СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Методические указания с

Министерство образования РФ
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
(СибАДИ)
Кафедра высшей математики
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Методические указания с расчетно-графическими
заданиями для студентов
всех специальностей по дисциплине «Математика»
Составитель В.И.Белков
Омск
Издательство СибАДИ
2002
УДК 519.21
ББК 22.171
Б 43
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического анализа
ОмГПУ В.А.Громов
Работа одобрена методической комиссией факультета «Инженерноэкономический» в качестве методических указаний с расчетно-графическими
заданиями для студентов 2 курса всех специальностей по разделу «Теория
вероятностей».
Случайные величины: Методические указания с расчетно-графическими
заданиями для студентов всех специальностей по дисциплине «Математика»/ Сост.
В.И. Белков. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2002. – 44 с.
Предлагаемые расчетно-графические задачи с методическими указаниями
охватывают весь спектр случайных величин, входящих в раздел теории
вероятностей. Предназначены для самостоятельной работы студентов 2 курса всех
специальностей.
Табл. 3. Прил. 5. Библиогр.: 4 назв.
© Издательство СибАДИ, 2002
Введение
Методические указания с расчетно-графическими заданиями (РГЗ)
посвящены разделу «Теория вероятностей» для студентов всех
специальностей.
Цель РГЗ – способствовать усвоению указанного раздела курса
«Высшая математика».
Каждому студенту предлагается 11 задач. Каждая задача имеет
номер, состоящий из двух чисел. Первое число – номер задачи, второе –
номер варианта. В конце работы приведены приложения, в которых
указаны все используемые функции и распределения случайных
величин.
Понятие случайной величины является одним из основных понятий в
теории вероятностей. Оно тесно связано с понятием случайного
события. Если случайное событие – это качественная характеристика
результата опыта со случайными исходами, то количественной
характеристикой такого опыта является случайная величина. Случайные
величины бывают дискретными и непрерывными. Для общего описания
случайных величин используются законы распределения. К ним
относятся ряд распределения, функция распределения, плотность
вероятностей, таблицы распределения и т.д. Для описания какой–либо
особенности случайной величины или системы случайных величин
служат числовые характеристики. Это математическое ожидание,
дисперсия, среднее квадратическое отклонение, корреляционный
момент, коэффициент корреляции и т.д.
Приступая к решению РГЗ, студенту необходимо изучить
соответствующий теоретический материал. Рекомендуемая литература
указана в конце работы.
Во время защиты РГЗ студент должен уметь отвечать на любой из
контрольных вопросов, перечисленных ниже, и решать задачи
аналогичного типа.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение дискретной и непрерывной случайной величины.
Приведите пример случайных величин применительно к вашей
специальности.
2.
3.
Что называют законом распределения случайной величины?
Какие способы задания дискретной и непрерывной случайных величин вы знаете?
4. Дайте определение функции распределения случайной величины и
её свойств.
5. Что такое плотность вероятности и какими свойствами она обладает?
6. Перечислите типичные распределения дискретных и непрерывных случайных
величин.
7. Каково влияние параметров, входящих в законы распределения?
8. Запишите плотность вероятности нормального распределения и изобразите
кривую Гаусса. Объясните роль параметров.
9. Как вычислить вероятность попадания случайной величины в заданный
интервал для случайной величины, распределённой по нормальному закону.
Сформулируйте правило трех сигм. Поясните смысл этого правила.
10. Какова роль числовых характеристик и какие числовые характеристики вы
знаете?
11. Дайте определение математического ожидания и укажите его свойства.
12. Дайте определение дисперсии и среднего квадратического отклонения и
назовите их свойства.
13. Запишите формулы вычисления М(Х), D(X).
14. Чему равны М(Х) и D(X) для типичных распределений?
15. Объясните суть теоремы и неравенства Чебышева и теоремы Бернулли.
16. Сформулируйте теорему Ляпунова и поясните её смысл.
17. Что вы знаете о законе распределения системы случайных величин?
Приведите примеры системы дискретных случайных величин, системы
непрерывных случайных величин.
18. Приведите алгоритм построения доверительного интервала для неизвестного
параметра с заданной надёжностью.
Указания к решению задач
Здесь приводятся рекомендации к решению задач 6, 7, 9, 10, 11
Указания к выполнению задачи 6
1.
2. Ознакомиться с краткими сведениями о системе случайных
дискретных величин. Обратить внимание на способы задания,
системы двух случайных дискретных величин (Х, У) , числовые
характеристики, зависимость и независимость случайных величин,
коэффициент корреляции и его свойства. В случае системы двух
дискретных случайных величин необходимо проверить условие


  Pij  1,
i 1 j1
3.
4.
5.
6.
где Pij = P(X = xi, У = уj) – есть вероятность того, что случайная величина Х примет значение хi и одновременно с этим случайная величина У примет значение уj.
Написать законы распределения составляющих систему случайных
величин Х и У в виде ряда распределения.
Вычислить М(Х), М(У), М(Х2), М(У2), D(X), D(У), σ(Х), σ(У),
М(ХУ).
Вычислить μху и rху.
Определить вероятность попадания значений (Х, У) в заданную область D, т.е. Р((Х, У) D).
Задача
Закон распределения системы (Х, У) задан таблицей. Найти
коэффициент корреляции rху и вероятность попадания (Х,У) в область
D.
Х
У
-2
-1
0
-3
0,03
0,05
0,06
-1
0,06
0,09
0,07
0
0,10
0,15
0,12
1
0,08
0,10
0,09
   x   ; 

 3  у  0,5
Область D: 
1. Проверим условие
4
3
  Pij  0,03+0,06+0,10+0,08+0,05+0,09+0,15+0,10+0,06+0,07+0,12+
i 1 j1
+0,09 = 1.
2. Составим законы распределения Х и У в виде
Х
Р(Х)
-3
0,14
-1
0,22
0
0,37
1
0,27
У
Р(У)
-2
0,27
-1
0,39
0
0,34
,
где, например,
3
3
 P( х 1 , у j )   P1 j  Р11 +Р12+ Р13 = 0,03 + 0,05 + 0,06 = 0,14.
Р1(Х1) =
j1
j 1
Аналогично находятся Р2(Х2) = Р(-1) = 0,06+0,09+0,07 = 0,22 и т. д.
4
Р1 (У1) =
 Р i1  0,03+0,06+0,10+0,08=0,27,
i 1
Р2(У2) = Р(-1) = 0,05+0,09+0,15+0,10 = 0,39, аналогично
Р3(У3) = Р(0).
3. Вычислить М(Х), М(У), М(Х2), М(У2), D(Х), D(У), σ(Х), σ(У), M(ХУ).
В нашей задаче
М(Х) = -0,37; М(У) = -0,93; М(Х2) = 1,75;
М(У2) = 1,47; D(Х) =1,61; D(У) = 0,61;
σ(Х) = 1,27; σ(У) = 0,77.
4
М(ХУ) =
3
  х i у j Pij  (-2)∙(-3)∙0,03 + (-2)∙(-1)∙0,06 + (-2)∙1∙0,08+(-1)∙
i 1 j1
∙(-3)∙0,05 + (-1)∙(-1)∙0,09 +(-1)∙1∙0,1 = 0,28
4. Вычисляем μху, rху по формулам:
μху = М(ХУ) – М(Х)∙М(У),
rху =
 ху
(Х )∙ ( У)
.
μху = 0,28-0,37∙0,87 +0,04.
rху =
0,04
 0,041.
1,27∙ 0,77
   x  ; 
5. Определим вероятность Р((х, у)  D) = P
 =  Pij =

3

у


0
,
5

 ( х i , y j )D
= Р(-1;-3) + Р(-1;-1) + Р(0;-1) + Р(1;1) + Р(-3;-2) + Р(-1;-2) + Р(0;-2) =
= 0,03 + 0,05 + 0,06 + 0,09 + 0,10 + 0,15 + 0,08 + 0,10 = 0,66.
Указания к выполнению задачи 7
1.
Ознакомиться с краткими сведениями о системе двух непрерывных
случайных величин. Обратить внимание на способы задания такой
системы, числовые характеристики, коэффициент корреляции.
2.
Найти параметр А из условия
3.
2

f(x,у)dxdy = 1.
D
4.
Вычислить М(Х), М(У), М(Х ), М(У2), D(X), D(У), σ(Х), σ(У),
М(ХУ).
Вычислить μху, rху.
Задача
Дана плотность вероятности системы случайных величин f(x,у). Найти
параметр А, коэффициент корреляции rху.
A(x2 + у2), в области D
f(x,у) =
D: х2 + у2 ≤ 4.
0
, вне области D,
1. Найдём параметр А, при котором данная функция f(х, у) может служить плотностью совместного распределения вероятностей
случайной величины (Х, У) из условия  f(x,у)dxdy = 1.
двумерной
D
2

2
f(x,у)dxdy = А  (x +у )dxdy = так как D – круг, то переходим =
D
D
к полярным координатам
2
2
3
= А  d   d  A∙ 8  1  A 
0
0
1
8
,
таким образом
1 2
( х  у 2 ), в области D
8
f(x,y) =
0
, вне области D.
2
1 2
2. M(X) =  xf ( x , у)dxdy 
cos d   4 d = 0; (объясните, почему в

8 0
D
0
данном примере М(Х) = 0).
Аналогично вычисляем М(У); М(У) = 0.
М(У) =
 уf ( x, y)dxdy 
D
2
1 2
sin

d

 4 d  0.


8 0
0
M(X2) =
2
 x f ( x, y)dxdy 
D
Аналогично М(У2) =
2
1 2 2
2
cos

d

 5 d  .


8 0
3
0
2
.
3
2
 0 2  0,67.
3
2
2
D(У) = M(У2) – М2(У) =  0  0,67.
3
σ(Х) = D(X )  0,82, σ(У) = 0,82.
D(X) = M(X2) – M2(X) =
2
1 2
М(ХУ) =  xyf ( x , y )dxdy 
cos  sin d  5 d  0

8 0
D
0
3. μху = М(ХУ) – М(Х)∙М(У) = 0 – 0∙0 = 0,
rxy 
 xy
(Х)∙ ( У)

0
 0  Х и У некоррелированы.
0,82∙ 0,82
Указания к выполнению задачи 9
Вначале следует изучить типичные распределения случайных
величин, обратив особое внимание на равномерное, экспоненциальное и
нормальное распределения и как параметры этих распределений связаны
с числовыми характеристиками. Ещё раз вспомнить свойства числовых
характеристик для зависимых и независимых случайных величин.
Проведём некоторые полезные формулы, вытекающие из свойств
числовых характеристик. Пусть X и У независимые случайные
величины, тогда:
1. М(ХУ) = М(Х)∙М(У),
2. D(X  У) = D(X) + D(У),
3. М(Х2) = D(X) + М2(Х),
4. D(XУ) = М((ХУ)2) – М2(ХУ) = М(Х2У2) – М2(Х)∙М2(У),
5. D(XУ) = D(X)∙D(У) + М2(Х)∙D(У) + М2(У)∙D(X).
6. Если Х и У – зависимые случайные величины, то
М(ХУ) = М(Х)∙М(У) + μХУ.
Задача
Случайные величины Х и У независимы.
ƒ1 (х) = С, х  0;2;
1

( у  3) 2
32
е.
4 2
Найти М (3Х +У2 +2); D(3Х – 3УХ + 2).
1. Случайная величина Х распределена равномерно. Для этого закона
1
С = (объясните, почему?)
2
ƒ2 (у) =
а  в 0 2
М(Х) = 
 1.

2
 2 
 в  а 2  (2  0) 2 1

D(Х) = 
 .
 12 
12
3


2. Случайная величина У распределена по нормальному закону, следовательно, М(У) = -3; D(У) = 16 (объясните, почему?).
3. Используя свойства математического ожидания и дисперсии, находим:
М(3Х + У2 + 2) = 3М(Х) +М(У2) + 2 = Для вычисления М(У) можно =
использовать формулу 3.
= 3∙1 + 16 + 9 + 2 = 30.
Какие свойства математического ожидания здесь были
использованы?
D(3Х –3УХ +2) = 9D(Х) + 9D(ХУ) + 0 = Для вычисления D(Х У) =
можно использовать
формулу 5.
= 9∙1/3 + 9(1/3∙16 + 12∙16 + 9∙1/3) =222.
Чему равны здесь D(2) и D(3Х) и почему?
Указания к выполнению задач 10 и 11
Весь необходимый материал для решения этих задач можно найти,
например в учебнике В.Е.Гмурман «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Следует различать точечные и интервальные оценки для
неизвестных параметров. Точечные оценки при малом числе
наблюдений могут приводить к грубым ошибкам. Чтобы их избежать,
пользуются интервальными оценками, которые определяются двумя
числами – концами интервала. Если интервал найден, то с надёжностью
γ можно считать, что он «накроет» оцениваемый параметр а .
Задача 1
1.1. Мяч бросается в корзину до первого попадания, но число бросков
не больше 6. Составить ряд распределения числа бросков, если
вероятность попадания при каждом броске мяча в корзину Р = 0,3.
1.2. Опыт состоит в трёх независимых бросаниях монеты, при каждом
из которых вероятность выпадения герба Р = 0,5. Составить ряд распределения числа
появлений герба.
1.3. Производятся последовательные испытания пяти приборов на надёжность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, когда
предыдущий оказался надёжным. Построить ряд распределения числа испытанных
приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого прибора Р = 0,9.
1.4. Независимые опыты продолжаются до первого положительного
исхода, после чего прекращаются. Найти ряд распределения числа опытов, если
вероятность положительного исхода при каждом опыте равна 0,6.
1.5. Два баскетболиста поочерёдно забрасывают мяч в корзину до тех
пор, пока один из них не попадает. Построить ряд распределения числа бросков,
сделанных первым баскетболистом, если вероятность попадания при каждом броске
для первого баскетболиста равна 0,4, а для второго – 0,6.
1.6. Мишень состоит из круга № 1 и двух колец с номерами 2 и 3.
Попадание в круг № 1 даёт 10 очков, в кольцо № 2 – 5 очков, в кольцо №
3 – 1 очко. Вероятности попадания в круг № 1 и кольца № 2 и 3
соответственно равны 0,5; 0,3; 0,2. Построить ряд распределения суммы
выбитых очков в результате трёх попаданий.
1.7. Производятся испытания на надёжность шести изделий. Вероятность
выдержать испытания для каждого изделия равна 0,3. Построить ряд распределения
числа изделий, выдержавших испытания.
1.8. Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имеется 5 неисправных.
Из партии выбрано 4 аппарата. Составить ряд распределения числа неисправных
аппаратов среди отобранных.
1.9. Составить ряд распределения суммы очков, выпадающих при бросании двух
игральных кубиков.
1.10. Вероятность того, что стрелок попадает в мишень при одном выстреле,
равна 0,6. Стрелок стреляет по мишени до первого промаха, но число выстрелов не
более 6. Составить ряд распределения числа сделанных выстрелов.
1.11. Стрелок ведёт стрельбу по цели. Вероятность попадания в цель
при одном выстреле равна 0,2. Составить ряд распределения числа
попадания в цель при трёх выстрелах.
1.12. Испытуемый прибор состоит из трёх малонадёжных элементов.
Отказы элементов за некоторое время Т независимы, а их вероятности равны
соответственно Р1 = 0,1; Р2 = 0,2; Р3 = 0,3. Составить ряд распределения числа
отказавших за время Т элементов.
1.13. Производится набрасывание колец на колышек до первого попадания либо
до полного израсходования всех колец, число которых равно 5. Составить ряд
распределения числа брошенных колец, если вероятность набрасывания каждого
кольца равна 0,2.
1.14. Составить ряд распределения числа очков, выбитых стрелком при 4
выстрелах, если вероятность попадания при отдельном выстреле равна 0,3; за каждое
попадание стрелок получает 5 очков, за каждый промах у него вычитается 2 очка.
1.15. В партии из пяти изделий одно бракованное. Чтобы его обнаружить, выбирают наугад одно изделие за другим и каждое взятое изделие проверяют.
Составить ряд распределения числа проверенных изделий.
1.16. Мяч бросается в корзину до первого промаха, но число бросков не более 5.
Составить ряд распределения числа бросков, если вероятность попадания мячом в
корзину при каждом броске равна 0,4.
1.17. Вероятность попадания в цель из орудия при первом выстреле
равна 0,1, при втором – 0,4, при третьем – 0,7. Предлагается произвести три
выстрела. Составить ряд распределения числа попаданий в цель.
1.18.В партии из 21 детали 7 деталей второго сорта, остальные
первого. Отобраны случайным образом 4 детали. Составить ряд
распределения числа деталей первого сорта в выборке.
1.19. Стрельба по цели ведётся до первого попадания, после чего прекращается. Найти ряд распределения числа произведенных выстрелов,
если вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,4.
1.20. Два баскетболиста поочерёдно забрасывают мяч в корзину до тех пор, пока
один из них не попадает. Составить ряд распределения числа бросков, сделанных
вторым баскетболистом, если вероятность попадния при каждом броске для первого
баскетболиста равна 0,4, а для второго – 0,6.
1.21.Мишень состоит из круга и кольца. Попадание в круг даёт 10 оч-ков, в
кольцо – 5 очков. Вероятности попадания при каждом выстреле соответственно
равны 0,6; 0,4. Составить ряд распределения суммы выбитых очков в результате
четырёх падений.
1.22. Производятся испытания на надёжность 5 изделий. Вероятность
выдержать испытания для каждого изделия равна 0,4. Составить ряд распределения
числа изделий, выдержавших испытания.
1.23. В партии из 21 детали 7 деталей второго сорта, остальные первого.
Отобраны случайным образом 4 детали. Составить ряд распределения числа деталей
второго сорта в выборке.
1.24. Стрелок ведёт стрельбу по цели. Вероятность попадания в цель
при каждом выстреле равна 0,4. Составить ряд распределения числа промахов при
трёх выстрелах.
1.25. Испытуемый прибор содержит 4 малонадёжных элемента. Отка-зы
элементов за некоторое время Т независимы, а их вероятности равны соответственно
0,1; 0,1; 0,2; 0,3. Составить ряд распределения числа отказавших за время Т
элементов.
1.26. Производится набрасывание колец на колышек до первого промаха либо до
полного израсходования всех колец, число которых равно 5. Составить ряд
распределения числа брошенных колец, если вероятность наброса каждого кольца
равна 0,2.
1.27. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А
появляется с вероятность 0,4. Составить ряд распределения числа появлений
события А в трёх опытах.
1.28. В урне 4 белых и 5 черных шаров. Из урны наудачу один за другим без
возвращения в урну извлекают шары до тех пор, пока не появится черный шар.
Составить ряд распределения числа появившихся при извлечении белых шаров.
1.29. Имеется 4 заготовки для одной и той же детали. Вероятность изготовления
годной детали из каждой заготовки равна 0,7. Составить ряд распределения числа
заготовок, оставшихся после изготовления первой годной детали.
1.30. Вероятность попадания в цель из орудия при первом выстреле
равна 0,2, при втором выстреле – 0,4, при третьем – 0,7. Предполагается произвести
3 выстрела. Составить ряд распределения числа непопаданий в цель.
Задача 2
Задан ряд распределения случайной величины Х. Найти
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение. Построить функции распределения.
2.1
2.2
X
P
3
0,3
5
0,4
7
0,2
9
0,1
2.3
X
P
X
P
1
0,1
2
0,2
5
0,4
7
0,3
4
0,3
6
0,2
10
0,2
12
0,3
2.4
10
0,2
12
0,4
15
0,3
20
0,1
X
P
2.5
X
P
2
0,1
3
0,3
6
0,5
2.6
7
0,1
X
P
2
0,1
4
0,3
2.7
X
P
9
0,3
11
0,3
13
0,2
4
0,1
6
0,6
7
0,2
15
0,2
X
P
6
0,6
9
0,2
5
0,4
6
0,15
7
0,25
9
0,1
X
P
3
0,1
4
0,3
1
0,1
3
0,2
5
0,45
9
0,2
1
4
7
4,5
0,2
5
0,4
X
P
2
0,4
5
0,2
6
0,1
8
0,2
10
0,1
4
0,1
2.14
7
0,25
2.15
X
16
0,1
2.12
2.13
X
P
15
0,1
2.10
2.11
X
P
10
0,3
2.8
2.9
X
P
8
0,3
10
X
P
0
0,2
1
0,3
2
0,3
3
0,1
P
0,3
0,4
0,2
0,1
2.16
P
X
1
2
5
6
0,2
0,25
1
0,2
2
0,25
5
0,15
-1
0,3
0
0,25
1
0,25
7
0,4
X
P
0
0,1
1
0,3
4
0,5
7
0,2
13
0,2
3
0,2
X
P
4
0,3
6
0,25
2
0,2
5
0,3
8
0,3
14
0,1
X
P
3
0,2
5
0,5
0
0,35
3
0,25
6
0,1
11
0,1
13
0,1
X
P
3
0,4
5
0,15
0
0,2
2
0,1
4
0,1
9
0,1
12
0,2
X
P
2
0,2
4
0,3
1
0,25
3
0,05
4
0,1
10
0,15
12
0,1
7
0,2
8
0,1
7
0,25
10
0,2
6
0,3
9
0,2
2.28
6
0,25
8
0,35
X
P
4
0,1
7
0,2
2.29
X
P
8
0,2
2.26
2.27
X
P
4
0,1
2.24
2.25
X
P
3
0,2
2.22
2.23
X
P
2
0,3
2.20
2.21
X
P
0,2
2.18
2.19
X
P
0,15
8
2.17
X
P
0,2
9
0,5
12
0,2
2.30
6
0,3
7
0,3
X
P
4
0,15
6
0,25
9
0,4
10
0,2
Задача 3
Для непрерывной случайной величины задана функция распределения F(x).
Требуется найти плотность распределения f(x), математическое ожидание, дисперсию,
среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность того, что отклонение
случайной величины от её математического ожидания будет не более среднего
квадратического отклонения. Построить графики функций F(x), f(x).
 1 x 2
 2 е , x  2 ;
F(x) = 
1  1 е 2  x , x  2.
 2
3.2
3.1
0, x  2 ;

2
F(x) = ( x  2) , 2  x  3;
1, x  3.

3.3
3.4


0
,
x


;

4



1
F(x) =  (1  sin 2 x ),   x  ;
4
4
2


1, x  4 .
3.5

0, x  0 ;


1
F(x) =  (1  cos 2 x ), 0  x  ;
2
2


1
,
x

.

2
3.6
0, x  0 ;
 2
F(x) =  x , 0  x  1;
1, x  1.

0, x  2 ;

F(x) = 
8
1  x 3 , x  2.
3.8
3.7

0, x  0 ;



F(x) = sin x , 0  x  ;
2



1, x  2 .
3.9
0, x  0 ;
 1
2
F(x) =  x , 0  x  3;
9
1, x  3.
 1 5x
 2 е , x  0;
F(x) = 
1  1 е  5 x , x  0.
 2
3.10


0, x   2 ;



F(x) = cos x ,   x  0 ;
2

1, x  0.

3.12
3.11
0, x  0 ;
F(x) = 
 2x
1  е , x  0.
0, x  0 ;

2
F(x) = 0,25 x , 0  x  2 ;
1, x  2.

3.14
3.13
0, x  0 ;
 1
F(x) =  (1  cos x ), 0  x   ;
2
1, x   .
3.15
0, x  0 ;

F(x) =  x ( 2  x ), 0  x  1;
1, x  1.

0, x  1;
 1 1
F(x)=   arcsin x ,  1  x  1
2 
1, x  1.
0, x  1;
1
 ( x  1) 2 ,  1  x  0 ;
2
F(x) = 
1  1 (1  x ) 2 , 0  x  1;
 2
1, x  1.

3.18
3.16
3.17


0
,
x


;

2



1
F(x) =  (1  sin x ),   x  ;
2
2
2


1
,
x

.

2
3.19
 1 3x
 2 е , x  0;
F(x) = 
1  1 е  3x , x  0.
 2
0, x  3;

2
F(x) = ( x  3) , 3  x  4;
1, x  4.

3.21


0
,
x


;

12



1
F(x) =  (1  sin 6 x ), 
x ;
12
12
2


1, x  12 .
3.20
0, x  0;
 2
1 2
F(x) =  x  x , 0  x  3;
9
3
1, x  3.
1 x  3
 3 е , x  3;
F(x) = 
1  2 е 3  x , x  3.
 3
3.22
3.23
3.24
0, x  0,5;
 1 1
F(x) =   arcsin 2 x ,  0,5  x  0,5;
2 
1, x  0,5.
0, x  1;

2
F(x) = 1  ( x  2) , 1  x  2;
1, x  2.

3.26
3.25
0, x  1;
 1
F(x) =  ( x  1),  1  x  1;
2
1, x  1.
0, x  0;
F(x) = 
2
1  е  x , x  0.
3.28
3.27
1 x
 е2 ,
x  0;
2
F(x) = 
x
 1 2
1  е , x  0.
 2
F(x) =
1 1
 arctgx,  x   .
2 х
3.29
3.30
0, x  0;

F(x) =  x 2
, x  0.

1  x 2
1 x
 е 3 , x  0;
2
F(x) = 
x
 1 3
1  е , x  0.
 2
Задача 4
Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения f(x).
Требуется найти параметр а , функцию распределения F(х),математическое ожидание,
дисперсию, среднеквадратическое отклонение.
4.1
ƒ(x)
а
x
-2
4.2
0
4
4.3
 а(1  x ), x  1;
0, x  1.
ƒ(x) = 
4.4
0, x  0;
 2
 аx , 0  x  2;
ƒ(x) = 
2
 а(4  x ) , 2  x  4;
0, x  4.

4.6
0, x  0;
 2
а , 0  x  3;
ƒ(x) =  x
0, x  3.

0, x  2;

ƒ(x) = 
а
, x  2.

2
 4x
4.5

а 2
 cos x , x  2 ;
ƒ(x)= 
0, x   .

2
4.7

а
 cos 2 x , x  4 ;
ƒ(x) = 
0, x   .

4
4.8
ƒ(x)
а
x
0
3
4.9
4.10
0, x  0;
 2
 аx , 0  x  1;
ƒ(x) = 
2
 а(2  x ) , 1  x  2;
0, x  2.

0, x  0;

ƒ(x) =  аsin x , 0  x  ;
0, x  .

4.11
4.12
0, x  0;
 x , 0  x  1;

ƒ(x) = 
 а x , 1  x  2;
0, x  2.
ƒ(x) =
4.13
  x
 а 1  3 , 0  x  3;

ƒ(x) =  


0, x 0,3.
 а
 , x  3;
ƒ(x) =  x 4
0, x  3.
4.14
4.15
ƒ(x)
а
ае
 x 2
,    x  .
х
-2
2
4.16

а
cos
x
,
x

;

2
ƒ(x) = 
0, x   .

2

а
, x  1;

ƒ(x) =  1  x 2
0, x  1.

4.17
4.18
ƒ(x)
а --------х
0
1
2
3
4.19
4.20
 а 4  x 2 ,
ƒ(x) = 
0, x  2.
ƒ(x) = ае
x  2;
4.21
5 x
,    x  .
4.22
2
 а( x  1) , 1  x  3;

ƒ(x) = 

0, x 1,3.
ƒ(x) = аe
 x 3
,    x  .
4.24
 а(x  2), 2  x  3;
4.23
 а 1  x 2 ,
ƒ(x) = 
0, x  1.
ƒ(x) = 

0  x 2,3.
x  1;
4.25
ƒ(x)
а -----x
0
1
4
4.27
4.26
0, x  0;

аx
ƒ(x) = 
 (1  x 2 ) 2 , x  0.


0, x  0;



ƒ(x) =  а sin 2 x , 0  x  ;
2



0
,
x

.

2

,

2
ƒ(x) =  16  x
0, x  4.

4.28
0, x  0;
ƒ(x) = 
x  4;
 2x
 ае , x  0.
4.29
а
4.30
ƒ(x)
а ---------х
0
3
Задача 5
Случайное отклонение размера детали от номинала распределено по
нормальному закону с параметрами а и σ. Стандартными являются те
детали, для которых отклонения от номинала лежат в интервале ( а -α,
а +α). Записать формулу плотности распределения и построить график
плотности распределения.
Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не
менее β среди них была хотя бы одна стандартная?
Номер
варианта
1
а
σ
α
β
0,2
0,1
0,1
0,99
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,2
0
0
20
20
-20
0
-40
0,2
0,05
0,1
0,05
5
50
10
10
20
0,02
0,06
0,15
0,06
5
15
14
12,5
32
0,04
0,995
0,98
0,97
0,96
0,94
0,992
0,93
0,995
0,99
Случайное отклонение размера детали от номинала распределено по нормальному
закону с параметрами а и σ. Записать формулу плотности распределения и построить
график плотности распределения.
Какой ширины должно быть поле допуска, чтобы с вероятностью не более α
получалась деталь с размером вне поля допуска, если за середину поля допуска принять
отклонение размера, равное математическому ожиданию?
Номер
варианта
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
а
σ

15
15
30
-15
-30
0
100
-100
50
0
15
5
5
15
10
25
100
100
50
30
0,01
0,02
0,025
0,015
0,005
0,03
0,012
0,018
0,014
0,016
Ошибки измерений прибора подчиняются нормальному закону. Прибор имеет
систематическую ошибку а и среднеквадратическую ошибку σ. Записать формулу
плотности распределения и построить график плотности распределения.
Найти вероятность того, что ошибка измерений попадёт в интервал (α, β).
Номер
варианта
21
22
23
24
25
26
27
28
29
а
σ
α
β
5
0
5
5
-5
0,1
0,1
1
0
75
5
25
50
5
1
2
2
3
0
-5
0
-20
-5
1
1
-1
-2
80
5
10
65
8
2
2
1
2
30
2
5
0
4
Задача 6
Закон распределения системы дискретных случайных величин
(Х, У) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции rxy и вероятность
попадания случайной величины (Х, У) в область D.
6.1
У
-2
0
2
Х
1
0,03
0,03
0,05
2
0,02
0,10
0,08
У
3
0,06
0,10
0,20
4
0,04
0,09
0,20
-1
0
2
Х
-2
0,02
0,03
0,02
-1
0,05
0,08
0,05
0
0,04
0,05
0,06
1
0,10
0,20
0,30
D =    x  ;  1  y  3
D =  1  x  0; 0  y  2
6.3
6.4
У
1
3
5
6.2
Х
-2
0,03
0,04
0,02
0
0,03
0,07
0,10
У
2
0,05
0,20
0,03
4
0,15
0,08
0,20
0
2
4
D =  1  x  3; 2  y  6
Х
0
0,05
0,07
0,08
2
0,03
0,10
0,07
4
0,06
0,20
0,09
6
0,05
0,06
0,14
D = 0  x  4; 1  y  4
D =  1  x  2; 2  y  3
6.6
У
1
2
3
-2
0,02
0,08
0,03
-1
0,04
0,05
0,10
6.5
У
Х
1
2
3
0
0,02
0,07
0,20
6.7
1
0,04
0,20
0,15
Х
0
0,02
0,10
0,05
2
0,05
0,08
0,04
4
0,15
0,10
0,20
6
0,10
0,06
0,05
D = 0  x  3; 1  y  2
У
2
4
6
Х
0
0,04
0,03
0,05
1
0,04
0,08
0,09
2
0,06
0,09
0,15
3
0,07
0,10
0,20
У
-1
0
2
Х
-2
0,03
0,05
0,06
D =    x  ; 3  y  5
0
0,04
0,06
0,08
2
0,06
0,09
0,15

4
0,08
0,10
0,20

D = x 2  y2 1
6.8
6.9
У
0
1
2
6.10
Х
0
0,08
0,10
0,09
2
0,10
0,15
0,12
У
4
0,06
0,09
0,07
6
0,03
0,05
0,06
-1
0
2
Х
-1
0,04
0,05
0,06
1
0,10
0,08
0,09

D =  1  x  4; 2  y  3
0
2
4
1
0,09
0,08
0,07
У
2
0,20
0,10
0,10


6.12
Х
0
0,04
0,04
0,05
5
0,07
0,06
0,06
D = x 2  y2  4
6.11
У
3
0,09
0,10
0,20
3
0,06
0,08
0,09
-1
1
3

Х
1
0,02
0,04
0,06
2
0,03
0,09
0,07
3
0,05
0,10
0,20
4
0,05
0,09
0,20
D =    x  ; 0  y  4
D = ( x  1) 2  y 2  1
6.14
6.13
У
У
1
3
5
Х
-1
0,03
0,04
0,05
0
0,03
0,09
0,08
1
0,05
0,10
0,15
2
0,06
0,12
0,20
D =    x  ; 2  y  4
6.15
0
1
3
Х
-1
0,01
0,04
0,02
0
0,04
0,09
0,05
1
0,03
0,06
0,06
2
0,10
0,20
0,30
D = 0  x  1; 1  y  3
У
Х
0
2
4
-1
0,02
0,05
0,02
1
0,01
0,08
0,10
3
0,04
0,20
0,03
5
0,15
0,10
0,20
D = 0  x  4; 1  y  5
У
2
4
6
Х
-2
0,04
0,08
0,08
0
0,02
0,10
0,08
2
0,05
0,20
0,10
4
0,04
0,06
0,15
D =  1  x  3; 2  y  5
6.16
6.17
У
2
3
4
Х
-1
0,01
0,09
0,04
0
0,03
0,06
0,10
У
1
0,01
0,08
0,20
2
0,03
0,20
0,15
1
2
3
Х
-1
0,01
0,10
0,06
1
0,04
0,09
0,04
3
0,15
0,10
0,20
5
0,10
0,05
0,06
D = 0  x  3; 3  y  4
D =  1  x  2; 1  y  2
6.19
6.20
У
0
1
2
6.18
Х
-3
0,02
0,06
0,07
-1
0,03
0,07
0,08
У
1
0,05
0,10
0,15

3
0,07
0,10
0,20
-1
0
2

Х
-2
0,03
0,05
0,06
0
0,04
0,06
0,08
2
0,06
0,09
0,15
4
0,08
0,10
0,20
D =  1  x  3; 1  y  2
D = x2  y 1
6.22
6.21
У
У
0
1
2
Х
-1
0,03
0,06
0,06
0
0,10
0,09
0,09

1
0,08
0,10
0,20
2
2
3
0,06
0,07
0,06

D= x  y 4
6.23
-1
1
3
Х
-1
0,03
0,05
0,05
0
0,08
0,09
0,07

1
0,20
0,10
0,10
2
0,05
0,09
0,09

D = x 2  ( y  1) 2  1
У
-1
0
3
Х
-1
0,03
0,02
0,06
0
0,03
0,10
0,07
1
0,06
0,10
0,20
2
0,05
0,08
0,20
У
0
2
3
D =    x  ; 0  y  2
Х
-2
0,03
0,02
0,06
-1
0,04
0,07
0,10

-1
2
3
1
0,02
0,10
0,07
У
2
0,15
0,09
0,20
4
0,05
0,20
0,03
2
3
4
Х
-3
0,05
0,06
0,09
-1
0,03
0,07
0,10
0
0,06
0,20
0,09
1
0,05
0,05
0,15
D = 0  x  3;  1  y  2
D =  3  x  0; 2  y  3
6.27
6.28
У
-2
-1
1

6.26
Х
-1
0,03
0,03
0,03
1
0,08
0,10
0,20
D = (x  1) 2  y 2  1
6.24
6.25
У
0
0,07
0,08
0,15
Х
-4
0,02
0,07
0,04
-2
0,04
0,05
0,10
У
0
0,04
0,20
0,15
2
0,03
0,06
0,20
-1
1
2
D =  2  x  2;  1  y  2
Х
-1
0,05
0,10
0,02
1
0,04
0,08
0,05
3
0,20
0,10
0,15
4
0,05
0,06
0,10
D =  1  x  2;  1  y  2
6.30
6.29
У
У
-1
0
3
Х
-2
0,03
0,06
0,05
-1
0,04
0,07
0,07
1
0,06
0,10
0,14

2
2
0,08
0,10
0,20
2

D = ( x  1)  y  1
-2
-1
0
Х
-3
0,03
0,05
0,06
-1
0,06
0,09
0,07
0
0,10
0,15
0,12
1
0,08
0,10
0,09
D =  4  x  0; 0  y  1
Задача 7
Задана плотность распределения системы двух случайных величин
ƒ(x, у). Найти коэффициент А, коэффициент корреляции rху (табл. 1).
Таблица 1
Номер
варианта
1
1
2
3
4
5
f(x,y)
Область D
2
A(2x  y) в обл. D;
f ( x, y)  
вне обл. D
0
A cos(2x  y) в обл. D;
f ( x, y)  
вне обл. D
0
A ( x  y) в обл. D;
f ( x, y)  
вне обл. D
0
A( x  y)е x  y в обл. D;
f ( x, y)  
0
вне обл. D
в обл. D;
Axy
f ( x, y)  
вне обл. D
0
6
A sin( x  y) в обл. D;
f ( x , y)  
вне обл. D
0
7
A( x  3y) в обл. D;
f ( x , y)  
вне обл. D
0
3
0  х  2,
0у2


х ,
4
4


 y
4
4
0  х  3,
0 у3

0  х  ,
0у
у  1  х,
х  0, у  0

,
2

0y
2
0  х  3,
0 у3
0х
Продолжение табл. 1
1
8
2
A( x  2 y) в обл. D;
f ( x , y)  
вне обл. D
0
9
A sin( x  y) в обл. D;
f ( x , y)  
вне обл. D
0
10
Axy
f ( x , y)  
0
11
12
13
14
15
16
17
18
в обл. D;
вне обл. D
A( x  y) в обл. D;
f ( x , y)  
вне обл. D
0
A( x 2  y 2 ) в обл. D;
f ( x, y)  
0
вне обл. D
A(3x  y) в обл. D;
f ( x , y)  
вне обл. D
0
A( x  y) в обл. D;
f ( x , y)  
вне обл. D
0
в обл. D;
Axy
f ( x , y)  
вне обл. D
0
A( x  y) в обл. D;
f ( x, y)  
вне обл. D
0
Axy в обл. D ;
f ( x, y)  
вне обл. D
0
A( x 2  y 2 ) в обл. D ;
f ( x, y)  
0
вне обл. D
19
A sin( 2x  y) в обл. D ;
f ( x , y)  
вне обл. D
0
20
A( x  y) в обл. D ;
f ( x, y)  
вне обл. D
0
в обл. D ;
Axy
f ( x, y)  
вне обл. D
0
21
22
Axy
f ( x, y)  
0
в обл. D ;
вне обл. D
3
0  х  2,
0 у2

 х  0,
2

 y0
2

x  y  2  0,
x  1, у  0
2x  y  2  0,
x  0, y  0
x 2  y 2  4,
x  0, y  0
0  х  3,
0 у3
х 2  y 2  9,
x  0, у  0
3х  2 у  6,
x  0,
у0
2х  3у  6,
x  0, у  0
х 2  y 2  2,
x  0, у  0
х 2  y 2  9,
x  0, у  0

,
4

0y
2
0х
х 2  y 2  1,
x  0, у  0
2х  y  2  0,
x  0, у  0
х 2  y 2  16,
x  0, у  0
Окончание табл. 1
1
23
2
A sin( x  2 y) в обл. D ;
f ( x , y)  
вне обл. D
0
24
A( x  y) в обл. D ;
f ( x, y)  
вне обл. D
0
25
26
27
28
29
30
A( x  y) в обл. D ;
f ( x, y)  
вне обл. D
0
A( x 2  y 2 ) в обл. D ;
f ( x, y)  
0
вне обл. D
A(2 x  y)e  2 x  y в обл. D ;
f ( x, y)  
0
вне обл. D

x 2  y2
Axye
в обл. D ;
f ( x, y)  
0
вне обл. D
A( x 2  y 2 ) в обл. D ;
f ( x, y)  
0
вне обл. D
A 2  x 2  y 2 в обл. D ;
f ( x, y)  
0
вне обл. D
3

,
2

0y
4
0х
х 2  у 2  16,
x  0, y  0
3х  2 y  6,
x  0, y  0
х 2  у 2  5,
x  0, у  0
0  х  ,
0у
0  х  ,
0у
х2  y2  4
x 2  y2  A2 ,
( A  0)
Задача 8
Неравенство Чебышева. Теорема Муавра-Лапласа
8.1. Среднее значение длины равно 50 см, а дисперсия равна 0,1. Пользуясь
неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что приготовленная деталь
окажется по своей длине не менее 49,5 см и не более 50,5 см.
8.2. Пусть всхожесть семян некоторой культуры равна 0,75. Пользуясь неравенством
Чебышева, оценить вероятность того, что из посеянных 1000 семян число взошедших
окажется от 700 до 800 включительно.
8.3. При штамповке пластинок из пластмассы по данным ОТК брак составляет 30 %.
Найти вероятность того, что при просмотре партии в 1000 пластинок выявится
отклонение от установленного процента брака меньше чем на 1 %.
8.4. Суточная потребность электроэнергии в населённом пункте является случайной
величиной, математическое ожидание которой равно 3000 кВт/ч, а дисперсия равна
2500. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в этом
населённом пункте будет от 2500 до 3500 кВт/ч.
8.5. Сколько нужно проверить деталей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,97,
можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения частоты годных деталей
от вероятности детали быть годной, равной 0,8, не превысит 0,1.
8.6. Вероятность наличия зазубрин на металлических брусках равна 0,2. Используя
неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что в партии из 1000 брусков
отклонение числа пригодных брусков от 800 не превышает 5 %.
8.7. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Используя
теорему Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет
поражена не более 75 раз.
8.8. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что частота
появления герба при 50 бросаниях монеты отклонится от вероятности не более чем на
0,1. Найти ту же вероятность, применяя терему Муавра-Лапласа.
8.9. В радиоаппаратуре, содержащей 350 ламп, применяются лампы с вероятностью
годности 0,75. Найти вероятность того, что 500 подобных ламп достаточно для того,
чтобы полностью укомплектовать эту аппаратуру.
8.10. По мишени проводится 100 выстрелов. Вероятность попадания для каждого
выстрела равна 0,75. Найти вероятность того, что число попаданий будет не менее 80.
8.11. Вероятность появления события А в каждом из 1000 испытаний равна 0,4.
Найти вероятность того, что частота появления этого события отклоняется от его
вероятности не более чем на ± 0,01.
8.12. Завод выпускает 90 % изделий первого сорта и 10 % изделий второго сорта.
Наугад выбирают 1000 изделий. Найти вероятность того, что число изделий первого
сорта окажется в пределах от 900 до 940.
8.13. Проверкой качества изготовляемых радиоламп установлено, что из них 96 %
служат не меньше гарантируемого срока. Наугад выбирают 15000 радиоламп. Найти
вероятность того, что со сроком службы менее гарантируемого будет от 570 до 630
радиоламп.
8.14. Известно, что 60 % всего числа изготовляемых заводом изделий выпускаются
первым сортом. Приемщик берёт попавшиеся 200 изделий. Чему равна вероятность
того, что среди них изделий первого сорта окажется от 120 до 150 штук?
8.15. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,3. Сколько
нужно произвести выстрелов для того, чтобы с вероятностью 0,99 отклонение частоты
попадания в мишень от вероятности не превышало
± 0,04?
8.16. Производится 900 независимых испытаний. В каждом испытании событие А
появляется с вероятностью 0,36. Какое максимально возможное отклонение частоты
появления события А от 0,36 можно ожидать с вероятностью 0,95?
8.17. Автоматическая линия выпускает с вероятностью 0,8 деталь высшего качества.
Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что в партии из 1000
деталей доля повышенных по качеству отклоняется от средней не более чем на 0,05.
8.18. Стрелок стреляет по мишени 300 раз, причем вероятность попадания в мишень
при каждом выстреле равна 2/3. С помощью неравенства Чебышева оценить
вероятность того, что стрелок попадает в мишень от 185 до 215 раз.
8.19. Число телевизоров повышенного качества составляет в среднем
40 % общего числа их выпуска. Пользуясь неравенством Чебышева,
оценить вероятность того, что в партии из 500 телевизоров доля
повышенных по качеству отклоняется от средней не более чем на 0,06.
8.20. По данным ОТК брак при выпуске деталей составляет 2,5 %. Пользуясь
неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что при просмотре партии из 8000
деталей будет установлено отклонение от средней доли брака менее 0,005.
8.21. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей
Х
Р
1
0,38
2
0,26
3
0,20
4
0,14
5
0,02
Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что Х  М(Х )  2.
8.22. Вероятность получения с конвейера изделий 1-го сорта равна 0,75. Принята
партия в 1000 изделий. Определить вероятность того, что изделий первого сорта
окажется от 720 до 800.
8.23. Вероятность выхода за время Т одного конденсатора равна 0,2. Найти
вероятность того, что из 100 конденсаторов за время Т выйдет из строя более 12, но
менее 26 конденсаторов.
8.24. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей
Х
Р
1
0,10
2
0,19
3
0,35
4
0,24
5
0,12
Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что Х  М (Х)  2.
8.25. Проверкой качества изготовляемых радиоламп установлено, что из них 96 %
служат не меньше гарантируемого срока. Наугад выбирают 15000 радиоламп. Найти
вероятность того, что со сроком службы менее гарантируемого будет меньше 615
радиоламп.
8.26. Вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется бракованной, при
каждой проверке одна и та же и равна 0,2. Определить вероятность того, что среди 50
наудачу отобранных деталей бракованных окажется не менее 6.
8.27. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей
Х
-1
2
3
4
5
Р
0,09
0,24
0,34
0,20
0,13
Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что Х  М (Х)  2.
Найти точное значение вероятности. Какую погрешность даёт
неравенство
Чебышева?
8.28. Вероятность приёма некоторого сигнала равна 0,75. Используя неравенство
Чебышева, определить, каково должно быть общее число принятых сигналов, чтобы
частота приёма этого сигнала отличалась от вероятности его приёма не более чем на ε =
0,05 с надёжностью γ = 0,967.
8.29. Длина изготовляемых деталей является случайной величиной, среднее
значение которой равно 50 мм. Среднее квадратическое отклонение этой величины
равно 0,2 мм. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что
отклонение длины изготовленной детали от её среднего значения по абсолютной
величине не превысит 0,4 мм.
8.30. Вероятность некоторого события равна 2/3. В каких границах находится та
частота события, вероятность отклонения которой от р = 2/3 равна 0,985? В каких
границах заключено число появлений события? Число испытаний 1000.
Задача 9
9.1. Случайные величины Х и У независимы.

ƒ1(х) = 0, x 0,4 ,
ƒ1(х) = С, x  0,4 ,
ƒ2(у) =
1 
е
2
( у  2) 2
2
.
Найти М (2Х + 5У + 1), М(Х – 3У2), D(2X-3У+1), D(XY).
9.2.
Случайные величины Х и У независимы.
2е  2 х , х  0;
ƒ1(х) = 
0, х  0,
ƒ2(у) =
1
е
2

( у1) 2
2 .
Найти М(3Х - 5У2 +1), М((Х-У)2), D(X-5У +2), D(XУ).
9.3. Случайные величины Х и У независимы.

С, x [1,5];
ƒ1(х) = 

0, x [1,5],

3е  3 y , y  0;
ƒ2(y) = 
0, y  0.
Найти М(Х2-2У +1), D(3Х-2У+5), D(2XУ).
9.4. Дано: Х, У – случайные величины, У = 3Х +2, M(Х) = 2, D(Х) = 4.
Найти M(У), D(У), μху, rху.
9.5. Случайные величины Х и У независимы.
1
ƒ1(х) =
е
3 2

( х 1) 2
18
,
С, у  [1,7];
ƒ2(у) = 

0, y[1,7].
Найти М(2Х-3У2+5), D(3Х+2У-4), D(XУ-3).
9.6. Случайные величины Х и У независимы.
ƒ1(х) =
1
е
2

( х 3) 2
2
,
1  1 у
 е 3 , у  0;
ƒ2(у) =  3
0, у  0.

Найти М(3Х-У2+5), М(ХУ-3), D(5X - У + 1), D(XУ –3).
9.7. Дано: Х,У – случайные величины, У = 5Х – 1, M(Х) = 2, σ(Х)= 3.
Найти M(У), D(У), μху, rху.
9.8. Х и У – независимые случайные величины.
1  1 у
С, х [0,3];
2 , у  0;

ƒ1(х) = 
ƒ2(у) =  2 е

0, x [0,3],
0, у  0.

Найти М(Х2 – 2У +1), D(4Х- 2У +3), M(2XУ+5), D(2XУ+5).
9.9. Дано: Х, У – случайные величины, У = 5-3Х, M(Х) = 1, σ(Х)= 3.
Найти М(У), D(У), μху, rху.
9.10. Случайные величины Х и У независимы.
2
( у  2)
С, х  [0,6];

1
ƒ1(х) = 
ƒ2(у) =
е. 32

4
2

0, x [0,6],
Найти М(ХУ + Х2 – 2У), D(2Х – 3У + 1), D(3 – 2ХУ).
9.11. Случайные величины Х и У независимы.
1  1 у
( х  2)2

3 , у  0;
1

ƒ1(х) =
е 8 ,
ƒ2(у) =  3 е
2 2
0, у  0.

2
Найти М(Х – 2ХУ + У –3), D(4X – 5У +2), D(5+2XУ).
9.12. X и У – независимые случайные величины.
С, y  [1,6];
4е  4 х , х  0;
ƒ1(х) = 
ƒ2(у) = 

0
,
х

0
,
0, y[1,6].

Найти М(У2 – 2XУ +3), D(5X –У +2), D(3+2XУ).
9.13. X и У – независимые случайные величины.
1  1 х
( y  3) 2

4
1

, х  0;
ƒ1(х) =  4 е
ƒ2(у) =
е 8 .
2 2
0, х  0,

Найти М(Х2 – 3ХУ +3), D(3X – 4У +1), D(3XУ + 2).
9.14. X и У – независимые случайные величины.
С, x  [2,4];
0, х  0;
ƒ1(х) =   x
ƒ2(у) = 

е
,
x

0
,


0, x [2,4].
2
Найти М(3Х – 2У + 1), D(2X-У+3), M(XУ+4), D(XУ).
9.15. X и У – независимые случайные величины.
( x  2) 2
С, х [2,8];

1
ƒ1(х) = 
ƒ2(y) =
е 2 .

2
0, x [2,8],
Найти М(Х-3У2 +4), D(3-XУ), М(3ХУ +2).
9.16. Дано: Х, У – случайные величины, У = 1-2Х.
Найти: M(У), D(У), μху, rху, если M(Х) = 5, σ(Х) = 2.
9.17. X и У – независимые случайные величины.
( х 3) 2
8
0, y  0;
1
е
,
ƒ2(y) =   y
2 2
е , y  0.
Найти М(3Х –2У +ХУ –1), D(2X – 4У +1), D(XУ).

ƒ1(х) =
9.18. X и У – независимые случайные величины.
( x  2) 2
С, х  1,9;

1
ƒ1(х) = 
ƒ2(y) =
е. 18

3 2
0, х [1,9],
Найти М(3Х2 – ХУ +2У), D(XУ –3).
9.19. Дано:
( y 3) 2

е  x , x  0;
1
ƒ1(х) = 
ƒ2(y) =
е 8 , rху = 0,3
2 2
0, x  0,
Найти М(3Х –2У + ХУ –1), D(2X – 4У + 1).
1  1 y
С, х  0,6;
2 , y  0;

9.20. Дано: ƒ1(х) = 
ƒ2(y) =  2 е
rху = 0,7.

0, х [0,6],
0, y  0,

Найти М(Х2 –3У +2ХУ – 1), D(3X – У + 2).
9.21. X и У – независимые случайные величины.
( x  2)2
С, y  [0,4];

1
2
ƒ1(х) =
е
,
ƒ2(y) = 

2
0, y[0,4].
Найти М(3Х2 –2У –5), D(2X +3У – 4), D(XУ –3).
( x  3) 2
8
е  y , y  0;
1
9.22. Дано: ƒ1(х) = 
е
,
ƒ2(y) = 
rху = 0,4.
2 2
0
,
y

0
,

Найти М(2Х – 3У –ХУ +1), D(4X – 2У –1).
9.23. X и У – независимые случайные величины.
С, х  0,5;
3е  3 y , y  0;
ƒ1(х) = 
ƒ2(y) = 

0, х 0,5,
0, y  0.
Найти М(2Х- У2 –1), D(2X-3У-5), D(2XУ).

9.24. Случайные величины Х и У независимы.
ƒ1(х) =
1
е
2

( х 3) 2
2
,
1  1 у
 е 3 , у  0;
ƒ2(у) =  3
0, у  0.

Найти М(3Х-У2+5), М(ХУ-3), D(5X - У + 1), D(XУ –3).
9.25. Дано: У = 3X + 2, M(Х) = 3, D(Х) = 4.
Найти M(У), D(У), μху, rху.
9.26. X и У – независимые случайные величины.
( x 1)
С, x  [0,7];

1
ƒ1(х) = 
ƒ2(y) =
е. 18

3 2
0, x 0,7 ,
Найти М(3Х2- 2У +5), D(X+3У-1), D(XУ).
9.27. Случайные величины Х и У независимы.
ƒ1(х) = С, x  0,4 ,

ƒ1(х) = 0, x 0,4 ,
ƒ2(у) =
1 
е
2
( у  2) 2
2
2
.
Найти М (2Х + 5У + 1), М(Х – 3У2), D(2X-3У+1), D(XУ).
9.28. Дано:
1  1 х
С, y [0,6];
 е 2 , х  0;
ƒ1(х) =  2
ƒ2(y) = 
rху = 0,6.


0, х  0,
0, y[0,6],

Найти М(У2 –3ХУ + 2Х), D(X-3У-2).
9.29. Дано: У = 5Х – 6, M(X) = 4, σ(X) = 3.
Найти M(У), D(У), μxy, rху.
9.30. X и У – независимые случайные величины.
1  1 х
С, y [0,3];
 е 2 , х  0;
ƒ1(х) =  2
ƒ2(y) = 

0, y[0,3].
0, x  0,

Найти М(2Х- 5У2 –1), D(2Х-4У-3), D(2ХУ +5), D(2ХУ).
Задача 10
Случайная величина Х имеет нормальное распределение с неизвестным
математическим ожиданием а и неизвестной дисперсией σ2. По выборке (х1, х2, …..,
1 n
хn) объёма n вычислено выборочное среднее х   x i . Определить доверительный
n i 1
интервал для неизвестного параметра распределения а , отвечающий заданной

доверительной вероятности α (табл. 2).
Таблица 2
Номер варианта

n
σ2
α
1
1
2
3
4
x
2
110
110
110
110
3
150
130
120
90
4
100
100
100
100
5
0,95
0,94
0,93
0,92
5
6
120
120
150
130
144
144
0,95
0,94
Окончание табл. 2
1
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
2
120
120
110
110
110
110
120
120
120
120
110
110
110
110
100
100
100
100
130
130
130
130
120
120
3
110
90
150
130
120
90
150
130
110
90
150
130
120
90
150
130
110
90
150
120
110
90
150
130
4
144
144
100
100
100
100
144
144
144
144
100
100
100
100
144
144
144
144
100
100
100
100
144
144
5
0,93
0,92
0,94
0,93
0,92
0,95
0,94
0,93
0,92
0,95
0,93
0,92
0,95
0,94
0,93
0,92
0,95
0,94
0,92
0,95
0,94
0,93
0,92
0,95
Задача 11
Случайная величина Х имеет нормальное распределение с неизвестным,
математическим ожиданием а и дисперсией σ2. По выборке (х1, х2, …….,хn) объёма n

1 n
1 n
2 *
x
и
(σ
)
=
(
x

x
) 2 неизвестных параметров.


i
i
n i 1
n  1 i 1
Найти доверительный интервал для математического ожидания а , отвечающий

вычислены оценки x 
доверительной вероятности α (табл. 3).
Таблица 3
Номер варианта
1

x
2
(σ2)*
n
α
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
2,1
2,1
2,1
2,1
1,7
1,7
1,7
1,7
2,2
2,2
2,2
2,2
1,8
1,8
1,8
1,8
2
2
2
2
1,6
1,6
1,6
1,6
2,1
2,1
2,1
2,1
1,7
1,7
0,5
0,5
0,5
0,5
0,8
0,8
0,8
0,8
0,5
0,5
0,5
0,5
0,8
0,8
0,8
0,8
0,5
0,5
0,5
0,5
0,8
0,8
0,8
0,8
0,5
0,5
0,5
0,5
0,8
0,8
31
28
26
24
31
28
26
24
31
28
26
24
31
28
26
24
31
28
26
24
31
28
26
24
31
28
26
24
31
28
0,8
0,9
0,5
0,98
0,8
0,9
0,95
0,98
0,9
0,95
0,98
0,8
0,9
0,95
0,98
0,8
0,95
0,98
0,9
0,8
0,95
0,98
0,9
0,8
0,98
0,9
0,8
0,95
0,98
0,95
Список рекомендуемой литературы
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. –
М.: Высшая школа, 1977.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 1977.
3. Захаров В.К., Севостьянов Б.А., Чистяков В.П. Теория вероятностей.
– М.: Наука, 1983.
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистики. – М.: Высшая школа, 1972.
Приложение 1
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ e  x
x
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
e x
1,000
0,980
0,961
0,942
0,923
0,905
0,887
0,869
0,852
0,835
0,819
0,803
0,787
0,771
0,756
0,741
0,726
0,712
0,698
0,684
0,670
x
e x
x
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,62
0,64
0,66
0,68
0,70
0,72
0,74
0,76
0,78
0,80
0,670
0,657
0,644
0,631
0,619
0,606
0,595
0,583
0,571
0,560
0,549
0,538
0,527
0,517
0,507
0,497
0,487
0,477
0,468
0,458
0,449
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
2,40
2,60
2,80
3,00
e x
0,449
0,440
0,432
0,423
0,415
0,407
0,399
0,391
0,383
0,375
0,368
0,302
0,247
0,202
0,165
0,135
0,111
0,091
0,074
0,061
0,050
x
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,20
4,40
4,60
4,80
5,00
5,20
5,40
5,60
5,80
6,00
6,20
6,40
6,60
6,80
7,00
e x
0,050
0,041
0,033
0,027
0,022
0,0183
0,0150
0,0123
0,0101
0,0082
0,0067
0,0055
0,0045
0,0037
0,0030
0,0025
0,0020
0,0017
0,0014
0,0011
0,0009
Приложение 2
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
m e 
m!

m
0
1
2
3
4
5
0,1
0,9048
0,0905
0,0045
0,0002
0,2
0,8187
0,1638
0,0164
0,0011
0,0001
0,3
0,7408
0,2222
0,0333
0,0033
0,0002
0,4
0,6703
0,2681
0,0536
0,0072
0,0007
0,0001
0,5
0,6065
0,3033
0,0758
0,0126
0,0016
0,0002
0,6
0,5488
0,3293
0,0988
0,0198
0,0030
0,0004
λ
m
0,7
0,8
0,9
1,0
2,0
3,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,4966
0,3476
0,1217
0,0284
0,0050
0,0007
0,0001
0,4493
0,3595
0,1438
0,0383
0,0077
0,0012
0,0002
0,4066
0,3659
0,1647
0,0494
0,0111
0,0020
0,0003
0,3679
0,3679
0,1839
0,0613
0,0153
0,0031
0,0005
0,0001
0,1353
0,2707
0,2707
0,1804
0,0902
0,0361
0,0120
0,0034
0,0009
0,0002
0,0498
0,1494
0,2240
0,2240
0,1680
0,1008
0,0504
0,0216
0,0081
0,0027
0,0008
0,0002
0,0001
7,0
0,0009
0,0064
0,0223
0,0521
0,0912
0,1277
0,1490
0,1490
0,1304
0,1014
0,0710
0,0452
0,0264
0,0142
0,0071
0,0033
0,0015
0,0006
8,0
0,0003
0,0027
0,0107
0,0286
0,0572
0,0916
0,1221
0,1396
0,1396
0,1241
0,0993
0,0722
0,0481
0,0296
0,0169
0,0090
0,0045
0,0021
λ
m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
4,0
0,0183
0,0733
0,1465
0,1954
0,1954
0,1563
0,1042
0,0595
0,0298
0,0132
0,0053
0,0019
0,0006
0,0002
0,0001
5,0
0,0067
0,0337
0,0842
0,1404
0,1755
0,1755
0,1462
0,1044
0,0653
0,0363
0,0181
0,0082
0,0034
0,0013
0,0005
0,0002
0,0001
6,0
0,0025
0,0149
0,0446
0,0892
0,1339
0,1606
0,1606
0,1377
0,1033
0,0688
0,0413
0,0225
0,0113
0,0052
0,0022
0,0009
0,0003
0,0001
9,0
0,0001
0,0011
0,0050
0,0150
0,0337
0,0607
0,0911
0,1171
0,1318
0,1318
0,1186
0,0970
0,0728
0,0504
0,0324
0,0194
0,0109
0,0058
Приложение 3
1
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ ( x ) 
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0
0,3989
0,3970
0,3910
0,3814
0,3683
0,3521
0,3332
0,3123
0,2897
0,2661
0,2420
0,2179
0,1942
0,1714
0,1497
0,1295
0,1109
0,0940
0,0790
0,0656
5
0,3984
0,3945
0,3867
0,3752
0,3605
0,3429
0,3230
0,3011
0,2780
0,2541
0,2299
0,2059
0,1826
0,1604
0,1394
0,1200
0,1023
0,0863
0,0721
0,0596
2
e
x
2
2
0
0,0540
0,0440
0,0355
0,0283
0,0224
0,0175
0,0136
0,0104
0,0079
0,0060
0,0044
0,0033
0,0024
0,0017
0,0012
0,0009
0,0006
0,0004
0,0003
0,0002
x
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
5
0,0488
0,0396
0,0317
0,0252
0,0198
0,0154
0,0119
0,0091
0,0069
0,0051
0,0038
0,0028
0,0020
0,0015
0,0010
0,0007
0,0005
0,0004
0,0002
0,0002
Приложение 4
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ  (x ) 
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
( x)
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
x
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
( x)
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
x
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
1
x
e
z
2 0
( x)
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
2
2 dz
x
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
( x)
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
Продолжение прил. 4
x
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
( x)
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
x
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
( x)
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
x
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
( x)
0,4357
0,4370
0,43/82
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
x
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
( x)
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
Окончание прил. 4
x
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
( x)
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
( x)
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
x
2,98
3,00
3,20
3,40
x
3,60
3,80
4,00
4,50
( x)
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
( x)
0,499997
x
5,00
Приложение 5
ВАЖНЕЙШИЕ ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН
Распределение
Биномиальное
Пуассоновское
Геометрическое
Параметры и
возможные
значения
m m
n m n (1, 2,...)
PX  m  C n p (1  p)
,
p(0  p  1)
m  0, 1, 2,...., n
m 
e ,
m!
m  0, 1, 2,....
PX  m 
PX  m  p(1  p) m ,
m  0, 1, 2,....
Равномерное
Показательное
M(X)
D(X)
np
npq
(  0)


p(0  p  1)
1
p
1 p
 1
 b  а , если а  x  b,

а, b; ( а , b)  любой
f ( x )  0, если x  а
интервал на оси Ох

или х  b


e  x (x  0),
f (x)  
0 (x  0)
Нормальное или
гауссовское
f (x) 
1
 2

e
( x а ) 2
2 а2
(  0)
аb
2
p2
(b  а )12
12
1
1

2
a
σ2
а, 
  а 
0
Учебное издание
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Методические указания с расчетно-графическими заданиями
для студентов всех специальностей
по дисциплине «Математика»
Составитель Валерий Иванович Белков
Редактор Н.И. Косенкова
Лицензия ИД № 00064 от 16.08.99.
Подписано к печати
2002.
Формат 60х90 1/16. Бумага ксероксная.
Гарнитура Таймс.
Оперативный способ печати.
Усл. п. л. 2,8 , уч.-изд. л. 2,6.
Тираж 200 экз. Изд. № ____. Заказ
Цена договорная.
Издательство СибАДИ
644099, Омск, ул. П. Некрасова, 10
Отпечатано в ПЦ издательства СибАДИ
644099, Омск, ул. П. Некрасова, 10