Расчет прецессии перигелия орбиты Меркурия в рамках

УДК 530.12
КУПРЯЕВ Н.В.
РАСЧЕТ ПРЕЦЕССИИ ПЕРИГЕЛИЯ ОРБИТЫ МЕРКУРИЯ В РАМКАХ ОБОБЩЕННОГО
ЗАКОНА ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ С УТОЧНЕННЫМИ ДАННЫМИ
Проведено численное моделирование прецессии перигелия орбиты Меркурия за 100 лет в рамках
обобщенного закона всемирного тяготения в поле тяготения Солнца и планет с уточненными данными орбит
планет (включая пояс астероидов и Плутон), а также гравитационной постоянной и с меньшим шагом итерации
(0.0002 с). Расчеты проведены с повышенной точностью вычисления. Показано, что средняя прецессия перигелия
орбиты Меркурия за 100 лет в рамках обобщенного закона всемирного тяготения составляет ~ 563.1''. Это
меньше наблюдаемого смещения перигелия орбиты Меркурия на ~ 11''. Наблюдаемое смещение перигелия, как
известно, составляет ~ 574.1''. Не исключено, что внутри орбиты Меркурия может находиться еще какой-то
неизвестный неучтенный объект (или несколько объектов) малого размера.
Ключевые слова: Закон всемирного тяготения Ньютона, обобщение закона всемирного
тяготения Ньютона, численное моделирование орбиты Меркурия, прецессия перигелия орбиты
Меркурия.
В работе [1] автором было предложено обобщение закона всемирного тяготения Ньютона на
случай движущихся гравитационных масс. Рассматривались мнимые гравитационные заряды
i G m , где i - мнимая единица; m - собственная масса (масса покоя) тела, совпадающая с
ньютоновской массой; G - гравитационная постоянная. Обобщение базировалось на аналогии
гравитации с электродинамикой Максвелла.
Мнимость заряда, введенная автором в [1], отражал тот факт, что истинных гравитационных
зарядов в природе, по-видимому, не существует. Автором предполагается, что существует какое-то
остаточное некомпенсированное поле и, скорее всего, электромагнитного происхождения.
Как и в электродинамике, предполагается, что гравитационных зарядов может быть двух
сортов – один для материи  i G m , другой – для антиматерии  i G m . Одноименные заряды
притягиваются, разноименные отталкиваются. При соединении разноименные гравитационные
заряды аннигилируют и превращаются в безмассовые фотоны.
Если пренебречь членами v 2 / c 2 второго порядка малости, для конфигурации
гравитационного поля, движущегося со скоростью v мнимого гравитационного заряда i G m , как
и в электродинамике, можно записать выражение
i Gm
,
(1)
r2
где g - величина гравитационного поля в точке наблюдения;  vr - угол между вектором скорости
g
v заряда i G m и радиус-вектором r наблюдения. Для конфигурации гравимагнитного поля i Gm v
sin  vr ,
r2 c
где H - величина гравимагнитного поля в точке наблюдения. В векторном виде это можно
переписать так
H
g
i Gm
r;
r3
(2)
(3)
i Gm
vr  .
(4)
r 3c
Таким образом, в рамках обобщенного закона всемирного тяготения сила (по аналогии с
силой Лоренца), действующая в этом поле на другой движущийся со скоростью v мнимый
гравитационный заряд i G m , как и в электродинамике Максвелла, также описывается формулой
H
F  i G mg 
i Gm
vH  .
c
1
(5)
Только в отличие от электродинамики Максвелла в рамках обобщенного закона всемирного
тяготения между двумя параллельно движущимися телами одного заряда возникает не сила
притяжения, а сила отталкивания.
В работах [2-4], как известно, было проведено численное моделирование орбиты Меркурия (в
Delphi) в рамках обобщенного закона всемирного тяготения с шагом t итерации 0.0005 с в поле
тяготения Солнца и планет, но, к сожалению, с устаревшими данными и без учета пояса
астероидов, а также Плутона. Но, тем не менее, для среднего смещения перигелия орбиты
Меркурия за 100 лет было получено значение ~ 562.2'', что меньше наблюдаемого значения на ~
11.9''. Наблюдаемое значение смещения перигелия орбиты Меркурия, точнее, динамическая
составляющая этого смещения по современным данным, как известно, составляет ~ 574.1''. Для G
было принято значение 6.67258·10-8 дин·см2/г2.
В данной работе мы проведем численное моделирование орбиты Меркурия в рамках
обобщенного закона всемирного тяготения также в Delphi и с повышенной точностью вычисления,
но с шагом t итерации 0.0002 с и с новыми уточненными данными параметров орбит планет
(включая пояс астероидов и Плутон), а также гравитационной постоянной G (для G примем
рекомендованное CODATA1 в 2010 году значение 6.67384·10-8 дин·см2/г2), и сравним полученный
результат с наблюдательными данными.
Число положений n-планеты на круговой орбите радиуса r0 n , как и прежде, оставим 16, где n
— порядковый номер планеты. Это число оптимальное, так как дальнейшее увеличение числа
положений планет не изменяет результат вплоть до 5 знака и более знаков после запятой.
Пусть, как и в [2-4], ускорение a , приобретаемое телом массой m , движущимся со
скоростью v , и сила F , действующая на это тело, также связаны формулой
v v
m a 
ma
c c
,
(8)
F
 
3
2
v
2 2
1  2 1  v 
 c2 
c


или, если поделить на m , формулой
 v a v


F
a
c c
,
(9)
f 

 
3
m
v2  v2  2
1  2 1  
 c2 
c


где f - удельная сила, действующая на единицу массы этого тела. В координатном виде (в
плоскости x, z ) это можно переписать так

v v
v z2  v x2 
1 
 f  x z f z ,
2
2 
2  x
c c
c
c  c 

(10)
2
2
2
v x v z  v z 
vx vz

a z  1  2  2 1  2  f z 
f x .
c c
c
c  c 

Пусть, как и в [2-4], также имеется мировая инерциальная система отсчета (ИСО) S ,
покоящаяся относительно абсолютного мирового пространства-эфира (рис. 1). (В
действительности, как уже говорилось в [2], Солнце вместе с солнечной системой, по-видимому,
движется в пространстве со скоростью ~ 360 км/с.)
ax  1 
1
v x2

Пока писалась эта статья для G в 2015 году CODATA приняло рекомендованное на момент 2014 года
значение 6.67408·10-8 дин·см2/г2 – примечание автора.
2
z
v1
r01
rn1
m1
vn
r0n
mn
x
m0
Рис. 1
Пусть, как и в [2-4], ось x (в плоскости страницы) также направлена вправо, ось z вверх. Ось
y , очевидно, направлена от читателя. Пусть в начале координат ИСО S находится (неподвижно)
Солнце с массой m0 равной 1.9891·1033 г. Радиус R0 Солнца примем 6.9551·1010 см. Пусть, как и
прежде, вращение Солнца происходит в плоскости страницы против часовой стрелки, yкомпонента угловой скорости w0 y вращения Солнца вокруг оси равна -2.865·10-6 рад/с. Степень
сжатия (сплюснутости) Солнца обозначим через e, где e  dR / R0 , где e по современным данным
составляет ~ 1.13·10-5. Для светимости Солнца примем L = 3.86·1033 эрг/с.
Радиус-вектор и скорость Меркурия, как и прежде, обозначим через r01 , v1  , радиус-вектор и
скорость n-планеты с массой mn - через r0n , v n  . Радиус n-планеты обозначим через Rn , yкомпоненту угловой скорости вращения планеты вокруг оси – через wny . Радиус-вектор,
направленный из n-точки в точку 1, очевидно, есть rn1 .
Планеты, таким образом, обращаются вокруг Солнца в плоскости страницы против часовой
стрелки по среднегеометрическим круговым орбитам радиуса r0n  x02n  z 02n со
2
2
среднегеометрической орбитальной скоростью v n  v nx
. Среднегеометрический радиус
 v nz
орбиты планеты вычисляется по формуле r0n  a 1  2  , где a – большая полуось орбиты
планеты; ε – эксцентриситет орбиты.
Площадь среднегеометрической круговой орбиты планеты, как известно, равна площади
эллиптической орбиты и планета за равные промежутки времени, как и в первом, так и во втором
случае, заметает одинаковые площади и оказывает (в среднем) одинаковое действие на Меркурий.
Только в отличие от круговой орбиты в случае эллиптической орбиты планета на орбите будет
расположена в перигелии реже, в афелии чаще.
Вращение планет, очевидно, будет происходить также плоскости страницы, кроме, Урана. Ось
Урана, как известно, лежит в плоскости орбиты (т.е. в плоскости страницы) и составляющая
гравимагнитной силы в плоскости страницы равна нулю и не оказывает влияние на прецессию
перигелия орбиты Меркурия.
На Меркурий, таким образом, действует сила, и со стороны Солнца, и со стороны планет.
Солнце создает поле
1/ 4
g 01 
i G m0
3
r01
r01 и H 01  
p m0
3
r01
,
i G m0
w 0 R02 - гравимагнитный момент Солнца; w 0 - вектор угловой скорости
5c
вращения Солнца; n-планета -
где pm0 
g n1 
i G mn
rn31
rn1 и H n1 
3
i G mn
rn31c
v n rn1  
Pmn
rn31
,
i G mт
w n Rn2 - гравимагнитный момент n-планеты; w n - вектор угловой скорости
5c
вращения n-планеты. Гравитационный заряд Меркурия, очевидно, равен i G m1 . Масса m1
Меркурия, как известно, равна 3.33022·1026 г.
Вначале для калибровки рассмотрим поведение орбиты Меркурия с учетом только одного
Солнца. Планеты, спутники, вращение Солнца и планет, сжатие Солнца, силу давления солнечного
света и температуру Меркурия пока учитывать не будем. Удельная сила, действующая на
Меркурий (в координатном виде), очевидно, равна
Gm
f 01x   3 0 x 01 ,
r01
(11)
Gm
f 01z   3 0 z 01 ,
r01
где pmn 
2
2
где r01  x01
.
 z 01
Вычисление времени t , положения r01 и скорости v1 Меркурия на N шаге, начиная от
начальной точки перигелия орбиты Меркурия (от положительной полуоси x при N  0 ), также
будем проводить методом средней точки по итерационным формулам
1
(12)
t N  tN , rN  rN 1  v N 1t  a N 1t 2 , v N  v N 1  a N 1t
2
с шагом t итерации 0.0002 с. Систематическая ошибка метода составляет +0.0006015'' (см.
Приложение 1 в конце статьи). Начальные координаты и скорости Меркурия (в момент времени t =
0) примем следующие: x01 = 4.6001009·1012 см; z01 = 0 см; v1x = 0 см/с; v1z = 5.898·106 см/с.
Вычисления будем проводить до тех пор, пока Меркурий не достигнет точки афелия орбиты, т.е.
пока не наступит r01  max .
Как и в [2-4], для нахождения момента t времени, при котором наступает максимум r01 , на
конечной стадии вычисления в области предполагаемого максимума поступим следующим
образом. Из массива данных r01 выберем ступеньку, расположенную на верхнем участке графика.
Затем в начале и в конце ступеньки найдем моменты времени t1 и t 2 , соответствующие условию
r01 t1   r01 t 2  , найдем среднее значение момента времени t  t1  t 2  / 2 , и из массива данных
x01 и z 01 выберем значения соответствующие этому найденному моменту времени t .
Вычисления проведенные по этой схеме показали, что Меркурий достигает искомой точки
афелия орбиты с координатами x01 = -6.97884393095852885·1012 см, z01 = -3.11357101938859028·105
см в момент времени t = 3798325.3408 с. Смещение афелия орбиты Меркурия (относительно
отрицательной полуоси x ) составило +0.0092024'' (сюда входит и ошибка метода), т.е. в ту же
сторону движения, в которую движется Меркурий (для угловой секунды примем значение
4.8481368110953599141·10-6 рад). В дальнейшем это смещение необходимо будет вычитать из всех
последующих расчетов, при этом автоматически будет вычитаться ошибка метода.
Вычитая из этой величины систематическую ошибку метода +0.0006015'' и получаем
истинное смещение афелия орбиты Меркурия +0.0086009'' в поле тяготения Солнца на одном
полупериоде. Смещение перигелия орбиты Меркурия за 100 лет, очевидно, составляет
+0.0086009''·2·415=+7.138747'' (здесь предполагается, что смещение перигелия равно удвоенному
смещению афелия, что подтверждается расчетами).
Как уже говорилось в работах [2-4], это смещение вызвано, по-видимому, так называемым
эффектом изменения «инертной массы» (инертности) Меркурия при его переменном движении по
орбите вокруг Солнца.
Затем по очереди будем исследовать поведение орбиты Меркурия с учетом вращения Солнца,
сжатия Солнца, силы давления солнечного света, температуры Меркурия, а ткже с учетом влияния
(по очереди) каждой n-планеты (включая их спутники и вращение планет).
Удельная сила, действующая на единицу массы Меркурия в первом случае, очевидно, равна
4
w R2

Gm0 
 x01  0 y 0 v1z ,
3 
2

r01 
5c

2
w
R


Gm
0y 0
  3 0  z01 
v1x ,
r01 
5c 2

(13)
Gm0 
3R02 
1

e

x ,

3
2  01
r01
5r01


Gm0 
3R02 
  3 1  e 2  z01,
r01 
5r01 
(14)
Gm0
L R12 1  Q 
L R12 1  Q  
1 

 x01 ,
x

x


Gm

01
01
0
3
3
3 
4m1c
r01
4m1cr01
r01


Gm0
L R12 1  Q 
L R12 1  Q  
1 
 z 01 ,
  3 z 01 
z 01  3   Gm0 
3
4m1c
r01
4m1cr01
r01 

(15)
f 01x  
f 01z
во втором f 01x  
f 01z
в третьем f 01x  
f 01z
где Q – коэффициент отражения Меркурия (для Q примем значение 0 – полное поглощение).
В последнем случае с учетом температуры Меркурия уравнение движения Меркурия имеет
вид
v1x
 v12x 
1  c 2  f1x  c


2
2
2
v
v  v 
v
a1z  1  12x  12z 1  12z  f1z  1x
c
c
c 
c 
a1x  1 
v12x v12z

c2 c2
v1z
U 
 
f1z  / 1  1 2 ,
c
m1c 
 
v1z
U 

f1x / 1  1 2 ,
c
m1c 

(16)
где
1
 L 4
U1  8  1023 k   2  R13 ,
 8r01 
-16
где k = 1.38067·10 эрг/K – постоянная Больцмана;  = 5.6703·10-5 эрг/(с·см2·K4) – постоянная
Стефана-Больцмана. Удельная сила, действующая на Меркурий, как и прежде, равна (11).
В случае с учетом влияния каждой планеты удельная сила, действующая на Меркурий со
стороны n-планеты, а также Солнца равна (в координатном виде)
Gm
Gm
f1x   3 0 x01  3 n 
r01
rn1


R2
1
1 
  x01  x0 n 1  2 v1x v nx  v1z v nz   2 v nx v1x  x01  x0 n   v1z  z 01  z 0 n   n v1z wny ,
5
 c
 c 

 (17)
Gm0
Gmn
f1z   3 z 01  3 
r01
rn1


R2
1
1 
  z 01  z 0 n 1  2 v1x v nx  v1z v nz   2 v nz v1x  x01  x0 n   v1z  z 01  z 0 n   n v1x wny .
5
 c
 c 


где rn1   x01  x0n 2   z 01  z 0n 2 .
Координаты n-планеты (и ее скорости) будем считать фиксированными, т.е. как бы не
меняющимися во времени, и находящимися как бы на равных расстояниях между собой
(разделенных на 16 частей) на среднегеометрической круговой орбите радиуса r0 n :
5
 x0n k  r0n cosk / 8,
 z 0n k  r0n sin k / 8,
v nx k  v n sin k / 8,
v nz k  v n cosk / 8,
(18)
где k пробегает значения 1;2;...;16.
Для каждого положения n-планеты (18) по очереди по формуле (17) будет вычисляться сила,
действующая на Меркурий со стороны n-планеты (а также Солнца), затем суммироваться и
находиться средняя сила:
1
f 1x    f 1x  k ,
16 k
(19)
1
f 1z    f 1z  k .
16 k
Затем по формуле (10) находиться среднее значение ускорения Меркурия, вызванного средней
силой (19), и по итерационным формулам (12) вычисляться усредненная орбита Меркурия.
Массы mn , радиусы r0 n орбит, скорости v n , радиусы Rn и y-компоненты угловых скоростей
wny n-планет и их спутников будем брать из таблицы 1.
Таблица 1
n
Планета
Масса mn, г
r0n, см
27
vn, см/с
13
Rn, см
6
wny, рад/с
2.99239·10-7
2
Венера
4.8685·10
3
Земля+Луна
6.046077·1027
1.495878155·1013
2.9783·106
6.371·108
-7.2921149·10-5
4
Марс+спутники
6.41850012·1026
2.2744513·1013
2.4077·106
3.3895·108
-2.95343·10-6
5
Пояс астероидов
~ 3.3·1024
~ 4.3·1013
~ 1.6·106
-
-
1.898997·10
1.0820768·10
30
5
Юпитер+спутн.
6
Сатурн+спутники 5.6859683·1029
7
Уран+спутники
7.780837·10
3.502·10
13
1.306·10
6
6.0515·10
8
6.9911·10
9
-7.327·10-6
1.43233533·1014
9.68121·105
5.7316·109
-7.254966·10-6
8.68411391·1028
2.871006685·1014
6.8·105
2.5559·109
0
8
Нептун+спутники 1.02451091·1029
4.503302066·1014
5.4409·105
2.4764·109
-1.09307·10-4
9
Плутон+спутники 1.455·1025
5.812813487·1014
4.6682·105
1.195·108
-1.1386·10-5
Результаты вычислений приведены в таблице 2.
Таблица 2
Причина
t, с
x01, см
z01, см
Смещение
афелия
Меркурия
отн. отр. оси
x, за вычетом
+0.0092024'',
угл. сек.
Инертность
Меркурия
3798325.3442
-6.97884393095852824·1012
-3.24575157155624267·105
+0.0086009 +7.138747
(за вычетом
+0.0006015'')
Температура
Меркурия
3798325.3410
-6.97884393111925946·1012
-3.11743462829314194·105
+0.0000114
+0.009462
Вращение
Солнца
3798325.3412
-6.97884393098869837·1012
-3.12792851769254746·105
+0.0000424
+0.035192
Сжатие
Солнца
3798325.3316
-6.97884390909956540·1012
-3.35631632831219648·105
+0.0007174
+0.595442
Давление
света
3798325.3410
-6.97884393095928456·1012
-3.12132869038666174·105
+0.0000229
+0.019007
Венера
3798330.4134
-6.97884866628041725·1012
-1.22288452014171224·107
+0.3522298
+292.350734
3798327.1414
12
6
+0.1154125
+95.7922375
Земля
-6.97884572778794978·10
6
-4.21626927693254739·10
Смещение
перигелия
Меркурия за
100 лет,
угл. сек.
3798325.3878
-6.97884397940249903·1012
-4.08862206882001664·105
+0.0028818
+2.391894
Пояс астероид. 3798325.3412
12
-3.12851997564171833·10
5
+0.0000442
+0.036686
-6.71002945161618674·10
6
+0.1891173
+156.967359
-6.17892373608191396·10
5
+0.0090599
+7.519717
-3.18425297575309965·10
5
+0.0002089
+0.173387
-3.13602773082416523·10
5
+0.0000664
+0.055112
-3.12134526464092298·10
5
+0.000023
+0.01909
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
3798328 .5124
3798325.4926
3798325.3440
3798325.3418
3798325.3410
-6.97884393099238311·10
-6.97884726109163053·10
12
-6.97884409006645063·10
12
-6.97884393397170675·10
12
-6.97884393187944727·10
12
-6.97884393095858928·10
12
Как видим, полная суммарная прецессия перигелия орбиты Меркурия за 100 лет в рамках
обобщенного закона всемирного тяготения с новыми уточненными данными орбит планет
составляет ~ 563.1''. Это меньше наблюдаемого значения на ~ 11'' (здесь не учитывался взаимный
наклон орбит планет). Не исключено, что внутри орбиты Меркурия может находиться еще какойто неизвестный неучтенный объект (или несколько объектов) малого размера.
Для примера рассчитаем, например, вклад в смещение перигелия орбиты Меркурия некой
гипотетической планеты Вулкан. Параметры орбиты этой планеты, как известно: r0n ~ 2.139·1012
см; mn ~ 2.8·1025 г; vn ~ 8·106 см/с.
Вычисления показали, что с учетом гипотетической планеты Вулкан Меркурий достигает
искомой точки афелия орбиты с координатами x01 = -6.97884365070090·1012 см, z01 = 3.5942500633990847·105 см в момент времени t = 3798325.1808 с. Смещение афелия орбиты
Меркурия (относительно отрицательной полуоси x ) составляет +0.0106231'', т.е. в ту же сторону
движения, в которую движется Меркурий.
Вычитая из этой величины калибровочную поправку +0.0092024'' получаем истинное
значение смещения афелия орбиты Меркурия +0.001421'' в поле тяготения Вулкана. Смещение
перигелия орбиты Меркурия за 100 лет, очевидно, составляет +0.0014207''·2·415=+1.179181''. К
сожалению, автору пока не удалось найти более точных данных об всех этих планетах, а также их
количестве, и существуют ли они на самом деле.
Т.е., таким образом, вопрос о соответствии или несоответствии обобщенного закона
всемирного тяготения наблюдательным данным пока остается открытым.
Полученные результаты верны, по крайней мере, с точностью до 1-2 знака после запятой.
Действительно, если провести, например, численное моделирование орбиты Меркурия в поле
тяготения Солнца в рамках обобщенного закона всемирного тяготения с шагом t итерации
0.0001 с, то Меркурий достигает искомой точки афелия орбиты с координатами x01 = 6.97884392633923983·1012 см, z01 = -3.02151226891245611·105 см в момент времени t =
3798325.3370 с. Смещение афелия орбиты Меркурия (относительно отрицательной полуоси x )
составляет +0.0089303''. Отнимая систематическую ошибку метода +0.0002949'' при данном шаге
(см. Приложение 1), получаем истинное смещение +0.0086354''. Смещение перигелия орбиты
Меркурия за 100 лет, очевидно, составляет +0.0086354''·2·415=+7.167382''.
Это совпадает, таким образом, (с точностью до 1 знака после запятой) с полученным выше
значением +7.138747'' при шаге t итерации 0.0002 с. Поэтому следует ожидать, что и при
дальнейшем уменьшении шага t результат не будет существенно меняться. Минимальный шаг
итерации, который можно установить на этой программе составляет 0.00005 с. Это предельное
разрешение, дальше начинает уже сказываться погрешность вычисления.
Приложение 1
Оценим погрешность представленного метода вычисления смещения перигелия орбиты
Меркурия. Для этого проведем численное моделирование орбиты Меркурия в рамках
классического закона всемирного тяготения Ньютона также с шагом t итерации 0.0002 с и также
с повышенной точностью вычисления в поле тяготения Солнца, но без учета планет. В идеале
смещение перигелия орбиты Меркурия в поле тяготения Солнца в рамках классического закона
всемирного тяготения Ньютона должно быть равно нулю.
В рамках закона всемирного тяготения Ньютона конфигурация гравитационного поля
мнимого гравитационного заряда i G m , как известно, описывается формулой
g
i Gm
r2
7
или, если переписать в векторном виде, формулой
g
i Gm
r.
r3
Сила, действующая на другой мнимый гравитационный заряд i G m , очевидно, есть
F  i G mg .
Ускорение a , приобретаемое телом массой m , и сила F , действующая на это тело в
классической механике, как известно, связаны формулой:
F  ma ,
или, если поделить на m , формулой
F
f 
a,
m
где f - удельная сила, действующая на единицу массы этого тела. В координатном виде (в
плоскости x, z ) это можно переписать так:
a x  f x , az  f z .
Солнце создает поле g 01 
i G m0
3
r01
r01 . Удельная сила, действующая на Меркурий, очевидно,
равна (11).
Вычисление времени t , положения r01 и скорости v1 Меркурия на N шаге, начиная от
начальной точки перигелия орбиты Меркурия (от положительной полуоси x при N  0 ), также
будем проводить методом средней точки по итерационным формулам (12) с шагом t итерации
0.0002 с. Начальные координаты и скорости Меркурия (в момент времени t = 0 с) прежние: x01 =
4.6001009·1012 см; z01 = 0 см; v1x = 0 см/с; v1z = 5.898·106 см/с. Вычисления будем производить до
тех пор, пока Меркурий не достигнет точки афелия орбиты, т.е. пока не наступит r01  max .
Вычисления показали, что Меркурий достигает искомой точки афелия орбиты с
координатами x01 = -6.97884349487580687·1012 см, z01 = -2.03505510650077884·104 см в момент
времени t = 3798325.0538 с. Смещение афелия орбиты Меркурия (относительно отрицательной
полуоси x ) в рамках классического закона всемирного тяготения Ньютона составило, таким
образом, +0.0006015'' (в идеале, как мы уже говорили, это смещение должно быть равно нулю).
Это и есть погрешность (в данном случае, систематическая) представленного здесь метода
вычисления. Погрешность метода за 100 лет, очевидно, составляет 0.0006015''·2·415=0.499245''.
Эта погрешность, как уже было сказано выше, автоматически вычиталась из всех наших
предыдущих вычислений.
При шаге же t итерации 0.0001 с Меркурий достигает искомой точки афелия орбиты с
координатами x01 = -6.97884349025643612·1012 см, z01 = -9.97853510052193909·103 см в момент
времени t = 3798325.0497 с. Т.е. смещение афелия орбиты Меркурия (относительно отрицательной
полуоси x ) составляет уже +0.0002949''. Погрешность метода за 100 лет при данном шаге
составляет, очевидно, 0.0002949''·2·415=0.244767''.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
К у п р я е в Н . В . Обобщение закона всемирного тяготения Ньютона. — URL:
htt://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/12399.html.
К у п р я е в Н . В . //Изв. вузов. Физика. – 2014. – Т. 57 - №6. – С. 81.
К у п р я е в Н . В . Расчет прецессии перигелия орбиты Меркурия с учетом Луны и сжатия Солнца. — URL:
htt://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/14443.html.
К у п р я е в Н . В . Расчет прецессии перигелия орбиты Меркурия с учетом силы давления солнечного света
и температуры Меркурия — URL: htt://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/14618.html.
Самарский филиал Федерального Государственного бюджетного учреждения науки Физического института им.
П.Н. Лебедева Российской академии наук (СФ ФИАН), kuprjaev@front.ru
8