РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Физика, радиотехника и электроника
УДК 517.9:521+523.3:629.7
Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ПЕРЕЛЕТА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С НИЗКОЙ ОКОЛОЗЕМНОЙ ОРБИТЫ
В ТОЧКУ ЛИБРАЦИИ L1 СИСТЕМЫ «ЗЕМЛЯ-ЛУНА» КАК РЕШЕНИЕ ЧАСТНОЙ
ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ С УЧЕТОМ ПРЕЦЕССИИ ОРБИТЫ ЛУНЫ
Разработана численно-аналитическая модель баллистического анализа доставки космического аппарата с химическим ракетным двигателем с низкой околоземной орбиты в точку либрации L1 системы «Земля-Луна». Найдены опти61
Вестник СГТУ. 2012. № 4 (68)
мальные даты старты, время перелета и потребные импульсы скорости. Для проведения математического моделирования использовалась система автоматизированного проектирования и компьютерной алгебры MathCAD.
Математическое моделирование, баллистический анализ, точка либрации,
L1, система «Земля-Луна»
Yu.A. Okishev, Yu.V. Klinaev
DEVELOPMENT OF A MATHEMATICAL MODEL FOR THE BALLISTIC FLIGHT ANALYSIS
OF A SPACECRAFT FROM LOW-EARTH ORBIT TO THE LIBRATION POINT L1
OF THE «EARTH-MOON» AS THE DECISION OF A PRIVATE LIMITED THREE-BODY
PROBLEM WITH CONSIDERATION FOR THE MOON ORBIT
A numerical-analytical model has been developed for the ballistic analysis made
for the delivery of a spacecraft having a chemical rocket engine from low-Earth orbit in
the L1 libration point of the «Earth-Moon». The optimal launch date, flight time, and the
needed speed pulses have been determined. To perform the mathematical modeling CAD
system and computer algebra MathCAD have been used.
Mathematic modeling, ballistic analysis, libration point, L1, the system
«Earth-Moon»
При космических исследованиях других планет Солнечной системы, Солнца или Луны возникает необходимость в создании мобильных станций обслуживания или ретрансляционных пунктов в
окрестностях точек либрации – точек в системе двух гравитирующих тел, в окрестности которых
пренебрежимо малое тело остается неподвижным относительно них.
Работа посвящена разработке математической модели и алгоритма поиска оптимальной баллистической траектории космического аппарата (КА) с химическим ракетным двигателем (ХРД) при
перелете с низкой круговой околоземной орбиты (ее высоту принимаем равной 300 км) в точку либрации L1 системы «Земля – Луна».
В качестве критерия оптимизации предлагается рассматривать суммарный импульс. Задача
проектно-баллистического анализа сводится к поиску минимального суммарного импульса скорости
∆VΣ и, как следствие, по формуле Циолковского (1), минимально потребного топлива для перелета.
Такой подход является общепризнанным [1] для проведения баллистического анализа.

 ∆VΣ 
 ,
m т = m0 1 − exp⋅  −
(1)
 I 

y


где m т – масса топлива КА, m 0 – начальная масса КА, I y – удельный импульс тяги, который задается
двигательной установкой КА.
Будем рассматривать схему перелета с двумя включениями ХРД между некомпланарными
орбитами, где первый импульс скорости ∆V1 реализует переход КА на перелетный эллипс, лежащий
в плоскости орбиты базовой орбиты, а второй импульс – скорости ∆V2 (2) в апогее перелетного эллипса реализует поворот плоскости орбиты на требуемый угол ∆i и переход на орбиту точки либрации L1 (рис. 1). Для предварительного анализа используется методическая идея импульсной аппроксимации активных участков полета. Исходя из физических свойств коллинеарной точки либрации L1
очевидно, что точка L1 принадлежит радиус-вектору и плоскости орбиты Луны:
∆V2 = V L1 − V КАL:1 ,
(2)
По теореме косинусов получаем:
2
∆V2 = V L21 + V КА
− 2 ⋅ V L1 ⋅ V КАL1 ⋅ cos ∆i ,
L1
(3)
где VL1 – вектор скорости точки либрации L1, V КАL1 – вектор скорости КА в точке либрации L1, ∆i – разница между наклонениями орбит.
62
Физика, радиотехника и электроника
Рис. 1. Схема двухимпульсного перелета
Для проведения анализа полагаем, что начало системы координат расположено в центре Земли, плоскость х-у совпадает с плоскостью эклиптики, ось х направлена в точку весеннего равноденствия. Ось z направлена в северный полюс Мира, ось y дополняет до правой тройки. Можно считать,
что угол между плоскостью эклиптики и плоскостью земного экватора постоянен и равен 23,4354°.
Наклонение низкой околоземной (базовой) орбиты примем за 51,6° (старт с космодрома «Байконур»).
Из-за прецессии орбиты Луны ее наклонение к плоскости экватора Земли меняется с периодичностью в 18,6 лет. Исходя из энергетики перелета (3), выберем эпоху, когда наклонение орбиты
Луны максимально, чтобы значение разности наклонений базовой и Лунной орбиты было минимальным.
За дату рассматриваемой эпохи выбираем 1 января, 12 часов дня каждого рассматриваемого
года. Найдем наклонение орбиты Луны по формуле (4):
cos i Луны =
σz
,
(4)
σ
σ = rЛуны × V Луны .
(5)
σ z = x ⋅ V y − y ⋅ Vx ,
(6)
где σ – вектор интеграла площадей орбиты Луны, σ z – проекция вектора – интеграла площадей орбиты Луны на ось z, x и y – проекции радиус-вектора Луны на оси x и y соответственно, V x и V y –
проекции вектора скорости Луны на оси x и y соответственно.
Радиус-вектор Луны и значение скорости, а также их проекции по осям возьмем из планетария DE-405, который разработан в JPL (Jet Propulsion Laboratory). Выберем эпоху, когда наклонение
орбиты Луны максимально. Как видно из табл. 1, наклонение орбиты Луны максимально и составляет 28,443° в 2025 году, при этом будем считать, что в выбранную эпоху наклонение орбиты не изменяется.
Таблица 1
Зависимость наклонения орбиты Луны от эпохи
Год
iЛуны , °
Год
iЛуны , °
Год
iЛуны , °
2012
22,513
2018
20,075
2024
28,195
2013
20,881
2019
21,568
2025
28,443
2014
19,526
2020
23,253
2026
28,258
2015
18,633
2021
24,894
2027
27,638
2016
18,396
2022
26,327
2028
26,584
2017
18,959
2023
27,458
2029
25,174
Так как в данной задаче влияние гравитации Луны на КА существенно, то использовать решения ограниченной задачи двух тел (7) некорректно. Будем использовать решение ограниченной
задачи трех тел (8), в которой движение КА массы m, рассматривается в системе двух гравитирующих масс M 1 и M 2 (Земли и Луны, соответственно) [2].
63
Вестник СГТУ. 2012. № 4 (68)
mM з
d 2r
,
(7)
= f
2
dt
r2
где m – масса КА, r – радиус-вектор КА относительно центра Земли, t – время, f – гравитационm
ная постоянная, M з – масса Земли.
M
M
d2R
= f 31 ( R1 − R ) + f 32 ( R2 + R ) ,
2
dt
R1
R2
fM 2
,
R1 = a ⋅
fM 2 + fM 1
fM 1
,
R2 = a⋅
fM 2 + fM 1
(8)
(9)
(10)
где M 1 – масса Земли, M 2 – масса Луны, R – радиус-вектор КА относительно общего барицентра
(БЦ), R1 – расстояние от БЦ до центра Земли, R2 – расстояние от общего БЦ до центра Луны, a –
большая полуось орбиты Луны.
Для ограниченной задачи трех тел в точке либрации относительное ускорение КА равно нулю, тогда уравнение движения для точки L1 можно записать в следующем виде:
M2
M1
d2R
,
=ϖ 2 ⋅ R + f
−f
2
2
dt
( R2 − R )
( R1 + R) 2
ϖ = 2⋅
π
T
,
(11)
(12)
a3
,
(13)
f ⋅ (M 1 + M 2 )
где ϖ – скорость вращения Луны вокруг Земли, T – период обращения Луны вокруг Земли, первое
T = 2 ⋅π ⋅
слагаемое правой части уравнения (11) характеризует кориолисово ускорение, второе и третье – влияние гравитации Луны и Земли соответственно.
Приравнивая правую часть уравнения (11) в произвольный момент времени к нулю, найдём
расстояние от барицентра системы «Земля-Луна» до точки либрации R . По уравнению (14) найдем
расстояние от центра Земли до точки либрации L1 системы «Земля – Луна» R L1 .
(14)
R L1 = R + R1 ,
Для дальнейших расчетов введем коэффициент X L1 (15), который характеризует относительное расстояние от центра Земли до точки либрации L1. В дальнейшем, умножая на этот коэффициент
расстояние от Земли до Луны в любой момент времени можем определить расстояние до точки либрации L1. При этом скорость точки либрации VL1 (16) найдем из подобного треугольника (рис. 2)
R L1
,
R1 + R2
R L1
VL1 = V Moon ⋅
,
R1 + R2
– расстояние от центра Земли до L1, V Moon – скорость Луны относительно Земли.
X L1 =
где R L1
(15)
(16)
Зафиксируем дату выведения КА в точку либрации L1 и найдем решения для каждой выбранной даты. Т.к. период обращения Луны вокруг Земли составляет около 28 суток, то можем выбрать
произвольно любой месяц и рассматривать решения в рамках этого месяца. Изменение наклонения
орбиты Луны от месяца к месяцу в выбранном году незначительны.
Существует 2 типа решения поставленной задачи: при перелете из восходящего узла орбиты
(рис. 3) и из нисходящего узла орбиты (рис. 4).
Полагая заданным наклонение базовой орбиты, найдем долготы восходящего узла этой орбиты из условия того, что радиус-вектор точки либрации принадлежал бы базовой орбите в момент
подлета КА в точку либрации. В этом случае плоскость перелета в точку либрации будет совпадать с
плоскостью базовой орбиты.
64
Физика, радиотехника и электроника
Рис. 2. Упрощенная схема перелета
Рис. 3. Траектория орбиты при перелете из восходящего узла орбиты,
где L1 – точка либрации, 0 – положение КА в момент старта
Рис. 4. Траектория орбиты при перелете из нисходящего узла орбиты,
где L1 – точка либрации, 0 – положение КА в момент старта
Для найденных двух долгот восходящего узла можно найти аргумент широты радиус-вектора
точки старта на базовой орбите, антиколлинеарный радиус-вектору точки либрации.
Решим ограниченную задачу трех тел, применив адаптивный метод Рунге-Кутты 6-го порядка
(Кутты-Мерсона) с переменным шагом интегрирования для выбранных долгот восходящего узла и
аргумента широты. По проекциям траектории КА на плоскости XY и XZ обнаруживаем, что в точку
либрации L1 системы «Земля-Луна» не попадаем.
Варьируем значение долготы восходящего узла и аргумента широты для того, чтобы получить
необходимый первый импульс для попадания в точку либрации для выбранной даты подлета. Решая
65
Вестник СГТУ. 2012. № 4 (68)
краевую задачу в среде MathCAD [2], найдем долготу восходящего узла, аргумент широты и первый
импульс скорости для выбранной даты подлета в точку либрации. При проекции на плоскости XY и
XZ «промаха» не обнаруживаем. Зная начальные параметры орбиты и первый импульс скорости, мы
можем определить второй необходимый импульс скорости.
Решая оптимизационную задачу в среде MathCAD [2], найдем такое оптимальное время перелета для выбранной даты попадания в точку либрации, когда импульс скорости минимальный (рис. 5).
Рис. 5. Зависимость значений суммарного импульса (м/с) скорости относительно времени перелета
Численно решая дифференциальное уравнение движения, с учетом ранее полученных данных,
найдем конечный радиус-вектор перелетной орбиты и сравним его с радиус-вектором точки либрации для определения точности попадания в точку либрации. Расхождение составляет порядка 10-9 м,
соответственно, можем утверждать, что мы попали в точку либрации.
Найдем требуемые значения (второй импульс скорости, оптимальное время перелета, долгота
восходящего узла, аргумент широты и суммарный импульс скорости) для всего рассматриваемого
диапазона дат старта с шагом в 2 дня в апреле 2025 года. Построим графики зависимостей этих значений от даты попадания в точку либрации L1 для обоих решений.
3
Рис. 6. Зависимость значений суммарного импульса скорости (10 м/с) от даты попадания в точку либрации L1.
Сплошной линией показаны значения для старта из восходящего, пунктирной линией – для нисходящего узла
Таким образом, в рамках рассмотрения апреля в качестве выбранной эпохи, можем сделать
вывод, что оптимальной датой попадания в точку либрации L1 системы «Земля-Луна» является 103-й
день (рис. 6), что соответствует 12 часам дня 13 апреля 2025 года. При этом оптимальное время перелета составляет 4,25 суток (табл. 2) при старте из окрестности восходящего узла базовой орбиты.
Проведя подобный анализ для августа 2025 года, видим, что характер зависимостей не изменяется, отсюда можно сделать вывод, что для оценки энергетики в выбранном году можно рассматривать любой из месяцев.
66
Физика, радиотехника и электроника
Таблица 2
Значения второго импульса скорости, оптимального времени перелета, долготы восходящего узла,
аргумента широты и суммарного импульса скорости в зависимости от даты подлета к точке либрации L1 системы
«Земля-Луна» для старта из нисходящего узла орбиты
Дата подлета с начала
эпохи, дней
∆V2 ,
Topt , дней
Ω ,°
u ,°
∆VΣ , м/с
3.523
20.819
-156.875
3798
90
м/с
713.937
92
728.963
3.523
42.923
-144.418
3816
94
754.329
3.643
72.787
-141.974
3845
96
790.256
3.81
107.042
-148.97
3883
98
816.785
3.973
140.376
-161.394
3912
100
824.073
4.11
171.446
-175.933
3920
102
810.873
4.21
201.494
169.401-360
3908
104
779.330
4.273
232.07
156.135-360
3876
106
737.161
4.293
263.596
146.128-360
3834
108
700.458
4.257
293.872
141.938-360
3796
110
688.550
4.15
-40.905+360
145.616-360
3782
112
721.435
3.947
-21.519+360
156.809-360
3811
114
675.648
3.913
-5.85+360
170.982-360
3758
116
699.287
3.697
8.352+360
-170.279
3782
118
729.804
3.493
26.369+360
-152.726
3813
120
749.546
3.483
51.451+360
-142.708
3836
Таблица 3
Значения второго импульса скорости, оптимального времени перелета, долготы восходящего узла,
аргумента широты и суммарного импульса скорости в зависимости от даты подлета к точке либрации L1 системы
«Земля-Луна» для старта из восходящего узла орбиты
Дата подлета с начала
эпохи, дней
∆V2 ,
Topt , дней
Ω ,°
u ,°
∆VΣ , м/с
3.527
-129.531
-23.199
3958
90
м/с
873.741
92
802.393
3.523
-89.992
-34.544
3889
94
726.620
3.643
-56.42
-36.751
3817
96
679.608
3.81
-32.793
-29.919
3773
98
655.950
3.973
-16.509
-17.831
3751
100
644.094
4,11
-3.72
-3.705
3740
101
640.510
4.167
2.231
3.5
30737
102
638.228
4.213
8.25
10.563
3735
102.5
637.669
4.233
11.366
13.985
3735
103
637.607
4.25
14.6
17.305
3735
103.5
638.159
4.263
17.988
20.498
3735
104
639.467
4.277
21.57
23.523
3737
106
655.593
4.297
38.756
33.316
3753
108
697.085
4,26
62.599
37.308
3793
110
769.007
4.153
-266.269+360
33.423
3863
112
870.575
3.957
-230.792+360
22.170
3961
114
894.654
3.803
-194.74+360
5.29
3971
116
868.553
3.693
-158.396+360
-11.709
3977
118
791.648
3.497
-118.296+360
-27.129
3952
120
732.629
3.483
-78.794+360
-36.203
3903
67
Вестник СГТУ. 2012. № 4 (68)
Численными результатами проведённого баллистического анализа можно считать следующие
данные:
1. Оптимальной датой попадания в точку либрации L1 является 13 апреля 2025 года, при
этом время перелета составляет 4,25 дня.
2. Суммарный импульс скорости равен 3735 м/с, где первый импульс скорости составляет
3097 м/с, а второй импульс скорости – 637,607 м/с.
3. Оптимальная траектория реализуется при перелете из восходящего узла орбиты.
Таким образом, разработана математическая модель и алгоритм поиска оптимальной баллистической траектории КА с ХРД при перелете с низкой круговой околоземной орбиты в точку либрации L1 системы «Земля – Луна» для любой эпохи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Константинов М.С. Механика космического полета: учеб. для втузов / М.С. Константинов,
Е.Ф. Каменков, Б.П. Перелыгин, В.К. Безвербый, В.П. Мишин; под ред. В.П. Мишина. М.: Машиностроение, 1989. 407 с.
2. Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел; пер. с англ. / В. Себехей; под ред.
Г.Н. Дубошина. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1982. 656 с.
3. Ракитин В.И. Руководство по методам вычислений и приложений MATHCAD: учеб. пособие / В.И. Ракитин. М.: Физматлит, 2005. 264 с.
Окишев Юрий Александрович –
аспирант кафедры «Техническая физика
и информационные технологии»
Энгельсского технологического института
(филиала) Саратовского государственного
технического университета имени Гагарина Ю.А.
Yuri A. Okishev –
Postgraduate
of the Department Technical Physics
and Information Technology
Engels Institute of Technology
Part of Gagarin Saratov State Technical University
Клинаев Юрий Васильевич –
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры «Техническая физика
и информационные технологии»
Энгельсского технологического института
(филиала) Саратовского государственного
технического университета имени Гагарина Ю.А.
Yuri V. Klinaev –
Dr. Sc., Professor
of the Department Technical Physics
and Information Technology
Engels Institute of Technology
Part of Gagarin Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 17.09.12, принята к опубликованию 06.11.12
68