МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 4.01. Даны

АЛГЕБРА — 4
10 КЛАСС 2013 г.
МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
4.01. Даны многочлены
R:
√ 2 над
1
3
5
4
1) x + x − 2x + x; 2) 0x2 + 0x + 0; 3) 0; 4) x4 ; 5) 0x5 + x4 ;
7
5√
p
√
6) (sin 30◦ )x3 − 4 + 2 3x2 − x + cos 90◦ ; 7) 1 x3 − (1 + 3)x2 − (tg 45◦ )x.
2
Какие из них равны друг другу?
4.02. По данному стандартному виду многочлена найдите его степень. Выпишите набор всех
его коэффициентов и найдите значение многочлена в данных точках:
а) f (x) = 3x4 − 2x2 + x − 10; в точках −3; 1; 0;
б) f (x) = −x5 + 3x4 − x3 + x; в точках −1; 3; 1.
4.03. Докажите, что если f (x) 6= 0, g(x) 6= 0, то
а) deg(f (x) + g(x)) 6 max(deg(f (x)), deg(g(x)), причем если deg(f (x)) 6= deg(g(x)), то неравенство превращается в равенство;
б) f (x) · g(x) 6= 0; в) deg(f (x) · g(x)) = deg(f (x)) + deg(g(x)).
4.04. а) Представьте в виде многочлена выражение
√
√
(x + 2)4 + (x − 2)4 − (x3 + 3x − 1)(x2 + 7x + 2).
б*) Каждый из двух многочленов f (x) и g(x) является суммой квадратов двух многочленов.
Докажите, что f (x) · g(x) обладает тем же свойством.
4.05. а) Коэффициенты многочлена f (x) — натуральные числа, меньшие 10. Найдите f (x),
если f (10) = 83547.
б) Выражение (1 + 2x − 4x2 )2012 (1 − 7x + 5x2 )2013 после возведения в указанные степени,
перемножения и приведения подобных членов становится многочленом. Найдите сумму всех
его коэффициентов.
4.06. Разделите многочлен f (x) на многочлен g(x) с остатком:
а) f (x) = 2x6 − 3x4 − 5x3 + x − 6, g(x) = x4 + 3x3 + 5;
б) f (x) = x4 + 2x3 − 2x2 − 5x − 2, g(x) = x2 + x + 2;
в) f (x) = 5x3 − 2x2 − 2x − 1, g(x) = x2 + 4x + 3;
г) f (x) = x3 − 9x2 + 27x − 27, g(x) = x2 − 2x + 4;
д) f (x) = −12x4 + 4x3 + 9x2 − 1, g(x) = x2 + 7;
е) f (x) = 4x5 + 7x4 + 6x3 + 3x + 1, g(x) = 2x3 + x2 + 3;
ж) f (x) = x4 + x2 + 3, g(x) = x2 − 3;
з) f (x) = 3x6 + 2x4 − 2x3 + x − 6, g(x) = x4 + 2x + 2;
и) f (x) = −20x4 − 13x3 + 20x2 + 7x + 6, g(x) = x2 + x;
к) f (x) = 2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + 6, g(x) = x2 − 3x + 1;
л) f (x) = 0, g(x) = x3 + 2x;
м) f (x) = x2 + 3x − 5, g(x) = x3 + 2;
н) f (x) = x6 − 1, g(x) = x2 + x + 1;
о) f (x) = 6x4 + 5x3 + 15x2 + x − 10, g(x) = 2x3 + 3x2 + 7x + 5;
п) f (x) = x3 − 2x2 + 3x − 5, g(x) = x2 − 3x − 1;
р) f (x) = 2x5 − 3x3 − x + 2, g(x) = x − 2;
с) f (x) = x3 + 2x2 + x + 3, g(x) = 2x2 − 3x − 4;
т) f (x) = x4 , g(x) = x3 + x2 + x + 1;
у) f (x) = 3x4 − 2x3 + 7x − 3, g(x) = x2 − 3x − 2;
ф) f (x) = x2 − 3x − 2, g(x) = 3x4 − 2x3 + 7x − 3;
—1—
АЛГЕБРА — 4
10 КЛАСС 2013 г.
х) f (x) = 12x7 − 3x5 + 6x4 − 9x2 + 33, g(x) = 4x7 − x5 + 2x4 − 3x2 + 11;
ц) f (x) = 4x7 − x5 + 2x4 − 3x2 + 11, g(x) = 12x7 − 3x5 + 6x4 − 9x2 + 33;
ч) f (x) = x4 − 7x3 + 6x2 − 5x − 19, g(x) = x − 1;
ш) f (x) = x4 − 7x3 + 6x2 − 5x − 19, g(x) = x + 1;
щ) f (x) = x4 − 7x3 + 6x2 − 5x − 19, g(x) = 7x − 7;
э) f (x) = x3 − 5x + 3, g(x) = 3x − 1;
ю) f (x) = 3x5 − 2x4 + 3x3 − 7x2 + 2x − 1, g(x) = 3x − 1.
4.07. При делении P (x) на x − 1, x − 2, x + 1 остатки соответственно равны 3, 15, 0. Найдите
остаток при делении P (x) на x3 − 2x2 − x + 2.
4.08. Докажите, что
а) многочлен xn − an делится на двучлен x − a;
б) многочлен x2n+1 + a2n+1 делится на двучлен x + a;
в) многочлен x2n + a2n при a 6= 0 не делится на двучлен x + a.
4.09. Найдите остаток от деления x100 + 2x6 + x3 − 3 на x5 − 1.
4.10. Определите, при каком значении k многочлен x3 + 6x2 + kx + 12 делится без остатка на
многочлен x + 4?
4.11. При каких значениях a и b многочлен f (x) делится без остатка на g(x):
а) f (x) = x4 − 3x3 + 3x2 + ax + b, g(x) = x2 − 3x + 2;
б) f (x) = x4 + 6x3 + 5x2 + ax + b, g(x) = x2 − 3x + 4;
в) f (x) = x4 − 2x3 + ax + 2, g(x) = x2 + x + b;
г) f (x) = x4 + ax + b, g(x) = x2 + ax + 1?
4.12. Определите, делится ли многочлен x5 + 3x4 + 4x3 − 2x2 + 5x − 5 на x2 − 3x + 2?
4.13. Следующее тождество докажите, не производя раскрытия скобок и сложения дробей, а
используя свойства многочленов:
(x − b)(x − c)
(x − c)(x − a)
(x − a)(x − b)
+
+
= 1.
(a − b)(a − c)
(b − c)(b − a)
(c − a)(c − b)
4.14. (Схема Горнера.) Разделим многочлен f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 на двучлен x − c.
Пусть Q(x) = bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0 — частное, R — остаток (R — многочлен нулевой степени
или нуль). Докажите, что коэффициенты bk частного Q(x) и остаток R можно вычислять по
следующим рекуррентным формулам:
bn−1 = an ,
bk = c · bk+1 + ak+1 ,
R = c · b0 + a0 ,
1 6 k 6 n − 2.
Удобно пользоваться таблицей, которая называется схемой Горнера:
an
c
an
bn−1
an−1
...
a1
a0
cbn−1 + an−1 . . . cb1 + a1 cb0 + a0
bn−2
...
a0
R
4.15. Пользуясь схемой Горнера, разделите многочлен f (x) на двучлен g(x):
а) f (x) = x5 − 3x2 + 7x + 2, g(x) = x − 2;
б) f (x) = x4 − 3x3 + 6x − 10x + 16, g(x) = x − 4;
в) f (x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 1;
—2—
АЛГЕБРА — 4
10 КЛАСС 2013 г.
г) f (x) = x3 + 6x2 + 12x + 8, g(x) = x + 2;
д) f (x) = 2x3 + 3x2 − 2x − 3, g(x) = x + 2;
е) f (x) = 6x3 + x2 − 20x − 12, g(x) = x − 3;
ж) f (x) = x4 − 10x2 + 9, g(x) = x + 2;
з) f (x) = x5 + 8x2 + 3, g(x) = x + 2;
и) f (x) = x4 − 5x3 + 2x2 + 3x − 7, g(x) = x − 2;
к) f (x) = 2x4 + 3x3 − 5x2 − 7x + 2, g(x) = x − 3.
4.16. Разложите многочлен на множители методом неопределённых коэффициентов:
а) x4 − 4x3 − 10x2 + 37x − 14; б) 2x4 − 9x3 + 15x2 − 12x + 2.
4.17. Докажите, что если многочлен P (x) с целыми коэффициентами таков, что P (0) и P (1)
нечётны, то уравнение P (x) = 0 не имеет целых корней.
4.18. Найдите сумму квадратов корней многочлена x3 + 3x2 − 7x + 1, предполагая, что они
существуют.
4.19. Составьте кубический многочлен:
а) имеющий корни 7; −2; 3;
б) корни которого равны квадратам корней многочлена x3 − 6x2 + 11x − 6.
4.20. Пусть f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 , a0 , . . . , an ∈ Z, где a0 6= 0, an 6= 0. Докажите, что если
p
x0 = q , (p, q) = 1, — рациональный корень многочлена f (x), то an делится на q, a0 делится на p.
В частности, все целые корни многочлена f (x) находятся среди делителей свободного члена a0 .
4.21. Найдите все корни многочлена x3 + 6x2 − x − 30.
4.22. Докажите, что при n, не кратном 3, многочлен x2n + xn + 1 делится на x2 + x + 1.
√
4.23. Число 1 + 3 является корнем многочлена x4 + ax3 + bx2 + 6x + 2. Найдите остальные
корни, если a, b ∈ Q.
4.24. Докажите, что многочлен x3 + 5 не делится на приведенный квадратный трехчлен с
целыми коэффициентами.
4.25. Докажите, что многочлен x6 + x2 + a не делится на многочлен x3 + x + a ни при каких
значениях a.
4.26. При каких значениях m и n многочлен x3 + mx + n делится без остатка на трехчлен
x2 + 3x + 10?
4.27. Разложите на линейные множители многочлен x4 + x3 − 6x2 − 4x + 8.
4.28. Докажите, что четная степень числа 19, уменьшенная на 1, кратна 36.
4.29. Разложите на множители многочлен x8 + 4x4 + 16.
4.30*. Дан квадратный трехчлен
√
√
√
√
√
√
(x − 5 3)(x − 3 13)
(x − 7)(x − 5 3)
(x − 7)(x − 3 13)
√
√
√ + √
√
√
√ + √
√ √
√ .
p(x) = √
( 5 3 − 3 13)( 5 3 − 7)
( 7 − 3 13)( 7 − 5 3)
( 3 13 − 7)( 3 13 − 5 3)
√
Найдите p( 11 89).
4.31*. Найдите остаток от деления многочлена x + x3 + x9 + x27 + x81 + x243 + x1189 на x2 − 1.
Примечание. Задачи, отмеченные звездочкой, являются более трудными.
—3—