Старинные_задачи_КУлÐ

В СТАРИНУ РЕШАЛИ ДЕДЫ
Задачи из раздела «тексты старинных задач» интересны учащимся как среднего
возраста, так и старшего. Когда же решать старинные и занимательные задачи,
развивающие логическое мышление, вызывающие большое любопытство у многих
ребят? А что если сделать решение этих задач небольшой частью урока? Так
«родилась» «Задача дня». Для неё отводится крайняя правая часть доски, на которой
пишется задача «сегодняшнего дня». Ребята могут решать ее, а могут и не решать.
Просто те, кому она интересна, могут решить её дома или на перемене. На
следующем уроке к этой задаче обязательно возвращаемся, уделяя её решению
небольшую часть урока (а на доске может быть записана новая задача). Обычно
решать её выходят 2-3 человека и предлагают иногда несколько способов решения
одной и той же задачи – «бенефис одной задачи». Маленький праздник! Не беда, что
кто-то не решил задачу, ведь он пытался это сделать, на уроке увидит правильное
решение.
ТЕКСТЫ СТАРИННЫХ ЗАДАЧ
5 КЛАСС
УРАВНЕНИЯ
1. «Кому пасти овец?» (задача из старинной русской рукописи XVII века).
У пятерых крестьян – Ивана, Петра, Якова, Михея и Гаврилы - было 10 овец. Не
могли они найти пастуха и решили пасти по очереди: по столько дней, сколько овец
у каждого.
Известно, что у Ивана овец было вдвое меньше, чем у Петра, у Якова в два раза
меньше, чем у Ивана, Михей имеет овец вдвое больше, чем Яков, а Гавриил –
вчетверо меньше, чем Пётр. Смекни-ка, по скольку дней следует дней следует пасти
овец каждому?
2. Старинная задача.
Летела стая гусей, а навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: «Здравствуйте 100
гусей!». А вожак стаи в ответ: «Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько
теперь, да ёще столько, да ещё полстолько, да четверть столько, да ещё ты, гусь, вот
тогда нас было бы 100». Сколько гусей в стае?
3. Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского (1811г.).
Задумайте какой-нибудь число, умножьте его на 2,прибавьте к произведению
30,полученное число разделите на 2,от результата отнимите задуманное число, и
тогда в ответе получится 15. Объясните, почему при любом заданном числе ответ
всегда равен 15?
4. Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского (1811г.).
Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек дороже, чем пробка.
Столько стоит бутылка и сколько пробка?
5.Древнекитайская задача.
Некто подошёл к клетке, в которой сидели фазаны и кролики. Сначала он сосчитал
головы: их оказалось 15,затем он сосчитал ноги, их было 42.Сколько кроликов и
сколько фазанов было в клетке?
6. Из учебника Эйлера «Основания алгебры» (1707-1773гг.)
Отец, у которого было трое сыновей, оставил им 1600 крон. Старший сын получил
на 200 крон больше среднего, а средний- на 100 крон больше младшего. Сколько
получил каждый из сыновей?
ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ С КОНЦА
8. «Мальчики и яблоки» (из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого).
Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый из мальчиков даёт
двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик
даёт двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет; в свою очередь, и
третий даёт каждому из двух столько яблок, сколько есть у каждого в этот момент.
После этого у каждого оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было вначале у
каждого мальчика?
9. Старая легенда гласит, что чешская королева Либуша обещала выйти замуж за
того из трёх добивавшихся её руки рыцарей, кто первый решит задачу: «Сколько
слив помещается в корзине, из которой половину всего содержимого и одну сливу
она отдаст первому, половину оставшегося и ещё одну сливу – второму и, наконец,
третьему – половину оставшихся и ещё три сливы, после чего корзина опустела?
10.Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского (1811 г.).
Разносчик продал первому покупателю половину имевшихся у него апельсинов и
ещё пол-апельсина, второму покупателю – половину оставшихся апельсинов и ещё
пол-апельсина; таким же образом продал он апельсины и остальным покупателям.
Когда же подошёл седьмой, то у разносчика уже ничего не осталось. Сколько
апельсинов было у разносчика и сколько взял каждый из покупателей?
11. Из старинных рукописей.
В трёх кучках лежит 24 камешка. Если из первой кучки переложить во вторую
столько, сколько находится во второй, а затем из второй в третью столько, сколько
находится третьей, наконец, из третьей в первую столько, сколько в первой
осталось, то во всех кучках будет поровну. Сколько камешков в каждой кучке?
6 КЛАСС
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
12. «Ай да старушка!» (из старинных рукописей).
Старуха принесла на рынок кошелку яиц. Не успела разложить их, как богатый
купец ненароком зацепил кошелку, и все яйца разбились. Прибежал городовой,
ухватил купца и приказал возместить убытки. А тот спрашивает:
- Сколько было всего яиц?
- Не знаю, не считала, - отвечает старушка. – Зато дома я все яйца раскладывала на
кучки. Сначала разложила на две кучки, и осталось одно яйцо. Потом на три. Опять
одно осталось. Тогда разложила на четыре, на пять, на шесть, на семь кучек, но
каждый раз оставалось одно яйцо. В последний раз на восемь разложила. И что же!
Опять лишнее яйцо. Я рассердилась и больше не считала…
- Ясно, - сказал купец и протянул деньги.
- Правильно, - подтвердил городовой, и все разошлись добром.
А ты сможешь высчитать, сколько было яиц в кошелке?
13. В легенде рассказывается, что когда один из помощников Магомета – Мудрец
Хозрат Али садился на коня, подошедший человек спросил его:
- Какое число делится на 2,3,4,5,6,7,8,9 без остатка?
Мудрец ответил:
- Умножь число дней в неделе на число дней в нужном месяце и на число месяцев в
году (считая, что в месяце 30 дней).
Проверь, прав ли Хозрат Али?
14. «Угадайте число!» (из старинных рукописей),
Угадайте число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1, от деления на 3 даёт в
остатке 2, от деления на 4 даёт в остаке3, от деления на 5 даёт в остатке 4 ,от деления
на 6 даёт в остатке 5, а на 7 – делится без остатка.
ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ
15.Старинная русская задача.
Роскошно липа расцветала.
Под ней червяк завёлся малый.
Да вверх пополз во всю он мочь –
Четыре локтя делал в ночь.
Но днём сослепу полз обратно
Он два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
- Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
16. Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского (1811г.).
Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500
саженей, а собака в 5 минут 1300 саженей. Спрашивается, в какое время собака
догонит зайца?
17. Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского (1811г.).
Собака гонится за лошадью. Собака делает 6 скачков, когда лошадь делает только 5,
и в 4 скачка собака пробегает то же расстояние, что лошадь пробегает в 7 скачков.
Лошадь успела проскакать 5,5 км, когда её вдогонку побежала собака. Какое
расстояние успеет ещё пробежать лошадь, пока её догонит собака?
ЗАДАЧИ ИЗ СТАРИННЫХ РУКОПИСЕЙ И ИЗ «АРИФМЕТИКИ»
Л.Ф.МАГНИЦКОГО
18. «Два воина»
Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой воин вышел
одновременно с ним и шёл так: в первый день - 1 версту, во второй – 2, в третий – 3,
в четвёртый - 4,так прибавлял каждый день по версте, пока не настиг первого. Через
сколько же дней второй воин настиг первого?
19. «Из Москвы в Вологду».
Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своём совершать
каждый день по 40 вёрст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и
приказано ему делать в день по 45 вёрст. На какой день второй человек догонит
первого?
ПРОПОРЦИИ
20.Из «Арифметики» Магницкого (1703г.).
Некий человек нанял работника на год, обещав дати ему 12 рублей и кафтан. Но тот
по случаю, работав 7 месяцев, восхоте отъити и прошаше достойные платы с
кафтаном; он же даде ему по достоинству расчёт 5 рублей и кафтан, и ведательно
есть: коликия цены оный кафтан бяше?
21.Старинная задача среднеазиатского учёного Бируни.
Если 10 дирхемов (денежная единица) приносят доход 5 дирхемов за 2 месяца, то
какой доход принесут 8 дирхемов за 3 месяца?
СЛОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
22. Из рукописи XVII века.
Лев съел одним часом, волк съел овцу в 2 часа, а пёс съел овцу за три часа. Ино
хочешь ведати: все три – лев, волк и пёс – овцу съели вместе вдруг, и сколько бы они
скоро ту овцу съели, сочти ми.
23. «Постройка дома»
Четыре плотника хотят строить дом. Первый плотник один может построить дом за
год, второй плотник может построить дом за 2 года, третий – за 3 года, а четвертый –
за 4 года. Однако строили дом четыре плотника вместе. За какое время они
выстроили дом?
24. Старинная задача (Китай, II век).
Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней, а дикий гусь от
северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь
вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?
НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ЧАСТИ.
НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТИ ОТ ЧИСЛА
25. «Сколько лет Демохару?» (задача сформулирована древнегреческим
философом Метродором ещё в IV веке до н.э.).
Демохар четверть своей жизни был мальчиком, одну пятую – юношей, треть –
мужчиной и 13 лет прожил стариком. Сколько лет он прожил?
26. Задача Древней Греции
- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают школу и слушают
твои беседы?
- Вот сколько, - ответил философ, - половина моих учеников изучают математику,
четвёртая – природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении,
остальную часть составляют 3 девы.
27.Из курса математики французского автора Ж.Озанама (XVIIв.).
Трое хотят купить дом за 2400 ливров. Они условились, что первый даст половину,
второй – одну треть, а третий – оставшуюся часть. Сколько даст каждый?
28. «Покупка сукна» (задача из старинных рукописей).
Некто купил три четверти аршина сукна и заплатил за них 3 алтына. Сколько надо
заплатить за 100 аршин такого же сукна?
29. Старинная задача.
- Хронос вестник, скажи, какая часть дня миновала?
- Дважды две трети того, что прошло, остаётся.
(Хронос – бог времени в греческой мифологии. В Древней Греции день содержал
двенадцать часов.)
30.Из старого задачника.
Когда Гераклом Герион
Был в страшной хватке сокрушён,
То победителю в награду
Быков отличных было стадо;
Быков на луг отправил он
И погрузился в крепкий сон.
Но сын Вулкана Какус смелый
К быкам, как вор, подполз умело
И сделал всё, что он хотел:
Он отобрать себе успел
Одну шестнадцатую стада;
Теперь добычу спрятать надо.
В пещеру стадо он загнал,
Куда свет дня не проникал,
И вход туда прикрыл надёжно:
Найти быков здесь невозможно!
Когда Геракл пришёл на луг,
Он насчитал 120 штук.
И не осталось в нём сомненья,
Что состоялось похищенье.
В нём сердце закипело злобой,
Быков он ищет, смотрит в оба.
И вдруг как бы из-под земли
Услышал, что ревут они.
К пещере бросился он в гневе,
Все разметал он в этом хлеве
И Какуса убил в мгновенье,
Быков добыл из заточенья;
И стадо он угнал скорей, Всё получил царь Эвристей.
Теперь скажи мне, вычислитель,
Скольких быков злой похититель
Из стада увести сумел
И сколько всех быков имел
Геракл, могучий и отважный, Всё это знать нам очень важно!
УРАВНЕНИЯ
31.Из рассказа А.П.Чехова «Репетитор».
Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько
аршин купил он того и другого, если синее стоило стоило 5 руб. за аршин, а чёрное –
3 руб.
32. Задача ал-Каши (родился 1436-1437г.).
Плата работнику за месяц, то есть за тридцать дней, - десять динаров и платье. Он
работал 3 дня и заработал платье. Какова стоимость платья?
33. Древнегреческая задача о статуе Минервы.
(Минерва - в греческой мифологии богиня мудрости, покровительница наук,
искусств и ремесел.)
Я – изваяние из злата. Поэты то злато
В дар принесли: Харизий принёс половину всей жертвы,
Феспия часть восьмую дала; десятую – Солон.
Часть двадцатая – жертва певца Фемисона, а девять
Всё завершивших талантов – обет, Аристоником данный.
Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?
(Талант – самая большая денежная единица в Древней Греции.)
7 КЛАСС
СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
34.Из теоретической и практической арифметики, собранной Дмитрием
Аничковым (1793г.).
Молодой осёл и ослица несли наполненные вином мехи. Ослица, несучи мех, для
престарелых своих лет столько устала, что более уже идти не могла; видя сие,
молодой осёл сказал ей: «Что ты так скоро устала, несучи меньший мех против
моего: ибо есть ли из своего меха одно ведро перелью в твой мех, то у нас будет
поровну, но я сделать того не хочу; ты из своего меха перелей одно ведро в мой, то
у меня будет вдвое больше твоего». Спрашивается, по сколько ведер вина несли осёл
и ослица?
35.Из руководства Ефима Войтяховского «Курс чистой математики» (1811г.).
Две торговки разговаривали о числе яиц; первая сказала другой: «Если ты мне дашь
13 яиц, то у меня будет вдвое больше твоего», а другая сказала первой: «Когда ты
мне дашь 12 яиц, то у меня будет втрое больше твоего». Спрашивается, сколько у
которой яиц было.
36.Старинная китайская задача.
В одном дворе находились кролики и куры. Всего было 35 голов и 94 ноги. Сколько
было кур, а сколько кроликов?
37. Из «Арифметики» Диофанта.
у  50
х  30
x y
 3,
 2.2)   d , x  y  a.
х  50
у  30
b c
3) x  y  a, x  3 y  b.
1)
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ
38. Задача Авиценны (980-1037г.- среднеазитский философ–естествоиспытатель,
врач, математик, поэт).
Если число, будучи разделено на девять, даёт в остатке один или восемь, то квадрат
этого числа, делённый на девять, даёт в остатке один.
39. Из старинного руководства (1200 г.).
Две башни в равнине находятся на расстоянии шестидесяти локтей одна от другой.
Высота одной из них – пятьдесят локтей, высота другой – сорок локтей. Между
башнями находится в колодец, одинаково удалённый от вершин обеих башен.
Спрашивается, как далеко находится колодец от основания каждой башни.
8 КЛАСС
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
40.Индусская задача из Бхасхары (1114г.).
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь,
Обезьян там было в роще?
41. Задача Маклорена (XVIIIв.).
Несколько человек обедали вместе и по счёту должны уплатить 175 шиллингов. Так
как у двоих из них денег не оказалось, каждому из оставшихся пришлось уплатить
на 10 шиллингов больше. Сколько человек обедало?
42. Из «Науки о числах в трёх частях» Николая Шюке (XV в.).
1)3х 2  12  30 х;2)144  х 2  36 х
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
43. Старинная индийская задача.
На озере тихим с полфута над водой
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко, и ветер волной
Нагнул его в сторону, - и уж нет
Цветка над водой.
Его нашла рыбака рука
В двух футах от места, где рос.
Сколь озера здесь вода глубока? –
Тебе предложу я вопрос…
44. Задача древнекитайского ученого Цзинь Киу-чау (1250 лет до н.э.).
Бамбуковый ствол в 9 футов высотой переломлен бурей так, что если верхнюю часть
его нагнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии 3 футов от основания
ствола. На какой высоте переломлен ствол?
9 КЛАСС
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
45. Из руководства по математике «Задачи для изощрения ума юношей»,
Алкуин (около 735-804 гг.).
Лестница имеет 100 ступеней. На первой ступени сидит один голубь, на второй –
два, на третьей – три, так на всех ступенях до сотой. Сколько всего голубей?
46. Из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого (1703г.).
Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической
прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько
весят все чарки.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
47.Старинная русская задача.
Шли семь старцев,
У каждого старца по семи костылей;
На каждом костыле по семи сучков;
На каждом сучке по семи кошелей;
В каждом кошеле по семи пирогов;
В каждом пироге по семи воробьёв.
Сколько всех?
48. Из старинных русских рукописей XV-XVIIIвв.
Некий человек хотел шахматную доску яблоками насыпать так: на первое положить
одно яблоко, на второе – два, на третье – 4, на четвёртое – 8, на пятое – 16 и впредь
на все 64 места – вдвое. Ино много ли на котором месте порозень и что всех яблок
числом будет? А как ему те яблоки продавать по 2000 рубль и колино за все яблоки
денег будет?
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
49. «Девичья хитрость».
Золотошвея, взяв 20 девушек в учение, разместила их в 8 комнатах своего дома так,
как показано на рисунке.
2
3
2
3
3
2
3
2
По вечерам золотошвея обходила дом и проверяла, чтобы в комнатах на каждой
стороне было по 7 девушек. Однажды к девушкам в гости приехали 4 подружки и,
заговорившись, остались у них ночевать, причем все 24 девушки разместились так,
что вечером золотшвея насчитала в комнатах на каждой стороне дома опять по 7
девушек. На следующий день 4 девушки пошли провожать своих четырёх подруг и
дома не ночевали. Оставшиеся 16 девушек разместились так, что опять вечером
золотошвея насчитала в комнатах с каждой стороны дома по 7 девушек. Как
размещались девушки по комнатам в двух последующих случаях?
50. «Рыцари и оруженосцы» (из занимательных задач конца XVIII века).
Три рыцаря, каждый в сопровождении оруженосца, съехались на берегу реки и хотят
переправиться на другой берег. Есть лодка, которая может вместить только двух
человек. Могут ли рыцари переправиться на другой берег при условии, что,
оказавшись отдельно от своего рыцаря, ни один оруженосец не находился бы
при этом в обществе двух рыцарей?