Лекция 4. Предел функции в точке. Теоремы о пределах

ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄1►
Лекция 4. Предел функции в точке. Теоремы о пределах.
Бесконечные пределы, пределы в бесконечности. Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых. Цепочка эквивалентных бесконечно малых функций
От изучения вопросов существования и нахождения предела функций натурального
аргумента – числовых последовательностей – переходим к аналогичным вопросам для
функций непрерывного аргумента, область определения которых содержит некоторый промежуток (объединение промежутков) числовой оси или совпадает с ней самой. В отличие от
натурального значка n , изменяющегося дискретно, аргумент таких функций может пробегать некоторые сплошные числовые множества. Для придания формальной строгости словесным оборотам «непрерывный аргумент», «дискретное (сплошное) множество точек», используем введенное ранее в Лекции 3 понятие точки сгущения, или, как еще говорят, предельной точки числового множества.
Напомним, что предельной точкой (точкой сгущения) числового множества M называется такое число x  a 1, в любой окрестности которого лежит бесконечно много чисел из
M . Можно доказать, что такое требование равносильно следующему: в любой окрестности
точки a должно найтись число из M и притом отличное от a .
Отрицанием того, что a  предельная точка M , будет тогда утверждение, что в некоторой окрестности a нет таких чисел из M , которые отличались бы от a 2.
◀Определение▶
Число a , принадлежащее множеству M , в некоторой окрестности которого нет других чисел из этого множества, называется изолированной точкой множества M .
1
Собственное или нет, принадлежащее множеству M или нет. Иногда действительные числа удобно называть
собственными точками (числами) числовой оси в отличие от несобственных символов  ,  ,  .
2
Таким образом, если число a не является предельной точкой множества M , то должна найтись такая его
окрестность, в которой если и есть числа из
M , то это только само a . Как и предельная точка множества, точ-
ка, не являющаяся его предельной точкой может принадлежать этому множеству, а может и не принадлежать.
ЛЕКЦИЯ 4
Н.Н.БОБКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
◄2►
Как видно, изолированная точка множества – это принадлежащая ему точка, не являющаяся его предельной точкой. Таким образом, любая точка числового множества
есть либо его предельная точка, либо изолированная.
◀Определение▶
Числовое множество называется дискретным3, если все его точки – изолированные.
◆Пример:
Пусть M    множество натуральных чисел. В соответствии с приведенным выше
определением это дискретное числовое множество: n  1, 2,  его изолированные точки.
Легко видеть, что ни одно действительное число не является предельной точкой  , поскольку для каждого такого числа существует окрестность, количество натуральных чисел в
которой не бесконечно4:
1
(
)
2
(
3
)
4

x
Вместе с тем, раз lim n    , то в любой окрестности несобственного символа  
n 
окажутся все n   , начиная с некоторого n0 . Стало быть, такая окрестность, в том числе и
  окрестность U  ( ) при всяком   0 , содержит бесконечно много натуральных чисел:
U  ( ) : x  
(
 n0
n0  1

n0  2
x
Следовательно, натуральный ряд имеет единственную предельную точку, а именно
несобственное число   5. Именно поэтому для числовых последовательностей всегда
3
От латинского «discretus» — разделённый, прерывный. На бытовом уровне восприятия под дискретностью
понимают свойство чего-либо быть дробным, прерывистым, состоять из отдельных частей. Это свойство противопоставляется свойству сплошности или непрерывности. Обиходные понятия дискретности и непрерывности находят отражение в соответствующей математической терминологии.
4
Можно сказать и иначе: для всякого действительного числа a найдется такая его окрестность, в которой нет
натуральных чисел, отличных от a .
5
Формально подходит также и беззнаковая бесконечность
ЛЕКЦИЯ 4
.
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄3►
ищут пределы при n , стремящемся к бесконечности (или, что то же, в бесконечности, или в
бесконечно удаленной точке).
В отличие от дискретных множеств, в частности, натурального ряда  , всякий промежуток  числовой оси (как и она сама) обладает свойством сплошности, непрерывности
или, как еще говорят, представляет собой числовой континуум6. Это свойство состоит в
том, что если разбить  на два непустые подмножества 1 и  2 так, что каждое число из 1
меньше любого числа из  2 , то либо в 1 есть наибольшее число при том, что в  2 нет
наименьшего, либо в  2 есть наименьшее число при том, что в 1 нет наибольшего7.
Можно видеть, что все точки любого конечного числового промежутка, включая и его
границы, а для бесконечного промежутка также и соответствующие несобственные числа,
являются его предельными точками. Так, например, для полуотрезка M  (a ; b] это точки
a  M , c : a  c  b ; c  M
и b  M , для бесконечного влево луча M  (  ; b) это
   M , c  b, c  M , b  M и т.п.
  (a ; b]
(
a
)
(
c
)
(
b
)
x
)
x
в любой окрестности каждой из указанных точек
содержится бесконечно много точек промежутка 

c
)
(
)
(
b
  ( ; b)
Эта иллюстрация еще раз и вполне ясно показывает, что предельной точкой множества может быть как принадлежащее, так и не принадлежащее ему число.
6
От латинского «continuum» — непрерывное, сплошное.
N1 и N 2 так, что любое число из N1 будет меньше
всякого числа из N 2 , то окажется, что в N1 найдется наибольшее число и при этом в N 2 отыщется наимень-
7
Если разбить натуральный ряд на две непустые части
шее. О непрерывности множества действительных чисел см. Лекцию1.
ЛЕКЦИЯ 4
Н.Н.БОБКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
◄4►
Дополнительные примеры предельной точки числового множества, не принадлежа
1
щей ему, дают x  0 для множества M  ( ;0)  (0;  )  D   , x   k , k   для
2
 x

 

M       n ;   n   D(tg x) , x    для M    D (e x ) и др.
2
2

n  
 Итак, числовые множества, содержащие некоторые промежутки числовой оси, ока-
зываются, если так можно выразиться, «гораздо богаче» предельными точками, чем натуральный ряд.
Для дальнейшего будет важно усмотреть очевидное, но важное свойство любой предельной точки, вытекающее из самого ее определения. Именно, к предельной точке множества M можно подойти неограниченно близко по точкам этого множества, «не наступая на саму эту точку»8. Опираясь на теорию числовых последовательностей, можно дать
формально строгое толкование такому неограниченному приближению (стремлению) числа
x  M к предельной точке x  a , обозначаемому как x  a . Именно, оно реализуется при
помощи произвольной числовой последовательности
 xn  ,
имеющей пределом число a ,
элементы которой взяты из M и при этом отличны от a : lim xn  a , xn  a .
n 
Метод построения такой последовательности лежит на поверхности. Например, для
a    , как предельной точки любого бесконечного вправо луча M  (c,  ) , достаточно
действовать по схеме: 1  max(0, c), x1  U 1 ( ) ,  2  1 , x2  U 2 ( ) и т.д.:
1
(
x1  M
2
(
x2  M
3
(

x3  M

x
lim xn  
n
При этом некоторые из точек xn , n  1, 2, могут совпадать, но это не повлияет на
приводимый ниже главный вывод. Очевидно, что в любую окрестность U ( ) несобственного числа   вложена некоторая окрестность U i ( ) из созданной описанным способом


системы окрестностей S  U n ( )
8
n 
n 1
. Тогда все числа xn , начиная с некоторого, будут
Такое «наступание» оказывается само собою невозможным в случае, когда рассматриваемая предельная точка
множества не принадлежит ему.
ЛЕКЦИЯ 4
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄5►
лежать в U (   ) , поскольку по построению это так для U i ( ) . Как мы знаем, это означает, что lim xn    .
n 
В случае собственной предельной точки a   некоторого числового промежутка M
необходимо дополнительно позаботиться о том, чтобы было xn  a , а числовая последовательность
 ln    l U 


теме S  U n (a )
n 
n 1
n

(a )  длин вложенных   окрестностей точки a в создаваемой сис-
имела пределом число нуль9. При этом указанные окрестности будут,
как говорят, стягиваться к предельной точке a . Выбор точек xn  U n (a) , n  1, 2, изображен на следующей схеме. Здесь также может оказаться, что некоторые из этих точек совпадают.
lim xn  a
n
(
(
x2  M
(
)
x3  M
a
)
U 3 (a)
x1  M
x
)
U 2 ( a )
U 1 (a)
Несмотря на это, вновь можем утверждать: в любую окрестность U ( a ) вложена некоторая окрестность U i ( a ) полученной системы, содержащая по построению все числа xn , начиная с некоторого. Но тогда и U ( a ) обладает этим свойством, откуда вытекает, что
lim xn  a, xn  a 10. Можно сказать также (см. Лекцию 3), что при этом lim( xn  a)  0 , или,
n 
n 
Удостоверьтесь, что для этого достаточно, например, потребовать, чтобы i   
9


ki  1 , то есть чтобы длина каждой следующей окрестности в системе U n (a)
n 
n 1
l U i 1 (a ) 
l U i (a ) 

1
,
2ki
уменьшалась не менее
чем вдвое по сравнению с длиной предыдущей.
10
Описанный прием построения числовой последовательности
для доказательства того, что точку сгущения a множества
ности которой найдется число из
ЛЕКЦИЯ 4
{ xn } : lim xn  a, xn  a можно применить
n 
M можно определить как такую, в любой окрест-
M и притом не равное a , о чем говорилось в начале этой лекции.
Н.Н.БОБКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
◄6►
в равносильной форме, что lim n  0 , где n  xn  a  0  расстояние между числами xn и
n
a.
Стремление xn к предельной точке промежутка M , являющейся несобственной точкой числовой оси (как в первом из рассмотренных выше случаев), нельзя уже охарактеризовать при помощи убывания к нулю некоторого расстояния. Наоборот, здесь признаком «приближения» xn к a    , a    или a   , является неограниченный рост расстояния
n  xn от точки xn до начала координат11.
Наличие в каждой следующей окрестности системы S нужной точки xi  M во всех
случаях гарантировано тем, что a есть предельная точка множества M .
 Ограничение x  a , которое наложено на способ стремления xn к a , позволяет вклю-
чить в последующий анализ все без исключения предельные точки области определения исследуемой функции непрерывного аргумента – как принадлежащие этой области, так и не
принадлежащие.
Примерами функций, все точки области определения которых являются для нее предельными, служат основные элементарные функции12:
∙ y  sin x, D(sin x)  ( ;  ) ,
∙y
1
1
, D    (  ;0)  ( 0;  ) ,
x
 x
∙ y  ln x, D(ln x)  (0;  ) ,
∙ y  x , D( x )  [ 0;  ) ,

 

∙ y  tg x , D(tg x)       n ;   n  ,
2
2

n 
11
Для a    ( a    ) он дополнительно ограничен условием отрицательности (положительности) всех
xn , начиная с некоторого.
12
В некоторых из приводимых примеров множество
D( y ) имеет и не принадлежащие ему предельные точки.
Укажите, в каких именно примерах это так и какие именно это предельные точки.
ЛЕКЦИЯ 4
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄7►
∙ y  arccos x , D (arccos x )  [  1;1] и т.д.
Вместе с тем, указанное обстоятельство нельзя распространить на множество всех
элементарных функций. Действительно, элементарная функция y  f1 ( x) 
x 2 ( x  1) опре-
делена на множестве D( f1 )  {0}  (1; ) , имеющем изолированную очку x  0 . Область
определения элементарной функции y  f 2 ( x) 
ln[cos(2x)] есть D( f 2 )    дискретное
числовое множество, все точки которого – изолированные.
 Пусть y  f ( x) и x  a  предельная точка D( f ) 13. Подобно тому, как рассмотрение
вопроса о поведении xn при n   приводит к определению предела числовой последовательности { xn } , рассмотрение аналогичного вопроса для функции непрерывного аргумента
x при x  a, x  a логически завершается определением предела (говорят еще: предельного
значения) функции в точке.
В математическом анализе имеется несколько подходов к введению этого фундаментального понятия. Рассмотрим два таких подхода и вытекающие из них определения.
◀Определение 1▶ Определение Гейне (на «языке числовых последовательностей»).
Это определение наиболее естественно использует и обобщает материал, изложенный
выше, а также ранее при изучении пределов последовательностей, и состоит в следующем:
Число A называется пределом функции y  f ( x) в точке x  a (при x ,
стремящемся к a ), если:
а). функция f ( x) определена в некоторой окрестности точки x  a , кроме, возможно, самой этой точки;
б). для любой ч.п. { xn } , такой, что
xn  D( f ) при n   и lim xn  a , xn  a ,
n 
числовая последовательность { f ( xn ) } соответствующих значений функции f ( x)
сходится и имеет предел A , то есть lim f ( xn )  A .
n 
13
Заметим, что для этого достаточно потребовать наличия у точки x  a окрестности, всюду в которой, за ис-
ключением, может быть, самой этой точки, функция была определена.
ЛЕКЦИЯ 4
Н.Н.БОБКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
◄8►
При этом пишут: A  lim f ( x) или f ( x)  A .
x a
xa
Следствие: функция f ( x) не может иметь двух (и более) пределов в одной точке.
Поэтому для того, чтобы доказать, что функция не имеет предела в точке x  a , достаточно указать такую ч.п. { xn } , что xn  a , xn  a , а ч.п. { f ( xn ) } не имеет предела, или
n 






какие-либо две ч.п. { xn } , { xn } , такие, что xn  a , xn  a , xn  a , xn  a , но при этом
n 
n 


lim f ( xn )  lim f ( xn ) . Иными словами, в последнем случае обе ч.п. значений аргумента схоn 
n 
дятся к a , но ч.п. соответствующих значений функции f ( x) имеют разные пределы.
Фактическим содержанием определения Гейне является то, что для функции,
имеющей число A пределом при x  a , значения этой функции *сколь угодно мало отличаются от A , коль скоро x лежит достаточно близко к a , не совпадая с a *14.
Поэтому можно дать другое определение предела функции в точке, как говорят, «на
языке    », где величина  является мерой близости чисел f ( x) и A , а   мерой близости
(расстоянием) между числами x и a , которая обусловлена необходимостью достичь произвольно заданной малости расстояния  15.
◀Определение 2▶ Определение Коши («язык окрестностей»).
Число A называется пределом функции y  f ( x) в точке x  a (при x ,
стремящемся к a ), если она определена в некоторой окрестности точки x  a ,
кроме, возможно, самой этой точки (т.е. в некоторой проколотой окрестности
точки x  a ) и для любого   0 *найдется такое    ()  0 , что для всех x , попадающих в проколотую  -окрестность точки x  a , значения функции f ( x) лежат в  -окрестности числа A *.
14
Верхними звездочками «*» окаймлена часть текста, обсуждаемая ниже в связи с тем, что во втором определе-
нии предела функции в точке она описана формально логически.
15
Пока предполагается, что
a, A  . Обобщение понятия предела на случай, когда a и/или A  несобствен-
ный символ числовой оси, дано ниже.
ЛЕКЦИЯ 4
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄9►
Обратите внимание, как в этом определении выделенный выше *фрагмент* переведен
из словесной формы на язык окрестностей.
Определение можно сделать более кратким, если использовать обозначения математической логики, которые уже применялись ранее:
A ≝ lim f ( x)    0    ()  0 : x  U  (a)  f ( x)  U  ( A)

x a
или, что то же (окрестности описаны при помощи неравенств):
A ≝ lim f ( x)    0    ()  0 : x : 0  x  a   
xa
f ( x)  A  
 Определения Гейне и Коши равносильны. Это означает, что из существования у функ-
ции f ( x) предела в точке a в смысле определения Гейне вытекает его существование в этой
точке и в смысле определения Коши и наоборот.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРЕДЕЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ
На графике заданной функции y  f ( x) ее предел в точке a есть значение, к которому неограниченно приближается ордината точки ( x , f ( x)) этого графика по мере того, как
значение ее абсциссы стремится произвольным образом (!) к значению a , оставаясь при
этом не равным a .
◆Пример:
y
y  f ( x)
f (a)
lim f ( x )
xa
O
ЛЕКЦИЯ 4
a
x
Н.Н.БОБКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
◄ 10 ►
На представленной выше иллюстрации изображен случай, когда f (a)  lim f ( x) .
x a
Заметим еще, что, как это следует из определения предела, функция f ( x) может
иметь предел в точке x  a и не быть определенной в этой точке. Это обстоятельство существенно используется, например, в дифференциальном исчислении при введении одного из
важнейших понятий математического анализа – понятия производной.
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. ПРЕДЕЛЫ В БЕСКОНЕЧНОСТИ
Понятие предела функции в точке естественным образом обобщается на случаи, когда
значения a , A по отдельности или вместе становятся несобственными символами числовой
оси.
При этом в определениях предела изменяется лишь смысл соответствующих окрестностей и форма их описания. Следует также учесть, что для несобственных символов
  ,   ,  понятие проколотой окрестности бессодержательно.
Рассмотрим следующие случаи:
∙Бесконечный предел в конечной точке ( x  a   , A    ,   ,  ).
Исходя из определения Коши, можем записать:
 

lim f ( x) ≝   
x a


 f ( x )  U  ( )




    0   ()  0 : x  U  (a )   f ( x)  U  ( )

 f ( x)  U (  )








 f ( x)   


или, что то же,  f ( x)    .
 f ( x)   


∙Бесконечный предел в бесконечно удаленной точке ( a    ,   ,  ; A    ,   ,  )
Здесь, как легко видеть, имеется 9 различных вариантов пар значений a и A . Ограничимся, например, случаем a  , A    :
lim f ( x) ≝      0    ()  0 : x  U  ()  f ( x)  U  ( )
x 
ЛЕКЦИЯ 4
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄ 11 ►
или
A ≝ lim f ( x)    0    ()  0 : x    f ( x)  A   .
x  
Аналогично записываются определения предела и в оставшихся случаях (сделайте
это).
∙Конечный предел в бесконечно удаленной точке ( a    ,   ,  ,).
Рассмотрим, например, случай (один из трех) a    . Тогда определение предела
приобретает вид
lim f ( x) ≝      0    ()  0 : x : x    f ( x)   
x 
или, что то же,
A ≝ lim f ( x)    0    ()  0 : x  U  ( )  f ( x)  U  ( A) .
x  
(остальные случаи рассмотрите самостоятельно).
Примеры вычисления пределов
x 2  16
x 2  16
(здесь f ( x) 
, D( f ) :  x  4 ) =●
x 4 x  4
x4
1). lim
xn2  16
 xn  4 
Возьмем  ч.п. { xn } : lim xn   4 , xn   4  f ( xn ) 
n 
xn  4
●= lim( xn  4)  lim xn  4   4  4  8 .
n 
n 
Докажем теперь полученное утверждение по определению Коши. Для этого сперва
зададим произвольное   0 , то есть выберем произвольную   окрестность числа A  8 .
Решим теперь неравенство
f ( x)  (8)  f ( x)  8)  

с целью найти такую  -
окрестность точки a   4 , что попадание x в U  ( 4) повлечет попадание значений функции f ( x) в выбранную окрестность U  (8) . Имеем:
ЛЕКЦИЯ 4
Н.Н.БОБКОВ
f ( x)  8 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
◄ 12 ►
x 2  16
x 2  16  8 x  32 x 2  8 x  16 ( x  4) 2
8 


 x  4 (дробь можно сокраx4
x4
x4
x4
тить на x  4 , поскольку x  4 ). Тогда f ( x)  8    x  4   .
Видим: здесь можно выбрать   ()   . Действительно, при x : 0  x  4  ()   будет
выполняться неравенство f ( x)  8   , как это вытекает из приведенного выше решения.
Итак, предел исходной дроби в точке x   4 действительно равен –8.
2). lim x 2 =●
x 3
Пусть {xn }  произвольная ч.п., такая, что xn  3 , xn  3 . Тогда f ( xn )  xn 2 и
n 
●= lim f ( xn )  lim xn 2  lim xn  lim xn  3  3  9 .
n 
n 
n 
n 
1
3). lim sin =?
x 0
x
Функция f ( x)  sin
смотрим ч.п. xn 
следует, что sin
1
определена в любой проколотой окрестности точки x  0 . Расx
2
1 (2n  1) 
 0 , xn  0 . Тогда получается:

  n , откуда
xn
2
2
(2n  1) n 
1


 sin   n   cos n  (1) n . Но предел ч.п. xn  (1) n , как мы уже знаxn
2

ем, не существует. Отсюда следует, что функция f ( x)  sin
1
не имеет предела в точке
x
x0.
1
▲ Постройте в среде Advanced Grapher график функции y  sin . При помощи встроенного
x
в программу «микроскопа» исследуйте его поведение вблизи начала координат и опишите
то, что увидите.
▲ Докажите, что  lim cos x,  lim cos x,  lim cos x .
x  
x  
x 
4). lim arctg x  ?
x 
График функции y  arctg x приведен на следующей иллюстрации.
ЛЕКЦИЯ 4
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄ 13 ►
p /2
– p /2
Рассмотрим произвольную ч.п. {xn } , такую, что lim xn    . Тогда ордината точки
n 
графика с абсциссой xn становится сколь угодно близка к числу  / 2 , коль скоро эта точка
удалилась по графику вправо от начала координат достаточно далеко. Отсюда заключаем,
что lim arctg x   / 2 . Совершенно аналогично lim arctg x    / 2 .
x  
x 
Заметим, далее, что всякое стремление аргумента x к   (или к   ) является вместе
с тем и стремлением к беззнаковой бесконечности  (не наоборот). Действительно, если все
члены ч.п. {xn } , начиная с некоторого, превосходят произвольно установленную положительную грань  (или становятся меньше  ), то про них можно сказать, что, начиная с некоторого, они произвольно велики по модулю. Это как раз и означает стремление xn к  .
Выше установлено, что для двух описанных способов стремления xn к  пределы соответствующих значений функции y  arctg x различны: lim arctg x  lim arctg x .
x  
x 
Отсюда следует, что  lim arctg x !
x 
1 , x  
5). Рассмотрим т.н. функцию Дирихле D( x)  
. Здесь, как это часто делают, по0 , x   \ 
средством  \  обозначено множество иррациональных чисел. Возьмем теперь функцию
y  f ( x)  x  D( x) и пусть {xn } – произвольная ч.п., такая, что lim xn  a  0 . Тогда
n 
f ( xn )  xn  D( xn ) есть произведение б. м. ( xn  0 ) и ограниченной ( D ( xn )  1 ) числовых
последовательностей, которое, как известно, само является бесконечно малым.
Отсюда вытекает, что lim[ x  D( x)]  0 .
x 0


Пусть теперь lim xn  a  0 . Рассмотрим две числовые последовательности xn и xn ,
n 






такие, что lim xn  a , xn  a ; lim xn  a , xn  a , причем xn   , xn   \  . Иными словами,
n 
ЛЕКЦИЯ 4
n 
Н.Н.БОБКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
◄ 14 ►
станем в первом случае неограниченно приближаться к точке a по рациональным точкам
числовой оси, а во втором – по иррациональным (попробуйте объяснить, почему это возможно)16.





Имеем для первого случая f ( xn )  xn  D( xn )  xn  1  xn  a  0 , а для во второго –
n 




соответственно f ( xn )  xn  D( xn )  xn  0  0  0  a .
n 
На основании упомянутого ранее достаточного признака отсутствия у функции предела в точке заключаем: функция x  D( x) , имея предельное значение, равное нулю, в точке
x  0 , и не имеет его ни в какой другой точке числовой оси.
6). lim tg x  tg( lim x)  tg( / 4)  1 – как и для числовых последовательностей, операции
x  / 4
x  / 4
вычисления элементарной функции и нахождения предела – перестановочны (при условии,
что выражение, полученное после такой перестановки, имеет смысл17).
Функции, имеющие предел в точке, обладают рядом свойств, изучению которых посвящен следующий раздел данной лекции.
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛ В ТОЧКЕ
1. Если lim f ( x)  A , A   (то есть A  собственное число ч.о.), то в некоторой окрестности
x a


U (a ) точки x  a функция f ( x) ограничена, то есть  M  0 : f ( x)  M , x  U (a ) .
Действительно, пусть   1 . Поскольку  lim f ( x)  A , то по этому  можно подобрать
xa

  ()  0 , такое, что всюду в U  (a ) выполняется неравенство
свойству модуля (  u  v  u  v  u  v ) имеем
f ( x)  1  A
f ( x)  A    1 . Но по
f ( x)  A  f ( x)  A  1 , то есть
в указанной окрестности. Полученная оценка доказывает ограниченность

функции f ( x) в U  (a ) ( M  1  A ).
16
Для этого достаточно показать, что в произвольной окрестности любой точки числовой оси найдется рацио-
нальное число, а так же иррациональное число. Равносильным будет утверждение о том, что между всякими
двумя точками числовой оси имеются рациональное и иррациональное числа.
17
Ранее уже упоминалось, что условия возможности такой перестановки специально рассматривается ниже в
Лекции 5 о непрерывных функциях.
ЛЕКЦИЯ 4
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄ 15 ►

2. Пусть lim f ( x)  A 1 , lim g ( x)  A 2 и f ( x)  g ( x) в некоторой окрестности U (a ) точки
x a
x a
x  a . Тогда A 1  A 2 , или, что то же, lim f ( x)  lim g ( x) .
x a
x a

3. Если lim f ( x)  lim g ( x)  A и в некоторой окрестности U (a ) точки x  a выполняется неx a
x a
равенство, то  lim ( x)  A .
x a


4. Если lim f ( x)  A  0 , то U (a) : x  U (a )  f ( x)  A  0 , то есть функция сохраняет знак
x a
своего предельного значения в точке x  a (числа A и f ( x)  одного знака, случаи A    ,
A    не исключаются).
Свойства 2. – 4. являются следствиями соответствующих свойств числовых последовательностей.
Докажем, например, свойство 3. (аналог теоремы о двух милиционерах). Для этого
рассмотрим произвольную ч.п. {xn } : lim xn  a, xn  a . По определению предела числовой
n 
последовательности отыщется такой номер N  N (a) , что все члены этой последовательно
сти с номерами n  N , окажутся в окрестности U (a ) , где выполнено неравенство
f ( x)  ( x)  g ( x) . Но тогда для n  N  f ( xn )  ( xn )  g ( xn ) . Далее, в силу того, что
lim f ( x)  lim g ( x)  A , получаем из определения Гейне, что lim f ( xn )  lim g ( xn )  A . Слеx a
x a
n 
n 
N1  N1 () : n  N1  f ( xn )  U  ( A)
довательно, для   0 
.
N 2  N 2 () : n  N 2  g ( xn )  U  ( A)
 f ( xn )  U  ( A)

Тогда при n  N 0  max( N , N1 , N 2 ) будет  g ( xn )  U  ( A)
 ( xn )  U  ( A) , так
 f ( x )  ( x )  g ( x )
n
n
n

что окончательно получается:   0 N 0  N 0 () : n  N 0  ( xn )  U  ( A) , а это означает,
что  lim ( xn )  A .
n 
В силу произвольности выбранной вначале последовательности {xn } по определению
Гейне заключаем окончательно, что  lim ( x)  A , что и требовалось доказать.
x a
ЛЕКЦИЯ 4
Н.Н.БОБКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
◄ 16 ►
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ
Пусть lim f ( x)  A   , lim g ( x)  B   18. Тогда:
x a
x a
1.  lim[   f ( x) ]    lim f ( x)  A ;   
xa
xa
2.  lim[ f ( x)  g ( x) ]  lim f ( x)  lim g ( x)  A  B
xa
xa
xa
3.  lim[ f ( x)  g ( x) ]  lim f ( x)  lim g ( x)  A  B
x a
xa
x a
4.  lim[ f ( x) / g ( x) ]  lim f ( x) / lim g ( x)  A / B , B  0 19.
xa
xa
xa
Приведенные правила также доказываются на основании аналогичных свойств ч.п. и
определения предела функции в точке. Ограничения в формулах 1. – 4. и их смысл – те же,
что и в случае числовых последовательностей.
Предел суперпозиции функций
Пусть задана функция f ( y ) , у которой аргумент y сам является функцией некоторой переменной x : y  ( x) . Рассмотрим суперпозицию (композицию) f   функций ( x)
и f ( y ) , или, что то же, сложную функцию F ( x)  f [( x)] .
Основным вопросом является здесь следующий: если известны соответствующие
предельные значения составляющих суперпозицию функций, то как они связаны с предельным значением функции F в интересующей точке?
Ответ на поставленный вопрос дает


ТЕОРЕМА 1 Пусть  lim ( x)  b и  lim f ( y )  A , причем U (a): x  U (a )  ( x)  b
xa
y b
(другими словами, должна найтись такая проколотая окрестность точки a , всюду в которой
значения функции ( x) отличны от ее предельного значения в этой точке). Тогда в некото18
Здесь a   или является одним из несобственных чисел  ,  ,  .
19
Если B  0 , то в некоторой проколотой окрестности точки x  a функция f ( x ) сохраняет знак числа B ,
что гарантирует ее отличие от нуля в этой окрестности и тем самым корректность деления
ЛЕКЦИЯ 4
f ( x) / g ( x) в ней.
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄ 17 ►
рой проколотой окрестности точки a определена сложная функция F ( x)  f [( x)] и выполнено равенство
(4.1)
 lim F ( x )  lim f [( x )]  lim f ( y )  A .
xa
xa
y b
Иначе говоря, если при указанном ограничении существует предел функции  в точке a , равный значению b , а в точке b существует предел функции f , то это гарантирует
существование предела суперпозиции f   в точке a и равенство его пределу f в точке b .
Эта теорема позволяет вычислять пределы при помощи приема, называемого заменой
переменной: для нахождения предела сложной функции делают удобную замену y  ( x) ,
находят lim ( x)  b , а затем искомый предел по формуле (4.1).
x a
Доказательство
Проведем его для случая, когда a, A   .
∙Зададим произвольно   0 и будем считать его мерой отличия f ( y ) от A . Раз по условию

теоремы  lim f ( y )  A , то   ()  0 : y  U  (b)  f ( y )  U  ( A) , и () выступает в каy b
честве меры отличия y от b . Как видно, функция f ( y ) необходимо определена всюду в ок
рестности U  (b) .
∙Далее, раз  lim ( x)  b , то по найденному  отыщется такое   ()  [()]  ()  0 ,
xa

играющее роль меры отличия x от a , что для x  U  (a )  ( x)  U  (b) .
Последнее условие, очевидно, выполнено и в любой окрестности точки a , вложенной

в найденную окрестность U  (a ) . Это обстоятельство позволяет нам без ограничения общно
сти считать, что () выбрано нами настолько малым, что вся окрестность U  (a ) целиком

попадает внутрь той окрестности U (a ) , в которой по условию ( x) отлично от b . Таким об



разом, имеем U  (a )  U (a )  U  (a ) и тогда x  U  (a )  ( x)  b .
ЛЕКЦИЯ 4
Н.Н.БОБКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
◄ 18 ►

Тем самым найдена проколотая окрестность U  (a ) точки x  a , в которой определе

на функция ( x ) со значениями в U  (b) в силу того, что ( x)  b на U  (a ) . Поскольку в ок

рестности U  (b) в свою очередь определена функция f ( y ) , то всюду в U  ( a ) определена
сложная функция F ( x)  f [( x)] , причем по построению в силу произвольности   0 мо
жем написать:   0   ()  0 : x  U  (a )  f ( y )  f [( x)]  F ( x)  U  ( A) .
По определению это как раз и означает  lim F ( x )  A  lim f ( y ) .
xa
y b
◆Замечания
1. Доказательство в общих чертах сохраняется и в случае, когда a и/или A являются несоб 
ственными элементами числовой оси. Следует лишь учитывать, что при a     понятие

проколотой окрестности бессодержательно и нужно говорить просто об окрестности U (a )
соответствующего несобственного символа, в которой ( x)  b .
 
2. Нельзя исключить также случая, когда lim ( x )  b     . Здесь требование ( x )  b в

xa
 
некоторой окрестности числа a (собственного или нет) оказывается в любом случае избыточным.
3. Иногда в условиях теоремы о пределе сложной функции при a   вместо требования о

наличии окрестности U (a ) , в которой ( x)  b , требуют большего, а именно, чтобы было

( x)  b при x  a . При выполнении этого условия роль U (a) может играть любая проколотая окрестность точки a , лежащая в D[( x)] .
◆Примеры:
ЛЕКЦИЯ 4
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄ 19 ►
 y  sin x

1). lim (sin 3 x  2 sin x  7)  
 lim( y 3  2 y  7) 
 lim y  lim sin x  1 y 1
x  / 2
x  / 2
 x  / 2

 13  2  1  7   4 .

2). С целью продемонстрировать важность ограничения x  U (a )  ( x)  b в приведенной
0, y  0
выше теореме о пределе суперпозиции, рассмотрим такой пример. Пусть f ( y )  
и
1, y  0
( x)  0 всюду на  . Очевидно, что lim f ( y )  0 , lim ( x)  0 , причем у точки x  a  0
y  0
x  0
b
a
нет проколотой окрестности, в которой ( x)  lim ( x)  0  b . Нарушение условий ТЕОx 0
РЕМЫ 1 ведет к тому, что равенство (4.1) не выполняется. В самом деле, F ( x)  f [( x)] 
 f (0)  1, x    lim F ( x)  1 , между тем, как lim f ( y )  0  1  lim F ( x) .
x 0
y 0
x 0
Особую роль в задачах нахождения пределов элементарных функций играют два равенства, имеющие ряд технически важных следствий, широко используемых в подобных задачах. За этими равенствами исторически закрепилось название замечательных пределов.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Первый замечательный предел
(4.2)
sin x
1
x 0
x
lim
Заметим, что при вычислении этого предела арифметические свойства пределов применить нельзя: отношение sin x / x – типичный пример неопределенности типа (0/0) при
x  0 (обратите внимание на то, что в других точках числовой оси неопределенности нет!).
Доказательство:
Пусть для начала 0  x 
ЛЕКЦИЯ 4

. Из приводимого ниже чертежа следует:
2
Н.Н.БОБКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1
K
A
tg x
x
B
1
O
S OAB 
sin x
tg x
x
1
sin x
1
1
, SOKB   1  tg x 
, SсектOAB   x  12 
 1  sin x 
2
2
2
2
2
2
и можно видеть, что S OAB  SсектOAB  SOKB , или
1
◄ 20 ►
sin x x tg x
: sin x  0 
 
2
2
2
x
1
sin x
, cos x 

 1.
x
sin x cos x
Заметим теперь, что поскольку cos x и
и при 
sin x
– четные функции, это неравенство верно
x

 x  0 . Переходя к пределу при x  0 с учетом того, что lim cos x  cos(lim x) 
x 0
x 0
2
 cos 0  1 , по теореме о двух милиционерах заключаем, что  lim
x 0
sin x
 1 , что и требовалось
x
доказать.
Следствия:
1. lim
x 0
tg x
 sin x 1 
 lim 

  11  1.
x

0
x
 x cos x 
arcsin x  y  arcsin x; y  0 при x  0 
y

 lim[1 / (sin y / y )]  1 / 1  1 20.
  lim
x 0
y

0
x
sin y y 0
 x  sin(arcsin x)  sin y, x  [1;1] 
2. lim
20
Заметим, что условие
x  [1;1] , соблюдения которого требует равенство x  sin(arcsin x) , выполнено
вследствие того, что x  0 , что позволяет ограничить изменение переменной x лишь промежутками, вложенными в указанный отрезок.
ЛЕКЦИЯ 4
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
Совершенно аналогично доказывается, что lim
x 0
М
◄ 21 ►
arctg x
 1.
x
▲ Постройте графики функций y  sin(arcsin x) и y  arcsin(sin x) и аналогичных им пар для
трех оставшихся обратных тригонометрических функций. Используйте компьютер. Объясните увиденное.
Второй замечательный предел
(4.3)
x
1
x
 1
lim(1  x )  lim  1    e 21.
x 0
x 
x

Формула (4.3), приводимая здесь без доказательства, представляет собой аналог соот-
ветствующего утверждения для числовых последовательностей при натуральном x  n (во
втором равенстве).
Следствия:
1. lim[1  ( x)]
xa
1
( x)
 e , где ( x) – произвольная функция, имеющая в точке x  a предел, рав-
ный нулю и отличная от нуля в некоторой проколотой окрестности этой точки22.
b
x


b
b
b




В частности, lim 1    lim 1     e b , b   .
x 
x  
x
x 




x
1
1




ln(1  x)
 lim ln (1  x) x   ln lim (1  x) x   ln e  1 .
x 0
x 0
x 0
x




2. lim
log a (1  x)
1

, a  0 , a  1 (докажите!)
x 0
ln a
x
Вообще, lim
 здесь имеется в виду беззнаковая бесконечность, так что равенство остается в силе в частных случаях x    и x    .
21
Под символом
22
Это нужно для корректности деления на
ЛЕКЦИЯ 4
( x) .
Н.Н.БОБКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
◄ 22 ►
x
log a (1  u ) 
ax  1  a  1  u , u  0 , x  0 
u

lim
1/
lim





  ln a .
1  u  a x  x  log (1  u )  x 0 log (1  u )
x 0
x 0
x
u


a
a


3. lim

(1  x) m  1
e m ln(1 x )  1  m ln(1  x)  t  0 , x  0
et  1
 lim



lim
 t 0 t m
t m
t m
x 0
x 0
mx
mx


(
e
1)
m






1
x
e
mx
(
e
1)
m


4. lim
 et  1 t / m 
y
et  1
 lim 
 t/m
 lim y
 1  1  1 ; m  , m  0 ; y  t / m  0, t  0 .
  lim


t 0
t
y
0
0
t
e 1
e 1
 t
2
x
x
x

2 sin
sin 2
sin 

1  cos x
2  2 lim
2  1 lim
2   x  t  0 , x  0 
 lim
◆Пример: lim

 

2
2
2
0
0
0
x 0
x

x

x

2
x
x

 x
 x   2
  4
 2 
2
2
2
1
sin t 
1
  lim
 .

2  t 0 t 
2
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ
Аналогично тому, как это делалось для ч.п. при n   , для функции непрерывного
аргумента вида y  f ( x) вводятся понятие бесконечно малой и бесконечно большой при
xa.
◀Определение▶ Функция y  f ( x) называется бесконечно малой при x  a ‹
‹ lim f ( x)  0 .
x a
◀Определение▶ Функция y  f ( x) называется бесконечно большой при x  a ‹
‹ lim f ( x)   .
x a
◆Пример: f ( x) 
1
.
x
1
1
 0  есть бесконечно малая (функция) при x   (а также при
x  x
x
1). lim
x    , x    ).
2). lim
x 0
1
   эта же функция есть бесконечно большая при x  0 !
x
ЛЕКЦИЯ 4
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄ 23 ►
Обратите внимание на то, какое поведение графика данной
функции в окрестности точки x  0 соответствует утверждению,
что lim
x 0
1
  . Именно, величина
x
1
x
становится сколь угодно
большой, лишь только аргумент функции – точка x , оказывается
достаточно близко от точки x  0 . Вместе с этим она произвольно
мало отличается от нуля, коль скоро x достаточно велик, что соответствует равенству lim
x 
1
 0.
x
СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ
Эти свойства вполне аналогичны соответствующим свойствам числовых последовательностей. Отметим некоторые из них.
1. Алгебраическая сумма фиксированного числа23 б.м. при x  a функций есть б.м. при
x  a функция.


2. Если f ( x)  б.м. при x  a и U (a ) ;  M  0 : g ( x)  M , x  U (a ) , то есть функция
g ( x) ограничена в окрестности точки x  a , то lim[ f ( x)  g ( x)]  0 . Иными словами, произx a
ведение бесконечно малой при x  a функции и функции, ограниченной в проколотой окрестности точки x  a , есть бесконечно малая при x  a функция.

3. Если f ( x)  б.б. при x  a (или б.м., не равная нулю) и U (a) ,  m  0 : 0  m  g ( x) ,

x  U (a ) , то есть функция g ( x) ограничена снизу положительным числом в некоторой
проколотой окрестности точки x  a , то lim[ f ( x)  g ( x)]   ( lim[ g ( x) / f ( x)]   ) то есть
xa
x a
функция f ( x)  g ( x) (соответственно g ( x) / f ( x) ) – бесконечно большая при x  a .
23
То есть постоянного, не зависящего от x .
ЛЕКЦИЯ 4
Н.Н.БОБКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

◄ 24 ►

4. Пусть U (a) : f ( x)  0 , x U (a) и f ( x)  б.м. при x  a . Тогда функция 1/ f ( x)  б.б при
x  a . Обратное тоже верно.
Отметим, что сумма, разность и частное бесконечно больших при x  a функций необязательно являются бесконечно большими при x  a функциями.
◆Пример: f ( x)  1 / x 2 , g ( x)  2009 / x 2  бесконечно большие при x  0 , однако их отно-
шение f ( x) / g ( x)  1 / 2009  const не является бесконечно большим при x  0 .
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
О неопределенных выражениях, возникающих при вычислении пределов функций,
можно сказать буквально то же самое, что и в случае числовых последовательностей24. В частности, типы неопределенностей остаются прежними:
(0 / 0) , ( / ) , (  ) , (0  ) , (1 ) , (00 ) , ( 0 ) .
Методы раскрытия неопределенностей основаны на тождественных преобразованиях
исходного выражения, замене переменной и использовании замечательных пределов.
Заметим уже сейчас, что дифференциальное исчисление дает дополнительные мощные
средства вычисления пределов (правило Лопиталя-Бернулли), о которых речь пойдет ниже в
разделах данного курса, посвященных применению производных.
◆Примеры:
1). lim
10  x  6 1  x
x 8
2 3 x
=●
Поскольку lim (10  x  6 1  x )  10  8  6 1  8  0 , lim (2  3 x )  0 , то имеем дело с неопx 8
x 8
ределенностью типа (0 / 0) . Далее,
10  x  6 1  x
2 3 x
24

(10  x  6 1  x )(10  x  6 1  x )
(2  3 x )(4  2 3 x  3 x 2 )

4  2 3 x  3 x2
10  x  6 1  x

С добавлением, что то или иное выражение представляет собой неопределенность при x  a , а в других
точках числовой оси необязательно обладает этим свойством.
ЛЕКЦИЯ 4
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄ 25 ►
100  20 x  x 2  36(1  x ) 4  2 3 x  3 x 2
( x  8) 2 4  2 3 x  3 x 2




,
8 x
8  x 10  x  6 1  x
10  x  6 1  x

4  2 3 x  3 x2  1
●  lim ( x  8)
  lim ( x  8)  0 .
x 8
10  x  6 1  x  3 x 8

arcsin 2 x
=●
x  0 ln(e  x )  1
2). lim
arcsin 2 x  0 , ln(e  x)  1  0 , x  0 , так что данная дробь – неопределенность типа (0 / 0) .


x



arcsin 2 x
arcsin 2 x
1
e
  1  1  1  2e .
 lim 

●  lim
x 0
x

0
x 
x 
 2x
 

 1 
x 
ln 1     
ln e  1     1

 

e   e  2x  
e 

 2e 

 
2x 
2x
1
1
 x

tg  3  3 




3). lim
=●
3x
x
cos
3
2
1
Имеем:

3x
3
 1  0 , cos
 cos
 0 , то есть числитель и знаменатель дроби – беско2 x 
2
x
нечно малые при x   функции, так что эта дробь есть неопределенность типа (0 / 0) в указанной точке.
  



 tg  3 x  3 

 
 3x  3 

●  lim 

3x
 = (найдем пределы обоих множителей) =●
x
cos
 3x  3
3 2  1


 

tg  3 x  3 

   u  3 x  3  0   lim tg u  1 ;
lim  

 u 0
x 
x 
u


x
3 3
ЛЕКЦИЯ 4
Н.Н.БОБКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
◄ 26 ►
  1


3  3 x  1
1
3 3


x
lim
lim

▶
3x
x  cos 3 x
x 
cos



3 2 1
3 2 1
3x
  1
 cos
x

3x
2
cos
2

x
  x  t  0 , x  

x
t
2

   lim
;
lim



x
t
t
3
3

3
3


x 
t 0
3x  x    t ; cos
3t
 cos 
    sin 
3
x cos
sin
2
2
2
 2
2 
2  3t
(  t ) 
3t
2
2
▶= 3 
2
2
 ;
3

2
 2
● 1      .

 
СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ
Бесконечно малые при x  a функции можно сравнивать по скорости стремления к
нулю25 в соответствии со следующим определением.
◀Определение▶ Пусть ( x), ( x)  бесконечно малые при x  a .
Если при этом
(4.4)
( x)
 0 , ( x)  0 , то говорят, что при x  a ( x) есть б.м. высшего порядка
x  a ( x )
lim
(малости) по сравнению с б.м. ( x) и пишут
(4.5)
25
( x)  o [ ( x ) ] (читается: «  есть о малое от  »).
xa
Аналогичные сравнения привели ранее в Лекции 3 к шкале роста бесконечно больших последовательностей.
ЛЕКЦИЯ 4
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
∙Если lim
x a
М
◄ 27 ►
( x)
 m  0 , то говорят, что ( x) и ( x) – б.м. одного и того же порядка
( x)
( x)
 1 , то говорят, что ( x) и
x  a ( x )
(малости) при x  a . В частности, если m  1 , т.е когда lim
( x) – эквивалентные б.м. при x  a . В этом случае пишут  ( x)  ( x) .
xa
◆Пример: sin x  x , ln(1  x)  x , arcsin( x  2010)  x  2010 и т.п.
x 0
x 0
x  2010
( x)
( x)
  , то lim
 0 , то есть ( x)  o [ ( x) ] .
x  a ( x )
x  a ( x)
xa
Если lim
Если  k ( x)  ( x) , k   , то говорят, что б.м. ( x) имеет порядок (малости) k по
xa
сравнению с б.м. ( x) при x  a .
По аналогии со сказанным выше, функцию, являющуюся бесконечно малой при
( x)
 0 , несмотря
xa
1
x  a , иногда записывают в виде ( x)  o (1) на том основании, что lim
x a
на то, что ( x)  1  0 при x  a .
Заметим, что формула (4.5) не является равенством в обычном смысле, а означает
по существу принадлежность функции ( x) к классу функций, характеризуемому условием
(4.4). Этот класс состоит из функций, убывающих при x  a быстрее, чем ( x) (то есть яв-
ляющихся при x  a бесконечно малыми высших порядков по сравнению с ( x) ).
СВОЙСТВА СИМВОЛА «о»
Пусть g ( x)  б.м. при x  a . Тогда при x  a верны утверждения:
1. o(cg )  o( g ) , c  const  , c  0
2. c  o( g )  o( g ), c  const  
3. o( g )  o( g )  o( g )
4. o[o( g )]  o( g )
5. o[ g  o( g )]  o( g )
ЛЕКЦИЯ 4
Н.Н.БОБКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
◄ 28 ►
6. o( g m )  o( g n )  o( g m  n ) , m, n  
7. g n 1  o( g )  o( g n ) , n  
8. [o( g )]n  o( g n ) , n  
9.

o( g n )
 o( g n 1 ) , n   , g  0 в U (a)
g
10. o( g n )  o( g m ) , m  n ; m, n  
n
11. o( ck g k )  o( g ) ; c1 ,  cn  постоянные коэффициенты, одновременно не равные нулю.
k 1
Разъясним смысл этих утверждений. Так, формула 3. означает, что сумма бесконечно
малых высшего порядка по сравнению с б.м. g ( x) при x  a есть также б.м. высшего порядка по сравнению с g ( x) . Формула 8. означает, что n -я степень б.м. высшего порядка по
сравнению с g ( x) при x  a есть б.м. высшего порядка по сравнению с б.м. g n ( x) при
x  a и т.д.
Докажем некоторые из утверждений 1. – 11.
6. Пусть f1  o( g m ) , f 2  o( g n ) при x  a . Это значит: lim
xa
 lim
xa
f1
f
 0 , lim 2n  0 . Но тогда
m
xa g
g
f1 f 2
f1  f 2


lim
 0 , то есть o( g m )  o( g n )  o( g m  n ) , что и требовалось доказать.
m
n
mn
x

a
g g
g
f
f ( g n 1  f )
7). Пусть f ( x)  o( g ) , то есть lim  0 . Тогда

 0 . Но это и означает, что
x a g
xa
xa
g
gn
g n 1  o( g )  o( g n ) , что и требовалось доказать.
xa
3. Имеем:
 o( g ) 
o[ g  o( g )] o[ g  o( g )] g  o( g )
g  o( g )
 lim 1 



. Но lim
x a
xa
g
g 
g
g  o( g )
g

o[ g  o( g )]
 0 , т.к. g , а тогда и g  o( g ) – б.м. при x  a .
x a
g  o( g )
 1  0  1 , а lim
ЛЕКЦИЯ 4
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
Тогда
получаем
М
o[ g  o( g )]
 0 1  0 ,
xa
g
lim
а
◄ 29 ►
это
как
раз
и
означает,
что
o[ g  o( g )]  o( g ) , что и требовалось доказать.
x a
4. Действительно,
o[o( g )] o[o( g )] o( g )


 0  0  0 , то есть o[o( g )]  o( g ) , что и требоваxa
g
o( g )
g xa
лось доказать.
(Попробуйте доказать самостоятельно какие-либо из оставшихся утверждений).
ЦЕПОЧКА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ
ПРИ x  0
Обратите особое внимание на то, что приводимые ниже соотношения эквивалентностей некоторых бесконечно малых функций справедливы только «в указанном месте»,
то есть при x  0 !
(4.6)
x  sin x  tg x  arcsin x  arctg x  sh x  th x  arsh x  arth x  ln a  log a (1  x) 
 ln(1  x)  e x  1 
a x  1 (1  x) m  1

;
ln a
m
cos x  1  
x2
.
2
Здесь m   , m  0 ; a  0, a  1 26.
При вычислении пределов вкупе с цепочкой (4.6) часто используется следующая важная
sh x
e x  e x
e x  e x
sh x ≝
 так называемые гиперболические функции: синус, ко, ch x ≝
, th x 
2
2
ch x
26
синус и тангенс соответственно, а arsh x и arth x  обратный гиперболический синус и обратный гиперболический аргумента x . О гиперболических функциях пойдет речь и далее в данном курсе лекций, см., например,
Лекцию 6. Эти функции находят широкое применение в экономических приложениях математического анализа.
ЛЕКЦИЯ 4
Н.Н.БОБКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
◄ 30 ►
ТЕОРЕМА 2(об эквивалентных бесконечно малых) Пусть требуется найти lim
x a
f ( x)
, где
g ( x)
lim f ( x)  0 , lim g ( x)  0 (то есть имеется неопределенность типа (0 / 0) в точке x  a ).
x a
x a
Если f ( x)  f1 ( x) , g ( x)  g1 ( x) и  lim
xa
xa
xa
f1 ( x)
f ( x)
 A , то  lim
 A.
x  a g ( x)
g1 ( x)
Следовательно, вычисляя предел отношения бесконечно малых, можно заменять их
эквивалентными бесконечно малыми.
Замечания
1. В формуле (4.6) в качестве « x » может фигурировать любая бесконечно малая в некоторой
точке функция. Так, esin x  1  sin x при x  0 или, например, при x   , поскольку sin x
есть б.м. как при x  0 , так и при x   . Аналогично, ln(1  cos x)  cos x при x 

, по2
скольку lim cos x  0 . Однако, при x   или при x  0 такая эквивалентность уже не буx
2
дет иметь места вследствие того, что функция cos x не является при x   и при x  0
бесконечно малой: lim cos x  1  0 , lim cos x  1  0 .
x 0
x 
Распространенной ошибкой при вычислении пределов при помощи цепочки (4.6) и
сформулированной теоремы является как раз то, что какое-либо отношение эквивалентности
из (4.6) используется в контексте этой теоремы несмотря на то, что в интересующей
точке оно не выполняется!
2. Еще одной ошибкой, к которой следует привлечь внимание читателя, является непра-
вильное использование самой этой теоремы. Именно, вычисляя предел отношения двух б.м.
в данной точке функций, можно заменять эквивалентной бесконечно малой весь числитель
этого отношения и/или весь его знаменатель. Теорема не утратит силы, если эквивалентной
б.м. заменена часть числителя и/или знаменателя, являющаяся общим множителем в числителе (знаменателе). Такая же замена слагаемых в алгебраических суммах, входящих в числитель и знаменатель, некорректна, и ее нельзя основать на обсуждаемой теореме, поскольку теорема не гарантирует правильности ответа в такой ситуации.
ЛЕКЦИЯ 4
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄ 31 ►
sin x  x 
Например, неверно было бы написать, что lim
x 0
x3
x3
x3
6  lim 6  1 на том осноx 0 x3
6
вании, что sin x  x .
x 0
Дополнительное обсуждение типичных ошибок при вычислении пределов дано в
Лекции 8 в связи с применением правила Лопиталя-Бернулли.
3. Неопределенности всех типов, отличных от (0 / 0) , могут быть сведены к неопределенно-
сти типа (0 / 0) при помощи простых алгебраических преобразований, перечисленных ниже:
а). f  0 , g    f  g  неопределенность типа (0  ) .
∙Преобразование: f  g 
б). f   , g   
èПреобразование:
f
 неопределенность типа (0 / 0) .
(1/ g )
f
– неопределенность типа ( / ) .
g
f 1/ g

– неопределенность типа (0 / 0) .
g 1/ f
в). f   , g    f  g  неопределенность типа (  )
èПреобразование: f  g 
(1/ g )  (1/ f )
1
1


– неопределенность типа (0 / 0) .
1/ f 1/ g (1/ f )  (1/ g )
г). f  0 , g  0  f g  неопределенность типа (00 ) .
 g
èПреобразование: f g  exp  g  ln f   exp 
 1/ ln f

 , где в показателе (это выражение в скоб
ках; exp()  e ) стоит уже неопределенность типа (0 / 0) .
д). f  1 , g    f g  неопределенность типа (1 ) .
 ln f 
èПреобразование: f g  exp  g  ln f   exp 
 , где в показателе стоит уже неопределен 1/ g 
ность типа (0 / 0) .
ЛЕКЦИЯ 4
Н.Н.БОБКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
◄ 32 ►
е). f   , g  0  f g  неопределенность типа ( 0 ) .
 g 
èПреобразование: f g  exp  g  ln f   exp 
 , где в показателе стоит уже неопреде 1/ ln f 
ленность типа (0 / 0) .
В результате использования указанных преобразований круг задач, которые можно
решать при помощи цепочки (4.6) и теоремы об эквивалентных бесконечно малых, значительно расширяется.
4. Утверждение теоремы об эквивалентных б.м. остается в силе и для бесконечно больших
функций (для них также можно ввести понятие эквивалентности при x  a ).
5. Рассмотрим множество всех таких бесконечно малых при x  a функций, для любых
двух из которых существует конечный или нет предел их отношения lim
x a
писать, ( x)  ( x) если  m   : lim
x a
x a
( x)
. Договоримся
( x)
m  ( x)
 1 . Тогда отношение «  » между б.м. при
( x)
x  a функциями, выражаемое этим равенством, обладает следующими свойствами (дока-
жите):
∙ ( x)  ( x) – рефлексивность,
x a
∙ ( x)  ( x)  ( x)  ( x) – симметричность;
x a
x a
∙ ( x)  ( x) , ( x)   ( x)  ( x)   ( x) – транзитивность
x a
xa
xa
и является поэтому так называемым отношением эквивалентности (в теоретикомножественном смысле). Введение такого отношения на указанном множестве бесконечно
малых при x  a функций разбивает это множество на непересекающиеся классы, каждый
из которых характеризуется вполне определенной скоростью стремления к нулю при x  a .
При этом б.м. одного класса имеют одинаковые скорости стремления к нулю при x  a , а
ЛЕКЦИЯ 4
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄ 33 ►
б.м. из разных классов – разные27 (докажите, что для б.м. из разных классов предел lim
x a
( x)
( x)
либо равен нулю, либо бесконечен). В частности, все эквивалентные в указанном выше
смысле б.м. при x  a принадлежат одному единственному такому классу.
6. Для бесконечно малой при x  a функции удобным оказывается обозначение ( x)  o(1)
x a
( x)
 1 , хотя в данном случае знаменатель дроби 1 и не стремитx a
1
на том основании, что lim
ся к нулю при x  a .
7. Введенное выше понятие «о малое» активно используется в Лекции 9 в задачах асимпто-
тического анализа функций.
◆Замечание
В Лекции 4 понятие предела функции f ( x) вводилось только для точек x  a , являющихся предельными точками D( f ) . Спрашивается, как быть в случае, когда x  a  изолированная точка ее области определения (примеры были даны выше). Ясно, что в такой
точке у функции не может быть предела в смысле прежних определений, предполагающих
наличие у точки окрестности, всюду в которой, за исключением, может быть, ее самой,
функция f ( x ) определена.
При разрешении данного затруднения можно действовать несколькими способами.
Например, можно договориться считать, что понятие предела вообще не имеет смысла в точках, не являющихся предельными для D ( f ) . Тогда придется констатировать, что у f ( x) нет
предела в изолированных точках области определения.
Можно действовать и иначе, снимая требование о неограниченном приближении аргумента функции x к числу a по точкам из D ( f ) , не совпадающим с a . Тогда выйдет, что в
любой изолированной точке области определения функция имеет предел, причем он равен ее
значению f (a) в этой точке. У такого подхода тоже есть недостатки. Они выражаются в том,
что ряд понятий, в частности, непрерывность функции в точке, означающая равенство зна-
27
Такому разбиению можно найти очевидные бытовые аналогии. Например, если каждый из элементов некото-
рого множества характеризуется строго одним из двух наборов свойств (м-набор или ж-набор) и элементы считаются эквивалентными в том и только том случае, когда характеризуются одним и тем же набором свойств, то
речь может идти, например, о разбиении всего человечества на мужчин и женщин.
ЛЕКЦИЯ 4
Н.Н.БОБКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
◄ 34 ►
чения функции и ее предельного значения в этой точке (см. Лекцию 5), утрачивает содержательность, поскольку такое равенство выполняется автоматически. Интуитивные, основанные на подходах классической геометрии представления о графике непрерывной функции,
как сплошной кривой, тоже оказываются отброшенными.
В ряде авторитетных углубленных курсов математического анализа можно встретить
утверждение, что понятия предела и непрерывности остаются содержательными лишь
для предельных точек области определения функции. Эта точка зрения поддерживается и
в данном курсе лекций.
( x)
.
x  a ( x )
▲ Приведите пример б.м. при x  a функций, для которых  lim
▲ Визуализируйте графики функций, входящих в цепочку (4.6) эквивалентных бесконечно
малых вблизи точки x  0 , в которой они асимптотически эквивалентны, и опишите то, что
увидите.
=======================================================================
Краткая биографическая справка
■ Генрих Эдуард Гейне (1821–1881 г.г.) – немецкий математик.
■ Огюстен Луи Коши (1789–1857 г.г.) – французский математик.
ЛЕКЦИЯ 4