Расширение Вселенной и гравитация звезд

Расширение Вселенной и гравитация звезд
Д.Е.Бурланков
Нижегородский университет им. Н.И. Лобачевского
2010
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Принцип эквивалентности
В 1911 году Альберт Эйнштейн (1879-1955) изучая
физические явления в свободно падающей лаборатории (лифте), предположил,
что в этой лаборатории реализована инерциальная система, в частности, свет распространяется прямолинейно. В ней отсутствует гравитационный потенциал.
Тогда относительно Земли
при наличии гравитационного потенциала траектории
света криволинейны.
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Динамика пробного тела в СТО
В 1906 году Макс Планк (1858-1947) вывел релятивистскую динамику из принципа наименьшего действия:
Z p
Z
2
2
2
S = −m c
c dt − d r =
L dt.
Лагранжиан
r
L = −m c
2
1−
v2
c2
определяет импульс и энергию тела:
p=
dL
mv
=q
;
2
dv
1 − cv2
m c2
E = (pv) − L = q
.
2
1 − cv2
В 1912 году √
Марсель Гроссман
p предложил Эйнштейну
2
2
2
обобщение: c dt − d r → gαβ dx α dx β .
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Общая теория относительности (ОТО)
В 1912 – 1915 гг с помощью Гроссмана Эйнштейн создает
ОТО. Пространство и время неразделимы и связаны в единое
четырехмерное пространство-время, определяемое
десятикомпонентным тензором gαβ , определяющего
инвариантный интервал:
ds 2 = gαβ dx α dx β .
Зависимость его компонент от четырех координат определяется
из 10-и уравнений Эйнштейна:
Gβα = Rβα −
1
8π k
R δβα = 4 Tβα .
2
c
Здесь Rβα – тензор Риччи, определяющий кривизну
пространства, R – его свертка, скалярная кривизна, а Tβα –
тензор энергии-импульса материи, находящейся в пространстве.
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Решение Шварцшильда
Сразу же после создания ОТО
в 1915 году астрофизик Карл
Шварцшильд (1868-1916) нашел решение уравнений Эйнштейна, описывающие метрику
пространства-времени вне сферическго тела с массой M.
ds 2 =
1−
2κ M
c2 r
c 2 dt 2 −
Д.Е.Бурланков
dr 2
− r 2 d ω2.
2κ M
1 − c2 r
(1)
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Метрика Пэнлеве
В 1921 году Пэнлеве (1863-1933), исследуя преобразование метрики Шварцшильда при преобразовании переменной
времени dt = d t̃ + w (r ) dr , нашел метрику [3]:
r
2M
2M
2
2
dr dt − dr 2 − r 2 d ω 2 ,
ds = dt
1−
+2
(2)
r
r
где 2 M – гравитационный радиус тела, выраженный в
световых годах. Например, для Солнца 2 M = 3.2 · 10−13
(световых) лет (3 км).
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Орбиты в метриках Шварцшильда-Пэнлеве
Общие финитные траектории имеют вид вращающегося
эллипса и в общем случае незамкнутые. При малых значениях
максимального и минимального радиусов угол вращения
значительно увеличивается. Среди этих траекторий есть и
замкнутые, вот, например:
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
А вот примеры граничных траекторий:
Траектории асимптотически накручиваются на неустойчивую
окружность. Небольшое уменьшение момента приводит к
падению частицы на центр.
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Разбегание галактик
Эдвин Хэббл (1889-1953) в
1916 – 21 гг в горах Калифорнии в обсерватории
Маунт-Вильсон на новом 2.5метровом телескопе открыл
около сотни галактик и наблюдал их спектры поглощения, по которым обнаружил,
что они, в основном, разбегаются от нас. Закон Хэббла
(1929): v = H r , где v – скорость убегания галактики, r
– ее расстояние от нас, а H –
постоянная Хэббла.
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Красное смещение в спектрах галактик
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Космологическое решение Фридмана
Александр
Александрович
Фридман (1888-1925) в 1922
году построил динамическое
космологическое решение уравнений Эйнштейна: весь Мир
– трехмерная сфера радиуса
r , зависящего от времени по
циклоиде, определяемой дифференциальным уравнением
ṙ 2 + c 2 =
8π κ ρ 2
r .
3
Здесь ρ – плотность энергии вещества. При ρ = 0 – без
вещества – динамика с точки зрения ОТО невозможна.
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Однородная модель
Наиболее распространенное описание расширяющейся
Вселенной представляется метрикой Эйнштейна - де Ситтера:
ds 2 = dt 2 − σ 2 (t) (dR 2 + R 2 d ω 2 ).
(3)
Здесь d ω 2 = d ϑ2 + sin2 ϑ d ϕ2 – метрика двумерной сферы
единичного радиуса. Длины измеряются в световых годах, а
время в годах, так что скорость света равна единице.
Функция σ(t) определяется из дифференциального уравнения:
σ̇ 2 =
8π κ ρ
;
3
3 H2
= ρ.
8πκ
(4)
С точки зрения наблюдаемых σ̇ = H – постоянная Хэббла, а ρ
– средняя плотность вещества во Вселенной. По результатам
наблюдений левая часть в 25 раз больше правой.
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Преобразование к расстояниям
Расстояние от центра – точки, в которой полагается R = 0, –
до любой другой точки пространства с координатой R
определяется величиной r = σ(t) R. С течением времени это
расстояние меняется. При переходе от координат в
пространстве R к параметризации расстояниями r метрика (3)
изменяется:
r
1
σ̇
σ̇
2
R=
; dR =
dr − r
;
=
.
σ(t)
σ
σ
σ
3 (t0 + t)
Подставляя эти дифференциалы в (3), получаем метрику
ds 2 = (1 − V 2 ) dt 2 + 2 V dr dt − dr 2 − r 2 d ω 2 ,
где
V ≡ Vσ =
Д.Е.Бурланков
2r
.
3 (t0 + t)
(5)
(6)
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Тензор Эйнштейна для

ρ

ρV
(Gji ) = 
 0
0
этой метрики принимает значения

0 0 0
4
0 0 0 
, ρ =
,

0 0 0
3 (t0 + t)2
0 0 0
(7)
В момент времени t = −t0 плотность ρ обращалась в
бесконечность – так называемый “большой взрыв”.
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Сшивание
Так как обе сшиваемые метрики имеют вид (5), обобщим в
метрике (5) лишь выражение для поля скоростей (6):
V =
2r
Vr (r )
→V =
3 (t0 + t)
t0 + t
(8)
и вычислим тензор Эйнштейна, а затем приведем его к виду
(7). Равенство нулю давления, определяемого компонентой
G11 =
Vr (r ) (Vr (r ) + 2 r (Vr0 (r ) − 1))
,
r 2 (t + t0 )2
приводит к дифференциальному уравнению первого порядка на
функцию Vr (r ):
Vr (r ) + 2 r (Vr0 (r ) − 1) = 0,
(9)
решение которого содержит константу интегрирования C :
2r
C
Vr (r ) =
+√ .
3
r
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Метрика, создаваемая массой в расширяющемся Мире
Первое слагаемое однозначно определяет расширение и мало́
при малых r , где основную роль играет второе слагаемое. При
t = 0 оно совпадает с полем скоростей
метрики Пэнлеве (2),
√
если выбрать константу C = t0 2 M. Тогда полное поле
скоростей:
!
r
2r
2M
1
+ t0
.
V =
(10)
t0 + t
3
r
Это решение переходит в метрику Пэнлеве при t0 → ∞ или в
метрику Эйнштейна – де Ситтера при t0 → 0. Общий вид
метрики (5):
ds 2 = (1 − V 2 ) dt 2 + 2 V dr dt − dr 2 − r 2 d ω 2 .
Сечение t = const, dt = 0 определяет метрику евклидова
пространства dl 2 = −ds 2 = dr 2 + r 2 (d ϑ2 + sin2 ϑ d ϕ2 ).
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Движение пробных тел
Динамика свободной материальной точки определяется
гамильтонианом h – выражением энергии через радиальный
импульс и момент через обратный метрический тензор (все
импульсы отнесены к массе):
g αβ pα pβ = 1;
α, β = 0 . . . 3;
p0 = −h.
(11)
Гамильтониан свободной частицы h определяется из
соотношения (11) для метрики (5) через обратную метрику:


1
V
0
0
 V V2 − 1

0
0
;
(g αβ ) = 
1
 0

0
− r2
0
1
0
0
0
− r 2 sin2 ϑ
L2
(−h + V p) − p + 2
r
2
Д.Е.Бурланков
2
= 1;
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Гамильтониан определяет уравнения движения
r
h=
1+
p2
L2 p Vr (r )
+ 2 +
;
r
t0 + t
dr
∂h
=
;
dt
∂p
dr
p
=q
dt
1 + p2 +
2r
Vr (r ) =
+ t0
3
dp
∂h
=− ;
dt
∂r
L2
r2
dp
L2
= q
dt
r 3 1 + p2 +
−
p
t0 + t
(12)
r
2M
;
r
!
√
2 t0 2 M
;
−
3
2 r 3/2
dϕ
L
= q
dt
r 2 1 + p2 +
Д.Е.Бурланков
2M
.
r
dϕ
∂h
=− .
dt
∂L
2r
t0
+
+
3 (t0 + t) t0 + t
L2
r2
r
L2
r2
.
(13)
(14)
(15)
Расширение Вселенной и гравитация звезд
При очень больших t0 – далеко по времени от “большого
взрыва” – в составляющей скорости основную роль играет
часть с массой.
Если время обращения по орбите мало по сравнению с t0 , то
изменение масштаба при каждом обороте незначительно и
траектории практически совпадают с траекториями в метрике
Шварцшильда.
Однако за большое число оборотов или при не очень большом
t0 изменение масштаба приводит к значительному изменению
траекторий.
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Сравним (сильно релятивистские орбиты при 2 M = 1) с
r0 = 100 при t0 = 106 и t0 = 250000 на интервале времени
100000:
С течением времени орбиты не только увеличивают свой
радиус, но и в конце концов частица улетает в бесконечность.
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Зависимость гравитационной массы от времени
Это связано с исключительно важным свойством поля
скоростей (10). Масса гравитирующего тела входит в него не
как отдельная константа, а в виде зависящего от времени
выражения
M t02
Mt =
(16)
.
(t0 + t)2
Гравитирующие свойства центрального тела в настоящий
момент (t = 0) определяются величиной M, однако по мере
расширения мира его гравитационная масса падает обратно
пропорционально квадрату абсолютного времени, так что в
конце концов оказывается не в состоянии удержать тело,
первоначально вращавшееся по (почти) круговой орбите.
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Назад по времени
Этот эффект особенно
существенен при рассмотрении траекторий в
обратном по времени направлении. Тяготеющая
масса возрастает, а радиус орбиты уменьшается, так что в конце концов достигается предел
r = 3M
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Условно эллиптические орбиты
Условно эллиптические
орбиты образуют более сложные узоры из
вращающихся эллипсов
уменьшающихся (назад
по времени) размеров.
Орбиты также как и
условно круговые доходят до предельно малых
размеров.
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Назад по времени
Пусть имеется звезда радиуса R и массой M с малым в
настоящий момент гравитационным радиусом rg = 2 M/r . При
движении назад по времени ее гравитационный радиус
возрастает и в какой-то момент достигает внешнего радиуса.
Гравитационный радиус (при малых r в абсолютном времени t)
достигает радиуса R при условии:
r
rg
2 M t02
rg =
= R; tg = t0
.
tg2
R
Здесь rg –гравитационный радиус звезды в настоящий момент.
Например, для Солнца R = 695 500 км, rg = 3 км, откуда
tg = 27 000 000 лет.
Раньше этого времени Солнце не могло существовать.
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Вращение
Кроме массы звезда характеризуется моментом,
определяющим вдали от звезды поле Лензе – Тирринга.
Точное решение вакуумных уравнений Эйнштейна определяется
метрикой Керра, содержащей параметр вращения a.
Метрика Керра была переведена в глобальное время, но в
отличие от метрики Пэнлеве пространственная часть не
является плоской. Однако в линейном приближении по a – на
радиусах r a – пространственная часть переходит в
евклидово пространство:
ds 2 = dt 2 − (dr − V r dt)2 − r 2 d ϑ2 − r 2 sin2 ϑ (d ϕ − Ω dt)2 . (17)
В расширяющемся Мире
r
2r
2κM
t0
r
V =
+
;
3 (t0 + t)
r (t0 + t)
Ω=
2M a
3κL
=
.
3
r
2 c r3
L – момент импульса вращающейся звезды. От времени не
зависит.
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Выводы
При рассмотрении ранних стадий развития Вселенной
особенности возникают значительно позже времени
Большого Взрыва. В решении Фридмана не было
параметров, поэтому особенность только при tabs = 0.
Большое красное смещение квазаров может быть связано
не только с кинематическим изменением длины волны за
счет расширения, но и с мощным гравитационным
красным смещением в удаленных от нас по времени
звездах, имевших во время излучения значительно
бо́льшие гравитационные массы.
Если на ранних стадиях расширения притяжение
превалировало над вращением, то с ростом масштаба роль
вращения начинают превалировать над притяжением.
Этим может объясняться спиралевидность большого числа
галактик, а также эффекты аномального распределения
скоростей во вращающихся галактиках, обычно
объясняемые некоей “темной материей”.
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
ОТО и Динамика пространства
Основное решение (10) было найдено еще в 2008 году С.Ю.
Губановым [8] (чуть в другом виде – без t0 ) как вакуумное
решение динамической теории пространства в глобальном
времени с единственной константой интегрирования.
С точки зрения ОТО для реализации такого решения требуется
нетривиальное
пылевидной материи
распределение
√
3 t0 2 M
4
.
ρ = 3 (t0 +t)2 1 + 2 r 3/2
В ОТО за время может быть выбрана любая функция
(принцип общей ковариантности).
При выборе в качестве времени глобального времени ТГВ,
плотность полной энергии везде и всегда равна нулю.
В ТГВ девять уравнений, в ОТО десять. Десятое уравнение
ОТО и есть требование равенства нулю плотности энергии.
Таким образом решения ОТО образуют подмножество
решений ТГВ с равной нулю плотностью энергии.
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Литература
Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация, в 3-х томах,
М.: Мир, 1977.
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля , М., (1967).
P. Painlevé, C.R. Acad. Sci. (Paris). 173, 677 (1921).
Д.Е. Бурланков. УФН т. 174, вып. 8, 899-910, 2004.
Д.Е. Бурланков. Пространство, время, Космос, кванты.
Нижний Новгород: ННГУ, 2007.
Д.Е. Бурланков. Время, пространство, тяготение.
Москва-Ижевск: РХД, 2006.
Д.Е. Бурланков. Динамика пространства. Нижний
Новгород: ННГУ, 2005.
С.Ю. Губанов. http://elementy.ru/blogs/users/
sergeygubanov/22058, (2008).
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд
Спиральные галактики M81 и М82
Д.Е.Бурланков
Расширение Вселенной и гравитация звезд