4. Прямая и плоскость в пространстве. Комплексные числа. ИДЗ

2.11. Полярная система координат
Полярная система координат на плоскости определяется заданием
некоторой точки O , называемой полюсом, луча O , исходящего из
этой точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба  .
Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим  = ОМ –

расстояние точки М от полюса,   OM , O  – угол, отсчитываемый от
полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ. Числа  и 
называются полярными координатами точки М,  – полярный радиус,
 – полярный угол точки М. По определению   0. Задание пары
чисел (  , ) однозначно определяет точку М на плоскости. Если
ограничить изменение  пределами 0    2 (или -    ), то
каждой точке плоскости также будет однозначно соответствовать пара
чисел (  , ). Исключение составляет полюс, для которого  = 0, а
угол  не определен.
Выберем декартову систему координат так, чтобы ее начало 0
совпадало с полюсом, а ось ОХ была направлена по полярной оси O .
Тогда полярные координаты (  , ) и декартовы координаты (х, у)
точки М связаны соотношениями:
x   cos  , y   sin  ;
(85)
  x 2  y 2 , tg 
y
.
x
(86)
Из этих формул следует:
cos  
x
x2  y2
, sin  
y
x2  y2
(87)
Формула для tg определяет два угла  и  +  в промежутке
[0; 2). Чтобы уточнить, какой из углов выбрать, нужно учесть четверть,
в которой находится точка М, или воспользоваться формулами (87).
Чтобы перейти от уравнения линии в декартовых координатах к ее
полярному уравнению, нужно вместо х, у подставить в уравнение их
выражения из формул (85). Обратный переход от полярного уравнения
к уравнению в декартовых координатах осуществляется с помощью
формул (86), (87).
Пример 39. Построить в полярной системе координат точки

    5  
А 3;  , В 2;  , С 3;   , Д 2; 0.
6
 2  4  
Решение. Построение точек показано на рисунке
Пример 40. Какие линии определяются уравнениями   a (const)
и    (const)?
Решение. Геометрическое место точек, для которых  –
123
расстояние от полюса – постоянно, есть окружность, поэтому уравнение
  a определяет окружность радиуса a с центром в полюсе O .
Уравнение    определяет луч, выходящий из полюса под углом
 к полярной оси.
  3 sin 
Построить эту линию по точкам. Найти ее декартово уравнение,
расположив систему Охy так, как показано выше.
Решение. Выражение в правой части имеет смысл при sin2  0, то

3
есть 0    и     . Учитывая периодичность функции (период
2
2

Т = ), достаточно рассмотреть 0    . Составим таблицу значений
2
функции, ограничиваясь точностью 0,01:
Пример 41. Дано полярное уравнение линии

0

12

6

4

3
5
12

2
  3 sin 2
0
2,12
2,79
3
2,79
2,12
0
Проведем лучи, соответствующие выбранным значениям , и на
каждом из них отложим вычисленное значение  . Полученные точки
соединим плавной кривой.
Построенная линия называется лемнискатой Бернулли.
124
Чтобы перейти к декартовым координатам, запишем уравнение в
виде  2  9  2 sin   cos и воспользуемся формулами (86) и (87):
2
y
x
 x 2  y 2   18 
;



2
2
2


x y
x  y2
x2  y2 
x
2
 y2

2
x2  y2
;
 18xy – уравнение линии в декартовой системе координат.
Пример
42.
x   y  R  R .
2
18 xy
2
Найти
полярное
уравнение
окружности
2
Решение. Запишем уравнение в виде x 2  y 2  2xR  R 2  R 2 или
x 2  y 2  2 xR . Воспользуемся формулами (2.55):
 2  cos2    2  sin 2   2R sin  ;


 2 cos2   sin 2   2Rp sin  ;
  2R sin  – искомое уравнение.
2.12. Плоскость в пространстве
Пусть M 0 x 0 ; y 0 ; z 0  – заданная точка в плоскости  , n   A; B; C 
– вектор, перпендикулярный плоскости , его называют нормальным
вектором плоскости, и пусть M x; y; z  – произвольная точка плоскости
Тогда M 0 M  x  x0 ; y  y 0 ; z  z 0  , n  M 0 M  n  M 0 M  0 , то
есть
Ax  x 0   B y  y 0   C z  z 0   0.
Это уравнение плоскости, проходящей
перпендикулярно данному вектору.
125
через
(88)
данную
точку
Раскрыв
скобки
и
сгруппировав
слагаемые,
получим
Ax  By  Cz   Ax 0  By 0  Cz 0   0 . Обозначим  Ax 0  By 0  Cz 0  D
уравнение примет вид
(89)
Ax  By  Cz  D  0 .
Данное уравнение - общее уравнение плоскости.
Если в этом уравнении A, B, C , D  0 , то его можно привести к
виду
x y z
   1.
a b c
(90)
Полученное уравнение называется уравнением плоскости в
отрезках. Здесь a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях
координат.
Пусть заданы три точки в плоскости: М1(х1, у1, z1), М2(х2, у2, z2),
М3(х3, у3, z3), и пусть М(х, у, z) – произвольная точка плоскости. Тогда
M 1 M  x  x1 ; y  y1 ; z  z1  , M 1 M 2  x 2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1  ,
M 1 M 3  x3  x1 ; y3  y1 ; z 3  z1  .
Эти векторы компланарны (лежат в одной плоскости),
следовательно,
их
смешанное
произведение
равно
нулю:
М1М М1М 2 М1М 3  0 , или через координаты
x  x1
x 2  x1
x 3  x1
y  y1
y 2  y1
y 3  y1
z  z1
z 2  z1  0 .
z 3  z1
Полученное уравнение называется
проходящей через три данные точки.
126
уравнением
(91)
плоскости,
2.12.1. Неполные уравнения плоскостей
Если в уравнении плоскости Ax  By  Cz  D  0 какие-либо из
коэффициентов равны нулю, то получится неполное уравнение
плоскости.
Пусть, например, D  0 . Уравнение примет вид Ax  By  Cz  0 и
определяет плоскость, проходящую через начало координат
(координаты точки О(0; 0; 0) удовлетворяют уравнению).
Пусть C  0 . Уравнение примет вид Ax  By  D  0 и определяет
плоскость, параллельную оси Oz .
Пусть C  0 и D  0 . Уравнение примет вид Ax  By  0 и
определяет плоскость, проходящую через ось Oz . Действительно, тогда
n   A; B;0 , то есть n  Oz , а плоскость  || Oz .
Пусть B  C  0 . Уравнение примет вид Ax  D  0 и определяет
плоскость, параллельную плоскости Oyz или совпадающую с ней ещё и
при D  0 . Действительно, n   A;0;0 , то есть n || Ox , а плоскость
  Ox , или  || Oyz .
Аналогично можно рассмотреть другие случаи.
2.12.2. Угол между двумя плоскостями
Пусть плоскости  1 и  2 заданы соответственно уравнениями
A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 , A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0 , где n1   A1 ; B1 ; C1 
и n2   A2 ; B2 ; C 2  – нормальные векторы этих плоскостей.
Очевидно,
плоскостями



   1 ,  2   n1 , n 2
127

тогда
косинус
угла
между
cos  
n1  n 2
n1  n 2
A1 A2  B1 B2  C1C 2

A12
 B12  C12  A22  B22  C 22
Если  1 ||  2 , то n1 || n 2 
(92)
A1 B1 C1
– условие


A2 B2 C 2
параллельности плоскостей.
Если 1   2 , то n1  n2  n1  n2  0 , то есть
A1 A2  B1 B2  C1C 2  0 - условие перпендикулярности плоскостей.
2.12.3. Расстояние от точки до плоскости
Если M 0 x 0 ; y 0 ; z 0  – заданная точка и Ax  By  Cz  D  0 –
уравнение плоскости  , то расстояние от точки M 0 до плоскости 
определяется по формуле:
d
Ax 0  By 0  Cz 0 D
A2  B 2  C 2
.
(93)
2.13. Прямая в пространстве
Прямую в пространстве можно задать уравнениями, аналогичными
уравнениям прямой на плоскости:
x  x0 y  y 0 z  z 0


m
n
p
(94)
– канонические уравнения прямой в пространстве, здесь x 0 , y 0 , z 0 –
координаты заданной точки на прямой, а m, n, p – координаты
направляющего вектора прямой (вектора, параллельного прямой);
x  mt  x 0 , y  nt  y 0 , z  pt  z 0
(95)
– параметрические уравнения прямой в пространстве;
x  x1
y  y1
z  z1


x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1
(96)
– уравнения прямой в пространстве, проходящей через две данные
128
точки М1(х1, у1, z1) и М2(х2, у2, z2).
Прямую в пространстве можно задать также как линию
пересечения двух плоскостей. Если уравнения этих плоскостей
A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 и A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0 , где
n1   A1 ; B1 ; C1  и n2   A2 ; B2 ; C2  – их нормальные векторы, то
уравнения прямой (их линии пересечения) имеют вид
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

 A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0
(97)
Это уравнение прямой называется общим уравнением прямой в
пространстве.
Для нахождения какой-нибудь точки на этой прямой достаточно
придать одной из переменных конкретное числовое значение
(например, х = 0), подставить его в систему (97) и решить ее
относительно двух оставшихся переменных.
Направляющий вектор прямой (97) можно найти как векторное
произведение нормальных векторов пересекающихся плоскостей:
S  n1  n2 .
Пример 43. Записать канонические уравнения прямой, заданной
2 х  у  3z  4  0 ,
общими уравнениями 
 х  у  4z  1  0 .
Решение. Найдем точку на прямой. Пусть, например, z = 0. Система
2 х  у  4  0 ,
примет вид 
Сложив уравнения, получим 3х  3  0 ,
х  у  1  0 .
х 1. Тогда из второго уравнения y   x 1 и y  1 1  2 . Точка на
прямой А(1; -2; 0). Найдем направляющий вектор этой прямой:
i
j
k
1 3
2 3
2 1
S  n1  n 2  2  1
3
i 
 j
 k  i  11 j  3k
1 4
1 4
1 1
1
1 4
S  1;11;3 .
Тогда канонические уравнения прямой
х 1 у  2 z

 .
1
11
3
2.13.1. Угол между прямыми
Пусть прямые  1 и  2 заданы каноническими уравнениями
129
x  x1 y  y1 z  z1
x  x2 y  y2 z  z 2
и
Очевидно, угол




m1
n1
p1
m2
n2
p2
между прямыми равен углу между направляющими векторами этих


   
прямых:     1 ,  2    S1 , S 2  Тогда


 

S S
m1 m2  n1 n 2  p1 p 2
cos   1 2 
(98)
S1  S 2
m12  n12  p12  m 22  n 22  p 22
m1 n1
p

 1 – условие
m2 n2
p2
параллельности двух прямых в пространстве.
Если  1   2 , то S1  S 2  S1  S 2  0 , то есть
Если  1  2 , то S1 || S 2 
m1 m2  n1 n 2  p1 p 2  0 - условие перпендикулярности двух прямых в
пространстве.
2.13.2. Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть плоскость

задана уравнением
Ax  By  Cz  D  0
n   A; B; C  – ее нормальный вектор, а прямая  задана уравнениями
x  x0 y  y 0 z  z 0


, S  m; n; p  – направляющий вектор прямой.
m
n
p
  
  
Обозначим    ,   – угол между прямой и плоскостью,    S, n  –






угол между соответствующими векторами.
Очевидно,  

  , а cos    sin  , или sin   cos  .
2
130
Но cos 
S n
Sn
, тогда синус угла между прямой и плоскостью
можно найти по формуле
sin  
S n
Sn

Am  Bn  Cp
(99)
A  B C  m n  p
2
2
2
2
2
2
Если   , то S  n , то есть S  n  0 или
–
(100)
Am  Bn  Cp  0
условие параллельности прямой и плоскости. При этом же условии
прямая лежит в плоскости.
Если
 ,
то
S || n ,
то
есть
A B C
 
–
m n p
условие
перпендикулярности прямой и плоскости.
Пусть
требуется
найти
точку
пересечения
x  x0 y  y 0 z  z 0


и плоскости Ax  By  Cz  D  0.
m
n
p
131
прямой
Запишем
параметрические
уравнения
прямой
x  mt  x 0 , y  nt  y 0 , z  pt  z 0 и подставим выражения для x, y, z в
уравнение плоскости. Получим уравнение вида Mt  N относительно
параметра t . Выразив t и подставив в параметрические уравнения,
найдем координаты точки пересечения.
Замечание. Если уравнение относительно t примет вид 0t  0 (то
есть M  N  0 ), то любое действительное значение t будет его
решением, значит, прямая и плоскость имеют множество общих точек,
то есть прямая лежит в плоскости.
Если уравнение относительно t примет вид 0t  N (то есть M  0 ,
N  0 ), то такое уравнение решений не имеет, значит, прямая и
плоскость не имеют общих точек, то есть прямая параллельна
плоскости.
х 1 у 1 z  4
Пример 44. Найти точку пересечения прямой
и


2
1
3
плоскости 3х  у  5z  6  0 .
Решение. Запишем параметрические уравнения прямой: х  2t  1,
у   t 1, z  3t  4 . Подставим эти выражения в уравнение плоскости:
3 2t  1  t  1  5 3t  4  6  0 , 6t  3  t  1  15t  20  6  0 , 22t  22 ,
t  1. Из параметрических уравнений получим х  3 , у   2 , z  1.
Следовательно, точка пересечения прямой и плоскости А3;  2;  1.
Пример 45. Показать, что прямая
х 1 у  2 z  3


лежит в
1
1
2
плоскости 7х  5у  6z  1  0 .
Решение. 1-й способ. Используем параметрические уравнения
прямой х  t  1, у   t  2 , z  2t  3 . Подставим в уравнение
плоскости: 7 t  1  5 t  2  6 2t  3  1  0 ,
7t  7  5t  10 12t 18  1  0 , 0  0 – получили равенство, верное при
любых t R . Следовательно, прямая лежит в плоскости.
2-й способ. S  1;1;2 – направляющий вектор прямой,
n  7;  5;  6 – нормальный вектор плоскости.
Найдем
скалярное
произведение векторов S  n  7  5  12  0  S  n , значит, прямая
параллельна плоскости или лежит в плоскости (из условия (100)). Точка
M 0 1;2;3 принадлежит прямой и ее координаты удовлетворяют
уравнению плоскости: 7 1  5  2  6  3  1  0 , 0  0 , значит, прямая
лежит в плоскости.
132
2.13.3. Задачи для самостоятельного решения.
1. Постройте плоскости: а) 4x  2 y  3z  12  0 ;
б) 5x  y  2z 10  0 ; в) 3x  y  2z  0 ; г) 2 x  3z  6  0 ;
д) 3 y  z  0 ; е) 3x  5  0 .
2. Даны точки М1(0;­1;3) и М2(1;3;5). Составьте уравнения:
а) прямой М1М2; б) плоскости, проходящей через точку М 1
перпендикулярно М1М2.
3. Найдите уравнение плоскости, проходящей через начало
координат параллельно плоскости 3х­2у+z+7=0.
4. Найдите уравнение плоскости, проходящей а) через точки
Р(4;­2;1), Q(2;4;­3) и начало координат; б) через ось Оу и точку (4;0;3);
в) через точку М(0;2;1) параллельно векторам a =(1;1;1) и b =(1;1;-1).
5. Какой угол образует плоскость x  y  2z  4  0 а) с вектором
x 1 y  3 z

 ; в) с плоскостью
2
1
3
3x  y  3z  5  0 ; г) с плоскостью 2 x  z  3  0 ; д) с плоскостью
2x  2 y  4z  5  0 .
6. Найдите расстояние плоскости x  2 y  2z  4  0 а) от точки
А(5;1;­1); б) от плоскости 2x  4 y  4z  5  0 .
7. Составьте канонические и параметрические уравнения прямой,
проходящей через начало координат а) перпендикулярно плоскости
x4 y2 z
=
= .
3x  5 y  2z  3  0 ; б) параллельно прямой
2
1 5
8. Составьте канонические и параметрические уравнения прямых,
заданных общими уравнениями
 x  y  z  4  0,
 x  y  z  4  0,
и 

2 x  y  2 z  5  0 2 x  3 y  z  6  0.
Найдите угол между этими прямыми.
 x  z  1,
x y z
9. Покажите, что прямые = = и 
перпендикулярны.
2 3 1
y  1 z
10. Составьте уравнения прямой, проходящей через точку (­4;3;0)
 x  2 y  z  4  0,
параллельно прямой 
 2 x  y  z  0.
a =(1;2;1); б) с прямой
133
11.
Покажите,
что
прямая
плоскости 2х+у­z=0, а прямая
x 1 y 1 z  3
=
=
параллельна
2
1
3
x 1 y 1 z  3
=
=
лежит в этой
3
2
1
плоскости.
12. Найдите точку пересечения прямой и плоскости:
x 1 y  2 z
x  2 y 1 z  3
а)
=
=
и 3x  y  4z  24  0 ; б)
=
=
и
2
1 3
3
2
1
x  2y  z  5  0 .
13. Найдите точку, симметричную точке М(1;1;1) относительно
x 1 y z  1
прямой
= =
.
2
3
1
14. Найдите точку, симметричную точке М(1;1;1) относительно
плоскости x  y  2z  6  0 .
 x  z  2,
x2 y 4 z2
15. Покажите, что прямые 
и
=
=
y

2
z

1
3
1
1

пересекаются, и составьте уравнение плоскости, в которой они
расположены.
x y 1 z  3
Ответы. 2. а) =
=
; б) x  4 y  2z  2  0 .
1
4
2
3. 3x  2 y  z  0 . 4. а) x  7 y  10z  0 ; б) 3x  4 z  0 ; в) x  y  2  0 .
5
7
8
5. а) arcsin ; б) arcsin
; в) arccos
; г) 90о; д) 0о. 6. а) 3; б) 0,5.
6
2 21
114
z
x
y
x
y
z
7. а) =
= ; x  3t , y  5t , z  2t ; б) 
 ;
3 5 2
2 1 5
11
x  4 y 3 z
. 10.

 . 12. а) (3;­3;3);
x  2t, y  t, z  5t . 8. arccos
26
1
3
5
9 4 22
б)(1;­1;2). 13. ( ; ;
). 14. (3;3;-3). 15. x  2 y  5z  0 .
7 7 7
3. Комплексные числа
3.1. Понятие комплексного числа
Комплексным числом z называется число вида z  x  yi , где
i  1 , а x и y – вещественные числа. Число x называется
действительной частью, y – мнимой частью комплексного числа z. Это
записывают следующим образом: x  Re z, y  Im z .
2
134
Если x=0, то число z называют чисто мнимым, если y  0 , то
получается вещественное число z  x  0i  x . Два комплексных числа
z  x  yi и z  x  yi называются сопряженными.
Два комплексных числа z1  x1  y1  i и z 2  x 2  y 2  i равны друг
другу, если x1  x2 и y1  y2 ; комплексное число z считается равным
нулю, если x  y  0 .
Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости, т.к.
каждому z соответствует упорядоченная пара вещественных чисел x,y  :
y
y
Число z  0 ставится в соответствие началу координатной
плоскости. Такую плоскость в дальнейшем будем называть
комплексной плоскостью, ось абсцисс–действительной, а ось ординат–
мнимой осью комплексной плоскости.
Число
x2  y 2
называется
модулем
комплексного
числа
z  x  y  i и обозначается z или r : r  x 2  y 2 .
Отметим, что z  x  y  i называют алгебраической формой записи
комплексного числа.
3.2. Тригонометрическая и показательная формы
комплексного числа
Для определения положения точки на плоскости можно
пользоваться полярными координатами r,  , где r–расстояние точки
от начала координат, а φ–угол, который составляет радиус–вектор этой
точки с положительным направлением оси Ox. Положительным
направлением изменения угла φ считается направление против часовой
стрелки. Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат:
135
x  r cos , y  r sin , получим тригонометрическую форму записи
комплексного числа
z  r sin   i sin 
(101)
где r  x 2  y 2 , φ–аргумент комплексного числа, который находят из
формул
cos  
x
,
r
sin 
y
r
или
в
силу
того,
что
tg 
y
,
x
 y
x
уравнения необходимо учитывать знаки x и y.
Пример 46. Записать в тригонометрической форме комплексное
  arctg  . Заметим, что при выборе значений φ из последнего
число z  1  3  i .
Решение. Найдем модуль и аргумент комплексного числа:
x
y
z  1  3  2 . Угол φ найдем из соотношений cos   , sin  .
r
r
1
3
Тогда получим cos 
. Очевидно точка z  1  3  i
, sin 
2
2
2
находится во второй четверти:   120 o 
.
3
Подставляя в формулу (101) найденные r и φ, имеем
2
2 

z  2 cos
 i sin
.
3
3 

Замечание.
Аргумент
комплексного
числа
определен
неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2π. Тогда через
arg z обозначают значение аргумента, заключенное в пределах
o  arg z  2π  o . Тогда Argz  arg z  2kπ .
Используя известную формулу Эйлера
ei  cos  i sin ,
получаем показательную форму записи комплексного числа.
i
Имеем z  r cos  i sin    re .
3.3. Действия над комплексными числами
1.Сумма двух комплексных чисел z1  x1  y1  i и z 2  x 2  y 2  i
определяется согласно формуле z1  z 2  x1  x 2    y1  y 2  i .
2.Операция вычитания комплексных чисел определяется как
операция, обратная сложению. Комплексное число z  z1  z2 , если
136
z2  z  z1 , является разностью комплексных чисел z1 и z2. Тогда
z  x1  x2    y1  y2   i .
3.Произведение двух комплексных чисел z1  x1  y1  i и
z 2  x 2  y 2  i определяется по формуле
z1 z 2  x1  y1  i x 2  y 2  i   x1 x 2  y1 x 2  i  x1 y 2  i  y1 y 2  i 2 
x1 x 2  y1 y 2   x1 y 2  x 2 y1  i .
=
В частности z  z  x  y  i x  y  i   = x 2  y 2 .
Можно получить формулы умножения комплексных чисел в
показательной и тригонометрической формах. Имеем
z1z2  r1ei1  r2ei 2  r1r2ei 1  2   r1r2 cos1  2   i sin1  2  .
4.Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная
z
умножению, то есть число z  1 называется частным от деления z1 на
z2
z2, если z1  z2  z . Тогда

z1
x  y1  x1  iy1 x 2  iy 2 
 1


z 2 x 2  iy 2 x 2  iy 2 x 2  iy 2 
x1 x2  iy1 x2  ix1 y 2  i 2 y1 y 2
x2  y 2
2
2

x1 x2  y1 y2   i x1 y2  x2 y1 
x2 2  y 2 2
z1 x1x2  y1 y2
 x y  x2 y1
.

 i 1 22
2
2
z2
x2  y2
x2  y2 2
B показательной и тригонометрической формах:
Окончательно
z1 r1ei1
r
r

 1 ei 1  2   1 cos1   2   i sin1   2 .
z2 r2ei 2 r2
r2
5.Возведение в целую положительную степень комплексного числа
лучше производить, если число записано в показательной или
тригонометрической формах.
Действительно, если z  re i , то
 
z n  re i
n
 r n e in  r n cos n  i sin n .
Формула z n  r n cos n  i sin n  называется формулой Муавра.
6. Извлечение корня n–й степени из комплексного числа
определяется как операция, обратная возведению в степень n,
n  1,2 ,3,... то есть комплексное число z1  n z называется корнем n–й
степени из комплексного числа z, если z  z1 . Из этого определения
n
137
следует, что r  r1 , a r1  n r .   n1 , a 1   n , что следует из
n
формулы Муавра, записанной для числа z1:z  r1 cos n1  i sin n1  .
Как было отмечено выше, аргумент комплексного числа определен
неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2π. Поэтому
Argz    2πk , а аргумент числа z1, зависящий от k, обозначим φk и
n

2πk
. Ясно, что существует n
n
n
комплексных чисел, n–я степень которых равна числу z. Эти числа
будем вычислять по формуле  k 

имеют один и тот же модуль, равный n r , а аргументы этих чисел
получаются при k  0, 1, ..., n 1. Таким образом, в тригонометрической
форме корень n–й степени вычисляют по формуле:
  2kπ
  2kπ 

n
z  n r  cos
 i sin
 , k  0, 1, ..., n 1,
n
n 

а в показательной форме по формуле
n
z  n re
i
  2 kπ
n
.
Пример 48. Выполнить действия над комплексными числами в
алгебраической форме:

а) 1  i 2
Решение.
 3  i
3
1  i 2  3  i   1  3 2i  6i  2 2i 3  i  
1  3 2i  6  2 2i 3  i    5  2i 3  i  
3
2
3



 15  3 2i  5i  2i 2  15  3 2i  5i  2   15  2  5  3 2 i;
б)
1  2i 2  i 
3  i 
Решение.
1  2i 2  i   2  i  4i  2i 2  2  3i  2  4  3i  3  i 
3  i 
3  i 
3  i  3  i  3  i

12  4i  9i  3i 2
9i
2

12  5i  3 15  5i 3 1

  i.
9 1
10
5 2
Пример 49. Возвести число z  3  i в пятую степень.
Решение. Получим тригонометрическую форму записи числа z.
138
3
1
π
Отсюда
а
  ,
, sin   .
6
2
2
  π
 π 
z  2cos    i sin   . Тогда по формуле Муавра получим:
 6 
  6
r  3  1  2, cos 
  5 
5
5
 5 

z 5  2cos     i sin     2 cos   i sin  
6
6
6
6




 


 3
π
π 
3
1
1

 2  cos  i sin   2 
 i   2
 i    3  i  z .



6
6  2
2
2 

 2
Пример 50. Найти все значения
1 i 3 .
Решение. r=2, а φ найдем из уравнений cos 
1
3
.
,sin  
2
2
Эта точка 1  i 3 находится в четвертой четверти, то есть   
  
  
z  2 cos    i sin    , значения корня находим
 3 
  3




  2k
  2k 

3
3
.
 i sin
выражения 1  i 3  2  cos


2
2




При k  0 имеем
 3


1
3
1

z 0  2  cos  i sin   2 
i  

i.


6
6
2
2


2
2


Тогда
π
.
3
из
При k  1 имеем еще одно значение корня
π
π


  2π
  2π 

3
3
  2  cos 5 π  i sin 5 π  
z1  2  cos
 i sin
2
2
6
6 








 3
π
π
3
1
i 

 2   cos  i sin   2  
 i   

  z0.
 2
 2
6
6
2 
2 



Можно найти значения корня из числа z, представив число в
показательной форме.
139
π
i
π
Т.к. r=2, a    , то z  2e 3 , a
3
Тогда при k=0 имеем zo  2e
i
π
6
z
i π  2 kπ
3
2e 2
.
π
3 i
 π
 2  cos  i sin  

.
6
2
2
 6
При k=1 имеем
z1  2e
i
 π  2π
3
2
5
i π
5 


 5

 2e 6  2  cos π  i sin π   2   cos  i sin  
6
6
6
6



 3
i 
 

.
 2
2 

3.3.1. Задачи для самостоятельного решения.
1. Даны z1  2  3i и z 2  1  2i .
z1
; г ) z1  z 2 .
z2
2. Представить в тригонометрической форме следующие числа:
Найти a) z1  z 2 ; б) z1  z 2 ; в)
а) z  1  3i; б) z  i; в) z  5 .
3. Найти 1  i 8 .
4. Найти
1 .
Ответы. 1. а) 3  i ; 1  5i ; б) 8  i ; в) 
5
5

 i sin
2. а) z  2 cos
3
3

в) z  5cos 0  i sin 0 .
3. 16. 4.
k  1,
 1  cos




 ; б) z   cos  i sin  ;
2
2


  2k
2
4 7
 i ; г) 4  7i .
6 6
 i sin
  2k
1  i
140
2
,
При k  0,
1  i , при
4. Индивидуальные домашние задания
4.1. ИДЗ №1 Действия над матрицами
Выполнить действия над матрицами.
 3 1 2
0



1. A    1 0 2  , B   2
 1 2 1
3



5 4 2
5



2. A   1 2 4  , B   3
3 0 5
1



1 2

1 1  . Найти  A  B    A  B  .
7 1 
4  5

 7 1  . Найти A 1  B .
2
2 
 3 1 0
 1 0 2




3. A   3 5 1  , B   1  8 5  . Найти A 2  B .
 4  7 5
3
0 2 



 3 1 2
 0 1 2




4. A    1 0 2  , B   2 1 1  . Найти  A  B   A .
 1 2 1
3 7 1




 3 1 2
 0 1 2




5. A    1 0 2  , B   2 1 1  . Найти A 1  B .
 1 2 1
3 7 1




3

1
0

1
0
2







6. A   3 5 1  , B   1  8 5  . Найти  A  B    A  B  .
 4  7 5
3
0 2 



5 4 2
 5 4  5




7. A   1 2 4  , B   3  7 1  . Найти A  B 1 .
3 0 5
1 2
2 



 3 1 2
 0 1 2




8. A    1 0 2  , B   2 1 1  . Найти A B 2 .
 1 2 1
3 7 1




 3 1 0
 1 0 2




9. A   3 5 1  , B   1  8 5  . Найти A   A  B  .
 4  7 5
3
0 2 



141
 3 1 2
 0 1 2




10. A    1 0 2  , B   2 1 1  . Найти A  B 1 .
 1 2 1
3 7 1




 3 1 2
 0 1 2




11. A    1 0 2  , B   2 1 1  . Найти  A  B   B .
 1 2 1
3 7 1




 3 1 0
 1 0 2




12. A   3 5 1  , B   1  8 5  . Найти A 1  B .
 4  7 5
3
0 2 



 3 1 0
 1 0 2




13. A   3 5 1  , B   1  8 5  . Найти AB A .
 4  7 5
3
0 2 



 3 1 2
0



14. A    1 0 2  , B   2
 1 2 1
3



5 4 2
5



15. A   1 2 4  , B   3
3 0 5
1



1 2

1 1  . Найти B   A  B  .
7 1 
4  5

 7 1  . Найти A2  B 2 .
2
2 
 3 1 0
 1 0 2




16. A   3 5 1  , B   1  8 5  . Найти  A  B    A  B  .
 4  7 5
3
0 2 



 3 1 0
 1 0 2




17. A   3 5 1  , B   1  8 5  . Найти A  B 1 .
 4  7 5
3
0 2 



 3 1 2
 0 1 2




18. A    1 0 2  , B   2 1 1  . Найти A 2  B .
 1 2 1
3 7 1




 3 1 0
 1 0 2




19. A   3 5 1  , B   1  8 5  . Найти  A  B   A .
 4  7 5
3
0 2 



142
5 4 2
 5 4  5




20. A   1 2 4  , B   3  7 1  . Найти A  B  B  A .
3 0 5
1 2
2 



 3 1 2
 0 1 2




21. A    1 0 2  , B   2 1 1  . Найти  A  B    A  B  .
 1 2 1
3 7 1




0
 4 1  4



22. A   2  4 6  , B   2
1
 1 2 1 



 3 1 0
 1



23. A   3 5 1  , B   1
 4  7 5
3



1 1 

5 0  . Найти A 1  B .
 1 2 
0 2

 8 5  . Найти A B 2 .
0 2 
 3 1 2
 0 1 2




24. A    1 0 2  , B   2 1 1  . Найти A  B  A .
 1 2 1
3 7 1




 0 1 1 
 4 1  4




25. A   2  4 6  , B   2 5 0  . Найти A2  B 2 .
 1 1 2
 1 2 1 




 3 1 0
 1



26. A   3 5 1  , B   1
 4  7 5
3



0
 4 1  4



27. A   2  4 6  , B   2
1
 1 2 1 



0 2

 8 5  . Найти  A  B   B .
0 2 
1 1 

5 0  . Найти A  B 1 .
 1 2 
 3 1 2
 0 1 2




28. A    1 0 2  , B   2 1 1  . Найти AB A .
 1 2 1
3 7 1




 3 1 0
 1 0 2




29. A   3 5 1  , B   1  8 5  . Найти B   A  B  .
 4  7 5
3
0 2 



143
 0 1 1 
 4 1  4




30. A   2  4 6  , B   2 5 0  . Найти B  A  A  B .
 1 1 2
 1 2 1 




4.2. ИДЗ№2 Решение систем методом Гаусса.
Решить неоднородную
уравнений методом Гаусса.
систему
линейных
алгебраических
 x1  2 x2  x3  x4  0,

2 x1  x2  x3  2 x4  5,
1. 
3x1  2 x2  4 x3  x4  5,
2 x1  3x2  x3  2 x4  1.
 x1  2 x2  x3  2 x4  4,

2 x1  5 x2  6 x3  x4  2,
2. 
2 x1  3 x2  2 x3  2,
 x1  9 x2  6 x3  3 x4  1.
2 x1  4 x2  x3  6 x4  1,

3 x1  x2  2 x3  2 x4  12 ,
3. 
2 x1  x2  x3  8,
 x1  2 x2  2 x3  x4  1.
 2 x1  x2  2 x3  2 x4  5,

 3x1  6 x2  4 x3  3x4  5,
4. 
 x1  3x3  x4  2,
2 x1  x2  x3  x4  7.
2 x1  x2  4 x3  2 x4  1,

2 x1  3x2  2 x3  x4  10,
5. 
 x1  2 x2  2 x3  2 x4  4,
 x1  x2  3x3  2 x4  6.
 2 x1  4 x2  x3  x4  3,

 x1  2 x2  3x4  5,
6. 
3x1  x2  2 x3  x4  9,
 x1  2 x2  2 x3  x4  5.
2 x1  2 x2  3x3  x4  11,

 x1  3x3  2 x4  6,
7. 
 x1  3x2  x3  2 4  12 ,
3x1  x2  4 x3  2 x4  3.
 x1  2 x2  x3  2 x4  7,

2 x1  x2  5 x3  x4  1,
8. 
3x1  3x2  2 x3  2 x4  10,
 2 x1  x2  3x4  6.
 x1  x3  3x4  0,

2 x1  x2  2 x3  4 x4  10,
9. 
 x1  2 x2  x3  2 x4  5,
 2 x1  3x2  x3  3x4  2.
 x1  4 x2  4 x3  x4  3,

2 x1  x2  5 x4  4,
10. 
 x1  x2  2 x3  4 x4  1,
 x1  6 x2  5 x3  2 x4  3.
144
3x1  x2  2 x3  x4  1,

 x1  3 x3  x4  2,
11. 
 x1  2 x2  x3  2 x4  5,
2 x1  3x2  x3  3x4  6.
2 x1  2 x2  x3  x4  1,

 x1  2 x2  2 x3  x4  2,
12. 
3 x1  x2  2 x3  2 x4  0,
 x1  x2  3 x3  2 x4  2.
2 x2  x3  5 x4  2,

2 x  x2  3 x3  x4  6,
13.  1
3 x1  x2  2 x3  2 x4  7,
4 x1  3 x2  x4  5.
 x1  2 x2  x3  3 x4  2,

 x1  5 x2  4 x3  x4  5,
14. 
2 x1  x2  x3  2 x4  3,
4 x1  3 x2  2 x3  x4  1.
 x1  3x3  x4  3,

 x1  2 x2  2 x3  x4  0,
15. 
2 x1  x2  3x3  2 x4  6,
 x1  5 x2  4 x3  x4  11 .
 2 x1  4 x 2  x 3  x 4  2,

2 x1  2 x 2  3 x 3  x 4  14 ,
16. 
 x1  2 x 2  x 3  2 x 4  0,
 x1  2 x 3  3 x 4  2.
 x1  2 x2  2 x3  x4  0,

3 x1  x2  4 x3  2 x4  9,
17. 
 2 x1  x2  3 x4  7,
 2 x1  3 x2  x3  3 x4  3.
2 x1  x2  x3  2 x4  0,

 x1  2 x2  x3  2 x4  3,
18. 
2 x1  x2  x3  2,
 3 x1  6 x2  4 x3  3 x4  15 .
 x1  9 x2  6 x3  3 x4  7,

 x1  2 x2  2 x3  x4  3,
19. 
2 x1  x2  x3  x4  8,
 x1  x2  3 x3  2 x4  1.
2 x1  2 x2  2 x3  x4  11,

2 x1  x2  x4  5,
20. 
 x1  2 x2  x3  2 x4  6,
 x1  6 x2  3x3  2 x4  2.
 x1  2 x 2  x 3  x 4  2,

2 x1  x 2  x 3  3,
21. 
 2 x1  4 x 2  x 3  x 4  8,
3x1  3 x 2  2 x 3  2 x 4  2.
2 x1  x 2  x 3  2 x 4  7,

 x1  2 x 2  2 x 3  x 4  2,
22. 
 x1  2 x 2  3 x 4  6,
 2 x1  x 2  x 3  3 x 4  8.
145
3 x1  2 x 2  4 x 3  x 4  10 ,

 2 x1  x 2  2 x 3  2 x 4  4,
23. 
3 x1  x 2  2 x 3  x 4  8,
 x1  x 3  3 x 4  5.
2 x1  3x 2  x 3  2 x 4  9,

 3x1  6 x 2  4 x 3  3x 4  7,
24. 
 x1  2 x 2  2 x 3  x 4  9,
2 x1  x 2  2 x 3  4 x 4  4.
 x1  2 x 2  x 3  2 x 4  2,

2 x1  x 2  x 3  x 4  3,
25. 
2 x1  2 x 2  3 x 3  x 4  0,
 x1  2 x 2  x 3  2 x 4  0.
2 x1  5 x 2  6 x 3  x 4  2,

 x1  3x 3  x 4  8,
26. 
 x1  3x 2  x 3  2 x 4  10,
 2 x1  3x 2  x 3  3x 4  4.
2 x1  3 x 2  2 x 3  0,

2 x1  x 2  4 x 3  2 x 4  6,
27. 
 x1  3 x 3  2 x 4  1,
 x1  4 x 2  4 x 3  x 4  10 .
 x1  3x 2  2 x 3  3x 4  6,

2 x  3x 2  2 x 3  x 4  4,
28.  1
3x1  x 2  4 x 3  2 x 4  9,
2 x1  x 2  5 x 4  4.
2 x1  4 x 2  x 3  2 x 4  9,

 x1  2 x 2  2 x 3  2 x 4  0,
29. 
 x1  2 x 2  x 3  2 x 4  7,
 x1  x 2  2 x 3  4 x 4  2.
3x1  x 2  2 x 3  2 x 4  9,

 x1  x 2  x 3  2 x 4  4,
30. 
2 x1  2 x 2  x 3  x 4  10 ,
 x1  3x 2  2 x 3  4 x 4  9.
4.3. ИДЗ №3 Решение систем
Доказать, что система линейных алгебраических уравнений
совместна и решить её:
1) матричным методом;
2) по формулам Крамера.
 x1  2 x 2  x 3  2,

1. 2 x1  x 2  x 3  1,
3x  2 x  4 x  7.
2
3
 1
 x1  2 x 2  x 3  4,

2. 2 x1  5 x 2  6 x 3  6,
2 x  3x  2 x  2.
2
3
 1
2 x1  4 x 2  x 3  1,

3. 2 x1  x 2  x 3  8,
 x  2 x  2 x  1.
2
3
 1
 2 x1  x 2  2 x 3  7,

4.  3x1  6 x 2  4 x 3  8,
 x  3x  1.
3
 1
146
2 x1  x 2  4 x 3  3,

5. 2 x1  3x 2  2 x 3  11,
 x  2 x  2 x  2.
2
3
 1
 2 x1  4 x 2  x 3  6,

6.  x1  2 x 2  4,
3x  x  2 x  6.
2
3
 1
2 x1  2 x 2  3x 3  9,

7.  x1  3x 3  2,
 x  3x  x  8.
2
3
 1
 x1  2 x 2  x 3  7,

8. 2 x1  x 2  5 x 3  1,
3x  3x  2 x  10 .
2
3
 1
 x1  x 3  3,

9. 2 x1  x 2  2 x 3  14,
 x  2 x  x  7.
2
3
 1
 x1  4 x 2  4 x 3  4,

10. 2 x1  x 2  9,
 x  x  2 x  5.
2
3
 1
3x1  x 2  2 x 3  4,

11.  x1  3x 3  1,
 x  2 x  x  1.
2
3
 1
2 x1  2 x 2  x 3  2,

12.  x1  2 x 2  2 x 3  1,
3x  x  2 x  6.
2
3
 1
2 x 2  x 3  3,

13. 2 x1  x 2  3x 3  5,
3x  x  2 x  9.
2
3
 1
 x1  2 x 2  x 3  1,

14.  x1  5 x 2  4 x 3  4,
2 x  x  2 x  0.
2
3
 1
 x1  3x 3  4,

15.  x1  2 x 2  2 x 3  1,
2 x  x  3x  4.
2
3
 1
 2 x1  4 x 2  x 3  2,

16. 2 x1  2 x 2  3x 3  14,
 x  2 x  x  0.
2
3
 1
 x1  2 x 2  2 x 3  1,

17. 3x1  x 2  4 x 3  11,
 2 x  x  4.
1
2

2 x1  x 2  x 3  2,

18.  x1  2 x 2  x 3  1,
2 x  x  x  2.
2
3
 1
 x1  9 x 2  6 x 3  10,

19.  x1  2 x 2  2 x 3  2,
2 x  x  x  9.
2
3
 1
3x1  2 x 2  2 x 3  11,

20. 2 x1  x 2  4,
 x  2 x  x  8.
2
3
 1
147
2 x1  2 x 2  3x 3  1,

21.  x1  4 x 2  7 x 3  0,
3x  x  4 x  1.
2
3
 1
 x1  3x 2  x3  0,

22. 2 x1  x 2  x 3  2,
 3x  x  2 x  3.
1
2
3

 x1  2 x 2  x 3  4,

23. 2 x1  5 x 2  6 x 3  8,
2 x  x  x  6.
2
3
 1
 2 x1  x 2  2 x 3  5,

24. 2 x1  3x 2  2 x 3  9,
 x  2 x  5.
2
 1
 x1  3x 2  x 3  2,

25. 2 x1  x 2  5 x 3  3,
2 x  x  2 x  4.
2
3
 1
 x1  4 x 2  4 x 3  2,

26.  x1  3x 3  5,
3x  x  2 x  7.
2
3
 1
2 x1  x 2  3x 3  5,

27.  x1  5 x 2  2 x 3  4,
 x  2 x  2 x  8.
2
3
 1
2 x1  x 2  3x 3  14,

28. 2 x1  2 x 2  3x3  10,
 x  2 x  2 x  9.
2
3
 1
3x1  x 2  4 x 3  9,

29.  x1  2 x 2  x 3  1,
2 x  x  x  6.
2
3
 1
 x1  2 x 2  x 3  4,

30. 3x1  2 x 2  4 x 3  5,
 x  3x  2 x  5.
2
3
 1
4.4. ИДЗ №4 Прямая на плоскости
Даны вершины треугольника АВС. Найти:
а) уравнение стороны AB;
б) уравнение высоты CH;
в) уравнение медианы AM;
г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно
стороне AB;
е) расстояние от точки С до прямой AB.
1. A(3;4) , B( -1;6) , C(1;1) .
2. A(3; -1) , B(-1;0) , C(7;3) .
3. A(3;5) , B(5;8) , C(2;-2) .
4. A(2;4) , B(1;5) , C( -4;9) .
5. A(9;5) , B(-3;7) , C(7;8) .
6. A(0;7) , B(-1;5) , C(1;6) .
7. A(5;4) , B( -1;-4) , C(3;5) .
8. A(6;1) , B(-4;6) , C(4;2) .
148
9. A( -7;3) , B(9;4) , C(5;7) .
10. A(6;-8) , B(5;7) , C(2;4) .
11. A(4;5) , B(0;-7) , C(2;7) .
12. A(4;4) , B(10;-2) , C(2;8) .
13. A(-4;-6) , B(9;4) , C(-2;10) .
14. A(3;-5) , B(8;7) , C(5;4) .
15. A(-9;6) , B(-2;-8) , C(8;9) .
16. A(8;2) , B(5;-6) , C(7;4) .
17. A(6;6) , B(4;9) , C(-4;11) .
18. A(7;2) , B(-5;1) , C(5;-3) .
19. A(8;- 6) , B(5;-5) , C(5;-8) .
20. A(-1;3) , B(6;5) , C(5;8) .
21. A(-2;7) , B(4;2) , C(3;5) .
22. A(4;2) , B(11;2) , C( -3;5) .
23. A(2;- 3) , B(5;-7) , C(-2;7) .
24. A(5;7) , B(-2;5) , C(4;10) .
25. A(4;-5) , B(1;9) , C(-3;2) .
26. A(3;-2) , B(4;6) , C(6;5) .
27. A(2;6) , B(-4;9) , C(-5;8) .
28. A(2;7) , B(3;- 3) , C(-1;9) .
29. A(2;-1) , B(6;-3) , C(-2;8) .
30. A(4;5) , B(3;-2) , С(-5;6) .
4.5. ИДЗ№5 Полярная система координат
1) Постройте кривые в полярной системе координат по точкам,
давая значения через промежуток

, начиная от   0 .
8
2) Найдите уравнение полученной линии в прямоугольной
декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а
положительная полуось абсцисс – с полярной осью и по уравнению
определите вид кривой.
1
.
1  cos 
1
3.  
.
2  cos 
4
5.  
.
2  3 cos 
1.  
7.  
8
.
3  cos 
10
.
2  cos 
3
4.  
.
1  2 cos 
1
6.  
.
3(1  cos  )
5
8.  
.
6  3 cos
2.  
149
1
.
2  2 cos 
5
.

3  4 cos 
4
.

2  3 cos 
3
.

5  6 cos 
1
.

1  sin 
4
.

1  cos 
3

.
1  sin 
4

.
1  cos 
3

.
2  sin 
6

.
2  sin 
4

.
1  sin 
1
.
1  cos 
6
.

3  2 cos 
2
.

1  sin 
5
.

4  3 cos 
3
.

2  cos 
6
.

1  2 cos 
4

.
1  sin 
5

.
2  sin 
1

.
3  cos 
6

.
2  sin 
5

.
4  cos 
9.  
10.  
11. 
12.
13. 
15. 
17. 
19. 
21. 
23. 
25. 
27. 
29. 
14.
16.
18.
20.
21.
24.
26.
28.
29.
4.6. ИДЗ№6 Прямая и плоскость в пространстве
Даны четыре точки А, В, С и D. Составить уравнения:
а) плоскости ABC;
б) прямой AB;
в) прямой DM, перпендикулярной к плоскости ABC;
г) прямой CN, параллельной прямой AB;
д) плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно к прямой
AB.
Вычислить:
е) синус угла между прямой AD и плоскостью ABC;
ж) косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью
ABC.
1. A(3,1,4) , B( -1,6,1) , C( -1,1,6) , D(0,4, -1) .
2. A(3, -1,2) , B( -1,0,1) , C(1,7,3) , D(8,5,8) .
150
3. A(3,5,4) , B(5,8,3) , C(1,2, -2) , D( -1,0,2) .
4. A(2,4,3) , B(1,1,5) , C(4,9,3) , D(3,6,7) .
5. A(9,5,5) , B( -3,7,1) , C(5,7,8) , D(6,9,2) .
6. A(0,7,1) , B(2, -1,5) , C(1,6,3) , D(3, -9,8) .
7. A(5,5,4) , B(1, -1,4) , C(3,5,1) , D(5,8, -1) .
8. A(6,1,1) , B(4,6,6) , C(4,2,0) , D(1,2,6) .
9. A(7,5,3) , B(9,4,4) , C(4,5,7) , D(7,9,6) .
10. A(6,8,2) , B(5,4,7) , C(2,4,7) , D(7,3,7) .
11. A(4,2,5) , B(0,7,1) , C(0,2,7) , D(1,5,0) .
12. A(4,4,10) , B(7,10,2) , C(2,8,4) , D(9,6,9) .
13. A(4,6,5) , B(6,9,4) , C(2,10,10) , D(7,5,9) .
14. A(3,5,4) , B(8,7,4) , C(5,10,4) , D(4,7,8) .
15. A(10,9,6) , B(2,8,2) , C(9,8,9) , D(7,10,3) .
16. A(1,8,2) , B(5,2,6) , C(5,7,4) , D(4,10,9) .
17. A(6,6,5) , B(4,9,5) , C(4,6,11) , D(6,9,3) .
18. A(7,2,2) , B( -5,7, -7) , C(5, -3,1) , D(2,3,7) .
19. A(8, -6,4) , B(10,5, -5) , C(5,6, -8) , D(8,10,7) .
20. A(1, -1,3) , B(6,5,8) , C(3,5,8) , D(8,4,1) .
21. A(1, 2,7) , B(4,2,10) , C(2,3,5) , D(5,3,7) .
22. A(4,2,10) , B(1,2,0) , C(3,5,7) , D(2, -3,5) .
23. A(2,3,5) , B(5,3, -7) , C(1,2,7) , D(4,2,0) .
24. A(5,3,7) , B( -2,3,5) , C(4,2,10) , D(1,2,7) .
25. A(4,3,5) , B(1,9,7) , C(0,2,0) , D(5,3,10) .
26. A(3,2,5) , B(4,0,6) , C(2,6,5) , D(6,4, -1) .
27. A(2,1,6) , B(1,4,9) , C(2, -5,8) , D(5,4,2) .
28. A(2,1,7) , B(3,3,6) , C(2, -3,9) , D(1,2,5) .
29. A(2, -1,7) , B(6,3,1) , C(3,2,8) , D(2, -3,7) .
30. A(0,4,5) , B(3, -2,1) , С(4,5,6) , D(3,3,2) .
4.7. ИДЗ №7. Комплексные числа
1. Выполнить действия над комплексными числами в
алгебраической форме.
1. z  1  2i 3  i 
2. z  31  i  1  3i 
2
2
z
1  i 2  2i  .
1  i 1  2i 
z
151
3  i 1  i  .
2  i 2  3i 
4. z  3 1  i   2  i 
3. z  32  i   1  i 
2
z
2
3i
.
2 1  i i
2
2  7i
3  4i  1  2i 2
2
z
.
7. z  4 3  i  2  i 
3
i1  2i 
.
 2  i 3  i 
z
3
2
11. z 
z
 21  2i i
.
 3  i 1  2i 
z
2
 3  2i i .
2  2i 3  i 
z
13. z  1  i  1  2i 
z
2
6i5  2i 
.
2  i 1  i 
z
51  i i
.
3  2i 4  i 
16. z   1  i  1  2i 
3
2
2  i 4  i  .
6i2i  1
z
5  i  2  i  .
2i  12
18. z  1  i  3  4i 
17. z  3  2i   2  i 
2
z
3i 1  i 
.
2  i 1  2i 
14. z  2  3i 2  i 
3
15. z  32  i 1  i 
z
2  i  2  2i  .
 i  1 2i 
12. z  21  i 5  i 
1
1  i 3  1  3i 
2
2
2i  12 i .
4  i 1  i 
10. z  4  5i  2  i 
9. z  2 5  i 1  7i 
z
 1  i 3 3  i  .
2  7i i
8. z  51  i   2  3i 
2
z
1 i 3
6. z  32  i  1  i 
5. z  25  i   2  i 
z
 1  i 2  i 3 .
z
3
2  i 2  2i  .
3i  12
z
152
26i  5
.
2i  11  3i 
20. z  3  4i  1  2i 
19. z  21  i  3  2i 
3
z
2
3
5  i i .
6  i 2  2i 
z
22. z  52  i  1  i 
21. z  3i  1 1  5i 
2
2
4i  12  i  .
 1  i i
z
z
23. z  2  i   1  3i 
2
3  2i 2 .
1  i 3  2i 
z
2
2
 3  i 1  2i  .
6  i 2
z
27. z  51  2i  1  3i 
3
3  4i 5  i  .
1  2i 2
z
29. z  1  i  5  2i 
2  2i 8  i  .
 1  i 1  2i 
30. z  6i1  2i 1  i 
3
z
7  7i i .
 2  2i 2
28. z  2  i  31  2i 
2
z
1  i 2 .
6  i 2  5i 
26. z  5  2i  1  i 
25. z  3 1  i 2  i 
z
2  3i  i  .
 4  i 1  2i 
24. z   1  i 3  2i 
2
z
3i  16i  1 .
7  i 2
 1  i  .
3  2i 1  i 
2
z
 2  3i i .
1  3i  2  i 
2. Найти.

1.  3  i


3 1 
4.  
 i
 2 2 



2.  1  i 
10
7.  1  3i

9
12
8

5.  1  3i
3.

6
6.  1  i 
5
 3 1 
 i
8. 
 2 2 


 3  i
10
8
153
9.
 3  i
7

10
10. 1  i 

16. 
11.  3  i

5
13. 1  3i
3 i

20
6
22. 2  2i 
20
25.  3  3i 
7


10
15.  3  i
 3  i
20.  3  i 
17.

10
18.  1  i 
11
21.  1  3i
8
12
23.  2  2i 
15
26.
6
 1
3 
12.   
i
 2 2 



14.  1  i 
7
19. 2  2i 
28.  3  i

12
10
8
10
 3  i
 1
3 
27.   
i
 2
2 

10
1 1 
29.   i 
2 2 


24.  1  3i 
7


7
30.  1  3i .
3. Решить уравнение.
1. z 3  1  i
2. z 3   3  i
3. z 5  i
4. z 4  3  i
5. z 4  1  i
6. z 5  1  3i
7. z 6  1
8. z 4  1  3i
9. z 3  1  i
10. z 3  3  i
11. z 4  i
12. z 4   3  i
13. z 4  1  i
14. z 3  1  3i
15. z 5  32
16. z 4   3  i
17. z 4  1  i
18. z 3  3  i
19. z 5  3  i
20. z 3  i
21. z 3  1  i
22. z 3  1  3i
23. z 4  1  3i
24. z 4  16
25. z 4  3  i
26. z 3  1  i
27. z 5   3  i
28. z 5  3  i
29. z  1  i
30. z 3   3  i
5
154
5. Контрольные работы
5.1. Контрольная работа по теме «Векторная алгебра»
Вариант I
1. В параллелограмме ABCD О – точка пересечения диагоналей,
1
AO  a , BO  b . Выразить через a и b вектор m  AB  BC  DA.
3
2. Зная, что a   i  5 j  k и b  3i  j   k коллинеарны, найти
 и .
числа
3. Известно, что a  5 , b  6 , a b  6 . Найти a  b .
4. Проверить компланарность векторов a2;1;3 , b1;4;2 и c3;1;1 .
Вариант II
1. Отрезок KP разделен точками А, В, С на 4 равные части. Точка
D не принадлежит отрезку КР. DK  b , DP  a . Выразить через a и b
вектор m  DB  3DA  4DC .
2. Даны точки A1;2;3 , B2;4;0 , C (1;2;3) .Найти пр AB AC .
3. Даны векторы a  2i  3 j  7k и b   i  2 j  4k . При каком
значении  векторы a и b перпендикулярны?
 

 

4. Известно, что a  2 , b  3 , c  2 , a, c  120  , b, c  60  .


Найти 4a  3b  c .
Вариант III
1. В параллелограмме ABCD диагонали AC  a , BD  b . Выразить
через a и b вектор MA , где M – середина стороны CD .
2. При каких значениях 
и 
векторы a   i  7 j  3k и
b  i   j  2k коллинеарны?
3. Даны векторы a  i  4 j  8k , b  4i  4 j  2k и c  2i  3 j  6k .
 
Найти пр a b  c .
4. Проверить компланарность векторов a , b и c , если a3;5;1 ,
b2;4;7 и c1;5;3 .
155
Вариант IV
1. В треугольной пирамиде ABCD точка К лежит на ребре АВ и
делит отрезок АВ в отношении 1:3, считая от точки А. Зная, что AK  a ,
AC  b, AD  c , выразить через a , b и c вектор m  BD  CD  BC .
2. Даны вершины четырехугольника A1;1;4 , B5;3;5 ,
C (3;1;2) , D4;0;1 . Доказать, что AC  BD .
3. Вычислить направляющие косинусы вектора a  16i  12 j  15k .
4. Даны векторы a 3;2;6 и b 2;4;4 . Найти a  b .
Вариант V
и
1. В параллелограмме ABCD O – точка пересечения диагоналей АС
BD, AO  a , BO  b . Выразить через a и b вектор
m  5 AB  BC  2CD  DA .
 

2. Дано: a  2 , b  3 , a, b  60  . Найти a  b .
3. Вычислить
a  2i  j  2k .
сумму
направляющих
косинусов

вектора

4. Даны векторы a2;0;3 , b(1;2;4) , c 2;1;5 . Найти 2c  3b  a .
Вариант VI
1.
Векторы
AC  p ,
BD  q
являются
диагоналями
параллелограмма ABCD. Выразить через p и q вектор m  DA  2CD .
2. При каких значениях 
и 
векторы a  2i  3 j   k и
b   i  6 j  2k коллинеарны?
3. Даны векторы a1;0;2 , b2;3;1 и c0;1;1 . Найти прac  b .
 

 

4. Известно, что a  5 , b  3 , a, b  60  . Найти a  b  2a  b .
Вариант VII
1. В треугольнике АВС сторону АВ точками М и N разделили на три
равные части (считая от А к В), CA  p , CB  q . Выразить через p и
q вектор m  CM  CN .
156

 

2. Даны точки P1;1;0 , O  3;1;4 2 , S 3;1;2 2 . Найти пр PS PO
.
3. Даны векторы a   i  3 j  4k и b  4i  2 j  7k . При каком
значении  векторы a и b перпендикулярны?
4. Известно, что a5;0;1 , b 2;5;2 . Вычислить направляющие
косинусы вектора m  2a  b .
Вариант VIII
1. В треугольнике АВС BC  a , CA  b . Выразить через a и b
вектор m  BN  CP , где N – середина стороны АС, Р – середина
стороны АВ.
2. Даны векторы a2;3;1 , b1;2;0 , c 2;4;5 . Найти
4a  3b c .
 

3. Известно, что a  2 , b  4 , a, b  45  . Найти a  b .
4. Найти проекцию вектора a на ось Oz, если известно, что a  3 ,
a, Ox   45 , a, Oy   60 , a, Oz  - острый.





5.2. Контрольная работа по теме «Элементы аналитической
геометрии и кривые второго порядка».
Задача 1.
Даны вершины треугольника Ax1 ; y1  , Bx 2 ; y 2  , C x3 ; y 3  .
Найти 1) уравнение стороны АВ;
2)угол при вершине А;
3) уравнение и длину высоты CD;
4) точку пересечения медианы треугольника. Сделать чертеж.
1.1. A4;2 , B0;7  , C 2;0 .
1.2. A4;4 , B0;0 , C 3;8 .
1.3. A3;3 , B5;1 , C 4;3 .
1.4. A3;2 , B4;1 , C 1;3 .
1.5. A1;2 , B7;4 , C 3;4 .
1.6. A8;3 , B8;5 , C 8;5 .
1.7. A6;2 , B2;2 , C 4;10  .
157
1.8. A2;3 , B3;3 , C 6;7  .
Задача 2.
2.1. Составить каноническое уравнение эллипса, у которого малая
полуось равна 4, а расстояние между фокусами равно 10.
2.2. Определить координаты центра и радиус окружности
2
x  y 2  10x  4 y  29  0 .
2.3. Составит уравнение гиперболы, проходящей через точки
 2 5
 3;
 и  2 5 ;3 .

5 



2.4. На параболе y 2  8x найти точку, расстояние которой до
директрисы параболы равно 4.
2.5.Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что большая
1
полуось равна 6, а эксцентриситет   .
2
2.6. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние
между фокусами равно 10, а между вершинами 8.
2.7. Составить уравнение параболы, симметричной относительно
оси Оу, проходящей через точку A1;4 , вершина которой лежит в
начале координат.
2.8. Определить координаты центра и радиус окружности
2
x  y 2  4 x  14 y  54  0 .
158
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Кремер Н. Ш..Линейная алгебра: учебник и практикум для
академического бакалавриата / Н. Ш. Кремер, М. Н. Фридман ; под ред.
Н. Ш. Кремера ; Фин. ун-т при Правительстве РФ. - 2-е изд., испр. и доп.
- М. : Юрайт, 2014.
2. Рудык Б. М., Линейная алгебра. - М.: ИНФРА-М, 2013.
3. Канатников А. Н.Аналитическая геометрия: учебное пособие для
студентов вузов / А. Н. Канатников, А. П. Крищенко. - М.: Академия,
2009.
4. Садовничий, Ю. В. Аналитическая геометрия: курс лекций с
задачами / Ю. В. Садовничий, В. В. Федорчук. - М.: Экзамен, 2009.
5. Сикорская Г. А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
Методические указания по курсу линейной алгебры и аналитической
геометрии, задания для типового расчета: [учеб. пособие для студентов
вузов] / Г. А. Сикорская, Д. У. Жапалакова ; Оренбург. гос. ун-т. Оренбург : ГОУ ОГУ, 2005.
6. Канатников А. Н., Крищенко А. П., Аналитическая геометрия. М.: Академия, 2011.
7. Просветов Г. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
Задачи и решения. - М.: Альфа Пресс, 2009.
8. Гусак А. А. Справочное
пособие
к
решению
задач:
аналитическая геометрия и линейная алгебра. – Минск: ТетраСистемс,
2013.
9. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 2013, ч.1.
10. Кострикин А. И. Линейная алгебра и геометрия. – СПб: Лань,
2012.
11. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.:
Физматлит, 2013.
159