же формулой, что
и поле точечной массы, равной по величине массе шара, помещенной в
его центр.
б) Теперь найдем поле внутри шара: r < R.
68
Проведем внутри шара замкнутую поверхность радиусом r.
M
Учитывая, что плотность ρ однородного шара равна M/V=
, по
4 / 3πR 3
закону Гаусса получим
Рис. 10
4 3
πr
Mr 3
2
3
EdS
=
E
⋅
4π
r
=
−
4π
Gm
=
−
4π
G
ρ
dV
=
−
G
=
−
4π
G
, (3)
3
∫s
∫V
4 3
R
πR
3
где R – радиус шара, M – масса шара.
Отсюда
Mr
E = −G 3 .
(4)
R
Модуль напряженности поля растет линейно с расстоянием r от центра
Mr
E =G 3 .
(5)
R
График зависимости E от r представлен на рис. Из формул (2) и (5) и
рис. 10 модуль напряженности гравитационного поля на границе
однородного шара
M
E =G 2 .
(6)
R
Если на расстоянии R от центра однородного шара массой M находится
тело массой m, то сила, с которой шар действует на это тело направлена
к центру шара и по модулю равна
mM
F = mE = G 2 .
R
M
69
Очевидно, если однородный шар находится в пространстве,
заполненном сферически симметричной распределенной материей, то
из соображений симметрии результирующее число силовых линий
внешнего гравитационного поля, пронизывающих поверхность шара и
входящих в его объем, равно нулю. Поэтому внешняя же область
однородной среды вследствие сферической симметрии не создает
гравитационного поля внутри сферы.
Некоторые астрономические величины и физические константы
Наименование
Масса Солнца
Среднее расстояние от Земли до Солнца
Размер солн. Системы
Радиус Солнца
1 астрономическая единица (а.е.)
1 парсек (пк)
1 световой год (с.г.)
Современное
значение
постоянной
Хаббла H0
Постоянная Стефана −Больцмана σ
Гравитационная постоянная G
Скорость света в вакууме
70
Значение
2·1030 кг
1,5⋅1011 м (1 а.е.)
60 млрд. км
7 108 м
1,4959770·1011 м.
20625 а.е. =3,0857·1016 м
0,3068 пк= 9,4605·1015 м
2,1·10-18 с-1
5,67·10-8 Вт·м-2 К-4
6,67·10-11 Н·м2/кг2
3·108 м/с
Литература
1. Розенталь И.Л. Геометрия, динамика, Вселенная. М.: «Наука»,
1987. − 144 с.
2. Иванов Б.Н. Законы физики. − М: "Высшая школа", 1986. − 335
с.
3. Белонучкин В.Е., Заикин Д.А., Ципенюк Ю.М. Основы физики.
Курс общей физики: В 2 т. Т. 2. Квантовая и статистическая
физика. / Под ред. Ю.М. Ципенюка.− М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.−
504 с.
4. Тюрин Ю.И., Чернов И.П., Крючков Ю.Ю. Физика: Ядерная
физика. Физика элементарных частиц. Астрофизика: Томск:
Изд-во ТПУ, 2009.−252 с.
5. Новиков И.Д. Как взорвалась Вселенная. − М: «Наука», 1984. −
176 с.
6. Засов А. В., Постнов К. А. Общая астрофизика. — Фрязино,
2006. − 496 с.
7. Нагирнер Д.И. Элементы космологии. Учебное пособие. − СПб:
Изд-во С.-Петерб. Ун-та, 2001. – C. 54.
8. Киттель Ч., Найт У, Рудерман М. Берклеевский курс физики.
Т.1, Механика. М.: «Наука», 1975. − 480 с.
9. Белонучкин В. Е. Кеплер, Ньютон и все-все-все. −М.: «Наука»,
1990. − 128 с. (Б-чка «Квант»; Вып. 78).
10.С.Г. Рубин. Устройство нашей Вселенной. − Фрязино: «Век 2»,
2006. −312 с.
11.Черепащук А.М., Чернин А.Д. Вселенная, жизнь, черные дыры.
− Фрязино: «Век 2», 2004. −320 с.
12.Долгов А.Д., Зельдович Я.Б., Сажин М.В. Космология ранней
Вселенной.−М.:Изд-во МГУ, 1988.− 199 с.
13.Вайнберг. Первые три минуты: современный взгляд на
происхождение Вселенной. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и
хаотическая динамика», 1979. –272 с.
14.Новиков И.Д., Зельдович Я.Б. Строение и эволюция Вселенной.
М.:«Наука», 1975. –736 с.
15.Сажин М.В. Современная космология в популярном изложении.
М.:УРСС, 2002.−240 с.
16.Чернин А.Д. Темная энергия и всемирное антитяготение. УФН,
2008. Т. 178, № 3.
17.Гинзбург В.Л. О физике и астрофизике.− М: «Наука», 1985. −
400 с.
18.Гинзбург В.Л. О некоторых успехах физики и астрофизики за
последние три года. УФН, 1999.Т. 122, № 2.
71
19.Гинзбург В.Л. Какие проблемы физики и астрофизики
представляются сейчас наиболее важными (тридцать лет спустя,
теперь уже на пороге XXI века). УФН, 2002. Т. 169, № 4.
20.Козютинский. В.В. Инфляционная космология: теория и научная
картина мира. Философия науки. Вып. 6. М.:ИФ РАН, 2000.
21.Линде А.Д. Раздувающаяся Вселенная. УФН. Т.144. Вып.2. 177
с.
22.Линде А.Д. Физика элементарных частиц и инфляционная
космология. М.: Физматлит, 1990.− 280 с.
23.Физика космоса: Маленькая энциклопедия / Редкол.: Р.А.
Сюняев (Гл. ред) и др. − М.: Сов. Энциклопедия, 1986.− 783 с.
24.Рубаков В.А. Темная энергия во Вселенной // Квант. – 2010. –
№5. – С. 8-15
72
Содержание
Введение
1. Космологический постулат. Космологические модели
Эйнштейна и де Ситтера
1.1. Космологический постулат (принцип)
1.2. Стационарная модель Эйнштейна
1.3. Космологическая постоянная
1.4. Модель де Ситтера
2. Кинематика Вселенной
2.1. Закон Хаббла. Возраст Вселенной
2.2. Связь закона Хаббла с космологическим постулатом
2.3. Красное смещение света от удаляющихся галактик
2.4. Закон Хаббла как следствие однородности Вселенной
2.5. Закон Хаббла в специальной теории относительности
3. Динамика Вселенной
3.1. Нестационарная Вселенная
3.2. Критическая плотность
3.3. Вселенная в планковских масштабах
4. Физические процессы в ранней Вселенной. Горячая
Вселенная
4.1. Идея Г. Гамова
4.2. Процессы рождения и гибели частиц в ранней
Вселенной
4.3. Изменение температуры дозвездной материи в процессе
расширения
4.4. Состояние вещества в ранней Вселенной. Хронология
Вселенной
4.5. Реликтовое излучение
4.6. Эволюция плотности излучения
4.7. Модель Фридмана и квантовая теория гравитации
5. Инфляционная модель расширения Вселенной
5.1. Проблема фридмановской космологии. Раздувание
Вселенной
5.2. Проблема горизонта (причинности)
5.3. Проблема плоскостности (евклидовости)
5.4. Проблема возникновения Вселенной «из ничего»
5.5. Проблема образования галактик
5.6. Мета - и минивселенные. Сингулярность в
инфляционной космологии
5.7. Как воспринимается инфляционная модель в
73
3
6
7
10
11
13
15
17
18
19
19
23
25
26
28
28
30
35
38
39
43
46
48
51
51
52
53
космологии
6. Новые феномены в космологии. Судьба Вселенной
6.1. Темная материя
6.2. Темная энергия. Антитяготение
6.3. Тепловая смерть Вселенной. Распад Вселенной
Приложение
Закон Гаусса для гравитационного поля
Гравитационное поле однородного шара
Некоторые астрономические величины и физические
константы
Литература
Учебное издание
Сивов Юрий Александрович
Тюрин Юрий Иванович
Элементы космологии в курсе общей физики
Учебное пособие
Печатается в авторской редакции в соответствии с
представленным качеством оригинал-макета
Компьютерный набор
Ю.А. Сивов
Подписано к печати
. Формат 60х84/16. Бумага
«Снегурочка». Печать XEROX. Усл.печ.л..
Уч.-изд.л. Заказ 891−09. Тираж экз.
Томский политехнический университет
Система менеджмента качества
Томского политехнического университета
сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO
9001: 2000 9001:2000
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.
74
55
59
64
65
68
70
71